17.1.2 反比例函数的图象和性质(3)
17.1.2 反比例函数的图象和性质
（ 1 ）求函数的解析式，并说出这个函数的图 象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
解： 设反比例函数解析式为 y 因为图象经过点（2，-5）
k 把x=2，y=-5 代入得 5 2 10 y 所以， x
k （k≠0） x
k=-10
因为k<0，所以这个函数的图象在第二、四象 限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
小练习
任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为 面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得
（B ） A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．大小关系不能确定
2．如图，P是反比例函数图象上的一点，由P 分别向x轴，y轴引垂线，阴影部分面积为 3，求这个反比例函数的解析式． 解：S矩形OAPB=|k|，∴|k|=3，
∴m= -2
例4 在一个反比例函数图象上任取两点P、Q， 过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的 面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐 标轴围成的面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？
1 1．如图，过反比例函数 y （x＞0）的图象上 x
C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的
解： 因为点M（5 ， a）在图象上，把x=5，y= 10 10 a a代入 y , 得： a=-2．
x 5
小练习
k （2007新疆乌鲁木齐）若反比例函数 y （k为 x
常数，k≠0）的图象经过点（3，-4），则下列各点
在该函数图象上的是（ C ） A．（6，-8） C．（-3，4） B．（-6，8） D．（-3，-4）
（2）点B（1，3）、C （2，4）、 D （-5， 2）和 E （2.5，-4）是否在这个函数图象上？ 10 解：把点B、C、D和E的坐标代入 y x ， 可知点D，E的坐标满足函数关系式，点B、点 C的坐标不满足函数关系式，所以点D、点E在 10 函数 y 的图象上，点B、点C不在这个函数 x 的图象上． （3）若点M（5 ， a）在该图象上，求a的值．
反比例函数图象的性质
当k>0时，图象分别位于第一、三象 限；当k<0时，图象分别位于第二、 四象限。
反比例函数图象的变化规律
随着x的增大，y值逐渐减小或增 大，取决于k的符号。
当k>0时，在第一象限和第三象 限内，随着x的增大，y值逐渐减 小；在第二象限和第四象限内，
随着x的增大，y值逐渐增大。
当k<0时，在第一象限和第三象 限内，随着x的增大，y值逐渐增 大；在第二象限和第四象限内， 随着x的增大，y值逐渐减小。
在物理中的应用
1 2 3
电学
在电路分析中，反比例函数可以用于描述电阻、 电容和电感之间的关系，如RC电路和RL电路等。
光学
在光学中，反比例函数可以用于描述光的干涉和 衍射现象，如在计算光束的衍射角和干涉条纹间 距时需要考虑反比例关系。
热力学
在热力学中，反比例函数可以用于描述气体分子 之间的相互作用和分布规律，如理想气体状态方 程和麦克斯韦分布等。
02 反比例函数的图象
反比例函数图象的形状
反比例函数图象是双 曲线，位于两个象限 内。
反比例函数图象关于 原点对称。
当k>0时，图象在第 一、三象限；当k<0 时，图象在第二、四 象限。
反比例函数图象的位置
k的符号决定了反比例函数图象所在的 象限。
无论k的取值如何，反比例函数的图象 都不会与x轴、y轴相交。
反比例函数的图象是关于原点对称的。
当x增大或减小时，y的值会无限接近 于x轴或y轴，但永远不会与之相交。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和经济学等领域中，反比例函数有着广泛 的应用。
例如，在电学中，电流与电阻的关系可以用反比例函数表示 ；在经济学中，商品的需求量与其价格之间的关系也可以用 反比例函数表示。
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
17.1.2 反比例函数的图象和性质(3)
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
k y=— x y
y=-x
y=x
0
12
x
(x,y)
x轴称
(-x,y) (x,-y)
3 xy= 3 y= x 3 xy=-3 y= x
在同一坐标系中，K值互为相反数的两个反比例函 数的图像既关于x轴对称，也关于y轴对称。
(07北京)在平面直角坐标系
k 3 的图象关于 例函数 y 的图象与 y x x 3) x 轴对称，又与直线 y ax 2交于点 A(m，
2-2m)x m2-m-3(1)当m 7、已知函数y=(m
＝1 ______时,它是反比例函数；(2)它的图 像在_______象限，在每个象限内y随x 一、三 减少 的增大而________.
