2018-2019年高中数学新课标人教A版《必修五》《第二章数列》综合测试试卷【1】含答案考点及解

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2018版高中数学(人教a版)必修5同步练习题：必修5 第2章章末综合测评.docx

章末综合测评（二）（时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）A 1丄丄丄… •丄，2，3，4，B.—1,2, —3,4,…C._1, —Q,—二，—…D.1, \[2,羽，…，&【解析】A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列.【答案】C2.已知数列｛©”｝是首项＜?1=4,公比qHl的等比数列，且4Q”a5,—2如成等差数列，则公比q等于（）A.|B. -1C. -2D. 2【解析】由已知，2Q5=4QI—2a3,即—2aiq~,所以一2 = 0,解得q2=l,因为q知,所以q= — l.【答案】B3.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6 个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是（）A. 33个B. 65 个C. 66 个D. 129 个则二一即a n~l = l-2n~l , a…=2n_1 + L ay = 65.【答案】B4.等比数列⑺”｝的通项为a n=2-3n-\现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列｛b n｝,那么162是新数列｛%｝的()A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项【解析】162是数列⑺”｝的第5项，贝1J它是新数列｛%｝的第5 + (5-l)X2 = 13项.【答案】C5.已知数列仏”｝的前"项和S”= Q"T(Q HO),则｛a”｝( )A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】TS”= Q"—l(aHO),Si, 71= 1,—]s”一s”—1，心2,[a—1, n = \,卩""一(Q—1)Q"T, "22,当Q=1时，a…=0,数列｛Q”｝是一个常数列，也是等差数列；当Q HI时，数列⑺”｝是一个等比数列.【答案】C6.等差数列｛Q”｝的公差不为零，首项Ql = l, 02是Q1和05的等比中项，则数列的前10项之和是()A. 90B. 100【解析】设公差为d,.•.(1 + 疔=1><(1+4〃)，TdHO,:.d=2,从而5io=lOO.【答案】B7.记等差数列⑺”｝的前"项和为S”，若S2=4, S4 = 20,则该数列的公差〃= ( )A. 2B. 3C. 6D. 7【解析】S4—$2=03+04=20—4= 16,•I Q3 + Q4 — S2 =(Q3 — °1) + (°4 — °2)=4〃=16—4=12,：・d=3.【答案】B8.已知数列⑺”｝满足01 = 5, a n a n+i=2n,则養=()A. 2B. 4C. 5D.|%+1【解析】依题意得小"即警=2,数列0,的，05, 07,…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此f=4.【答案】B9.在数列｛Q“｝中，QI =2,2Q〃+I—2砌=1,则Qioi 的值为( )A. 49B. 50C・ 51 D. 52【解析】2a n+i—2a n— 1,・_ =丄・・Q〃+1 U-n °,...数列｛＜?”｝是首项01 = 2,公差的等差数列，Qioi = 2+㊁(101 — 1)= 52.【答案】D10.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：则第七个三角形数是(D. 30【解析】法—:• Q] = l,。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.2.1 Word版含答案

a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在λ,使数列{an}是等差数列.
∴b15=6×15=90.
答案:C
4在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为().
A.24B.22C.20D.-8
解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,
∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,
∴5a8=120.∴a8=24.
∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.
(2)数列{an}不可能为等差数列.证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ.
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
分析转化为证明lgan+1-lgan是一个与n无关的常数.
证明设bn=lgan=lg7n+2=(n+2)lg7,
则bn+1=[(n+1)+2]lg7=(n+3)lg7,
则bn+1-bn=(n+3)lg7-(n+2)lg7=lg7为常数.
所以数列{bn}是等差数列,
即数列{lgan}是等差数列.
能力提升
1若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为().

高中数学人教A版必修五第二章数列章末综合测评及答案

A．2
B．5
C．－12
1 D.2
【解析】 a1＝5，a2＝23，a3＝95，令 bn＝an3＋n λ，则 b1＝5＋3 λ，b2＝239＋λ，
b3＝952＋7 λ，
∵b1＋b3＝2b2，
∴λ＝－12.
【答案】 C
12．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且 a11>|a10|，则{an}的前 n 项和 Sn 中最
【解】 (1)由已知 Sn＝2an－a1，有 an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即 an＝2an－1(n≥2)，所以 q＝2. 从而 a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1. 又因为 a1，a2＋1，a3 成等差数列，即 a1＋a3＝2(a2＋1)，所以 a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得 a1＝2. 所以数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．故 an＝2n. (2)由(1)得a1n＝21n，所以 Tn＝12＋212＋…＋21n＝1211－－1212n＝1－21n. 由|Tn－1|<1 0100，得1－21n－1<1 0100，即 2n>1 000. 因为 29＝512<1 000<1 024＝210，所以 n≥10. 于是使|Tn－1|<1 0100成立的 n 的最小值为 10. 22．(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，a2 是 a1 与 a4 的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝an(n＋1)，记 Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求 Tn.
高中数学人教 A 版必修五第二章数列
章末综合测评(1)
(时间 120 分钟，满分 150 分)

