第2讲奇偶性与连续数问题

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人教版五年级下第二讲奇数和偶数

分析：每人有基础分15分，每答1道题，分数将增加或减少一个奇数（增加5分、1分或减少1分）。因而答30道题，将增加或减少30个奇数。由于30是偶数，30个奇数相加减，结果必为偶数。但15是奇数，所以每个人的得分是奇数（=15〒偶数），1993个人的得分总和也是奇数。
5、1992是24个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？分析：把这24个偶数前后配对，共
1、从图中选出5个数来，使它们的和等于35，能否选出来？为什么？
2 10 4 6 8 4
2
8
12
解：要使和为35，这五个数应至少有1个奇数，可图中的 9个数均为偶数，所以选不出 5个数的和是35。
【例2】袋中放有51个白球和100个黑球，小明每次从中任意摸两个球放在外面，如果是同色球，小明就再放一个黑球到袋中；如果是异色球，则将白球放回，小明从袋中摸了149次后，袋中还剩下几个球？它们是什么颜色？
2、任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？分析：
这1994个自然数中，若第一个数是奇数，则最后一个数是偶数；若第一个数是偶数，则最后一个数是奇数，所以无论第一个是什么数，奇数和偶数都一样多。都有： 1994〔2=997（个） 997个偶数相加和是偶数，997 个奇数相加和是奇数，奇数＋偶数=奇数，
4、有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字。问：在这一串数中，会依次出现1、 9、8、8这四个数吗？提示：
数列：19 87599 03137 45953 29933 规律：从第三个数开始奇偶规律是偶奇奇奇奇… 所以不可能出现连续两个偶数的情况即不会依次出现1988这四个数

