微积分复习重点

第一章 函数

一、据定义用代入法求函数值：

二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

补充：求y=x

x 212-+的定义域。（答案：2

12<≤

-x ）

三、判断函数的奇偶性：

第二章 极限与连续

求极限主要根据： 1、常见的极限：

2、利用连续函数：

1sin lim 0

=→x x

x e x x

x =⎪⎭⎫

⎝

⎛+∞→11lim )0(01

lim >=∞→αα

x

x

初等函数在其定义域上都连续。 例：

3、求极限

的思路：

可考虑以下9种可能：

①00型不定式（用罗彼塔法则） ②2

0C =0 ③∞0

=0 ④01C =∞ ⑤21

C C ⑥∞

1C =0 ⑦

0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞

∞

型不定

式（用罗彼塔法则）

特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！

补充1：若1)

1(sin 2

21lim =++-→b

ax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . )

()(0

lim 0

x

f x f x x =→11lim 1=→x

x 1)()

(lim =→x g x f x α

⎪⎩

⎪⎨⎧∞

≠=→)0(0

)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩

⎪⎨⎧∞

≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α

补充2：21

221211111lim lim e x x x x x

x x x

x =⎪

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→

补充3：

2

1121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

⎪⎭⎫

⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：

1

ln lim 1-→x x x 1

11

lim 1

=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）

第三章 导数和微分

一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：

1、求导的基本公式：教材P123

2、求导的四则运算法则：教材P110—111

3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）

4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶）

型0

7、求微分：dy=y / dx 即可

补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵2222

1211122112

1x arctgx

x

x x arctgx x x y +++=+⋅

+⋅+⋅=' ∴dy=)121(

2

2

x

arctgx x x dx y ++

+=⋅'dx

第四章 中值定理，导数的应用

一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题： 二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程： 二、函数的单调性（增减性）及极值问题：

第五章 不定积分

1、原函数：)()(x f x F ='

则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。 2、不定积分：

⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。

⎰+=C x F dx x f )()(

注意以下几个基本事实：

())()(x f dx x f ='⎰ ⎰+='C x f dx x f )()(

⎰=dx x f dx x f d )()(

⎰+=C x f x df )()(

⑵性质：⎰⎰≠=⋅)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()(

⑶基本的积分公式：教材P206 Ⅱ习题复习：

一、关于积分的概念题： 二、求不定积分或定积分： 可供选用的方法有——

⑴直接积分法：直接使用积分基本公式

⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法 ⑶分部积分法

关于“换元积分法”的补充题一：

⎰⎰++=++=+C x x d x x dx 12ln 21

)12(1212112 关于“换元积分法”的补充题二：⎰-3

x xdx

解：设x －3=t 2，即3-x =t ， 则dx=2tdt.

∴⎰

-3

x xdx

=⎰⋅+dt t t t 2)3(2=C t t +++⋅+612121

2 =C t t ++63

23=C x x +-+-36)3(3

23

关于“换元积分法”的补充题三：

⎰+8

031x

dx

解：设x=t 3

，即

t =3

x ，则dx=3t 2dt.

当x=0时，t=0；