10.030函数定义域基础分类

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求函数定义域的类型及方法

求函数定义域的类型及方法函数定义域是指函数中所有可能取值的集合。

在数学中，我们关心的是函数的定义域是什么，即函数可以接受哪些输入值。

定义域的类型及方法可以根据函数类型的不同而有所不同。

下面，我将介绍几种常见函数类型的定义域类型及确定方法。

1.代数函数：代数函数是由代数运算（如加减乘除、指数、对数等）构成的函数。

常见的代数函数类型包括多项式函数、有理函数和指数函数等。

对于代数函数，它们的定义域通常是实数集或者实数集的子集。

确定定义域时，需要避开会导致函数结果无意义的数值，比如分母为零或负数的情况。

例如：多项式函数f(x)=2x^2+3x+1的定义域是整个实数集，因为它可以接受任意实数作为输入。

2.三角函数：三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

对于三角函数，定义域通常是实数集或者实数集的子集。

确定定义域时，需要考虑周期性和奇偶性质。

使用角度时，常用的定义域是[0,360]，以弧度为单位时，常用的定义域是[-π,π]。

例如：正弦函数 f(x) = sin(x) 的定义域是整个实数集，因为它可以接受任意实数作为输入。

3.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是指以指数和对数为基础的函数，常见的指数函数有指数函数、对数函数和幂函数等。

对于这些函数，它们的定义域通常是正实数集或正实数集的子集。

确定定义域时，需要避开会导致结果无意义的数值，比如对数底为零或负数的情况。

例如：指数函数f(x)=e^x的定义域是整个实数集，因为它可以接受任意实数作为输入。

4.分段函数：分段函数是由多个不同函数段构成的函数，每个函数段有不同的定义域。

在确定分段函数的定义域时，需要找出各个函数段的交集作为最终的定义域。

例如：分段函数f(x)=x^2,-1<=x<0,2x+1,0<=x<2,x-3,x>=2其中第一段的定义域是[-1,0)，第二段的定义域是[0,2)，第三段的定义域是[2,∞)，所以这个分段函数的定义域是[-1,0)∪[0,2)∪[2,∞)。

函数的定义域详解

函数的定义域函数的定义域是高中数学最重要的基本概念之一。

函数的定义域是函数的三要素之一，是函数单调性、奇偶性、值域等重要性质分析的基础，用于解决一些与函数有关的综合问题，一直是高考考查的重点内容。

理解函数的定义域概念，掌握求函数定义域的基本方法，会求较简单的复合函数的定义域．已知函数的定义域，会讨论求解其中参数的取值范围．求函数的定义域的各种方法。

抽象函数的定义域。

一、知识梳理函数定义域三种情况：（1）式子有意义；（2）复合函数，和函数，积函数的求法；（3）实际问题有意义求下列函数的定义域（1）xy 1=∈x ()()+∞⋃∞-,00, （2）1-=x y ∈x [)+∞,1（3）x y 5.0log= ∈x ()+∞,0 （4）0)2(-=x y ∈x ()()+∞⋃∞-,22,函数定义域具体求法（1）分式函数)()(x g x f y =的定义域，要求()0≠x g（2）偶次根式nx f y 2)(=（*N n ∈）的定义域，要求()0≥x f（3）函数0)(x f y =的定义域，要求0)(≠x f （4）对数函数)(logx f y a=（a>0且a ≠1）的定义域，要求()0>x f（5）和函数)()(x g x f y +=的定义域，要求21D D D ⋂= 积函数)()(x g x f y ⋅=的定义域，要求21D D D ⋂=（6）复合函数()[]x g f 的定义域，要求g(x)的值域满足f(x)的定义域（7）实际问题的定义域，要求满足实际意义。

