高考数学复习测试题 指数方程和对数方程解法例说

指数方程和对数方程解法例说

安徽李师

指数方程和对数方程都属于超越方程，在一般情况下不是总可用初等数学方法来求解的，所以这里只是研究一些简单的特殊类型的指数方程和对数方程的解法．

解形如，，

为x的简单代数函数]的基本思想方法是利用指数函数、对数函

数的性质，以及两边取对数的方法，把它转化为解一个可用初等方法来解的代数方程．

解形如或的指数方程或对数方程的基本思想方法是通过变换，令或把它转化为一个可用初等方法解的简单代数方程，然后再解一个最简单的指数方程或对数方程．

在解对数方程时，常要应用对数的运算性质进行恒等变形，通过恒等变形有时会造成增根或失根，对此，应注意，一是在变形过程中，注意变形后得到的方程是否与原方程同解，特别要注意变形过程中所应用的对数运算性质，是否满足

性质中的条件；二是要注意把求得的结果进行检验，例如解方程，如果

按以下步骤来解：,就失去了一个根．失根的原因是由于在变形过程中没有注意到是正确的，而反过来却未必正确．正确的变形应是．又如解

对数方程，按以下的步骤来解：

x＝2或x＝－5．如果不注意检验，就会把x＝－5也认为是原方程的根，其实这是增根．事实上，要使这个方程有意义，x必须满足条件x>－3．所以x＝－5显然不是原方程的根．

关于形如或的方程的求解，在初等数学

里只能用图象法，即画出函数或的图象以及直线y＝x－3，从函

数的图象与这一直线有无交点来说明原方程是否有解．如果有交点，那么读出交点的横坐标，就可得到方程的近似解．

例1、解方程：．

解：化简得，∴，即，解得，

，x＝5．

例2、解方程：．

解：两边取常用对数得：，化简得：

，解得．

例3、解方程：．

解：，，，

∴．

注：上述几种指数方程化为代数方程的变形或代换均为同解变形，故不出现增失根．

例4、解下列方程：

（1）；（2）；

（3）．

解：（1），即，令，则有，解得（舍去）．∴．

（2）两边同除以，得，令，则方程变为，解得，于是，∴

．

（3）因为，故原方程化为，令

，则方程变为，解得，于是

，得原方程的根为．

例5、求方程近似解．

解：在同一坐标系内画出及的图象，

读得交点的横坐标，即为原方程的近似解（如图）．例6、解方程：．

解：方程右边可化简为，则，利

用对数中底数相同其真数也相同的性质，有，即得x＝54，经检验，x＝54满足原方程．

例7、解下列方程：

（1）；（2）．

解：（1）由题意，故，因此原方程与下列方程同解：，即，将对数式化指数式：，所以．经检验，满足原方程．

（2）因为，故原方程可化为，两边取常用

对数，得（即），于是有，经检验，二者都是原方程的根．

例8、设c、d、x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．

解：由原方程得：，即，，由c≠0，可得．于是，即c＞0，d＜1，或c＜0，d＞1，又因为

,故x≠1，即．从而当c＞0，d＜1且；或当c＜0，

d＞1，且时，原方程有解，它的解是．经检验，此解适合原方程．

例9、a为何值时，方程有解？并求其解．

解；由题意知，且,，

,，得，

．

（1）当1－2a＝0,即时，,而由题意，所以此时无解．

（2）当1－2a＞0,即时，是实数，

当时, 且,故x1符合原方程要求；

,故x2也符合要求．

当a＝0时, x2＝0不是原方程的解；x1＝2符合原方程．

当a＜0时, ，，且，故x1满足原方程；而，x2不是原方程的解．

综上讨论：在时，是原方程的根；在时，

是原方程的根．