• 8、如图是三个反比例函数在x轴上方的图
k 3 由此观察得到( ) k1 k2 像，y1 , y 2 , y 3 B x x x
A k1>k2>k3
B k3>k2>k1
C k2>k1>k3
D k3>k1>k2
越大，距离 坐标轴越远。
k
•
（05江西省中考题）已知甲,乙两地相 距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如 果汽车每小时耗油量为aL,那么从甲地 到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶 速度v(km/h)的函数图象大致是( 3 ).
2.已知函数y=(m2+m)x . 当m ＝ 1 时,它是反比例函数； 它的图像在 一、三 象限，在每个 象限内y随x的增大而 减少 .
2-2 m
6 y x
3.已知反比例函数的图像经过点(-1,2),
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质在数学的世界里，函数就像是一座神秘的城堡，每一种函数都有着独特的特征和规律。
今天，咱们就一起来探索反比例函数这座城堡，深入了解一下反比例函数的图象和性质。
首先，咱们得知道啥是反比例函数。
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。
接下来，咱们重点聊聊反比例函数的图象。
反比例函数的图象是双曲线，它有两条分支。
这两条分支要么在一、三象限，要么在二、四象限，具体在哪个象限，得看常数 k 的正负。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。
在第一象限内，y 随 x 的增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 的增大而减小。
打个比方，就好像你跑步的速度越快，所用的时间就越短。
这里的速度和时间就是成反比例关系，当速度快（k 大）的时候，时间就短（y 小），而且速度越来越快（x 增大），时间就越来越短（y 减小）。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。
比如说，你背的东西越重，走得就越慢。
这里的重量和速度成反比例关系，重量越重（k 小），速度越慢（y 大），而且重量越来越重（x 增大），速度就越来越慢（y 增大）。
再来说说反比例函数图象的对称性。
这双曲线可神奇了，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x 。
对称中心呢，就是坐标原点（0，0）。
咱们再看看反比例函数的性质。
从增减性来说，刚才已经提到了，就不再啰嗦。
还有一点很重要，就是反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
为啥呢？因为当 x ＝ 0 时，这个函数就没有意义啦，分母不能为 0 嘛。
那知道了反比例函数的图象和性质有啥用呢？用处可大啦！比如说在实际生活中，我们计算工程的进度、计算电阻和电流的关系等等，都可能用到反比例函数。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
反比例函数的图象和性质课件
反比例函数的图象和性质ppt课件介绍了反比例函数的定义、性质、图象以及 应用。通过课件，你将了解反比例函数的基本概念和特点，并掌握其在实际 问题中的应用。
I. 反比例函数的定义及性质
定义
反比例函数是一种特殊的函 数关系，其变量之间的比例 关系是相反的。
解析式
反比例函数的解析式一般为y = k/x，其中k为常数。
练习题演练
通过练习题的演练，加深对反比例函数的理解，并提高解决实际问题的能力。
IV. 总结与思考
特点回顾
反比例函数具有对称轴、渐近线等特点，是一种重要的函数类型。
图象对实际问题的帮助
反比例函数的图象可以帮助我们理解和解决实际问题，提供定性和定量的分析。
进一步思考
通过深入思考和探索，我们可以将反比例函数应用于更复杂的优化问题中。
反比例函数的图象可以通过平移、 伸缩等变换得到不同的形态。
反比例函数的图象包括关键点， 如顶点、渐近线和交点。
III. 反比例函数的应用
与正比例函数的关系
反比例函数和正比例函数是互为倒数的关系，它们在实际问题中经常同时出现。
实际问题中的应用
反比例函数在经济、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如弹簧的伸长和台阶的高度与数 量关系。
定义域和值域
反比例函数的定义域为除数 不为0的实数集合，值域为不 等于0的实数集合。
单调性
反比例函数在定义域内通常是单调递减或单调增 函数。
渐近线
反比例函数在x轴和y轴上都有渐近线，分别为y = 0和x = 0。
II. 反比例函数的图象
基本形态
变形
特征点
反比例函数的图象通常为双曲线， 具有一个对称轴。
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
17.1.2 反比例函数的图象和性质(3)
3.(2003年成都)
如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数
y 8 的图象交于A, B两点,且点A的横坐标和点B x
的纵坐标都是 2.
