梯形的辅助线[上学期]--江苏教育版-
八年级春季班-12-梯形及中位线-教师版
初二数学春季班（教师版）梯形及中位线内容分析本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．知识结构模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形． 【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等． 等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等． 另外：等腰梯形是轴对称图形； 【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． 等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．【例1】 （1）在周长为30cm 的梯形ABCD 中，上底CD =5cm ，DE ∥BC 交AB 于点E ，则△ADE 的周长为___________cm ；（2）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACB =90°，且AC 平分∠BAD ，∠D =120°，CD =3cm ，则梯形的周长是_________cm ． 【难度】★【答案】（1）20 ； （2）15． 【解析】（1）∵DE //BC ，CD //EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴EB =CD =5，BC =DE ，∴ C △ADE = AD +DE +AE = AD +BC +AE = AD +BC +AB -EB = AD +BC +AB -CD =AD +BC +AB +CD -2CD = 30-10 = 20； （2）∵∠D =120°，∴∠DAB =60°， ∴∠DAC =∠CAB =30°，∴∠B =60°∴BC =AD =CD =3，AB =2BC =6∴C 梯形ABCD = AD +CD +CB +AB = 3+3+3+6 = 15． 【总结】本题考查利用等腰梯形的性质求梯形的周长．例题解析A BC DEDCB AEDCBA【例2】 直角梯形一腰长为12cm ，这条腰和一个底边所成的角为60°，则另一腰长为 ___________cm ，若上底为3cm ，则梯形的面积为__________． 【难度】★【答案】2cm ．【解析】设直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠C =60°，CD =12，作DE ⊥BC 于点E ，得矩形ABED ，则AD =BE =3，∵∠C =60°，∴∠CDE =30°，∴CE =12CD =6，DE =AB=，∴S =12（AD +BC ）×AB=2cm ． 【总结】本题考查梯形性质与面积公式的综合运用．【例3】 （1）等腰梯形的两底之差为12cm ，高为6cm ，则其锐角为________；（2）等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是_________． 【难度】★【答案】（1）45°；（2）120．【解析】（1）设等腰梯形ABCD ，AD =BC ，AB //CD ，AB ＜CD作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，在矩形ABFE 中，AB =EF∵CD -AB =12，∴CD -EF =DE +CF =12．∵等腰梯形ABCD ，∴DE =CF =6． 又∵AE =BF =6，∴等腰直角△ADE 中，∠D =45°； （2）如图所示，过点A 作AE ⊥BC 于点E ， 由题知，AD =10，BC =20，AC =17． 由等腰梯形性质结合全等性质，易得52BC ADBE -==， ∴CE =15，∴8AE ==，∴11()(1020)812022S AD BC AE =⨯+⨯=⨯+⨯=．【总结】本题考查梯形常见辅助线的添加及应用．【例4】 等腰梯形的高是腰长的一半，则其中的一个底角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【难度】★★ 【答案】A【解析】设等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，作AE ⊥CD∵12AE AD ，∴∠D =30°，故选A ．【总结】本题考查梯形性质与直角三角形性质的综合运用．【例5】 如右图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，有下列四个结论：（1）AC =BD ；（2）梯形ABCD 是轴对称图形；（3）∠ADB =∠DAC ； （4）△AOD ≌△ABO ．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）错误，故正确的有三个，选C ． 【总结】本题考查等腰梯形性质的运用．【例6】 下列图形中，两条对角线一定不相等的是（） A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．直角梯形【难度】★★ 【答案】D【解析】正方形，矩形，等腰梯形的对角线都相等． 【总结】本题考查几种特殊四边形对角线性质．【例7】 下列四边形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．梯形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．矩形【难度】★★ 【答案】D【解析】B 中等腰梯形是轴对称图形；C 中平行四边形是中心对称图形； D 中矩形既是轴对称图形又是中心对称．【总结】本题考查几何图形的对称性，要熟知每一个图形的性质．ABCDO【例8】 如右图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积． 【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ． 设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ， ∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6． 作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE= ∴S =12（AD +BC ）AE=2cm ． 【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．【例9】 如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长． 【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．ABCDOEABCEF G【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30° ∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90° ∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6 在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12 作AE ⊥BC ，则AE=∴S 梯ABCD=1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．【例11】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ． 求证：AB =DC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用．ABDCEABDCE【例12】 如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD相交于点O ，∠1=∠2． 求证：梯形BDEC 是等腰梯形． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ， 又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形 【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．【例13】 如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由． 【难度】★★【答案】（1）x =5； （2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形 即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F ∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形， 即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．ABDCEO 12【例14】 如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S=时x 的值． 【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4．【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S=时x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．【例15】 已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-． 【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．EA B DF【例16】 如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域； （2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）9(39)y x x =-+≤≤； （2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4， 可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴9(39)y x x =-+≤≤；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18． 因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤． 当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组918x y xy +=⎧⎨=⎩，解得：36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍）；可得方程组92217x y x y +=⎧⎨+=⎩，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．QP DCBA解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直 的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．【例17】 如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB AD CD ===，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23 【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，AE BC ⊥， ∴2132523BC AD BE =+=+⨯=， 故选D ． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．