第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件
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量子辅导3一维势场中的粒子
三、一维势场中的粒子（历年考研重点）
定态 ：
i
t
2
2
2
V
(r ,
t)
(r ,
t
)
(r )e
iEt/
Hˆ
2
2
2
V (r)
E
（1）一维无限深势阱
0 V (x)
x a x a
本征值
En
n 2 2 2 8a 2
本征函数
n
(
x)
1 sin nx
a 2a
0
n
(
x)
1 cos nx
a 2a
n
i
x px
p x x u njdx
0
（2）进一步证明
i
u
* ni
px xunjdx
2 ij
证明：
（1）
x, H
x,
p
2 x
2
1
2
x,
px px
px x,
px
i
px
u
* ni
x px
p x x unjdx
i
u
* ni
x[
x
,
H
]
[
x
,
H
]
x
u
n
j
d
x
i
u
* ni
x2H
x)
2 sin nx
aa
0 xa
0
x 0, x a
（2）三维无限深方势阱
V
0
0 x a,0 y b,0 z c 阱外
本征值
E n1n2 n3
2π 2 2μ
n12 a2
定态 ：
i
t
2
2
2
V
(r ,
t)
(r ,
t
)
(r )e
iEt/
Hˆ
2
2
2
V (r)
E
（1）一维无限深势阱
0 V (x)
x a x a
本征值
En
n 2 2 2 8a 2
本征函数
n
(
x)
1 sin nx
a 2a
0
n
(
x)
1 cos nx
a 2a
n
i
x px
p x x u njdx
0
（2）进一步证明
i
u
* ni
px xunjdx
2 ij
证明：
（1）
x, H
x,
p
2 x
2
1
2
x,
px px
px x,
px
i
px
u
* ni
x px
p x x unjdx
i
u
* ni
x[
x
,
H
]
[
x
,
H
]
x
u
n
j
d
x
i
u
* ni
x2H
x)
2 sin nx
aa
0 xa
0
x 0, x a
（2）三维无限深方势阱
V
0
0 x a,0 y b,0 z c 阱外
本征值
E n1n2 n3
2π 2 2μ
n12 a2
量子力学第三章
2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2e x
（3）使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) li m C1ea 0
所以 I 0
同理： III0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
第11页，本讲稿共59页
综合 I 、II 结果，最后得：
m 2 2 2 Em 8a2
I III 0m来自II A sin m
2a
I III 0 II A cos m
2a
x x
对应 m = 2 n
m 0 的偶数
对应 m = 2n+1
m 奇数。
第12页，本讲稿共59页
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
（3）如果在空间反射下
( r ,t) ( r ,t)
，
则波函数没有确定的宇称。
第16页，本讲稿共59页
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
量子力学 02一维势场中的粒子
2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 2 d x 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 2 d y 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 d z
虽然，波函数ψ(-x) 也是满足S方程的，且也属于能 量E的波函数。
空间反演算符P
定义 一维
P ( r ) ( r ) P ( x ) ( x )
对于任意波函数，满足
P ( x) P ( x) ( x)
2
本征值方程
P ( x) C ( x)
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] * ( x) E * ( x) 2 2 dx
• 即ψ*(x)也满足同一个能量本征方程，并且对应的能 量本征值也是E。
• 无简并：能量本征方程的解只有一个，即一个E对应一 个波函数。 • 简并：能量本征方程的解不止一个，即一个E对应多 个波函数，称为多重简并。 推论：按定理1，假设对应于能量的某个本征值是E，能量 本征方程的解无简并，则可取为实解。 • 证明 若ψ(x)是能量本征值为E的一个解， ψ*(x)也是能量 本征值为E的一个解，由于无简并，必有： ψ(x)= Cψ*(x)， 且ψ* (x)= C*（ψ*(x）)*= C*ψ (x）=C* Cψ*(x) 故C* C=1，即C=e ia,a可取任易实数，则取a=0 ψ(x)= Cψ*(x)= ψ*(x)， ψ(x)为实函数
