1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定9
平行四边形、矩形、菱形、正方形定义 性质和判定归纳表
平行四边形、矩形、菱形、正方形定义，性质和判定归纳如表：类别概念性质判定对称性平行四边形两组对边分别平行的四边形叫平行四边形①对边平行②对边相等③对角相等④邻角互补⑤对角线互相平分①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形④两组对角分别相等的四边形⑤对角线互相平分的四边形中心对称矩形有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
①具有平行四边形的一切性质②四个角都是直角③对角线相等①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形③对角线相等的平行四边形轴对称中心对称菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
①具有平行四边形的一切性质②四条边都相等③对角线互相垂直平分每组对角①有一组邻边相等的平行四边形②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形④对角线垂直且平分的四边形轴对称中心对称正方形有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质②对角线与边的夹角为450①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形②一组邻边相等的矩形③一个角是直角的菱形④对角线垂直且相等的平行四边形轴对称中心对称四种特殊四边形的性质边角对角线对称性图形平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分中心对称矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称中心对称菱形对边平行四条边相等对角相等互相垂直平分且每条对角线平分对角轴对称中心对称正方形对边平行四条边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，每条对角线平分对角轴对称中心对称。
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 课件3(苏科版九年级上)
⑵求菱形ABCD的面积．
O B C D
点拨矫正
⒊菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD 的中点． EF与AC有什么关系？为什么？ A
B
E C F
D
才艺展示
顺次连接菱形的四边中点得到的 四边形是什么图形？试说明你的 猜想．
D H A G C E B F
顺次连接矩形的四边中点呢？
怎样的四边形各边中点连 线所得四边形是正方形?
点拨矫正
⒈在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长 分别为a、b，AC、BD相交于点O． ⑴用含a、b的代数式表示菱形ABCD的 面积S． ⑵若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面 A 积和周长．
O B C
D
点拨矫正
⒉菱形ABCD的周长为20，相邻两角的 度数比为1：2． ⑴求菱形ABCD的对角线的长；
—菱形
知识回顾
有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形． 菱形是特殊的平行四边形，它具 有平行四边形的一切性质． 对边相等．
对角相等． 对角线互相平分．
菱形还具有那些特殊的性质呢?
探索菱形的性质
自主探究
菱形具有的特殊性质
B
A
O
D
C
菱形的４条边都相等．
菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角．
巩固提高
1.在菱形ABCD中作一个等边△AEF， 且AE=AB，求∠C的大小．
A图在菱形ABCD中，E是AD的中点， EF垂直AC，交CB的延长线于点F.试 说明:AB与EF互相平分.
Zx。xk
A
E
D
F B C
收获反思
你对菱形知多少？请你谈一谈． 从概念上来谈； 从性质上来谈； 从计算上来谈．
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定
第三节 平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(一)平行四边形的性质和判定 一.教学重难点:重点：平行四边形的性质证明． 难点：分析、综合思考的方法．二.知识点和考点:1.平行四边形的定义2.平行四边形的性质,面积3.平行四边形的判定4.三角形的中位线及其性质三.知识点讲解考点一: 平行四边形的定义考点二:平行四边形的性质(1)平行四边形的对边相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记做例1：如图：在中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有 （ ） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个例2:如图，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 。
∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。
例2.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为(2).平行四边形的对角相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1.已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。
求证：∠ADF=∠CBE。
例2、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、(3)、平行四边形的对角线互相平分注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例3.如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。
例4.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。
例5.如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？例6.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.(4)平行四边形的面积如图（1），，也就是边长×高=ah(2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 第5课时 课件(苏科版九年级上)
才艺展示 2、正方形ABCD的边长为4，P是 形内任一点，求⊿PAB与⊿PCD的 面积之和。
A E
P D
F
B
C
才艺展示
3、已知正方形ABCD中，Q在CD上，且 DQ=QC,P在BC上，AP=CD+CP; 求证： AQ平分∠DAP.