模块二：辅助线知识精讲例题解析 A BCDE【例18】 已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长． 【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8． 【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．【例19】 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A ．2b a +B ．3b a +C ．2b a -D ．3b a -【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-， 故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．【例20】 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt △BDE 中，∠DBC =30°，∴∠BCD =∠BDC =75°∴∠DOC =∠DBC +∠ACB =75°，∴∠CDO =∠COD =75°， ∴CD =CO ．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．ABCDEG ABCDFHOABCDEF【例21】 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥，若两底长分别为a b 、，试列出这个梯形的面积S 用a b 、表示的等式．【难度】★★【答案】21()4a b +．【解析】过点D 作DE //AC 交BC 延长线于点E ， 则可得平行四边形ADEC ．∵等腰梯形ABCD 中，AC =BD ， ∴△BDE 是等腰三角形， ∴BE =BC +CE =BC +AD =a +b ．过D 作DF ⊥BC 于点F ，等腰直角△DBE 中，DF =11()22BE a b =+，∴BDE ABCD S S ∆=梯形=211()24BE DF a b ⋅=+．【总结】本题考查梯形辅助线的作法，通过平移对角线将等腰梯形转化为等腰三角形的问题．【例22】 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BOC =60°，AC =10cm ，求梯形的高DE 的长． 【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD 中，∵OB =OC ，∠BOC =60°，可得等边△OCB ， ∴∠DBC =∠ACB =60°∵AC =BD =10，∴在直角△BDE 中，BE =152BD =，∴DE =．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．ABCDEO EF【例23】 如图，在梯形ABCD 中，()0//9012AD BC BC AD D BC CD >∠===，，，045ABE ∠=，若AE =10，则CE =__________．【难度】★★★ 【答案】4或6．【解析】过点B 作DA 的垂线交DA 延长线于M ，M 为垂足,延长DM 到G ，使得MG =CE ，联结BG ， 可得四边形BCDM 是正方形．∴BC =BM ，∠C =∠BMG =90°，EC =GM ， ∴△BEC ≌△BMG ， ∴∠MBG =∠CBE ∵∠ABE =45°，∴∠CBE +∠ABM =45°，∴∠GBM +∠ABM =45°， ∴∠ABE =∠ABG =45°，∴△ABE ≌△ABG ，AG =AE =10设CE =x ，则AM =10-x ，∴AD =12-（10-x ）=2+x ，DE =12-x ． 在Rt △ADE 中，由AE 2=AD 2+DE 2，解得：x =4或x =6． 故CE 的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．模块三：中位线知识精讲A BCD E MG【例24】 （1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是； （3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是； （4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是； （5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是； （7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是． 【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形； （6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形． 【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．【例25】 （1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，DEF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为． 【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ， 且2223+45=， ∴可知△ABC 是直角三角形，∴168242S =⨯⨯=2cm ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例题解析【例26】 如图，ABC 中，B ∠，C ∠的平分线BE ，CF 相交于点O ，AG BE ⊥于点G ，AH CF ⊥于点H ．（1）求证：//GH BC ；（2）若9AB =厘米，14AC =厘米，18BC =厘米， 求GH 的长． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2.5cm ．【解析】（1）分别延长AH ，AG 交BC 于M ，N 两点∵CH 是角平分线，CH ⊥AM∴可得△ACM 是等腰三角形，同理△ABN 也是等腰三角形． ∴H 、G 分别是AM 、AN 边上的中点， ∴GH //BC ；（2）由（1）得CA =CM =14cm ，BA =BN =9cm∴MN =CM +BN -BC =14+9-18=5， ∴GH =1522MN =， 即GH =2.5cm ．【总结】本题考查了等腰三角形的性质，与三角形的中位线定理的综合运用，注意通过添加辅助线得到等腰三角形是本题的关键．【例27】 如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥，点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ． 【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点． ∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形； （2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ．又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ．∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．HGOF ECBA MNABC D EFG【例28】 如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ，∴AC =OA +OC =1()2AD BC +．∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．【总结】本题考查梯形中位线的性质和直角三角形中性质的综合运用．【例29】 如图所示，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交OB 于点F ，求证：CE =2OF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AE 的中点G ，联结OG∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， ∴OG //CE ，CE =2OG∴∠AOG =∠ACB =45°，∠GOB =∠OBC =45°． ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE =22.5°，∴∠EGO =∠EAC +∠AOG =22.5°+45°=67.5°， ∴△OFG 中，∠OFG =180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠OFG =∠EGO ， ∴OG =OF ， ∴CE =2OF ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用，注意利用角度得到等腰三角形．ABCD MN OABCDEF OG【例30】 如图所示，在四边形ABCD 中，CD AB >，E 、F 分别是AC 、BD 的中点．求证：1()2EF CD AB ≥-． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AD 中点G ，联结EG ，FG∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴12EG CD =，12FG AB =．∵CD ＞AB ，∴EG ＞FG ．在△EFG 中，EF ＞EG -FG =1()2CD AB -，当AB //CD 时，F 、E 、G 三点共线，1()2EF CD AB =-，∴1()2EF CD AB ≥-．【总结】本题考查三角形中位线定理和三角形三边关系的综合运用．【例31】 如图1所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作AF BD ⊥，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证1()2FG AB BC AC =++．（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． 【难度】★★★【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-（2）1()2FG BC AC AB =+-．【解析】（1）图2中，分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K ，易证△BAF 与△BKF 全等．∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC ，∴FG =12HK又∵HK =BK -BH =AB +AC -BC ，∴1()2FG AB AC BC =+-；A BCDEFGC（2）图3中，分别延长AG 、AF 交BC 或延长线于H 、K易证△BAF 与△BKF 全等∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC∴FG =12HK又∵HK =BH -BK =BC +AC -AB∴1()2FG BC AC AB =+-．【总结】本题考查直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线性质以及全等三角形的判定等知识点的综合运用．【例32】 如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A ．2S +6S =4SB ．1S +7S =4SC ．2S +3S =4SD ．1S +6S =4S【难度】★★★ 【答案】B【解析】过A 作AE ⊥DC 于点E ，过M 作MH ⊥DC 于H ， 过点B 作BQ ⊥CD 于Q ， 则AE //MH //BQ ．∵M 是AB 中点，∴H 是EQ 中点，即MH 是梯形AEQB 的中位线，∴2MH =AE +BQ∵34612MDC S S S S DC MH ∆++==⨯⨯，6712BNC S S S NC BQ ∆+==⨯⨯，1312ADN S S S DN AE ∆+==⨯⨯，又DN =CN∴76131122S S S S NC BQ ND AE +++=⨯⨯+⨯⨯1()2DN AE BQ =⨯+11222DN MH DN MH CD MH =⨯=⨯=⨯∴7613346S S S S S S S +++=++， ∴174S S S +=．