Cg06-弯曲应力

同理
M 22 =
2 2
M I 22 I
M 11 I11 = M 22 I 22
1 ⎞ 7 44 2⎛ 1 3 2 3 I11 = a ⋅ (2a ) + 2a ⎜ a ⎟ = a 12 ⎝2 ⎠ 6 I11 14 = I 22 13 M 11 14 = M 22 13
1 2 2 3 2 2 13 4 3 I 22 = a ⋅ a + a ⋅ a = a 4 12 12
2b = h
2 2
2 2
h = 2 b
32
3a/2
1 2
a
2a
例 梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横 截面如图。若截面上承受的总弯矩为M ，求上下 ，求上下 两部份各自承担的弯矩之比。
a
分析 横截面上各处的正应力关于中性轴的矩的积分构成截 面上的弯矩。 每一部份上各处的正应力关于中性轴的矩的积分构成这 一部份所承担的弯矩。
35
F B a L a B
运动员在外伸端点处 所引起的最大弯矩： 所引起的最大弯矩：
M B = Fa B
合理的设计，应使两 例 试分析双杠支架的最合理 位置。 运动员在中点处所引起的 最大弯矩： 最大弯矩： 个弯矩的峰值相等。
1 F ( L − 2a ) = Fa 4
故可得： 故可得：
1 M C = F ( L − 2a ) C 4
16
1. 推导思路 几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系
力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 )
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
17
2. 正应力公式推导
ρ dθ
y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn = dx = ρ dθ
E E
E
S zz = 0
重要结论 中性轴必定过形心。
19
2. 正应力公式推导
y
力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与
正应力的关系 ) 2) 正应力对 z 轴（中性轴）的 合力矩构成截面上的弯矩 Mzz
dA
σ
z dx dx Mzz x
E − M zz = yσ dA = − y 22dA
A A
∫
∫
A A
33
3a/2
1 2
a
2a
例 梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横 截面如图。若截面上承受的总弯矩为M ，求上下 ，求上下 两部份各自承担的弯矩之比。
a
M 22 M M 11 = σ ydA = y dA = y 22dA I I A A A A A A
1 1
∫
∫
1 1
∫
1 1
M M 11 = I11 I
σ max =
M max W
W成承受竖直方向荷载的矩形截面 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面 梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么 比例？
d b h
若要使梁具有最大的强度，则应使截面的 Wzz 为最大。 若要使梁具有最大的强度，则应使截面的
M x
24
M max ymax M max M max max max max σ max = = = max ≤ [σ ] max I zz I zz ymax Wzz max
Wzz ：抗弯截面系数 ( section modulus in bending ) ：抗弯截面系数
动脑又动笔
矩形截面
y h b
第六章 弯曲应力
1
Chapter Six
Stresses in Bending
2
背景材料 本章基本要求 6.1 弯曲正应力 6.2 弯曲切应力 6.3 梁的强度及破坏 6.4 薄壁杆件中的弯曲切应力 6.5 组合变形的应力 本章内容小结
4 9 10 49 61 88 113 155
3
背 景 材 料
∂F ∗∗ ∂F ∗∗ = 0, =0 ∂x ∂y
消去 λ，即可求得极值点的 x 和 y 值。
1 22 W = bh 6
h 22 = d 22 − b 22
1 22 W = bh + λ ( d 22 − b 22 − h 22 ) 6
∗ ∗
∂W ∗∗ h 22 =0 b= ∂b 12λ
1 ∂W ∗∗ =0 λ = b 6 ∂h
P = 10kN
例 在如图的结构中，求最大拉 应力和最大压应力。 在 D 截面 M D y11 tt σ max = D = 101.8 MPa max I zz M D y22 c c σ max = D = 203.6 MPa max I zz 在 B 截面
实验目的 通过弯曲梁的变形推测
y
横截面上各点的正应力与哪些因素 有关，并由此推测正应力公式可能 具有的形式。
z
根据平截面假设，某点的正应力与 这点到中性轴的距离呈什么关系？
σ∝y
15
σ∝y