高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式【题型】三、构造奇偶函数求函数值【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题【题型】八、定义法判断证明函数的单调性【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性【题型】十、利用函数的周期性求函数值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()()()3log 91xf x ax a =++∈R 为偶函数．(1)求a 的值；(2)当[)0,x ∈+∞时，不等式()0f x b -≥恒成立，求实数b 的取值范围．【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，则不等式(3)0x f >的解集为（） A ．()()33,log 2log 2,-∞-⋃+∞ B ．3(log 2,)+∞ C ．3(,log 2)-∞-D ．33(log 2,log 2)-例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（） A ．()y f x =在(),0∞-上单调递增 B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减 C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->第二天学习及训练【题型】三、构造奇偶函数求函数值例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()ln(4f x x x=++在[8-，8]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M m +=（）A ．8B ．6C ．4D ．2例7．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数()3e e 3x xf x x -=-++ ，若()5f a =，则()f a -=（） A ．2B ．1C ．－2D ．－5例8．（2022·甘肃·陇西县第二中学高三阶段练习（文））已知函数()()()22sin 11f x x x x x =--++，则()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．6B ．4C ．2D ．3-【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1y f x =+是偶函数，()()2f x f x -=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列说法不正确的是（） A ．()20221f =-B ．当[]9,11x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1C ．()3y f x =+为奇函数D ．方程()()lg 1f x x =+仅有5个不同实数解例10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（） A ．()1fB ．()2fC ．()3fD ．()4f例11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 存在导函数()f x '，且满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=-，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程可以是___________（写出一个即可）第三天学习及训练【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题例12．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例13．（2023·全国·模拟预测）若()()R,11x f x f x ∀∈+=-，当1x ≥时，2()4f x x x =-，则下列说法错误的是（） A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递减例14．（2022·全国·高三专题练习）设ππ,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若333πcos()2024sin cos 0x x a y y y a ⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y +＝______．【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()3221,2f x f x f x f x -=-+-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（） A ．2023B ．2024C ．3033D ．3034例16．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞例17．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()3221f x f x -=-，()()2f x f x -+=，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++=______.第四天学习及训练【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题例18．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设*n ∈N ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22110f x f x -++=，()f x 在[]0,1单调递增，()11f =，则（）A ．()11f -=B ．()40nf =C ．()211f n -=D ．()211nf -=例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-【题型】八、定义法判断证明函数的单调性例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数()ln(2f x x x =+且233()1)23a a f a --<--，则a 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．)C ．)+∞D ．(()3,∞⋃+例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x --=，则（）A ．()()22f x y f x =为偶函数 B ．()()2y f x f x =-是增函数 C ．()()sin 1y f x =-不是周期函数 D ．()()1y f x f x =++的最小值为1例22．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =； ④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________第五天学习及训练【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象在点(π,(π))f 处的切线方程为0x y +=D ．()f x 在区间π(,π)2上是减函数例25．（2023·全国·高三专题练习）判断函数()f x x =+.【题型】十、利用函数的周期性求函数值例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（）A ．2021B ．1C ．1-D ．0例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-例29．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 为偶函数，且()1f x +为奇函数，若()00f =，则（）A ．()30f =B ．()()35f f =C ．()()31f x f x +=-D ．()()211f x f x +++=例30．（2023·全国·高三专题练习）若函数()2,0,(1)(2),0,x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩则()2023f =________.第六天学习及训练三、题型模拟演练一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（） A ．奇函数但不是偶函数 B ．偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()12g x +为偶函数，则（） A ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 B ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 C ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称 D ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称3．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是单调递增的，设()2log 4a f =，()1b f =-，23c f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b<c<aD ．c a b >>4．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()f x f x +=-，且当(2,0)x ∈-时，2()(3)f x x x =-，则(103)f 等于（） A ．2B ．12-C ．2-D ．45．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））设奇函数 ()f x 在()0∞+，上单调递增，且(4)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（）A ．{04}x x <<∣B ．{4xx <-∣或4}x > C ．{4}xx >∣ D ．{40xx -<<∣或04}x <<6．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解二、多选题8．（2022·河北沧州·高三阶段练习）函数()()1||x f x x αα=∈-R 的大致图象可能是（） A ． B ．C ．D ．三、填空题9．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()40f x f x +-=，写出()f x 的一个正周期：______．四、解答题10．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()=log (+1)f x x - .(1)求()0f ，()1f ；(2)若()11f a -<- ，求实数a 的取值范围.11．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数()221x x a f x +=+是奇函数．(1)求a 的值；(2)已知()()2212f m f m -<-，求m 的取值范围．高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式【题型】三、构造奇偶函数求函数值【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题【题型】八、定义法判断证明函数的单调性【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性【题型】十、利用函数的周期性求函数值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023【答案】B【分析】利用函数()g x 的奇偶性求出a ，得到函数()f x 的解析式，根据解析式求函数值即可.【详解】由已知可得12()(1)1111a x a g x f x a x x a -+=-+=+=+-+-，则2()1ag x x a -=-+-．因为()g x 是奇函数，所以22()()011a ag x g x x a x a +-=+=+--+-，因为0a ≠，解得1a =，所以1()1x f x x -=+，所以2021(2022)2023f =-. 故选：B ．例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________. 【答案】1- 【分析】根据()()0f x f x ，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得a ，再根据导数的几何意义可得()2f b '=，从而可求得b ，即可得出答案. 【详解】解：函数2e ()e x xaf x +=的定义域为R ，因为()()0f x f x ，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f a =+=，解得1a =-，所以2e 1()ex x f x -=，则()22e 11e ()e e x xx xf x f x -----===-，所以2e 1()ex x f x -=，则()222212e e 1()e e e e ex x xx x xxf x '==⋅--⋅+，因为()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，所以2e 1()2eb b f b '+==，解得0b =，所以1a b +=-. 故答案为：1-.例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()()()3log 91xf x ax a =++∈R 为偶函数．(1)求a 的值；(2)当[)0,x ∈+∞时，不等式()0f x b -≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】(1)1- (2)(]3,log 2-∞【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数a 的值；（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数()f x 在[)0,∞+上的单调性，由此可得出实数b 的取值范围.【详解】（1）解：因为函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()33log 91log 91x xax ax --++=++，所以，()()()333312log 91log 91log 91log 19x x xx ax -⎛⎫-=+-+=+-+ ⎪⎝⎭()()333391991log 91log log log 92991x x x xxx x x +⋅+=+-===+， 1a ∴=-.（2）解：()()()()23333331log 91log 91log 3log log 333x xxxx x xf x x -+=+-=+-==+，因为0x ≥，由基本不等式可得()()(333log 33log log 2x x f x -=+≥=，当且仅当33x x -=时，即当0x =时，等号成立，故3log 2b ≤. 【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，则不等式(3)0x f >的解集为（） A ．()()33,log 2log 2,-∞-⋃+∞ B ．3(log 2,)+∞ C ．3(,log 2)-∞- D ．33(log 2,log 2)-【答案】B【分析】由题意，作出函数()f x 简图，数形结合列指数不等式，并求解. 【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，作出函数()f x 的简图，如图所示，则(3)0x f >时，332log 2xx >⇒>，或32x x <-⇒∈∅，所以可得不等式(3)0x f >的解集为3(log 2,)+∞. 故选：B例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（） A ．()y f x =在(),0∞-上单调递增 B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减 C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->【答案】BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除12x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，即可判断()1f x 与()2f x 两者的大小，从而判断选项A ，选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定()1112f x x -与()2212f x x -的大小，从而确定函数的单调性，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦，所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-，因为210x x >>，所以12110x x >>，所以()()2211011f x f x x x ->->，因为210x x >>，所以210x x --＜＜，因为()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()()()()121212110f x f x f x f x x x -=--+->->，所以()()21f x f x ->-，因为210x x --＜＜，所以()y f x =在(),0∞-上单调递增，故选项A 错误；因为()()121211f x f x x x ->-，12110x x >>，所以1201122x x >>，所以()()()()()11121222112221111111122222f x f x f x f x f x x x x x x x x x -->->=+-++=-，即()()12122112f x f x x x ->-，又因为210x x >>，所以()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减，选项B 正确；因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立，所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>，又因为()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，所以()()33f f =--，所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.第二天学习及训练【题型】三、构造奇偶函数求函数值例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()ln(4f x x x=++在[8-，8]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M m +=（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】A【分析】设()1ln(x xg x =+，[]8,8x ∈-，证明函数()g x 为奇函数，则有()()max min 0g x g x +=，从而可得出答案.【详解】解：设()1ln(x xg x =+，[]8,8x ∈-，因为()()11ln(g x x g x x x --=--==-，所以函数()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 448f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤+=+++=⎣⎦⎣⎦，所以8M m +=．故选：A ．例7．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数()3e e 3x xf x x -=-++ ，若()5f a =，则()f a -=（） A ．2 B ．1C ．－2D ．－5【答案】B【分析】构造函数()()33e e x x g x f x x -=-=-+，利用其奇偶性求解.【详解】设()()33e e x x g x f x x -=-=-+，则()()()33e e e e x x x x g x x x g x ---=--=--+=-，所以()g x 是奇函数．因为()()32g a f a =-=，所以()()32g a f a -=--=-，则f (－a )＝1．故选：B例8．（2022·甘肃·陇西县第二中学高三阶段练习（文））已知函数()()()22sin 11f x x x x x =--++，则()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．6B ．4C ．2D ．3-【答案】B【分析】构造函数()()()211g x f x x =+=-sin 2x x ++，由()()21sin h x x x x =-+为奇函数，()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()()2222log 3log 3log 32log 32g g h h +-=++-+即可得解. 【详解】将()y f x =的图像向左平移1个单位长度，得到()y g x =的图像，则()()()211g x f x x =+=-sin 2x x ++，令()()21sin h x x x x =-+，显然()h x 为奇函数，所以()()()22222log 6log 1log 31log 33f f f f ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭()()()()2222log 3log 3log 32log 324g g h h =+-=++-+=．故选：B ．【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1y f x =+是偶函数，()()2f x f x -=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列说法不正确的是（） A ．()20221f =-B ．当[]9,11x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1C ．()3y f x =+为奇函数D ．方程()()lg 1f x x =+仅有5个不同实数解【答案】D【分析】由已知条件可得函数的对称中心及对称轴，利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数()f x 的图象，依据图象对各个选项进行判断即可. 【详解】∵()()2f x f x -=--，∴()()()1121f f f -=--=--，∴()10f -=当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，∴函数()f x 在区间[]1,1-的图象如图：∵()1y f x =+是偶函数，∴()()11f x f x -+=+，即()()11f x f x -=+ ∴()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在区间[]1,3-的图象如图：∵()()2f x f x -=--，∴将()()2f x f x -=--中的x 替换为1x +，得()()()()112f x f x -+=-+-，即()()11f x f x --=--+∴()f x 的图象关于点()1,0-对称，()f x 在区间[]5,3-的图象如图：由函数图象的对称轴直线=1x -和对称中心()1,0-进行多次对称变换，可得函数图象如图：由函数图象可知，()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 的对称轴为直线41x k =+（k ∈Z ），对称中心为点()41,0k -（k ∈Z ），另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：将()()11f x f x -=+中的x 替换为1x +，得()()()()1111f x f x -+=++，即()()2f x f x -=+，由已知有()()2f x f x -=--， ∴()()22f x f x +=--将()()22f x f x +=--中x 分别替换为2x +和2x，得()()()()2222f x fx ++=-+-，即()()4f x f x +=-和()()()()2222fx f x -+=---，即()()4f x f x =--⇒()()4f x f x -=-∴()()44f x f x -=+将()()44f x f x -=+中x 替换为4x +，得()()()()4444fx f x +-=++，即()()8f x f x =+，∴()f x 是周期为8的周期函数. 