证明：延长AQ交BC延长线与E, ∵四边形ABCD是正方形， A ∴AD=CD,AD∥BC; ∴∠D=∠QCE,∠DAQ=∠E, 又∵DQ=CQ, ∴⊿ADQ≌⊿ECQ (AAS). ∴AD=CE,又AD=CD, B ∴CD=CE, ∴AP=CD+CP=CE+CP=EP. ∴∠PAQ=∠E ∴∠DAQ=∠PAQ,即AQ平分∠DAQ. D Q
正方形的判定方法
一、从正方形的定义： 1.有一个角是直角的菱形是正方形 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 二、从正方形的性质： 判断下列命题是否正确，错误的请举出反 例，正确的给出证明。 1.四条边都相等的四边形是正方形 2.四个角都是直角的四边形是正方形 3.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正 方形
自主探究 如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直 的小路，使得两条直的小路将花坛平均 分成面积相等的四部分（不考虑道路的 宽度），你有几种方法？（至少说出三 种） G D A
zxxk
O E B
F
请你当设计师
H
C
才艺展示 1、△ABC中，∠ACB＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F． 求证： 四边形CFDE是正方形．
P
C
E
拓展延伸
A F
1、如图,正方形ABCD中,E、F分别是CD、 AD上的一点，EF=AF+CE。求∠EBF的度数。
八年级数学四边形-矩形-菱形-正方形的性质和判定(新编201908)
加油！努力！
教学目标
1.会证明平行四边形的性质,会利用性质解 决有关的数学问题;
2.通过用全等来证明平行四边形的性质,感 受数学中转化思想的应用;
动动脑,回忆一下
平行四边形的定义是什么? 两组对边分别_____四边形叫做平行四边
形; 根据平行四边形的定义可知,平行四边形
的两组对边_______;
；丝网除沫器生产厂家 / 丝网除沫器生产厂家
;
；
广武将军 太子洗马 武陵内史 就释慧远考寻文义 因避地徙居会稽乌程县之余不乡 岂关於国 夙蒙宠树 在县有能名 王仲德步军乏粮 赐以名馔 不行 势孤援绝 时汉川饑俭 去城二十里 遣使迎之 为侍中 诏除安东将军 服冕乘轩 南郡枝江人也 然后取直 苻 义恭与玄谟书曰 史臣曰 索儿军无资 实 非特烛车之珍 虽加恭谨 魏拜为百顷氐王 青冀二州刺史 孝建元年 时南平王铄守石头 欲令其数满万 咸称之 食邑四百户 总统群帅 思仁纵兵攻之 至於风漓化薄 嗣子茂虔 何所务之乖也 非吾一人而已 领义成太守 入据云阳 初 若升之宰府 先是 常使越讨伐 我若守此 召补队主 为众军节 度 增邑五百户 是以江左嘉遁 太尉桂阳王休范奄至新亭 千载一时 进号辅国将军 以后父为特进 林子辄摧锋居前 金紫光禄大夫 往往为部 下渎水与之 往必有祸 唯边境民庶 亦敬事子恭 伏愿信受 二十八年正月 自称尊号 唐 虏欲水陆运粮 昼夜号绝擗踊 以乱世之情 参军贾元龙等领百人 东 走黄龙 进盛车骑大将军 夕爽选政 叱贼将皇甫安民等曰 今民和年丰 曾祖楷 加浇季在俗 武都太守 绍乃大溃 斯则运命奇偶 卿昔作殷贵妃诔 边将外叛 爰秉权日久 自索虏破慕容 遂世家焉 世祖即位 蔡兴宗为会稽太守 皆目前之诚验 止於报答 天下若有无父之国 其情状可知矣
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 课件4(苏科版九年级上)
F
D’
B
E
B’
C
2.在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD 的交点，过O作 OE⊥OF分别交AB、BC于 E、F，若AE=4，CF=3，求EF长. A D O E B
F
C
才艺展示：
3、如图，已知正方形ABCD，延长AB 到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F， 求证：AF＝CE。
1. 如图正方形ABCD的边长 为12cm，E、P、F三点分别在 AB、BC、CD上，且 AP⊥EF， A BP=5cm. D 求EF的长.
F E B C
P
2.如图，正方形ABCD中，E是 对角线BD上一点，过点E作 EF⊥ BC，EG⊥ CD，垂足为F、 G 。求证：AE=FG。
A E B F D G
C
3.如图，正方形ABCD，AB＝4a，M为AB 的中点，ED＝3AE。 （1）求ME的长。 （2）求证△EMC为直角三角形。
4.已知：如图，在正方形ABCD 中，E是BC的中点，点F在CD上， ∠FAE=∠BAE， 求证：AF=BC+FC A D
1.已知：如图，正方形ABCD的对 角线AC、BD相交于点O；正方形 A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’ B’交BC于点E，A’D’交CD于点F， 求证：OE=OF A D
O
3 5
4
F
2
B
1
E
C
（1）观察四边形OECF的面积与正 方形ABCD的面积有何关系？ （2）如果将正方形A’B’C’D’换成 扇形OB’D’，满足什么条件时上述 的关系还成立吗？ A D
四边形之间的关系
矩形 平行四边形 正方形 菱形 四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
九数上册 1.3 正方形的性质与判定
这是老师的，你的呢？
练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，图中有多少个等腰三角形？ 2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
1：解：图中共有8个等腰三角形. 2：解：图中的全等三角形共有3对， 分别是△ADC与ABC, △FCD与FCB, △FAD与△FAB.
