薄板的小挠度弯曲问题

表2.圆形薄板弯曲的边界条件
名称
圆形薄板的小挠度弯曲问题
轴对称弯曲问题
说明
固定边界
位移边界条件
简支边界
混合边界条件
自由边界
静力边界条件
圆形薄板的轴对称弯曲问题，其挠度函数的通解即内力表达式如表2所示。其中， 为特解，
由板面荷载来确定。
表3.圆形薄板的轴对称弯曲问题的解答
名称
表 达 式
挠 度
内 力
对于有孔板，则可由内外各两个边界条件确定挠度表达式的 ；对于无孔边，则可由板中心处的挠度和内力为有限值得条件，得出 ，再由边界条件确定 和 。但需指出的是，在某些特殊情况下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有约束），为了求得问题的解答，可以对内力进行放松，即 。
所示。根据板的厚度，可以将板分为：
（1）厚板：板厚 与板面内的最小特征尺寸
之比大于 ，即 ,且厚板
三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。这类
班一般须按弹性力学空间问题来处理。
（2）薄板：板厚 与板面内的最小特征尺
寸 之比在 和 之间，即
。这类板的抗弯刚度较大，
当受到一定大小的横向荷载作用时，薄板图1
将会产生弯曲变形，其挠度 比板厚 要小，最大挠度 ,可认为属于小挠度问题，否则属于大挠度问题。
或者有角点条件
式中： 为支座上端的沉陷。
如图4所示为以正方向标示于矩形薄板中面上的
总剪力、角点反力以及弯矩（以矩矢表示，右手
螺旋，双箭头为大拇指方向，其余四指的绕向即
为弯矩作用的方向），但表明其增量。
圆形薄板的小挠度弯曲问题
对于圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用
极坐标求解往往比较方便。圆形薄板弯曲问题的基
正，如图2中所示。图2
（3）内力与应力分量的关系：
可见，正应力 及 分别于弯矩 成正比，称为弯应力；剪应力 与扭矩 成正比，称为扭应力；剪应力 及 分别与横向剪力 和 成正比，称为横向剪应力。而正应力 与荷载 成正比，称为挤压应力。
（4）不同内力之间的关系：
式 即为内力表示的平衡微分方程。它是由板单元的静力平衡条件（即 )所得到的。
基尔霍夫假设不能使弹性力学的基本方程全部满足，例如广义胡克定律的第三个方程，即 无法满足。因为在假设中有 ， 与 相比可忽略，则必有 ，但在实际中 。此外，假设中认为剪应变 ，也即剪应力 。但在推导平衡条件时，又必须认为 和 不为零。
尽管基尔霍夫假设存在一定的矛盾，但由此建立起来的弹性薄板小挠度弯曲理论，如同梁的弯曲问题一样，具有足够的精度。在许多工程问题的分析计算中，已得到了广泛的应用。
薄板弯曲的基本方程
（1）用挠度 表示：
式 又称为薄板的弹性曲面微分方程。它可直接通过式 ，并由边界条件 得到。
（2）用内力表示：
事实上，式 是由式 得到的，而将式 代入式 ，同样可以得到式 。这表明，弹性曲面微分方程是薄板在横向的平衡方程，即薄板每单位面积所受的弹性内力与外力平衡。同时，薄板的弯曲问题不是简单的纵、横梁弯曲的叠加，还应考虑扭矩及扭率的作用。
是绕 轴对称的，则该板的挠度和内力也是绕
轴对称的，这类问题就是圆板的轴对称弯曲
问题。此时，板的挠度、弯曲基本方程和内
力仅是 的函数，而与 无关，如表1中右边所
示。
弯矩及总剪力的正方向如图5所示（注：未标
明内力增量），圆形板的圆弧形边界上不存在
角点反力。图5
圆形薄板弯曲时的边界条件如表1所示。其中，设边界 处分别为固定边、简支边、自由边，且无给定的位移或外力。
其中，扭矩可以化为静力等效的横向剪力。因此，横截面上总的分布剪力为：
相应的自由边界条件减少为两个独立的条件：
此外，在角点 处，将合成一个集中反力 ：
若在角点 处没有支座对薄板施以上述集中反力，则角点条件 ：
若在 点处没有集中荷载 ，且沿 轴的正方向，则角点条件 ：
若在 点有支座约束，则在 处的角点条件：
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，主要内容包括：
（1）取挠度 为基本未知函数。
（2）将其他未知量，即纵向位移分量 ；主要应变分量 ；主要应力分量 ；次要应力分量 及更次要应力 均用挠度 来表示。
