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江苏省南通市2016届高三二模数学试题

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2016年江苏南通市、泰州市、扬州市、淮安市高三二模数学试卷

2016年江苏南通市、泰州市、扬州市、淮安市高三二模数学试卷

2016年江苏南通市、泰州市、扬州市、淮安市高三二模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 若复数z满足1+2i⋅z=3，则复数z的实部为．2. 若集合A=−1,0,1，B= a−1,a+1a，A∩B=0，则实数a的值为．3. 执行如图所示的流程图，则输出的k值是．4. 为了了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表：的灯泡只数是．5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人，社会主义核心价值观，依法治国理念，中国优秀传统文化，创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．6. 已知函数f x=log a x+b a>0且a≠1,b∈R 的图象如图所示，那么a+b的值是．7. 已知函数y=sin ωx+π30<x<π，若当且仅当x=π12时，y取得最大值，则正数ω的值为．8. 在等比数列a n中，已知a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．9. 在体积为32的四面体ABCD中，若AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．10. 在平面直角坐标系xOy中，过点P−2,0的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆x−a2+y−32=3相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为．11. 已知f x是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈0,+∞，满足f x+2=f x．若当x∈0,2时，f x=∣x2−x−1∣，则函数y=f x−1在−2,4上的零点个数为．12. 如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B，C分别在m，n上，若∣∣AB+AC∣∣=5，则AB⋅AC的最大值是．13. 若实数x，y满足x24−y2=1，则3x2−2xy的最小值是．14. 若存在α,β∈R，使得t=cos3β+α2cosβ,α≤t≤α−5cosβ,则实数t的取值范围是．二、解答题（共6小题；共78分）15. 在斜三角形ABC中，已知tan A+tan B+tan A tan B=1．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若A=15∘，AB=2，求△ABC的周长．16. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．Ⅰ求证：AP∥平面C1MN；Ⅱ求证：平面B1BDD1⊥平面C1MN．17. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m的围墙．现有两种方案：方案①，多边形为直角三角形AEB∠AEB=90∘，如图（1）所示，其中AE+EB=30 m；方案②，多边形为等腰梯形AEFB AB>EF，如图（2）所示，其中AE=EF=BF=10 m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率为22．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足OP=2AO．Ⅰ若点P的坐标为2,2，求椭圆的方程；Ⅱ设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且BP=mBC，直线OA，OB的斜率之积为−12，求实数m的值．19. 已知函数f x=x+k+1x−k，g x=x−k+3，其中k是实数．Ⅰ若k=0，解不等式x⋅f x≥12x+3⋅g x；Ⅱ若k≥0，求关于x的方程f x=x⋅g x的实数根的个数．20. 设数列a n的各项均为正数，a n的前n项和S n=14a n+12．Ⅰ求证：数列a n为等差数列．Ⅱ等比数列b n的各项均为正数，b n b n+1≥S n2，且存在整数k≥2，使得b k b k+1=S k2．①求数列b n的公比q的最小值（用k表示）；②当n≥2时，b n∈N∗，求数列b n的通项公式．答案第一部分1. 35【解析】由题意知z=31+2i =35−65i，实部为35．2. 1【解析】因为0∈B，又∣∣a+1a∣∣≥2，所以a−1=0，所以a=1．3. 17【解析】第一次循环：k=0<9，k=20+02=1；第二次循环：k=1<9，k=21+12=3；第三次循环：k=3<9，k=23+32=17，k=17>9，故输出的k的值是17．4. 1400【解析】使用寿命不低于1100 h的灯泡只数是25+3100×5000=1400．5. 25【解析】从5个主题中选2个，基本事件有10个，其中“立德树人”的主题被选中的事件有4个，故所求的概率为25．6. 92【解析】由题图知log a−3+b=0，log a b=−2，解得b=4，a=12，所以a+b=92．7. 2【解析】由题意知ω⋅π12+π3=2kπ+π2，k∈Z，则ω=24k+2，k∈Z，当k=0时，正数ω=2，满足题意．8. 149【解析】由题意知a1+7a5=2×4a3，即a2q+7a2q3=8a2q，所以1q+7q3=8q，故7q4−8q2+1=0，解得q2=17或q2=1（舍去），所以a6=a2q4=149．9. 7，19【解析】因为四面体ABCD的体积V=13×12×2×3×sin∠CBD×1=32，所以sin∠CBD=32，所以∠CBD=60∘或120∘．当∠CBD=60∘时，CD2=22+32−2×2×3×cos60∘=7，所以CD=7；当∠CBD=120∘时，CD2=22+32−2×2×3×cos120∘=19，所以CD=19．综上，CD长度的所有值为7，19．10. 4【解析】如图．在Rt△PTO中，PT=2−OT2=3，所以P=30∘，故直线PT的方程为x−3y+2=0．由题意知RS=PT=3，所以322=32−1+32，化简得a2−2a−8=0，解得a=4或a=−2（舍去），故正数a的值为4．11. 7【解析】作出函数f x在−2,4上的图象如图所示，则函数y=f x−1在−2,4上的零点个数即为f x的图象与直线y=1在−2,4上的交点的个数．由图象知，交点个数为7．12. 214【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则点A的坐标为0,3．设点B的坐标为m,2，点C的坐标为n,0，则AB=m,−1，AC=n,−3．由题意∣∣AB+AC∣∣=5，得m+n2=9，且AB⋅AC=mn+3．因为mn≤m+n22=94，所以AB⋅AC≤94+3=214，当且仅当m=n=±32时取等号．13. 42+6【解析】由x 24−y2=1，得yx∈ −12,12．因为3x2−2xy=3x2−2xy1x2−y2=43−2yx1−4yx2，令t=3−2yx∈2,4，则3x2−2xy=4t−8+6t−t2=46− t+8t≥46−42=42+6.当且仅当t=22∈2,4时取等号．14. −23,1【解析】令x=cosβ，由α≤t≤α−5cosβ，知x∈−1,0．当x=0时，t=0符合题意；当x∈−1,0时，由t=x3+α2⋅x，得α=2t−2x3x，所以2t−2x 3x ≤t≤2t−2x3x−5x．由2t−2x 3x ≤t，得t≥2x32−x．令f x=2x 32−x，由题意知t≥f x min，又fʹx=4x 23−x2−x2>0在x∈−1,0上恒成立，即f x在−1,0上是增函数，所以f x min=f−1=−23，所以t≥−23．由t≤2t−2x 3x −5x，得t≤2x3+5x22−x．令g x=2x 3+5x22−x，由题意知t≤g x max，又gʹx=−x4x 2−7x−202−x<0在x∈−1,0上恒成立，即g x在−1,0上是减函数，所以g x max=g−1=1，所以t≤1．综上，实数t的取值范围为 −23,1．第二部分15. （1）因为tan A+tan B+tan A tan B=1，所以tan A+tan B=1−tan A tan B．又在斜三角形ABC中，1−tan A tan B≠0，所以tan A+B=tan A+tan B1−tan A tan B=1，即tan180∘−C=1，所以tan C=−1．因为0∘<C<180∘，所以C=135∘．（2）在△ABC中，A=15∘，C=135∘，则B=180∘−A−C=30∘．由正弦定理BCsin A =CAsin B=ABsin C，得BCsin15∘=CAsin30∘=2sin135∘=2，故BC=2sin15∘=2sin45∘−30∘=2sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=6−2,CA=2sin30∘=1，所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6−22=2+6+22．16. （1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM=PC1．又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形，所以AP∥C1M．又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN．（2）如图，连接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD．因为M，N分别为棱AB，BC的中点，所以MN∥AC．所以MN⊥BD．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，所以DD1⊥MN．因为DD1∩DB=D，DD1⊂平面BDD1B1，DB⊂平面BDD1B1，所以MN⊥平面BDD1B1．又MN⊂平面C1MN，所以平面B1BDD1⊥平面C1MN．17. 设方案①②中多边形苗圃的面积分别为S1，S2．方案①：设AE=x，则S1=12x30−x≤12x+30−x22=2252（当且仅当x=15时取等号）．方案②：设∠BAE=θ，则S2=100sinθ1+cosθ，θ∈0,π2．由Sʹ2=1002cos2θ+cosθ−1=0，得cosθ=12（cosθ=−1舍去）因为θ∈0,π2，所以θ=π3．当θ变化时，Sʹ2，S2的变化情况如下：所以当θ=π3时，S2max=753．因为2252<753，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE=π3．答：方案①，②中苗圃的最大面积分别为 2252m 2，75 2，建苗圃时用方案②，且 ∠BAE =π3．18. （1） 因为 OP =2AO ， 又点 P 的坐标为 2, ， 所以点 A 的坐标为 −1,− 22 ， 代入椭圆的方程，得1a +12b =1. ⋯⋯①又椭圆的离心率为 22， 所以 1−b 2a =22. ⋯⋯② 由 ①②，得 a 2=2，b 2=1， 故椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2） 设点 A 的坐标为 x 1,y 1 ，点 B 的坐标为 x 2,y 2 ，点 C 的坐标为 x 3,y 3 ． 因为 OP=2AO ， 所以点 P 的坐标为 −2x 1,−2y 1 ．因为 BP=mBC ，所以 −2x 1−x 2,−2y 1−y 2 =m x 3−x 2,y 3−y 2 ， 即 −2x 1−x 2=m x 3−x 2 ,−2y 1−y 2=m y 3−y 2 ,解得 x 3=m−1m x 2−2m x 1,y 3=m−1m y 2−2m y 1, 代入椭圆的方程，得m −1m x 2−2mx 1 2a2+m −1m y 2−2my 1 2b2=1，即 4m x 12a +y 12b + m−1 2m x 22a +y 22b −4 m−1 mx 1x 2a +y 1y 2b =1. ⋯⋯③因为点 A ，B 在椭圆上，所以x 12a2+y 12b 2=1，x 22a2+y 22b 2=1. ⋯⋯④又直线 OA ，OB 的斜率之积为 −12， 即 y 1x 1⋅y 2x 2=−12，结合 ② 知x 1x 2a 2+y 1y 2b 2=0. ⋯⋯⑤将 ④⑤ 代入 ③，得 4m 2+ m−1 2m 2=1，解得 m =52．19. （1） 当 k =0 时，f x = x +1 x ，g x = x +3．由 x ≥0,x +3≥0, 得 x ≥0． 此时，原不等式为 x +1 x ≥12 x +3 ，即 2x 2+x −3≥0， 解得 x ≤−32 或 x ≥1，所以原不等式的解集为 1,+∞ ．（2） 由方程 f x =x ⋅g x ，得 x +k +1 x −k =x x −k +3. ⋯⋯①由x−k≥0,x−k+3≥0,得x≥k，所以x≥0，x−k+1>0．方程①两边平方，整理得2k−1x2−k2−1x−k k+12=0x≥k. ⋯⋯②当k=12时，由②得x=32，所以原方程有唯一解．当k≠12时，由②得判别式Δ=k+123k−12，（i）当k=13时，Δ=0，方程②有两个相等的实数根x=43>13，所以原方程有唯一的解．（ii）当0≤k<12且k≠13时，方程②整理为2k−1x+k k+1x−k−1=0，解得x1=k k+11−2k，x2=k+1．由于Δ>0，所以x1≠x2，其中x2=k+1>k，x1−k=3k21−2k≥0，即x1≥k．故原方程有两个解．（iii）当k>12时，由（ii）知x1−k=3k21−2k<0，即x1<k，故x1不是原方程的解．又x2=k+1>k，故原方程有唯一解．综上所述，当k≥12或k=13时，原方程有唯一解；当0≤k<12且k≠13时，原方程有两个解．注：（ii）中，另解：Δ>0,2k−1<0,x=k2−122k−1>k, k=−3k2<0,故方程②的两个实数根均大于k，所以原方程有两个解．20. （1）因为S n=14a n+12, ⋯⋯①所以S n−1=14a n−1+12,n≥2,n∈N∗. ⋯⋯②①−②，得a n+a n−1a n−a n−1−2=0，n≥2．因为数列a n的各项均为正数，所以a n+a n−1>0，n≥2，n∈N∗，所以a n−a n−1=2，n≥2，n∈N∗，所以数列a n为等差数列．（2）①在S n=14a n+12中，令n=1，得a1=1，所以a n=2n−1，S n=n2．由 b k b k +1=S k 2 k ≥2,k ∈N ∗ ，得 b 1=k 2q k−12，所以 b n =b 1q n−1=k 2q n−k−1. ⋯⋯③由 b n b n +1≥S n 2，得 k 4q 2n−2k ≥n 4，即 q n−k ≥ n k 2. ⋯⋯④当 n =k 时，④ 恒成立．当 n ≥k +1 时，④ 两边取自然对数， 整理得 k ln q 2≥ln n k n −1，n k ≥1+1k . ⋯⋯⑤记 f x =ln x x−1 x >1 ，则 fʹ x =1−1x +ln 1xx−1 ，记 g t =1−t +ln t ，0<t <1， 则 gʹ t =1−t t >0，故 g t 在 0,1 上单调递增，所以 g t <g 1 =0，所以 fʹ x <0，故 f x 在 1,+∞ 上单调递减， 所以 ln n k n k −1 的最大值为 k ln 1+1k ．⑤ 中，k ln q 2≥k ln 1+1k ，解得 q ≥ 1+1k 2．当 n ≤k −1 时，同理有 q ≤ 1+1k−1 2， 所以公比 q 的最小值为 1+1k 2（整数 k ≥2）．②由题意知，q ∈N ∗．且 q ∈ 1+1k 2, 1+1k−1 2 （整数 k ≥2）， 所以 q ≥ 1+1k 2>1，q ≤ 1+1k−1 2≤4， 所以 q ∈ 2,3,4 ，当 q =2 时， 1+1k 2≤2≤ 1+1k−1 2， 只能 k =3，此时 b n =9⋅2n−7，不符合题意； 当 q =3 时， 1+1k 2≤3≤ 1+1k−1 2， 只能 k =2，此时 b n =4⋅3n−52，不符合题意； 当 q =4 时， 1+1k 2≤4≤ 1+1k−1 2，只能 k =2，此时 b n =22n−3，符合题意．综上，b n=22n−3．。

