第二章 第4讲 函数的单调性与最值

【互动探究】 3．求下列函数的值域：
3x＋2 3x2－1 (1)y＝ ； (2)y＝－x2＋x＋2； (3)y＝ 2 . 5－4x x ＋2
3x＋2 1 12x＋8 解：(1)y＝ ＝ × 5－4x 4 5－4x 1 34x－5＋23 3 23 ＝4× ＝－4＋ . 5－4x 45－4x
3 ∴值域为yy≠－4
4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的 [0，＋∞) 单调减区间是______________．
5．指数函数 y＝(a－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数 a 1<a<2 的取值范围为________.
考点1 利用定义判断函数的单调性
a 例1：已知函数f(x)＝x2＋—(x≠0，a∈R)． x
常用的求值域的方法有： ①代入法：适用于定义域为有限集的函数． ②分离系数法：若函数y＝f(x)解析式中含有|x|，x2， x ， sinx，cosx等元素，又能用y表示出来，则利用这些元素的有界性 解出y的范围． ③配方法：适用于二次函数类的函数． ax＋b ④反函数法：适用于形如y＝ 类的分式函数． cx＋d ax2＋bx＋c ⑤判别式法：适用于形如y＝ 2 类的函数． mx ＋nx＋p ⑥换元法：主要处理一些根式类的函数． ⑦不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最 值． ⑧最值法：通过导数法求出最值．
(1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)若 f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数 a 的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)Fra Baidu bibliotekx2为偶函数．
当a≠0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数． a a 2 2 (2)设 x2>x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2－x 1 2
x1－x2 ＝ x x [x1x2(x1＋x2)－a]， 1 2 由 x2>x1≥2 得 x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2，＋∞)是增函数只需 f(x1)－f(x2)<0， 即 x1x2(x1＋x2)－a>0 恒成立，则 a≤16.
解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不 合题意． 当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数， 在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数． 依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0. 当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7， 所以a的取值范围是[5,7]．
1 1 解得－3≤y≤1.又 y≠1，故值域为－3，1.
4 (4)方法一：函数 y＝x＋ x 是定义域为{x|x≠0}的奇函数，故其 图象关于原点对称，故只讨论 x＞0 时的最值，即可知 x＜0 时的 最值． 4 当 x＞0 时，y＝x＋x≥2 4 x·＝4， x
等号当且仅当 x＝2 时取得． 当 x＜0 时，y≤－4，等号当且仅当 x＝－2 时取得． 综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
.
(2)y＝－x
2
12 9 ＋x＋2＝－x－2 ＋4.
9 ∴值域是－∞，4.
3x2－1 (3)由 y＝ 2 可知，x∈R 且(3－y)x2＝2y＋1， x ＋2 当 y＝3 时，显然不成立． 2y＋1 2y＋1 2 ∴y≠3，得：x ＝ .∵x ≥0，∴ ≥0. 3－y 3－y
成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值．
1．函数 y＝x2－6x 的减区间是( D ) A．(－∞，2]
C．[3，＋∞)
B．[2，＋∞)
D．(－∞，3]
2．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在实数集上是增函数，则( A )
1 A．k>－ 2 1 B．k<－ 2
C．b>0
D．b>0
3．已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为( D ) A．[－4,1] C．[－4,1]∪[0,5] B．[0,5] D．[－2,3]
x2－x 1 (3)方法一：y＝ 2 ＝1－ 2 . x －x＋1 x －x＋1 ∵x
2
12 3 1 1 1 －x＋1＝x－2 ＋4， ∴－3≤1－ 2 <1， 即－3≤y<1. x －x＋1
1 故值域为－3，1.
方法二：去分母，整理得(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0. 易知 y≠1，故上式可看作是关于 x 的二次方程． ∵x∈R，∴方程有实根．∴Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0.
1．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如函
1 数 f(x)＝ x 的单调减区间为 －∞，0 和 0，＋∞ ，而不能表述为
－∞，0∪0，＋∞.
2．并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最 小值，如 y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如 y＝x2； 1 有的函数既无最大值也无最小值，如y＝—. x
正解：由4x－x2>0 得0<x<4，又由u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4
知函数u 在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数f(x) ＝log2(4x－x2)的单调递减区间是(2,4)．故选C. 【失误与防范】易忽略 x 需满足4x－x2＞0 这个条件．
求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、 图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域， 都必须考虑函数的定义域．
f(x1)>f(x2) 如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1<x2 时，都有________，
那么就说 y ＝ f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ，I 称 为 y ＝ f(x) 的
单调减区间 ____________．
2．用导数的语言来描述函数的单调性
f′(x)>0 设函数 y＝f(x)，如果在某区间 I 上___________，那么 f(x)为
2
1 1 解得：－2≤y＜3.∴函数值域为 y∈－2，3.