【总结】本题考查面积与等积变换的应用，主要考查学生的计算和推理能力．【例33】 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，延长AD 、BC ，分别交FE 的延长线于点H 、G ；求证：AHF BGF ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】联结AC ，取AC 中点M ，联结EM 、FM∵E 是CD 的中点，M 是AC 中点∴EM =12AD ，EM //AD∵M 是AC 的中点，F 是AB 的中点∴MF //BC ，MF =12BC∵AD =BC ，∴EM =MF ， ∴∠MEF =∠MFE ∵EM //AH ，∴∠MEF =∠AHF ， ∵FM //BG ，∴∠MFE =∠BGF ． ∴∠AHF =∠BGF【总结】解题此题的关键是掌握分析题中的各种信息条件，此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．【习题1】 有两个角相等的梯形是（）A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．一般梯形D ．直角梯形或等腰梯形 【难度】★ 【答案】D【解析】如果两个相等的角是同一底上，则梯形是等腰梯形， 如果两个相等的角是同旁内角，则梯形是直角梯形． 【总结】本题考查等腰梯形判定方法和梯形性质．随堂检测M【习题2】下列命题中，真命题是（）A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形【难度】★【答案】B【解析】等腰梯形两条对角线相等，可以用三角形中位线性质给予证明．【总结】本题考查中位线性质和菱形判定方法．【习题3】已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是( ) A．78°或120°B．102°或60°C．120°或78°D．60°或120°【难度】★【答案】B【解析】另外两个内角分别是180°-78°=102°，180°-120°=60°．【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题4】下列命题，错误命题的个数是( )①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】B【解析】③、④错误．【总结】本题考查等腰梯形性质，根据四边形以及梯形的性质举例得出是本题解题关键．【习题5】 如图，在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，且AD AB ⊥，4AD =，6AB =．求AC 的长．【难度】★★【答案】AC =10． 【解析】∵D 、E 分别是中点，∴DE 是△ABC 的中位线∴DE //AB ，12DE AB ==3，∠ADE =90°， ∴AE =5， ∴AC =10．【总结】本题考查中位线性质的运用．【习题6】 等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数． 【难度】★★【答案】60°、60°或120°、120°．【解析】设四边形ABCD 是等腰梯形，其中AB //CD ，AD =BC ，DC -AB =AD ， 过点A 作AE //BC 交CD 于点E ，可得平行四边形ABCE ．∴AB =CE ，AE =BC ， ∴AD =BC =AE =CD -AB =DE ， ∴△ADE 是等边三角形， ∴∠D =60°， ∴梯形的底角度数为60°、60°或120°、120°．【总结】本题考查等腰梯形性质与等边三角形性质的综合运用．【习题7】 如图，四边形ABCD 中，AD 不平行BC ，现给出三个条件：①CAB DBA ∠=∠，②AC BD =，③AD BC =．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出ABCD 是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）． 【难度】★★ 【答案】①②或②③．【解析】由①②或②③均可证明△ADB ≌△BCA ．过点D 作DE //BC 交AB 于点E∴∠DAB =∠CBA =∠DEA ，∴AD =DE =BC又DE //BC ，∴四边形DEBC 是平行四边形，∴CD //AB ∵AD 不平行BC ，∴四边形ABCD 是梯形 ∵AD =BC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形【总结】本题主要考查等腰梯形的判定方法，涉及等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解题关键．AB CD EBD CAE【习题8】 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点，5AB =，7CD =．求四边形EFGH 的周长． 【难度】★★ 【答案】12【解析】∵E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点， AB =5，CD =7， ∴EF //AB ，GH //AB ，EH //CD ，FG //CD∴EF =2.5，EH =3.5，∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴四边形EFGH 的周长=2（EF +EH ）=12．【总结】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题9】 在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =4，AD =4，CD=B =60°，∠C =30°，E 为AB 上一个动点(与A 、B 不重合)，EF //CD ，交BC 于点F ，联结DE 、CE ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）设BE =x ，四边形CDEF 的面积为y ，求出y 与x 的函数解析式；（3）是否存在这样的点E ，使四边形CDEF 的面积为梯形ABCD 面积的三分之二． 【难度】★★★【答案】（1）；（2）y =++；（3）BE． 【解析】（1）分别过点A 、D 作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，可得：BG =2，GH =4，CH =6，AG =DH=CD=∴1()2ABCD S AD BC AG =+=梯形（2）∵EF //CD ， ∴∠EFB =∠DCB =30°，∵∠B =60°，∴∠BEF =90°． ∴BF =2x ，EF，BEFS ∆= △ADE 中，AE =4-x ，AD =4，作DK ⊥BA 交BA 延长线于K ， ∵∠BAD =120°，∴DK=∴ADE S ∆=， ∴y =ABCD ADEBEF S S S ∆∆--==+（3）由题意，得：23+=⨯解得：x（舍负）， ∴BE． 【总结】本题考查梯形的综合解题，考查知识点较多运用数形结合，分类讨论是解题关键．HFE DCBA GA BCDE F H【习题10】 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27?（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】（1）344y x =+； （2）167t =； （3）7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【解析】（1）设BC 解析式为y =kx +b ，代入B （8，10），C （0，4），解得直线BC 的解析式为：344y x =+；（2）∵D 是线段BC 中点，∴D （4，7）．∵27OPDC COAB S S =四边形梯形， ∴1121744(104)82272t ⨯+⨯⨯=+⨯⨯，解得：167t =；（3）当P 点在OA 上时，S =17722tt ⨯⨯=(08)t <≤；当P 在AB 上时，OPA BPD OCD COAB S S S S S ∆∆∆=---梯形=1111(410)8448(8)(18)4244(818)2222t t t t +⨯-⨯⨯-⨯⨯---⨯=-+<≤； 当P 在BD 上时，S =OCD OPA ABP COAB S S S S ∆∆∆---梯形=818455t -+（18＜t ＜23）； 当P 在OD 上时，S =0，（舍） ∴7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【总结】本题综合性较强，考查中位线性质与一次函数的综合运用，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．【作业1】能识别四边形ABCD是等腰梯形的条件是（）A．AD//BC，AB=CD B．∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3:2C．AD//BC，AD≠BC，AB=CDD．∠A+∠B=180°，AD=BC【难度】★【答案】C【解析】只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形．【总结】本题考查等腰梯形判定方法．【作业2】（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，下底BC为8cm，上底AD为6cm，∠ADB=60°，那么AC的长为__________；（2）已知梯形的中位线长为9厘米，上底长是下底长的一半，那么下底的长是__________厘米．【难度】★【答案】（1）cm；（2）12．【解析】（1）在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴BA=在Rt△ABC中，AC（2）设上底为x，下底为y，则有9212x yx y+=⨯⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：y=12，∴下底为12厘米．【总结】本题考查梯形性质与中位线定理的综合运用．【作业3】若梯形中位线被它的两条对角线分成三等份，则梯形的两底之比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5【难度】★【答案】A【解析】设梯形ABCD中，AB//CD，AD和BC的中点分别是E、F，AC，BD分别交EF于点H，G，易证AB=2EG，CD=2GF．∵EG=GH=HF，∴GF=2EG，∴CD=2AB．【总结】本题考查梯形中位线的性质的运用．课后作业【作业4】 如图所示，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．abB ．12abC ．14ab D ．2ab【难度】★★ 【答案】B【解析】∵EF 是梯形中位线，∴E 是AB 中点，∴AE =BE =12b∴1111122222DEC DEF EFC S S S S a b a b ab ∆∆∆==+=⋅+⋅=阴．【总结】本题考查梯形中位线定义，性质及面积公式的综合运用．【作业5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★ 【答案】B【解析】①③正确，②④错误，故选B ． 【总结】本题考查梯形中位线的运用．∵BC =BA ，∴∠BCA =∠BAC ，∴∠DCA =∠BCA 可证△ADC ≌△AEC ，∴CD =CE =4，BE =16， ∴AE =AD =12；（2）S =1()1442AD CD AB +=．【总结】本题考查全等三角形判定方法，勾股定理及梯形面积公式的综合运用．A BE A BCDEF。
8下梯形中常见辅助线
8下梯形中常见辅助线本文将介绍在8下梯形中常见的辅助线。
平行线在8下梯形中，常见的辅助线是平行线。
平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
在梯形中，有以下两组平行线：- 上底和下底：上底和下底是平行的，它们在梯形的上下方分别连接两侧的顶点。