2016年江苏省高考数学二模试卷(解析版)

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2016年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2016年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4； 当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7； 当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10； 当l=10时，不满足进行循环的条件， 故输出的S 值为15． 故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球， 从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tan β的值为 3 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cos α，tan α的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cos α=﹣=﹣，tan α==﹣2，∴tan （α+β）===，整理可得：tan β=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为 +12 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h ，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，∵b1008=1，∴b1b2015=b2b2014=…=b1007b1009=（b1008）2=1，∴a2016=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n 的坐标为（t ，0），直线方程为y=k （x ﹣t ），代入椭圆方程x 2+2y 2=2b 2，可得（1+2k 2）x 2﹣4tk 2x +2k 2t 2﹣2b 2=0，即有x 1+x 2=，x 1x 2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP 1，AP 2，…，AP 4030的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2015．14．已知函数f （x ）=x |x ﹣a |，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则实数a 的取值范围为 [3，+∞） ．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f （x ）=，作出函数f （x ）的图象，由图象知当x ≤a 时，函数f （x ）为凸函数，当x ≥a 时，函数f （x ）为凹函数，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则a ≥3即可，故实数a 的取值范围是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ．∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x ，同理可得+≥2y ，+≥2z ，三式相加，可得+++x +y +z ≥2（x +y +z ），即为++≥x +y +z ，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，Eξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2017（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2016），∴，则a2017＜1；又，∴×2017=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2017＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2016年10月17日。

江苏省南通市2016届高三数学模拟试卷(十) Word版含解析

江苏省南通市2016届高三数学模拟试卷(十) Word版含解析

2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是．5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为．13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于{1，3，4} ．【考点】补集及其运算．【分析】首先求出A∩B，然后对其进行补集运算．【解答】解：由已知，A∩B={2}，所以∁U（A∩B）={1，3，4}；故答案为：{1，3，4}．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．【考点】复数求模．【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（2+bi）（2﹣i）=4+b+（2b﹣2）i为纯虚数，∴，解得b=﹣4．则|1+bi|=|1﹣4i|==．故答案为：．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为100．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，∴n的值=；故答案100．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是5．【考点】循环结构．【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．【解答】解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是1+2=3第三个输出的数字是3+2=5故答案为：55．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n==10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣16，0] ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为[﹣16，0]．故答案为：[﹣16，0]．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．【考点】简单线性规划；平面向量的基本定理及其意义．【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z=，y=，所以z表示直线在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；则：，设P（x，y），；∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；∴；∴；设z=，则：y=，所以z是直线y=在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为；∴α+β的最大值是．故答案为：．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= e2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．【解答】解：y=a x+1的导数为y′=a x lna，即有曲线在点（0，2）处的切线斜率为k=lna，由于切线与直线x+2y+1=0垂直，则lna•（﹣）=﹣1，解得a=e2，故答案为：e2．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．【考点】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）设S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案为：12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为[，+∞）∪{}．【考点】分段函数的应用．【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t2，讨论t＜1，及t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式或方程即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t2，若t＜1时，由f（t）=2t2得3t﹣1=2t2，即2t2﹣3t+1=0，得t=1（舍）或t=，当t≥1时，2t2=2t2成立，即t≥1或t=，若a＜1，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；此时≤a＜1，由f（a）=得3a﹣1=得a=，满足条件，若a≥1，由f（a）≥1，即2a2≥1，∵a≥1，∴此时不等式2a2≥1恒成立，由f（a）=得2a2=得a=±，不满足条件，综上≤a＜1或a≥1．即a≥．综上可得a的范围是a≥或a=．故答案为：[，+∞）∪{}13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设C（x0，2﹣2x0），得线段OC的中点坐标，则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，即可确定点C的横坐标的取值范围．【解答】解：设C（x0，2﹣2x0），则线段OC的中点坐标是D（x0，1﹣x0），则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，（x0）2+（1﹣x0）2＜1，解得0＜x0＜．故答案为：（0，）．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为{}．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论．【解答】解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则∵后三项依次成公比为q的等比数列∴，整理得，所以（d﹣22）（3d﹣88）＜0，即，则d可能为24，26，28，当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；所以q的所有可能值构成的集合为．故答案为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）∵，从而．又∵，∴．…利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…==．…16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证DE∥平面ABC，根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取AB中点G，连DG，CG，只需证DE∥GC即可；（2）欲证平面AEF⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC1B1即可，然后再根据体积公式求出三棱锥A﹣BCB1的体积．【解答】解：（I）取AB中点G，连DG，CG在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴BCC1B1是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，∴是平行四边形，∴DE∥GC．∵GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AF⊥CC1∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC又BC∩CC1=C∴AF⊥平面BCC1B1，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCC1B1AF⊥平面BCC1B1，在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，∴17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，∴13=16+AE2﹣2×，∴AE=1或3；（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，S△CEF==，∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，可得=1，又e= =，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（k≠0）．联立，（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．解得，．可得：|EF|2=4（+）．同理可得：x D，y D．|OD|2．设△DEF的面积=S．可得S2=，化简利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，∴=1，又e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为=1．（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．（k≠0）．联立，解得=，=．∴|EF|2=4（+）=．同理可得：x D=，y D=．|OD|2=．设△DEF的面积=S．∴S2==××==f（k），令1+k2=t＞1，则f（k）==≥，当且仅当t=8，k=﹣时取等号．∴△DEF的面积存在最小值．此时D．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n 的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．【考点】数列的应用．【分析】（1）运用M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．【解答】解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．∴AD∥EC．（2）解：如图，∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，PA=AC﹣PC=6，即62=PB•（PB+9），∴PB=3．在⊙O2中，PA•PC=BP•PE．∴PE=4．∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（Ⅰ）通过变换的特征即得结论；（Ⅱ）由（I）得，通过题意可得，利用x′=y′计算即可．【解答】解：（Ⅰ）通过题意，易得M=，N=；（Ⅱ）由（I）得，由=，得，由题意得x′=y′得3x=﹣2y，∴直线l的方程为3x+2y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P （A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）==，∴X的分布列为：X 0 3 4P∴EX==．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．【考点】数学归纳法．【分析】（1）根据多项式乘法运算法则，可得a n=++…+，利用等比数列的求和公式，可得结论；（2）先计算b2，b3的值，代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a n=++…+=1﹣．…（2）计算得b2=，b3=．代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1．…下面用数学归纳法证明b n=（1﹣）（1﹣）=﹣+×（n≥2）：①当n=2时，b2=，结论成立．②设n=k时成立，即b k=﹣+×．则当n=k+1时，b k+1=b k+=﹣+×+﹣=﹣+×．由①②可得结论成立．…2016年7月29日。

江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016届高三第二次调研测试数学试题 含解析

江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016届高三第二次调研测试数学试题 含解析

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。

1。

设复数z 满足()12i 3z +⋅=（i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 ▲ ．【答案】35考点：复数概念与运算2.设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0AB =,则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1 【解析】试题分析：因为10a a+≠，所以10,1a a -== 考点：集合运算3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．开始k >9输出k结束k 0k 2k +k 2Y N【答案】17 【解析】试题分析:第一次循环，1k =,第二次循环，3k =，第三次循环，179k =>，结束循环，输出17.k = 考点：循环结构流程图4.为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试,其使用寿命（单位：h ）如下表：使用寿命 [)500,700 [)700,900 [)900,1100 [)1100,1300 []1300,1500只数5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是 ▲ ． 【答案】1700 【解析】试题分析：由题意得：25350001700100+⨯=考点：频数与总数关系5。

电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是:立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 ▲ ． 【答案】0.4考点：古典概型概率6.已知函数()()log af x x b =+(0,1,R a a b >≠∈）的图像如图所示，则a b +的值是▲ ．f x (【答案】9.2 【解析】试题分析:由题意得()()21930,02,31,4,.22f f b b a b a a b --==-⇒-==⇒==⇒+= 考点:对数式7.设函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π<<）,当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意得21232πππωω⋅+=⇒= 考点：三角函数性质 8。

