高等数学：导数分析
高数求导方法总结
高数求导方法总结
1. 导数的定义
在高等数学中，导数是描述一个函数变化率的概念。给定一个函数f(x)，它的导数f′(x)可以通过以下定义获得：
$$f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{\\Delta x}$$
该定义表示函数f(x)在x点处的切线的斜率，即函数在该点的瞬时变化率。
2. 导数的基本公式
导数的基本公式是求导的基础，包括以下几个重要的规则：
•常数规则：如果f(x)是一个常数，则它的导数为零，即f′(x)=0。
•幂函数规则：对于幂函数f(x)=x n，其中n是实数常数，它的导数为f′(x)=nx n−1。
•和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和或差的导数等于它们的导数的和或差，即$(f \\pm g)'(x) = f'(x) \\pm g'(x)$。
•乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即$(f \\cdot g)'(x) = f'(x) \\cdot g(x) + f(x) \\cdot g'(x)$。
•商法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方，即
$\\left(\\frac{f}{g}\\right)'(x) = \\frac{f'(x) \\cdot g(x) - f(x) \\cdot
g'(x)}{g(x)^2}$。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学
导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。以下是一些常见的导数公式和应用:
1. 基本导数公式：
- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx
- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)
2. 三角函数的导数公式：
- sin x" = cos x
- cos x" = - sin x
- tan x" = cot x
- cot x" = - tan x
- csc x" = 1/sin x
- 1/sin x" = csc x
3. 指数函数的导数公式：
- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)
4. 对数函数的导数公式：
- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)
- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)
5. 反函数的导数公式：
- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)
6. 二次函数的导数公式：
- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)
7. 其他函数的导数公式：
- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)
- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)
- 对数函数的导数公式 (2)
大学数学导数
大学数学导数
数学导数是高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学等等。导数被定义为函数在某一点处的变化率，它描述了函数在该点附近的局部性质。本文将从导数的定义、计算方法、应用以及一些相关的概念和定理进行讨论。
一、导数的定义
在微积分中，导数常用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，它表示函数 f(x) 在点 x 处的导数。导数可以通过以下极限定义来计算：
f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
二、导数的计算方法
计算导数的方法有多种，其中最常用的方法是使用导数的基本性质和常见函数的导数公式。以下是一些常见函数的导数公式：
1. 常数函数的导数为 0。
2. 幂函数的导数计算可以使用幂函数的求导法则。
3. 指数函数的导数为自身的常数倍。
4. 对数函数的导数可以使用对数函数的求导法则。
5. 三角函数和反三角函数的导数公式。
三、导数的应用
导数在实际应用中起着重要的作用。以下是一些常见的应用：
1. 确定函数的最大值和最小值。
2. 描述物理学中的运动和变化。
3. 经济学中的边际分析。
4. 工程学中的优化问题。
四、相关概念和定理
1. 导数为零的点被称为函数的驻点。在驻点处，函数的斜率为零。
2. 函数在某一区间内递增或递减的条件是其导数在该区间内恒为正
或恒为负。
3. 函数在一个点的导数存在，则函数在该点连续。
4. 导数的和差、常数倍和乘积法则，以及链式法则等。
总结：
导数是高等数学中重要的概念，它描述了函数在某一点附近的局部
性质和变化率。本文介绍了导数的定义、计算方法、应用以及一些相
高等数学导数
高等数学导数
导数是高等数学中的一个重要概念，意思是表示函数的变化速率的概念，它是高等数学中的一个基本概念。
导数的定义是：当函数y=f（x）的自变量x经过一个微
小的变化时，函数y的变化量与自变量x变化量之比，记作f′（x）或y′，称为函数f（x）在x处的导数，记作d/dx[f （x）], 或f′（x）。
导数的性质可概括为：（1）函数的导数表示函数变化率
的变化，即函数变化速率；（2）函数的导数指示函数在某一
点处的变化状况，如曲线在某点的切线的斜率；（3）函数的
导数可以用来求函数的极值。
导数在微积分中具有重要的意义，它与微积分的基本概念——定积分密切相关，它使微积分中的许多定理更加清晰明了。如果不考虑导数，微积分中的定理将是模糊的，将难以推导。因此，导数是高等数学中非常重要的概念。
导数的应用也十分广泛，在物理、化学、经济学等多学科中都有其重要的作用。它可以用来计算某一物体在受到力的作用时的速度变化，从而求得物体的运动轨迹；它也可以用来计算某一物体在受到力的作用时的加速度变化，从而求得物体的动量；它还可以用来计算某一物体在受到力的作用时的位置变
化，从而求得物体的位置；它在经济学中也可以用来分析某一经济指标的变化趋势。
总之，导数是高等数学中的一个重要概念，它的应用也十分广泛，具有重要的意义。
高等数学8.8 方向导数
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
r
r
r
例3 求u x2 y3 z4的梯度 grad u 2xy3z4i 3x2 y2z4 j 4x2 y3z3k .