对于A ，()()()20222528661f f f =⨯+==-，故A 正确；对于B ，当[]9,11x ∈时，由图象可知其值域为[]0,1，故B 正确；对于C ，由图象知，其图象的对称中心为点()41,0k -（k ∈Z ），当1k =时，点()3,0为()f x 图象的对称中心，因此将()f x 的图象向左平移3个单位长度，所得函数()3y f x =+为奇函数，故C 正确；对于D ，将函数lg y x =的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的图象翻折至x 轴上方，得到函数()lg 1y x =+的图象，易知()lg 1y x =+的图象过点()9,1如图，()lg 1y x =+的图象与()f x 的图象有6个交点，所以方程()()lg 1f x x =+有6个不同实数解，故D 错误．故选：D.例10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（） A ．()1f B ．()2fC ．()3fD ．()4f【答案】D【分析】由已知()1f x -是偶函数，可得()()11f x f x -=--，由已知()2f x +是奇函数，可得()()22f x f x +=--+，整理解出()f x 的周期为：12T =，最后运用周期进行计算即可. 【详解】解： ()1f x -是偶函数，∴ ()()11f x f x -=--，令1t x =-，则1x t =+ ，∴()()()112f t f t f t =---=--，即()()2f t f t =--，()2f x +是奇函数，∴()()22f x f x +=--+，令2t x =+，则2x t =-，∴()()()224f t f t f t =--++=--+，即()()4f t f t =--+，由()()2f t f t =--和()()4f t f t =--+得：()()24f t f t --=--+，令2x t =--，则2t x =--，∴()()6f x f x =-+，∴()()()66612f x f x f x +=-++=-+⎡⎤⎣⎦， ∴()()()()61212f x f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦， ∴()()12f x f x =+， ∴()f x 的周期为：12T = ，2022169126=⨯- ，∴()()20226f f =-，()()2f t f t =--，令=4t ，则()()()4642f f f =---=，∴()()64f f -=，∴()()20224f f =.故选：D ．例11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 存在导函数()f x '，且满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=-，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程可以是___________（写出一个即可）【答案】0y =（答案不唯一）【分析】由题意可得()f x 是偶函数且周期为4，继而可得()f x 关于直线2x =对称，根据周期可得到2022x =也是()f x 的对称轴，所以2022x =是()f x 的极值点，故()20220f '=，即可求出答案【详解】()f x 的定义域为R ，由()()f x f x -=可知，()f x 是偶函数，由()()4f x f x -=-可知()f x 周期为4，因为()()()4f x f x f x =-=-，故()f x 关于直线2x =对称，又因为202225054=+⨯，所以2022x =也是()f x 的对称轴，因为()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以2022x =是()f x 的极值点，即()20220f '=，曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线斜率为0，故切线方程可能为0y =，故答案为：0y =（答案不唯一）第三天学习及训练【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题例12．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由奇偶性定义可知()f x 为R 上的偶函数；当0x ≥时，由单调性的性质可确定()f x 单调递增，由奇偶性可知其在(],0-∞上单调递减；利用单调性可化简所求不等式为21x x >-，平方后，解一元二次不等式可求得结果.【详解】()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-， f x 为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+在[)0,∞+上单调递增，211y x=+在[)0,∞+上单调递减， f x 在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为偶函数，f x 在(],0-∞上单调递减，由()()21f x f x >-得：21x x >-，即()2221x x >-，()()23413110x x x x ∴-+=--<，解得：113x <<，∴不等式()()21f x f x >-的解集为1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.例13．（2023·全国·模拟预测）若()()R,11x f x f x ∀∈+=-，当1x ≥时，2()4f x x x =-，则下列说法错误的是（） A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递减【答案】ABD【分析】由题意求出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出图象，即可求解【详解】由()()R,11x f x f x ∀∈+=-可知()()R,2x f x f x ∀∈=-，可知()f x 关于直线1x =对称，当1x ≥时，()()22424f x x x x =--=-，当1x <时，21x ->，()()2222244f x x x -=---=-，所以224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩的图象，所以()f x 在()0,1，()2,+∞上单调递增，在(),0∞-，()1,2上单调递减，()min 4f x =-，()f x 不是奇函数，故ABD 错误，C 正确；故选：ABD例14．（2022·全国·高三专题练习）设ππ,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若333πcos()2024sin cos 0x x a y y y a ⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y +＝______．【答案】1【分析】设3()sin f x x x =+，把已知条件转化为 ()(2)0f x f y +=，又因为函数()f x 在R 上是单调递增的奇函数，故20x y +=，进而求出cos(2)x y +的值．【详解】解：原式可得变形为()()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，设3()sin f x x x =+，因为33()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=- 所以()f x 为奇函数，当0x > 时，2()3cos f x x x '=+， ①当π02x <<时，cos 0x >，所以()0f x '>， ②当π2x >时，233,cos 1x x ><，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数，因此()(2)0f x f y +=，所以()(2)(2)2f x f y f y x y =-=-⇒=-，则20x y +=，所以 cos(2)x y +＝1．故答案为：1．【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()3221,2f x f x f x f x -=-+-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（） A ．2023 B ．2024C ．3033D ．3034【答案】A【分析】根据函数的性质由()()3221f x f x -=-，()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，即可得解.【详解】因为()()2f x f x +-=，()12f =，所以(1)0f -=，(0)1f = 由()()3221f x f x -=-得()(2)f x f x -=+，所以()(2)2f x f x ++=，(1)(3)2f x f x +++=，即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=，所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=. 故选：A例16．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【分析】构造()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，发现()g x 为奇函数，然后()f x 是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，可得()f x 的对称中心为()1,3，能得到()()62f x f x =+-，通过求导可发现()f x 在R 上单调递增，继而求解不等式【详解】解：假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x x f x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<- 所以322x x -<-，解得1x >，故选：B例17．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()3221f x f x -=-，()()2f x f x -+=，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++=______. 【答案】2023【分析】根据()()3221f x f x -=-得到()()2f x f x -=+，结合()()2f x f x -+=得到()()22f x f x ++=，进而得到()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，再用赋值法求出()21f =，()30f =，从而利用函数周期性分组求解出答案.【详解】()()3221f x f x -=-，故131332212222f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x -=+，因为()()2f x f x -+=，所以()()22f x f x ++=，()()132f x f x +++=，两式相加得：()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，其中()()2f x f x -+=中，令=0x 得：()202f =，所以()01f =， ()()3221f x f x -=-中，令1=2x 得：()()201f f ==，()()2f x f x -+=中，令=1x 得：()()112f f -+=，因为()12f =，所以()1220f -=-=，()()3221f x f x -=-中，令=0x 得：()()310f f =-=，()()()()()()()()()()()12320231234567f f f f f f f f f f f ++++=+++++++⎡⎤⎣⎦()()()()2020202120222023f f f f +++++⎡⎤⎣⎦21045052023=+++⨯=.故答案为：2023第四天学习及训练【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题例18．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设*n ∈N ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22110f x f x -++=，()f x 在[]0,1单调递增，()11f =，则（）A ．()11f -=B ．()40nf =C ．()211f n -=D ．()211nf -=【答案】B【分析】根据题意结合函数性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的定义和相关结论分析判断.【详解】对A ：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()111f f -=-=-，A 错误；由题意可得：()f x 在[]1,0-上单调递增，则()f x 在[]1,1-上单调递增∵()()22110f x f x -++=，则()()()222111f x f x f x +=--=-∴函数()f x 关于=1x 对称，则()f x 在[]1,3上单调递减当(]1,3x ∈-时，当且仅当=1x 时，()=1f x ；当且仅当=0x 或=2x 时，()=0f x ∵函数()f x 关于=1x 对称，则()()()22f x f x f x =-=--，即()()2f x f x +=- ∴()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，则函数()f x 的周期为4当1x ≥时，则有：()=1f x 的根依次为1,5,9,...，即当且仅当43x n =-，()=1f x若=2n ，则{}*21213|43,n n x x n n -=-=∉=-∈N ，即()31f ≠，C 、D 错误；()=0f x 的根依次为2,4,6,...，即当且仅当2x n =，()=0f x∵(){}21*4=22|2,N n n x x n n -∈=∈，则()40nf =，B 正确；故选：B.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-【答案】ABCD【分析】由已知判断函数的周期性、对称性、单调性，对选项逐一判断【详解】对于A ，由函数(1)f x +的图象关于=1x -对称，根据函数的图象变换，可得函数()f x 的图象关于0x =对称，所以函数()f x 为偶函数，故 A 正确；对于B ，由函数()f x 对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=-，可得()2(()4)f x f x f x -+=+=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，因为(2)0f -=，可得(2)0f =，则(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==，故B 正确；对于C ，因为函数()f x 为偶函数，即()()f x f x -=，所以(2)()()f x f x f x +=-=--，可得(2)()0f x f x ++-=，所以函数()f x 关于(1,0)中心对称，故C 正确；对于D ，由对任意的12,(0,2)x x ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，可得函数()f x 在区间(0,2)上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数()f x 在区间(2,0)-上为单调递减函数，故()()21f f ->-，故D 正确. 故选：ABCD【题型】八、定义法判断证明函数的单调性例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数()ln(2f x x x =+且233()1)23a a f a --<--，则a 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．)C ．)+∞D ．(()3,∞⋃+【答案】B【分析】首先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】解：()ln(2f x x x =+，x R ∈，22()()2)(2))0ln(1)0f x f x x x x x x x ∴+-=++-+=++-=，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在R 上是奇函数．当0x 时，函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在R 上单调递增．又()(1ln 12f -=--，则233()1)23a a f a --<--，即233()1)23a a f a -<--，即()23313a a f f a ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭，∴23313a a a -<--，即()()233103a a a -+<-，而210a +>，3(3)(3)0a a ∴--<，即2(3)0a a a a +-<，而20a >，∴(3)0a a -<，3a <．∴实数a的取值范围为．故选：B ．例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x --=，则（）A ．()()22f x y f x =为偶函数 B ．()()2y f x f x =-是增函数 C ．()()sin 1y f x =-不是周期函数 D ．()()1y f x f x =++的最小值为1【答案】AD【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC ，分类讨论确定函数的最小值判断D ．【详解】选项A ，由()0f x ≠得0x ≠，函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，2222e e e e (2)(2)22e e e e 2()2()2222x x x xx x x x f x f x f x f x -------===---⋅⋅，所以函数为偶函数，正确；选项B ，定义域是(,0)(0,)-∞+∞，e ()(e )2x xf x f x ---==-，即()f x 是奇函数，易知()f x 是R 上的增函数，函数值域为R ，(0)0f =，所以存在00x >，值得0()f x从而0()f x -=于是002()0()f x f x -=，002()0()f x f x --=-，但00x x -<，所以2()()y f x f x =-不是增函数，B 错；选项C ，()()sin 1y f x =-定义域是R ，(sin(21))(sin(1))f x f x π+-=-，因此2π是函数的一个周期，C 错；选项D ，由上推理知()f x 是奇函数，0x <时， ()()1y f x f x =++()()11f x f x =-++=， 0x ≥时，()()1y f x f x =++()()1e e 1x x f x f x -=++=-+，易知函数为增函数，所以()(0)1f x f ≥=，综上函数最小值是1，D 正确．故选：AD ．例22．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =； ④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________ 【答案】①③【分析】对于①，通过赋值0x y ==可得()00f =，①正确；对于②，通过赋值y x =-可证()f x 为奇函数，②错误；对于③，通过赋值1x y ==可得()11f =，③正确；对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证()f x 在R 上单调递减，④错误．【详解】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<，则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．第五天学习及训练【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象在点(π,(π))f 处的切线方程为0x y +=D ．()f x 在区间π(,π)2上是减函数【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性定义、周期性定义判断A ，B ；利用导数的几何意义求出切线方程判断C ；利用导数确定单调性判断D 作答.【详解】对于A ，函数()f x 的定义域是R ，cos()()()f x x x f x =-⋅-=--，()f x 是奇函数，A 正确；对于B ，不存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，()f x 不是周期函数，B 错误；对于C ，()cos sin f x x x x '=-，1()πf '=-，(π)πf =-，则()f x 在点(π,(π))f 处的切线方程为π(π)y x +=--，即0x y +=，C 正确；对于D ，当π(,π)2x ∈时，()cos sin 0f x x x x -'=<，()f x 在区间π(,π)2上是减函数，D 正确．故选：ACD例25．（2023·全国·高三专题练习）判断函数()f x x =+. 【答案】非奇非偶函数【分析】判断函数奇偶性，先判断定义域是否关于原点对称，由于定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.【详解】因为()f x 有意义，则满足10110xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩，所以-11x <≤，所以()f x 的定义域不关于原点对称，所以()f x 为非奇非偶函数．【题型】十、利用函数的周期性求函数值例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（）A ．2021B ．1C ．1-D ．0【答案】B【分析】分析可知函数()f x 是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性的性质可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，所以()()()2021450511f f f =⨯+=，因为函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当[)1,0x ∈-时，()f x x =，所以()()()1111f f =--=--=，所以()20211f =. 故选：B.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022【答案】A【分析】根据()f x 是定义域上的奇函数，结合条件(2)()f x f x -=化简，可得出函数的周期4T =，再计算出(1)(2)(3)(4)f f f f ，，，的值，发现(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，且呈周期出现，代入计算即可. 【详解】(2)()(2)()x f x f f f x x -=∴+=-,又()()f x f x -=-，(2)()()f x f x f x ∴+=-=-，∴函数的周期4T =.又函数()f x 是定义域为R 的奇函数，(0)0f ∴=，(2)(0)0f f ∴==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)20200f f f f +++=+-+=∴，又202250542=⨯+ (1)(2)(3)(2022)5050(1)(2)2f f f f f f ∴++++=⨯++=.故选：A.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（）。