江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题6Word版含答案

江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题6Word版含答案

（第4题）2016年数学全真模拟试卷六试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =Uð ▲ ． 【答案】{5}2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ▲ ．3. 已知函数()a f x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】24. 右图是某算法的流程图，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】75. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ ． 【答案】356. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10 % 的工人进行调查．首先 在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为 000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007， 则样本中的最大编号是 ▲ ． 【答案】6177.在平面直角坐标系xOy 中，已知角()π4α+的终边经过点(1P ，则t a n α的值为 ▲ ．【答案】28. 已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ▲ ． 【答案】19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为3 ()n n S k k =-∈*N ，则2k a 的值为 ▲ ． 【答案】610. 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为▲ ．【答案】（0，1）【解析】易得2()0f x x -<，即20x x -<，解得x ∈（0，1）．11. 设向量a ()cos25sin 25=，，b ()sin 20cos20=，，若t 是实数，且t =+u a b ，则u 的最小值为 ▲ ．【解析】因为()22222221212sin 4512t t t t t t =+=++⋅=++=+≥u a b a b a b ，所以u 的最小．12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B ()222122 1212k k k k-++，，D ()5 03-，，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示） 【答案】2324k k +【解析】将点B ()222122 1212k k k k -++，用2k 代替得点C 的坐标()22284 88k k k k -++，，从而直线CD 的斜率 为2324k k +．13．使“a b <”成立的必要不充分条件是“ ▲ ”．（填上所有满足题意的序号）①0x ∀>，a b x +≤；APBPCPMDP（第16题）②0x ∃≥，a x b +<； ③0x ∀≥，a b x <+； ④0x ∃>，a x b +≤． 【答案】①【解析】①⇔0x ∀>，a b x -≤，从而0a b -≤，即a b ≤； ②⇔0x ∃≥，b a x ->，从而0b a ->，即a b <； ③⇔0x ∀≥，a b x -<，从而0a b -<，即a b <； ④⇔0x ∃>，b a x -≥，从而0b a ->，即a b <．14. 在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ▲ ．【答案】196【解析】依题意cos A -sin A ＝13cos B cos C -13sin B sin C ，即cos A -sin A ＝13cos ()B C +， 即cos A -sin A ＝-13cos A ，所以tan A 14=，又易得tan A ＝tan B tan C ， 而tan A ＋tan B ＋tan C =tan A tan B tan C ，所以tan A ＋tan B ＋tan C =tan 2A 196=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD // BC ，且AD =2BC ，AD ⊥CD ，PA =PD ，M 为棱AD 的中点．（1）求证：CD //平面PBM ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBM ．证明：（1）因为AD // BC ，且AD =2BC ， 所以四边形BCDM 为平行四边形， 故CD // BM ，又CD ⊄平面PBM ，BM ⊂平面PBM ， 所以CD //平面PBM ；（6分） （2）因为PA =PD ，点M 为棱AD 的中点， 所以PM ⊥AD ，又AD ⊥CD ，CD // BM ， 故AD ⊥BM ， 而PMBM M =，PM 、BM ⊂平面PBM ，所以AD ⊥平面PBM ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBM ．（14分）16．（本题满分14分）在△ABC中，BC 2AB AC ⋅=．（1）求证：△ABC 三边的平方和为定值； （2）当△ABC 的面积最大时，求cos B 的值．证明：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=．(3分)在△ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， 故22210616AB BC AC ++=+=为定值．(6分) 解：（2）由（1）知2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +⋅=≤，当且仅当AB AC =时取“=”号．(8分) 因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC=⋅，从而sin A (10分) △ABC的面积11sin S AB AC A AB AC =⋅⋅=⋅=(12分) 当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC =，故2cos BCB AB ===(14分)17．（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T =4v -，即200T =，4v >；（4分）（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．（14分）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，记线段AB 的中点为M ．（1）求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若直线l 过点()3m m ，，延长OM 与椭圆C 交于点P ．问：四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求直线l 的斜率；若不能，说明理由． （1）证明：设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．则222112222299x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，，两式相减得()()()()1212121290x x x x y y y y -++-+=， 整理得()()()()121212129y y y y x x x x -+=--+，即k OM ⋅k ＝－9，得证．(6分)（2）四边形OAPB 能为平行四边形．(8分)因为直线l 过点()3m m ，，且l 不过原点且与椭圆C 有两个交点，则k >0，k ≠3，由(1)得直线OM 的方程为9y x k=-，设点P 的横坐标为x P ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，P x (10分)将点()3m m ，的坐标代入l 的方程y =kx +b 得(3)3k mb -=， 因此()2(3)39M k k mx k -=+， (12分)四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即x P ＝2x M()2(3)239k k m k -=⨯+，解得14k =，24k =所以当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．(16分)19．（本题满分16分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x + e x =，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x ，()g x 的表达式；（2）设0a ≤，1b ≥，0x >，证明：()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()()f x g x +e x =得，()()f x g x -+-e x -=， 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x g x -+e x -=，从而e e ()2x x f x --=，e +e ()2x xg x -=(4分) （2）当0x >时，e 10e 1x x -><<，，所以()0f x >，e +e ()12x xg x -=.(6分) 由（1）得，e +e ()()2x x f x g x -'==，e e ()()2x x g x f x --'==，(8分) 当0x >时，()()(1)()()(1)f x ag x a f x axg x a x x>+-⇔>+-，()()(1)()()(1)f x bg x b f x bxg x b x <+-⇔<+-， 设函数()()()(1)P x f x cxg x c x =-+-，(10分)则[][]()()()()(1)(1)()1()P x f x c g x xg x c c g x cxf x '''=-++-=---，(12分) 若0c ≤，0x >，则()0P x '>，故()P x 为[)0+∞，上增函数， 所以()(0)0P x P >=，若1c ≥，0x >，则()0P x '<，故()P x 为[)0+∞，上减函数， 所以()(0)0P x P <=， 综上知，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.（16分） 20．（本题满分16分）设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时 1()1f n n =+．（9分）(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．（14分）综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ． 证明：因为△ACD ∽△BCF ， 所以∠ACD =∠BCF ，故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠， 即∠DCF =∠BCE ， 又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．（10分）B（第21题A ）B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设x 为实数．若矩阵M 152x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为不可逆矩阵，求2M ． 解：依题意，10x =-，（4分）所以2M 15159452102101890---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（10分）C ．选修4—4：极坐标与参数方程 （本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线()πsin 4ρθ+=交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；（4分）()πs i n 2ρθ+=同样可化为2x y +=，（8分） 联立方程组，解得A (1，1)， B (－2，4)，所以AB ．（10分）D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥ 证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=， 所以123111a a a ++()123123111()a a a aa a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1231a a a ===时等号成立）（8分）所以1239111a a a ++≥.（10分）ABCD1A1B11DP（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P AC λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）若直线1AC ⊥平面PBD ，求实数λ的值． 解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)， C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，（1）由12λ=得()111 222P ，，， 所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，所以11114cos 3PB PD --+⋅==-，所以，直线PB 与PD ．（5分）（2）易得()11 1 1AC =--，，， 由11(1 1 1)A P AC λλ==--，，得，(1 1)P λλλ--，，， 此时( 1 1)BP λλλ=---，，，因为1AC PBD ⊥平面，所以1BP A C ⊥， 从而10AC BP ⋅=，即 110λλλ+-+-=，解得23λ=．（10分）23．（本小题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（5分） （2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnr r r n n r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x x x x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．（10分）。

江苏省南通市2016届高三第二次调研测试数学试题带答案

江苏省南通市2016届高三第二次调研测试数学试题带答案

江苏省南通市2016届高三第二次调研测试数学试题带答案南通市2016届高三第二次调研测试-数学（I）本次测试包含填空题和解答题两部分。

一、填空题：共14小题，每小题5分，共计70分。

1.复数z满足(1+2i)z=3(i)，则复数z的实部为1.2.设集合A={-1,0,1}，B={a-1,a+1}，则实数a的值为-2或2.3.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是10.4.从一批共5000只的灯泡中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表：使用寿命。

只数500,700)。

5700,900)。

2900,1100)。

31100,1300)。

41300,1500]。

2根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是6.5.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力。

某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是1/10.6.已知函数f(x)=loga(x+b)（a>0，a≠1，b∈R）的图像如图所示，则a+b的值是2.7.设函数y=sin(ωx+π/3)，当且仅当π/12<x<π/3时，y取得最大值，则正数ω的值为2.8.在等比数列{an}中，a2=1，公比q≠±1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是28.9.在体积为3的四面体ABCD中，AB⊥平面ABCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为√6≤CD＜√22.10.在平面直角坐标系xOy中，过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆(x-a)2+(y-3)2=3相交于点R、S，且PT=RS，则正数a的值为4.11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0,+∞)，满足f(x+2)=f(x)。

若当x∈[0,2)时，f(x)=x2-x-1，则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为2.注意：本次测试中涉及的符号均为常见符号，如有特殊符号，会在题目中给出说明。