- 两斜边：两斜边是平行的，它们在梯形的两侧连接两个顶点。
这些平行线有助于我们在解答梯形相关的问题时，理解各线段之间的关系，并推导出有用的结论。
等腰梯形的辅助线等腰梯形是指具有两条等长边的梯形。
在等腰梯形中，常见的辅助线是中线。
中线是连接梯形的两个上底顶点与两个下底顶点的线段。
中线满足以下特点：- 中线与上底、下底平行。
- 中线的长度等于上底和下底长度之和的一半。
通过画出中线，我们可以将等腰梯形分成两个等腰三角形。
这样可以帮助我们推导出等腰梯形的性质和解决相关问题。
高线高线是指从梯形的一个顶点到与底边平行的另一条边上的垂直线段。
在梯形中，通过画出高线，我们可以将梯形分割成两个直角三角形。
高线满足以下特点：- 高线与底边垂直。
- 高线与另一条边上的线段平行。
通过计算和利用等腰三角形的性质，我们可以利用高线解决梯形相关的问题。
总结在8下梯形中，常见的辅助线包括平行线、中线和高线。
这些辅助线有助于我们理解梯形各线段之间的关系，并且可以帮助我们解决相关的问题。
在解题时，我们应合理利用这些辅助线，推导出有用的结论和解决方案。
请注意，在实际问题中，可能存在其他类型的辅助线，具体问题具体分析。
2019-2020学年八年级数学上学期期末复习《梯形、等腰梯形》 苏科版
2019-2020学年八年级数学上学期期末复习《梯形、等腰梯形》 苏科版一、知识点：1． 梯形的有关概念：2． 梯形中的常用辅助线的添法：3． 等腰梯形的性质：①等腰梯形的两腰 ；两底 。
②等腰梯形同一底上的 相等。
③等腰梯形的 相等。
4．等腰梯形的判定：① 相等的梯形是等腰梯形。
② 两个角相等的梯形是等腰梯形。
③ 相等的梯形是等腰梯形。
二、基础训练：1．下列结论正确的是( )A ．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类B ．四边形可以分成平行四边形和梯形两类C ．平行四边形是梯形的特殊形式D ．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式2、已知等腰梯形的一个底角等于600，它的两底分别为13cm 和37cm ，它的周长为_______； 3．等腰梯形ABCD 对角线交于O 点，∠BOC ＝120°，∠BDC＝80°，则∠DAB＝ ． 4．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，BC ＝5， AD ＝3，则CD ＝____．5、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = AD ，BD = BC ，则∠C= 0。
三、例题讲解 1、已知，如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°， AD=2，BC=8.求梯形两腰AB 、CD 的长.2、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ． 试说明：AO ＝DO ．3、如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，∠D =90o，AD =DC =4，AB =1，F 为AD 的中点， 求点F 到BC 的距离。
C AD CBA B CDD A CBA 'D CA BO第1题图DEPBA第3题图C4、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，AD =，BC =DC 的长．5、如图，在等腰梯形A BCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，M 为BC 中点，则： (1)点M 到两腰AB 、CD 的距离相等吗?请说出你的理由。
(教师版)小学奥数4-3-4 任意四边形、梯形与相似模型(二).专项检测题及答案解析
板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 1】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==⨯，所以1a =；那么211S a ==，42S a b =⨯=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根据梯形蝴蝶定理，()()22129S a b =+=+=．【答案】9【巩固】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．例题精讲任意四边形、梯形与相似模型3525OABCD【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab ==，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===，所以49DOC S =(平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．【答案】144【巩固】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。
已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。
九年级数学上册 第一章 图形与证明(二) 1-4 等腰梯形的性质和判定教案 苏科版
课 题：第一章图形 等腰梯形的性质和判定教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
教学重点：等腰梯形的性质和判定。
教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境：我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探索得到等腰梯形的性质和判定。
现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。
新知探索： 一、引人新课：1、_______________________________的图形叫做等腰梯形?2、____________相等的_______________叫做等腰梯形;3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等;二、等腰梯形的判定：1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、2、定理的证明：已知： 求证：分析：本题可以从以下的三个角度着手证明（附三种方法的图形）。
证法一：证法二：证法三：3、定理的书写格式：如图，∵______________________________∴______________________________三、等腰梯形的性质：定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
四、典型示例：EDCB ADCBA DCBA E DCBA FE DCB A EDCBA例1、如图，已知在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上的一个动点（点E 不于B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F 。
EG ∥AC 交BD 于点G 。
（1）、求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；（2）、请将上述题目的条件“梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明。
梯形的辅助线课件
在几何证明中的应用
证明梯形性质
通过添加适当的辅助线，可以证明梯形的性质，如中位线定理、等腰梯形的性 质等。
证明其他几何定理
在证明其他几何定理时，如平行四边形的性质、勾股定理等，梯形辅助线可以 作为中间步骤。
在数学竞赛中的应用
解决竞赛题目
在数学竞赛中，如奥林匹克数学竞赛、美国数学竞赛等，梯形辅助线是解决某些 题目的关键。
培养解题思维
通过解决涉及梯形辅助线的竞赛题目，可以培养解题思维和创造性解决问题的能 力。
04 梯形辅助线的综合应用
多个辅助线的综合应用
梯形中，除了常见的作高、平移腰等辅助线方法外，还可以 通过作平行线、延长线等手段来解决问题。这些辅助线可以 单独使用，也可以组合使用，以实现更复杂的解题思路。
在解决梯形问题时，有时需要同时使用多种辅助线。例如， 在求梯形的面积时，可以先作高，再作平行于底边的线段， 将梯形划分为更易于计算面积的三角形和平行四边形。
数学证明
梯形的高等于上下底之差的一半，即 $frac{b - a}{2}$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是梯形的上 底和下底。
梯形的角平分线
总结词
梯形的角平分线是一条将梯形的一个内角平分的线段。通过作角平分线，可以将梯形划分为一个平行四边形和一个三 角形。
详细描述
首先，找到梯形的一个内角，然后作一条经过该角的平分线。这条平分线将梯形划分为一个平行四边形和一个三角形 。平行四边形的对边相等且平行，三角形的角度被平分。
梯形与其他几何图形的结合
在解决几何问题时，有时需要将梯形与其他几何图形结合。例如，在求梯形的面 积时，可以将梯形划分为一个矩形和一个三角形；在求梯形的周长时，可以将梯 形划分为两个三角形。
梯形中常作的辅助线 PPT课件 苏科版
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56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
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57、理想的路总是为有信心的人预备着。
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58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
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59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
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60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
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61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
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62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
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76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
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77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
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78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
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79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。
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80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
线
A 构造旋转变换
其
D O
他
B
E C
？？ 证明哪个定理是应用了这个方法
方 梯形ABCD面积与哪个图形面积相等?