高中数学人教A版必修5章节素质测试题——第二章_数列

新课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第二章数列一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于（） A. 1- B. 1 C. 3 D.7 2.等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 3.如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =（）A. 14B. 21C. 28D.35 4.设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ,则数列{}n a 前7项的和为（） A.63B.64C.127D.1285.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（）A. B. 7 C. 6D. 6.公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-8.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A ．2744n n + B ．2533n n + C ．2324n n+ D ．2n n +9.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96SS =（） A. 2 B.73C. 83 D.310.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （）A.1B.9C.10D.5512.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2n D. 2(1)n - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上） 13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_________. 14.已知{}n a 是递增等比数列，42342=-=a a a ，，则此数列的公比=q ______.15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为 1.若11=a ，且对任意的*N n ∈都有0212=-+++n n n a a a ，则=5S _________.16.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和. 若0141=+=a a a k ，，则=k ______ . 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分，）已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n S18.（本题满分12分，）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19.（本题满分12分，）已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和T n ．20.（本题满分12分，）成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b . （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．21.（本题满分12分，）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图像上. （Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当2=b 时，记1()4n nn b n N a ++=∈求数列{}n b 的前n 项和n T .22.（本题满分12分，）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．新课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第二章数列（参考答案）一、选择题答题卡：二、填空题13. ___24____. 14. ___2____. 15. ___11____. 16.____10____. 三、解答题17.解：设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎨=-⎩，解得 118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或. 因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=，所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ，所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--.19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21 =)1113121211(41+-++-+-n n=)111(41+-n =4(1)n n +. 所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)n n + . 20. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+，依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去）故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.21.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图像上.所以得n n S b r =+，11a S b r ==+，b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列，3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2））（）（21-，得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.22. 解：（Ⅰ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意.因此1232,6,18,a a a ===所以公比q=3. 故123.n n a -=⋅（Ⅱ）因为(1)ln n n n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以n n b b b S 2212+++=.13ln 33ln 313123ln ]2)1(321[)3ln 2](ln )1(111[)331(2222212-+=+--⨯=⋅-++-+-+--+-+-+++=-n n n n nn n n1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（） A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 【答案】C2．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=a n 2－1（n ≥1），则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于（）A ．－1B ．1C ．0D ．2 【答案】A3．{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（） A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 【答案】D4．设函数f （x ）满足f （n +1）=2)(2nn f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为（） A ．95 B ．97 C ．105 D ．192 【答案】B5．等差数列{a n }中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N *，则n （n ≥3）的最大值为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C6．设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（） A ．第10项 B ．第11项 C ．第10项或11项 D ．第12项【答案】C7．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－90 【答案】A8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A ．9B ．10C ．19D ．29 【答案】B9．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列【答案】B10．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，a n －4=30，则n 的值为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=22+n n a a （n ∈N *），则72是这个数列的第_________项．【答案】612．在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________．【答案】－11013．在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______．【答案】514．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =132+n n ，则1111b a =_________．【答案】3221三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？【解】设这两个数列分别为{a n }、{b n }，则a n =3n +2，b n =4n －1，令a k =b m ，则3k +2=4m －1． ∴3k =3（m －1）+m ，∴m 被3整除．设m =3p （p ∈N *），则k =4p －1． ∵k 、m ∈［1，100］．则1≤3p ≤100且1≤p ≤25． ∴它们共有25个相同的项． 16．（本小题满分10分）在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17，求数列前多少项和最大．考查等差数列的前n 项和公式的应用．【解】∵S 9=S 17，a 1=25，∴9×25+2)19(9-⨯d =17×25+2)117(17-d 解得d =－2，∴S n =25n +2)1(-n n （－2）=－（n －13）2+169．由二次函数性质，故前13项和最大．注：本题还有多种解法．这里仅再列一种．由d =－2，数列a n 为递减数列． a n =25+（n －1）（－2）≥0，即n ≤13．5． ∴数列前13项和最大． 17．（本小题满分12分）数列通项公式为a n =n 2－5n +4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【解】（1）由a n 为负数，得n 2－5n +4<0，解得1<n <4．∵n ∈N *，故n =2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项．（2）∵a n =n 2－5n +4=（n －25）2－49，∴对称轴为n =25=2．5 又∵n ∈N *，故当n =2或n =3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2+4=－2．18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？【解】（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意得2n +2)1(-n n +5n =70 整理得：n 2+13n －140=0，解得：n =7，n =－20（舍去） ∴第1次相遇在开始运动后7分钟．（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意有：2n +2)1(-n n +5n =3×70 整理得：n 2+13n －6×70=0，解得：n =15或n =－28（舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟．19．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21．（1）求证：{nS 1}是等差数列；（2）求a n 表达式；（3）若b n =2（1－n ）a n （n ≥2），求证：b 22+b 32+…+b n 2<1．【解】（1）∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1（n ≥2） S n ≠0，∴n S 1－11-n S =2，又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为首项，公差为2的等差数列．（2）由（1）n S 1=2+（n －1）2=2n ，∴S n =n21当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－)1(21-n nn =1时，a 1=S 1=21，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=)2( 1)-(21-)1( 21n n n n（3）由（2）知b n =2（1－n ）a n =n1∴b 22+b 32+…+b n 2=221+231+…+21n <211⨯+321⨯+…+n n )1(1- =（1－21）+（21－31）+…+（11-n －n1）=1－n 1<1．。

人教A版高中数学必修五章节素质测试题——第二章数列

新课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第二章数列（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确）1.（09安徽文5）已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于（）A. 1-B. 1C. 3D.72.（12福建理2）等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．43.（10全国Ⅱ理4）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =（）A. 14B. 21C. 28D.354.（08福建理3）设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ,则数列{}n a 前7项的和为（）A.63B.64C.127D.1285.（10全国Ⅰ理4）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（） A. 52 B. 7 C. 6 D. 426.（12安徽文5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（）A. 1B. 2C. 4D. 87.（08北京理6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-8.（09重庆文5）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n + 9.（09宁夏理6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96S S =（） A. 2 B. 73C. 83D.3 10.（11湖北文9）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A ．1升B ．6766升C ．4744升D ．3733升。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列检测B(含答案)

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列1,3,6,10,15,…的递推公式是().A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2C.a n+1=a n+(n+1),n∈N*,n≥2D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2解析:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4+5,所以a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2.答案:B2若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于().A.1B.2C.4D.8解析:∵a3a11a n>0,∴a7=4.∴a5答案:A3已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C解析:由题意可{a n a n+1}是以q2为公比的等比数列.由a2=2,a5q所以a1=4,a1a2=8.所以T n答案:C4设等比数列{a n}的前n项和为S n,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是(). AC解析:由8a2+a5=0设数列{a n}的公比为q,则q3=-8,所以q=-2.所.答案:D5已知{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于().A.18B.20C.21D.32解析:因为{a n},{b n}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即a5+b6=2(a3+b8)-(a1+b10)=2×15-9=21.答案:C6已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),a1a2a3=27,则数列{a n}的通项公式是().A.a n=3n+1B.a n=2·3n-1C.a n=3n-1D.a n=3n解析:由a1a2a3=27a2=3.因为S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),所以当n=1时,有S2=a1+a2=4a1,得a1=1,从而公比q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.答案:C7若某工厂月生产总值的平均增长率为q,则该工厂的年平均增长率为().A.qB.12qC.(1+q)12D.(1+q)12-1解析:设年初的生产总值为a,则年末的生产总值为a(1+q)12,所以年增长率答案:D8等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于().A解析:设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3·q+10a1,q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1答案:C9设S n为等差数列{a n}的前n项和,(n+1)S n<nS n+1(n∈N*).A.S n的最大值是S8B.S n的最小值是S8C.S n的最大值是S7D.S n的最小值是S7解析:由(n+1)S n<nS n+1,得(n+1)·a n<a n+1,所以等差数列{a n}是递增数列.a8>0,a7<0,所以数列{a n}的前7项为负值,即S n的最小值是S7.答案:D10已知函数y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴的交点为A n,B n(n∈N*),若以|A n B n|表示A n,B n间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2 015B2 015|等于().AC解析:设交点A n,B n的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2因此|A n B n|=|x2-x1|故|A1B1|+|A2B2|+…+|A n B n|+|A2 015B2 015|答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在数列{a n}中,若a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),解析:当n=2时,a2a1=a1+(-1)2,得a2=2;当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,得a3当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,得a4=3;当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,得a5所答案:12在数列{a n}中,若a2=4,a3=15,且数列{a n+n}是等比数列,则a n=.解析:设数列{a n+n}的公比为q,则q所以a n+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-n.答案:2·3n-1-n13已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q的取值范围是.解析:由题意可设三角形的三边分别因为三角形两边之和大于第三边,所以又a>0,q>0,解答案:14数列{a n}满足a n a n+1=2,且a2=1,若S n是数列{a n}的前n项和,则S31=.解析:∵a2=1,a n a n+1=2,∴a1=2,a3=2,a4=1,…,∴a n答案:4715若在下表所示的3×3正方形的9个空格中填入正整数,使得每一行都成等差数列,每一列都成等比数列,则标有*号的空格应填的数是.13*12解析:设标有*号的空格应填a,由于每一行都成等差数列,则第一行第二个数.又每一列都成等比数列,则第一列第二个数,则应6.根据每一行成等差数列,则第二行第二个数,且空格中的数都是正整数,则第二列第二个数a=4.1236a12答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d所以{a n}的通项公式为a n(2)由(1)知,b n当n=1,2,3时,1≤当n=4,5时,2≤当n=6,7,8时,3≤当n=9,10时,4≤所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.17(8分)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,且a1=-1,S12=186.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n∈N*恒成立.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=-1,∴S12=-1×12解得d=3.∴a n=-1+3(n-1)=3n-4,∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-4.(2)证明b n当n≥2∴数列{b n}是等比数列,首项b1q∴T n n∈N*恒成立.18(9分)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|19(10分)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·解(1)设数列{a n}的公差为d.令n=1,a1a2=3.令n=2,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)由(1)知b n=(a n+1)··22n-1=n·4n,所以T n=1·41+2·42+…+n·4n,所以4T n=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3T n=41+42+…+4n-n·4n+1·4n+1所以T n20(10分)正项数列{a n}的前n项和S n满足(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n∈N*,都有T n (1)解得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项a n=2n.(2)证明由于a n=2n,b n则b nT n。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.4.1 Word版含答案