如：距离、时间、长度等.二、 [典型例题]1、求下列函数的定义域 (1)、f(x)xx x ++=12（2）、f(x)=x 5.0log（3）、f(x)=8121-⎪⎭⎫⎝⎛x（4）、f(x)=lg x x +-112、若函数f(x)=21--x x ,g(x)=12--x x ，则)()(x g x f ⋅=3、（1）y=f(x)的定义域是[0,2]，则y=f(x+1)的定义域是（2）y=f(x+1)的定义域是[0,2]，则y=f(x)的定义域是（3）y=f(x+1)的定义域是[0,2]，则y=f(2x-3)的定义域是4、已知函数a x x y -+-=1，求它的定义域5、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-+-≤---222111131x x x x x x ，若f(a)>2，则a 的取值范围是 6、函数f(x)的定义域为(a,b)，且b>-a>0，则F(x)=f(x)-f(-x)的定义域是 7、已知函数lg[(ax-1)(x+1)]<0的定义域是),1(1,+∞-⋃⎪⎭⎫⎝⎛∞-a ，则实数a 的取值范围是 8、已知函数()1lg 2+-=ax x y（1）若该函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围（2）若该函数的值域为R ，求实数a 的取值范围9、某工厂实行计件工资制，规定每加工一个零件的报酬是0.10元，为鼓励积极性，又规定每个工人在每月中，若加工零件总数超过1000个且不超过1500个，其超过部分的零件以每个零件0.15元计酬，若加工零件总数超过1500个，其超过部分的零件以每个零件0.20元计酬，求一个工人的月劳动报酬y （元）与该月加工零件数x （个）的函数关系式三、[当堂反馈] 1、求下列函数的定义域（1）、y=0)1(211++--x xx（2）、2||632-----=x x x y（3）、y=)23(log 122+-x x2、求f(x)=2-x ，g(x)=21-+x x 的和函数、积函数3、（1）y=f(2x-1)的定义域是[-3,2]，则y=f(x)的定义域是（2）y=f(2x-1)的定义域是[-3,2]，则y=f(x+2)的定义域是4、已知函数862++-=m mx mxy 的定义域是 R ，求实数m 的取值范围5、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式[回家作业]1、求下列函数的定义域（1）04||x x - （2）（3）f(x)=2211x x x x --++ （4）f(x)=)2(log1)2(20+++-x x x x2、已知函数)2(x f y =的定义域是[1，2]，求()x f 2log 的定义域3、若())1(log 2m xx x f ++=的值域是R ，试求实数m 的取值范围4、用一根长为4米的木料制成窗框如图，如果不计木料耗损，试用窗框的面积S 表示为宽x 的函数学案课题二、函数的定义域学习目标：理解函数的定义域概念，掌握求函数定义域的基本方法，会求较简单的复合函数的定义域．已知函数的定义域，会讨论求解其中参数的取值范围．[预习自测]函数定义域三种情况：（1）（2）（3）求下列函数的定义域（1）xy 1=∈x （2）1-=x y ∈x（3）x y 5.0log= ∈x （4）0)2(-=x y ∈x函数定义域具体求法（1）分式函数)()(x g x f y =的定义域，要求（2）偶次根式nx f y 2)(=（*N n ∈）的定义域，要求（3）函数0)(x f y =的定义域，要求（4）对数函数)(logx f y a=（a>0且a ≠1）的定义域，要求（5）和函数)()(x g x f y +=的定义域，要求积函数)()(x g x f y ⋅=的定义域，要求（6）复合函数()[]x g f 的定义域，要求（7）实际问题的定义域，要求如：距离、时间、长度等.[当堂反馈]1、求下列函数的定义域（1）、y=0)1(211++--x xx（2）、2||632-----=x x x y（3）、y=)23(log 122+-x x2、求f(x)=2-x ，g(x)=21-+x x 的和函数、积函数3、（1）y=f(2x-1)的定义域是[-3,2]，则y=f(x)的定义域是（2）y=f(2x-1)的定义域是[-3,2]，则y=f(x+2)的定义域是4、已知函数862++-=m mx mxy 的定义域是 R ，求实数m 的取值范围5、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式。

函数的定义域及值域

函数的定义域及值域
函数的定义域和值域是函数的两个基本概念，也是学习函数的重要内容之一。

下面将详细介绍函数的定义域和值域。

函数的定义域指函数自变量的取值范围。

也就是说，在函数中，自变量只能取定义域中的值。

定义域可以是一个数集，也可以是多个数集的交集。

对于一些函数，其定义域可能需要满足一些额外的条件，例如函数的分母不能为零。

下面是一些常见的函数定义域：
（1）多项式函数的定义域是实数集R。

（2）有理函数的定义域是除去使分母为零的实数集的补集。

（3）指数函数、对数函数、三角函数等的定义域都要满足一定条件，例如指数函数的定义域是实数集，对数函数的定义域是(0,+\infty)。

函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值所形成的集合。

也就是说，值域是函数的因变量的取值范围。

对于函数的值域，通常需要考虑函数的单调性、奇偶性、周期等性质。

下面是一些常见的函数值域：
（2）对于三角函数sinx和cosx，它们的值域都是[-1,1]。

（3）对于指数函数y=a^x，其中a>0且a!=1，其值域是(0,+\infty)。

需要注意的是，在求解函数的值域时，需要考虑函数的定义域。

如果函数的定义域不是实数集，那么需要剔除定义域外的值。

综上所述，函数的定义域和值域是函数的两个基本概念。

在学习函数时，我们需要认真理解它们的含义，并学会合理运用。

什么叫函数的定义域

什么叫函数的定义域什么叫函数的定义域?函数定义域是指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称。

以下是店铺为大家整理的关于函数的定义域，欢迎大家前来阅读!函数的定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。