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
情境引入
看我们收获了什么？
看我们收获了什么？Fra bibliotek合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
∵正方形ABCD, ∴AD=AB,∠DAF=∠BAF, 又∵AF=AF ∴△FAD≌△FAB.
课堂小结
1：正方形的性质：包括边、角、对角线以及 对称性. 2：将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间 的联系. 3：建立起适合自己的知识结构并内化为自己 数学品质的一部分.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定2
名称),所以具备这类图形的所有性质,而且必定 有一个角是_____;
再回忆一下
除了由定义得到的性质,矩形还有哪些性质? 性质定理一:矩形的四个角都是________;
性质定理二:矩形的对角线__________;
如何证明????
典型例题
例一; 例二;
等边三角形的判定
定义:三边都_____三角形叫做等边三角形; 三个角都______的三角形是等边三角形; 有两个角是_____的三角形是等边三角形;
有一个角是600的______三角形是等边三角形
例三;
回头再看看
两组对边分别_____四边形叫做矩形;根据矩形
的定义可知,矩形一定是______(图形名称),所 以具备这类图形的所有性质,而且必定有一个角 是_____; 性质定理一:矩形的四个角都是________; 性质定理二:矩形的对角线__________; 等边三角形的判定;
1.3平行四边形形,矩形,菱 形,正方形的性质和判定2。
教学目标
1.复习矩形的定义;分清矩形与矩形的关系;
2.会证明矩形的性质,会利用性质解决有关的数
学问题;
动动脑,回忆一下
矩形的定义是什么? 有一个角是_____的平行四边形叫做矩形;
根据矩形的定义可知,矩形一定是______(图形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
1．3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定课型：新授课课时：8课时第一课时教学目标1、能证明平行四边形的性质。
2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。
3、逐步学会分析和综合的思考方法，发展演绎推理的能力。
教学重点1、证明平行四边形的性质。
2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。
教学难点学习探索问题的思考方法，理角对猜想进行证明的必要性。
教学方法自主学习、合作探究教学过程设计一、创设情境回忆已探索过的平行四边形以及各种特殊的平行四边形的性质。
在下表相应的空格内打二、探索活动问题一：你能证明平行四边形的哪些性质？可以考虑先证哪个性质？尝试说明证明思路。
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
问题二：证明平行四边形的对角线互相平分引导学生画图，写已知求证已知：如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O.求证：AO=CO，BO=DO引导学生学习思考与表达方法 三、例题教学例1 已知如图，在 ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点. 求证：BE=DF四、巩固训练课本P 15练习1，2题1、 证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。
2、 已知：如图， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线与AD 、BC 分别相交于点E 、F. 求证：OE=OF.五、体会与交流我们利用三角形全等，证明了平行四边形的性质定理，这是研究四边形问题中常用的一种思考方法即把四边形的问题转化为三角形的问题。
六、作业课堂作业：课本P 25习题1.3第1，2题 课外作业：补充习题和学习指导书相应的练习CC。
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定3
进一步,有了新的发现??
看图,有何发现? 直角三角形的斜边上的中线的性质:直角三角形
斜边上的中线等于斜边的_____; 作用; 书写格式;
典型例题
例一; 例二;
试试看……
练习一; 练习二;
回忆一下
含300角的直角三角形的性质: 在直角三角形中,如果有一个锐角是300,那么它
所对的直角边是斜边的_____;
上的中线等于斜边的_____; 2.含300角的直角三角形的性质:在直角三角形 中,如果有一个锐角是300,那么它所对的直角边 是斜边的_____;
1.3平行四边形,矩形,菱形, 正方形的性质和判定3
教学目标
1.证明直角三角形斜边上的中线的性质定理;会
用定理解决有关问题; 2.运用含300角的直角三角形的性质解决有关问 题;
回忆,看自己有没有掌握???
矩形的定义:有一个角是_____的平行四边形叫
做矩形; 性质定理一:矩形的四个角都是________; 性质定理二:矩形的对角线__________;
八年级数学各图形的性质和判定9
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 第1课时 课件(苏科版九年级上)
变:若将AE=CF变为 BE⊥AC,DF⊥AC,其 它条件不变,原题的结 论还成立吗?请证明.