y
求（1）一次函数的解析式
A
（2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
O
x
B
例：已知，关于x的一次函数 y mx 3n 和
k1
)x
,
y2
k2 x
,
y3
k3由此观察得
x
A k1>k2>k3 B k3>k2>k1
C k2>k1>k3 D k3>k1>k2
17.1.2 反比例函数的图象和性质(3）
忆一忆
面积性质（一）
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点,有 : x
(1)过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
k
|
y
P(m,n)
y
oA
x
P(m,n)
oA
x
忆一忆
面积性质（二）
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B, 则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k | (如图所示).
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
x
面积是6，求P的坐标。
17.1.2 反比例函数的图象和性质(3）
例：如图，反比例函数 y k 的图象与一次 x
反比例函数的 图象和性质
17.1.2.反比例函数的图像和性质（1）一、学习目标：1．会用描点法画反比例函数的图象2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法二、学习重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质三、导学流程：1.引入问题：（1）．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？（2）．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？（3）．反比例函数的图象是什么样呢?2.尝试指导: (1)出尝试题：问题1：长方形的一边为6，面积y 与另一边长x 之间有什么关系？若抛开实际含义，它的图像是什么样子？你能画出来吗？试试看。
问题2：若长方形的面积为6，一边长x 与另一边y 之间又有什么关系呢？若抛开实际含义，它的图像是什么样子？是否和上面的一样？（约5分钟）（2）自学：教材41--43页（采用独学的方法）（约10分钟）3.精析问题：说出反比例函数图像的共同点和形状；说出反比例函数中的什么元素决定着图像的特征差异?总结出反比例函数图像的性质。
合作：解决自学中不能解决的问题（采取对学、群学、组内小展示的方法）（约6分钟）4.变式训练：教材42、43、44页练习教材46、47中3---6题（约10分钟）5.归纳总结:本节课你有什么收获？你会建议大家注意些什么？6.达标检测：（约14分钟）1). 反比例函数y=xk (k≠0)的图象是_______，当k ＞0时，图象的两个分支分别在第_____、____象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而______；当k ＜0时，图象的两个分支分别在第_______、_______象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而________.2). 已知函数y=－x 3，当x ＜0时，y______0，此时，其图象的相应部分在第_____象限.3). 当k=________时，双曲线y= xk 过点（3 ，2 ）. 4). 若A （x 1, y 1）,B(x 2，y 2)，C （x 3, y 3）都是反比例函数y=－x 12的图象上的点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1, y 2, y 3由小到大的顺序是__________.5). 已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则z 与x 成__________关系，当x=1时，y=2；当y=2时，z=－2，求当x=－2时，z 的值6）.已知反比例函数32)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？7）.如图，过反比例函数x y 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定8）．已知反比例函数xk y -=3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大9）．在平面直角坐标系内，过反比例函数xk y =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为10）．若函数x m y )12(-=与x m y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是11）．反比例函数xy 2-=，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ；当x ＞－2时；y 的取值范围是12）.已知反比例函数y a x a =--()226，当x >0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式。