若z f ( x, y) 在( x, y)处可微，则
f f cos f cos {f , f } {cos ,cos }
l x
l 0
z
l
• P
其中 (x)2 (y)2 (z)2
••
P
f f cos f cos f cos .
o
y
l x
y
z
x
例 2 设n是曲面2x2 3 y2 z2 6 在点 P(1,1,1)处的指向外侧
的法向量，求函数
u
1
14
u
x P
6 ;
14
u 8 ;
y P
14
高等数学导数真题答案解析
高等数学导数真题答案解析
导数作为高等数学中的重要概念，被广泛应用于各个领域的研究和实际问题的解决中。在学习过程中，通过解析和理解导数的真题问题，可以加深对这一概念的理解，同时也能够提高解题的能力。本文将针对一些高等数学导数的真题进行解析，帮助读者更好地掌握这一知识点。
第一题：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数。
首先，我们需要知道求函数的导数可以使用导数的定义或者直接使用已知函数的求导法则。根据已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，我们可以利用求导法则来求出f(x)的导数。
根据导数的基本法则，我们知道对于幂函数x^n，它的导数为
nx^(n-1)。因此，对于f(x)=x^3-3x^2+2，我们可以将每一项分别求导得到导数，即：
f'(x) = 3x^2-6x
通过这种方式，我们可以得到函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2-6x。
第二题：求曲线y=x^2-2x+3在点(1,2)处的切线方程。
要求曲线在点(1,2)处的切线方程，首先需要求出曲线在该点处的导数，然后利用导数和已知点的坐标来确定切线的斜率，最后利用斜率和已知点的坐标来确定切线的方程。
根据已知曲线y=x^2-2x+3，我们可以使用导数的求法来求出曲线在点(1,2)处的导数。根据前面的题目，已经求得y'=2x-2。
那么曲线在点(1,2)处的斜率k为：
k = y'(1) = 2*1-2 = 0
根据切线的斜率公式，我们知道切线的斜率为0时，切线是水平线，即与x轴平行。因此，切线的方程可以表示为y=2，其中已知点(1,2)在切线上。
高等数学第三章导数
例3. 设 y xnax cos x ，求 y
y nxn1ax cos x xnax (lna) cos x xnax sinx
例4.
设
y
2a
x1
1
2 a
,
x 0，(a 0, a 1) ,求 y
x)
1 x ln
a
,
(ln x) 1 x
(sin x) cosx , (cosx) sin x
(tan x) sec2 x , (cot x) csc2 x
(secx) secx tan x , (cscx) cscx cot x
(arcsin x) 1 , (arccos x) 1
1 (tan y)
1 sec2
y
1 1 x2
§3 . 隐函数及参数方程所确定的函数的导数。
1. 隐函数求导法
现在讨论由方程 F(x, y) 0所确定的隐函数 y y(x)的 导数，由于 F(x, y(x)) 0，两边对 x 求导，即可解出 y(x)，举例说明。
例1. 求由方程 x2 y2 r 2 所确定的隐函数 y y(x) 的导数。
记作：y xx0 或 f (x0 )
即
f
( x0
)
lim
高等数学 第2章 第五节 高阶导数
1 2
,
2
f
x
1
1
x
1
3 2
,
22
f
x
1
1
3
x
1
5 2
,
222
f
4 x
1
1
3
5
x
1
7 2
,
2222
,
f
nx
1n1
1
3
52n
2n
3x
1
2 n1 2
.