2.4等比数列第1课时等比数列课时过关·能力提升基础巩固1若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为().A.4B.8C.6D.32解析:由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6.答案:C2已知等比数列{a n}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于().A.64B.81C.128D.243解析:∵数列{a n}为等比数列,设其公比为q,∴a2+a3a1+a2=q=2.又a1+a2=3,∴a1=1.故a7=a1q6=1×26=64.答案:A3设a1=2,数列{1+2a n}是公比为2的等比数列,则a6等于().A.31.5B.160C.79.5D.159.5解析:∵1+2a n=(1+2a1)·2n-1=5·2n-1,∴1+2a6=5×25,∴a6=5×32-12=79.5.答案:C4在等比数列{a n}中,已知a1a2a12=64,则a4a6的值为().A.16B.24C.48D.128解析:设公比为q,则a1a2a12=a13q12=64,所以a1q4=4.所以a4a6=(a1q4)2=16.答案:A5若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2√6,c=5−2√6,则b=.解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+2√6)(5−2√6)=1.又b是正数,所以b=1.答案:16在等比数列{a n}中,a1=98,an=13,公比q=23,则n=.解析:a n=98×(23)n-1.由a n=13,得98×(23)n-1=13,故(23)n-1=(23)3,n=4.答案:47在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.。

人教A版必修5第二章数列综合测试题

人教A 版必修5第二章数列综合测试题一、单选题1．等比数列{}n a 满足13a =，36a =，则357a a a ++=（） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 2．在等比数列{}n a 中，13a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则5a =（） A ．24 B ．48 C ．96 D ．48- 3．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 4．设数列{}n a 的满足：12a =，111n n a a +=-，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则2020T =（）A ．12B ．2C ．12-D ．2- 5．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若1611a a a =-16117b b b π++=，则3948tan 1b b a a +-的值是（） A． B．2 C．2- D6．在等比数列{}n a 中，若78910158a a a a +++=，8998a a =-，则789101111a a a a +++=（）A ．56- B ．53- C ．83- D ．103- 7．设()35727*()22222n f n n N +=+++++∈，则()f n =（） A ．()2413n - B ．()12413n +- C ．()32413n +- D ．()42413n +- 8．在数列{}n a 中，11a =，()*12n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．21n n S a =- B ．12n n S a =- C ．2n n S a =- D ．2n n S a =- 9．数列1，12+，212++…，211222n -++++，…的前n 项和为n T ，则n T =（）10．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．数列{}n a 的前n 项和()242n S n n n N*=-+∈，则1210a a a ++⋅⋅⋅+等于（） A ．15 B ．35 C ．66D ．100 12．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．3λB ．4λC ．23λD ．34λ二、填空题13．已知等比数列{}n a 中，21S =，232a a +=，则6S =________． 14．在数列{}n a 中，12,a =()*11ln 1n n a a n N n +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，则n a =__________． 15．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则n a n的最小值为_________. 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，若对任意的*n N ∈，总存在*k ∈N ，使21(21)k n S k S -=-.则3k n -的最小值为___________.三、解答题17．（1）已知数列{}n a ，满足178a =，且11123n n a a +=+.求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*113n n S a n N =-∈.证明：数列{}n a 是等比数列. 18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知()*1382,5a a a n N +=-=∈. （1）求n a ；（2）若数列()()1144n n n b a a +=++，求数列n b 的前n 项和nT . *1⎛⎫（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知{}n a 是等差数列，公差不为0，其前n 项和为n S .若2a ，4a ，7a 成等比数列，312S =.（1）求n a 及n S ；（2）已知数列{}n b 满足111n n n a b b +-=，*n N ∈，113b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围.21．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2464a a =，356S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 满足252,5a a ==，且122,2,2n n n a a a ++构成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n S 为数列{}2n a 的前n 项和，记12n n n n S b S S ++=⋅，求证：1212n b b b ++⋅⋅⋅+<.参考答案1．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可知，1a ，3a ，5a ，7a 构成等比数列，则223163a a q q ===，可得22q =，从而可求出357a a a ++的值【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，易知1a ，3a ，5a ，7a 构成等比数列，且223163a a q q ===，得22q =.所以243573336122442a a a a a q a q ++=++=++=. 故选：B.2．B【分析】利用等差中项和等比数列的通项公式可解得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意得，21344a a a =+，即211144a q a a q =+.又130a =≠，∴2440q q -+=，解得2q，则44513248a a q ==⨯=，故选：B.3．C【分析】先求得1a ，然后求得10S .【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=.故选：C4．D【分析】由123456,,,,,a a a a a a 的值确定数列{}n a 是以3为周期的周期数列，利用周期的性质得出2020T .【详解】12345611112,1,121,112,1,1212222a a a a a a ==-==-=-=+==-==-=- 可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列()1673202012320192020232020202012T a a a a a a a a a a a =⋅=⋅=-=-⋅⋅=-故选：D5．A【分析】根据等比数列和等差数列的下标性质、特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】因为{}n a是等比数列，所以316116a a a a ==-6a =24863a a a ==.因为{}n b 是等差数列，所以1611637b b b b π++==，所以673b π=，所以3961423b b b π+==.所以 3948713b b a a π+=--，所以39487tan tan tan 133b b a a ππ+⎛⎫=-=-= ⎪-⎝⎭故选：A6．B【分析】根据71089a a a a =将789101111a a a a +++化为7891089a a a a a a +++可求得结果. 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴71089a a a a =. ∴789101111a a a a +++710891111a a a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7108971089a a a a a a a a ++=+ 710898989a a a a a a a a ++=+ 7891089a a a a a a +++= 1558938==--. 故选：B【点睛】关键点点睛：利用71089a a a a =变形求解是解题关键.7．D【分析】易得()f n 是以2为首项，224=为公比的等比数列，再得到其项数求解即可.【详解】易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列，设该数列为{}n a ，则21m a m =-，设27n a n =+，令2127m n -=+，∴4m n =+，∴()f n 是以2为首项，224=为公比的等比数列的前4n +项的和， ∴()()442142()41143n n f n ++-==--，故选：D.8．D【分析】根据等比数列的定义求出通项公式，再根据等比数列的求和公式可求得结果.【详解】∵()*12n n a a n N +=∈，∴112n n a a +=，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，12为比的等比数列， ∴112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴11112221212n n n n S a --==-=--. 故选：D.9．B【分析】根据等差数列、等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.【详解】设该数列为{}n a ，由已知得数列的通项公式为122112nn n a -==--，则()()2212(21)2121222n n n n T a a a n =+++=-+-++-=+++-()12122212nn n n +-=-=---.故选：B10．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t = 则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-.故选：A11．C【分析】利用n a 与n S 关系可求得数列{}n a 的通项公式，进而得到前10项各项的正负，结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】当1n =时，111421a S ==-+=-；当2n ≥时，()()22142141225n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-，经检验，当1n =时，不符合25n a n =-，1,125,2n n a n n -=⎧∴=⎨-≥⎩. 令250n ->，又n *∈N ，解得：3n ≥且n *∈N .()()121012310811511662a a a a a a a ⨯+∴++⋅⋅⋅+=--++⋅⋅⋅+=++=. 故选：C.【点睛】易错点睛：在利用n a 与n S 关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足2n ≥时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩. 12．A【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解. 【详解】依题意得，()24122412n n n T +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈， ∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立. 只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可. 设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+. ∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴3λ，故选：A.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.13．21【分析】设公比为(0)q q >，根据条件，可解得1,q a 的值，代入等比数列求和公式，即可求得答案.