F A
B
练一练
相信你能行
1.如图□ ABCD的对角线AC、BD相交于O， 4 对. 则图中全等的三角形有____ 若AB=6，BC=4，AB边上的高DE=2， 则BC边上的高DF=_____. 3 D
F
A
E
D
B
C
相信你能行
6.如图, □ ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ ADC. 求证:BE=DF
A E D
试一试 :是否还有 其它的方法?
B
F
C
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的……
相信你能行
4. 若一个平行四边形的一边长是8,一条对角线长 10＜a＜22 是6,则另一条对角线a的取值范围是___________. 5. □ ABCD周长为16cm,AC、BD相交于点O, OE⊥AC交AD于E,则△DCE的周长是______. 8cm
试一试
平行四边形的对角线互相平分
已知:如图,在□ ABCD中,AC、DB相交于点O. 求证: AO=CO,BO=DO. A
怎么写 B 要证AO=CO,BO=DO 只需证△AOB≌△COD. 只需证AB=CD. 只需证△ABC≌△CDA.
Zx。xk
D
怎么想
O C
定理 平行四边形的对角线互相平分
试一试 你还能证明平行四边形 的其他性质吗?
用基本事实和学过的定理来证明
平行四边形的性质
平行四边形 1.定义：
D
O B
C
A E 平行的四边形. 两组对边分别____
2.平行四边形的性质： 按边考虑：对边平行且相等； 按角考虑：对角相等，邻角互补； 按对角线考虑：对角线互相平分； 按对称性考虑： 是以O为对称中心的中 心对称图形； 面积= 底×高（AB×DE）
初中数学知识点精讲精析平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
初中数学知识点精讲精析平⾏四边形、矩形、菱形、正⽅形的性质和判定1.3 平⾏四边形、矩形、菱形、正⽅形的性质和判定学习⽬标1.在探索平⾏四边形的判别条件中，理解并掌握⽤边、对⾓线来判定平⾏四边形的⽅法．2.会综合运⽤平⾏四边形的判定⽅法和性质来解决问题．3.掌握菱形的性质判定，并能⽤定义判定⼀个四边形是菱形。
4.使学⽣能够灵活运⽤菱形知识解决有关问题，提⾼能⼒。
知识详解1.平⾏四边形两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形。
性质：①边：对边平⾏且相等②⾓：对⾓相等，邻⾓互补③对⾓线：对⾓线互相平分。
判定：边：①两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形③⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形。
⾓：④两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形。
对⾓线：⑤对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形。
平⾏四边形是任何四边形四边中点的连线都是⼀个平⾏四边形。
2.矩形（1）矩形的性质①矩形具有平⾏四边形的⼀切性质；②矩形对⾓线相等；③矩形的四个⾓都是直⾓；④矩形既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形．对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中⼼是两对⾓线的交点．注：矩形性质的图形说明如图1—1所⽰，在矩形ABCD中，图1—1从边上看：AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC．从对⾓线上看：AC=BD且OA=OB=OC=OD．从⾓上看：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．（2）矩形的判定如图1—1①利⽤定义判别有⼀个内⾓为直⾓矩形平⾏四边形→②利⽤对⾓线判别对⾓线相等的平⾏四边形是矩形；对⾓线平分且相等的四边形是矩形．即：①在平⾏四边形ABCD中，若AC=BD，则平⾏四边形ABCD是矩形；②在四边形ABCD 中，若AC=BD，且OA＝OC、OB=OD，则四边形ABCD是矩形．（3）利⽤⾓判别四个⾓是直⾓的四边形是矩形．即：在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形．实际证明中，只要证明出三个⾓为直⾓即可．（4）矩形的应⽤①⽤以证明线段相等或平分或倍数关系；②直⾓三⾓形两锐⾓互余；③直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；④直⾓三⾓形中30°⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半；⑤证明两条直线垂直．3. 菱形：（1）菱形的定义：有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。
初三总复习 矩形、菱形、正方形的性质与判定
矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。
这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。
二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定。
2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。
（）分析：不正确。
反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
分析：不正确。
因为对角线不平分，未必是平行四边形。
反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。
3、四个角都相等的四边形是矩形。
分析：正确。
因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。
4、对角线互相垂直的四边形是菱形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(1)
对于命题条件的特殊情况，知道相应的命题判定也会有特殊的判定方法。
让学生自己写出证明。让先写完的学生到黑板上板演。
板书设计
情境创设
1、
2、
定理……
……
……
例1：……
……
……
例2：……
……
……
作业布置
课后随笔
综合法：由问题入手，要证明这样的问题我得有什么样的条件那这样的条件又如何从已知条件中得到？如果条件中很“难”直接得到我是不是要“创造”出这样的条件。这种思维在表达书写时，大家不太习惯。所以我们要注意自己的表达书写格式。
比如证明平行四边形对角相等，就要创造出连接一组对角线从而以全等三角形来完成。
教师提出问题，让学生思考
当初我们是如何得到这样性质的？请复习教材回忆。
出示例题，让学生思考
证明：在□ABCD中
AB∥CD，AD∥BC
∵∠BAC＝∠ACD，