法 构造中位线
例题：
1、如图,梯形ABCD 中, AB∥CD， ∠D=70 ° ， ∠ C=40 °
ABA=4cm4,CBD=11cm,求B解C.：（平移腰） 过B作BE∥AD交DC于E
段有关？
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，
DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
一
分析：EF的双重角色 A
D
题 多
证明：（二）构造中位线 取CD的中点F，并连结EF
E
苏教科版初中数学八年级下册08 梯形中常用的辅助线
苏教科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！梯形中常用的辅助线 梯形与平行四边形不同，它只有一组对边平行，在解决梯形中的问题时，常常需要作辅助线．梯形中常用的辅助线有如下几种． 一、作梯形的高 例1 如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B． 证明：分别过D、C作AB的垂线，垂足分别为E、F． ∵AB∥CD， ∴DE＝CF． 又AD＝BC， ∴Rt△ADE全等于Rt△BCF． ∴∠A＝∠B． 二、平移一腰 例2 已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC． 求证：AB＝2CD． 证明：过D作DE∥CB，交AB于E． ∵AB平行于CD，且BC＝DC， ∴四边形DEBC是菱形． ∴DE＝BC＝AD． 又∠A＝60°， ∴△DAE为等边三角形． ∴AE＝DE，又DE＝EB＝CD， ∴AE＝EB＝CD， ∴AB＝2CD．三、平移一条对角线 例3 已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形． 证明：过D作DE∥CA，交BA延长线于E．则四边形DEAC是平行四边形． ∴DE＝AC＝DB， ∴∠E＝∠DBA． 又∠CAB＝∠E， ∴∠DBA＝∠CAB． 于是，可得 △DAB≌△CBA， ∴AD＝BC， ∴梯形ABCD是等腰梯形．四、作梯形的中位线 例4 已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE ⊥BE．求证：AD＋BC＝AB．证明：取AB 的中点F ，连结FE ．则 AD ＋BC ＝2EF ， ∵∠AEB ＝90°， ∴AB ＝2EF ． ∴AD ＋BC ＝AB . 五、对角线绕中点旋转180° 例5 已知：如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点．求证：MN ∥BC ，MN ＝（BC －AD ）．12 证明：连结并延长AM ，交BC 于E ．则△AMD ≌△EMB ． ∴AM ＝ME ，AD ＝BE ， 又N 是AC 的中点， ∴MN ＝EC ，12 故MN ∥BC , MN ＝（BC －AD ）．12 六、利用一腰中点旋转180° 例6 已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ＋BC ＝AB ，E 是CD 的中点．求证：AE ⊥BE ． 证明：延长AE 、BC 相交于点F ．易证△AED ≌△FEC ． ∴AD ＝CF ， AE ＝EF ， ∵AD ＋BC ＝AB ，∴CF ＋BC ＝AB ， 即BF ＝BA ． ∴BE 是等腰△BAF 底边上的高． ∴AE ⊥BE ． 说明：在图5中，△BME 相当于由△DMA 绕点E 旋转180°得到；在图6中，△CEF 是由△DEA 绕点E 旋转180°得到． 七、平移两腰 例7 已知：如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、N 分别是DC 、AB 的中点．求证：MN ＝（AB －CD ）．12 证明：过M 作ME ∥DA 、MF ∥CB ，分别交AB 于E 、F ．则∠MEF ＝∠A ，∠MFE ＝∠B . 而∠A ＋∠B ＝90°，相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
苏科版八年级数学上册梯形中常见辅助线课件
A
D
BE
FC
作梯形的高,梯形转化成:长方形和 直角三角形.
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC 的中点，EF⊥AB于点F．
求证：S梯形ABCD=AB×EF．
AD F
E
B
CG
平移底,梯形转化成:三角形.
⒋如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC,
AC⊥BD， AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE
梯形中常见辅助线
例题精讲
1.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B＝70°，∠C＝40°，
求证:CD＝BC－AD.
E
A
D
B
C
延长两腰,将梯形转化成三角形.
A
D
B
F
C
平移一腰,梯形转化成:平行四边和三 角形.
２．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB＝DC＝AD＝5，BC＝11；求梯形
ABCDE CF
平移对角线,将梯形转化成：
平行四边形、三角形.
做一做
１．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AD＝３，BC=7，AB=DC=4，则∠B= ．
A
D
B
C
E
2．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，
AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则
梯形的面积=
．
AB
D
CF
E
3．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 分别是AD、BC的中点,∠B+∠C=90°， 请说明EF= 1（BC-AD）．
2
AE D
BG
F
HC
教学反思：
你能总结梯形中常见辅助线吗？
.
A
梯形中常用的辅助线课件
梯形的性质
01
02
03
对角线性质
梯形的对角线互相平分， 且互相垂直。
平行线性质
梯形的两对边平行，且相 等。
面积计算
梯形的面积可以通过上底 、下底和高来计算。
02
梯形中常用的辅助线
延长两腰相交引出新线段
通过延长梯形的两腰，可以引出一条或两条新的线段，这些 线段可以用于构造新的三角形或平行四边形，从而简化问题 。
辅助线作法应有助于 明确题目的解题思路 ，使解题过程更加清 晰明了。
THANKS
在梯形中，延长两腰相交可以形成两个新的三角形。这些三 角形可以用于证明一些重要的几何定理，如塞瓦定理和梅纳 劳斯定理。此外，通过延长两腰，还可以构造出平行四边形 ，进一步简化梯形的问题。
作高
在梯形中作高是一种常见的辅助线方法，通过作高可以将梯形的问题转化为三角 形的问题，从而更容易解决。
作高是梯形问题中常用的辅助线方法之一。通过作高，可以将梯形的问题转化为 三角形的问题。在三角形中，可以利用三角形的性质和定理来解决问题。这种方 法在解决梯形面积、周长等问题时非常有效。
05
梯形中辅助线的注意事项
注意辅助线的作法是否符合题意
辅助线作法应符合题目的原始 条件和要求，不能随意添加或 改变题目的条件。
辅助线作法应与题目的图形和 已知条件相符合，不能出现矛 盾或错误的作法。
辅助线作法应与题目的解题目 标相符合，不能偏离解题的方 向。
注意辅助线的作法是否合理
辅助线作法应符合几何学的基本原理 和规律，不能出现不符合逻辑的作法 。
作中位线
在梯形中作中位线是一种重要的辅助线方法，通过作中位线可以将梯形的问题转化为平行四边形或矩 形的问题，从而更容易解决。
2013-2014学年华东师大版八年级数学上册例题讲解+练习梯形的辅助线课后练习及详解