【详解】因为{}n a 为等比数列，设公比为(0)q q >，所以212111S a a a a q =+=+=①，又223112a a a q a q +=+=②②①得2q ，所以113a =，所以661(12)32112S -==-，故答案为：21 14．()21 n n n N *+∈【分析】由条件变形为()111111n n n a a n n n nn n++-==+-，再利用累加法求通项公式. 【详解】由1111n n a a n n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()111111n n n a a n n n nn n++-==+-，当2n ≥时，()()()121321n n n a a a a a a a a -∴=+-+-+⋯+-()()()()21 21 11 31 21 1121 n n n n n n n n n n n N *=+-+-+⋯+--=+∈⎡⎤⎣⎦，当1n =时，12ln12a =+=成立. 故答案为：()21 n n n N*+∈15．225【分析】由累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而可得到n a n 的解析式，再根据基本不等式可求得n an最小值. 【详解】解：1n n a a n +=+，1n n a a n +∴-=，即：211a a -=，322a a -=，433a a -=，…，11(2,)n n a a n n n z ---≥∈=，将这1n -个式子累加可得：1123n a a -=+++ (1)+12n n n --=，即当2n ≥时，1(1)2n n n a a -=+，又112a =，()2(1)2412=222n n n n n a n n z --+∴=+≥∈，，又112a =也适合上式，()2(1)2412=22n n n n n a n z --+∴=+∈224121=222n a n n n n n n -+∴=+-，由对勾函数的性质可知：当且仅当12=2n n时取得最小值，即n =又n z ∈且45<<，44121942422a =+-=，551212252525a =+-= ， 92225>， n a n ∴的最小值为：225. 故答案为：225. 【点睛】易错点点睛：运用累加法求数列通项时，注意验证首项是否满足，若不满足，则需要写成分段的形式. 16．8- 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式得到k n a S =，令2n =，化简得到12a k d-=，又因为k *∈N ，所以1k =，得1d a =-，再利用等差数列前n 项和公式得到219773222k n n ⎡⎤⎛⎫-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用二次函数的性质即可得到答案.【详解】由题意得()121(21)(21)2k n k a a k S --+=-则得(21)2(21)2kn k a k S -⋅=-，即k n a S =，令2n =得2k a S =，即11(1)2a k d a d +-=+①，即得12a k d-=. 因为首项10a >，公差0d <，则得120a k d-=<，即2k <. 又因为k *∈N ，所以1k =，代入①得1d a =-. 当1d a =-时，由k n a S =得1111(1)(1)2n n a a k a na ---=-即(1)(2)12n n k --=+，所以2193222k n n n -=-+即219773222k n n ⎡⎤⎛⎫-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此当4n =或5时，3k n -的最小值为8-. 故答案为：8- 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，根据题意化简得到1d a =-，从而得到(1)(2)12n n k --=+为解决本题的关键，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由11123n n a a +=+得1212323n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义可证结论；（2）根据()113n n S a =-和()11113n n S a ++=-两式相减可得112n n a a +=-，根据等比数列的定义可证结论. 【详解】（1）∵11123n n a a +=+，∴1211212323323n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭，又12725038324a -=-=≠，∴23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为524，公比为12的等比数列.（2）∵()113n n S a =-，∴()11113n n S a ++=-，两式相减得，111133n n n a a a ++=-，即112n n a a +=-，又当1n =时，()111113a S a ==-，∴112a =-.∴数列{}n a 是首项为12-，公比为12-的等比数列.【点睛】关键点点睛：根据等比数列的定义证明是解题关键. 18．（1）3n a n =-；（2）24n nT n =+.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1382,5a a a +=-=，利用“1,a d ”法求解. （2）由（1）知3n a n =-，得到1112n b n n =-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则1122275a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，所以()2113n a n n =-+⋅-=-；（2）由（1）知3n a n =-，则()()()()11111441212n n n b a a n n n n +===-++++++，123n n T b b b b ∴=+++⋯+，111111+2334+12n n ⎛⎫⎛⎫=-+-⋯- ⎪+⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，1122n =-+24n n =+. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 19．（1）13-=n n a ；（2）()131nn T n =-⨯+.【分析】（1）根据题中条件，得到()1112123n n n S a n --⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，与题中条件两式作差，再结合题中条件，判断数列{}n a 是等比数列，进而可得通项公式；（2）由（1）的结果，得到n b ，利用错位相减法求和，即可得出结果. 【详解】（1）∵数列{}n a 满足11213n n nS a +⎛⎫=-⎪⎝⎭①， ∴()1112123n n n S a n --⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭②， ①-②得：111121133n n n n n a a a +-⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1113023n n n a a n +⎛⎫--=≥ ⎪⎝⎭，可得()132n n a a n +=≥，由11a =，11212213a S a ⎛⎫==-⎪⎝⎭，解得23a =，∴213a a =， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则13-=n n a ；（2）由（1）知13-=n n a ，则()1211323log 3log 3213n n n n n n b a a n ---=⋅=⋅=-⋅，则()0121133353213n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯③，()()1213133323321 3n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯④，③-④得()()121212333213n n n T n --=+⨯+++--⨯()()3312213222313nn n n n -=+⨯--⨯=-+-⨯-，∴()131nn T n =-⨯+.【点睛】思路点睛：利用“错位相减法”求数列和时，既可以在等式两边同乘公比q ，也可以在等式两边同乘1q，两式相减后使用等比数列前n 项和公式求和即可；但求和时应注意项数. 20．（1）2n a n =+，(5)2n n n S +=；（2）1,13n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.（1）将2a ，4a ，7a 成等比数列，312S =．转化为1a 和d 的方程组，解出1a 和d ，即可得到n a 及n S ；（2）数列{}n b 满足111,n n na n Nb b ++-=∈，当2n 时，运用累加法求出n b ，验证1n =时也成立，再利用裂项相消求和求出n T ，根据其单调性即可求出n T 的范围【详解】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为()d d ≠0，由题意得，()()()2111136,3312,a d a d a d a d ⎧+=++⎪⎨+=⎪⎩解得11,3,d a =⎧⎨=⎩∴3(1)12n a n n =+-⨯=+，(32)(5)22n n n n n S +++==. （2）由111n n na b b +-=得，当2n 时1111n n n a b b ---=，又由（1）知2n a n =+，∴112232111111111111n n n n n n n b b b b b b b b b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231(1)(2)3(2)2n n n n n a a a a n ---++=+++++=.经检验，当1n =时上式仍成立， ∴)*2112((1)(2)12n b n N n n n n ⎛⎫==-∈ ⎪++++⎝⎭，∴1111111111222123344512222n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵()*212n T n N n =-∈+在正整数集上单调递增，113T =， ∴1,13n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21．（1）62nn a -=；（2）()()*2*(11)6,,211607,.2n n n n n T n n n n -⎧∈⎪⎪=⎨-+⎪∈⎪⎩N N . 【分析】（1）直接利用等比数列的性质求出38a =，再由356S =求出12q =，进一步求出等比数列的通项公式．（2）利用分类讨论思想，分6n 或7n 两种情况讨论，分别利用等差数列的前n 项和公式求出结果．【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵224364a a a ==，∴38a =，又∵356S =，∴333256a a a q q ++=，∴288856q q++=，解得12q =或13q =-（舍去）， ∴3632n n n a a q--==.（2）由（1）知62nn a -=，∴()()*2*66,log 667,n n n n n N b a n n n n N⎧-∈⎪==-=⎨-∈⎪⎩当6n 时，123(56)(11)543(6)22n n n n n n T b b b b n +--=++++=++++-==；当7n 时，123543210123(6)n n T b b b b n =++++=++++++++++-2(5)(6)11601522n n n n ---+=+=. ∴()()*2*(11)6,,211607,.2n n n n n T n n n n -⎧∈⎪⎪=⎨-+⎪∈⎪⎩N N【点睛】分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；（2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 22．（1）n a n =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等比中项性质可证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列中的项可求得公差d ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可知{}2na 为等比数列，由等比数列求和公式求得nS，整理得到n b ，由裂项相消法可求得12211222n n b b b +++⋅⋅⋅+=--，由21022n +>-可得结论. 【详解】（1）122,2,2n n n a a a++构成等比数列，∴()22122222n n n n n a a a a a ++++=⋅=，∴122n n n a a a ++=+，∴{}n a 是一个等差数列，设其公差为d ，由252,5a a ==得：5233d a a =-=，解得：1d =，()22n a a n d n ∴=+-=.（2）证明：由（1）知：22n a n =，1222n n+=，∴{}2na 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴()12122212n n nS +-==--，∴()()1121221122222222n nn n n n b +++++==----⋅-，∴12233412111111222222222222n n n b b b ++++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-------211222n +=--， 222n +>，21022n +∴>-，21112222n +∴-<-，即1212nb b b ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为()()m f n f n d ⋅+⎡⎤⎣⎦形式的数列，即()()()()11m m d f n f n d f n f n d ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⋅+⎡⎤⎝⎭⎣⎦，进而前后相消求得结果.。