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试卷2 Word版含解析

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2016年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 复数2i 1i +-(i 为虚数单位)的模为 ▲ ．2．已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 【答案】43． 在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 ▲ ． 【答案】234． 下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差2s = ▲ ．【答案】14655． 命题：“若0a ≠，则20a >”的否命题是“ ▲ ”． 【答案】若0a =，则20a ≤6． 将函数sin y x =的图象向右至少平移 ▲ 个单位可得到函数cos y x =的图象． 【答案】3π27． 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ．【答案】18． 设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则a 7的值为 ▲ ．【答案】-13 9． 给出下列等式：π2c o s =，π2c o s8=，π2c o s16=，……请从中归纳出第n()n∈*N 个等式：2222n+⋅⋅⋅+=个▲ ．【答案】12cosn+π210．在锐角△ABC中，若tan A，tan B，tan C依次成等差数列，则tan tanA C的值为▲ ．【答案】1【解析】依题意2tan tan tanB A C=+，因为A B C++=π，所以t a n t a n t a nA B C A B=+tan C+，所以tan tan3A C=；11．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：20x y+=与圆C：22()()5x a y b-+-=相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为▲．【答案】258【解析】=C在直线l的上方，所以20a b+>，从而25a b+=，因为()2222a bab+≤，所以258ab≤（当且仅当2a b=，即52a=，54b=时等号成立，），从而ab的最大值为258．12．已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin2cos2αβ的值为▲ ．【答案】3-【解析】[][]sin()()sin()cos()cos()sin() sin2cos2cos()cos()sin()sin()cos()()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+-++-+--tan()tan()31tan()tan()αβαβαβαβ++-==--+-．13．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设{}max 342z x y x y =--，，则z 的取值范围是 ▲ ．（max{}a b ，表示a ，b 两数中的较大数） 【答案】[]108-，【解析】设13z x y =-，242z x y =-，则{}12max z z z =，，易得[]110 6z ∈-，，[]2 8z ∈0，， 则z []108∈-，．14．若幂函数()a f x x =(a ∈R )及其导函数()f x '在区间(0，+∞)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(1 )+∞，【解析】易得1()a f x ax -'=，2()(1)a f x a a x -''=-，当1a >时，()0f x '>，()0f x ''>；当01a << 时，()0f x '>，()0f x ''<；当1a =时，()0f x '>，()0f x ''=；当0a =时，()0f x '=， ()0f x ''=；当0a <时，()0f x '<，()0f x ''>，综上得，(1 )a ∈+∞，．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量m )sin A A =，，n ()cos B B =，，其中A ，B为△ABC 的两个内角．（1）若⊥m n ，求证：C 为直角；（2）若//m n ，求证：B 为锐角．【解】（1）易得)cos cos sin sin )A B A B A B ⋅=-=+m n ，（3分） 因为⊥m n ，所以⋅=m n 0，即πcos()cos 2A B +=．因为0πA B <+<，且函数cos y x =在(0π)，内是单调减函数，所以πA B +=，即C 为直角；（6分）（第17题）（2）因为//mn ()sin cos 0A B A B ⋅-=， 即sin cos 3cos sin 0A B A B +=．（8分）因为A ，B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠，于是tan 3tan A B =-,因而A ，B 中恰有一个是钝角．（10分） 从而22tan tan 3tan tan 2tan tan()01tan tan 13tan 13tan A B B B B A B A B B B+-+-+===<-++， 所以tan 0B >，即证B 为锐角．（14分）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∠为二面角P AD B --的平面角． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若BC ⊥平面PAB ，求证：//AD 平面PBC ． 证明：（1）因为PAB ∠为二面角P AD B --的平面角，所以PA AD ⊥，BA AD ⊥，（2分） 又PAAB A =，PA AB ⊂，平面PAB ， 所以AD ⊥平面PAB ，（5分） 又AD ⊂平面ABCD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ；（7分） （2）由（1）得，AD ⊥平面PAB ， 又BC ⊥平面PAB ，所以//AD BC ，（10分） 又AD ⊄平面PBC ， BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（14分）17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：221x y += 与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点(20)Q -，， x 轴 ABPD（第16题）上方的动点P 使直线P A ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差 数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线P A ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．求证：点Q ，S ，T 三点共线． 【证】（1）由题设知，(10)(10)A B -，，，． 设000()(0)P x y y ≠，，则002PQ y k x =+，00011PA PB y yk k x x ==+-，． 因为k P A ，k PQ ，k PB 成等差数列，所以2 k PQ = k P A ＋ k PB ，即0000002211y y yx x x =+++-， 由于00y ≠，所以012x =-，即证；（7分）（2）由（1）知，()012P y -，，000221131122PA PB y y yk y k ===--+--=，．直线P A的方程为(1PA y k x =+，代入221x y +=得()()22(1)110PA PA x k x k ⎡⎤++--=⎣⎦， 于是点S 的横坐标20201414S y x y -=+，从而020414Sy y y =+． 同理可得200220049129494T Ty y x y y y -==++，．（11分） 因为00222000442(14)2(14)34S S y y y x y y y ==+-+++，000222200001212422(49)2(94)91234S TT S y y y y y x x y y y y ====++-+=++， 所以直线QS 和直线QT 的斜率相等， 故点S ，T ，Q 共线．（14分）18．（本题满分16分）如图，圆OA B ，为圆O 上的两个定点，且90AOB ∠=，P 为优弧AB 的中点．设C D ，（C 在D 左侧）为优弧AB （不含端点）上的两个不同的动点，且CD //AB ．图1 记POD α∠=，四边形ABCD 的面积为S ． （1）求S 关于α的函数关系； （2）求S 的最大值及此时α的大小．解：（1）设过圆心O 作AB 的垂线分别与AB ，CD 交于点E ，F ， 易得2AB=，1OE =，①当π02α<<时，如图1，易得2CD α=，OF α=，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅+()()1212αα=+)sin cos αα+2sin cos 1αα++；(3分)②当π2α=时，11()(21122S AB CD EF =+⋅=⨯+⨯=+；(5分)③当π3π24α<<时，如图2， 易得()2πCD αα=-=，()πOF αα-=，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅-()()121αα=⨯+⨯+)sin cos 2sin cos 1αααα+++；综上得，S =)sin cos 2sin cos 1αααα+++，30π4α<<；(9分)（2）令()πsin cos 4t ααα=+=+，因为30π4α<<，所以πππ44α<+<，从而()π0sin 14α<+≤，故(0t∈，(12分)此时(2221112S t t t =+-+=+=-，(0t ∈， 所以当t max 4S =，此时π4α=．(16分)19．（本题满分16分）（第18题）图2设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n T ，求2nnS T ； （3）判断数列{}3n n a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．解：（1）当n =1时，1122S a =-，解得12a =．（2分）当n ≥2时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=． 因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．（5分） （2）因为()2224n nna ==，所以2124n na a +=，故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，从而()()2221224112n n n S -==--，(7分)()()414441143n n n T -==--，所以23n n S =．(10分) （3）假设{}3n n a -中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ，k （m <n <k ）项成等差数列，则()2333n m k n m k a a a -=-+-，即()2323232n n m m k k -=-+-．(12分)因为m <n <k ，且m ，n ，k N *∈，所以n +1≤k ．因为()2323232n n m m k k -=-+-113232m m n n ++-+-≥，所以332n m m --≥，故矛盾，所以数列{}3n n a -中不存在三项成等差数列． (16分)20．（本题满分16分）设定义R 上在函数()32420()(4)(4) 04 log 1 4x x f x ax b a x b m x n x a x x -⎧<⎪=+--++⎨⎪->⎩≤≤ ，，，，，（a ，b ，m ，n 为常数，且0a ≠）的图象不间断． （1）求m ，n 的值；（2）设a ，b 互为相反数，且()f x 是R 上的单调函数，求a 的取值范围；（3）若a =1，b ∈R ．试讨论函数()()g x f x b =+的零点的个数，并说明理由． 解：（1）依题意，(0)1f =，(4)0f =， 即1 6416(4)4(4)0 n a b a b m n =⎧⎨+--++=⎩，，解得1 1.4n m =⎧⎪⎨=⎪⎩，(3分)（2）因为()1xy =是减函数，且()f x 是R 上的单调函数，所以在()4log 1y a x =-中，应该有'0ln 4a y x =≤，故0 a <，(5分) 在321(4)(4)14y ax b a x b x =+--++中，其中0a b +=，21'31044y ax ax a =-+-，导函数的对称轴为53x =，故2110012(4)04a a a ∆=--≤，解得1014a -<≤；(8分) （3）易得函数()321()(4)414f x x b x b x =+--++，则()21()32(4)44f x x b x b '=+--+，其判别式2416670b b ∆=++>，记()0f x '=的两根为1x ，2x （12x x <）， 列表：当b >0时，()102xb +=无解，4log 1x b =-无解，又(0)10 (4)0 f b b f b b +=+>+=>，， ()11(2)84(4)241153042f b b b b b +=+--+++=--<，方程在（0，4）上有两解，方程一共有两个解；(10分) 当1b <-时，()10xb +=有一解0.5log ()x b =-，4log 10x b -+=有一解14bx -=，又(0)10f b b +=+<，(4)0f b b +=<，()()11113(4)10 8424412f b b b b b +=+--+++=->，故方程在（0，4）上有两解，方程共有4个解；(12分) 当-1<b <0时，()102xb +=无解，4log 10x b -+=有一解，又(0)10f b b +=+>，(4)0f b b +=<， 方程在（0，4）内只有一解，方程共两解；(14分)当b =0时，有x =4和x =12两解，b =-1时，有0x =，12x =，14b x -=三个解，综上得，当1b >-时，()g x 有2个零点；当1b =-时，()g x 有3个零点； 当1b <-时，()g x 有4个零点．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并．．．．．．．．在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且C ∠=60． 求证：C ，D ，E ，F 四点共圆．证明：依题意得，()180AFB BAF AFB ∠=-∠+∠()1180BAC ABC =-∠+∠ ()11801802C =--∠ABCEF（第21—A ）120=，（5分） 又DFE AFB ∠=∠，所以12060180DFE C ∠+∠=+=， 故C ，D ，E ，F 四点共圆．（10分）B ．（矩阵与变换）已知矩阵1221-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ，515⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 满足=AX B ，求矩阵X ． 解：设X a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25 215 a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，（7分） 解得7 1 a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（10分）C ．（极坐标与参数方程）设点A 为曲线C ：2cos ρθ=在极轴Ox 上方的一点，且π04AOx ∠≤≤，以A 为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB (B 在A 的右下方)，求点B 的轨迹方程． 解：设()00 A ρθ，，且满足002cos ρθ=，() B ρθ，，依题意，00 π2π 4ρθθ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，，即00 7π 4ρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，， 代入002cos ρθ=并整理得，()π4ρθ=+，7π2π4θ≤≤，所以点B的轨迹方程为()π4ρθ=+，7π2π4θ≤≤．（10分）D ．（不等式选讲）已知正数a ，b ，c ，d 满足1a b cd +==，求证：()()1ac bd ad bc ++≥．证明：因为()()ac bd a d ++()()2222a b c d a=+++()222a b cd abcd++≥()2a b =+， 又1a b +=，1cd =，所以()()1ac bd ad bc ++≥．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是21．（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．解：（1）设事件A ：“恰用完3次投篮机会”， 则其对立事件A ：“前两次投篮均不中”，依题意，()()221()11125P A P A p =-=--=，解得35p =；（3分）（2）依题意，ξ的所有可能值为0，1，2，3，且()24(0)125P p ξ==-=，()()()224(1)111125P p p p p p ξ==-+--=，327(3)125P p ξ===，故54(2)1(0)(1)(3)P P P P ξξξξ==-=-=-==，ξ的概率分布表为：（8分）E (ξ)24542721323125125125125=+⨯+⨯=（次）．（10分）23．设函数()sin cos n n n f θθθ=+，n ∈*N ，且1()f a θ=，其中常数a 为区间（0，1）内的有理数．（1）求()n f θ的表达式（用a 和n 表示）； （2）求证：对任意的正整数n ，()n f θ为有理数． 解：（1）易得sin cos a θθ+=， 又22sin cos 1θθ+=，所以222sin 2sin 10a a θθ-+-=，解得sin θ从而()nnn f θ=+；（4分）（2）证明：()nnn f θ=+ ()()()02424024CC C 222nn n nnna a a --=+++⋅⋅⋅()()()()22242024242C C C 2242nn n nnna aaa a----=+++⋅⋅⋅∈Q. （10分）。

江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016届高三数学第二次调研测试试题

江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016届高三数学第二次调研测试试题

、、三市2016届高三第二次调研测试数学（I ） 参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设复数z 满足()12i 3z +⋅=(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 ▲ ．2. 设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0A B =I ，则实数a 的值为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．4. 为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h ）如下表：使用寿命[)500,700 [)700,900 [)900,1100 [)1100,1300 []1300,1500 只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是 ▲ ．5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 ▲ ．6. 已知函数()()log a f x x b =+（0,1,R a a b >≠∈）的图像如图所示，则a b +的值是 ▲ ．7. 设函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π<<），当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ． 8. 在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ▲ ．9. 在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长f x ()=log a x+b ()y x-2-3O 开始k >9输出k 结束k 0k 2k +k 2Y N度的所有值为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()()2233x a y -+-=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ▲ ． 12. 如图，在同一平面，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值是 ▲ ．13. 设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 ▲ ． 14. 若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=．（1）求C 的值；（2）若15A =o ，2AB =，求ABC ∆的周长．16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱11,,AB BC C D 的中点．求证：（1）//AP 平面1C MN ；（2）平面11B BDD ⊥平面1C MN ．AB NA B 1D17. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案： 方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=o ），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．图2图1A A E F B B E 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为22．A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =u u u r u u u r ．（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程； （2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =u u u r u u u r ，直线,OA OB 的斜率之积为12-，数m 的值． 19. 设函数()()1f x x k x k =++-，()3g x x k =-+，其中k 是实数． （1）若0k =，解不等式()()132x f x x g x ⋅≥+⋅； （2）若0k ≥，求关于x 的方程()()f x x g x =⋅实根的个数．20. 设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2114n n S a =+，*N n ∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n b b S +≥，*N n ∈，且存在整数2k ≥，使得21k k k b b S +=． （i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当2n ≥时，*N n b ∈，求数列{}n b 的通项公式． y x CP OA B数学（II ）（附加题）21（B ）．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标．21（C ）．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线51,251x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线 sin ,cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于,A B 两点，求线段AB 的长．22．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励（*N k ∈），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．（1）求概率()0P X =的值；（2）为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）23．设4124k k S a a a =+++L （*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =L ）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a L 的个数记为()m b ．（1）当2k =时，求()1m 的值；（2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．、、三市2016届高三第二次调研测试。