但如果一个函数是抽象的，它的定义域就难以捉摸。

例如：y=f(x) 1≤x≤2与y=f(x+1)的定义域相同吗?值域相同吗?如果已知f(x)的定义域是x∈ [1,2]，f(x+1)的定义域是什么?因为f(x)的定义域是x ∈ [1,2]，即是说对1≤x≤2中的每一个数值f(x)都有函数值，超出这个范围内的任何一个数值f(x)都没有函数值。

例如3就没有函数值，即f⑶就无意义。

因此，当x+1的取值超出了[1，2]这个范围，f(x+1)也就没有了函数值，所以f(x+1)的定义域是1≤x+1≤2这个不等式的解集，也就是说f(x+1)中x+1的值域是f(x)的定义域，又由于1≤x+1≤2故f(x+1)的值域与f(x)(1≤x≤2)的值域也就自然相同了。

看是不是同一个函数，因为都是f()，所以是同一个(是不是统一函数只要看()前面的字母是不是同一个，注意大小写也要一样才是同一函数)题目中的“已知函数f(x)”中的x是一个抽象的概念，x可以代替f()括号中任意表达式，如果他的定义域是(a,b)那么，x+m和x-m的定义域(定义域都是指括号内x的取值范围)都是(a,b)就高中课程而言，函数定义域是说函数f(x)中，x的取值范围。

二、求函数的定义域：求函数的定义域：y=1/x 分母不等于0;y=sprx 根号内大于等于0;y=logaX 对数底数大于0且不等于1，真数大于0;函数定义域简介f(x)是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。

求函数定义域的几种类型

求函数定义域的几种类型函数的定义域是函数自变量的取值范围，是函数研究的基础。

在求解函数定义域时，需要根据函数的特性，确定自变量的取值范围。

本文将从以下几个方面探讨函数定义域的几种类型。

一、与分式有关的函数定义域分式函数的定义域是分母不等于0的实数的集合。

因此，在求解分式函数的定义域时，需要找出分母等于0的实数，并将其排除在外。

例如，函数f(x) =1/(x-2)的定义域为{x|x≠2}。

二、与根式有关的函数定义域根式函数的定义域是被开方数大于等于0的实数的集合。

因此，在求解根式函数的定义域时，需要找出被开方数小于0的实数，并将其排除在外。

例如，函数f(x) = √(x-1)的定义域为{x|x≥1}。

三、与对数有关的函数定义域对数函数的定义域是真数大于0的实数的集合。

因此，在求解对数函数的定义域时，需要找出真数小于或等于0的实数，并将其排除在外。

例如，函数f(x) = log2(x-1)的定义域为{x|x>1}。

四、与三角函数有关的函数定义域三角函数的定义域是全体实数，但在实际问题中，需要对自变量的取值范围进行限制。

例如，正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，但在实际问题中，通常将自变量的取值范围限制在一个周期内。

正切函数的定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，需要对自变量的取值范围进行限制，排除使正切函数无意义的点。