2018_2019学年高中数学第二章数列学业质量标准检测新人教A版必修5

309教育网 309教育资源库第二章数列学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 017，则序号n 等于( D ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673[解析] 由题意可得，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴2 017＝3n －2，∴n ＝673.2．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( B )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2 [解析] 由已知得：a 1q 2＝1，a 1q ＋a 1q 3＝52，∴q ＋q 3q 2＝52，q 2－52q ＋1＝0，∴q ＝12或q ＝2(舍)，∴a 1＝4.3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24[解析] 由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.4．(2018－2019学年山东寿光现代中学高二月考)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( B )A ．－4B ．－6C ．－8D ．－10[解析] 由题意，得a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )， ∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8.∴a 2＝a 1＋d ＝－8＋2＝－6.5．(2018－2019学年度山东日照青山中学高二月考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0且。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.5 Word版含答案

2.5 等比数列的前n 项和课时过关·能力提升基础巩固1已知数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 表示{a n }的前n 项和.若a 1=3,a 2a 4=144,则S 10的值是( ).A.511B.1 023C.1 533D.3 069 解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 2a 4=a 12q4=144. ∵a 1=3,∴32q 4=144.∵q>0,∴q=2.∴S 10=a 1(1-q 10)1-q =3(1-210)1-2=3 069.答案:D2等比数列1,x ,x 2,x 3,…的前n 项和S n 等于( ).A .1-x n 1-x B.1-x n -11-xC .{1-x n1-x ,x ≠1n ,x =1 D.{1-x n-11-x ,x ≠1n ,x =1解析:当x=0时,S n =1;当x=1时,S n =n ;当x ≠0,且x ≠1时,S n =1-x n1-x .又当x=0时,该式也满足,所以S n ={n ,x =1,1-x n1-x ,x ≠1.答案:C3设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q 等于( ).A.3B.4C.5D.6 解析:由题意,得3S 3-3S 2=(a 4-2)-(a 3-2),则3a 3=a 4-a 3,即a 4=4a 3,故q =a 4a 3=4. 答案:B 4已知等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,若S 3,S 9,S 6成等差数列,则q 3等于( ). A.−12B.1C.−12或1D.−1或12解析:∵S 3,S 9,S 6成等差数列, ∴S 3+S 6=2S 9,∴q ≠1,∴a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q =2a 1(1-q 9)1-q, 整理得2q 9-q 6-q 3=0.又q ≠0,∴2q 6-q 3-1=0,解得q 3=1(舍去)或q 3=−12,∴q3=−12.答案:A 5已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 .解析:设数列{a n }的公比为q ,由已知条件可得{a 1+a 1q 3=9,a 12q 3=8,解得{a 1=8,q =12或{a 1=1,q =2, 因为{a n }是递增的等比数列,所以{a 1=1,q =2.所以{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列, 故S n =2n -1.答案:2n -1。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列检测A(含答案)