小学-奥数第二讲：奇偶问题

第二讲：奇偶问题哪吒智闯水晶宫----猜猜兵器：由于哪吒得罪了东海龙王，东海龙王以引发海啸来要挟哪吒的父亲，要哪吒交出他的四件武器，哪吒的父亲为了乡亲们的安全，只能把哪吒的宝贝：“乾坤圈、混天绫、火箭枪、风火轮”交给了东海龙王，东海龙王请来了南海龙王、西海龙王、北海龙王，和他的大将们一起看管四件宝贝，并告诉哪吒，想取回宝贝，就得闯过一道道难关。

哪吒为了拿回自己的宝贝，独自一人闯水晶宫。

此故事就是哪吒在取宝过程中发生的。

哪吒告别了父母，采用“避水法”，向水晶宫游去，来到海底，见到一座雄伟的宫殿，上面悬挂着一块水晶牌，上面用珍珠镶嵌着三个字“水晶宫”，哪吒刚想进入宫中，忽然从四面八方跳出来许多虾兵蟹将，排成一列，为首是就是巡海大将“夜叉”，只见夜叉手持“戟枪”恶狠狠的说：“哪吒，哪里去”哪吒回道：“我到水晶宫取拿回我的宝贝。

”夜叉一听哈哈大笑道：“想进水晶宫，得先过我第一关，不过今天我不用武力，出道题目考考你，如果你答对了，就让你进宫。

答不出来，就别想进入宫中。

”哪吒也不想和他打仗说道：“行！你问吧。

”夜叉：“现在连我在里面共有108个人，每个人手里都有武器，而且顺序都是按刀、枪排列的，你说说，排在最后一位的人手里拿的兵器是什么”整数0，1，2，3，4，5，6，7，……可以被分为两类，叫奇数，又叫（单数），又叫（双数）让小朋友举一些生活中奇数和偶数的例子，比如人体器官，吃饭的饭碗和筷子等等。

例题精讲例1：下图中，苹果有奇数个还是偶数个梨子有奇数个还是偶数个他们一共有奇数个还是偶数个分析：苹果6个，梨子10个，后面用这道题来做偶数加偶数得偶数的例子。

例2下图中，草莓是奇数个还是偶数个桃子呢草莓和桃子一共是奇数个还是偶数个分析：草莓6个，桃子5个，一共奇数个，奇数加偶数得奇数。

例3下图中，马的头有奇数个还是偶数个狮子的头呢马头和狮子头一共有奇数个还是偶数个得偶数的例子。

例4小明、小华、小兰在学校的演讲比赛中表现很好，老师奖励他们每个人一组漂亮的三彩苹果。

四年级奥数第二讲数的奇偶性

第二讲数的奇偶性知识要点1、自然数：表示事物个数和次序的数就叫作自然数。

即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。

自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷集合。

2、在自然数中能被2整除的叫作偶数，不能被2整除的数叫作奇数。

在自然数的排列中，奇数和偶数是相间排列。

3、奇数和偶数的基本关系：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数芝麻开门在数学活动课上，老师对大家说：“今天我们来做一个游戏。

请每位同学准备两张纸条，在两张纸条上分别写一个奇数一个偶数。

写好后，两手各握一张。

然后将右手乘以2，左手乘以3，再把积相加。

”等同学们算好结果，让得到奇数的同学排成一队，得到偶数的同学排成另一队。

老师指着得奇数的那排同学说：“你们左手握的都是奇数。

”又指着另一排同学说：“你们左手握的都是偶数。

”同学们摊开手一看惊奇极了，忍不住纷纷向老师询问：“老师你是怎么知道的啊？”同学们，你们想知道为什么吗？今天我们就来学习这方面的知识。

经典范例例1 在1～99中有多少个奇数？多少个偶数？其中奇数之和和偶数之和哪个大？大多少？思路解析：由于1～99的奇数和偶数是交替排列的，如果从小到大两两组合（1、2）、（3、4）、（5、6）、…（97、98）、99，最后还有一个99是单的。

98÷2=49对，所以奇数有98÷2+1=50个。

偶数有98÷2=49个。

每对数中，偶数比奇数大1，共大49×1=49，而奇数后面还有一个99，所以99-49=50解：98÷2=4949+1=5099-49×1=50答：1～99中有奇数50个，偶数49个。

奇数之和比偶数之和大，共大50.例2 四（3）班男生每人都有2支钢笔，女生每人都有3支钢笔。

已知该班的钢笔总数是奇数，那么四（3）班的女生人数是偶数还是奇数？思路解析：男生每人有两支钢笔，因此不论男生的人数是奇数还是偶数，男生的钢笔总数都是偶数。

2.2.2函数的奇偶性(老师版)

创一教育学科教师辅导讲义知识梳理一、函数奇偶性的概念【问题导思】1．对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x.函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．2．对于函数f(x)＝x3，f(x)＝1x，以－x代替x，函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代替x各自的函数值互为相反数，即f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.例题精讲例1：函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (3)f (x )＝x 2＋1x2. 【思路探究】首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f (x )与f (－x )之间的关系．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x 2＝1，∴x ＝±1，即函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．∵f (－1)＝0＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4，x ≠0，且x ≠－6， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，关于原点对称，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， ∵f (－x )＝4－x 2－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )2＋1(－x )2＝x 2＋1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【规律方法】1．判断函数的奇偶性要遵循定义域优先的原则，如果定义域不关于原点对称，则该函数必为非奇非偶函数．2．用定义判断函数奇偶性的步骤：【变式训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x －1x；(2)f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)，－x 2＋x (x >0). 【解】 (1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－1－x＝－(x －1x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域为R .f (－x )＝|－x ＋2|＋|－x －2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x＝－(x 2＋x )＝－f (x )，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x＝－(－x 2＋x )＝－f (x )，综上所述，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2：奇偶函数的图象及应用已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【思路探究】先证明f (x )是偶函数，依据其图象关于y 轴对称作图．【自主解答】 ∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示：【规律方法】1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y ＝|x |的图象．因为该函数为偶函数，故只需作出x ≥0时的图象，对x ≤0时的图象，关于y 轴对称即可．【变式训练】设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图2－2－5所示，则不等式f (x )<0的解集是________．图2－2－5【解析】注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．【答案】 (－2,0)∪(2,5]课堂小测1．函数y ＝f (x )在区间[2a －3，a ]上具有奇偶性，则a ＝________.【解析】由题意知，区间[2a －3，a ]关于原点对称，∴2a －3＝－a ，∴a ＝1.【答案】 12．函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的奇偶性为________．【解析】 ∵x ∈R ，又f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【答案】偶函数3．(2013·抚顺高一检测)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝1，则f (－2)的值为________．【解析】 ∵当x >0时，f (x )＝1，∴f (2)＝1，又f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.【答案】－14．(2013·常州高一检测)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图象．【解】 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x >0，0 x ＝0，－x 2－2x x <0.(2)图象如图：师生小结课后作业一、填空题1．函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是________．【解析】 ∵f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝x －1x＝－f (x )．故f (x )为奇函数．【答案】奇函数2．(2013·黄山高一检测)已知函数f (x )＝a －2x为奇函数，则a ＝________. 【解析】 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，即a ＋2x ＋a －2x＝0， ∴2a ＝0，即a ＝0.【答案】 03．若函数f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，则b －a ＝________.【解析】 f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，有f (－x )＝－f (x )，即－x 3＋bx ＋a ＋2＝－x 3＋bx －a亲爱的同学们，这节课我们学了哪些内容？ 1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论． 2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”． 3．解含“f ”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式，二是f (x )的单调性已知．特别是f (x )为偶函数时，应把不等式f (x 1)<f (x 2)转化为f (|x 1|)<f (|x 2|)的形式，利用x ∈[0，＋∞)的单调性求解．－2可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝0，a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，所以b －a ＝4.【答案】 44．下列说法中正确的是________．①函数y ＝3x 2，x ∈(－2,2]是偶函数；②函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0，是奇函数； ③函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )＝x 2＋1是偶函数．【解析】 ①不正确，因为定义域不关于原点对称，故①不正确；②不正确，当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2≠x 3且x 2≠－x 3，故②不正确；③正确，∵f (－x )＝－x ＋1≠x ＋1，f (－x )＝－x ＋1≠－x －1，故f (x )＝x ＋1是非奇非偶函数，故③正确． ④正确，∵f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，故④正确．【答案】 ③④5.图2－2－6已知f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如图2－2－6所示，那么f (x )的值域是________．【解析】 ∵x ∈(0,2]时，f (x )的值域为(2,3]，由于奇函数的图象关于原点对称，故当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3，－2)，∴f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．【答案】 [－3，－2)∪(2,3]6．设函数f (x )＝ax 3＋cx ＋5，已知f (－3)＝3，则f (3)＝________.【解析】设g (x )＝ax 3＋cx ，则g (x )为奇函数，∴g (－3)＝－g (3)．∵f (－3)＝g (－3)＋5＝3，∴g (－3)＝－2，∴g (3)＝2，∴f (3)＝g (3)＋5＝7.【答案】 77．(2013·青岛高一检测)定义在R 上的奇函数f (x )，若当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时f (x )＝________.【解析】设x <0，则－x >0，又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2·(－x )]＝－x 2－2x .【答案】－x 2－2x创一教育11 / 11创造奇迹，只做第一！。

第2讲奇偶性

第2讲奇偶性整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。

相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。

因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n 的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。

奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。

反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

偶+偶=偶奇+奇=偶偶-偶=偶奇-奇=偶偶+奇=奇奇+偶=奇偶-奇=奇奇-偶=奇（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。

任意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个偶数的乘积是偶数，两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。

（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。

反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。

（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。

奇数肯定不能被偶数整除。

（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。

（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。

有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。

五年级第2讲找因数和奇偶性

第二讲因数、质数和奇偶性月日姓名【学习目标】1、经历探索奇偶性变化的过程，在活动中发现奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。

2、使学生发现并掌握数的奇偶性变化规律。

3、使学生应用数的奇偶性变化规律分析和解决生活中的一些简单问题。

【知识要点】1、找一个因数的方法：找一个数的因数，一对一对地找最方便，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个数就是这个数的因数。

先找第一对，一个因数是1，另一个因数是它本身，然后只要把1和它本身之间的因数找完，就不会漏掉。

2、一个数的因数的个数是有限的。

其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3、是2的倍数的数叫偶数.偶数的个位数字是0,2,4,6,8.4、不是2的倍数的数叫奇数.奇数的个位数字是1,3,5,7,9.5、奇数、偶数相加减奇偶性变化的规律：（1）两个相同性质的数（都是偶数或都是奇数）相加减结果都是偶数。

