将军饮马系列---最值问题教案资料

将军饮马系列---最

值问题

1.两点之间，线段最短．

2.点到直线的距离，垂线段最短．

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．

4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号．

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．

下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．

若A B 、

在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、

在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． “将军饮马”系列最值问题

知识回顾

知识讲解

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想

轴对称及其性质：

把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC

∆是轴对称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，ABC

∆关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C ∆与'''

A B C

是对称点．

轴对称的两个图形有如下性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形；

②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

线段垂直平分线：

垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。

考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

构建“对称模型”实现转化

C

C

B

B

A

A

PA PB

BC +…

常见模型：

（1）PA PB +最小

同侧

图1

B

l

A

B

图2

异侧

（2）①PA PB -最小

同侧

异侧

图5

A

A

图6

异侧

②PA PB -最大

A

l

同侧

异侧

l

【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB ∠的角平分线 （3）周长最短

类型一 类型二 类型三

B

A'

A'

（4）“过河”最短距离

类型一 类型二

l

N

M

（5）线段和最小

l 2

l 1

l 2

l 1

Q

Q

P

P

E

B

A

B

A

（6）在直角坐标系里的运用

A''A'

B'

A'

N

M

F

E

P B

A

B

A

B

A

∠APE=∠BPE

E

EF=1

A''

A'

B'A'

B'

A'

N

M

F

E

P

B

A

B

A

B

A

【例1】尺规作图，作线段AB 的垂直平分线，作COD ∠的角平分线．

同步练习

【变式练习】已知：如图，ABC ∠及两点M 、N ．求作：点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两

边所在的直线的距离相等．

A

M

N

A

M

N

【例2】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线

l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明

理由．

【例3】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的

距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？

a

B

A

【变式练习】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的