2 2 2 2 d d d [ 1 ( x ) V2 ( y ) V 3 ( z )] ( x , y , z ) V 2 2 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 2 dx dy dz
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
高二物理竞赛课件：一维势场中的粒子(1)
一维势场中的Βιβλιοθήκη 子1一维势场中的粒子
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用
Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——
一维定态问题。其好处有四：
1. 有助于具体理解已学过的基本原理；
2. 有助于进一步阐明其他基本原理；
3. 处理一维问题，数学简单，从而能对结果进
行细致讨论, 量子体系的许多特征都可以在
′ − ′=C
对于束缚态（bound state指粒子局限在有限空间中，即
无限远处找到粒子的概率为零）则有′ − ′=0
ℏ
−
+ =
(1)
定理7： 设粒子在规则势场V(x)
{V(x)无奇点}
中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。
这些一维问题中展现出来；
4. 一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
2
一维薛定谔方程
ℏ
ℏ , = −
+ (, )
对定态，具有能量 E
, = ()−/ℏ
一维粒子的能量本征方程：
ℏ
−
+ =
റ ， 称为奇宇称
在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶性是一致的。
定理3的推论
U(-x)=U(x)，如果对应某能量E，方程（1）
的解无简并，则解必有确定的宇称。
7
ℏ
−
定理4
证：
+ =
(1)
设 U(-x)=U(x)，则对应任何一个能量本征值E总
可以找到方程（1）的一组解(每个解都有确定
如果 是实解,就可以将其归为实解集合。
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用
Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——
一维定态问题。其好处有四：
1. 有助于具体理解已学过的基本原理；
2. 有助于进一步阐明其他基本原理；
3. 处理一维问题，数学简单，从而能对结果进
行细致讨论, 量子体系的许多特征都可以在
′ − ′=C
对于束缚态（bound state指粒子局限在有限空间中，即
无限远处找到粒子的概率为零）则有′ − ′=0
ℏ
−
+ =
(1)
定理7： 设粒子在规则势场V(x)
{V(x)无奇点}
中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。
这些一维问题中展现出来；
4. 一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
2
一维薛定谔方程
ℏ
ℏ , = −
+ (, )
对定态，具有能量 E
, = ()−/ℏ
一维粒子的能量本征方程：
ℏ
−
+ =
റ ， 称为奇宇称
在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶性是一致的。
定理3的推论
U(-x)=U(x)，如果对应某能量E，方程（1）
的解无简并，则解必有确定的宇称。
7
ℏ
−
定理4
证：
+ =
(1)
设 U(-x)=U(x)，则对应任何一个能量本征值E总
可以找到方程（1）的一组解(每个解都有确定
如果 是实解,就可以将其归为实解集合。
第三章 一维势场中的粒子 讲义 2
。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
基态时，波函数无节点
Fang Jun
第11页
当粒子能量增加时，在|x|>a/2， ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时， ψ(x) 的振荡加快。在某个能量E处， ψ(x) 在|x|<a/2内经历一次振荡，并出现一 个节点，并且能与外面波函数光滑衔 接上，外面解不发散。此时出现第一 激发态，有一个节点。 继续下去，可以得出：只当粒子能量 取某些离散值的时候，相应的波函数 才满足束缚态边界条件。这些能量值
设粒子从左方射向势垒。如能量 E<V0 ， 则按经典力学，粒子必定要在x=0面被反 射回去。如 E>V0 ，则粒子将穿过势垒。 但从量子力学观点看，考虑到粒子的波动 性，此问题与波碰到一层厚度为a的介质 相似，有一部分波透过，一部分波被反射 回去。
因此，按波函数的统计解 释，无论粒子能量 E<V0 ， 或是E>V0，都有一定几率 穿透势垒，也有一定几率 被反射回去。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第25页
由于
尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。
可见：从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。 问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项，尽管Ψ′不连续， 但两项相减后就抵消了。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第28页
B. 奇宇称态
波函数应表为
3.3.3
δ势与方势的关系，
Ψ′跃变条件
δ势常作为一种理想的短程作用来讨
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
基态时，波函数无节点
Fang Jun
第11页
当粒子能量增加时，在|x|>a/2， ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时， ψ(x) 的振荡加快。在某个能量E处， ψ(x) 在|x|<a/2内经历一次振荡，并出现一 个节点，并且能与外面波函数光滑衔 接上，外面解不发散。此时出现第一 激发态，有一个节点。 继续下去，可以得出：只当粒子能量 取某些离散值的时候，相应的波函数 才满足束缚态边界条件。这些能量值
设粒子从左方射向势垒。如能量 E<V0 ， 则按经典力学，粒子必定要在x=0面被反 射回去。如 E>V0 ，则粒子将穿过势垒。 但从量子力学观点看，考虑到粒子的波动 性，此问题与波碰到一层厚度为a的介质 相似，有一部分波透过，一部分波被反射 回去。
因此，按波函数的统计解 释，无论粒子能量 E<V0 ， 或是E>V0，都有一定几率 穿透势垒，也有一定几率 被反射回去。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第25页
由于
尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。
可见：从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。 问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项，尽管Ψ′不连续， 但两项相减后就抵消了。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第28页
B. 奇宇称态
波函数应表为
3.3.3
δ势与方势的关系，
Ψ′跃变条件
δ势常作为一种理想的短程作用来讨
量子力学第三章
第三章 定态方程的初步应用
3.1求一维无限深势阱中的粒子处于第一激发态时概率密度最大值 的位置。
解 一维无限深势阱中粒子的波函数是 对第一激发态，，故 令 得五个极值可疑点：
和4 又因为 将代入上式得，故概率密度最大值位于和处。
3.2若粒子的波函数形式为，求粒子的概率分布，问粒子所处的状 态是否定态？
解 （1）
（2）
3.5在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态
波函数具有确定的宇称。
解 一维运动的薛定谔方程为
（1）
式中
（2）
依题意，在坐标反射变换时
再注意到当时是不变量，因此 （3）
即在坐标反射变换下，哈密顿算符具有不变性。 设坐标反射变换而得的态用表示，这时薛定谔方程为 （4）
有一个交点，故只有一个束缚态。 当 ，即
时两曲线有两交交点和，故有两个束缚态。
（5）式中常数由归一化条件求得：
最后得到波函数为
3.9设粒子处于半壁无限高的势场中 中运动，设粒子能量，求束缚态能量所满足的方程及至少存在一个束缚 态的条件。
解（1） 一维定态薛定谔方程为 将所给势能代入上式得 即 令 它们皆为实数，于是得到
它们的解分别为 但，否则时，不满足波函数有限性的要求，于是
因此在势阱中粒子满足如下薛定谔方程
或
即
（1）
其中
（2）
假设粒子处于态，与无关，因而
，
于是（1式变成
它的解为
代入（3）式得
（4）
为满足有限性要求，，否则处无限大，于是
（5）
又在处，这是因为边界是理想反射壁，粒子不能透出势阱外，于是
即
即 注意到（2）式，便得到球形势阱中粒子的能级 可见能级是量子化的，与一维无限深势阱的结果相似。
3.1求一维无限深势阱中的粒子处于第一激发态时概率密度最大值 的位置。
解 一维无限深势阱中粒子的波函数是 对第一激发态，，故 令 得五个极值可疑点：
和4 又因为 将代入上式得，故概率密度最大值位于和处。
3.2若粒子的波函数形式为，求粒子的概率分布，问粒子所处的状 态是否定态？
解 （1）
（2）
3.5在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态
波函数具有确定的宇称。
解 一维运动的薛定谔方程为
（1）
式中
（2）
依题意，在坐标反射变换时
再注意到当时是不变量，因此 （3）
即在坐标反射变换下，哈密顿算符具有不变性。 设坐标反射变换而得的态用表示，这时薛定谔方程为 （4）
有一个交点，故只有一个束缚态。 当 ，即
时两曲线有两交交点和，故有两个束缚态。
（5）式中常数由归一化条件求得：
最后得到波函数为