（2）两人不同性质的数（一个奇数，另一个是偶数）相加减，结果是奇数.6、在两点间行走，走奇数次回到与起点相对处，走偶数次回到起点处。

7、翻动杯子时，注意杯子原始状态。

如果翻动偶数次杯子回到原始状态，翻动奇数次杯子与原始状态相反。

【典型例题】一、找因数。

24 8 2 12 3 6 48 30 4 1 16（1）24的全部因数：（）。

（2）48的全部因数：（）。

（3）（）既是24的因数，又是48的因数。

二、下面的说法对吗？（1）因数48÷8=6，所以48是倍数，8是因数。

（）（2）57是3的倍数。

（）（3）一个数的倍数一定比它的因数大。

（）（4）1是任何非零自然数的因数。

（）三、一篮鸡蛋有30个，要求每次拿的个数相同，最后无剩余（不能一次全拿走），可以怎样拿？有几种拿法？四、一个数既是72的因数，又是4的倍数，这样的数有几个？五、说一说下面的数各有几个因数。

15 7 9 25 13 51 36 48十一国庆节，罗老师买来360块饼干，480块糖，400个水果，制作精美小礼包，分给小朋友作为礼物，刚好全部发完，那么最多可做多少个小礼包？一、填空。

第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合

第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的基本性质，可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。

本文将详细介绍函数的奇偶性、单调性和周期性，并综合讨论它们的关系及应用。

一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是对于函数的自变量取相反数，函数值是否相同的特性进行分类的。

具体定义如下：1.奇函数：对于任意实数x，函数f(-x)=-f(x)成立。

也就是说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。

奇函数关于原点对称，即关于原点中心对称。

2.偶函数：对于任意实数x，函数f(-x)=f(x)成立。

也就是说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数。

偶函数关于y轴对称，即关于y轴中心对称。

对于一个给定的函数，我们可以通过观察函数图像或者计算函数表达式来判断它的奇偶性。

例如，对于一次函数f(x)=2x+3，我们可以发现它的函数图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)，因此它是奇函数；对于二次函数f(x)=x^2，我们可以发现它的函数图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，因此它是偶函数。

奇函数和偶函数的性质：1.两个奇函数的和仍然是奇函数，两个偶函数的和仍然是偶函数。

2.一个奇函数和一个偶函数的和是一个既不是奇函数也不是偶函数的函数。

二、函数的单调性单调性是描述函数在定义域上的增减性质。

具体定义如下：1.递增函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)就是递增函数。

也就是说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。

2.递减函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)就是递减函数。

也就是说，递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。

我们可以通过求导或者观察函数图像来判断函数的单调性。

对于一次函数f(x)=kx+b，其中k为非零常数，我们可以发现它的函数图像为一条斜率为k的直线，当k>0时，它是递增函数；当k<0时，它是递减函数。

数学函数奇偶性教案案例详解

一、教学思路本教案主要是讲解数学函数中的奇偶性，通过具有示范性质的案例详解来帮助学生更好地掌握奇偶性的概念和应用方面。

同时，本教案也注重提高学生的自学能力，通过让学生自己理解、归纳和总结课文内容，培养学生的独立思考和解决问题的能力。

二、教学目标1、能够理解数学函数的定义和奇偶性的概念；2、能够准确使用奇偶函数的性质，并用函数奇偶性判断函数的图像、定义域和值域；3、能够独立探究和解决类似的函数奇偶性问题。

三、教学内容1、数学函数的定义所谓函数，就是一种输入一个数值，经过某种变换后输出一个数值的运算关系。

通常用f(x)或y表示。

2、数学函数的奇偶性若函数f(x)满足f(-x)=f(x)，称f(x)为偶函数；若函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，称f(x)为奇函数。

3、奇函数和偶函数的性质① 偶函数的图像以y轴为对称轴；② 奇函数的图像以原点为对称中心；③ 偶函数与偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；④ 奇函数与奇函数的和、差、积为奇函数，商为偶函数；⑤ 偶函数与奇函数的和为奇函数，差为偶函数，积为偶函数，商为任意函数。

四、教学过程第一步：引入教师通过提问，让学生了解函数的定义和图像的简单概念。

讲解函数的定义和基本性质，让学生了解什么是函数，以及函数之间的基本关系。

第二步：知识点讲解1、函数奇偶性的基本概念教师通过图像展示等方式，向学生介绍奇函数和偶函数的概念，并通过样例分析，让同学们掌握奇函数和偶函数的基本定义和性质。

2、函数的奇偶性性质教师结合具体的运算规则，来着重讲解奇函数与偶函数运算时的性质，使同学们进一步认识奇偶性在函数运算过程中的作用，更好地掌握其应用条件。

第三步：课堂练习1、练习一：求下列函数的奇偶性。

y=x^4+4x^2y=sin(x)y=tan(x/2)2、练习二：判断下列函数的图像对称性。

y=x^4+4x^2y=|x|^3y=|x|3、练习三：判断下列函数的定义域、值域。

y=2x^4-5x^2+1y=sin(x)y=tan(x/2)第四步：课后拓展利用以上知识拓展，学习更多奇偶函数的性质，例如函数的周期性或者函数的对数性质，以及如何应用奇、偶函数进行具体数学运算以及数学建模等等。

高斯小学奥数二年级(上)第02讲奇与偶的应用

第二讲奇与偶的应用前续知识点：二年级第一讲； XX 模块第X 讲后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲什么书啊?小高从②书馆借来的 t 数学故事》I、咼，你在看那你己经看了多少更了？希完谱给我卷看呗！瞒刚陆便焉了 3 號【你耍是知議瞄这3张上的页一定魁偶数【；恭窘你.答错了. 你再想想吃，想 J=L f高戦就先k __社你看1小高淸蹩非再把书借给你*那嘯就先看靖!把里面的人物换成相应红字标明的人物.例题1有三个座位让小狗来挑，它开始坐在1号座位，然后每次都换到相邻的座位。