南通市届高三第二次调研测试.docx

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南通市2016届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是棱锥的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1. 设复数z 满足()123i z += （i 为虚数单位），则复数z 的实部为________．2.设集合{}{}11,0,1,1,,0A B a a A B a ⎧⎫=-=-+=⎨⎬⎩⎭，则实数a 的值为________． 3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h ）如下表： 使用寿命 [)500,700 [)700,900 [)900,1100 [)1100,1300 [)1300,1500只数5234425 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是________．5.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是________．6. 已知函数()()log a f x x b =+（0a >且1,a b R ≠∈）的图象如图所示，则a b +的值是_________．7. 设函数()sin 03y x x πωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为________．8.在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q =±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是________．9. 在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1,2,3AB BC BD ===，则CD 长度的所有值为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()()2233x a y -+-=相交于点R ，S ，且PT RS =，则正数a 的值为________．11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=．若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为________．12. 如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n 上，5AB AC +=，则AB AC 的最大值是_________．13．设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是________． 14．若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=．（1）求C 的值；（2）若015,2A A B ==，求ABC∆的周长．16．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱11,,AB BC C D 的中点． 求证：（1）//AP 平面1C MN ；（2）平面11B BDD ⊥平面1C MN ．()AEFB AB EF >，如图2所示，其中10AE EF BF m ===．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22．A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =．（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =，直线,OA OB 的斜率之积为12-，求实数的m 的值．19．（本小题满分16分）设函数()()()1,3f x x k x k g x x k =++-=-+，其中k 是实数．（1）若0k =，解不等式()()132x f x x g x ≥+； （2）若0k ≥，求关于x 的方程()()f x x g x =实根的个数． 20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2*11,4n n S a n N =+∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，2*1,n n n b b S n N +≥∈，且存在整数2k ≥，使得21k k k b b S +=．（I ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）； （II ）当2n ≥时，*n b N ∈，求数列{}n b 的通项公式．南通市2016届高三第二次调研测试数学Ⅱ 附加题21．【选做题】本题包括A B C D 、、、四小题，请选 定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交AC 于点E ．求证：DE AC ⊥．B ．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90°得到点B '，求点B '的坐标． C ．【选修：4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线5152515x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于,A B 两点，求线段AB 的长．D ．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c R ∈，222424a b c ++=，求2a b c ++的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球，参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励()*k N ∈，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元． （1）求概率()0P X =的值；（2）为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值． （注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！） 23．（本小题满分10分） 设()*4124k k S a a a k N =+++∈，其中{}()0,11,2,,4i a i k ∈=．当4k S 除以4的余数是()0,1,2,3b b =时，数列124,,,k a a a 的个数记为()m b ．（1）当2k =时，求()1m 的值； （2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．参考答案一、填空题：（本大题共14题，每小题5分，共计70分． 1.35 2．1 3. 17 4. 1400 5. 25 6. 92 7. 2 8. 149 9. 7,19 10. 4 11. 7 12. 21413. 426+ 14. 2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15.（本小题满分14分）解：（1）因为tan tan tan tan 1A B A B ++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-， 因为在斜三角形ABC 中，1tan tan 0A B -≠， 所以()tan tan tan 11tan tan A BA B A B++==-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由正弦定理sin sin sin BC CA ABA B C==，得 00022sin15sin 30sin135BC CA ===，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分故()()000000622sin152sin 45302sin 45cos30cos 45sin 302BC -==-=-=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分02sin301CA ==．所以ABC ∆的周长为622622122AB BC CA -++++=++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分16．（本小题满分14分）证明：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为,M P 分别为棱11,AB C D 的中点， 所以1AM PC =．又1//,//AM CD PC CD ，故1//AM PC ， 所以四边形1AMC P 为平行四边形．从而1//AP C M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又AP ⊄平面11,C MN C M ⊂平面1C MN ，所以//AP 平面1C MN ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）连结AC ，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥．又,M N 分别为棱,AB BC 的中点，故//MN AC ．所以MN BD ⊥． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ， 又MN ⊂平面ABCD ，所以1DD MN ⊥． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 而11,,DD DB D DD DB =⊂平面11BDD B ，所以MN ⊥平面11BDD B ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又MN ⊂平面1C MN ，所以平面11B BDD ⊥平面1C MN ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 17．（本小题满分14分）解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为12,S S ．方案①设AE x =，则()11302S x =⨯-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ()230122x x +-⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦2252=（当且仅当15x =时，“=”成立）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 方案②设BAE θ∠=，则()2100sin 1cos ,0,2S πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭． ．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由()221002cos cos 10S θθ'=+-=得，1cos 2θ=（cos 1θ=-舍去）．．．．．．．．．．10分 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=，列表：θ 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2S '+ 0 - 2S极大值所以当3πθ=时，()2max 753S =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因为2257532<，所以建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=． 答：方案①，②苗圃的最大面积分别为22225,7532m m ，建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为2OP AO =，而()2,2P ， 所以21,2A ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭． 代入椭圆方程，得221112a b+=，① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又椭圆的离心率为22，所以22212b a -=，② ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由①②，得222,1a b ==，故椭圆的方程为2212x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 因为2OP AO =，所以()112,2P x y --．因为BP mBC =，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--， 即()()123212322,2,x x m x x y y m y y --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩于是32132112,12,m x x x m m m y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分代入椭圆方程，得2221212212121m m x x y y m m m m a b--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即()()222221222121222222222214141m m x y x y x x y y m a b m a b m a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 因为,A B 在椭圆上，所以2222112222221,1x y x y a b a b+=+=． ④因为直线,OA OB 的斜率之积为12-，即121212y y x x =-，结合②知1212220x x y y a b+=． ⑤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分将④⑤代入③，得()222141m m m-+=， 解得52m =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 19．解：（1）0k =时，()()()1,3f x x x g x x =+=+，由030x x ≥⎧⎨+≥⎩，得0x ≥． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分此时，原不等式为()()1132x x x +≥+，即2230x x +-≥， 解得32x ≤-或1x ≥． 所以原不等式的解集为[)1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由方程()()f x x g x =得，()13x k x k x x k ++-=-+． ①由030x k x k -≥⎧⎨-+≥⎩，得x k ≥，所以0x ≥，10x k -+>． 方程①两边平方，整理得()()()()22221110k x k x k k x k ----+=≥．② ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当12k =时，由②得32x =，所以原方程有唯一解， 当12k ≠时，由②得判别式()()22131k k ∆=+-， 1）13k =时，0∆=，方程②有两个相等的根4133x =>， 所以原方程有唯一的解． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分2）102k ≤<且13k ≠时，方程②整理为()()()21110k x k k x k -++--=⎡⎤⎣⎦， 解得()121,112k k x x k k+==+-． 由于0∆>，所以12x x ≠，其中22131,012k x k k x k k=+>-=≥-，即1x k ≥． 故原方程有两解． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分3）12k >时，由2）知213012k x k k -=<-，即1x k <，故1x 不是原方程的解． 而21x k k =+>，故原方程有唯一解． 综上所述：当12k ≥或13k =时，原方程有唯一解； 当102k ≤<且13k ≠时，原方程有两解． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分注：2）中，法2：()()220210122130k k x k k h k k ∆>⎧⎪-<⎪⎪-⎨=>⎪-⎪=-<⎪⎩，故方程②两实根均大于k ，所以原方程有两解． 20．（本小题满分16分）证明：（1）因为()2114n n S a =+，① 所以()21111,24n n S a n --=+≥，② ① -②，得()()1120n n n n a a a a --+--=，2n ≥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为数列{}n a 的各项均为正数，所以10,2n n a a n -+>≥．从而12n n a a --=，2n ≥，所以数列{}n a 为等差数列． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）（1）①中，令1n =，得11a =，所以221,n n a n S n =-=．由()212k k k b b S k +=≥得，2112k k b q -=， 所以11221n k n n b b q k q---==． ③ 由21n n n b b S +≥得，4224n k k q n -≥，即2n k n q k -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭④．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当n k =时，④恒成立．当1n k ≥+时，④两边取自然对数，整理得，lnln 1121nk q n k n k k k ⎛⎫≥≥+ ⎪⎝⎭-．⑤ 记()()ln 11x f x x x =>-，则()()2111ln 1x x f x x -+'=-． 记()1ln ,01g t t t t =-+<<，则()10t g t t-'=>， 故()g t 为()0,1上增函数，所以()()10g t g <=，从而()0f x '<，故()f x 为()1,+∞上减函数，从而ln1nk n k -的最大值为1ln 1k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ⑤中，ln 1ln 12k q k k ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，解得211q k ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当1n k ≤-时，同理有2111q k ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭， 所以公比q 的最小值为211k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（整数2k ≥）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 （2）依题意，*q N ∈， 由（2）知，2211111q k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈++⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，（整数2k ≥）． 所以221111,141q q k k ⎛⎫⎛⎫≥+>≤+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 从而{}2,3,4q ∈ ，当2q =时，22111211k k ⎛⎫⎛⎫+≤≤+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，只能3k =，此时7292n n b -=，不符； 当3q =时，22111311k k ⎛⎫⎛⎫+≤≤+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，只能2k =，此时5243n n b -=，不符； 当4q =时，22111411k k ⎛⎫⎛⎫+≤≤+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，只能2k =，此时232n n b -=，符合；综上，232n n b -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分21．【选做题】A ． （本小题满分10分）证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．由圆O 知OB OD =，所以B BDO ∠=∠．从而BDO C ∠=∠，所以//OD AC . ……………………………………………………6分又因为DE 为圆O 的切线，所以DE OD ⊥，又因为//OD AC ，所以DE AC ⊥． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分B ． （本小题满分10分）解：设(),B x y '，依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A '． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 则()()2,2,1,2A B A B x y '''==--．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得14x y =-⎧⎨=⎩， 所以点B '的坐标为()1,4-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分C ．（本小题满分10分）解：将直线的参数方程化为普通方程，得21y x =+． ① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分将曲线的参数方程化为普通方程，得312(11)y x x =--≤≤． ②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由①②，得11x y =-⎧⎨=-⎩或01x y =⎧⎨=⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以()()1,1,0,1A B --，从而()()2210115AB =--+--=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分D ． （本小题满分10分）解：由柯西不等式，得()()()22222221221122a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． ．．．．．．．．．．．．．6分 因为222424a b c ++=，所以()2210a b c ++≤． 所以10210a b c -≤++≤，所以2a b c ++的最大值为10， 当且仅当1021010,,555a b c ===等号成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 22．（本小题满分10分）解：（1）事件“0X =”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则()21525036672P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）依题意，X 的可能值为,1,1,0k -， 且()()()332115125155,1,13621662166672P X k P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-====⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分结合（1）知，参加游戏者的收益X 的数学期望为 ()()112551101121621672216k E X k -=⨯+-⨯+⨯=（元）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 为使收益X 的数学期望不小于0元，所以110k ≥，即min 110k =．答：k 的最小值为110． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（本小题满分10分）解：（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）依题意，数列124,,,k a a a 中有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0， 所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 同理，得()1594344441k k k k k m C C C C -=++++．因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-，所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k km m C C C C C ---+=+++++=， 所以()4221324k k m --==． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

(完整版)江苏省南通市2016届高三二模数学试题

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南通市2016届高三第二次调研测试数学（I ）参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 设复数z 满足()12i 3z +⋅=(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 ▲ ．2. 设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0A B =I ，则实数a 的值为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．4. 为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h ）如下表：根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是 ▲ ． 5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 ▲ ． 6. 已知函数()()log a f x x b =+（0,1,R a a b >≠∈）的图像如图所示，则a b +的值是 ▲ ． 7. 设函数sin 3yx πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0x π<<），当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ．8. 在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ▲ ． 9. ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则f x (开始k >9输出k结束k 0k 2k +k 2Y NCD 长度的所有值为 ▲ ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(223x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ▲ ．12. 如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n 上，5AB AC +=u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值是 ▲ ．13. 设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 ▲ ． 14. 若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=． （1）求C 的值； （2）若15A =o，AB =ABC ∆的周长．16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱11,,AB BC C D 的中点． 求证：（1）//AP 平面1C MN ；（2）平面11B BDD ⊥平面1C MN ．A C。