易错、易混、易漏 6．求函数的单调区间时没有考虑定义域 例题：(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)＝
log2(4x－x2)的单调递减区间是( C )
A．(0,4) B．(0,2) C．(2,4) D．(2，＋∞)
方法二：任取 x1，x2，且 x1＜x2， 4 x1－x2x1x2－4 4 ∵f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x ＝ ， x1x2 2 1 ∴当 x≤－2 或 x≥2 时，f(x)递增． 当－2＜x＜0 或 0＜x＜2 时，f(x)递减． 故 x＝－2 时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4； x＝2 时，f(x)极小值＝f(2)＝4. ∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
考点2 利用导数判断函数的单调性
1 3 1 2 例 2：若函数 f(x)＝3x －2ax ＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)内为减
函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围． 解题思路：本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题 求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区 间的子区间的关系求解．
(1)利用增、减函数定义证明或判断函数的单调 性，其步骤是：设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判 符号→定结论． a (2)本题还可以利用导数求解：f′(x)＝2x－x2，要使 f(x)在区 间[2，＋∞)是增函数，只需当 x≥2 时，f′(x)≥0 恒成立，即 2x a －x2≥0，则 a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当 a≤16 时，f(x)在区 间[2，＋∞)是增函数．
考点3
函数的最值与值域
例3：求下列函数的值域：
3x＋2 (1)y＝ ； x－2 (2)y＝－x2－2x＋3 (－5≤x≤－2)； x2－x (3)y＝ 2 ； x －x＋1 4 (4)y＝x＋x.
解题思路：关于 x 的一次分式函数，可通过求关于 x 的方程 在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)， 观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于 x 的二次方
【互动探究】
1 2．(2010 年天津)设函数 f(x)＝x－x，对任意 x∈[1，＋∞)，f(mx)
m<－1 ＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_________.
1＋m2 解析： 已知 f(x)为增函数且 m≠0， 所以 2mx2＜ m .显然 m>0 1 时不符合题意．则 m<0，即有 1＋m2<2x2.因为 y＝2x2 在 x∈[1， 1 ＋∞)上的最小值为 2，所以 1＋m2＜2，即 m2>1，解得 m<－1.
B 程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋ x２－x＋1 (A，
B 是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数
或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别式求函数的值域．
3x＋2 3x－6＋8 8 解析：(1)方法一：y＝ ＝ ＝3＋ ， x－2 x－2 x－2 8 由于 ≠0，∴y≠3. x－2 3x＋2 ∴函数 y＝ 的值域是{y|y∈R 且 y≠3}． x－2 3x＋2 2y＋1 方法二：由 y＝ ，得 x＝ .∴y≠3. x－2 y－3 (2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]， ∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)． ∴当 x＝－5 时，ymin＝－12.当 x＝－2 时，ymax＝3. ∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
第4讲
函数的单调性与最值
考纲要求
考纲研读 利用函数单调性、图象等方法求
1.会求一些简单函数的值域． 最小值及其几何意义.
一些简单函数的值域或最值；或
2．理解函数的单调性、最大值、以最值为载体求参数的范围，并
能解决实际生活中的一些优化
问题.
1．函数的单调性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于区间 I 内 f(x1)<f(x2) 的任意两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有__________，那么就说 y 单调增区间 ＝f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f(x)的______________；
f′(x)<0 区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上____________，那么 f(x)为
区间 I 上的减函数． 3．函数的最大(小)值 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0∈A，使得对于
f(x)≤f(x0) 任意 x∈A，有____________恒成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大 f(x)≥f(x0) 值；如果存在定值 x0∈A，使得对于任意 x∈A，有___________恒
【互动探究】 1．试用函数单调性的定义判断函数 f(x)＝ 2x 在区间(0,1)上 x－1
的单调性．
解：任取 x1，x2∈(0,1)，且 x1<x2. 2x2－x1 2x1 2x2 则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ . x1－1 x2－1 x1－1x2－1 由于 0<x1<x2<1，x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0， 故 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 2x 所以，函数 f(x)＝ 在(0,1)上是减函数． x－1