五、与实际问题有关的函数定义域在实际问题中，自变量的取值范围常常受到实际问题的限制。

例如，在研究物体运动时，自变量的取值范围应该是使得物体存在的时间和位置都有意义的实数集合。

在研究人口问题时，自变量的取值范围应该是使得人口数量和时间都有意义的实数集合。

因此，在求解与实际问题有关的函数定义域时，需要考虑实际问题的限制条件。

综上所述，在求解函数定义域时，需要根据函数的特性，确定自变量的取值范围。

常见的函数定义域类型包括与分式有关的函数定义域、与根式有关的函数定义域、与对数有关的函数定义域、与三角函数有关的函数定义域以及与实际问题有关的函数定义域。

函数定义域几种类型及其求法

函数定义域几种类型及其求法函数的定义域是指函数的自变量取值范围，也就是使函数有意义的输入值的集合。

在数学中，函数的定义域可以分为几种常见的类型，如下所述。

1.实数定义域（R）：函数的定义域是实数集合R。

这意味着函数可以接受任何实数作为输入。

例如，常见的函数如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都具有实数定义域。

在这种情况下，不需要做额外的计算来确定函数的定义域，因为它已经明确了。

2.有理数定义域（Q）：函数的定义域是有理数集合Q。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

例如，分式函数如有理函数、整式函数等可以具有有理数定义域。

在这种情况下，我们需要找到函数中的分母，并解方程找到满足分母不为零的有理数值。

3.整数定义域（Z）：函数的定义域是整数集合Z。

这意味着函数只能接受整数作为输入。

例如，阶跃函数、周期函数、模函数等可以具有整数定义域。

在这种情况下，函数的定义域可以通过阅读函数定义或观察函数图形来确定。

4.正数定义域（P）：函数的定义域是正数集合P。

这意味着函数只能接受正实数作为输入。

例如，根式函数如平方根、立方根等可以具有正数定义域。

在这种情况下，我们需要找到函数中的根号，并解方程找到满足根号内值大于等于零的正数值。

5.范围限定定义域：有时函数的定义域可能会根据问题的特定要求而受到限制。

例如，函数表示一个物理过程，其定义域可以是非负实数集合[0,∞)，因为负时间或未来时间不具有实际意义。

确定函数的定义域的方法可以通过以下几种方式：1.查看函数的公式或定义：有时，函数的定义域可以通过检查函数的公式或定义来确定。

例如，当函数是一个分式或根式函数时，分母、根号内值的限制可以帮助我们确定定义域。

2.解方程：对于一些函数，可以通过解方程来确定定义域。

例如，对于有理函数，需要找到使得分母不为零的解。

3.观察函数图形：有时，通过观察函数的图形可以直观地确定定义域。

例如，对于三角函数和周期函数，可以在图上观察到周期性。

函数的概念及定义域、值域基本知识点总结

函数的概念及定义域、值域基本知识点总结函数概念1．映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质B A 、f A B A B B A f →:B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应是A 到B 的映射．例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个考点2：判断两函数是否为同一个函数例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2）， A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =2)(x x f =33)(x x g =x xx f =)(⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g（3），（n ∈N *）；（4），；（5），考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数满足，求（三种方法）例2．（09湖北改编）已知=，则的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式例1．已知函数满足，求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

函数的定义与基本性质总结

函数的定义与基本性质总结在数学中，函数是一种特殊关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的定义和基本性质是数学学习的重要基础知识之一。

本文将重点总结函数的定义、函数的性质以及函数的常见类型。

一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。

通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值或因变量。

函数的定义通常包括定义域、值域和映射规则三个方面。

1. 定义域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合。

它决定了函数的输入范围。

2. 值域：函数的值域是函数映射到的所有可能的因变量值的集合。

它决定了函数的输出范围。

3. 映射规则：函数的映射规则描述了自变量和因变量之间的对应关系，即函数在定义域内的计算规则。

二、函数的性质函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。

1. 单调性：函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的。

如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调增加的。

当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调减少的。

2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。

如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。

如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。

3. 周期性：函数可以具有周期性，即在一定范围内具有相同的函数值。

对于函数f(x)，如果存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数的周期为T。

4. 有界性：函数可以是有界的，即在定义域内存在上界和下界。

如果存在常数M，使得对于定义域内的任意x，有|f(x)|≤M，则函数为有界函数。

三、函数的常见类型在数学中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次幂相加或相乘而得到的函数。

数学中的函数定义域与值域

数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。

4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。

二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。

4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。

三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。

2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。

3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。

四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。

2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。

3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。

4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。

5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。

五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。

2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。

3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。

4.对于对数函数，值域为实数集R。

5.对于分式函数，值域为非零实数集。

6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。

六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。

2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。

3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。

4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

函数定义域的类型

2、抽象函数类型：抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解。一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个函数的定义域。一般有四种情况
（1）已知f(x)定义域，求f[g(x)]的定义域其解法是：已知f(x)定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解 a ≤g(x) ≤b,即为所求的定义域。
练习：已知f (2x 1)的定义域为[2,5],求f ( x)的定义域。
[3,9]
（3）已知 f[g(x)]定义域，求f[h(x)]的定义域其解法是:已知f[g(x)]定义域是[a,b]求f[h(x)]的定义域:由a ≤x≤b,求 g(x)的值域[c,d],再令c≤h(x)≤d,解得x,即为所求定义域。
5、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例7、求函数y log2 ( x2 2x 3)的单调区间
6、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
0 x a 1 解 :由f ( x)的定义域为[0,1], 则g ( x)必有 0 x a 1 a x 1 a a x 1 a 1 1 0 a , x [a,1 a] 当0 a 时，a x 1 a； 2 2 1 1 a , x { } 1 1 所以 2 2 当a 时，x ； 2 2 1 a , x不存在，函数不存在 1 2 当a 时，x不存在，函数也不存在。 2
3、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

函数的定义域分类解析

函数定义域的类型与求法一．常规型1．分式的分母不能为零；2．偶次方根的被开方数大于或等于零；3．对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； 4．零次幂的底数不能为零；5．三角函数中正切函数x y tan =的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2,|ππ且，余切函数x y cot =的定义域为{}Z k k x R x x ∈≠∈,,|π且。