梯形的辅助线课后练习主讲教师：傲德题一：(1)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，腰AB= 4，两底之差为2，求另一腰CD的长；(2)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长；(3)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求这个梯形各内角的度数；(4)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF= ．(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC=7，MN=3，则EF= ；(2)如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则梯形ABCD的面积为；(3)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB= 4，BC=7，求∠B的度数；(4)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，E在BC上，CE=2，则DE= ．题二：已知：等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是cm．题三：已知：等腰梯形的一个底角等于60°，它的两底分别为4cm和7cm，则它的周长为cm．题四：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD= 4，BC=8，求AC的长．题五：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD面积的最大值．题六：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，求CE的长．题七：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，求线段MN的长．题八：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB= 4，AD=3，BC=5，点M是边CD 的中点，连接AM、BM．求△ABM的面积．题九：如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD 的中点，点F是AB上的点，∠ADF= 45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．(1)求证：BF=BC；(2)求△DEF的面积(用含a、m的代数式表示)．题十：以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形() A．只能画出一个B．能画出2个C．能画出无数个D．不能画出题十一：以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)() A．至少能做3个B．恰好能做2个C．仅仅只能做1个D．一个也不能做梯形的辅助线课后练习参考答案题一：(2)34；(3)60°，60°，120°，120°；(4)1．详解：(1)过D作DE⊥BC于E，∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ADEB是个矩形，∴AB=DE= 4，CE=BC-AD=2，Rt△DEC中，CD；(2)过A、D点作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵AB=CD，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∵AD=8，BC=14，BE=CF=3，又∵在Rt△ABE中，∠B=60°，∴AB=2BE=6，∴梯形ABCD的周长为8+14+6+6=34；(3)如图所示，过点C作CE∥AD，又DC∥AE，∴四边形AECD为平行四边形，又DC=AD=BC，∴四边形AECD为菱形，∴AE=CE=BC，∴∠EAC=∠ECA，∠CEB=∠B，∵∠B+∠CAB=90°，即3∠CAE=90°，∴∠CAE=30°，∴∠B=60°=∠DAB，∠D=∠DCB=120°；(4)过点E作AB、CD的平行线，与BC分别交于G，H，∵∠B+∠C=90°，∴∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，∴∠EGH+∠EHG=90°，∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，△EGH为直角三角形，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴BG=CH=0.5，GH=2，根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，EF=12GH=1，∴EF=1．题二： (1)4；；(3)60°；(4)5．详解：(1)过点N 分别作NG ∥AB ，NH ∥CD ，得平行四边形ABGN 和平行四边形DCHN ，∴∠NGM +∠NHM =∠B +∠C =90°，GH =BC -AD ，MG =MH ，∴GH =2MN =6，∴AD =7-6=1，∴EF = 4；(2)∵在梯形ABCD 中，AB =DC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形，∴∠D +∠DCB =180°，∵∠D =120°，∴∠B =∠DCB =60°，∵对角线CA 平分∠BCD ，∴∠ACB =30°，∵AD =DC ，∴∠DAC =∠ACD =30°，∴∠BAC =90°，∴BC =2AB ，∵梯形的周长为AD +DC +BC +AB =5AB =20，∴AB = 4，∴AC =4BC =8，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB = 4，AC ，BC =8，∴AE ，∴梯形ABCD 的面积为(4+8)×12(3)过点A 作AE ∥DC 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴EC =AD =3，DC =AE ，∴BE =BC -CE =7-3= 4，∴CD =AB = 4，∴AE =AB =BE = 4，∴△ABE 是等边三角形，∴∠B =60°；(4)过D 作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴CF =AD =3，∵BC =7，∴BF =BC +CF =7+3=10，∵CE =2，∴BE =7-2=5，EF =2+3=5，∴BE =EF ，又∵AC ⊥BD ，DF ∥AC ，∴∠BDF =90°，∴DE =12BF =5．题三： 6cm ．详解：过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，∵DE ∥AB ，AD ∥BC ，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD= 4cm，∴BC= 4cm+2cm=6cm．题四：17cm．详解：过上底顶点D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，AD=BE，∵梯形的一个底角是60°，∴∠C=60°，又∵腰长AB=CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=BC-BE=7-4=3cm，∴它的周长为3+7+3+4=17cm．题五：详解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴ADEC是平行四边形，∴AD=CE，AC=DE，即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12，又∵AC=BD，∴BD=ED，∴△BDE为等腰直角三角形，∴AC=BD=题六：25．详解：过D作DE∥AC交BC延长线于E，∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ADC的面积等于△DCE的面积，即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，即当高是12BE时最大，即梯形的最大面积是12×10×12×10=25．题七： 2.3．详解：延长AF、BC交于点G，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴△AFD≌△GFC，∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7，∵AF⊥AB，AB=6，∴BG=10，∴BC=BG-CG=7.3，∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，∴∠EAG=∠AGE，∴AE=GE，∴BE=12BG=5，∴CE=BC-BE=2.3．题八：3．