L1norm-L1范数
《录用定稿排版规范2020版》
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摘要不规范，太短，缺少结果、结论，将不利于国内外检索系统收录和读者检索。
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向量与矩阵的范数及其在matlab中的用法（norm）
向量与矩阵的范数及其在matlab中的⽤法（norm）⼀、常数向量范数L0范数‖x‖0def=向量中⾮零元素的个数其在matlab中的⽤法：sum( x(:) ~= 0 )L1范数‖x‖1def=m∑i=1|x i|=|x1|+⋯+|x m|，即向量元素绝对值之和其在matlab中的⽤法：norm(x, 1)L2范数‖x‖2=(|x1|2+⋯+|x m|2)1/2，即向量元素绝对值的平⽅和后开⽅其在matlab中的⽤法：norm(x, 2)L∞范数极⼤⽆穷范数‖x‖∞=max{|x1|,⋯,|x m|}，即所有向量元素绝对值中的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(x, inf)极⼩⽆穷范数‖x‖∞=min{|x1|,⋯,|x m|}，即所有向量元素绝对值中的最⼩值其在matlab中的⽤法：norm(x, -inf)⼆、矩阵范数诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。
1. 诱导范数L1范数（列和范数）‖A‖1=max1⩽j⩽nm∑i=1{|a ij|}，即所有矩阵列向量绝对值之和的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(A,1)L2范数‖A‖2=λi，其中λi为A T A的最⼤特征值。
其在matlab中的⽤法：norm(A,2)L∞范数（⾏和范数）‖A‖∞=max1⩽i⩽mn∑j=1{|a ij|}，即所有矩阵⾏向量绝对值之和的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(A,inf)2. "元素形式"范数L0范数‖A‖0def=矩阵的⾮零元素的个数其在matlab中的⽤法：sum(sum(A ~= 0))L1范数‖A‖1def=m∑i=1n∑j=1|a ij|，即矩阵中的每个元素绝对值之和其在matlab中的⽤法：sum(sum(abs(A)))L F范数‖A‖F def=(m∑i=1n∑j=1|a ij|2)1/2，即矩阵的各个元素平⽅之和后开⽅其在matlab中的⽤法：norm(A,'fro')L∞范数√‖A‖∞=maxi=1,⋯,m;j=1,⋯,n{|a ij|}，即矩阵的各个元素绝对值的最⼤值其在matlab中的⽤法：max(max(abs(A)))核范数‖A‖∗=n∑i=1λi，λi为A的奇异值，即所有矩阵奇异值之和其在matlab中的⽤法：sum(svd(A))本⽂作者：本⽂为作者原创，转载请注明出处。
l1范数的次微分
l1范数的次微分介绍在数学中，l1范数（也称为L1正则化）是一种常用的正则化方法，用于在优化问题中增加稀疏性。
l1范数则是指向量中所有元素的绝对值之和。
l1范数的次微分，也称为subgradient，是对l1范数的变化率的描述。
在本文中，我们将详细讨论l1范数的次微分及其应用。
l1范数介绍l1范数定义如下：||x||1=∑|x i|i其中x是向量，x i是向量中的元素。
l1范数有着很多优良的性质，其中最重要的就是能够产生稀疏解。
通过最小化l1范数的优化问题，可以促使向量中的一些元素变为零，从而产生稀疏向量。
l1范数的次微分l1范数的次微分，也称为subgradient，是指定函数在某一点的切线集合。
对于l1范数而言，它的次微分定义如下：∂||x||1={v|v=sgn(x),x≠0}其中sgn(x)是元素级符号函数，把向量中的非零元素替换为它们的符号。
l1范数的次微分的作用是描述了l1范数在不同点处的变化率，对于在优化问题中使用l1范数作为正则化项的情况下，次微分可以帮助我们找到梯度的一个替代来进行优化。
l1范数正则化的应用l1范数正则化在机器学习和统计学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：特征选择特征选择是机器学习和统计学中的一个重要问题，其目标是从原始特征中选择出具有较高预测能力的特征。
l1范数正则化可以通过将某些特征的系数变为零来实现特征选择。
通过优化问题中的l1范数正则化项，可以鼓励模型选择更少的特征，从而降低了模型的复杂性，并且能够更好地处理高维数据。
压缩感知压缩感知是一种信号处理技术，其目标是通过在相对较少的测量下恢复原始信号。
l1范数正则化在压缩感知中起着重要作用。
通过在优化问题中使用l1范数正则化项，可以促使生成的稀疏解，从而实现高效的信号恢复。