江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题6

江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题6

（第4题）2016年数学全真模拟试卷六试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =Uð ▲ ． 【答案】{5}2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ▲ ．3. 已知函数()a f x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】24. 右图是某算法的流程图，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】75. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ ． 【答案】356. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10 % 的工人进行调查．首先 在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为 000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007， 则样本中的最大编号是 ▲ ． 【答案】6177.在平面直角坐标系xOy 中，已知角()π4α+的终边经过点(1P ，则t a n α的值为 ▲ ．【答案】28. 已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ▲ ． 【答案】19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为3 ()n n S k k =-∈*N ，则2k a 的值为 ▲ ． 【答案】610. 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为▲ ．【答案】（0，1）【解析】易得2()0f x x -<，即20x x -<，解得x ∈（0，1）．11. 设向量a ()cos25sin 25=，，b ()sin 20cos20=，，若t 是实数，且t =+u a b ，则u 的最小值为 ▲ ．【解析】因为()22222221212sin 4512t t t t t t =+=++⋅=++=+≥u a b a b a b ，所以u 的最小．12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B ()222122 1212k k k k-++，，D ()5 03-，，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示） 【答案】2324k k +【解析】将点B ()222122 1212k k k k -++，用2k 代替得点C 的坐标()22284 88k k k k -++，，从而直线CD 的斜率 为2324k k +．13．使“a b <”成立的必要不充分条件是“ ▲ ”．（填上所有满足题意的序号）①0x ∀>，a b x +≤；APBPCPMDP（第16题）②0x ∃≥，a x b +<； ③0x ∀≥，a b x <+； ④0x ∃>，a x b +≤． 【答案】①【解析】①⇔0x ∀>，a b x -≤，从而0a b -≤，即a b ≤； ②⇔0x ∃≥，b a x ->，从而0b a ->，即a b <； ③⇔0x ∀≥，a b x -<，从而0a b -<，即a b <； ④⇔0x ∃>，b a x -≥，从而0b a ->，即a b <．14. 在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ▲ ．【答案】196【解析】依题意cos A -sin A ＝13cos B cos C -13sin B sin C ，即cos A -sin A ＝13cos ()B C +， 即cos A -sin A ＝-13cos A ，所以tan A 14=，又易得tan A ＝tan B tan C ， 而tan A ＋tan B ＋tan C =tan A tan B tan C ，所以tan A ＋tan B ＋tan C =tan 2A 196=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD // BC ，且AD =2BC ，AD ⊥CD ，PA =PD ，M 为棱AD 的中点．（1）求证：CD //平面PBM ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBM ．证明：（1）因为AD // BC ，且AD =2BC ， 所以四边形BCDM 为平行四边形， 故CD // BM ，又CD ⊄平面PBM ，BM ⊂平面PBM ， 所以CD //平面PBM ；（6分） （2）因为PA =PD ，点M 为棱AD 的中点， 所以PM ⊥AD ，又AD ⊥CD ，CD // BM ， 故AD ⊥BM ， 而PMBM M =，PM 、BM ⊂平面PBM ，所以AD ⊥平面PBM ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBM ．（14分）16．（本题满分14分）在△ABC中，BC 2AB AC ⋅=．（1）求证：△ABC 三边的平方和为定值； （2）当△ABC 的面积最大时，求cos B 的值．证明：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=．(3分)在△ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， 故22210616AB BC AC ++=+=为定值．(6分) 解：（2）由（1）知2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +⋅=≤，当且仅当AB AC =时取“=”号．(8分) 因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC=⋅，从而sin A (10分) △ABC的面积11sin S AB AC A AB AC =⋅⋅=⋅=(12分) 当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC =，故2cos BCB AB ===(14分)17．（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T =4v -，即200T =，4v >；（4分）（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．（14分）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，记线段AB 的中点为M ．（1）求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若直线l 过点()3m m ，，延长OM 与椭圆C 交于点P ．问：四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求直线l 的斜率；若不能，说明理由． （1）证明：设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．则222112222299x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，，两式相减得()()()()1212121290x x x x y y y y -++-+=， 整理得()()()()121212129y y y y x x x x -+=--+，即k OM ⋅k ＝－9，得证．(6分)（2）四边形OAPB 能为平行四边形．(8分)因为直线l 过点()3m m ，，且l 不过原点且与椭圆C 有两个交点，则k >0，k ≠3，由(1)得直线OM 的方程为9y x k=-，设点P 的横坐标为x P ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，P x (10分)将点()3m m ，的坐标代入l 的方程y =kx +b 得(3)3k mb -=， 因此()2(3)39M k k mx k -=+， (12分)四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即x P ＝2x M()2(3)239k k m k -=⨯+，解得14k =，24k =所以当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．(16分)19．（本题满分16分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x + e x =，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x ，()g x 的表达式；（2）设0a ≤，1b ≥，0x >，证明：()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()()f x g x +e x =得，()()f x g x -+-e x -=， 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x g x -+e x -=，从而e e ()2x x f x --=，e +e ()2x xg x -=(4分) （2）当0x >时，e 10e 1x x -><<，，所以()0f x >，e +e ()12x xg x -=.(6分) 由（1）得，e +e ()()2x x f x g x -'==，e e ()()2x x g x f x --'==，(8分) 当0x >时，()()(1)()()(1)f x ag x a f x axg x a x x>+-⇔>+-，()()(1)()()(1)f x bg x b f x bxg x b x <+-⇔<+-， 设函数()()()(1)P x f x cxg x c x =-+-，(10分)则[][]()()()()(1)(1)()1()P x f x c g x xg x c c g x cxf x '''=-++-=---，(12分) 若0c ≤，0x >，则()0P x '>，故()P x 为[)0+∞，上增函数， 所以()(0)0P x P >=，若1c ≥，0x >，则()0P x '<，故()P x 为[)0+∞，上减函数， 所以()(0)0P x P <=， 综上知，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.（16分） 20．（本题满分16分）设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时 1()1f n n =+．（9分）(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．（14分）综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ． 证明：因为△ACD ∽△BCF ， 所以∠ACD =∠BCF ，故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠， 即∠DCF =∠BCE ， 又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．（10分）B（第21题A ）B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设x 为实数．若矩阵M 152x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为不可逆矩阵，求2M ． 解：依题意，10x =-，（4分）所以2M 15159452102101890---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（10分）C ．选修4—4：极坐标与参数方程 （本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线()πsin 4ρθ+=交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；（4分）()πs i n 2ρθ+=同样可化为2x y +=，（8分） 联立方程组，解得A (1，1)， B (－2，4)，所以AB ．（10分）D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥ 证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=， 所以123111a a a ++()123123111()a a a aa a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1231a a a ===时等号成立）（8分）所以1239111a a a ++≥.（10分）ABCD1A 1B 11D P（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P AC λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）若直线1AC ⊥平面PBD ，求实数λ的值． 解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)， C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，（1）由12λ=得()111 222P ，，， 所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，所以11114cos PB PD --+⋅=-，所以，直线PB 与PD ．（5分）（2）易得()11 1 1AC =--，，， 由11(1 1 1)A P AC λλ==--，，得，(1 1)P λλλ--，，， 此时( 1 1)BP λλλ=---，，，因为1AC PBD ⊥平面，所以1BP A C ⊥， 从而10AC BP ⋅=，即 110λλλ+-+-=，解得23λ=．（10分）23．（本小题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（5分） （2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnr r r n n r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x x x x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．（10分）。

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试卷2 含解析

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试卷2 含解析

2016年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1． 复数2i 1i+-(i 为虚数单位）的模为 ▲ ． 10 2．已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 【答案】43． 在标号为0，1,2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 ▲ ． 【答案】234． 下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差2s =▲ ．【答案】14655． 命题：“若0a ≠，则2a>”的否命题是“ ▲ ”．【答案】若0a =,则20a ≤6． 将函数sin y x =的图象向右至少平移 ▲ 个单位可得到函数cos y x =的图象．【答案】3π2 7． 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的星期一 二三四五值为 ▲ ． 【答案】18． 设nS 是等差数列｛a n ｝的前n 项的和．若27a=，77S=-，则a 7的值为▲ ．【答案】-13 9． 给出下列等式:π2cos 4=,π2cos 8,π2cos 16=，……请从中归纳出第n ()n ∈*N 个等式：2222n +⋅⋅⋅+=个 ▲ ．【答案】12cos n +π210．在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】依题意2tan tan tan B A C =+,因为A B C ++=π,所以tan tan tan tan tan A B C A B =+tan C+，所以tan tan 3A C =；11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切,且圆心C在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ． 【答案】258【解析】C 在直线l 的上方,所以20a b +>，从而25a b +=，因为()2222a b ab +≤，所以258ab ≤（当且仅当2a b =，即52a =，54b =时等号成立，），从而ab的最大值为258．12．已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为 ▲ ． 【答案】3-【解析】[][]sin ()()sin()cos()cos()sin()sin 2cos2cos()cos()sin()sin()cos ()()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+-++-+--tan()tan()31tan()tan()αβαβαβαβ++-==--+-．13．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设{}max 342z x y x y =--，，则z 的取值范围是▲ ．（max{}a b ，表示a ，b 两数中的较大数） 【答案】[]108-，【解析】设13zx y=-，242zx y=-，则{}12max z z z =，，易得[]110 6z ∈-，，[]28z ∈0，，则z []108∈-，．14．若幂函数()af x x =（a ∈R )及其导函数()f x '在区间（0，+∞）上的单调性一致（同为增函数或同为减函数),则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(1 )+∞，【解析】易得1()a f x ax -'=,2()(1)a f x a a x -''=-，当1a >时，()0f x '>，()0f x ''>；当01a <<时，()0f x '>,()0f x ''<;当1a =时，()0f x '>,()0f x ''=;当0a =时，()0f x '=，()0f x ''=；当0a <时,()0f x '<，()0f x ''>，综上得，(1 )a ∈+∞，．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分)在平面直角坐标系中,设向量m )sin A A=，，n ()cos B B=，,其中A ,B 为△ABC 的两个内角．(1)若⊥m n ,求证：C 为直角；（2）若//m n ，求证：B 为锐角． 【解】（1)易得)cos cos sin sin )A B A B A B ⋅=-=+m n ，（3分)因为⊥m n ，所以⋅=m n 0，即πcos()cos 2A B +=．因为0πA B <+<，且函数cos y x =在(0π)，内是单调减函数，所以π2A B +=，即C 为直角；（6分）(2）因为//m n ()sin cos 0A B A B ⋅-=,即sin cos 3cos sin 0A B A B +=．(8分）因为A ，B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠，于是tan 3tan A B =-,因而A ，B 中恰有一个是钝角．（10分)从而22tantan 3tan tan 2tan tan()01tan tan 13tan 13tan A B B B B A B A B B B+-+-+===<-++， 所以tan 0B >，即证B 为锐角．（14分）16．(本题满分14分）（第17题）如图，在四棱锥P ABCD -中,PAB ∠为二面角P AD B --的平面角． （1）求证:平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若BC ⊥平面PAB ,求证：//AD 平面PBC ． 证明：（1）因为PAB ∠为二面角P AD B --的平面角，所以PA AD ⊥,BA AD ⊥，（2分） 又PA AB A=，PA AB ⊂，平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ,（5分） 又AD ⊂平面ABCD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ；(7分） （2）由（1)得，AD ⊥平面PAB ， 又BC ⊥平面PAB ，所以//AD BC ，(10分） 又AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC ．(14分)17．(本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中,A ，B 是圆O ：221xy +=与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点(20)Q -，, x 轴上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差ABCPD（第16题）数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值;（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．求证:点Q ，S ，T 三点共线． 【证】(1）由题设知,(10)(10)A B -，，，． 设0()(0)P x y y≠，,则002PQy kx =+，00011PAPB y ykk x x ==+-，．因为k PA ，k PQ ，k PB 成等差数列，所以2 k PQ = k PA ＋ k PB ，即02211y y yx x x =+++-， 由于0y≠，所以012x=-，即证；（7分）（2）由（1）知，()012P y -，，000221131122PAPB y y yk y k ===--+--=，．直线PA的方程为(1)PA y k x =+,代入221x y +=得()()22(1)110PA PA x k x k ⎡⎤++--=⎣⎦，于是点S 的横坐标20201414S y x y -=+,从而020414Sy yy =+．同理可得200220049129494T Ty y x y y y -==++，．(11分）因为00222000442(14)2(14)34SSy y y x yy y ==+-+++，000222200001212422(49)2(94)91234S TT S y y y y y x x y y y y ====++-+=++,所以直线QS 和直线QT 的斜率相等, 故点S ，T ，Q 共线．(14分）18．（本题满分16分）如图,圆OA B ，为圆O 上的两个定点，且90AOB ∠=,P 为优图1 弧AB 的中点．设C D ，（C 在D 左侧）为优弧AB （不含端点)上的两个不同的动点，且CD //AB ．记POD α∠=，四边形ABCD 的面积为S ． （1)求S 关于α的函数关系；（2）求S 的最大值及此时α的大小．解：（1）设过圆心O 作AB 的垂线分别与AB ，CD交于点E ，F ， 易得2AB =，1OE =，①当π02α<<时，如图1,易得2CD α=,OF α，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅+()()1212αα=+)sin cos αα=+2sin cos 1αα++；（3分）②当π2α=时，11()(21122S AB CD EF =+⋅=⨯+⨯=分）③当π3π24α<<时，如图2，易得()2πCD αα=-=，()πOF αα=-=，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅-()(1212αα=⨯+⨯+)sin cos 2sin cos αααα=++ 综上得，S =)sin cos 2sin cos 1αααα=+++，30π4α<<；（9分)(2）令()πsin cos 4t ααα=+=+,因为30π4α<<,所以πππ44α<+<，从而()π0sin 14α<+≤， 故(0t ∈，（12分) （第18题） 图2此时(2221112S t t t=+-+=+=-,(0t∈，所以当t=时，max4S=，此时π4α=．（16分)19．(本题满分16分）设数列{}na的前n项和为n S,且22n nS a=-，*n∈N．(1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}2na的前n项和为n T，求2n n S T；(3)判断数列{}3nna-中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．解:(1）当n=1时，1122S a=-，解得12a=．（2分）当n≥2时，()()111222222n n n n n n na S S a a a a---=-=---=-，即12n na a-=．因为1a≠，所以12nnaa-=，从而数列{}n a是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nna=．（5分）(2）因为()2224n nna==，所以2124nnaa+=,故数列{}2na是以4为首项，4为公比的等比数列，从而()()2221224112nnnS-==--,（7分)()()414441143nnnT-==--，所以232nnST=．（10分)(3)假设{}3nna-中存在三项成等差数列，不妨设第m，n，k(m<n<k）项成等差数列，则()2333n m kn m ka a a-=-+-，即()2323232n n m m k k-=-+-．（12分）因为m<n<k，且m，n，k N*∈，所以n+1≤k．因为()2323232nn m m k k -=-+-113232m m n n ++-+-≥,所以332nmm--≥，故矛盾，所以数列{}3nn a -中不存在三项成等差数列． (16分)20．（本题满分16分)设定义R 上在函数()32420()(4)(4) 04log 1 4x x f x ax b a x b m x n x a x x -⎧<⎪=+--++⎨⎪->⎩≤≤ ，，，，，（a ,b ，m ，n 为常数,且0a ≠）的图象不间断． （1）求m ，n 的值;（2）设a ,b 互为相反数，且()f x 是R 上的单调函数,求a 的取值范围；(3）若a =1，b ∈R ．试讨论函数()()g x f x b =+的零点的个数,并说明理由． 解：（1）依题意，(0)1f =，(4)0f =，即1 6416(4)4(4)0n a b a b m n =⎧⎨+--++=⎩，， 解得1 1.4n m =⎧⎪⎨=⎪⎩， （3分) (2）因为()12xy =是减函数，且()f x 是R 上的单调函数，所以在()4log 1y a x =-中,应该有'0ln 4a y x =≤，故0 a <，(5分） 在321(4)(4)14y ax b a x b x =+--++中，其中0a b +=,21'31044y ax ax a =-+-，导函数的对称轴为53x =，故2110012(4)04aa a ∆=--≤,解得1014a -<≤；（8分）(3)易得函数()321()(4)414f x xb x b x =+--++，则()21()32(4)44f x xb x b '=+--+，其判别式2416670b b ∆=++>,记()0f x '=的两根为1x ，2x （12x x <)，列表:当b >0时，()102xb +=无解,4log 1x b =-无解,又(0)10 (4)0 f b b f b b +=+>+=>，，()11(2)84(4)241153042f b b b b b +=+--+++=--<，方程在(0，4）上有两解,方程一共有两个解；(10分） 当1b <-时，()102xb +=有一解0.5log()x b =-,4log10x b -+=有一解14bx -=，又(0)10f b b +=+<,(4)0f b b +=<，()()11113(4)10 8424412f b b b b b +=+--+++=->，故方程在（0,4）上有两解,方程共有4个解;(12分) 当—1〈b 〈0时，()12xb +=无解，4log10x b -+=有一解,又(0)10f b b +=+>，(4)0f b b +=<，方程在（0，4）内只有一解，方程共两解；(14分)当b =0时，有x =4和x =12两解，b =-1时，有0x =，12x =，14bx -=三个解，综上得，当1b >-时，()g x 有2个零点;当1b =-时，()g x 有3个零点；当1b <-时，()g x 有4个零点．（16分）试题Ⅱ（附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．,．并．在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．若 多做,则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲）如图，已知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且C ∠=60．求证：C ，D ,E ，F 四点共圆． 证明：依题意得，()180AFB BAF AFB ∠=-∠+∠()11802BAC ABC =-∠+∠()11801802C =--∠120=，(5分）又DFE AFB ∠=∠， 所以12060180DFE C ∠+∠=+=,故C ,D ，E ,F 四点共圆．（10分）B ．(矩阵与变换)已知矩阵1221-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ，515⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 满足=AX B ,求矩阵X ．解：设X a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A B CDEF（第21—A ）由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25215a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，(7分) 解得7 1a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题2