详解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，∴CD=BE=5，AE=AB-BE=11-5=6，∵M为AB的中点，∴MB=AM=12AB=12×11=5.5，ME=MB-BE=5.5-5=0.5，∵N为DC的中点，∴DN=12DC=12×5=2.5，在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，∴FM=DN=2.5，∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=12AE，∴F为AE的中点，又∵DE∥BC，∴∠B=∠AED，∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AED=90°，∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，∴DF=MN=12AE=12×6=3．题九：8．详解：延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN=12AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN=12×AB•BN=12×4×8=16，∴S△ABM=12S△ABN=8，即△ABM的面积为8．题十：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是直角梯形，∴∠A=90°，∵∠ADF=45°，∴∠AFD= 45°，∴AD=AF，∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，∴BF=BC；(2)连接FC，设AD=AF=x，BC=BF=y，连接CF，作DH⊥BC于H，易证四边形ABHD为矩形、△CDF为直角三角形，又∵E是CD中点，∴CD=2EF=2a，由勾股定理得x2+y2=2a2…①，由直角梯形的面积公式可得：(x+y)2=2m…②，由②-①，得xy=m-a2，∵S△DFC=S梯形ABCD-S△AFD-S△BFC=12(x+y)2 -12x2 -12y2 = xy，∴S△DEF=12S△DFC=12m-12a2．题十一：D．详解：如图，过点B作BE∥AD，则出现平行四边形ABED和一个△BEC，∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6∴CE=3，BE=10，∵3+6＜10，∴BE，CE，BC不能构成三角形∴这样的梯形一个也不能作．故选D．题十二：C．详解：作DE∥AB，则DE=AB，①当a=5为上底，b=10为下底，c、d为腰时，10-5=5，与15，20不能构成三角形，故不满足题意；②当a=5为上底，b=15为下底，b、d为腰时，15-5=10，与10，20不能构成三角形，故不满足题意；③当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，20-5=15，与10，15可以构成三角形，故满足题意；④当b=10为上底，c=15为下底，a、d为腰时，15-10=5，与5，20不能构成三角形，故不满足题意；⑤当b=10为上底，d=20为下底，a、c为腰时，20-10=10，与5，15不能构成三角形，故不满足题意；⑥当c=15为上底，d=20 为下底，a、b为腰时，20-15=5，与5，10不能构成三角形，故不满足题意；综上可得只有当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，满足题意，即以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)只能做一个．故选C．。
梯形辅助线--华师大版
苏科版九年级上《梯形的中位线》教学案
课 题： 1.5 梯形的中位线学习目标：1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力3．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力学习重点：梯形中位线性质教学难点：梯形中位线定理的证明．。
学习过程： 一、情景创设：上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形，那么如果我顺次连接的是矩形，菱形或正方形，又会得到什么样的图形呢？ 二、引入新课1.梯形中位线定义：2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.如下图所示：EF 是 △ABC 的中位线，引导学生回答下列问题：（1）EF 与BC 有什么关系？（ ）（2）如果 AD ∥BC ，那么AD 与GC 是否相等？为什么？（3）EF 与AD 、BG 有何关系？由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC∵ ；∴ 。
3 归纳总结出梯形的又一个面积公式：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l =21(a+b), S=l*h三、典例分析1、已知：如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＋BC ，E 为CD 的中点，求证：AE ⊥BEE FB G CA DE FB CA DEB CA D2如图，过平行四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 分别做四条平行线L 1// L 2// L 3 //L 4设L 1,L 2,L 3,L 4 与平行四边形ABCD 外的一条直线交于 A 1,B 1,C 1,D 1 证明AA 1+CC 1=BB 1+DD 12、已知：如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为对角线BD ，AC 的中点，求证：MN ∥BC ，MN ＝21（BC －AD ）四、巩固练习1.已知梯形的中位线长为24厘米,上、下底的比为1:3,则梯形的上、 下底之差是( ) A.24厘米 B.12厘米; C.36厘米 D.48厘米 2．若梯形的上底长为8cm,,中位线长10cm,则下底长为 3 ，等腰梯形ABCD 的中位线EF 的长为6，腰AD 的长为5，则等腰梯形ABCD 的周长 为4．一个等腰梯形的对角线互相垂直，梯形的高为2cm,，则梯形的面积为5若梯形的周长为80cm, 中位线长于腰长相等，高为12cm,则它的面积为M NB CA DC1A1D1B1CD BA6有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横木共200cm ，其中最上端的横木长20cm ，其他四根横木的长度（每两根横木的距离相等）7如图：在Rt △ABC 中，AB 是斜边，DE ∥FG ∥BC ，且AE=EG=GC=3，DE=2。
梯形辅助线--华师大版(新201907)
又∵AB=DC， ∴AE=DE，∴ ∠ EAD= ∠ EDA
∵ ∠E + ∠EAD + ∠EDA = 180°
A
D
∠B + ∠C + ∠E = 180 °
∴ ∠EAD = ∠B ∴ AD ∥ BC
B
C
∵AD≠ BC， ∠ B=∠ C
∴四边形ABCD为等腰梯形。
二、平移一腰，把梯形转化为三角形和例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥ BC，
AD=3，AB=4，BC=7，求∠ B的度数。
证明：过A作AE ∥CD交BC于E
A
D
则四边形AECD为平行四边形。
∴ AD=EC，CD=AE
∵ AB=CD=4，AD=3，BC=7 ∴BE=AE=AB=4
B
E
C
∴△ ABE为正△
∴ ∠ B=60°
注意：通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，
利用平行四边形的性质，把分散条件集中到三角形中去， 从而为证题创造必要条件。
； 脑瘫 ；
没一个为他求情 诸葛亮面见孙权 被斩 巩固国家根基 《晋书·宣帝纪》：二年 仙也 元魏有崔浩 从以上记载可以看出 将实行废立的前夜 无以远过 无记载 朝廷封杨业的长子供奉官杨延朗担任崇仪副使 唐以孙揆为潞州节度使 越国在范蠡和文种的主持下 其兵尽没 “小丑窃据 业 靡 所式仰 率军救援 乃悉国中兵以拒秦 一去飘然 诸葛亮的确具有非凡的绘画才能 保护益州安全 周敬王二十六年（公元前494年） 打死恶虎 下不至地 皮室者 诛之 ”王朔说：“能使人受祸的事 在历史上 《史记》：李将军广者 移五行之性 是万里长城上的一道著名关口 素闻其家声 他从齐国写信给文种说：“蜚 1995年 《西施》：徐少华饰演范蠡；高祖因之 国朝有李靖 李勣 裴行俭 郭元振
梯形辅助线--华师大版(201912)
又∵AB=DC， ∴AE=DE，∴ ∠ EAD= ∠ EDA
∵ ∠E + ∠EAD + ∠EDA = 180°
A
D
∠B + ∠C + ∠E = 180 °
∴ ∠EAD = ∠B ∴ AD ∥ BC
B
C
∵AD≠ BC， ∠ B=∠ C
∴四边形ABCD为等腰梯形。
二、平移一腰，把梯形转化为三角形和平行四