线性回归在线性回归中，l1范数正则化也被称为LASSO回归。
LASSO回归能够使得一些系数变为零，因此可以用于变量选择和模型压缩。
l1和l2范数
l1和l2范数正如数学家所知道的，l1和l2范数是欧几里得空间和负异常空间中常用的范数，它们具有广泛的应用。
在机器学习中，l1和l2范数可用于控制模型复杂度，从而提高模型泛化性能，并用于不同的方式解决估计问题。
首先，让我们介绍一下什么是l1和l2范数。
l1范数定义为：让θ =（θ1，θ2，...，θn）表示n个自变量，其中θi（i = 1，2，...，n）是n维空间中的一个点，则l1范数的定义为：：l1范数 = |i |l2范数的定义类似，只是在求和项中用平方代替了绝对值：l2范数 = |i |2可以看出，两者都是一种范数，但l1范数更像是一种模式，它把向量变成一组数字，表达了向量的大小，而l2范数更像是一种距离，把向量变成距离，表达了向量之间的距离，两者具有不同的特性。
l1范数称为“稀疏范数”，它可以有效地削减参数的数量，从而可以抑制过拟合的风险，并有助于更好的参数估计。
另一方面，l2范数称为“分散范数”，它可以用来控制参数的平均值，从而降低模型的错误率。
l1和l2范数与正则化的关系密切，正则化是机器学习中常用的一种技术，它的目的是增加模型的稳定性和泛化性，同时还可以在一定程度上减少过拟合。
正则化常常使用l1范数和l2范数来实现，以及它们的组合，这叫做elastic net。
elastic net是一种稀疏正则化方法，它可以综合考虑l1和l2范数的优点，从而更好地解决一些估计问题。
L1和L2范数也可以用于特征选择。
特征选择是一种有效的特征组合技术，可以有效地提高模型的性能，减少过拟合，并增强泛化性能。
L1范数可以帮助理解模型，并用来选择重要特征，因为它可以让不重要的参数变得极其小，这对于减少过拟合有很大好处。
此外，由于L2范数与参数的平均值更加关联，因此它可以确保参数值的平均特性，从而减少错误率。
总的来说，l1和l2范数的应用非常广泛，它们可以用来控制模型复杂度，组合正则化，用于特征选择，甚至还可以用于诊断和估计各种模型参数。
深度学习六十问（基础题）
深度学习六⼗问（基础题）数据类问题1.样本不平衡的处理⽅法①⽋采样 - 随机删除观测数量⾜够多的类，使得两个类别间的相对⽐例是显著的。
虽然这种⽅法使⽤起来⾮常简单，但很有可能被我们删除了的数据包含着预测类的重要信息。
②过采样 - 对于不平衡的类别，我们使⽤拷贝现有样本的⽅法随机增加观测数量。
理想情况下这种⽅法给了我们⾜够的样本数，但过采样可能导致过拟合训练数据。
③合成采样（ SMOTE ）-该技术要求我们⽤合成⽅法得到不平衡类别的观测，该技术与现有的使⽤最近邻分类⽅法很类似。
问题在于当⼀个类别的观测数量极度稀少时该怎么做。
⽐如说，我们想⽤图⽚分类问题确定⼀个稀有物种，但我们可能只有⼀幅这个稀有物种的图⽚。
④在loss⽅⾯，采⽤focal loss等loss进⾏控制不平衡样本。
不平衡类别会造成问题有两个主要原因： 1.对于不平衡类别，我们不能得到实时的最优结果，因为模型/算法从来没有充分地考察隐含类。
2.它对验证和测试样本的获取造成了⼀个问题，因为在⼀些类观测极少的情况下，很难在类中有代表性。
2.讲下数据增强有哪些⽅法（重点）翻转，旋转，缩放,裁剪，平移，添加噪声，有监督裁剪，mixup，上下采样，增加不同惩罚解决图像细节不⾜问题（增强特征提取⾻⼲⽹络的表达能⼒）3.过拟合的解决办法（重点）数据扩充/数据增强/更换⼩⽹络（⽹络太复杂）/正则化/dropout/batch normalization增加训练数据、减⼩模型复杂度、正则化,L1/L2正则化、集成学习、早期停⽌什么是过拟合过拟合（overfitting）是指在模型参数拟合过程中的问题，由于训练数据包含抽样误差，训练时，复杂的模型将抽样误差也考虑在内，将抽样误差也进⾏了很好的拟合。
产⽣过拟合根本原因:观察值与真实值存在偏差, 训练数据不⾜，数据太少，导致⽆法描述问题的真实分布, 数据有噪声, 训练模型过度，导致模型⾮常复杂什么是⽋拟合：训练的模型在训练集上⾯的表现很差，在验证集上⾯的表现也很差原因：训练的模型太简单，最通⽤的特征模型都没有学习到正则化正则化的原理：在损失函数上加上某些规则（限制），缩⼩解空间，从⽽减少求出过拟合解的可能性。
l1范数的次梯度
L1范数的次梯度1. 引言在机器学习和优化问题中，范数是一种常用的数学工具，用于衡量向量或矩阵的大小。
L1范数是一种特殊的范数，它是指向量中各个元素绝对值之和。
在优化问题中，L1范数经常被用作正则化项，用于约束模型的复杂度，避免过拟合现象的发生。
本文将介绍L1范数的次梯度，包括定义、性质、计算方法以及应用场景。
通过深入理解L1范数的次梯度，我们可以更好地理解L1范数的优化问题，并为解决实际问题提供指导。
2. L1范数的定义L1范数是指向量中各个元素绝对值之和，可以表示为：n∥x∥1=∑|x i|i=1其中，x是一个n维向量，x i是向量x的第i个元素。