反比例函数的图象和性质课件
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
17.1.2反比例函数的图象和性质
第三届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教案评选
教案设计
图像的画法：
三象限，
四象限，
）师生共同探讨：如何画出反比例函数教师示范画出反比例。
）动手画图（单号同学）画反比例函数（双号同学）画反比例函数【学生动手画图】 以刚才反比例函数
x y 6
为例。
在教师引导下，学生借鉴画反比例函数的图象的经验，自主画出反比例函数的图象，教师巡视指导。
作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图象的特征，教师适时点评。
教师展示学生所画图象
）首先展示学生所画正确的函数图象）展示部分学生作图错误图象
【师生互动】教师展示，学生观察图象，思考，反思怎
样才能画得更好。
图中不应用折线段连接，而应用平滑的曲线连
接；
图中的趋势不对，因为根据分式的性质，分式值要为
0，而分母不能为，但该分式的分子是个确定不等于零的
关注反比例系数“
【师生互动】
教师演示课件，赋予不同的值，教师借助计算机，利用
反比例函数（时，、号相同，以（，
的增大而减小；时，、
，
的增大而增大。
同时，从解析式
，
轴、
（、。
17.1.2反比例函数的图象和性质(3)[精选文档]
![17.1.2反比例函数的图象和性质(3)[精选文档]](https://img.taocdn.com/s3/m/e0ea3d79bc64783e0912a21614791711cc7979c9.png)
做一做
2.已知反比例函数
y
k x
的图象与
一次函数y kx m 图象交（2，1）
（1）分别求这两个函数的解析式；
（2）试判断点P（-1，-5）关于x轴
的对称点是否在一次函数的图象上
课外探究
已知一次函数 y kx m 的图像与反比例函 数坐标y和 点 8xB的的图纵像坐交标于都A是、－B2两，点，求且（点1）A一的次横 函数的解析式； （2）△AOB的面积
（２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 y 12 ，可知点Ｂ、 x
点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，
所以点Ｂ、点Ｃ在函数 函数的图象上。
y 12 x
的图象上，点Ｄ不在这个
1、反比例函数 y k 的图象经过（2，-1），
x
则k的值为 -2 ；
2、反比例函数 y kx的图象经过点（2，5）， 若点（1，n）在反比例函数图象上，则n等于 （A） A、10 B、5 C、2 D、-6
3、下列各点在双曲线
y2 x
上的是（ B
）
A、（ 4 ， 3 ） 32
B、（ 4 ， 3 ） 32
C、（ 3 ， 4 ） 43
D、（ 3 ， 8 ） 43
例2：如图是反比例函数 y m 5 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： x （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎 样的大小关系？
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种 可能，分布在第一、第三象限，或者分布在 第二、第四象限。这个函数的图象的一支在 第一象限，则另一支必在第三象限。
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6 3.函数 象限, 3.函数 y = − 的图象位于第二、四象限, x 在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 在每一象限内,y的值随x ,y的值随
0,这部分图象位于第 象限. 当x＞0时,y ＜ 0,这部分图象位于第 四 象限.
4.如图是三个反比例函数在x 4.如图是三个反比例函数在x轴上方的图像 如图是三个反比例函数在
A
x
做一做：
2 1.函数 函数， 1.函数 y = x 是 反比例 函数，其图象为 双曲线，
其中k= 其中k= 2
，自变量x的取值范围为 x≠ 0 . 自变量x
6 2.函数 象限, 2.函数 y = x 的图象位于第一、三 象限,
在每一象限内,y的值随x 在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , ,y的值随 0,这部分图象位于第 象限. 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