6．如果函数是一些基本函数通过四则运算复合而成，那么其定义域就是使各部分都有意义的x 值组成的集合。

例1．求函数831522-+--=x x x y 的定义域。

例2．函数()34lg --=x x y 的定义域是。

例3．已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=N M （）A.{}1>x xB.{}1<x xC.{}11<<-x xD.φ 例4．函数2log 2-=x y 的定义域是（）A ．()+∞,3 B.[)+∞,3 C. ()+∞,4D. [)+∞,4例5．函数y =） A ．{}0|≥x x B ．{}1|≥x xC ．{}{}01| ≥x xD ．{}10|≤≤x x 例7．函数2()f x=的定义域为。

例8．函数y =的定义域为（） A ．[4,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1] D ．[4,0)(0,1]-例9．函数y =的定义域为（）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-例10．下列函数中，与函数y = 有相同定义域的是（） A .()ln f x x = B.1()f x x =C. ()||f x x =D.()x f x e = 例11．函数()()1lg 11++-=x xx f 的定义域是（） A ．()1,-∞- B ．()+∞,1 C ．()()+∞-,11,1 D ．()+∞∞-,例12．若()()12log 121+=x x f ，则()x f 定义域为（）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21B.⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,21C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 D.()+∞,0 例13．函数()lg(1)f x x =-的定义域是（）A ．(2，+∞)B ．(1,+∞)C ．[1，+∞)D ．[2，+∞)例14．函数y = ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,43B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C ()+∞,1 D. ()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,11,43 二．抽象函数型 1．已知函数)(x f y =的定义域为],[b a ，求函数)]([x g f y =的定义域是指满足],[)(b a x g ∈的x 的取值范围。

函数的定义域与值域知识点及题型总结

函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。

二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。

题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。

二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。

A。

$(-4,-1)$ B。

$(-4,1)$ C。

$(-1,1)$ D。

$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。

解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。

解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。

故选C。

变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。

A。

求函数定义域的几种类型

求函数定义域的几种类型函数定义域指函数在自变量上的取值范围。

根据函数定义的不同，可以分为以下几种类型的函数定义域。

1. 实数域：实数域是最常见的函数定义域类型，对于绝大多数函数，其定义域都是实数集（R）。

实数集包括所有的有理数和无理数。

例如，在函数y = sin(x)中，定义域是实数集。

2.闭区间：闭区间定义域是指定义域包含端点的区间，用[a,b]表示。

闭区间的端点可以是实数或无穷大。

例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间[-∞,0)∪(0,+∞]。

3.开区间：开区间定义域是指定义域不包含端点的区间，用(a,b)表示。

例如，在函数y=√x中，定义域可以是区间(0,+∞)。

4.半开半闭区间：半开半闭区间定义域是指定义域只包含一个端点的区间。

例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间(-∞,0]∪(0,+∞)。

5.单个点：有些函数的定义域只包含一个点，用{x}表示。

例如，在函数y=1/x中，定义域可以是{x，x=1}。

6.开放区域：开放区域定义域是指定义域是一个开放集。

开放集是指不包含边界的区域。

例如，在函数y=e^x中，定义域是开放区域R。

7.中心对称区域：中心对称区域定义域是指定义域关于其中一点对称。

例如，在函数y=√(x^2-1)中，定义域可以是(-∞,-1]∪[1,+∞)；定义域关于x=0对称。

8. 关于x轴对称区域：关于x轴对称区域定义域是指定义域关于x 轴对称。

例如，在函数y = sin(x)中，定义域是全体实数，关于x轴对称。

9.关于y轴对称区域：关于y轴对称区域定义域是指定义域关于y轴对称。

例如，在函数y=x^2中，定义域是全体实数，关于y轴对称。

10.复数域：复数域是指定义为变量可以取复数的函数的定义域。

例如，在函数y=√(1-x^2)中，定义域是复数集合。

综上所述，函数定义域可以是实数域、闭区间、开区间、半开半闭区间、单个点、开放区域、中心对称区域、关于x轴对称区域、关于y轴对称区域和复数域等多种不同类型。

常见函数定义域总结

常见函数定义域总结函数定义域是指函数的自变量的取值范围，也即函数在哪些输入值上能够得到有意义的输出。

不同类型的函数有不同的定义域限制，常见函数的定义域如下：1. 多项式函数：多项式函数的定义域是所有实数集（-∞，+∞），因为实数集上的任何实数都可以作为多项式函数的自变量。

2. 有理函数：有理函数是多项式函数和分式函数的组合，其定义域取决于分式函数的分母。

分母不等于0的所有实数都属于有理函数的定义域。

3. 指数函数：指数函数的定义域是所有实数集（-∞，+∞），因为指数函数的自变量可以取任意实数。

4. 对数函数：对数函数的定义域是正实数集(0, +∞)，因为对数函数的底数必须大于0，并且对数函数的自变量也必须大于0。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其定义域是所有实数集（-∞，+∞）。

6. 反三角函数：反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，其定义域是介于-1和1之间的实数集[-1,1]。