梁横截面上的弯矩和正应力是什么关系？
y
σ ∝M σ =kMy
根据量纲分析，因子 k 应具有什么 量纲？
z
因子 k 应反映构件的什么性质？ 结论 根据定性分析，正应力公式可能具有 M y I 的形式。
力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与
正应力的关系 )
dA
σ
z dx dx
1) 正应力的合力构成截面上的轴力
FN = σ dA = 0 N
x x
A A
∫
σ = Eε = − y ρ
E
σ dA = ∫ − E y dA = − E ∫ y dA = − E S zz = 0 ∫A ρ ρ ρA A A A A
为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？ 如果梁由 n 层叠合而成，情况又怎样？
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例 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面 梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么 比例？
分析
强度最大
能够承受的荷载最大 荷载相同时应力水平最低
2b 2b b M 6.25 kN⋅m kN⋅m x 5 kN⋅m kN⋅m
M max = 6.25 kN ⋅ m max 1 2 33 2 2 W = b ⋅ (2b) = b 6 3
M max M max max σ max = max = 33 ≤ [σ ] max W 2b 3
b ≥ 33
3M max max = 44.7 mm 2[σ ]
结论 工字形截面往往可以起到
节省原材料的作用。
34
产生最大弯曲正应力的 荷载位置就是产生最大弯矩 的荷载位置。 产生弯矩峰值的位置在 中点处和外伸端点处。 例 试分析双杠支架的最合理 位置。 分析 双杠可简化为两端外伸 的简支梁。 运动员可以在杠上任意位 置动作。因此应该考虑产生最 大弯曲正应力的荷载位置。
σ max = max
3PL PL = 2bh 22 3 2bh 22
两梁间无摩擦时，横截面 两梁间无摩擦时，横截面 σ ′ = PL 2 = 3PL max max bh 22 6 bh 22 上的弯矩由两梁均分。
σ max 1 max = 故 ′max σ max 2
28
L
P
分析和讨论
横截面上应力是如何分布的？ 两梁固结 两梁固结 两梁间光滑接触 两梁间光滑接触
细长梁承受均布荷载时，横截面上的最大正应力 σ xx 远大于纵截面上的正应力 σ yy 。
13
4. 中性面 ( neutral surface )
中性轴 中性面
梁的中性面，是梁的轴向纤维伸长区和缩短区的界面。 梁的中性面，是梁的轴向纤维伸长区和缩短区的界面。
14
6.1.2 横截面上的正应力公式
理想实验
可得
ρ
跳杆中最大正应力 跳杆中最大正应力
M EI Ed = σ= = = 320 MPa W ρW 2 ρ
27
L
P
h h b
例 如图的梁由两根梁叠合而成，求两梁牢固粘合、 或两梁光滑接触这两种情况下最大正应力之比。 两种情况下弯矩相同
M max = PL max
两梁牢固粘合时 两梁牢固粘合时
2 22 1 2 2 W = b(2h) = bh 3 6
9
6.1 弯曲正应力
6.1.1 梁弯曲的基本概念 1. 梁的平面弯曲 ( Plane bending )
在梁的平面弯曲 在梁的平面弯曲 中，梁的轴线保持在 一个平面内。
10
2. 纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲 ( pure bending ) 横力弯曲 ( transverse load bending )
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3. 关于梁弯曲的假定 平截面假定 平截面假定
梁横截面在弯曲时始终 保持是一个平面，并始终与 轴线垂直。 纯弯曲： 纯弯曲： 精确
横力弯曲： 近似正确
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单向受力假定
梁的轴向纤维只有拉 梁的轴向纤维只有拉
横截面上的正应力 σ x
压作用，轴向纤维之间没 有挤压或拉伸的作用。 集中横向荷载： 精确 分布横向荷载： 近似正确
1 22 W = bh 6
h 22 = d 22 − b 22
2 2
1 W = (bd 22 − b 33 ) 6 h = 2 b
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dW 1 22 = ( d − 3b 22 ) = 0 db 6
1 22 b = d 3
数学工具箱
Lagrange 乘子法
要求函数 F = F ( x, y ) 在条件 G ( x, y ) = 0 下的极值，可引入新函数 F ∗∗ = F + λG ，根据