1 n1
2n
3!! x
2n1
1 2
.
2n
7
例8 求y x 为任意常数的n阶导数.
解: y x 1 ,
y 1x2 , y 1 2x3 ,
代入莱布尼兹公式,得
k 1,2,,20,
k 3,4,,20,
y20 x2e2x 20
220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
220 e2x x2 20x 95 .
11
补充例题： y xe x ,
求y (n)
解： y ( xe x ) xe x x e x ( x 1)e x
v
k
1
第五节 高阶导数
1.概念:
定义: 若函数 y f ( x) 的导数 y' f '( x) 仍是 x 的函数，
高等数学导数知识点总结
高等数学导数知识点总结
1、导数的定义：在点处的导数记作.
2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率
①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;
⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：
5.导数的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;
注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：
①求导数;
②求方程的根;
③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;
(3)求可导函数值与最小值的步骤：
ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!
导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该
函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
高等数学第二章导数知识总结
高等数学第二章知识总结
在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。微分和导数的关系
求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.
函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.
一.
(1)单侧导数即左右导数.
函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定
可导.
注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.
◆求导数的方法有:
(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极
限）
(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的
实际问题.
(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)
(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数
导数的倒数.)
(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)
(6)利用隐函数求导法
(7)利用参数方程确定函数的求导法.
(8)利用分段函数求导法.
(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连
续性与可导性.
二.高阶导数
高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.
方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.
间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.
常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.
■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。
三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?
如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数
高职高等数学7-导数定义及公式
s (t )
s′(t0 )
2 函数f ( x)在x0处切线的斜率
B A C
l
l
∆x → 0
x0
klAB = tan(∠BAC ) =
x0 + ∆x
x0
x0 +∆x
BC f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = AC ∆x f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) kl = lim = f ′( x0 ) ∆x →0 ∆x
导数定义及公式导数定义及公式导数定义及公式导数定义及公式一导数的定义dfdxdylimlim即时速度时刻时间经过路程走了acbcbac记为处的右导数记为处的左导数函数fx在区间i上的任一点x处的导数称为fx在区间i上的导函数
导数定义及公式
一、导数的定义
函数y=f(x) 在x0处可导： f(x)在x0的某个邻域有定义，且极限
2
1 1/ 2−1 1 ( x )' = x = 2 2 x
1/ 2
3 ln 3 (3 )' = _______; (log 3 x )' = ______ x ln 3
x
x
(sin
π
4 f ( x ) =| 1 − x |, 试求 f ' (1).
' −
)' =
2 )' = 0 ________ 2 (
高等数学第二章导数与微分(4)
x)
1 1 tanh2
x
1 cosh2
x
1
1 sinh2 cosh2
x x
1 cosh
2
x
cosh2
x
1
sinh2
x
1
1 2sinh2
x
.
26
思考
1、如果
f
(
x)
e ax , x
b(1
x2
0 ),
x
处处可导，那末（ 0
D）
（A）a b 1；
（B）a 2,b 1；
（C）a 1, b 0； （D）a 0, b 1.
2．1 导数的概念
2．2 函数的求导法则
2．3 高阶导数
2．4 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
2．5 导数的简单应用
2．6 函数的微分
1
2.2 函数的求导法则
一、四则运算法则 二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
2
二、反函数求导法则
定理２ 如果函数 x
f
解 y ln x2 1 ln 3 x 2
1 ln(x2 1) 1 ln(x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2x
3(
1 x
2)
x x2
高等数学导数概念
看左右导数是否存在且相等.
思考与练习
1. 函数 f (x)在某点 x 0 处的导数 f (x0) 与导函数 f (x)
有什么区别与联系 ?