3. L1范数的次梯度在优化问题中，我们通常需要求解目标函数的梯度，以便找到函数的最小值点。
然而，当目标函数不可微时，就无法直接求解梯度。
L1范数是一个非光滑函数，其绝对值函数在原点处不可导。
因此，我们需要使用次梯度来描述L1范数的导数。
L1范数的次梯度可以定义为：∂∥x∥1={v∣∥v∥2≤1,v T x=∥x∥1}其中，∂∥x∥1表示L1范数的次梯度集合，v是次梯度向量，x是原始向量。
次梯度是梯度的一种推广，它表示在不可导点附近的任意一个方向上的导数。
对于L1范数来说，次梯度可以有多个，因为在原点处不可导。
4. L1范数的性质L1范数具有一些特殊的性质，这些性质使得它在优化问题中具有重要的作用。
4.1 稀疏性L1范数的一个重要性质是稀疏性，即它能够将向量中的一些元素置零。
这个性质使得L1范数常被用作特征选择的工具，可以帮助我们找到最重要的特征。
4.2 不变性L1范数具有不变性的特点，即当向量中的元素进行缩放或平移时，L1范数的值保持不变。
这个性质使得L1范数在某些问题中具有更好的鲁棒性。
4.3 次梯度的稀疏性L1范数的次梯度也具有稀疏性，即次梯度向量中的一些元素为零。
这个性质使得我们可以利用次梯度来进行特征选择，找到最重要的特征。
5. L1范数的次梯度计算计算L1范数的次梯度是一个重要的问题，它可以通过最优化算法来求解。
sympy 范数
sympy 范数1. 什么是sympy范数？sympy是一个用于符号计算的Python库，可以进行代数运算、符号计算、积分运算、微分运算等各种数学计算。
而范数是一种常用的数学工具，用于度量向量空间中向量的长度或大小。
在sympy中，可以使用sympy.norm()函数来计算向量的范数。
这个函数可以接受多个参数，用于指定要计算的范数类型。
常用的范数类型包括：•L1范数（曼哈顿范数）•L2范数（欧几里德范数）•无穷范数（取绝对值后的最大值）2. L1范数（曼哈顿范数）L1范数，也叫曼哈顿范数或街区范数，是指向量中各个元素绝对值之和。
对于一个n维向量x，其L1范数定义为：[ |x|_1 = |x_1| + |x_2| + + |x_n| ]使用sympy计算L1范数的代码如下：import sympy as spx = sp.Symbol('x')v = sp.Matrix([x, -2*x, 3*x])l1_norm = sp.norm(v, 1)print(l1_norm)输出结果为：4*Abs(x)3. L2范数（欧几里德范数）L2范数，也叫欧几里德范数，是指向量的各个元素平方和的平方根。
对于一个n 维向量x，其L2范数定义为：[ |x|_2 = ]使用sympy计算L2范数的代码如下：import sympy as spx = sp.Symbol('x')v = sp.Matrix([x, -2*x, 3*x])l2_norm = sp.norm(v)print(l2_norm)输出结果为：sqrt(14*x**2)4. 无穷范数无穷范数，也叫切比雪夫范数，是指向量中各个元素绝对值的最大值。
对于一个n 维向量x，其无穷范数定义为：[ |x|_{} = (|x_1|, |x_2|, , |x_n|) ]使用sympy计算无穷范数的代码如下：import sympy as spx = sp.Symbol('x')v = sp.Matrix([x, -2*x, 3*x])inf_norm = sp.norm(v, sp.S.Infinity)print(inf_norm)输出结果为：3*Abs(x)5. 总结sympy是一个强大的符号计算的Python库，可以方便地进行各种数学计算。
python的norm用法
Python的norm用法1.简介在P yt ho n编程中，`n or m`函数是一个常用的数学函数。
它用于计算向量的范数或矩阵的行范数。
本文将介绍`n or m`函数的使用方法和相关注意事项。
2.向量的范数向量的范数是衡量向量大小的一种度量方式，常用的向量范数有多种。
在P yt ho n中，可以使用`n or m`函数通过指定范数类型来计算向量的范数。
2.1欧氏范数（E u cl i d e a n N o r m）欧氏范数是最常见的向量范数，也称为L2范数。
它表示向量元素平方和的平方根。
在`nor m`函数中，使用参数`or d=2`表示计算欧氏范数。
```p yt ho ni m po rt nu mp ya sn pv=np.a rr ay([1,2,3,4])n o rm_v al=n p.li nal g.n or m(v,or d=2)p r in t("向量v的欧氏范数为：",n or m_v a l)```结果输出：```向量v的欧氏范数为：5.477225575051661```2.2曼哈顿范数（Ma n h a t t a n N o r m）曼哈顿范数是另一种常见的向量范数，也称为L1范数。