换了9次座位后，小狗在几号座位？【提示】每换一次座位，奇偶性都会发生变化，有什么变化规律?灰鼠贝贝、恐龙维维和小象佳佳这三只小动物排成一排传气球，每次只传给与自己相邻的伙伴•开始气球在恐龙维维的手中，传了10次之后，气球在谁的手中呢?在下面横线上填一填:奇数：个位为__________________ 的整数；偶数：个位为___________________ 的整数.奇数+奇数二________ 数；偶数+偶数二________ 数；奇数+偶数二 _________ 数；奇数—奇数二_______ 数；偶数—偶数二_______ 数；奇数—偶数二 ________ 数.3例题 2 算式 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 的结果是奇数还是偶数？【提示】把偶数看成“ 0”,把奇数看成“ 1 ” •练习2 算式85 97 39 46 58的结果是奇数还是偶数?对于多个数相加，结果的奇偶性由 _______ 数的个数决定.(1)偶数个偶数之和是 _______ 数；(2)奇数个偶数之和是 __________ 数; (3)奇数个奇数之和是 _______ 数；(4)偶数个奇数之和是 __________ 数.例题3 小山后的桃树结了 100个桃子•小猴每天摘2个桃子吃, 过了若干天后，树上会不会只剩1个桃子？【提示】任意多个偶数相加的结果是奇数还是偶数?甜甜有一盒糖，共50块•甜甜每天吃4块糖，过了若干天后，盒子里会不会只剩块糖？利用奇数与偶数的分类及其特殊性质，可以简便地求解一些与整数有关的问题. 我们把这种通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法称为奇偶分析法.例题4你能把7颗豆子放到下面的方格中，每格只放1颗，使每行、每列中的豆子总数都是偶数个吗？如果能，请填出来; 如果不能，说明理由.如果是6颗豆子呢？曲駝【提示】分别从行或列入手，根据要求的摆放方法算出总数的奇偶性，与实际的总数比较看奇偶性是否一样.你能把7枚棋子放到下面的方格中，每格只放1枚，使每行、每列中的棋练习4子总数都是奇数个吗？如果能，请填出来；如果不能，说明理由•如果是6枚棋子呢？OO例题5 桌上有7个茶杯，全部是杯口朝上，每次翻动4个茶杯, 称为一次翻动.你能不能经过多次翻动，使这7个茶杯的杯底全部朝上？如果能，需要翻动几次？如果不能，请说明理由.【提示】1个杯子经过翻动后，杯口朝上变成杯底朝上，可能翻动的下数有什么规律?例题6如下图所示，9个小方格中分别放上9枚硬币.(1)若取出4枚硬币后，使每横行和每竖列中剩下奇数枚硬币，怎么取?(2)若取出3枚硬币后，使每横行和每竖列中剩下偶数枚硬币，怎么取?【提示】动手操作并适当调整.话说大灰狼想吃羊，可是办法已穷尽，只好再去学艺•一个月后，他总算是学会了一点数学知识，于是，便化装成一位教授的模样去抓羊了.大灰狼来到羊群中大声嚷嚷：“我是羊羊教育局派来考察教育的专家，有一道题想考考你们，答对者有重奖！”羊小笨以为有好吃的，第一个迫不及待地说：“大叔，有好吃的奖品吗？”只见这位头戴眼镜、两鬓斑白的教授严厉地说：“请先回答下列问题：我有一本书，中间掉了一张，其正反两面页码之和是21,请问掉的是哪一张？”羊小笨目瞪口呆，刚叫了一声“啊”就被大灰狼关了起来.如此这番，大灰狼又接连抓了三只羊•直到这时，羊儿们才发现，原来那教授竟然是大灰狼！大家决定派羊小聪来解题并救出羊小笨他们.羊小聪一听题，心中窃喜，哈哈，这也太小儿科了吧，羊小笨他们有救了.于是，便对大灰狼说：“如果我答对了，你要把羊小笨他们放了. ”大灰狼心想，这可是我好不容易才学来的本领，哪就那么容易被你破了：“好！快解题吧！”羊小聪想了想回答道：“这两页的页码应该是10和11.可是，如果是掉一张纸，正面页码应该是奇数，反面页码才是偶数.因此，10、11根本不可能在一张纸上，若掉的话，应该掉两张纸，所以，教授你出错题了！”“我怎么能输给一只小羊呢？呜……”大灰狼很无奈，只好放了羊儿们，并送给羊小聪10万元的大奖.这真是“偷鸡不成蚀把米，竹篮打水一场空”.作业1. 小美蛙、奇奇猫和壮壮鼠从左往右按顺序排成一排，熊猫博士把一顶帽子给壮壮鼠戴上了，相邻的小动物之间可以抢帽子•帽子被抢了7次之后，在哪个小动物的头顶上？2. 算式29 38 49 58 77的结果是奇数还是偶数？3. 小兔子拔了60根胡萝卜，每天吃2根，过了若干天后，还剩1根胡萝卜，可能吗?4. 你能把5枚金币放到下面的方格中，且每格只放1枚，使每行、每列中的金币总数都是偶数个吗？如果能，请填出来•如果不能，请说明理由.5. 田田有7顶帽子，全部帽口朝下，每次翻动2顶帽子，称为一次翻动.她能不能经过多次翻动,使这7顶帽子的帽口全部朝上？如果能，需要翻动几次？如果不能，请说明理由.第二讲奇与偶的应用1. 例题1答案：2号详解：如图所示：“V”代表小狗.开始时小狗在1号座位，换1次后，她只能到2号座位；再换1次后，小狗可能在1号座位或3号座位；再换1次后，小狗又只能到2号座位……得出变化规律是换奇数次之后，小狗总是坐在2号座位上.所以换到第9次之后，小狗最后坐在2号座位上.①②③开始：换1 次: 7换2次：? ?换3次: V换4次：? ?换5 次: 72. 例题2答案：奇数详解：用“ 1、0法”，把偶数看成“ 0”，奇数看成“1”，算式中，有5个奇数，也就是5个“1”，共6个偶数，也就是6个“ 0”，5个“1”和6个“ 0”相加的结果是“ 5 ”，是奇数.所以这个算式的结果是奇数.3. 例题3答案：不会详解：小猴每天摘2个桃子，不管几天后，小猴摘的桃子总数都是偶数.任意多个偶数相加的结果都是偶数，100是偶数，根据“偶数-偶数=偶数”，树上剩下的桃子数应该是偶数. 1不是偶数, 所以树上不会只剩1个桃子.4. 例题4答案：7颗豆子不能；6颗豆子能详解：从行入手，如果每行的豆子数都是偶数，一共3行，3个偶数相加的结果是偶数，方格中的豆子总数应该是偶数.7不是偶数，所以不能够摆放出来.6是偶数，可以摆放出来，如下图所示, 摆放方法不唯一.5. 例题5答案：不能详解：我们把1个杯子由上到下（由下到上）的翻动称作翻动1下.把1个杯子经过翻动后，杯口朝上变成杯底朝上，可能翻动1下、3下、5下……也就需要奇数下.共有7个杯子，每个杯子都需要翻动奇数下才能杯底朝上.那么根据7个奇数相加的和是奇数，得出要使这7个茶杯的杯底全部朝上，一共需要翻动奇数下•而实际的操作是每次翻动4个杯子，也就是每次翻动4下，那么不管翻动多少次，4 4 L 4偶数，杯子一共被翻动偶数下. 即按照“每次翻动4个茶杯” 这个操作，杯子一共要被翻动偶数下才能完成•因为“奇数工偶数”，所以不能经过多次翻动，使这7个茶杯的杯底全部朝上.6. 例题6答案：如图所示:7. 练习1答案：恐龙维维简答：开始气球在恐龙维维的手中，找规律得出传偶数次之后，气球总是在恐龙维维手中.所以传了10次之后，气球在恐龙维维手中.8. 练习2答案：奇数简答：用“1、0法”，把偶数看成“ 0”，奇数看成“1”，算式中，有3个奇数，也就是3个“1”，共2个偶数，也就是2个“ 0”，3个“1”和2个“ 0”相加的结果是“ 3 ”，是奇数.所以这个算式的结果是奇数.9. 练习3答案：不会简答：甜甜每天吃4块糖，不管几天后，田田吃的糖总数都是偶数 .50是偶数，根据“偶数偶数偶数”，盒子里剩下的糖数应该是偶数.3不是偶数，所以盒子里不会只剩3块糖.10. 练习4答案：7枚棋子不能，6枚棋子能简答：从行入手，如果每行的棋子数都是奇数，一共4行，4个奇数相加的结果是偶数，方格中的豆子总数应该是偶数.7不是偶数，所以不能够摆放出来.6是偶数，可以摆放出来，如下图所示, 摆放方法不唯一.11. 作业1答案：奇奇猫:.12. 作业2答案：奇数简答：用“1、0法”把偶数看成“ 0”，奇数看成“ 1”算式中，有3个奇数，也就是3个“1”，共2个偶数，也就是2个“ 0” 3个“1”和2个“ 0”相加的结果是“ 3 ”是奇数•所以这个算式的结果是奇数.13. 作业3答案：不对简答：因为“偶数-偶数=偶数”则不管吃多少天，剩下的胡萝卜根数都是偶数，所以结果还剩1根胡萝卜是不对的.14. 作业4答案：5枚不能简答：要使每列的金币数和都为偶数，一共2列，则偶数+偶数=偶数；另一个要求是每行的金币数都为偶数，一共4行，偶数+偶数+偶数+偶数=偶数•而一共有5枚棋子，为奇数•则5枚棋子既不能满足行的要求，也不能满足列的要求.15. 作业5答案：不能简答：我们把1顶帽子由下到上（由上到下）的翻动称作翻动1下•把1顶帽子经过翻动后，帽口朝下变成帽口朝上，可能翻动1下、3下、5下……也就需要奇数下•共有7顶帽子，每顶帽子都需要翻动奇数下才能帽口朝上•那么根据7个奇数相加的和是奇数，得出要使这7顶帽子的帽口全部朝上，一共需要翻动奇数下•而实际的操作是每次翻动2顶帽子，也就是每次翻动2下，那么不管翻动多少次，2 2 L 2 偶数，帽子一共被翻动偶数下. 这个操作，帽子一共要被翻动偶数下才能完成.因为“奇数工偶数” 这7 顶帽子的帽口全部朝上. 即按照“每次翻动 2 顶帽子” ，所以不能经过多次翻。

部编版数学三年级上册第2讲.奇数与偶数.优秀A版.教师版

3. 在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说： “不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？
［分析］两人握手一次，每人算一次，就是 2 次，每当有人握手，握手的总次数就增加 2 次，所以，不论有多少人怎样握手，他们握手总的次数恒为偶数，这个偶数就是每个人的握手次数之和．因为每次握手都是两个人相互握手，每人各算 1 次，所以握手的总次数必定为偶数，即所有人握手次数之和为偶数，但加数中的偶数不影响和的奇偶性，和的奇偶性是由加数中奇数的个数决定的，握手次数之和为偶数，说明加数中的奇数有偶数个，即握过奇数次手的人必有偶数个．所以主人说的有道理．
奇数．因为12 为偶数，而且奇数偶数 = 偶数，所以（1 3 5 7 9 1113）12 为偶数，即1 3 5 7 9 1112 13 为偶数．
【想想练练】1 3 5 7 19911993 的积是偶数还是奇数，为什么？［分析］因为奇数奇数 = 奇数，不管有多少个奇数相乘，它们的积还是奇数，所以这道题的计算
2. (华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛) 筐中有 60 个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同．问有多少种分法？
［分析］由题意可知分了偶数堆，把 60 分成一个偶数和一个奇数相乘，或两个偶数相乘就可以获得答案，而 60 1 60 2 30 30 2 3 20 15 4 12 5 6 10 10 6 ，可得：分成 60 堆每堆1个；或分成 30 堆每堆 2 个；或分成 2 堆每堆 30 个；或分成 20 堆每堆 3 个；或分成 4 堆每堆15 个；或分成 6 堆每堆10 个；或分成10 堆每堆 6 个；或分成12 堆每堆 5 个．共有 8 种分法．

高斯小学奥数二年级(上)第02讲奇与偶的应用

第二讲奇与偶的应用前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲小高萱萱小高，你在看什么书啊？萱萱萱萱小高小高把里面的人物换成相应红字标明的人物．【提示】每换一次座位，奇偶性都会发生变化，有什么变化规律？灰鼠贝贝、恐龙维维和小象佳佳这三只小动物排成一排传气球，每次只传给与自己相邻的伙伴．开始气球在恐龙维维的手中，传了10次之后，气球在谁的手中呢？在下面横线上填一填：奇数：个位为的整数；偶数：个位为的整数．奇数＋奇数＝数；偶数＋偶数＝数；奇数＋偶数＝数；奇数－奇数＝数；偶数－偶数＝数；奇数－偶数＝数．有三个座位让小狗来挑，它开始坐在1号座位，然后每次都换到相邻的座位。