（3）用挠度 表示薄板横截面上的内力。
（4）用挠度 表示薄板弯曲的基本方程。
（5）用挠度 表示薄板边界条件。
（2）横向剪力的表达式：
式中： 为薄板的抗弯刚度，即 ； 和 分别为垂直于 轴和 轴的板横截面的单位宽度上的横向剪力，其量纲为 。
弯矩、扭矩和横向剪力的正负号规定：弯矩
使板的横截面上 的一侧产生正
号的正应力 时为正；扭矩 和
使板的横截面上 的一侧产生正号的剪
应力 时为正；横向剪力 和 使
板的横截面产生正号的剪应力 时为
显然，若取挠度函数为：பைடு நூலகம்
则能满足全部边界条件。将式（2）代入式（1）中，可得：
从而，可求得的内力如下：
显然，最大挠度和最大弯矩发生在板的中心：
四个角的集中反力为：
由扭矩的正负号（参见图4）可知，这四个角点的集中反力都向下。
例5.如图11所示四边简支的矩形薄板
边长分别是a和b，在任一点 处受
集中力F的作用，试求薄板的挠度。
再由边界条件确定待定系数：
在边界 上，其边界条件为：
,
从而，可以求得： 。
在边界 上，其边界条件为： , ,同样可求得： 。
在边界 上，其边界条件为：
从而可得： 。
在边界 上，由其边界条件
可求得待定系数 。
因此，挠度、内力和总剪力为：
综上所述，挠度 能满足域内的基本微分方程和全部的边界条件，故挠度 可以作为此问题的解。
图6
式中： 为椭圆板边界 的外法线方向。
因为在板边界 上有：
故式 也能满足。
现将挠度函数的表达式代入薄板弯曲的基本方程中，可得：
由式 可得：
将式 代入到挠度的表达式中，可得：
为了求挠度的最大值，先考虑其驻点：
由于在半椭圆形薄板的全部边界上，各点的挠度均为零，故挠度的最大值不可能发生在板边上。同时，又因荷载和薄板形式都关于 轴对称，故挠度的最大值比发生在 轴(即 ）上。因此，将 代入式 中，并考虑到 以及在边界上挠度不能取得最大值，所以必有：
图4本方程、边界条件和内力公式，均可通过直角坐标
系与极坐标系的导数变换关系，从直角坐标系的相应公式中转换得到。
表1.圆形薄板的小挠度弯曲问题的基本方程、内力、和总分布剪力的表达式
名称
圆形薄板的小挠度弯曲问题
圆形薄板的轴对称弯曲问题
基本方程
或
内力
总剪力
算子
注明： ， ，
当圆形薄板所受的横向荷载 和边界条件
解采用纳维解法，将挠度函数取为重三角
对于两自由边的角点C处有一竖直向下的微小位移 ，则角点条件为
由式（4）可得：
挠度以沿z方向为正，即向下为正。
例4.四边简支的矩形薄板，边长分别为a和b，
如图10所示，板面上受有分布荷载
其中 为板面中心的荷载集度，
试求薄板的挠度、内力及角点反力。
解在本例题中，薄板弯曲的基本方程为：
图10
本例题的全部边界条件
矩形薄板问题
例2.矩形薄板 的两对边 与 为简支，
受均匀分布的弯矩 作用， 与 为自由边，
受均匀分布的弯矩 作用，板面无横向荷载
作用，如图7所示。试证明挠度 可以
作为此问题的解，并求挠度、内力、和总剪力。
解：将挠度 代入薄板弯曲的基本方程图7
式（1-10）中，可得
对 积分，得
根据内力与总剪力的表达式为：
有关薄板小挠度弯曲问题的总结报告
学院：土木与交通学院
专业：工 程 力 学
班级：2 0 1 2 0 5 5
****************201205514 李俊超
201205519 陈红杰
201205520胡记强
薄板的小挠度弯曲问题
一内容概述
基本概念
在弹性力学中，两个平行面和垂直与这两个平行面的柱面所围成的物体，称为平板，或简称为板。其中，两个平行面称为板面，而这个柱面称为侧面或板边。两个板面之间的距离 称为板厚，平分板厚 的平面称为中面，如图1
从而求得驻点 。故挠度的最大值为：
分析
(1)当周边固定的椭圆形薄板，板面受均匀分布的荷载 作用，其半轴分别为 和 ，则可假定挠度函数为 ,此挠度表达式可以满足全部边界条件，同时由薄板弯曲的基本方程确定待定系数 。
（2）对于周边固定的椭圆形薄板，当板面所受荷载沿 轴线性分布，即 ,可假定挠度函数 ，同样可以满足全部边界条件。
薄板的边界条件
薄板的边界条件可分为3类，如图3所示。
图3
（1）固定边界，属于位移边界条件。沿固定边 ,薄板的挠度 和转角 均为零：
(2)简支边界，属于混合边界条件。简支边 上的挠度和弯矩为零：
在式 中，因 所以 ， ,故由 可简化为 。