区别: f (x) 是函数 , f (x0) 是数值; 联系: f (x) xx0 f (x0)
？ 注意: f(x0)[f(x0)]
2. 设 f(x0) 存在 , 则
有定义, 若极限
lim ylim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 x x 0
(x0)
(x0)
x
x0
存在,则称此极限值为 f (x) 在 x 0 处的右(左) 侧导数,
记作 f(x0)(f(x0))
即 f(x0)xl i0m f(x0 xx)f(x0)
f(x0 )
lim
x0
f (x0 x)f (x0) x
四、 函数的可导性与连续性的关系
定理2. f(x)在点 x处可导 f(x)在点x处连续
证: 设 yf(x)在点 x 处可导, 即 limy f(x)
x0x
存在 , 因为
y y x
x
故 limylimyx limy limx 0
x0
x0 x
x x0
x0
所以函数 yf(x)在点 x 连续 .
y
y x
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
高数-导数概念及应用
向
高
考
密 码
限
时
特 训
第1讲 导数及其应用
必
备 考
考点 1 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
点
1.定义
lim f (x0 x) f (x0 )
称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率x0
x
＝ lim x0
y x
为函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的导数，记作
f
( x0
)或
y′|x＝x0，
2项必须防范——导数运算中应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意，除法公式中分子符号，防 止与乘法公式混淆． (2)含有字母参数的函数求导时，要分清哪是变量哪是参 数，参数是常量，其导数为零.
核心导语
3种必会方法——求导数的基本方法 (1)连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导． (2)根式形式：先化为分数指数幂、再求导． (3)复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差， 再求导.
； ；
．
第1讲 导数及其应用
必
备 考
[填一填]
点 (1)y＝3x3＋2x2－3x 的导数 y 9x2＋4x－3.
(2)曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为 y＝2x＋1 .
(3)设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋23上的任意一点，曲线
数学分析方向导数和微分
数学分析方向导数和微分
方向导数与微分的概念
方向导数与微分是高等数学中的重要概念，他们经常用来描述函数在特定点的变化情况。方向导数是沿着一些特定方向的梯度。在研究函数的特定点处的泰勒展开时尤为重要，而它有其独特的应用和重要意义。而微分则是描述函数变化的另一个重要概念，主要是用来分析函数特征和变化关系。
方向导数的概念
方向导数是沿着一些特定方向的梯度。它可以用来描述在一些点处的函数变化的大小和方向，根据定义：设$f（x，y）在点$(x_0,y_0)$处可导，则对曲线$C$中任一点$(x,y)$来说，有：
$$f'_{\vec{n}}(x_0,y_0)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x，y)-f(x_0,y_0)}{{\vec{n}}\cdot (x-x_0,y-y_0)} $$
其中，${\vec{n}}$为指定方向的向量。
方向导数的特点
方向导数的特点：
1、方向导数表示了关于点$(x_0,y_0)$中测量变化时，在一些指定方向上的变化率；
2、方向导数关注的是函数其中一点上的其中一方向的变化率，而不考虑其他方向上的变化率；
3、在其中一点上，各个方向导数并不一定相等，可能有差异；
4、方向导数可以用其他量纲表示，即可以根据不同的量纲来表示；
5、方向导数可以用来计算泰勒展开式，从而用来描述函数的局部取值情况；
微分的概念
微分是一道必考的重要考点。
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个
摘要：
一、导数的基本概念与性质
1.导数的定义
2.导数的几何意义
3.导数的四则运算
二、常见函数的导数公式
1.幂函数
2.三角函数
3.指数函数与对数函数
4.反三角函数
5.复合函数
6.隐函数
7.参数方程
三、导数的应用
1.求极值
2.求最值
3.求曲率
4.求拐点
正文：
高等数学中的导数是微积分的基础，掌握导数的求解方法是解决高等数学
问题的关键。本文将介绍24 个常用的高数求导公式，帮助大家更好地理解和掌握导数的相关知识。
首先，我们需要了解导数的基本概念和性质。导数是描述一条曲线（即函数）在某一点处斜率的概念，它可以表示为函数在某一点的瞬时变化率。导数的几何意义是曲线在某一点的切线的斜率。导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算规则在求导过程中非常实用。
其次，我们要熟悉常见函数的导数公式。这些公式包括幂函数、三角函数、指数函数与对数函数、反三角函数、复合函数、隐函数和参数方程等。熟练掌握这些公式，可以帮助我们在求导过程中更加迅速地找到规律，简化计算过程。
最后，导数在实际问题中的应用也非常重要。导数可以用来求解函数的极值、最值、曲率和拐点等问题。通过求导，我们可以了解函数的局部最优点、临界点等信息，从而对函数的图形有更深入的理解。
总之，掌握这24 个常用的高数求导公式，能够帮助我们更好地理解导数的性质和应用，从而提高解决高等数学问题的能力。
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CT 为产量 Q 的函数：
求
CT
1100
1 Q2 1200
（1）生产900个单位时的总成本和平均成本;
（2）生产900个单位到1000个单位时的总成本
的平均变化率;
（3）生产900个单位时的边际成本．
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页
7
解 （1）生产900个单位时的总成本为
1
这表明：自变量x在x0处改变一个单位（从x0 1
到x0或从x0到x0 1）时函数改变f ( x0 )个单位。
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页
4
2.边际成本函数
设总成本函数CT CT (Q),Q为产量,则生产Q的 单位产品时的边际成本函数为
CM
dCT (Q) dQ
在经济问题中， 有时还要考虑一个经济量的相对变化 对另一个经济量相对变化影响的程度。
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页
14
设函数
y f (x)
在x点处给出绝对增量x，相应的y增加了y,
x 、y xy 就分别表示自变量和函数在点x处的 相对变化量（相对增量）.