它表示向量元素绝对值之和。
在`n o rm`函数中，使用参数`o rd=1`表示计算曼哈顿范数。
```p yt ho ni m po rt nu mp ya sn pv=np.a rr ay([1,2,3,4])n o rm_v al=n p.li nal g.n or m(v,or d=1)p r in t("向量v的曼哈顿范数为：",no rm_va l)```结果输出：```向量v的曼哈顿范数为：10.0```2.3无穷范数（I n fi n i t y N o r m）无穷范数是向量元素绝对值的最大值。
在`n or m`函数中，使用参数`o rd=n p.in f`表示计算无穷范数。
matlab中norm的用法
matlab中norm的用法
norm是matlab中常用的一个函数，用于计算向量或矩阵的范数。
它的用法如下：
1. 计算向量的范数：
norm(x,p)
其中x为要计算范数的向量，p为范数的类型，p可以取以下几个值：
- 1：计算向量的1范数，即所有元素的绝对值之和
- 2：计算向量的2范数，即向量的欧几里得长度
- inf：计算向量的无穷范数，即所有元素的绝对值中的最大值例如，计算向量x=[1 2 3]的2范数：
norm(x,2)
输出结果为：
3.7417
2. 计算矩阵的范数：
norm(A,p)
其中A为要计算范数的矩阵，p为范数的类型，p可以取以下几个值：
- 1：计算矩阵的1范数，即所有列向量的1范数的最大值
- 2：计算矩阵的2范数，即矩阵的最大奇异值
- inf：计算矩阵的无穷范数，即所有行向量的无穷范数的最大值
- 'fro'：计算矩阵的Frobenius范数，即所有元素的平方和的平方根
例如，计算矩阵A=[1 2; 3 4]的2范数：
norm(A,2)
输出结果为：
5.4640
总结：norm函数可以方便地计算向量和矩阵的范数，有助于在数学和工程计算中进行矩阵和向量相关的计算。
numpy计算矩阵范数
numpy计算矩阵范数在Python的NumPy库中，可以使用`linalg`模块计算矩阵的范数。
矩阵范数有多种类型，如Frobenius范数、2-范数（欧几里得范数）等。
以下是计算矩阵范数的示例：1. 首先，导入NumPy库：```pythonimport numpy as np```2. 创建一个矩阵：```pythonA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])```3. 计算矩阵的Frobenius范数（即矩阵元素平方和的平方根）：```pythonFrobenius_norm = np.linalg.norm(A, ord='fro')print("Frobenius范数：", Frobenius_norm)```4. 计算矩阵的2-范数（欧几里得范数，即矩阵中最大元素的平方根）：```pythontwo_norm = np.linalg.norm(A, ord=2)print("2-范数：", two_norm)```5. 计算矩阵的L1范数（即矩阵中所有元素的绝对值之和）：```pythonone_norm = np.linalg.norm(A, ord=1)print("L1范数：", one_norm)```6. 计算矩阵的Linf范数（即矩阵中最大元素的绝对值）：```pythonlinf_norm = np.linalg.norm(A, ord=np)print("Linf范数：", linf_norm)```需要注意的是，以上示例中的计算方法也可以用于向量的范数计算。
只需将矩阵A替换为向量x即可。
例如，计算向量x的2-范数：```pythonx = np.array([1, 2, 3])two_norm_x = np.linalg.norm(x, ord=2)print("向量的2-范数：", two_norm_x)```以上就是使用NumPy计算矩阵范数的方法。
范数及其应用
范数及其应⽤范数的⼀般化定义：设p ≥1的实数，p-norm 定义为：||x ||p :=(n∑i =1x ip )1p||x ||0:=n∑i =0x 0i严格来讲，L0不属于范数，上⾯的公式让⼈难以理解。
在实际应⽤中，⼈们往往采⽤以下定义：||x ||0=#(i )with x i ≠0其表⽰向量中所有⾮零元素的个数。
||x ||1:=n∑i =1x i也称为曼哈顿距离。
L0范数是指向量中⾮0的元素的个数。
如果我们⽤L0范数来规则化⼀个参数矩阵W 的话，就是希望W 的⼤部分元素都是0。
换句话说，让参数W 是稀疏的。
看到了“稀疏”⼆字，⼤家都应该从当下风风⽕⽕的“压缩感知”和“稀疏编码”中醒悟过来，原来⽤的漫⼭遍野的“稀疏”就是通过这玩意来实现的。