7. 幂函数：幂函数的定义域取决于底数的符号和指数的奇偶性。

当底数为正数时，幂函数的定义域是所有实数集（-∞，+∞）；当底数为负数并且指数为正偶数时，幂函数的定义域是[0, +∞)；当底数为负数并且指数为正奇数时，幂函数的定义域是(-∞,+∞)。

8. 常函数：常函数的定义域是所有实数集（-∞，+∞），因为常函数的输出值是常数，与自变量的取值无关。

9. 分段函数：分段函数由多个不同的函数片段组成，每个函数片段有自己的定义域。

分段函数的总定义域是所有函数片段定义域的并集。

需要注意的是，在定义域中可能存在一些限制条件，比如开方函数的定义域要求自变量大于等于0，或者分式函数的分母不能为0等等。

这些限制条件需要根据具体函数的特点进行判断和分析。

综上所述，常见函数的定义域总结如下：多项式函数的定义域为所有实数集；有理函数的定义域为分母不为0的所有实数集；指数函数的定义域为所有实数集；对数函数的定义域为正实数集；三角函数的定义域为所有实数集；反三角函数的定义域为介于-1和1之间的实数集；幂函数的定义域根据底数和指数的奇偶性而定；常函数的定义域为所有实数集；分段函数的定义域是所有函数片段定义域的并集。

函数定义域

函数的定义域一、基础知识：1、函数的定义域：（1）概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围；（2）解析式法表示函数，其定义域的主要类型：① 解析式含分式，其分母不能为0； ②解析式含根式，其偶次方根的被开方数为非负； ③函数含指数式，零为底时，指数不能为0或负数； ④ 函数含对数式，其底数必须大于0且不等式1，真数必须为正数；⑤实际问题中的函数定义域要根据自变量的实际意义确定。

二、基本问题类型函数定义域问题：1、列表法表示的函数定义域2、解析法表示的函数定义域3、图像法表示的函数定义域4、抽象函数的定义域5、含参数问题三、典型题例例1、求下列函数的定义域：(1)y （2）0(1)y x =--解析：（1）由⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-0230)23(log 21x x 13232123≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤-x x x所以函数的定义域为]1,32(（2）110101≠-≥⇒⎩⎨⎧≥+≠-x x x x 且所以函数的定义域为}11|{≠-≥x x x 且例2、已知函数)1(+=x f y 的定义域是[-2，3]，则f (t )定义域是 . )12(-x f 定义域是 . 解析：函数)1(+=x f y 定义域是[-2，3]，即32≤≤-x ，411≤+≤-∴x ，故f (t )定义域是[-1，4] 从而：4121≤-≤-x ，250≤≤∴x ，所以)12(-x f 定义域是]25,0[.例3、已知函数2lg(2)y x x m =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围为____________；解析：由函数2lg(2)y x x m =++的定义域为R ，可化为：02,2>++∈∀m x R x x 恒成立，从而：1,044>∴<-=∆m m ，实数m 的取值范围为),1(+∞例4、已知函数2()(0,)f x x bx c b c R =++≥∈，是否存在函数()f x ，满足()f x 的定义域和值域都是[]1,0-？若存在，求出()f x 的表达式；若不存在，请说明理由。