（3）自由边界，属于静力边界条件。在自由边 和 上，薄板的弯矩、扭矩及横向剪应力都为零，因而有三个边界条件：
薄板横截面上的内力
在一般情况下，应力分量在板边上很难精确地满足静力边界条件，只能应用圣维南原理，使其应力分量在板边单位宽度上所合成的内力沿板厚总体上满足边界条件。为此，需要建立由内力表示的静力边界条件。
（1）弯矩、扭矩的表达式：
式中： 分别为垂直于 轴和 轴的板横截面单位宽度上的弯矩； 和 分别为这两个横截面单位宽度上的扭矩；它们的量纲均为 。
分析如果 与 为简支边，受均匀分布的弯矩 的作用， 与 为自由边，受均匀分布的弯矩 作用，且板面无横向荷载作用，则挠度函数 可以作为此问题的解。
例3.两条边简支、两条边自由的矩形薄板，板面无横向荷载作用；对于下列两种情况：
1.在角点 处受向下的横向集中力 作用，如图 所示。
2.在角点 处有一竖直向下的微小位移 ，且与固定的链杆相连接，如图 所示。
二经 典例 题
椭圆形薄板问题
例1.设有半椭圆形薄板，如图6所示，边界 为简支边， 为固定边，受有荷载 。试证 能满足一切条件，其中 是待定系数；并求挠度以及它的最大值。
解：先检验挠度表达式
是否满足全部的边界条件。
在本例题中，薄板的全部边界条件为：
在简支边 上，其边界条件为：
容易验证，式 是满足的。
在固定边 上，其边界条件为：
试分别求矩形薄板的内力和角点反力。
图8图9
解：
1.在角点 处受向下的横向集中力 作用时，可设挠度的表达式为：
很显然，它能满足本问题的基本微分方程 。
根据挠度的表达式（a），可求得内力及总剪力的表达式为:
由边界条件确定待定系数m。本题的全部边界条件：
显然，上述边界条件均能自动满足。
对于两自由边的角点B，其角点条件为：
（1）薄板变形前垂直于中面的法线，变形后仍保持为直线，且垂直于薄板弹性曲面，其长度不变。这就是所谓的直法线假设，根据这一假设，有 和 ,从而可导出 。
（2）与 和 等相比，挤压应力 很小，在计算应变时可忽略不计。从而，可导出薄板弯曲问题的物理方程（与平面应力问题的物理方程相同）：
(3)薄板弯曲变形时，中面上各点只有垂直位移，而无面内位移，即：
薄板中的其他未知量用挠度 表示
（1）纵向位移分量：
（2）主要应变分量：
（3）主要应力分量：
可见，在薄板的小挠度弯曲问题中，纵向位移分量 、主要应变分量 以及主要应力分量 均沿板厚方向呈线性分布，且在中面上为零，在上下板面处达到极值。
（4）次要应力分量：
（5）更次要应力分量：
因此，在薄板的小挠度弯曲问题中，次要应力分量 和 沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，在上下板面处为零；而更次要应力分量 沿板厚呈三次抛物线规律分布，在上板面处达最大值，在下板面处为零。
（3）膜板（薄膜）：板厚 与板面内的最小特征尺寸 之比小于 ，即 。这类板的抗弯刚度很小，抵抗弯曲变形的能力可以忽略不计，在通常的横向荷载作用下，其挠度远较板厚要大，可认为板只产生中面拉伸应力。
当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。
薄板弯曲问题属于空间问题。为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假设外，还补充了3个计算假设，即基尔霍夫假设，用以简化空间问题的基本方程。基尔霍夫假设是：
(b)
由式（b）可解得：
故挠度、内力及角点反力为：
同理：
各角点集中反力的正负号可参考图4
2.在角点C处有一竖直向下的微小位移 ，且与固定的链杆相连接时，可设挠度的表达式为：
(c)
显然，式（3）也能满足本问题的基本微分方程 。
由挠度可得内力和总剪力的表达式为：
本题的全部边界条件：
同样地，全部边界条件也能自动满足。
矩形薄板的小挠度弯曲问题
薄板的小挠度弯曲问题属于空间问题。薄板小挠度弯曲理论，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，应用薄板的基尔霍夫假设进行简化，并按位移解法导出薄板小挠度问题的基本方程和边界条件。最后归结的基本未知函数 和相应的基本方程、边界条件都只含有 两个自变量，因此，薄板小挠度弯曲问题也属于二维问题（不属于平面问题）。