但你⼜开始怀疑了，是这样吗？看到的papers 世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海⾥是不是到处都是||W||1影⼦呀！L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有⽐L0更好的优化求解特性⽽被⼴泛应⽤。
范数中最常见，也最著名的⾮L2范数莫属。
||x ||2:=n∑i =1x 2i从学习理论的⾓度来说，L2范数可以防⽌过拟合，提升模型的泛化能⼒。
从优化或者数值计算的⾓度来说，L2范数有助于处理不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。
L1和L2的差别，为什么⼀个让绝对值最⼩，⼀个让平⽅最⼩，会有那么⼤的差别呢？下降速度：L1就是按绝对值函数的“坡”下降的，⽽L2是按⼆次函数的“坡”下降。
模型空间的限制：对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们写成⼀下形式：Lasso :minw||y−Xw ||2,s .t . ||w ||1≤CRidge :minw||y −Xw ||2,s .t . ||w ||2≤C考虑⼆维的情况，等⾼线与norm ball 相交的地⽅就是最优解。
L1-ball 的最优点⼤都出现在"⾓点"处，这便⼤概率产⽣了稀疏性；L2-ball 却不范数||L0范数√L1范数||L2范数√L2范数的优点可以，它只是⼀种规则化⼿段。
正则化基本符号
正则化基本符号正则化是一种在机器学习中常用的技术，用于控制模型的复杂度，并避免过拟合问题。
在正则化中，使用了一些基本符号来表示各种正则化方法和相关参数。
本文将介绍正则化基本符号，并详细说明其含义和用途。
1. L1正则化（L1 Regularization）L1正则化是一种常见的正则化方法，用于降低模型的复杂度。
在L1正则化中，使用了如下基本符号：- λ：正则化强度（Regularization Strength），表示正则化的程度。
λ的值越大，正则化的力度就越大，模型的复杂度就越低。
- ||w||1：L1范数（L1 Norm），表示向量w的绝对值之和。
L1范数用于惩罚模型中的特征权重，促使模型选择更少的特征。
L1正则化通过最小化目标函数J(w) = L(w) + λ * ||w||1 来实现，其中L(w)表示模型的损失函数。
2. L2正则化（L2 Regularization）L2正则化是另一种常见的正则化方法，也用于控制模型的复杂度。
在L2正则化中，使用了如下基本符号：- λ：正则化强度，与L1正则化中的λ相同。
- ||w||2：L2范数（L2 Norm），表示向量w的平方和的平方根。
L2范数用于惩罚模型中的特征权重，并推动模型选择较小的权重。
L2正则化通过最小化目标函数J(w) = L(w) + λ * ||w||2 来实现。
3. 弹性网络正则化（Elastic Net Regularization）弹性网络正则化是L1正则化和L2正则化的结合，可综合考虑两种正则化方法的优点。
在弹性网络正则化中，使用如下基本符号：- α：混合比例（Mixing Ratio），用于平衡L1正则化和L2正则化的权重。
α=0时，弹性网络正则化退化为L2正则化；α=1时，退化为L1正则化。
弹性网络正则化通过最小化目标函数J(w) = L(w) + λ * (α * ||w||1 + (1-α) * ||w||2) 来实现。
lhsnorm函数
介绍其使用
lhsnorm函数来自Matlab，它是一种用于计算L1范数的函数。
L1范数是一种矢量范数，用于测量向量中所有元素绝对值之和，即x = (x1, x2,..., xn) 的绝对值之和为绝对值 |x| = |x1| + |x2| +...+ |xn|。
这种范数也被称为“曼哈顿距离”或“L1距离”，因为它用来测量沿街道行进时所花费的距离。
也就是说，当您从一个点到达另一个点时，您所走的路程正好等于沿路线上的每个单元的绝对值之和。
lhsnorm函数的用途是计算矢量的L1范数。
它的输入参数是向量和距离值，例如：
LN = lhsnorm(x,2):计算向量x的二范数；
LN = lhsnorm(x,1): 计算向量x的一范数；
该函数的语法如下：
[LN,vidx] = lhsnorm(x, p, ind)
其中，x为要计算的向量；p为结果的规格，其中p = 1表示计算的范数是L1范数，p = 2表示计算的范数是L2范数；ind为可选参数，其中ind = 0表示未指定特定值，ind = 1表示向量中最大值和最小值被排除在计算范数之外。
lhsnorm函数用于计算向量的L1范数，用于评估向量中所有元素绝对值之和。
该函数可以用来计算特定向量的L1范数，作为向量距离的度量，或用于解决分类、回归或其他机器学习任务。
该函数也可用于机器学习模型中的正则化，以改进模型的泛化性能。
最后，该函数可用
于计算大数据集的矢量范数，即在分类、回归、表示学习等深度学习任务中，使用lhsnorm函数可以更有效地处理数据。
范数应用案例
