2.1.2椭圆的几何性质

2
2
F1
O B1
F2 A2
x
x2 y2 2 + 2 =1 a b
1.曲线方程中将 换成−x解析式不变则其图象关于 轴对称 曲线方程中将x换成 解析式不变则其图象关于 曲线方程中将 换成− 解析式不变则其图象关于y轴对称 2.曲线方程中将 换成−y解析式不变则其图象关于 轴对称 曲线方程中将y换成 解析式不变则其图象关于 曲线方程中将 换成− 解析式不变则其图象关于x轴对称 3.曲线方程中同时将 换成−x、y换成−y解析式不变则其 曲线方程中同时将x换成 、 换成 解析式不变则其 换成− 曲线方程中同时将 换成− 图象关于原点对称
c e= a
例2
求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长、离心 的长轴和短轴长、 求椭圆 的长轴和短轴长
率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。 焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。
x2 y2 解：由16 x 2 + 25 y 2 = 400得 + = 1, 所以 25 16
c 3 2a = 10,2b = 8, c = 3 e= = a 5 焦点坐标为(−3,0), ( 3,0) − 顶点坐标为： ( 顶点坐标为： − 5,0 ), ( 5,0 ), ( 0,− 4 )( 0,4 )
∴ a = 10, c = 6 b = 8 ∴ 2 2 2 2 x y x y 椭圆方程为： ∴ 椭圆方程为： + = 1或 + =1 100 64 64 100
c 3 ( 2)由题意得：a = 20, = 由题意得： 2 a 5
练习： 练习： 1.在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴 在下列方程所表示的曲线中，关于 轴 轴 在下列方程所表示的曲线中 都对称的是( 都对称的是 D ) A、x2=y 、 C、x2−4y2=5x 、 B、x2+2xy+y=0 、 D、9x2+y2=4 、
y 4
O
5
x
例3
求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； 经过点 － 、 － ； ⑵长轴长等于20，离心率3/5 长轴长等于 ，离心率
(1 解： )由椭圆几何性质知 , 此椭圆焦点在 x轴上
a = 3, b = 2
x2 y2 椭圆方程为： ∴ 椭圆方程为： + =1 9 4
x2 y2 ( 2)由9 x 2 + y 2 = 81得 + = 1, 所以 9 81
3.范围 3.范围
y
−a ≤ x ≤ a，−b ≤ y ≤ b ，
椭圆位于直线x=± 和 椭圆位于直线 ±a和y= ±b 所围成的矩形之中 可据此作椭圆的草图 (1)作出矩形 1B1A2B2 作出矩形A 作出矩形 (2)在矩形内部用平滑的曲线连接 1B2 在矩形内部用平滑的曲线连接A 在矩形内部用平滑的曲线连接 (3)利用对称性作出其它象限图象 利用对称性作出其它象限图象
y 4
2
2
O
5
x
一、椭圆的标准方程 定义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y y M F2 x
F1 M
图形
F1
O
O
F2
x
方程 焦点 a、b、c 、 、 之间的 关系
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
a2=b2+c2
(c,0)、(−c,0) 、−
x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 b a (0,c)、(0,−c) 、 −
A1(−a,0)、A2(a,0)、B1(0,−b)、B2(0,b) − 、 、 − 、 线段A 分别叫做椭圆的长轴 短轴。 长轴与 线段 1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴与短轴。 它们的长分别是2a、 ， 它们的长分别是 、2b， a和b分别叫做椭圆的长半轴长与短半轴长 和 分别叫做椭圆的长半轴长与 分别叫做椭圆的长半轴长
2
2
(a最大 最大) 最大
分母那个 分母那个大，焦点就在那分子对应轴上 焦点就在那分子对应轴 就在那分子对应
1.对称性： 1.对称 坐标轴是其对称轴， 坐标原点是其对称中心， 坐标原点是其对称中心， 对称中心也叫椭圆的中心
x y + 2 = 1所表示的椭 2 a b
1.对称性： 1.对称性： 对称性
x y 所表示的椭圆， + 2 = 1所表示的椭圆， 2 a b
F1
2 2
y B2
坐标轴是其对称轴， 坐标轴是其对称轴，坐标 A1 原点是其对称中心， 原点是其对称中心，对称 中心也叫椭圆的中心
O B1
F2 A2
x
x2 y2 2 + 2 =1 a b
2.顶点： 椭圆与其对称轴的交点 顶点： 顶点
x2 y2 2 + 2 =1 a b
(2)离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量 离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量 e 越大，椭圆越扁 ; e 越小，椭圆越圆 越大， 越小，