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题2

-----中点．设 C ，D 〔 C 在D 左侧〕为优弧AB 〔不含端点〕上的两个不同的动点，且 记 POD ，四边形 ABCD 的面积为 S ．（ 1〕求 S 关于 的函数关系；〔 2〕求 S 的最大值及此时的大小．解：〔 1〕设过圆心O 作AB 的垂线分别与 AB ，CD 交于点 E ， F ，A易得 AB 2，OE 1 ，CD //AB ．POB〔第 18 题〕①当 0π1，P2时，如图FCD易得 CD2 2 sin， OF2 cos ，O所以 S1 (ABCD ) (OEOF )2AEB12 2 2 sin 12 cos图 122 sincos2sin cos1； (3 分)②当πS1 (ABCD) EF 1(2 22) 11 2；(5 分)2时，22③当π3 π 2，24 时，如图易得 CD2 2 sin π 22 sin ， OF2 cos π2 cos，1 (ABP所以 SCD ) (OEOF )21 2 2 2 sin12cosO2CF D2 sincos 2sin cos1 ；AEB综上得， S2 sincos2sin cos1 ，3 图 2π4 ；(9 分)〔2〕令 tsin cos2 sinπ ，4 因为3π ππ4 π，所以 44π，从而 0sin4 ≤1 ，故 t0 ， 2 ，(12 分 )21-----此时222，，S 2t t1 1 t2tt22， t2所以当 t2 时， S max4 ，此时π． (16分 )46-----19．〔此题总分值 16 分〕设数列 a n的前 n 项和为S n ，且S n2a n2， n N *．〔 1〕求数列 a n 的通项公式；〔 2〕设数列a n 2的前 n 项和为T n ，求S 2n；T n〔 3〕判断数列3n a n 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．解：〔 1〕当n 1时， S 1 2a 12 ，解得 a 12．〔2 分〕当 n ≥2时，a n S nS n 12a n 22a n 12 2a n 2a n 1，即 a n 2a n 1．因为 a 10 ，所以a n2 ，从而数列a n 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，a n1所以 a n2n ．〔 5 分〕2222 nna n 14〔2〕因为 a n4 ，所以 a n 2，故数列 a n 2是以4为首项，4为公比的等比数列，从而2 n2 122 n2 4n1， (7 分)S1 2T n 4 1 4 n4 4n 1 ，1 43所以 S 2 n3．(10 分)T n2〔3 〕假设3na n 中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ， k 〔 m n k 〕项成等差数列，那么 2 3n a n 3m a m 3k a k ，即 2 3n 2n 3m 2m 3k 2k ．(12分)因为 m nk ，且 m ， n ， k N ，所以 n +1≤ k ．因为 2 3n2n 3m2m 3k 2k≥ 3m2 m3n 1 2 n 1，所以 3n ≥ 3m2 m ，故矛盾，7-----所以数列3n a n 中不存在三项成等差数列．(16 分 )20．〔此题总分值16 分〕x， x 0，2设定义 R 上在函数f ( x) ax32，≤ ≤，〔 a ， b ， m ， n 为常(b 4a) x(4b m) x n 0 x 4a log 4 x 1， 4x 数，且 a0 〕的图象不连续．〔 1〕求m ，n 的值；〔 2〕设a ，b 互为相反数，且f (x) 是 R 上的单调函数，求a 的取值X 围；〔 3〕假设a 1， b R ．试讨论函数g ( x)f ( x) b 的零点的个数，并说明理由．解：〔 1〕依题意， f (0) 1 ， f (4)0 ，即n 1，64a 16(b，4a) 4(4b m) n 0n，解得1(3 分 )m1 . 4x〔 2〕因为y 1 是减函数，且f ( x) 是 R 上的单调函数，2所以在 ya log 4 x 1 中，应该有 y'a ≤0 ，故 a 0，(5 分 )xln 4在 yax 3(b 4a) x 2(4 b1) x 1 中，其中 ab 0 ，4y ' 3ax 210ax4a1 ，导函数的对称轴为x5 ，43故100a 212a(4 a1)≤0，解得1 ≤ a 0；(8 分)414〔 3〕易得函数 f (x)x 3 ( b4) x 24b 1 x 1 ，4那么 f ( x) 3 x 2 2( b 4) x4b1 ，4其判别式4b 2 16b 67 0 ，记 f ( x) 0 的两根为 x 1， x 2〔 x 1 x 2〕，列表：x，x 1x 1 x 1，x 2 x 2 x 2， f ( x) +-+8-----f ( x)↗极大值↘极小值↗当 b >0时，1xb 0 无解，log 4x1 b 无解，2又 f (0) b1 b0，f (4) b b 0，f (2) b 8 4(b4)2 4b11 b1513b0 ，42方程在〔 0， 4〕上有两解，方程一共有两个解；(10 分 )x当 b1 时， 1b0有一解 xlog 0.5 ( b) ，log 4 x 1b0 有一解 x 41 b ，2又 f (0) b1 b0 ， f (4)b b 0 ，f1b1 1 ( b 4)1 b 1 1 b3 b 0，2842 44故方程在〔 0，4〕上有两解，方程共有4 个解； (12 分 )当 -1< b <0 时，1x0无解， log 4 x 1 b0 有一解，b2又 f (0) b 1 b0 ， f (4)b b 0 ，方程在〔 0， 4〕内只有一解，方程共两解；(14 分 )当 =0 时，有 x 4 和x 1 两解， b -1 时，有 x 0 ，x 11 b三个b22， x 4解，综上得，当 b 1 时， g( x) 有 2 个零点；当 b1 时，g( x)有3个零点；当 b 1 时， g( x) 有 4 个零点． (16 分 )试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题， 并在相应的答题区域内作答．假设．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．〔几何证明选讲〕如图，△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点 F ，且C ．A9EF---求证： C ，D ， E ， F 四点共圆．证明：依题意得，AFB 180BAF AFB1801 BACABC21801 180 C2120 ，〔5 分〕又DFE AFB ，所以DFEC120 60 180 ，故 C ，D ，E ，F 四点共圆．〔10 分〕B ．〔矩阵与变换〕矩阵 A1 2 ， B 5B ，求矩阵 X ．21满足 AX15解：设 Xa ，b由 12 a5，〔7 分〕得 a 2b 52 1 b 152a，b15a，7X . 〔10 解得， 此时 1 分〕b1C ．〔极坐标与参数方程〕设点 A 为曲线 C ：2cos在极轴 Ox 上方的一点， 且≤≤π0AOx4，以 A 为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形( 在A 的右下方 ) ，求点B 的轨迹方程．OABB解：设 A 0，0，且满足2cos 0 ， B， ，2，依题意，π 即 2π，42 ， 27π，4代入 02cos 0π7π并整理得，2 2 cos4≤ ≤ 2π， 4，10所以点 B 的轨迹方程为π7π2 2 cos 4≤ ≤2π， 4．〔 10 分〕D ．〔不等式选讲〕正数 a ，b ， c ，d 满足ab cd 1 ，求证：ac bd ad bc ≥1 ．证 明：因ac 2b22b 2cd 2abcd c aab ≥ a又 a b1 ， cd 1 ，所以 ac bd adbc ≥1．〔 10 分〕为222，a d bd a【必做题】第 22、 23 题，每题10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．假定某篮球运发动每次投篮命中率均为p (0< p <1)．现有3次投篮时机，并规定连续 两次投篮均不中即终止投篮．该运发动不放弃任何一次投篮时机，且恰用完3 次投篮时机的概率是21 ． 25〔 1〕求p 的值；〔 2〕设该运发动投篮命中次数为 ，求的概率分布及数学期望 E ( )．解：〔 1〕设事件A ：“恰用完3 次投篮时机〞 ， 那么其对立事件 A ：“前两次投篮均不中〞 ，221依题意，1 P A11 p25 ，P( A) 解得 p3；〔3 分〕5〔 2〕依题意，的所有可能值为0， 1， 2，3，24且0) 1p25 ，P(24 ，P(1) p 1 p1 p p 1 p2125P(3) p 327 ，12511---故P(2) 1 P(0) P(1) P(3) 54，125的概率分布表为：0 1 2 3P4 24 54 27 25 125125125〔8 分〕E ( )24 254 3 27 213〔次〕．〔 10 分〕125125 125 125 23．设函数 f n ( ) sin n cos n ， n N *，且f 1( )a ，其中常数a 为区间〔 0， 1〕内的有理数．（ 1〕求 f n ( ) 的表达式〔用 a 和 n 表示〕；（ 2〕求证：对任意的正整数 n ，f n ( ) 为有理数．解：〔1〕易得 sincos a ，又 sin 2 cos 21，所以 2sin 2 2a sina 2 1 0 ，解得 sina2 a 2 ，22nna2a2 a 2从而 f n ( ) a；〔 4 分〕22nn〔 2〕证明： f n ( )a2 a 2a2 a 222nn 22n 440 a4 a2 a 22 a22 a2 a 2C n 22C n 22C n 22nn 22 a 2n 42 a220 a2 a4 aC n 2 C n 2 4C n 24Q. 〔10 分〕12。

