椭圆柱体二维液态声子晶体声波禁带的研究

椭圆柱体二维液态声子晶体声波禁带的研究

黄　飞　何　锃

(华中科技大学力学系,武汉　430074)

摘要　将椭圆柱体引入2维声子晶体中,采用平面波展开法计算了该系统的声波禁带结构.对于不同的椭圆柱体截面形状以及旋转角度,该体系都发现了完全禁带,但其禁带的位置与大小有很大不同.当晶格常数a1=4cm,a2=3.2cm,填充率F=0.35时,椭圆柱体截面不旋转的体系只产生一个禁带,其宽度为0.453,而截面旋转π/4的体系产生3个声波禁带,其宽度分别为0.458,0.023和0.062.研究结果表明:在这种2维非均匀液态体系中,声波禁带结构受到填充率,椭圆柱体截面形状以及旋转角度的影响.

关键词　声子晶体,周期性结构,声子禁带,能带结构

引言

近年来,人们对弹性波在声子晶体中传播特性的研究产生了广泛兴趣[1～11].理论和试验研究都已证明,声子晶体可以产生一定的弹性波禁带,能够禁止某些频率的弹性波或声波在其内部传播.声子晶体在工程上具有广泛的应用前景,如环境的减振降噪,精密仪器的隔振,舰艇的消声瓦等.

声子晶体(phononic crystal)一般是指由两相或者两相以上的弹性介质在空间上形成的周期性结构,通常情况下将晶体中连续的相称为基体,不连续的相称为散射体.根据声子晶体在空间坐标的分布,可以将其分为一维(1D),二维(2D),三维(3D)声子晶体:一维声子晶体,一般代表周期性层状结构;二维声子晶体,一般针对柱体材料的中心轴线平行于某一方向并将其埋入另一基体中形成的周期性点阵结构;三维声子晶体就是球形散射体埋入某一基体中形成的周期性点阵结构.

声子晶体中弹性波禁带结构的计算方法有平面波展开法(PWE)[3～8],时域有限差分法(FD TD)[9],多重散射法(MST)[10]等.人们已经研究了不同结构和不同组成材料的声子晶体,3D的有面心立方结构[11],简单立方结构等[3];2D的有正方晶格[4],长方晶格[5],三角晶格[6]以及氮化硼(BN)[7]晶格等;其组成成分可以是固体,液体或者气体;在上述声子晶体中人们都发现了完全禁带.

人们对大量不同结构的2D双组分液态声子晶体进行了研究,但他们总是将散射体的截面形状假设为圆形或者正方形,如Kushwaha et al[4,6]研究了圆截面散射体的正方晶格和六角晶格的2D 海水/水银体系,Vasseur et al[7,8]研究了近似BN 结构的2D海水/水银体系,吴福根等人研究了具有正方形截面散射体的长方晶格2D水/水银体系[5].到目前为止,其他截面形状的散射体很少被涉及到.

本文引入了椭圆这种散射体截面形状,采用平面波展开法计算了椭圆截面的无限水柱被水银基体包围形成长方晶格体系的禁带结构,探讨椭圆截面的形状变化以及截面绕中心轴旋转时,对弹性波禁带结构产生的影响.本文采用水(水银)的材料参数ρ=0.998(13.5)×103kg/m3,c l=1496.7 (1450.0)m/s.

1　平面波算法的基本原理

声波在液体中传播的波动方程为

(C11)-1

52Φ

5t2= ・(ρ-1

Φ)(1)此处C11=ρc2l是体积弹性模量(bulk m odulus of elasticity),ρ为密度,c l为声波在液体中的传播速度.

利用2D声子晶体结构上的空间周期性,将平面波算法引入到波动方程的计算中,其基本思想是,将波动方程中的位移、弹性参数等物理量在倒

第3卷第4期2005年12月

动力学与控制学报

JOURNAL OF D YNAMICS AND CON TROL

Vol.3No.4

Dec.2005

2005207224收到第1稿,2005209213收到修改稿.

格矢空间以平面波叠加的形式近似展开为Fourier 级数,然后将波动方程转化成一个本征方程,求解本征值便可得到本征频率与波矢之间的色散关系,即能带结构.