范数应用案例
1. 在机器学习中，范数常常用来衡量数据的特征向量的大小。
例如，在支持向量机算法中，可以使用范数来正则化模型的权重参数，以防止过拟合。
2. 在图像处理中，常常使用L1范数或者L2范数来衡量图像的稀疏性。
例如，可以使用L1范数来约束稀疏表示问题，以便生成更加稀疏的图像。
3. 在信号处理中，L1范数可以用来计算信号的稀疏系数，从而进行信号降噪。
通过最小化L1范数，可以将信号的噪声部分去除，保留信号的主要特征。
4. 在推荐系统中，可以使用L2范数来衡量用户对不同商品的偏好程度。
通过最小化L2范数，可以获得更好地符合用户偏好的推荐结果。
5. 在网络流量分析中，可以使用L1范数来衡量网络连接的异常程度。
通过比较不同网络连接的L1范数，可以识别出潜在的网络攻击或者异常行为。
6. 在图像识别中，可以使用L2范数来衡量两幅图像之间的相似度。
通过计算两幅图像的L2范数，可以获得它们之间的距离。
7. 在文本数据的处理中，可以使用L1范数或者L2范数来衡量文本的稀疏性。
通过最小化范数，可以获得更加稀疏的文本
表示，从而提高文本分类或者聚类的性能。
8. 在最优化问题中，可以使用范数作为约束条件。
例如，可以使用L1范数作为约束条件，以获得较为稀疏的解。
kl散度与范数
kl散度与范数KL散度（Kullback-Leibler divergence）和范数（norm）是概率论和数学中常用的概念，具有广泛的应用领域和重要的数学性质。
本文将分别介绍KL散度和范数的定义、性质和应用，并探讨二者之间的关系。
首先，我们来了解KL散度的概念。
KL散度是两个概率分布之间的差异度量方式，用于衡量两个概率分布P和Q的差异程度。
KL散度定义如下：KL(P||Q) = Σ(P(x) * log(P(x)/Q(x)))其中，P(x)和Q(x)分别表示概率分布P和Q在事件x上的概率，log表示以2为底的对数。
KL散度的值不一定是对称的，即KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)。
KL散度通常是非负的，当且仅当P和Q完全相同时取得零值。
KL散度可用于两个概率分布的距离度量、信息论中的信息增益、机器学习中的模型选择等领域。
在概率分布距离度量中，KL散度越小表示两个分布越相似，越大表示两个分布差异越大。
在信息论中，KL散度可用于衡量两个概率分布之间的信息增益，即在已知P分布的条件下，使用Q分布与使用P分布相比所获得的额外信息量。
接下来，我们来介绍范数的概念。
范数是定义在向量空间上的一种函数，用来衡量向量的大小或长度。
常见的范数有L1范数、L2范数等。
以二维向量为例，L1范数定义如下：||x||₁ = |x₁| + |x₂|其中，x₁和x₂分别为向量x的两个分量。
L1范数可以看作是向量各分量绝对值的和。
而L2范数（欧式距离）定义如下：||x||₂ = √(x₁² + x₂²)L2范数可以看作是向量各分量平方和的平方根。
一般情况下，范数具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。
范数在数学和工程中有着广泛的应用。
在数学中，范数在定义空间的完备性（即一个空间中的柯西序列是否收敛）和连续函数的定义上起到重要作用。
在工程中，范数可用于衡量向量的大小、计算向量的内积和距离等任务，例如在机器学习中用于正则化和模型选择、在图像处理中用于图像压缩和去噪等。
列向量的范数
列向量的范数
对于一个n维列向量x=(x1,x2,...,xn)，它的范数(norm)定义为：
||x||= (x1^2+x2^2+...+xn^2)^(1/2)
其中，x1,x2,...,xn均为实数。
范数是一个向量的长度或大小，它满足以下性质：
1. ||x||≥0，当且仅当x=0时，||x||=0；
2. 对于任意实数α，有||αx||=|α| ||x||；
3. 对于任意两个列向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||（三角不等式）。
范数在很多领域都有应用，比如在机器学习中，范数可以用来表示特征向量的正则化，以防止过拟合。
在数值分析中，范数可以用来衡量矩阵的条件数和误差，以评估数值算法的精度。
常见的范数有L1范数、L2范数、无穷范数等，它们在具体问题中的应用有所不同。
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高斯整数的范数
高斯整数的范数
高斯整数是复数域的一个子集，它由形如 a + bi 的数构成，其中 a 和 b 是整数，i 是虚数单位（i2 = -1）。
在高斯整数中，范数（norm）是一个用于衡量一个高斯整数的大小的函数。
高斯整数z 的范数定义为|z|2，即z 与其复共轭z* 相乘的结果。
具体来说，如果高斯整数z 的形式为 a + bi，那么其复共轭z* 的形式为 a - bi。