e = 0,则椭圆变为圆
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y M F2 x
y F1 O M x
图 形
F1
2 2
|MF |+|MF2|=2a (2a>|F1 定 义 一个框，四个点，注意光滑和圆扁， F2|) y 一个框，四个点，1注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现
y M F2 x
F1 O F2
M x
图 形
F1
2 2
O
方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点 离心率
x2 y2 x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 b a a b |x|≤ a |y|≤ b |x|≤ b |y|≤ a ≤ ≤ ≤ ≤
例1、求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点和顶点坐标 、求下列椭圆的长轴长、短轴长、 ① x2＋4y2＝16
2 2
② 9x2＋y2＝81
2 2
x y 解： )由x + 4 y = 16得 (1 + = 1, 所以 16 4
2a = 8,2b = 4 焦点坐标为(−2 3 ,0), ( 2 3 ,0) − 顶点坐标为： ( 顶点坐标为： − 4,0 ), ( 4,0 ), ( 0,− 2 )( 0,2 ) 2a = 18,2b = 6 焦点坐标为(0,−6 2 ), (0,6 2 ) 顶点坐标为： ( 顶点坐标为： − 3,0 ), ( 3,0 ), ( 0,− 9 )( 0,9 )
A1 F1
B2
O B1
F2
A2 x
x2 y2 2 + 2 =1 a b
3.范围 3.范围 −a ≤ x ≤ a，−b ≤ y ≤ b ，
椭圆位于直线x=±a和 椭圆位于直线 ± 和 y= ±b所围成的矩形之中 所围成的矩形之中 可据此作椭圆的草图
A1 F1
y B2
O B1
F2 A2 x
4.离心率 4.离心率 c e= (1) 0<e<1 a
y
设椭圆标准方程为： 设椭圆标准方程为： x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
2384 F1 F2 B O R
439
A x
1、教材P103 习题 、教材 习题8.2 第3、4题 、 题 2、《优化设计》P87 第一课时 、 优化设计》
x y 在直角坐标系下画出椭圆 + =1 25 16
O
F2
方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点 离心率
x2 y2 x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 b a a b |x|≤ a |y|≤ b |x|≤ b |y|≤ a ≤ ≤ ≤ ≤
关于x轴 轴 关于 轴、y轴、原点对称 (c,0)、(−c,0) 、− (±a,0)、(0,±b) ± 、 ± (0,c)、(0,−c) 、 − (±b,0)、(0,±a) ± 、 ±
2 2
2.在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？ 在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？ 在下列每组椭圆中
x y (1)9 x + y = 36与 + =1 16 12 2 2 x y 2 2 ( 2) x + 9 y = 36与 + =1 6 10
2 2
如图， 例4.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 如图 是以地心（地球的中心） 为一个焦点的椭圆。 是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。已知它 的近地点A（离地面最近的点）距地面 的近地点 （离地面最近的点）距地面439km,远地点距 远地点距 地面2384km，并且F2,A,B在同一直线上，地球半径约为 ，并且 在同一直线上， 地面 在同一直线上 6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到 ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）。 ）。 分析： 分析：以AB所在直线 所在直线 为x轴，AB垂直平分线 轴 垂直平分线 轴建立直角坐标系， 为y轴建立直角坐标系， 轴建立直角坐标系 F2为椭圆的右焦点（设 为椭圆的右焦点（ 为左焦点） F1为左焦点）
关于x轴 轴 关于 轴、y轴、原点对称 (c,0)、(−c,0) 、− (±a,0)、(0,±b) ± 、 ± (0,c)、(0,−c) 、 − (±b,0)、(0,±a) ± 、 ±
c e= a
练习： 练习： 1.在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴 在下列方程所表示的曲线中，关于 轴 轴 在下列方程所表示的曲线中 都对称的是( 都对称的是 D ) A、x2=y 、 C、x2−4y2=5x 、 B、x2+2xy+y=0 、 D、9x2+y2=4 、