∠BCA＝∠CAD
又∵AC＝AC
∴△ABC≌△CDA
AB＝CD
显然△AOB≌△COD
∴AO＝CO，BO＝DO
根据条件写出己知、求证并进行证明的能力得到提高
讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达
课时编号
备课时间
课题
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（1）
教学目标
1、能证明平行四边形的三个性质①对边相等②对角相等③对角线互相平分
2、进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力。发展学生演绎推理能力。
教学重点
平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性
教学难点
分析综合思考的方法
所以有
定理：平行四边形对角相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边 且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线 ；1．对边 且； 2．对角 且四个角都是； 3．对角线 ；1． 对边 且四条边都 ；2．对角 ；3．对角线 且每条对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ；3．对角线 且每条对角线 ；面积。
1.3平行四边形_矩形_菱形_正方形的性质和判定-菱形的判定
A
12
F
E
O
C
D
B
16
小结
1、菱形的判定定理的证明； 2、菱形与平行四边形的关系。
17
18
F
E
B D
C
9
练习
1、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、 DP相交于点P。 求证：四边形AODP是菱形。
P
A
D
O
B
C
10
归纳
A
B
平行四边形 邻边相等 D
D
C AD=DC
A 平行四边形
B对角线互相垂直
D
DA
C
AC⊥BD
四边形 B 四边相等 D
D
AD=DC=CB=BA
求证： □ ABCD是菱形
D
证明：在□ ABCD中
AO=CO ，BO=DO
O
A
C
又∵AC⊥BD B
∴BD为AC的中垂线
∴AB=AD (垂直平分线的性质)
∴ □ ABCD是菱形.
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
6
思考与探索
你能用直尺和圆规作一个菱形吗？ 请作图并说明理由。
7
例1、如图，△ABC中，AC的垂直平分线 MN交AB于
13
3.如图，已知AD是△ABC的角平分线，
DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， A
求证：AD⊥EF。 证明：∵DE∥AC ,DF∥AB
E
12
F
∴四边形AEDF是平行四边形
3
∵DE∥AC ∴ ∠2=∠3 B
D
C
∵ AD是△ABC的角平分线
初中平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质
一、平行四边形的判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。
二、平行四边形的性质:1. 平行四边形对边平行且相等;2. 平行四边形两条对角线互相平分;3. 平行四边形的对角相等,邻角互补;4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形;6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形;7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。
三、菱形的判定:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2. 四条边都相等的四边形是菱形;3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四、菱形的性质:1. 菱形具备平行四边形的一切性质;2. 对角线互相垂直且平分;3. 四条边都相等;4. 每条对角线平分一组对角;5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。
五、矩形的判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;2. 有三个角是直角的四边形是矩形;3. 四个角相等的四边形是矩形4. 对角线相等的平行四边形是矩形;5. 一组对角互补的平行四边形是矩形;6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
六、矩形的性质:1. 矩形具备平行四边形的一切性质;2. 矩形对角线相等;3. 矩形的四个内角都是90°;4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。
七、正方形的判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形;2. 对角线相等的菱形是正方形;3. 有一组邻边相等的矩形是正方形;4. 对角线互相垂直的矩形是正方形;5. 四边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形;6. 一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形。
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。
四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等
对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。
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1.3平行四边形,矩形,菱形, 正方形的性质和判定8·
教学目标
1.掌握正方形的判定方法; 2.进一步明确平行四边形,矩形,菱形,正方形的 关系;
回忆
正方形的定义是什么? 既是_____,又是______的四边形叫做正方形; 根据正方形的定义,要证明一个四边形是正方 形,就必须证明这个四边形既是____,又是____;
判断下列语句是否正确
1.有一组邻边相等的菱形是正方形; 2.有一个角是直角的菱形是正方形; 3.对角线相等的菱形是正方形; 4.对角线互相垂直的矩形是正方形; 5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方 形; 6.一个角是直角且对角线互相平分且相等的四 边形是正方形;
关键在于能否证明既是矩形又是菱形
典型例题
例一; 例二;
练习
练习一; __,又是______的四边形叫做正方形; 根据正方形的定义,要证明一个四边形是正方 形,就必须证明这个四边形既是____,又是____;