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是().A.1B.-1,2,-3,4,…C.-1,D.1解析:A项中数列是递减的无穷数列,B项中数列是摆动数列,D项中数列是递增的有穷数列.答案:C2若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于().A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的().A.第20项B.第24项C.第25项D.第30项解析:a1=1×2=1×(1+1),a2=2×3=2×(2+1),a3=3×4=3×(3+1),a4=4×5=4×(4+1),…,a n=n(n+1),令n(n+1)=600,解得a=24或a=-25(舍去),即600是数列{a n}的第24项.答案:B4在等比数列{a n}中,若a2a3a6a9a10=32,A.4B.2C.-2D.-4解析:设公比为q,由a2a3a6a9a10=32,a6=2,所答案:B5若{a n}为等差数列,S n是其前n项和,且S11A解析:S11则a6a6=答案:B6若数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2,且S5=30,则S8等于().A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列{a n}的公差为d,则解所以S8=8a1=8答案:B7若等比数列{a n}各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,S n为{a n}的前n项和,A.2 B解析:设等比数列{a n}的公比为q,则有q>0.∵a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q答案:C8已知等差数列{a n}的前n项和为S n,A.1 006B.1 008C.2 006D.2 008解析:∵A,B,C三点共线,∴a1+a2 016=1.∴S2 016008.答案:B9已知在数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1≥2),则数列{a n}的前9项和等于().A.20B.27C.36D.45答案:B10设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数A答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案:1012若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=,前n项和S n=.解析:由题意知q∵a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,∴a1=2.∴S n答案:22n+1-213若数列{a n}的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a值构成,则数列{a n}的一个通项公式a n=.解析:由题中程序框图知a1=0+1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,a n=a n-1+n,即a n=1+2+3+…+(n-1)+n答案:14已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a3+a5+…+a25=.解析:当n=1时,a1=S1=12+2×1-1=2;当n≥2时,S n-1=(n-1)2+2(n-1)-1=n2-2,所以a n=S n-S n-1=(n2+2n-1)-(n2-2)=2n+1.此时若n=1,则a n=2n+1=3≠a1,所以a n故a1+a3+a5+...+a25=2+(7+11+15+ (51)=2答案:35015中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.解析:由题意知,1 010为数列首项a1与2 015的等差中项,010,解得a1=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和.解设该数列公差为d,前n项和为S n.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{a n}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列{a n}的前n项和S n=4n或S n17(8分)已知数列{a n}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{b n}的前n项和是T n,且T n(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和T n.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意,解得a1=2,d=4.故a n=2+4(n-1)=4n-2.(2)当n=1时,b1=T1,由T1b1当n≥2时,∵T n∴T n=1∴T n-T n-1∴b n∴数列{b n}是.∴T n18(9分)已知首项∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=S n∈N*),求数列{T n}的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列{a n}的公比为q.因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2又数列{a n}不是递减数列且a1q=故等比数列{a n}的通项公式为a n(2)由(1)得S n=1当n为奇数时,S n随n的增大而减小,所以1<S n≤S1故0<S n≤S1当n为偶数时,S n随n的增大而增大,所≤S n<1,故0>S n≥S2综上,对于n∈N*,总≤S n所以数列{T n}最大项的值19(10分)已知{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项公式a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解(1)因为{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,所以a n=19-2(n-1)=-2n+21,即a n=-2n+21,S n=19n即S n=-n2+20n.(2)因为{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以b n-a n=3n-1,即b n=3n-1+a n=3n-1-2n+21,所以T n=b1+b2+…+b n=(30+a1)+(3+a2)+…+(3n-1+a n)=(30+3+…+3n-1)+(a1+a2+…+a n)20(10分)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)解(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,q=2,或q=-1.又由S6=a1·q≠-1,所以a1·a1=1.所以a n=2n-1.(2)由题意,得b n即{b n}是首项1的等差数列.设数列{(-1)n项和为T n,则T2n=(+( =b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n。

2018_2019学年高中数学第二章数列测评A含解析新人教A版必修5

第二章数列测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等比数列{a n}中,如果a6=6,a9=9,那么a3为( )A.4B.C.D.2解析:由=a3·a9,得a3=4.答案:A2.数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于( )A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3.在等差数列{a n}中,其前n项和为S n,S10=120,则a1+a10的值是( )A.12B.24C.36D.48解析:S10==120,解得,a1+a10=24.答案:B4.设a n=-n2+10n+11,则数列{a n}前n项的和最大时n的值为( )A.10B.11C.10或11D.12解析:由a n≥0,得-n2+10n+11≥0,即1≤n≤11.又a11=0,∴前10项或前11项和最大.答案:C5.已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2,且S5=30,则S8=( )A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列{a n}的公差为d,则有解得d=-,a1=,所以S8=8a1+d=8×+28×=32.答案:B6.等比数列{a n}的各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,S n为{a n}的前n项和,则等于( )A.2B.C.D.解析:设等比数列{a n}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=,∴q=,∴=1+q3=1+.答案:C7.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…),且f(1)=2,则f(101)等于( )A.49B.50C.51D.52解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.答案:D8.若数列{a n}满足a n+1=1-,且a1=2,则a2015等于( )A.-1B.2C.D.解析:∵a n+1=1-,a1=2,∴a2=1-,a3=1-2=-1,a4=1-=2.由此可见,数列{a n}的项是以3为周期重复出现的,∴a2015=a671×3+2=a2=.答案:D9.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,又数列是等差数列,则a11等于( )A.0B.C.D.-1解析:设数列{b n}的通项b n=,因为{b n}为等差数列,b3=,b7=,公差d=,∴b11=b3+(11-3)d=+8×,即得1+a11=,a11=.答案:B10.若数列{a n}是等差数列,a1>0,a2009+a2010>0,a2009·a2010<0,则使前n项和S n>0成立的最大自然数n是( )A.4017B.4018C.4019D.4020解析:由a2009+a2010>0,a2009·a2010<0及a1>0得a2009>0,a2010<0且|a2009|>|a2010|,∴S4017==4017a2009>0,S4018=>0,S4019==4019a2010<0,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.数列{a n}满足a n=4a n-1+3,a1=0,则此数列的第5项是.答案:25512.已知数列{a n}中,a n=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n项和S n=.解析:易知数列{a n}是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9.∴新数列前n项和S n=.答案:13.有三个数成等比数列,其和为21,若第三个数减去9,则它们成等差数列,这三个数分别是.解析:设三个数为a,b,c,由题意可知解得b=4,a=1,c=16或b=4,a=16,c=1.答案:16,4,1或1,4,1614.已知a n=2n-1(n∈N*),把数列{a n}的各项排成如图所示的三角数阵,记S(m,n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数,则S(10,6)对应数阵中的数是.13 57 9 1113 15 17 19……解析:设S(10,6)是数列{a n}中的第M个数,则M=1+2+3+…+9+6=+6=51,∴S(10,6)=a51=2×51-1=101.答案:10115.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+…+f(2009)+f+f+…+f=.解析:f(n)+f==1(n=2,3,4,…).又f(1)=,∴f(1)+f(2)+…+f(2009)+f+f+…+f=f(1)++…+=f(1)+2008=2008.5.答案:2008.5三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:(1)设{a n}的公差为d.由题意,=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故a n=-2n+27.(2)令S n=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而S n=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.17.(6分)数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式a n.(1)证明:由已知可得,即+1,即=1.∴数列是公差为1的等差数列.(2)解:由(1)知+(n-1)×1=n+1,∴a n=.18.(6分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n(n=1,2,3,…).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)当b n=lo(3a n+1)时,求证:数列的前n项和T n=.(1)解:由已知(n≥2),得a n+1=a n(n≥2).∴数列{a n}是以a2为首项,以为公比的等比数列.又a2=S1=a1=,∴a n=a2×(n≥2).∴a n=(2)证明:b n=lo(3a n+1)=lo=n.∴.∴T n=+…++…+=1-.19.(7分)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a1≠0,2a n-a1=S1·S n,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{na n}的前n项和.解:(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2a n-1=S n,2a n-1-1=S n-1两式相减得2a n-2a n-1=a n,即a n=2a n-1.于是数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.因此a n=2n-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1. (2)由(1)知,na n=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为B n,于是B n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②得-B n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.从而B n=1+(n-1)·2n.。