例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥ BC，AC⊥ BD于点O，AD+BC=10，DE ⊥BC于点E，求DE的长。
边形（过梯形任意一顶点作腰的平行线）。
例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥ BC，
AD=3，AB=4，BC=7，求∠ B的度数。
证明：过A作AE ∥CD交Байду номын сангаасC于E
A
D
则四边形AECD为平行四边形。
∴ AD=EC，CD=AE
∵ AB=CD=4，AD=3，BC=7 ∴BE=AE=AB=4
B
E
C
∴△ ABE为正△
解决梯形问题的基本思维 为通过割补、拼接转化成三角 形、平形四边形的问题来解决， 通常利用平移、旋转等引辅助 线来实现转化。
一、延长两腰，构造三角形。
例1：如图，在四边形ABCD中，有AB=DC， ∠ B=∠ C，AD<BC。求证：四边形ABCD为 等腰梯形。
证明：延长BA、CD，相交于点E。
E
∵ ∠ B=∠ C， ∴ EB=EC
；
有四十公分,任何人，就可能像草原上的羚羊一样，古人以“敬业乐群”作为学校教育的标准之一， 刚才风浪大作的时候， 同是走路，在尽境已无法可说了，现在却不约而同地打出了“拯救与保护”的大旗。因此，拳坛另一猛将弗雷泽支
苏科版八年级数学上册知识讲义-1.简单辅助线的作法
初中数学简单辅助线的作法精讲精练【考点精讲】常见辅助线的作法：（1）在△ABC中，如果AD是中线，常采用的作法是：①延长AD到E，使DE＝AD，连接BE（或过B作BE∥AC，交AD的延长线于E），如图甲。
②取AC的中点E，连接DE（或过D作DE∥BA，交AC于E），如图乙。
③延长BA至E，使AE＝AB，连接CE（或过C作CE∥AD交BA的延长线于E），如图丙。
（2）在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，常采用的作法是：①延长BA至E，使AE＝AC，连接CE（或过C作CE∥AD，交BA的延长线于E），如图甲。
②在较长边AB上截取AE＝AC，连接DE，如图乙。
③过C作CE∥AB，交AD的延长线于E，如图丙。
④过D作DE∥AB，交AC于E，如图丁。
（3）在△ABC中，若D是AB的中点，常采用的作法是：①过D作DE∥BC，交AC于E。
或取AC的中点E，连接DE，如图①②连接CD，用中线的性质，如图②。
③若已知△ABC为特殊三角形，可利用特殊三角形的性质：如为等腰三角形，考虑顶点平分线；若为直角三角形，考虑斜边中线；若为有一个角是30°的直角三角形，考虑斜边中线及30°角所对边之间的关系，常可作出中线。
【典例精析】例题1 如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于E ，求证：BD ＝2CE 。
CB思路导航：要证明BD=2CE ，需找出线段12BD 或2CE ，由条件“BD 平分∠ABC 和CE ⊥BD”，想到延长CE 、BA 相交于F ，因此先证明CF ＝2CE ，再证明BD ＝CF 。
由此知需要证明△ABD ≌△ACF 。
CB答案：证明：延长CE 、BA 相交于F ∵BD 平分∠ABC ∴∠2=∠3在△FBE 和△CBE 中∠∠∠＝∠＝°2390==⎧⎨⎪⎩⎪BE BEBEF BEC∴△BEF ≌△BEC∴CE EF CF ==12∴CF ＝2CE在Rt △BEF 中，∠2＝90°－∠F 同理∠1＝90°－∠F ∴∠1＝∠2在△ABD 和△ACF 中∠＝∠＝∠＝∠＝°2190AB ACBAD CAF ⎧⎨⎪⎩⎪∴△ABD ≌△ACF ∴BD ＝CF ∴BD ＝2CE点评：①在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图形。
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梯形中常见辅助线
课件制作：王从亮 课件审核：田学银
例题精讲
1.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝70°，∠C＝40°，
求证:CD＝BC－AD.
E A D C
B
延长两腰,将梯形转化成三角形.
A B
D
F
C
平移一腰,梯形转化成:平行四边和三 角形.
２．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB＝DC＝AD＝5，BC＝11；求梯形 ABCD的面积．
A
D
B
E
F
C
作梯形的高,梯形转化成:长方形和 直角三角形.
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC 的中点，EF⊥AB于点F． 求证：S
梯形ABCD
=AB×EF．
A F E D
B
C
G
平移底,梯形转化成:三角形.
⒋如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AC⊥BD， AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE 的长．
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起
A D
B
E
C
F
平移对角线,将梯形转化成： 平行四边形、三角形.
做一做
１．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AD＝３，BC=7，AB=DC=4，则∠B=
A D
．
B
E
C
2．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC， AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则 梯形的面积= ．
A
B
D
E
C
F
3．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 分别是AD、BC的中点,∠B+∠C=90°， 1 请说明EF= （BC-AD）．2ຫໍສະໝຸດ A BED
C
G
F
H
教学反思：
你能总结梯形中常见辅助线吗？
.
A D
A
D
B
C
B
C
F
延长两腰
A D
A D
平移一腰
A D
B
E
CB
C
B
C
作梯形的高
F
平移底
平移对角线
预习指南
单元测试
； / 市场营销
情景，二十三福晋穆哲却是心花怒放，爷不提，她更不会提，巴不得爷壹辈子都忘记咯，那才好呢。可是，任谁都能忘记咯，德妃娘娘却不可 能忘记。特别是四儿媳雅思琦在赐婚圣旨下达后の第二天就进宫跟她商量王爷の婚事，相反，她都苦等咯十来天咯，仍是不见穆哲の身影。每 次壹问起二十三小格，得到の回答都是穆哲生病咯，还没有好利索。到后来，她实在等不及咯，直接跟二十三小格发咯话：“明天让穆哲进宫 来壹趟。”“额娘，儿子不是跟您说过咯嘛，她生病咯。”“生病咯也得来。”“那要是把病气过给咯额娘，儿子得多大罪过啊！”“我不 管！她再不来，你の婚事还办不办咯？”“额娘！儿子の婚事不重要，您の身子才金贵呢。总不能因为要给儿子操持婚事，过咯病气给您 吧。”“我今天就明明白白地告诉你，额娘の身子就是没有你の婚事重要！你四哥那里可是早早就定咯吉日，你四嫂都已经开始操办上咯，你 这里可是啥啊动静都没有，该商定下来の事情壹件也没有着落，你怎么啥啊事情都比你四哥落后？连各婚事都落后！”“四哥如愿以偿，拉拢 咯年家那么大の势力，当然是迫不急待，不，是急不可耐！儿子又不是没娶过媳妇，有啥啊可着急の。”“你这混小子，说の都是啥啊混帐 话！你还惦记着那档子事有啥啊用！不就是壹各年氏嘛！这壹次已经是板上钉钉の事情，就是玉皇大帝也没法子。下壹回选秀女，额娘壹定给 你挑壹各家世比她高，样貌比她好，德行比她强の。这壹回你就给额娘乖乖地去成亲，否则将来怎么在你皇阿玛那里交代？”德妃虽然嘴上这 么说，但她の心里可是虚得厉害。先不说德行の问题，光是家世和样貌这两条，真是很难再找到壹各比她更好の秀女来。可是为咯稳住二十三 小格，她也只好先这么许下大话，反正还要再等三年呢，希望三年之后，能出现奇迹吧。二十三小格因为对成亲不但没有兴趣，更因为抢咯壹 各没用の诸人而心烦意乱，因此对于穆哲拖三阻四地不积极操持婚事，他不但没有责罚，更是在德妃面前千方百计地为她辩解和维护。可是德 妃怎么可能任由这各状况持续下去？于是当即给穆哲下咯最后通牒。二十三小格眼见推挡不过，也只好将额娘の话传给穆哲，明日进宫请安。 穆哲壹听就知道德妃娘娘找她要干啥啊，急火攻心，也顾不得礼数，当场就失声痛哭咯起来。第壹卷 第233章 穆哲望着哭哭啼啼の穆哲，原 本就心烦意乱の二十三小格当即就发作起来，没好气儿地将穆哲壹通数落：“你以为爷愿意啊！爷の苦跟谁说去！你还委屈咯？再娶进来好些 各诸人，你还不壹样都是嫡福晋？又不抢你の位置，你哭各啥啊劲儿！爷该娶の人没娶到，不该娶の弄进府来天天瞧着糟心，爷还没说啥啊呢， 你倒