3.9设粒子处于半壁无限高的势场中 中运动，设粒子能量，求束缚态能量所满足的方程及至少存在一个束缚 态的条件。
解（1） 一维定态薛定谔方程为 将所给势能代入上式得 即 令 它们皆为实数，于是得到
它们的解分别为 但，否则时，不满足波函数有限性的要求，于是
因此在势阱中粒子满足如下薛定谔方程
或
即
（1）
其中
（2）
假设粒子处于态，与无关，因而
，
于是（1式变成
它的解为
代入（3）式得
（4）
为满足有限性要求，，否则处无限大，于是
（5）
又在处，这是因为边界是理想反射壁，粒子不能透出势阱外，于是
即
即 注意到（2）式，便得到球形势阱中粒子的能级 可见能级是量子化的，与一维无限深势阱的结果相似。
量子力学课件(一维势阱)
§7 箱中粒子 解：找到粒子的概率为
3a / 4
* 1
(
x)
1
(
x)
d
x
a/4
3a / 4 2 sin 2 x d x
3a
4 a
4
a/4 a
1 cos(
a
2
a
x)a
dx
1 2
1 π
＝0.818
第二章 薛定谔方程
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
例3、已知描述单粒子一维束缚状态的两个本征函数分别
En
n2
h2 8ma2
,
(n 1,2,3, )
势阱中相邻能级之差
E En1 En
(2n
1)
h2 8ma2
E 1 m ,1 a2
能级相对间隔
En En
2n
h2 8ma
2
n2
h2 8ma 2
2 n
当 n 时，(En En ) 0 ，能量视为连续变化.
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
物理意义
§7 箱中粒子 隧道效应和扫描隧道显微镜STM
第二章 薛定谔方程
1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限 于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。
d
21(
dx2
x)
k
21
(
x)
0,
x0
d
2 3 (
第三节 一维势箱中的粒子
六、三维势箱中运动的粒子
三维势箱的定态Schrödinger方程为 2 h ( 2 ) ( x , y , z ) E ( x , y , z ) 2 2 2 8 m x y z 由于粒子在三个方向的运动是独立的，因此：
( x , y , z ) ( x ) ( y ) ( z )
三维势箱中粒子运动的波函数：
1/ 2
E Ex Ey Ez
n yy b nzz c
8 abc
sin
nxx a
sin
sin
三维势箱能级表达式：
2 2 2 nx n y nz h E 2 2 a2 b 8m c 2
n x，n y，n z均为非零整数
四求体系的各种物理量1粒子在箱中的平均位置无本征值只能求平均由于也无本征值即可以验证dxsinsin五量子力学处理微观体系的一般步骤根据体系的物理条件写出势能函数进而写出schrdinger方程
第三节 一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型
V＝0 V＝∞ 0＜x＜l（Ⅱ区） x≤0，x≥l（Ⅰ 、Ⅲ区，＝0）
l )0
由此 A=0
B不能为0 (否则波函数处处为0)
l 2mE 0
2 mE
l
n ( n 0, 1, 2, )
En
n h 8 ml
2
2 2
将En代入(x)，得：
( n 1, 2 ,3 ) nx ( x ) B sin
)
可以看出，任何一组A、B和E的数值都可确定一个， 即可得到方程的一个解，但A、B和E所确定的解要满足 波函数的三个条件。
根据品优波函数的连续性和单值性条件，x＝0和x＝l 时,＝0
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
第 2章
一维势场中的粒子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 引言
本章主要是用Schrö dinger方程来处理一维粒子的 能量本征态问题.
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的 特点.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
x 2 x 1 x 常数与x无关 . （3） 1 x 2
注意
对于束缚态(bound state), 当 x 时, 0, 所以式(3)中常数必为0.
结 论
因此,对于同属于能量 的 任何两个束 缚态波函数 1 与 2
2 1 1 2
能量本征函数 x 及其导数 x 必定是 连续的(但如 V2 V1 ，则定理不成立). 对于一维有限深方势阱，这个定理明显成立.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 定理6 对于一维粒子，设 1 x 与 2 x 均为 方程（1）的属于同一能量 的解，则
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量量的某个本征值 ,总可以找到
方程(1)的一组实解,凡是属于 的任何解,均可 表示为这一组实解的线性叠加.