2018-2019学年人教A版数学必修5第二章数列单元综合测试题

绝密★启用前2018-2019学年人教A 版数学必修5第二章数列单元综合测试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－ 2，2，－2 2，4；③x，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ． ①② B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ①②③④ 2．数列1，－3，5，－7，…的一个通项公式为( ) A ． a n ＝2n －1 B ． a n ＝(－1)n ＋1(2n －1) C ． a n ＝(－1)n(2n －1) D ． a n ＝(－1)n(2n ＋1)3．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( ) A ． 1 B ． 2 C ．－1 D ．－24．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( ) A ． ±4 B ． 4 C ．－4 D ． 165．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ． 10 B ． 16 C ． 20 D ． 246．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 47．在等比数列中，已知a 1a 83a 15＝243，则a93a 11的值为( )A ． 3B ． 9C ． 27D ． 818．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )…○…※※…○…A ． a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ． a n ＝3·2n C ． a n ＝3n ＋1 D ． a n ＝2·3n9．数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为（）A ．2n －n －1B ．2n+1－n －2C ．2nD ．2n+1－n10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=−2018,S 20182018−S 20162016=2，则a 2＝( )A ．－2 016B ．－2 018C ． 2 018D ． 2 01611．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ． 1B ．－1C ．D ． 212．设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，有S 2n ＜3S n ，则q 的取值范围是（）A ． (0,1]B ． (0,2)C ． [1,2)D ． (0， 2)……○______班……○第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13． 2＋1与 2－1的等比中项是________．14．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________．15．在等差数列{a n }中，a 3＝－12，a 3，a 7，a 10成等比数列，则公差d 等于________． 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一次可使杂质含量减少13，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 三、解答题17．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81．（1）求a n ；（2）设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，b n ＝a n －30， (1)求通项公式a n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．19．购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)20．（13分）已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝（a n ＋1）2．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n {b n }的前n 项和为T n21．（2014•长安区校级三模）设数列{a n }的前n 项和为Sn ，且S n =4a n ﹣p ，其中p 是不为零的常数．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n+1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，求数列{b n }的通项公式．22．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n +12＝S n ＋1＋S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =a 2n −1⋅2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案1．C【解析】【分析】根据等比数列定义判断即可.【详解】由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，属于容易题.2．B【解析】【分析】根据所给前几项，找到规律写出通项公式即可【详解】1，3，5，7，…是奇数列，通项公式a n＝2n－1，又因为偶数项为负，奇数项为正，故所求通项公式a n＝(－1)n＋1(2n－1)．【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，属于容易题.3．B【解析】【分析】利用等差数列性质可求a5，利用相邻两项的差即可求出.【详解】因为{a n}为等差数列，所以a2＋a8＝2a5＝16，解得a5＝8.所以d＝a5－a4＝8－6＝2.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的定义，属于中档题.4．B【解析】【分析】根据等比中项的性质即可求出.因为a 9是a 3和a 15的等比中项，又在等比数列中奇数项的符号相同，所以a 9＝ a 3a 15＝4. 【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项的性质，属于中档题. 5．C 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式，即可求出. 【详解】因为S 3＝3a 1＋3×22d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝4a 1＋4×32d ＝20.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 6．B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7⇒d ＝27．B 【解析】【分析】根据等比中项的性质求出a 8，再根据等比中项性质，化简a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82即可.【详解】因为a 1a 15＝a 82，所以a 85＝243＝35，所以a 8＝3，所以a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82＝9.【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项性质的灵活运用，属于中档题. 8．D 【解析】【分析】根据题意可得s n −1=32a n −3，两式相减即可得a nan −1=3，可证明数列为等比数列，从而写出【详解】由a n ＝S n －S n －1＝(32a n －3)－(32a n －1－3)(n≥2)，得a n a n −1=3，又a 1＝6，所以{a n }是以a 1＝6，q ＝3的等比数列，所以a n ＝2·3n. 【点睛】本题主要考查了根据递推关系求数列的通项公式，，属于中档题. 9．B【解析】因为根据题意可知，1+2+22+…+2n －1和等比数列的和，利用等比数列和等差数列的前n 项和得到和式为2n+1－n －2，选B. 10．A 【解析】【分析】根据题意可知{S nn }为等差数列，从而可写出通项，求出s22，求出a 2.【详解】因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以{Sn n }为等差数列，且首项为－2 018.又因为S 20182018−S 20162016=2，所以公差为1，所以s22＝－2 018＋1＝－2 017.所以S 2＝a 1＋a 2＝－2017×2.即a 2＝－2 016. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式及前n 项和的概念，属于中档题. 11．D 【解析】【分析】由题意可知a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ)，根据{a n －1}是等比数列从而求出结果. 【详解】由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ).由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.本题主要考查了等比数列的定义，及递推关系，属于中档题.12．A【解析】若q=1,则S2n=2na1<3na1=3S n,所以q=1符合要求;当q≠1时,<,若q>1,则可得q2n-3q n+2<0,即(q n-1)(q n-2)<0,即1<q n<2,而q>1不可能对任意n值都有q n<2,所以q>1不符合要求;当0<q<1时,可得(q n-1)(q n-2)>0,即q n<1,由于0<q<1,所以对任意n值都有q n<1,所以q<1符合要求.综合可得q的取值范围是(0,1].13．±1【解析】【分析】根据等比数列的等比中项即可求解.【详解】2＋1与2－1的等比中项是±(2+1)(2−1)=±1.【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.14．2n−1【解析】【分析】设公差为d，由a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入方程即可求出d，写出通项公式.【详解】设公差为d，则a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入a3＝a22－4得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝2或d＝－2(舍去)，所以a n＝2n－1.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于容易题.15．0或34【解析】【分析】根据等差数列通项知，a7＝a3＋4d，a10＝a3＋7d，再根据a3，a7，a10成等比数列即可求出d.由{a n }为等差数列，得a 7＝a 3＋4d ，a 10＝a 3＋7d ，又a 3，a 7，a 10成等比数列，所以a 72＝a 3a 10，即(a 3＋4d)2＝a 3(a 3＋7d)，整理后，得12d ＝16d 2，解得d ＝0或d ＝34. 【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，等差数列的通项公式，属于中档题. 16．8 【解析】【分析】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n，建立不等式，求解即可.【详解】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n.要使n 次过滤后杂质含量不超过0.1%，则2%×（23）na×100%≤0.1%，即（23）n≤120，n≥1+lg 2lg 3−lg 2=1+0.30100.4771−0.3010≈7.387 8，所以至少应过滤8次．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，指数不等式的解法，属于中档题.17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）因为是等比数列，所以可由得出关于首项和公比的方程组，解出和的值，进而得到的通项；（2）由可得的通项，再由等差数列的前项和公式求出．试题解析：（1）设的公比为，依题意得，解得因此，．（2）因为，所以数列的前项和=考点：1、等差数列的通项；2、等差数列前项和．视频18．(1)a n =4n −2 ；（2）−225.【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式，解方程组即可（2）分析数列的项符号的变化，知其所有负数项的和最小.【详解】(1)由a3＝10，S6＝72，得a1+2d=10,6a1+15d=72,解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题.19．439元【解析】【分析】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元，依次写出其余各期付款所生利息之和，求各期付款连同利息之和等于所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812即可求出.【详解】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元；第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)10元；…第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)元；第十二期付款已没有利息问题，即为x元．所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)＝x.又所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812，于是有x ＝5 000×1.00812，所以x≈439元．答：每期应付款约439元．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，以及数列在实际问题中的应用，属于难题.20．（1）12-=n a n ；（2 【解析】试题分析：（1）属于常规的已知数列的前n 项和，求通项的问题，借助于⎩⎨⎧-=-11n n n s s s a 21≥=n n ，具体步骤，当1=n 时，1`1s a =求首项，当2≥n 时，令1-=n n ，然后两式相减，得到递推公式，d a a n n =--1常数，所以数列是等差数列，写通项．（2）根据上一问，求数列{}n b 的通项，取得采用裂项相消法求和．所以利用的公式试题解析：（1）因为（a n ＋1）2＝4S n ，所以S nSn ＋1所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1即4a n ＋1＝n n a a212-+＋2a n ＋1－2a n ，∴2（a n ＋1＋a n ）＝（a n ＋1＋a n ）（a n ＋1－a n ）．（4分）因为a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由（a 1＋1）2＝4a 1，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1．（6分）（2）由（1）知b n∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n考点：1．已知n s 求n a ；2．裂项相消法求和． 21．（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）通过S n =4a n ﹣p ，利用a n =S n ﹣S n ﹣1，求出，利用等比数列的定义证明数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n +1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，推出，利用b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）++（b n ﹣b n ﹣1），求数列{b n }的通项公式．证明：（1）证：因为S n =4a n ﹣p （n ∈N *），则S n ﹣1=4a n ﹣1﹣p （n ∈N *，n≥2），所以当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=4a n ﹣4a n ﹣1，整理得．由S n =4a n ﹣p ，令n=1，得a 1=4a 1﹣p ，解得．所以a n 是首项为，公比为的等比数列．（2）解：因为a 1=1，则，由b n+1=a n +b n （n=1，2，），得，当n≥2时，由累加得b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1）=，当n=1时，上式也成立．考点：数列递推式；等比关系的确定．22．(1)a n=n(n∈N+)；（2）T n=(2n−3)⋅2n+1+6.【解析】【分析】（1）a＝S n＋1＋S n①，当n≥2时，a＝S n＋S n－1②，①－②得a－a＝a n＋1＋a n可推出a n＋1－a n＝1，即可求解（2）利用错位相减法求和即可.【详解】(1)因为a＝S n＋1＋S n，①所以当n≥2时，a＝S n＋S n－1，②①－②得a－a＝a n＋1＋a n，即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)＝a n＋1＋a n，因为a n>0，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}从第二项起，是公差为1的等差数列．由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，所以当n≥2时，a n＝2＋(n－2)×1，即a n＝n.③又因为a1＝1也满足③式，所以a n＝n(n∈N*)．(2)由(1)得b n=a2n−1⋅2a n＝(2n－1)·2n，T n＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④2T n＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤④－⑤得－T n＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，所以－T n＝2＋23(1−2n−1)1−2－(2n－1)·2n＋1，故T n＝(2n－3)·2n＋1＋6.【点睛】本题主要考查了数列前n项和S n与a n的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.。