2.如图反比例函数y = k 的图象与一次函数
的图象交于M 的图象交于M、N两点。 x 两点。 求反比例函数和一次函数的解析式。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式。 （2）根据图象写出使反比例函数的值大于 一次函数的值的x的取值范围。 一次函数的值的x的取值范围。 y M 2，m） （ ， ）
求：（1）一次函数的解析式；（2）根据图像写出使 一次函数的解析式；（2 ；（ 一 次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。 次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。
y A O B x
4.已知，关于x的一次函数 已知，关于x
y = mx + 3n
2 m + 5n 和反比例函数 y = 的图象都经过 x ），求这两个函数的解析式 求这两个函数的解析式。 点（1，-2），求这两个函数的解析式。
y
O O y y x O
y
x B
x
x
o
A
C
D
6.请找出下面的四个关系式对应的的图像 1 1 | （2） y |= （1）y = x | x|
1 （3）y = − | x|
1 | （4） y |= |x|
综合应用
k 1.已知一次函数 y = kx + 1和反比例函数 y = 的图象 x 都经过点（ 都经过点（ 2，m ）。 （1）求一次函数的解析式 ； （2）求这两个函数图象的 另一个交点的坐标 ；
5.已知点A 5.已知点A（0，2）和点B（0，-2），点P 已知点 和点B ），点 1 的图象上， 在函数 y = − 的图象上，如果 x PAB的面积是 的面积是6 求点P的坐标。 △PAB的面积是6，求点P的坐标。
12 如图， 的图象与一次函数y= kx+4的 6.如图，已知反比例函数 y = 的图象与一次函数y= kx+4的 x y
谢琳
理一理
函数 表达式 正比例函数 特殊的一次函数) y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) y = 反比例函数
k 或y = kx −1 或 xy = k(k ≠ 0) x
y y
图象 及象限
y o x o k<0 k>0 x
0
y x
0
x k>0 k<0
当k>0时，y随x的增大而增大; k>0时 的增大而增大; 性质 当k<0时，y随x的增大而减小. k<0时 的增大而减小.
k1 k2 k3 y1 = , y2 = , y3 = x x x
由此观察得到( 由此观察得到(B )
•A •C
k1>k2>k3 k2>k1>k3
B D
k3>k2>k1 k3>k1>k2
k 5如 能 示=k 1−x 和 = (k≠0 . 图 表y ( ) y ) x D 在 一 标 中 大图 的 _ _ . 同 坐 系 的 致象 是_ x o A x
忆一忆
面积性质（ 面积性质（二）
( 2)过P分别作 x轴, y轴的垂线 , 垂足分别为 A, B , 则S矩形OAPB = OA ⋅ AP =| m | • | n |=| k | (如图所示 ).
y
y
P(m,n) B
P(m,n) B
o
A
x
o
在每一个象限内: 在每一个象限内: k>0时 的增大而减小; 当k>0时，y随x的增大而减小; k<0时 的增大而增大. 当k<0时，y随x的增大而增大.
面积性质（ 面积性质（一）
想一想
k 设P ( m , n)是双曲线 y = ( k ≠ 0)上任意一点, 有 : x (1)过P作x轴的垂线 , 垂足为 A, 则 1 1 1 S ∆OAP = ⋅ OA ⋅ AP = | m | • | n |= | k | 2 2 2
图象相交于P 图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6。 两点， 点的纵坐标是6 （1）求这个一次函数的解析式 （2）求三角形POQ的面积 求三角形POQ的面积 POQ C Q o x D P
王先生驾车从A地前往300km外的B 300km外的 7.王先生驾车从A地前往300km外的B地，他的车速平均每小时 v（km），A地到B地的时间为t（h）。 km），A地到B地的时间为t ）， 以时间为横轴，速度为纵轴，画出反映v （1）以时间为横轴，速度为纵轴，画出反映v、t之间的变化 关系的图象。 关系的图象。 观察图象，回答： （2）观察图象，回答： v>100时 的取值范围是什么？ ①当v>100时，t的取值范围是什么？ 如果平均速度控制在第每小时60km至每小时150km之间， 60km至每小时150km之间 ②如果平均速度控制在第每小时60km至每小时150km之间，王 先生到达B地至少花费多少小时？ 先生到达B地至少花费多少小时？
y = ax + b
（ ， ）
x
o
N -1，-4） （ ， ）
3 2 0年 都 .( 0 3 成 ) 如 ,已 一 函 y=k +b 图 与 比 函 图 知次数 x 的象反例数 8 图 交 A 两 ,且 A 横 标 点 y=− 的 象 于,B 点 点的 坐 和 B x 的 坐 都 −2 纵标是 .