对于能级有简并的情况,要用到此定理.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 定理3 设 V x 具有空间反射不变性，V x V x . 如 x 是方程（1）的对应于能量本征值 的 解，则 x 也是方程（1）的对应于能量 的 解. 定义
第 2章
一维势场中的粒子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 引言
本章主要是用Schrö dinger方程来处理一维粒子的 能量本征态问题.
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的 特点.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
x 2 x 1 x 常数与x无关 . （3） 1 x 2
注意
对于束缚态(bound state), 当 x 时, 0, 所以式(3)中常数必为0.
结 论
因此,对于同属于能量 的 任何两个束 缚态波函数 1 与 2
2 1 1 2
能量本征函数 x 及其导数 x 必定是 连续的(但如 V2 V1 ，则定理不成立). 对于一维有限深方势阱，这个定理明显成立.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 定理6 对于一维粒子，设 1 x 与 2 x 均为 方程（1）的属于同一能量 的解，则
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量量的某个本征值 ,总可以找到
方程(1)的一组实解,凡是属于 的任何解,均可 表示为这一组实解的线性叠加.
对于能级有简并的情况,要用到此定理.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 定理3 设 V x 具有空间反射不变性，V x V x . 如 x 是方程（1）的对应于能量本征值 的 解，则 x 也是方程（1）的对应于能量 的 解. 定义
量子力学专题三（一维势场中的粒子）
量⼦⼒学专题三（⼀维势场中的粒⼦）量⼦⼒学专题三：⼀维势场中的粒⼦⼀、⼀维薛定谔⽅程边界条件和处理办法（熟练掌握）1、边界条件：A、束缚态边界条件：在⽆穷远处，找到粒⼦的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；B、连续性边条件：a、波函数连续；b、波函数的⼀阶偏导数连续。
（注意：不⼀定同时成⽴！！）C、周期性边界条件：在求解⾓动量l分量的本征函数时，利⽤周期性边界条件可以确z定本征函数的归⼀化常数；在求解转⼦的能量本征函数时，亦可以利⽤周期性边界条件来确定其归⼀化常数。
2、处理⽅法：A、列出不同区间的能量本征⽅程，并对其进⾏求解；B、根据束缚态边条件，选择适合的解；C、根据连续性边条件，对得到的波函数进⾏归⼀化处理；D、写出本征函数和对应的能量本征值。
⼆、⼀维⽅势阱：1、⼀维⽆限深⽅势阱的求解⽅法及其物理讨论（熟练掌握） A 、⾮对称势阱： a 、解题步骤：（1）写出各个区间的能量本⾏⽅程；（2）根据写出的微分⽅程，求出其通解；（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值；（4）根据概率诠释，对波函数进⾏归⼀化处理，确定待定常数；（5）写出能量本征⽅程和对应的能量本征值。
b 、具体过程：)0(),0(0)(a x a x x x V <<>∞=（1）列出不同区间的能量本征⽅程，并对其进⾏求解；在0区间，波函数为：0)(≡x ψ在ax <<0区间，能量本征⽅程为：)()(2222x E x dxdm ψψ=-对其变形，得2=+''ψψk其中，mE k2=（0>E ）。
解得： )sin()(δψ+=kx A x（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；此处的束缚态边条件，即粒⼦在⽆穷远处出现的概率为零，在求解本征⽅程——在0区间，波函数为：0)(≡x ψ——时已经应⽤了！（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进⾏归⼀化处理；在0=x 处，波函数连续，有0sin )0(==δψA ，则有0=δ。
2020年物理竞赛—量子力学A版—第三章 一维定态问题 一维势散射问题34PPT 课件
新坐标下 Schrodinger 方程改写为：
该式是新坐标下一维线性 谐振子Schrödinger 方程，于是可以利用已 有结果得：
d2 dx2
(
x)
2
2
[
E
1 2
2
x2
V0
]
(
x)
0
d2 dx2
(
x)
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
(
x)
0
其中 E E V0
能量本征值：
En
(n
1 2
)
En En V0
然而，量子情况与此不 同,对于基态，其几率密度 是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2
= N02 exp[-ξ2] (1)在ξ= 0处找到粒子的 几率最大； (2)在|ξ|≧1处，即在阱外 找到粒子的几率不为零,与 经典情况完全不同。
5. 几率分布
分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节 点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每 一点上都能找到粒子，没有节点。
ωn(ξ)
n=2
|10|2
ω0(ξ)
n=1
-1 0 1
n=0
-1 1
-4 -2
24
当线性谐振子处在前几个量子态时,几率分布与经典情况差别很大。当 量子数增大时，相似性随之增加。
（三）例
例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况。
解： l （1）三维谐振子 Hamilton 算符
Hˆ
2
2
d2
（5）求归一化常数
(I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=αdx；
量子力学ppt课件
To see a world in a grain of sand and a heaven in a wild flower Hold infinite in the palm of your hand and eternity in an hour.