换了9次座位后，小狗在几号座位？例题11 2 3练习1【提示】把偶数看成“0”，把奇数看成“1”．算式8597394658++++的结果是奇数还是偶数？对于多个数相加，结果的奇偶性由数的个数决定．（1）偶数个偶数之和是数；（2）奇数个偶数之和是数；（3）奇数个奇数之和是数；（4）偶数个奇数之和是数．【提示】任意多个偶数相加的结果是奇数还是偶数？甜甜有一盒糖，共50块．甜甜每天吃4块糖，过了若干天后，盒子里会不会只剩3块糖？小山后的桃树结了100个桃子．小猴每天摘2个桃子吃，过了若干天后，树上会不会只剩1个桃子？例题3算式1011121314151617181920++++++++++的结果是奇数还是偶数？例题2练习2 练习3利用奇数与偶数的分类及其特殊性质，可以简便地求解一些与整数有关的问题．我们把这种通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法称为奇偶分析法．【提示】分别从行或列入手，根据要求的摆放方法算出总数的奇偶性，与实际的总数比较看奇偶性是否一样．练习4 你能把7枚棋子放到下面的方格中，每格只放1枚，使每行、每列中的棋子总数都是奇数个吗？如果能，请填出来；如果不能，说明理由．如果是6枚棋子呢？你能把7颗豆子放到下面的方格中，每格只放1颗，使每行、每列中的豆子总数都是偶数个吗？如果能，请填出来；如果不能，说明理由．如果是6颗豆子呢？例题4【提示】1个杯子经过翻动后，杯口朝上变成杯底朝上，可能翻动的下数有什么规律？如下图所示，9个小方格中分别放上9枚硬币．（1）若取出4枚硬币后，使每横行和每竖列中剩下奇数枚硬币，怎么取？（2）若取出3枚硬币后，使每横行和每竖列中剩下偶数枚硬币，怎么取？【提示】动手操作并适当调整．课堂内外例题6桌上有7个茶杯，全部是杯口朝上，每次翻动4个茶杯，称为一次翻动．你能不能经过多次翻动，使这7个茶杯的杯底全部朝上？如果能，需要翻动几次？如果不能，请说明理由．例题5奇数和偶数的故事话说大灰狼想吃羊，可是办法已穷尽，只好再去学艺．一个月后，他总算是学会了一点数学知识，于是，便化装成一位教授的模样去抓羊了．大灰狼来到羊群中大声嚷嚷：“我是羊羊教育局派来考察教育的专家，有一道题想考考你们，答对者有重奖！”羊小笨以为有好吃的，第一个迫不及待地说：“大叔，有好吃的奖品吗？”只见这位头戴眼镜、两鬓斑白的教授严厉地说：“请先回答下列问题：我有一本书，中间掉了一张，其正反两面页码之和是21，请问掉的是哪一张？”羊小笨目瞪口呆，刚叫了一声“啊”就被大灰狼关了起来．如此这番，大灰狼又接连抓了三只羊．直到这时，羊儿们才发现，原来那教授竟然是大灰狼！大家决定派羊小聪来解题并救出羊小笨他们．羊小聪一听题，心中窃喜，哈哈，这也太小儿科了吧，羊小笨他们有救了．于是，便对大灰狼说：“如果我答对了，你要把羊小笨他们放了．”大灰狼心想，这可是我好不容易才学来的本领，哪就那么容易被你破了：“好！快解题吧！”羊小聪想了想回答道：“这两页的页码应该是10和11．可是，如果是掉一张纸，正面页码应该是奇数，反面页码才是偶数．因此，10、11根本不可能在一张纸上，若掉的话，应该掉两张纸，所以，教授你出错题了！”“我怎么能输给一只小羊呢？呜……”大灰狼很无奈，只好放了羊儿们，并送给羊小聪10万元的大奖．这真是“偷鸡不成蚀把米，竹篮打水一场空”．作业1.小美蛙、奇奇猫和壮壮鼠从左往右按顺序排成一排，熊猫博士把一顶帽子给壮壮鼠戴上了，相邻的小动物之间可以抢帽子．帽子被抢了7次之后，在哪个小动物的头顶上？++++的结果是奇数还是偶数？2.算式29384958773.小兔子拔了60根胡萝卜，每天吃2根，过了若干天后，还剩1根胡萝卜，可能吗？4.你能把5枚金币放到下面的方格中，且每格只放1枚，使每行、每列中的金币总数都是偶数个吗？如果能，请填出来．如果不能，请说明理由．5.田田有7顶帽子，全部帽口朝下，每次翻动2顶帽子，称为一次翻动．她能不能经过多次翻动，使这7顶帽子的帽口全部朝上？如果能，需要翻动几次？如果不能，请说明理由．第二讲奇与偶的应用1. 例题1答案：2号详解：如图所示：“√”代表小狗．开始时小狗在1号座位，换1次后，她只能到2号座位；再换1次后，小狗可能在1号座位或3号座位；再换1次后，小狗又只能到2号座位……得出变化规律是换奇数次之后，小狗总是坐在2号座位上．所以换到第9次之后，小狗最后坐在2号座位上．2. 例题2答案：奇数详解：用“1、0法”，把偶数看成“0”，奇数看成“1”，算式中，有5个奇数，也就是5个“1”，共6个偶数，也就是6个“0”，5个“1”和6个“0”相加的结果是“5”，是奇数．所以这个算式的结果是奇数．3. 例题3答案：不会详解：小猴每天摘2个桃子，不管几天后，小猴摘的桃子总数都是偶数．任意多个偶数相加的结果都是偶数，100是偶数，根据“-=偶数偶数偶数”，树上剩下的桃子数应该是偶数．1不是偶数，所以树上不会只剩1个桃子．4. 例题4答案：7颗豆子不能；6颗豆子能详解：从行入手，如果每行的豆子数都是偶数，一共3行，3个偶数相加的结果是偶数，方格中的豆子总数应该是偶数．7不是偶数，所以不能够摆放出来．6是偶数，可以摆放出来，如下图所示，摆放方法不唯一．①开始： ②③换1次：换2次：换3次：换4次：换5次：？？ ……5. 例题5答案：不能详解：我们把1个杯子由上到下（由下到上）的翻动称作翻动1下．把1个杯子经过翻动后，杯口朝上变成杯底朝上，可能翻动1下、3下、5下……也就需要奇数下．共有7个杯子，每个杯子都需要翻动奇数下才能杯底朝上．那么根据7个奇数相加的和是奇数，得出要使这7个茶杯的杯底全部朝上，一共需要翻动奇数下．而实际的操作是每次翻动4个杯子，也就是每次翻动4下，那么不管翻动多少次，444+++=偶数，杯子一共被翻动偶数下．即按照“每次翻动4个茶杯”这个操作，杯子一共要被翻动偶数下才能完成．因为“奇数≠偶数”，所以不能经过多次翻动，使这7个茶杯的杯底全部朝上．6. 例题6答案：如图所示：详解：动手操作一下，答案不唯一．7.练习1答案：恐龙维维简答：开始气球在恐龙维维的手中，找规律得出传偶数次之后，气球总是在恐龙维维手中．所以传了10次之后，气球在恐龙维维手中．8.练习2答案：奇数简答：用“1、0法”，把偶数看成“0”，奇数看成“1”，算式中，有3个奇数，也就是3个“1”，共2个偶数，也就是2个“0”，3个“1”和2个“0”相加的结果是“3”，是奇数．所以这个算式的结果是奇数．9.练习3答案：不会简答：甜甜每天吃4块糖，不管几天后，田田吃的糖总数都是偶数．50是偶数，根据“-=偶数偶数偶数”，盒子里剩下的糖数应该是偶数．3不是偶数，所以盒子里不会只剩3块糖．10.练习4答案：7枚棋子不能，6枚棋子能简答：从行入手，如果每行的棋子数都是奇数，一共4行，4个奇数相加的结果是偶数，方格中的（1）（2）豆子总数应该是偶数．7不是偶数，所以不能够摆放出来．6是偶数，可以摆放出来，如下图所示，摆放方法不唯一．11.作业1答案：奇奇猫根据表格发现：帽子被抢奇数次都会落到奇奇猫头上，而7次是奇数次，所以应该在奇奇猫头上．12.作业2答案：奇数简答：用“1、0法”，把偶数看成“0”，奇数看成“1”，算式中，有3个奇数，也就是3个“1”，共2个偶数，也就是2个“0”，3个“1”和2个“0”相加的结果是“3”，是奇数．所以这个算式的结果是奇数．13.作业3答案：不对简答：因为“-=偶数偶数偶数”，则不管吃多少天，剩下的胡萝卜根数都是偶数，所以结果还剩1根胡萝卜是不对的．14.作业4答案：5枚不能简答：要使每列的金币数和都为偶数，一共2列，则+=偶数偶数偶数；另一个要求是每行的金币数都为偶数，一共4行，+++=偶数偶数偶数偶数偶数．而一共有5枚棋子，为奇数．则5枚棋子既不能满足行的要求，也不能满足列的要求．15.作业5答案：不能简答：我们把1顶帽子由下到上（由上到下）的翻动称作翻动1下．把1顶帽子经过翻动后，帽口朝下变成帽口朝上，可能翻动1下、3下、5下……也就需要奇数下．共有7顶帽子，每顶帽子都需要翻动奇数下才能帽口朝上．那么根据7个奇数相加的和是奇数，得出要使这7顶帽子的帽口全部朝上，一共需要翻动奇数下．而实际的操作是每次翻动2顶帽子，也就是每次翻动2下，那么不管翻动多少次，222+++=偶数，帽子一共被翻动偶数下．即按照“每次翻动2顶帽子”这个操作，帽子一共要被翻动偶数下才能完成．因为“奇数≠偶数”，所以不能经过多次翻动，使这7顶帽子的帽口全部朝上．。