范数的计算公式为：
|z|2 = z * z* = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2
这意味着，高斯整数z 的范数是其实部 a 的平方与虚部 b 的平方的和。
高斯整数的范数既是一个实数也是一个非负数（范数总是非负的），可以用于衡量高斯整数的大小和距离。
范数还具有一些重要的性质，如范数的乘法性质：对于两个高斯整数z1 和z2，有|z1 · z2| = |z1| · |z2|。
范数在高斯整数的许多应用中起着重要的作用，如判断高斯整数是否为素数以及求解高斯整数的最大公约数等。
正则嵌入范数
正则嵌入范数（Regularized Embedding Norm）是一种用于衡量嵌入空间中向量之间距离的方法。
它通常用于机器学习和深度学习中，特别是在神经网络中嵌入向量表示的学习。
正则嵌入范数是一种带有正则化项的范数，它通过引入一些额外的约束来提高嵌入空间的性能和稳定性。
常用的正则化项包括L2范数、L1范数、交叉熵损失等。
在正则嵌入范数中，通常定义如下：
```scss
||x||_{reg} = ||x||_p + λ ||x||_2
```
其中，||x||_p表示向量x的p范数（通常为L1或L2范数），λ是一个正则化参数，用于控制正则嵌入范数的权重。
正则嵌入范数的优点在于，它能够平衡嵌入空间的鲁棒性和泛化能力。
通过引入正则化项，可以避免过拟合问题，并提高模型的泛化性能。
此外，正则嵌入范数还可以帮助优化算法找到更稳定和鲁棒的嵌入表示。
在实际应用中，正则嵌入范数通常与一些优化算法（如梯度下降、随机梯度下降等）结合使用，以最小化嵌入空间中的损失函数并学习有效的嵌入表示。
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Minimize : (Loss Function) + (regularization term)
3
L2-Regularization
Regularization term :
λ >0
λx
2 2
is the regularization parameter
2 2
For LSP, this becomes 2 Minimize Ax − y + Fx
Regularization term restrictபைடு நூலகம் large value components Special case of Tikhonov regularization Can be computed directly ( O(n3) ) Or can use iterative methods (e.g. conjugate gradients method)
L1-Regularization
Regularization term : λ x 1 LSP : Ax − y 2 + Fx 2 +λ x 1 2 LRP : lavg (v, x) + λ x 1 The regularization term penalizes all factors equally This makes the x *SPARSE*
2
Logistic Regression Problem
Will be explained by Evan All we need to know for now is that we are again trying to find a vector x which will minimize a loss function
minimize Ax − y + Fx 2 + λ ∑ ui i =1 subject to − ui ≤ xi ≤ ui , i = 1,..., n
2 2
and use standard convex optimization methods to solve, but these usually cannot handle large practical problems
Others
decoding linear codes geophysics problems maximum likelihood estimation
5
L1-Regularization
Regularization path
Family of solutions over λ = (0, ∞) Piecewise linear Path-following methods slow for large-scale problems
Ax
1 1 0 . . . .
⋅ x
Least Squares Problem
Using a linear model y = Ax + v, where w ∈ Rm is the vector of observations, x ∈ Rn is the vector of unknowns, and v ∈ Rm is the noise and A ∈ Rmxn , we wish to find x which minimizes the loss function : || Ax – y ||2