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件
Fang Jun 第16页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
V=0
0 ax
在阱内（0<x<a），能量本征方程为
m为粒子质量，E为能量。 在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，ψ=0.
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第17页
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第1页
§ 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
当粒子在势场 V(x,y,z)中运动时，其薛定谔方程为：
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )]Z ( z ) Ez Z ( z )
其中
E Ex Ey Ez
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第3页
设质量为m的粒子，沿x方向运动，势能为V(x)，则 Schrödinger方程为，
对于定态(能量E)，波函数表为
定理 5 对于阶梯性方位势
V2-V1 有限，则能量本征函数ψ(x)及其导数ψ’(x)必定是连 续的。 证明： 根据方程
在V(x)连续的区域， ψ(x)及ψ’(x)必然连续。在V(x)发生阶 梯跃变处，V(x) ψ(x)发生跃变，但变化是有限的。上式对 x~a积分，有
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
这里已分别略去了ψⅠ 和ψⅢ中正指数和 负指数项，因为它们在x→±∞ 发散。
一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程(第二版) 量子力学教程
引 言
一维定态问题数学处理简单，便于严格求解。作 为量子体系，同样可展现量子问题的主要特征，因而 是处理复杂问题的基础。 本章主要是用 Schrö dinger方程来处理一维粒子 的能量本征态问题. 下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的 特点.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程(第二版) 量子力学教程
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 V x 中(考虑 定态的情况下)的能量本征方程为
2 d2 2m dx 2 V x x x
* 在上式中， V x V x (实数值)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义
即把空间坐标 对于一维粒子有
P
空间反射算符
P r r
r r .
P x x .
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程(第二版) 量子力学教程
如果对应于某能量 , 方程(1)的解无简并, 则解必有确定的宇称(parity).
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程(第二版) 量子力学教程
常见的理想位势
▲量子力学解题的一般思路 ①由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x) ②代入定态薛定谔方程 ③解方程 ④解出能量本征值和相应的本征函数 ⑤求出概率密度分布及其他力学量
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
推 论
因此,对于同属于能量 缚态波函数 1 与 2
的 任何两个束
2 1 1 2
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
引 言
一维定态问题数学处理简单，便于严格求解。作 为量子体系，同样可展现量子问题的主要特征，因而 是处理复杂问题的基础。 本章主要是用 Schrö dinger方程来处理一维粒子 的能量本征态问题. 下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的 特点.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程(第二版) 量子力学教程
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 V x 中(考虑 定态的情况下)的能量本征方程为
2 d2 2m dx 2 V x x x
* 在上式中， V x V x (实数值)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义
即把空间坐标 对于一维粒子有
P
空间反射算符
P r r
r r .
P x x .
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程(第二版) 量子力学教程
如果对应于某能量 , 方程(1)的解无简并, 则解必有确定的宇称(parity).