图1为典型的2D 长方点阵旋转椭圆截面散射柱体声子晶体的横截面图,Z 方向垂直于XY 平面,白色表示基体b ,黑色表示插入基体中的椭圆散射柱体i ,它的中心轴线平行于Z 轴,a 1,a 2为晶格常数,α为椭圆截面绕中心轴的旋转角度.当b 和i 都是液体时,采用一种密度和弹性常数与i 相同的橡胶材料包覆i ,即可以形

成2D 液相声子晶体[4,6～8].

图1　二维椭圆截面长方点阵声子晶体的横截面图

Fig.1　A transverse cross section of 2D phononic crystal :

a rectangular array of infinite elliptical cylinders periodically distributed in an infinite host

根据Bloch 理论,(1)式的解Φ(r ,t )可以表示为

Φ(r ,t )=e i (K ・r -ωt )

∑

G

ΦK +G

e

i G ・r

(2)

此处的K 为二维Bloch 波矢,r 是晶体中任意格矢量,G 是倒易空间的任意格矢量[12].利用密度和体积弹性模量的2D 周期性,将ρ-1(r )和

C -1

11(r )用Fourier 级数表示

ζ(r )=∑

G

ζG e

i G ・r

(3)

其中

ζG =S -1∫

d 2r ζ(r )

e -i G ・r

(4)

此处,ζ(r )表示ρ-1

和C -1

11,S 表示单元晶格的面积,积分在整个单元晶格上进行.

假设散射体i 的填充率为F ,其密度和体积弹性模量表示为ρi 和C 11i ,相应的基体b 的填充率为1-F ,密度和体积弹性模量为ρb 和C 11b ,可以得到

ζG =

ζi F +ζb (1-F )≡

ζ,(ζi -ζb )P (G )≡(Δ

ζ)P (G ),G =0

G ≠0(5)

此处的P (G )定义为结构函数,它仅仅与组元i 的几何形状有关,而与具体的排列无关.

P (G )=S

-1

∫

i

d 2

re

-i G ・r

(6)

此处的积分在椭圆散射柱体的横截面上进行.

将方程(2)、(3)和(5)代入方程(1),可以得到[ ρ-1

|K +G |

2

- C -111ω2

]ΦK +G +

∑G ′

≠G

P (G - G ′

)[(k +G ′)Δρ-1-ΔC -1

11ω2]ΦK +G =0(7)

上式可以变为标准特征方程

∑

G

′

A GG

′

ΦK (G )′=ω2ΦK (G )

(8)

其中A =M -1N ,而矩阵M 和N 分别定义如下,

M GG ′=P (G -G ′)(ΔC -111)(1-δGG ′

)+

δGG ′ C -1

11

N GG ′=[P (G -G ′

)(Δ

ρ-1)(1-δGG ′)+ δGG ′ ρ-111](K +G )(G +G ′

)(9)

式(8)表示对无限多个倒格矢G 进行求和,本文用L 个倒格矢的求和来替代,只要L 取的足够大,就可以保证结果的收敛性,这样,标准方程就变成了L ×L 的矩阵的计算.令波矢K 扫过整个不可约Brillouin 区[12],求解矩阵A 的特征值后即可得到频率带ωn (K ),其中n 代表不同阶频率带.

2　椭圆截面的结构函数

本文研究了散射体截面形状为椭圆的2D 长方点阵结构声子晶体,其倒易向量G 可以表示为

G =h 1a 31+h 2a 3

2=2π

h 1a 1i +h 2

a 2

j (10)

其中a 31=2πi /a 1,a 3

2=2πj/a 2,h 1,h 2是整数,

当声子晶体散射体的截面形状为椭圆时,结构

函数P (G )与椭圆截面的半径以及旋转角度有关,考虑以下两种情况

(1)椭圆截面不旋转,即图1中α=0,考虑椭

圆方程

x 2

r 2x +y

2

r 2y

=1(11)

其中r x ,r y 为椭圆的半径,引入临时变量r 和R ,令

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8第4期黄　飞等:椭圆柱体二维液态声子晶体声波禁带的研究