函数专题之定义域、值域、解析式

函数专题之定义域、值域、解析式一、定义域：使函数有意义的自变量的集合（注意定义域一定是集合或区间）（1）基础类型：面对分式形式，则分母不为零面对偶次根式形式，则根号内的式子大于或等于零面对零次幂形式，则底数不为零（2）抽象函数的定义域：已知)(x f 定义域求其它函数定义域；已知其它函数定义域求)(x f 定义域1．求下列函数的定义域（1）2143)(2-+--=x x x x f ；（2）()21)(20++--=x x x x f ；（3）3212+=x y ；（4）x x y 322+-=2．函数x x x f 1)(+=的定义域为________ 3．函数x x x x f +-=)1()(的定义域为________4．函数1214)(2-++-=x x x f 的定义域为________ 5．（1）已知函数)(x f 的定义域为[]2,1-，求函数)32(-x f 的定义域（2）已知函数)32(-x f 的定义域为[]2,1-，求函数)(x f 的定义域（3）已知函数)1(+x f 的定义域为[]2,1-，求函数)32(-x f 的定义域6．已知)(x f 的定义域为(]3,1-，则)12()2(-++x f x f 的定义域为________二、值域：全体函数值所构成的集合（注意值域一定是集合或区间）（1）函数值域的解法：图像法（核心）；增减性法（核心）；换元法；配方法等（2）对勾函数：形如)0()(>+=k xk x x f ，其图像形如双勾（3）恒成立问题：m x f D x ≤∈∀)(,恒成立⇒m x f ≤max )( m x f D x ≥∈∀)(,恒成立⇒m x f ≥min )(1．求下列函数的值域（1）)31(32)(≤<--=x x x f （2）x x y 12-=，)121(，∈x（3）212x y x -=+(12)x -≤< （4）)21(22<<--=x x x y（5）)31(4<<+=x x x y （6）x x y 21-+=（7）x x y 14+=，)410(，∈x （8）x x x f -+-=21)(2．已知函数2361y x x =-+，分别求它在下列区间上的值域：（1）[4,0]x ∈-；（2）[2,5]x ∈；（3）[1,2]x ∈-3．函数{}3,2,0,1,12)(-∈+=x x x f 的值域是4．函数12)(--=x x x f 的值域是5．函数13)(+--=x x x f 的值域是6．函数11)(22+-=x x x f 的值域是 7．若,,3212x y R x y +∈+=，则xy 的最大值是 8．函数(][)()⎩⎨⎧-∈++∞-∞-∈++-=2,1,1,21,,32)(2x x x x x x f 的最大值是9．已知6)(+-=x x f ，642)(2++-=x x x g ，⎩⎨⎧≥<=)()(),()()(),()(x g x f x g x g x f x f x h ，那么)(x h 的最大值为 ____10．已知函数22)(x x f -=，x x g =)(，若{})(),(m in )(*)(x g x f x g x f =，则)(*)(x g x f 的最大值是_______11．是否存在实数a ，使函数a ax x x f +-=2)(2的定义域为[]1,1-，值域为[]2,2-？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由12．若函数1)(2++=ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．()()+∞-∞-,22,C ．(][)+∞-∞-,22,D ．[]2,2-13．若函数aax ax x f 1)(2+-=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 14．若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为R ，则实数a 的取值范围是 15．若对任意正数，均有，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．16．如果对于任意的正实数x ，不等式1≥+xa x 恒成立，则a 的取值范围是 17．已知函数22()1(,)f x x axb b a b R =-++-+∈，对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（）A ．10b -<<B ．2b >C ．1b <-或2b >D ．不能确定 18．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；（2）若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围三、解析式（1）基础题型：已知)(x f 解析式求其它函数解析式；已知其它函数析式求)(x f 解析式（2）已知函数类型的待定系数法求解析式（3）配凑法、消元法求函数解析式1．已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f 、)]([x f g 、)]([x f f 、)]([x g g2．设()11x f x x+=-，记()()x f x f =1，()()[]x f f x f 12=，()()[]x f f x f 23=，，则()=x f 2014（） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x- x 21a x <+a []1,1-(1,1)-⎡⎣(3．已知32)1(2-+=+x x x f ，求)(x f4．已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f5．已知x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11，那么()=x f ________ 6．如果2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，那么()=x f ________ 7．已知)(x f 是一次函数，且14)]([-=x x f f ，求)(x f8．已知函数)(x f 是二次函数，且满足1)0=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f9．已知)(x f 是二次函数，且满足1)0(=f ，)2()2(x f x f -=+，且0)(=x f 的两根平方之和为10，求)(x f10．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求)(x f 的解析式11．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，且方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式12．求下列函数的解析式（1）若)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f ；（2）若)(x f 满足x x f x f 3)()(2=-+，求)(x f附注：函数表示之图像例：求作下列函数的图像（1）312)(-+=x x f ；（2）32)(2--=x x x f ；（3）x x x f 2)(2-=。

高考数学知识点精讲：函数的定义域

高考数学知识点精讲：函数的定义域如何提高学习率，需求我们从各方面去努力。

小编为大家整理了2021年高考数学知识点精讲：函数的定义域，希望对大家有所协助。

定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假设按某个确定的对应关系f，使关于集合A中的恣意一个数x，在集合B 中都有独一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域称号定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量一切值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法那么、值域是函数结构的三个基本元件。

往常数学中，实行定义域优先的原那么，无可置疑。

但是事物均具有二重性，在强化定义域效果的同时，往往就削弱或谈化了，对值域效果的探求，形成了一手硬一手软，使先生对函数的掌握时好时坏，理想上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于相互转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

假设函数的值域是有限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必需联络函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来思索函数的取值状况。

才干取得正确答案，从这个角度来讲，求值域的效果有时比求定义域效果难，实际证明，假设增强了对值域求法的研讨和讨论，有利于对定义域内函的了解，从而深化对函数实质的看法。

范围与值域相反吗?范围与值域是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同窗经常将它们混为一谈，实践上这是两个不同的概念。

值域是一切函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而范围那么只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。

