高三数学同步辅导教材(第5讲)

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高三数学总复习教程（第5讲）

一、本讲内容

简易逻辑

本讲进度，

命题，四种命题的关系，充要条件

二、学习指导

逻辑是正确解题的基础，逻辑错误会导致全功尽弃

是否命题的关键是看它能否判定真假，是否复合命题的标准在于该命题是否含有逻辑联结词：或、且、非，如果……，那么……

原命题：若p，则q：逆命题：若q，则p：

否命题：若非p，则非q，逆否命题：若非q，则非p

原命题与逆否命题互为逆否，同真假

逆命题与否命题互为逆否，同真假.

反证法就是从原命题的否定出发，推出矛盾（这个矛盾，指的是与已知条件矛盾，或与公理，定理矛盾，或与假设矛盾）从而说明原命题的否定是错误的，这样就确立了原命题的正确性。

要分清充分条件和必要条件，在证明充要条件时要分清充分性和必要性，若p⇒q，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”

三、典型例题讲评

例1．在△ABC中，P：∠A＞∠B，q1=sinA＞sinB，q2：cosA＜cosB，q3：cotA＜cotB，q4：sinA

＞cosB

q：（i=1，2，3，4）的什么条件？

其中p是

i

P是q1的充要条件，原因如下：∠A＞∠B⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB，⇔sinA＞sinB；

P是q2的充要条件，原因如下：函数y=cosx在[0，π]上单调递减，而A，B∈[0，π]，∴∠A＞∠B⇔cosA＜cosB；

P是q3的充要条件，理由类似②

P既不是q4的充分条件，也不是q4的必要条件，理由如下：

若△ABC，A=900，B=600，则sinA＞cosB，若△ABC中，A=1350，B=300，则sinA＜cosB

例2．P为△ABC内（含边界）任一点，“p到三边距离之和为定值”是“△ABC是正三角形”的什么条件？证明你的结论。

充要条件.

充分性，分别取p为A、B、C，则它到三边距离之和分别为h a，h b，h c，由题设ha=h b=h c，由面积公式，a=b=c，△ABC为正三角形

必要性，若p在顶点处（不妨设p在A点），则p到三边距离之和即h a（当然与h a，h c相等，为定值）；若p点在边上（不妨设在BC上），则P到三边距离之和即p到b，c两边距离之和d b+d c，∵S△ABC=S

+S△ACP.故有ah a=a(d b+d b+d c)，∴d b+d c当定值h a；若P点在三角形内部则S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，△ABP

从而有ah a=a(d a+d b+d c)，即d a+d b+d c=h a.

例3．已知函数f(x)在（－∞，+∞）上单调递增，a、b∈R，对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，则a+b≥0”

（1）写出其逆命题，并证明它的真假.

（2）写出其逆否命题，并证明它的真假.

（1）逆命题：“若f(a)+f(b) ≥f(－a)+f(－b)，则a+b≥0”这是一个真命题，我们用反证法证明：假设a+b＜0，即a＜－b，b＜－a，而f(x)单调递增.

故f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a). 从而f(a)+f(b)＜f(－a)+ f(－b).与已知矛盾，说明假设错误.

∴a+b ≥0 (2)逆否命题：“f(a)+f(b)＜f(－b)+ f(－a)，则a+b ＜ 0” 这也是一个真命题，可类（1）用反证法证明. 例4．已知p ：3

2

1--

x ≤2，q ：x 2―2x+1―m 2≤0（m ＞0） 又知非p 是非q 的必要条件，但不是充分条件，求取m 的取值范围。 先化简 p 即x ∈[－1，11]，q 即x ∈[1－m ，1+m] 非p ：x ＜－1或x ＞11，非q ：x ＜1－ m 或x ＞1+m. 非q ⇒非p ，故⎩⎨

⎧≥+-≤-11

11

1m m ，解得m ≥10

当m ≥10时，―1与1―m 不可能相等，故非p ⇒ 非q. ∴m ∈[)+∞,10

例5．已知曲线C 1：f(x －y)=0，C 2：g(x ，y)=0，点M 坐标为（a ，b ），则M ∉（C 1∩C 2）是⎩⎨⎧≠≠-0

),(0

)(y x g y x f 的什么条件？说明你的理由.

M ∉（C 1∩C 2）即M ∈（C 1∩C 2）之否定，亦即⎩

⎨⎧==0),(0

),(y x g y x f 之否定，也就是f(x ，y)≠0或g(x ，y)

≠0，故M ∉（C 1∩C 2）⇒ ⎩⎨

⎧≠≠0

),(0

),(y x g y x f

⎩

⎨

⎧≠≠0),(0

),(y x g y x f ，即M ∉C 1，且M ∉C 2，亦即M ∉（C 1∩C 2）. ∴⎩⎨⎧≠≠0

),(0),(y x g y x f ⇒M ∉（C 1∩C 2） ∴M ∉（C 1∩C 2）是⎩⎨⎧≠≠0),(0

),(y x g y x f 的必要条件，但不是充分条件.

例6．α∈（0，4

π

），求证：2α可作为一个三边长均为整数的直角三角形的一个内角的充要条件是

tan α是有理数.

充分性.

设tan α=

m

n

（m ，n ∈N +，m ，n 互质，m ＞n ） 则tan2α=

2)

(12

m

n m n -=2

22n m mn -，作两直角边长分别为2mn ，m 2－n 2的直角三角形，则其斜边长为2222)()2(n m mn -+= m 2+n 2证法二：∵tan α=m

n

，故可作Rt △ABC ，BC 于D ，则AD=BD ，∠ADC=2∠B =2α，设CD=x ，则AD=222k n x ++x ，整

理可得x=m k

n k m 222-，取k=2m 时x 时CD=x=m 2－n 2，AC=2mn ，AD=BD=2m 2―(m