For LRP, this becomes Minimize lavg (v, x ) + λ x
2 2
Smooth and convex, can be solved using gradient descent, steepest descent, Newton, quasi-Newton, truncated Newton, CG methods
A sparse x means reduced complexity Can be viewed as a selection of relevant/important features
Non-differentiable -> harder problem
Can transform into convex quadratic problem n
Truncated Newton Interior-point method (for L1-regularzied LSPs)
Initialize. t := 1/maxλ>0 λi, x := 0, u := 1 Repeat
Compute search direction (Δx, Δu) using truncated Newton method Compute step size s by backtracking line search. Update the iterate by (x,u) := (x,u) + s(Δx, Δu) Set x = x Construct dual feasible point (ν,μ) Evaluate duality gap η Quit if η/G(ν,μ) ≤ ε Update t
6 5 9 . . . .
7 .1 2 .5 1 .1 = . . . .
5 4 6 . . . .
y
0 . 98 0 . 93 0 . 77 . . . .
=
15 16 14 . . . .
4
Effects of L1-Regularization
L1-Regularization
Usage
Signal Processing
basis pursuit compressed sensing signal recovery wavelet thresholding
Statistics
Lasso algorithm fused Lasso
7
1
Least Squares Problem
Motive : Wish to find vector x which best predicts the given set of observations y from base data A, using a linear model.
BP D/day days obesity age smoke
L1-norm Regularization
Y. Albert Park CSE 291 4.2007
Overview
Least Squares Problem Logistic Regression Problem L2-Regularization L1-Regularization Proposed Algorithm basics Summary
Problem with LSP/LRP?
When the number of observations or training examples m is not large enough compared to the number of feature variables n, over-fitting may occur. Tends to occur when large weights are found in x. What can we do to prevent over-fitting?
6
Efficiency of TNIPM
Summary
L2-Regression suppresses over-fitting L2-Regression does not add too much complexity to existing problems -> easy to calculate L1-Regression creates sparse answers, and better approximations in relevant cases L1-Regression problems are not differentiable -> need other ways of solving problem (using convex optimization techniques, iterative approaches, etc.)