定义域知识点总结

定义域知识点总结在代数学中，函数定义域是实数集合，通常是我们可以输入到函数中的实数的所有值。

定义域可以是有限的或者无限的，并且可以包含实数的所有值或者一部分值。

在一元函数的情况下，定义域通常是函数可以接受的所有实数的范围。

但是在多元函数的情况下，定义域可能受到更多的限制，因为函数的定义域涉及到多个变量的取值范围。

定义域的概念对于理解函数的性质和图像是非常重要的。

一个函数的定义域决定了函数的每个点的横坐标的取值范围。

在绘制函数的图像时，定义域的概念可以帮助我们确定函数图像的水平方向的范围。

以下是一些关于定义域的重要知识点总结：1. 函数的定义域是实数集合中的一部分，它是函数定义的自变量可以取值的范围。

2. 函数的定义域可以是有限的或者无限的，也可以是单个数或者数轴上的一段连续区间。

3. 定义域的概念对于理解函数的性质和图像是非常重要的。

4. 在一元函数的情况下，定义域通常是函数可以接受的所有实数的范围。

5. 在多元函数的情况下，定义域可能受到更多的限制，因为函数的定义域涉及到多个变量的取值范围。

6. 在绘制函数的图像时，定义域的概念可以帮助我们确定函数图像的水平方向的范围。

7. 对于有理函数、指数函数、对数函数等特定类型的函数，定义域需要根据函数的性质和特点来确定。

在求函数的定义域时，可以根据函数的性质和特点来确定具体的取值范围。

下面以一些常见的函数类型来说明如何确定函数的定义域。

1. 多项式函数对于一元多项式函数f(x) = a0xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an，它的定义域是实数集合R。

因为实数集合包含了所有实数，多项式函数的定义域也就是所有实数的范围。

2. 有理函数对于一元有理函数f(x) = P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，它的定义域是除去使得分母等于0的x值的所有实数集合。

因为有理函数的定义域受到分母的限制，所以需要排除分母为0的情况。

函数的定义域(解析版)

专题一函数的定义域1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．考点一求给定解析式的函数的定义域【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1] (1)函数y ＝ln(1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1) 答案 D 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1．所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2) 函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg(x ＋1)的定义域为( )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3]答案 B 解析要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．(3) y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2，0)∪(1，2) B ．(－2，0]∪(1，2) C ．(－2，0)∪[1，2) D ．[－2，0]∪[1，2] 答案 C 解析要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(4) 函数f (x )＝2－2x ＋1log 3x的定义域为( )A ．{x |x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x >1} 答案 B 解析要使函数有意义，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－2x≥0，x >0，log 3x ≠0，∴0<x <1．(5) 函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案 (0，2] 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．【对点训练】 1．下列函数中，与函数y 的定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx1．答案D 解析函数y 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}；y ＝ln xx的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}．故选D ．2．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)2．答案 D 解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．答案 C 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2．4．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg(x －1)的定义域为( )A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10] 4．答案 D 解析要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg(x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x >1，x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，10]． 5．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 5．答案 (0，1] 解析由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1．所以该函数的定义域为(0，1]．考点二求抽象函数的定义域【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2] (1) 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D ．⎝⎛⎭⎫12，1 答案 B 解析令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1，0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12． (2) 已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0，2)．(3) 已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]答案 A 解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤1．故选A ．(4) 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案 [－1，2] 解析因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3 ]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．(5) 若函数y ＝f (2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案 16] 解析由题意可得x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则2x ∈[2，4]，log 2x ∈[2，4]，解得x ∈，16]，即y ＝f (log 2x )的定义域为，16]．【对点训练】6．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤13，53B ．⎣⎡⎦⎤－1，53C ．[－3，1]D ．⎣⎡⎦⎤13，1 6．答案 A 解析由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎡⎦⎤13，53，故选A ． 7．设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9，1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9，1)7．答案 B 解析 f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg(1－x )>0的解集，解得－9<x<1，所以f [f (x )]的定义域为(－9，1)．故选B ．8．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1，0) 8．答案 D 解析由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1，1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0．9．若函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，则f (2x －2)的定义域为( )A ．[0，1]B ．[log 23，2]C ．[1，log 23]D ．[1，2]9．答案 B 解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0，1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2．∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2．∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23，2]．考点三已知函数定义域求参数【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3] (1) 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为_________．答案 [－2，2] 解析若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2]．(2) 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0，4) B ．(0，4) C ．[4，＋∞) D ．[0，4]答案 D 解析由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4．综上可得：0≤m ≤4．(3) 若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1，0] 解析因为函数f (x )的定义域为R ，所以22+2-x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即22+2-x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．(4) 若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34C ．⎣⎡⎦⎤0，34D ．⎣⎡⎭⎫0，34 答案 D 解析 ∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34．【对点训练】10．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．10．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14 解析由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14． 11．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 11．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92．12．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．12．答案 [0，3) 解析因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数u ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数u ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3．综上所述，a 的取值范围是[0，3)．。