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题6

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解：〔 1〕由 f ( x) g ( x) e x得， f ( x) g ( x) e x，因为 f ( x) 是奇函数，g (x) 是偶函数，所以 f ( x)g( x) e x，从而 f ( x)e x e x e x +e x2， g (x)2(4 分)〔 2〕当 x0 时， e x1，0 e x 1 ，所以 f ( x)0 ， g (x)e x +e x x x1 .(6分 )2 e e由〔 1〕得， f ( x)当x 0 时，f ( x)xf (x)x设函数 P(x) f (x)e x +e xg( x) ， g ( x)e x e xf ( x) ， (8分)22ag( x)(1a) f ( x)axg( x)(1a) x ，bg( x)(1b) f ( x)bxg( x)(1b) x ，cxg ( x)(c1)x ， (10分 )那么 P (x) f( x) c g( x)xg ( x) (c 1) (1c) g( x) 1 cxf ( x) ， (12 分 )假设 c ≤0 ，x 0 ，那么 P( x)0 ，故 P( x) 为 0 ，上增函数，所以 P( x)P(0)0，假设c≥1 ， x0 ，那么P ( x)0 ，故 P(x) 为 0 ，上减函数，所以 P( x)P (0)0，综上知， ag( x) (1 a)f ( x)分〕bg( x) (1 b) . 〔16x20．〔此题总分值16 分〕设 f k (n) 为关于n的k ( k N )次多项式．数列{a n}的首项a11，前n项和为 S n．对于任意的正整数 n，a n S n f k (n) 都成立．〔 1〕假设 k0 ，求证：数列 { a n} 是等比数列；〔 2〕试确定所有的自然数k，使得数列{ a n}能成等差数列．解：〔 1〕假设 k 0 ，那么 f k (n) 即 f0 (n ) 为常数，不妨设f0 ( n)c 〔c为常数〕．因为 a S f(n)恒成立，所以a S c ，即 c2a2．n n k111而且当 n≥2 时， a n S n 2 ，①a n1S n1 2 ，②①－②得 2a n a n 10( n N ，n≥2)．假设 a n=0，那么a n1 =0 ，, ，a1=0，与矛盾，所以a n0( n N*)．故数列 { a n} 是首项为1，公比为1的等比数列．〔 4分〕2〔2〕 (i) 假设k=0，由〔 1〕知，不符题意，舍去．〔 6 分〕(ii)假设 k=1，设f1( n)bn c 〔b，c为常数〕，当 n≥2 时， a n S n bn c ，③a n1S n1b(n1) c ，④③－④得2a n a n1 b (n N，n≥2)．要使数列 { a n} 是公差为d〔d为常数〕的等差数列，必须有 a n b d 〔常数〕，而 a =1，故{ a }只能是常数数列，通项公式为a=1n N*，1n n故当 k=1时，数列{ a n}能成等差数列，其通项公式为a n=1n N*，此时f1( n) n 1 ．〔9 分〕(iii)假设 k=2，设f2(n)an 2bn c 〔 a0 ，a，b，c是常数〕，当 n≥2 时， a n S n an2bn c，⑤a n 1S n2b(n1) c ，⑥1 a( n 1)⑤－⑥得2a n a n 12an b a(n N，n≥2)，要使数列 { a n} 是公差为d〔d为常数〕的等差数列，必须有a n 2an b a d ，且d=2a，考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕...d=2a，考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD 上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD 上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD 上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕。

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试卷5 含解析

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试卷5 含解析

2016年数学全真模拟试卷五试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．已知集合{}1A =,{}19B =, ，则A B =▲ ．【答案】{}19,2． 已知实数a ,b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+(其中i 是虚数单位），则a b += ▲ ．【答案】653． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间［25，30)的为一等品,在区间[20，25)和［30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ． 【答案】1004．在长为12cm的线段AB 上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长,则该矩形面积大于32 cm2的概率为 ▲ ．【答案】13S ←0For i From 1 To 10 Step 1S ←S ＋1i (i ＋1)End For Print S（第5题）10 15 20 25 30 40 35 （第3题）0.01250.0500 0.0625 0.0250 0.0375 频率组距5． 如图，是某校限时12 min 跑体能达标测试中计算每一个参加测试的学生所跑路程S (单位:m ）及时间t （单位：min ）的流程图，每跑完一圈（400 m)，计一次路程，12min 内达标或超过12 min 则停止计程．若某同学成功通过该项测试，则该同学所跑路程至少为 ▲ m ． 【答案】20005．已知向量a ，b 满足1=a ，3=b,)1+=a b ，则-=a b ▲ ． 【答案】4；6．在平面直角坐标系xOy 中,“双曲线C 的标准方程为221169y x -=”是“双曲线C 的渐近线方程为34y x =±"成立的 ▲ 条件．（填“充要”、“充分非必要"、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种)【答案】充分非必要8． 设a ，b ,c 为三条不同的直线，给出如下两个命题: ①若//a b ,b c ⊥,则a c ⊥；②若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．试类比以上某个命题,写出一个正确的命题:设α，β，γ为三个（第5题）不同的平面， ▲ ．【答案】若//αβ，βγ⊥，则αγ⊥ 9． 若函数()()ππ()sin 44f x a x x =+-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】10． 设奇函数()f x 在(0,+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()f x f x x--<的解集是 ▲ ．【答案】(10)(01)-，，【解析】由奇函数及()()0f x f x x --< 得2()0f x x <，即(2,0),(3,1)A B 或()00f x x <⎧⎨>⎩，由函数的草图得解集为(10)(01)-，，11．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ,且1cm AB BC CD ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .【答案】3π【解析】如图,则四面体ABCD 的外接球即它所在正方体（棱长为1)的外接球，而正方体的外接球的直径即正方体的体对角线长的表面积为24π3π=(cm 2）．12．正五边形ABCDE 的边长为,则AC AE ⋅的值为 ▲ ．【答案】6【解析】利用AC 在AE 上的投影得，AC AE ⋅=2162AE =．13．设集合{}()0A x x x a =-<，{}27180B xx x =--<,若A B ⊆，则a 的取值范围是▲ ．【答案】[]29-，【解析】依题意,()2 9B =-，，当0a >时，(0 )A a =，，由A B ⊆得，09a <≤；当0a <时，( 0)A a =，， 由A B ⊆得，2a -≥；当0a =时，A =∅，满足A B ⊆， 综上得，[]29a ∈-，．14． 已知两个等比数列}{na ，{}nb 满足1(0)a a a =>,111b a-=,222b a -=,333b a -=,若数列}{na唯一,则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】13【解析】设数列}{na 的公比为q ()0q ≠，由11b a =+，22baq =+，233baq =+成等比得，()()()22213aq a aq +=++，即24310aq aq a -+-=，因为a >，所以2440a a ∆=+>，故方程24310aqaq a -+-=有两个不同的实数解，其中一解必为0q =，从而13a =，此时,另一解为2q =．二、解答题:本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ,C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝错误!,且A －B ＝错误!． （1）求a 的值； (2)求tan A 的值．BA（第16题）CEF GD解:（1）由正弦定理知,b sin A ＝a sin B ＝错误!，①（2分) 又a cos B ＝1, ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋（a cos B )2＝3，（4分）因为sin 2B ＋cos 2B ＝1,所以a ＝错误!（负值已舍）；（6分）(2）,由(1）中①，②两式相除，得错误!＝错误!, 即tan B ＝错误!,(8分） 因为A －B ＝错误!,所以tan A ＝tan （B ＋错误!)＝错误! （12分） ＝错误!＝－3－2错误!．（14分）16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ,∠ABC ＝90°，点E ,F 分别为棱AB ,AC 上的点,点G 为棱AD 的中点，且平面EFG //平面BCD ．求证：（1）EF ＝错误!BC ;（2)平面EFD ⊥平面ABC ．证明:（1)因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG //BD ，(4分) 又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得,F为AC的中点,所以EF＝错误!BC．(7分）(2）因为AD＝BD，由（1）知，E为AB的中点，所以AB⊥DE，又∠ABC＝90°,即AB⊥BC，由（1）知，EF//BC，所以AB⊥EF,又DE∩EF＝E，DE，EF平面EFD，所以AB⊥平面EFD，(12分)又AB平面ABC，故平面EFD⊥平面ABC．(14分）17．(本题满分14分）已知函数3=++的图象关于坐标原点对称，且与x轴相切．f x x ax b()(1）求实数a，b的值;（2）是否存在正实数m n,,使函数()3(),上的值域仍m ng x f x=-在区间[]为[],？若存m n在，求出m n,的值;若不存在，说明理由．解：（1）因为函数3=++的图像关于坐标原点对称，f x x ax b()所以()()-=-，即()f x f x33b=，--+=-++，于是0x ax b x ax b设函数3=+的图象与x轴切于点( 0)()f x x axT t，，则()0f t'=，即30f t=,且()0+=,t at at+=，且230解得0==，t aABDC（第18题）·E所以3()f x x =；(6分）（2）333 0 ()3()3 0 x x g x f x x x ⎧+<⎪=-=⎨-⎪⎩，，，≥，，假设存在 m n ，满足题意，因为0n m >>，且3()3g x x =-在区间[]m n , 上单调递减,所以333 3 m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，， 两式相减得221mmn n ++=，可得0 1m n ≤≤，，这与[]332 3n m =-∈，矛盾，所以不存在正实数m n , 满足题意．（14分）18．(本题满分16分）下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，AB =20 m ，BC =10 m,120ABC ∠=°．拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左,右两部分分别种植不同花卉．设EB x EF y==，（单位：m ）．（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置；（2)求y 关于x 的函数关系式；(3)请确定点E ,F 的位置，使直路EF 长度最短． 【解】(1）当点F 与点C 重合时，由题设知，S △BEC 14=S □ABCD,于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高， 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点．（4分)（2）因为点E 在线段AB 上，所以020x ≤≤．（6分） 当1020x ≤≤时，由(1）知，点F 在线段BC 上, 因为AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°, 所以S □ABCD sin 2010AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=由S △EBF 12x BF =⋅⋅sin120°=100BF x=，所以由余弦定理得y EF ===当010x <≤时，点F 在线段CD 上，由S 四边形EBCF ()1102x CF =+⨯⨯sin 60°=10CF x =-，当BE CF ≥时，EF = 当BE CF <时，EF =化简均为y EF ==综上，101020x y x ⎧<=0≤，≤≤． （12分）（3）当010x<≤时,y == 于是当52x =时，miny=，此时15102CF x =-=；当1020x≤≤时,y =>故当E 距B 点2.5m,F 距C 点7。

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南通市2016届高三第二次调研测试
数学（I ）
参考公式：锥体的体积1
3
V Sh =
，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 设复数z 满足()12i 3z +⋅=(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为▲ ．
2. 设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧
⎫
=-+⎨⎬⎩⎭
，{}0A B = ，则实数a 的值为▲ ．
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲ ．
4. 为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h ）如下表：
根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是▲ ． 5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是▲ ． 6. 已知函数()()log a f x x b =+（0,1,R a a b >≠∈）的图像如图所示，则a b +的值是▲ ． 7. 设函
数sin 3y x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0x π<<）
，当且仅当12
x π
=
时，y 取得最大值，则正数ω的值为▲ ．
8. 在等比数列{}n a 中，21a =
，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ▲ ． 9. 在体积为
2
的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则f x (开始
k >9输出k
结束
k 0
k 2k +k 2
Y N
CD 长度的所有值为▲ ．
10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆
(
)
(2
2
3x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为▲ ．
11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，
若当[)0,2x ∈时，()2
1f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数
为▲ ．
12. 如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到
,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n 上，5AB AC += ，
则AB AC ⋅
的最大值是▲ ．
13. 设实数,x y 满足2
214
x y -=，则232x xy -的最小值是▲ ． 14. 若存在,R αβ∈，使得3
cos cos 2
5cos t t αββααβ
⎧=+⎪
⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15. 在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=． （1）求C 的值；
（2）若15A =
，AB =，求ABC ∆的周长．
16. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别为棱11,,AB BC C D 的中点． 求证：（1）//AP 平面1C MN ； （2）平面11B BDD ⊥平面1C MN ．
A C
17. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案： 方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠= ），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案②多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
22221x y a b +=（0a b >>）
的离心率为2
．A 为椭圆
上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO = ．
（1）若点P
的坐标为(，求椭圆的方程； （2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且
BP mBC = ，直线,OA OB 的斜率之积为1
2
-，求实数m 的值．
19. 设函数()(
1f x x k =++(
)g x =k 是实数．
（1）若0k =
(
)()f x g x ≥
； （2）若0k ≥，求关于x 的方程()()f x x g x =⋅实根的个数．
20. 设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2
114
n n S a =+，*N n ∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；
（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n b b S +≥，*
N n ∈，且存在整数2k ≥，使得
21k k k b b S +=．
（i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当2n ≥时，*N n b ∈，求数列{}n b 的通项公式．
图2
图1
数学（II ）（附加题）
21（B ）．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90 得到点B '，求点B '的坐标．
21（C ）．在平面直角坐标系xOy
中，已知直线1,51x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t
为参数）与曲线
sin ,
cos 2x y θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）相交于,A B 两点，求线段AB 的长．
22．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励（*N k ∈），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元． （1）求概率()0P X =的值；
（2）为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值． （注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）
23．设4124k k S a a a =+++ （*
N k ∈）
，其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k = ）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值； （2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．。

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