2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷(二)新人教A版必修5

数列（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（）A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a 等于（）A ．70B ．28C ．20D ．84．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（）A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则611aa 等于（）A ．6B ．23C ．16 D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞ 7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（） A ．65 B ．65- C ．25 D ．25- 8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（） A ．21S B ．20S C ．11S D ．10S 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（） A ．13 B ．13- C ．12 D ．12- 10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 11．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （） A ．14 m B ．15 m C ．16 m D ．17 m 12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（） A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大． 16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=，则101102200()lg x x x +++=________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知数列{}n a是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a，2a，6a．（1）求数列{}n a的通项公式n a；（2）若1285 kb b b+++=，求正整数k的值．18．（12分）等差数列{}n a中，24a=，4715a a+=．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设22n nb a n=-+，求12310b b b b++++的值．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b Sn c =+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）2462n a a a a ++++的值．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（二）答案一、选择题1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．2．【答案】B【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>，∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ．3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ．4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =．又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=， ∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ．5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴45932aa q ==，又6151123a q a ==．故选B ．6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==．∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ．7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =，∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠．又∵()3311131a q S q -==-，231a a q =，解得13q =． ∴3333133n n n n a a q --⎛⎫= ⎪⎝⎭==－，∴3log 3n n b a n ==-． ∴12b =，107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ． 8．【答案】B 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=，所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <，所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】1116a S x ==-， 221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =．故选C ． 10．【答案】A 【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ．解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴227D =， ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ． 11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ．12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-，∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴31682q ==--，∴2q =-．又451a a q =，∴121168a -==-，∴()()666111212181128S a q q ⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．②联立①②两式得11a =-，2d =，故91818215a a d =-+⨯==+．15．【答案】8【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >， ∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102 【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列，所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅，故101102200l (g )102x x x ++=+．三、解答题 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．【答案】（1）32n a n =-；（2）4．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=．（2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =， ∴正整数k 的值为4． 18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1)2(1n a a n d n -=++=．（2）由（1）可得2n n b n =+．∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c =+，求非零常数c ．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-．【解析】（1）{}n a 为等差数列，∵342522a a a a +=+=，又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根．又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =．∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩，∴43n a n =-．（2）由（1）知，()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=， ∴22n n S n c n c n n b ==-++， ∴111b c =+，262b c =+，3153b c =+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-(0c =舍去)． 20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）2462n a a a a ++++的值．【答案】（1）21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －， ∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥． 11111333a S ==，211433a a =≠． ∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列， ∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列， ∴24621161393161167919n n n a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+． 21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)nn S n -=+，*n ∈N ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=．又因为0q >，解得2q =，2d =．所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－，设{}n c 的前n 项和为n S ，则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++，123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+，两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=．所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底．【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ，由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==，令2252254750n n +≥，即291900n n -≥+，解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥．故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2．（2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ．由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=，令0.85n n a b >，即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =．故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．。

2018-2019年高中数学新课标人教A版《必修五》《第二章 数列》综合测试试卷【1】含答案考点及解

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