第二讲奇偶分析2

第二讲奇数与偶数整数可以分成两大类。

能被2整除的数叫做偶数，一般表示为2n〔n为整数〕，不能被2整除的数叫做奇数，一般表示为2n＋1〔n为整数〕。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

其运算性质有以下几种：〔1〕奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数〔2〕两个数之和与这两个数之差，有着相同的奇偶性。

〔3〕多个数相加时，和的奇偶性由奇数的个数决定。

加数中有奇数个奇数时，和是奇数。

加数中有偶数个奇数时，和是偶数。

〔4〕多个数相乘时，只要有一个数是偶数，积即为偶数。

〔5〕奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。

〔6〕相邻两个自然数之积必为偶数，其和必为奇数。

〖经典例题〗例1、1＋2＋3＋4＋…＋2004＋2005是奇数还是偶数？分析：1～2005中，有1003个奇数，所以和是奇数。

例2、能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.分析：此题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.〖方法总结〗此题用到的是性质〔3〕，我们没有必要将这些数的和算出来，再判断其奇偶性，而只要看奇数的个数就可以了。

〖稳固练习〗练习1：能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？不能。

因为有5个奇数，所以结果必为奇数。

练习2：一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？两个奇数的差是2，因此150÷2=75练习3：2，4，6，8，……是连续的偶数，假设五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是多少？等差数列求和公式：320÷5=64，因此最小的是60.练习4：有3个不同的自然数组成一等式：□＋△＋○=□×△－○这三个数中最多有几个奇数？1个奇数练习5：能否从2、6、10、14、18、22、26、30这8个数中选出3个数来，使它们的和为48？分析：此题相当于：能否从1、3、5、7、9、11、13、15这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？奇数个奇数相加的和为奇数不可能为偶数.所以不能.〖经典例题〗例3、把1～99这99个自然数的顺序打乱后重新排列，并把新排列的每个数依次加上1，2，3，…，99.问最后得到的99个数之积是奇数还是偶数？分析：1～99中有50个奇数，49个偶数。

函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版

函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。

L 五上第2讲奇数和偶数

【例6】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1 个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【解析】不能。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225. 【例 7】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．【解析】因为两个数的和a+b与两个数的差a－b的奇偶性相同，所以（a+b）+（a－b）的和是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数 1999．
一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
三、两个实用的推论：推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶
【例1】1 2 3 …… 1993 的和是奇数还是偶数？
【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数
（ 151 152 153 …… 233）【例2】 (200 201 202 …… 288）

小学数学教案：《奇偶问题》新课教材

奇偶问题
我会学
我们把学过的整数按从小到大的顺序写出来，可以写成：
0,1,2,3,4，……
在学习和生活中，我们经常把上述这些数分成两大类，其中一类数叫做偶数，它们是：0,2,4,6,8，……
另一类叫做奇数，它们是：1,3,5,7，……
那么，什么是偶数，什么是奇数呢?在公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派就用点或小卵石来表示数，如果小卵石表示的数能分成两个相等的部分，那么这个数叫偶数，把不能分成两个相等的部分的数叫奇数。

也就是我们通常所说的，“能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。

”
自然数中，一个数是奇数还是偶数是这个数自身的属性，称为奇偶性。

与同学们一起来研究奇数和偶数的运算性质。

【例1】：
把下面框里的数按奇数、偶数分类。

【例2】：
任选两个偶数或两个奇数或一个奇数一个偶数，进行加、减、乘运算，它们的和、差、积分别是奇数还是偶数？
【例3】：
若干个奇数相加和是奇数还是偶数？。

【小升初专项训练】13 奇偶性问题

第2讲奇偶性问题第一关奇偶性判断【知识点】1.奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数．2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数．3．奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数．4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数．5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1．【例1】下面不能写成10个连续自然数之和的是（）A．385B．495C．675D．1040【答案】D【例2】已知a，b，c是三个连续自然数，其中a是偶数根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是_______。

【答案】小红【例3】任意两个质数的和（）A．一定是偶数B．一定是质数C．一定是合数D．可能是偶数，可能是质数，也可能是合数【答案】D【例4】一个下雨的夜晚，小华回家准备开灯做作业，本来拉一下开关，灯就应该亮了．但是他连续拉9下开关，结果灯还是没亮，后来才知道是停电了．你知道来电以后，灯是不是亮的？简要说明理由．【答案】来电时，灯是亮的【例5】教室里有一个电扇开着，突然停电了，停电后，小强拉了一下电扇的开关，过了一会儿，小红也拉了一下开关．如果这个班有40名学生，每个学生都拉一下开关，当最后一名学生拉一下开关后，电扇是开着，还是关着？你能说明理由吗？【答案】当最后一名学生拉一下开关后，电扇是开着【例6】某个码头有一艘渡船．有一天，这艘船从南岸出发驶向北岸，来回送游客，一共202次（来回算做两次），此时，渡船停靠在_______岸【答案】南【例7】一个杯子杯口向上放在桌子时，翻动1下杯口向下，翻动2下杯口向上，翻动208下，杯口向_______．【答案】上【例8】第一组每人做5道题，第二组每人做4道题，如果学生总数是奇数，做题总数是偶数，问第一组人数是奇数还是偶数？【答案】偶数【例9】（98-6）×（11+16）+2017的计算结果是________（奇数还是偶数）【答案】奇数【例10】1×3×5×7×9×11×12×13的积是________（偶数或奇数）【答案】偶数【例11】算式1+2+3+…+2008+2009+2008+…+3+2+1的运算结果是________（填奇或偶）【答案】奇数【例12】给1，2，3，4…100这100个自然数中间任意添上“+”或“-”，那么结果必然为_____数．（填“奇”或“偶”）．【答案】偶数【例13】任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？【答案】奇数【例14】1×2+3×4+5×6+…+99×100的和是奇数还是偶数？【答案】偶数【例15】（1+2+3+…+2003）×（2003+2004+…+4001）的积是_____数（填“奇”或“偶”）【答案】偶数【例16】车棚里有一些自行车和三轮车，这两种车的总辆数和车轮的总个数都是奇数．你知道自行车、三轮车的辆数是奇数还是偶数吗？说说你的理由．【答案】自行车的辆数是偶数，三轮车的辆数是奇数【例17】甲、乙二人玩填符号游戏，先将1至100从左至右排成一排，然后两人从左至右轮流在两数之间填“+”号或“×”号．甲说：“如果我先填，则无论你怎样填，我想让最后结果是奇数或是偶数都可以做到．”甲应如何填？【答案】如果在1后面填“+”号，其他后面的数只要在有奇数的一侧有“×”即可保持奇数；如果在1后面填“×”号，其他后面的数只要在奇数的一侧保持有“×”即可保持偶数．第二关1.【例18】190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？【答案】28【例19】2，4，6，8，…是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是多少？【答案】60【例20】四个连续偶数之和是2004，那么其中最大的数是多少？【答案】504【例21】1992是24个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？【答案】106【例22】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得两个积相差100，这个数是多少？【答案】50【例23】从1开始的奇数：1，3，5，7，…其中第100个奇数是多少？【答案】199【例24】两个连续奇数的和除以它们的差，商是6，求这两个奇数。

2020版高考数学历史专用讲义：第二章 2.3 函数的奇偶性与周期性

§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)；(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)；(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|(2)T＝2|a|(3)T＝|a－b|题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) 题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案－2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)． ∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，x 2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋sin 2x B ．f (x )＝x 2－cos x C ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案 D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－⎝⎛⎭⎫3x －13x ＝－f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3 C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案 B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 答案－2解析 f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________. 答案－2－ 3解析由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1解析依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝122－1＋20－1 ＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例2 (1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 021)＝________. 答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2 求参数问题例3 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案 [－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝a 2≤0，－1－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0. 命题点3 利用函数的性质解不等式例4 (1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案 A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A. (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝12log (1)x -，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0 D ．增函数且f (x )<0答案 D解析当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝12log (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D. (2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝－1，f (3)＝1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[3,5] B ．[－1,1] C ．[1,3] D ．[－1,1]∪[3,5]答案 D解析由偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f (1)＝－1，f (3)＝1，则f (－1)＝－1，f (－3)＝1，要使得－1≤f (x －2)≤1，即1≤|x －2|≤3，即1≤x －2≤3或－3≤x －2≤－1，解得－1≤x ≤1或3≤x ≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，解不等式f (6－x 2)>f (x )．解 ∵g (x )是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案 B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50 B．0 C．2 D．50答案 C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． (3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案 {a |a >4或a <0}解析 ∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案 B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于( ) A ．－3 B ．－54 C.54 D ．3答案 A解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 答案 D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．1 答案 A解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－124＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A ．(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2 020])，则a 的最大值是( ) A ．2 018 B ．2 010 C ．2 020 D ．2 011 答案 D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5， ∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2 020＝12×168＋4， ∴a 的最大值在[2 004,2 016]上，即2 004＋7＝2 011.故选D. 7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________．答案－ln 2解析由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e2＝－2，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln 2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案 9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2 023)＝________. 答案 1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值是( )A ．－1B ．－13C ．－12 D.13答案 B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，g (m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x－2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝0.。

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