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程(第二版) 量子力学教程
常见的理想位势
▲量子力学解题的一般思路 ①由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x) ②代入定态薛定谔方程 ③解方程 ④解出能量本征值和相应的本征函数 ⑤求出概率密度分布及其他力学量
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
推 论
因此,对于同属于能量 缚态波函数 1 与 2
的 任何两个束
2 1 1 2
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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第3章 一维势场中的粒子@ Quantun 第6页
定理 2 对应于能量E，总可找到方程(1)的一组实解， 凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加 。 证明： 假设ψ(x)是方程(1)的对应于E的一个解，若是实 解，则归到实解集合中去。若是复解，按定理 1， ψ*(x) 也必是方程属于E的一个解，则它们的叠加
两边除以
（ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
1 2d 2 1 2d 2 1 2 d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第8页
空间反射算符P 定义为Pψ(x) = ψ(-x)，按定理 3，若 V(-x) = V(x)，则ψ(-x)和ψ(x)都是对应E的量子态。若对 应E，方程(1)的解无简并，则解必具有确定的宇称，即 偶宇称 Pψ(x) = ψ(-x)= ψ(x)，或者 奇宇称 Pψ(x) = ψ(-x)= -ψ(x)。 证明： 由于无简并， Pψ(x) = ψ(-x) = Cψ(x) P2ψ(x) = P Cψ(x) = C2ψ(x), P2ψ(x) = ψ(x), 则有C2=1，C = ±1。 若能级有简并，能量本征态不一定具有确定宇称。
2 [
2
d2 dx 2
V1 ( x )] X ( x )
Ex X (x)
2 [
2
d2 dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y )
2 [
2
d2 dz 2
V3 ( z )] Z ( z )
Ez Z (z)
其中
EExEyEz
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第1页
§ 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
当粒子在势场 V(x,y,z)中运动时，其薛定谔方程为：
H ˆ [ 2 2 V ( x ,y ,z )] ( x ,y ,z ) E ( x ,y ,z ) 2
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第2页
2 d 2
2 d 2
2 d 2
Y 2 Z d 2 X x V 1 ( x ) X 2 d Z 2 Y y V 2 ( y ) X 2 d Y 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
Fang Jun 第3页
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
假设对应于某个本征值E，(1)的解无简并（即只有一个 独立的解），则可取为实解。 证明：ψ(x), ψ*(x)均为(1)对应E的解，由于无简并，则有 ψ*(x) = Cψ(x), C为常数。取复共轭，ψ(x) = C*ψ(x)*= C*Cψ(x)，所以|C|=1，则C=eia, a为实数。 取新波函数为 ψn(x) = eia/2ψ(x)， 则(ψn(x))* = e-ia/2ψ*(x) = e-ia/2 eiaψ(x) = eia/2ψ(x) =ψn(x)。
第三章 一维势场中的粒子
§3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 §3.2 一维方形势 §3.3 一维散射问题（势垒贯穿） §3.4 一维谐振子 §3.5 δ势
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方 程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量 子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第9页
定理 4 若V(-x) = V(x)，则对应于任何一个能量本征值 ，总可以找到(1)的一组解，每一个解都具有确定宇称， 而属于E的任何解，都可以用这组解展开。 证明： 设ψ(x)是(1)的一个解，根据定理 3， ψ(-x)也是 方程的一个解， 取
波函数ψ(x)及其各阶导数连续性与V(x)有关。若V(x)是连 续函数，按方程(1)， ψ”(x)存在，因此ψ(x)和ψ’(x)为x 的连续函数。但若V(x)不连续（存在奇异性），则ψ(x)和 各阶导数的连续性问题需要具体分析。
也是方程属于E的解，
均为实解，且
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第7页
定理 3 设V(x)具有空间反射不变性，V(-x) = V(x)，如 设ψ(x)是方程（1）对应E的一个解，则ψ(-x)也是方程对 应于E的解。 证明： 对方程
,有
则ψ(-x)也是（1）对应于E的解
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
V ( x ,y ,z ) V 1 ( x ) V 2 (y ) V 3 ( z )
形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。令
(x ,y ,z) X (x )Y (y )Z (z)
于是S-方程化为：
2 2 d d 2 2 d d x 2 2 d d y 2 2 X ( z x ) Y ( y ) Z ( z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z ) ( x ,y , z ) E ( x ,y , z )
f(x) =ψ(x) +ψ(-x), g(x) =ψ(x) - ψ(-x) f(x), g(x) 具有确定宇称。
ψ(x)=[f(x) + g(x)]/2, ψ(-x)=[f(x) – g(x)]/2。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
波函数ψ(x)及其各阶导数连续性