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页
15
1. 弹性的概念
定义 设函数在y=f(x)点可导，函数的相对改变量
y 与自变量的相对改变量 x 之比
y
x
y x yx
称为函数y=f(x)从x 到x+Δx两点间的弹性．
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研究函数在一点处函数 y 对自变量x的相对变化率 就是函数在这一点处关于自变量 x 的弹性函数。
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一、边际函数
用于描述函数变化率的导数在经济学上称为边际函 数，即“margin”，表示“边际的，边缘的”。
1.边际函数定义 设函数y f ( x)在x处可导，
§2.6 导数在经济分析中的应用
◇边际函数 边际成本 边际收益
◇弹性函数 需求价格弹性与总收益
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一、概述
导数描述了函数在一点的变化率，经济学中，对 经济变量也有其变化率的问题。
研究函数在一点处函数 y 对自变量x 的(绝对)变 化率就是函数在这一点处的导数，经济学中称为 边际函数；
2Q) 5
Q15
14
当销售量从15个单位增加到20个单位时收益的 平均变化率为
R RT (20) RT (15) 320 255 13
Q
20 15
5
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13
二、弹性函数 边际分析讨论了函数和自变量之间(绝对)改变 量和(绝对)变化率．
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12
解
总收益
RT
QP(Q)
20Q
Q2 5
销售量为15个单位时的总收益
RT
Q15
(20Q
Q2 ) 5
Q15
255
平均收益
RA Q15
RT Q
Q15 P(Q) Q15 17
边际收益
RM
Q15
dRT dQ
Q15
(20
它表示生产第Q个单位产品或第Q 1个单位产品 所消耗的成本。
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5
例1 设总成本函数
CT 0.001Q3 0.3Q2 40Q 1000
求边际成本函数和 Q 50 单位时的边际成本 并解释后者的经济意义．
解 （1）边际成本函数为
CM
RM
dRT dQ
P(Q) QP(Q)
该式表示当销售Q个单位时，多销售一个单位产品
或少销售一个单位产品使其增加或减少的收益．
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例3 设某产品的需求函数为 P 20 Q 5
其中P 为价格，Q 为销售量．
求销售量为15个单位时的总收益、平均收益与边 际收益．并求当销售量从15个单位增加到20个单 位时收益的平均变化率．
CT
Q900
(1100
1 1200
Q
2
)
Q
900
1775
平均成本为 CT Q900 1775 1.97 900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时的总成本的 平均变化率为
CT CT (1000) CT (900) 1933 1775 1.58
Q
设总收益函数为 RT PQ, P 为价格，Q 为销售量．
再设需求函数为 P P(Q)
则总收益函数为 RT QP(Q)
故平均收益 RA 为
RA
RT Q
P(Q)
即价格 P(Q) 可视为从需求量（即销售量）Q 上获得的平均收益．
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10
边际收益为
1000 900
100
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（3）生产900个单位时的边际成本为
CM (900)
dCT dQ
Q900
1
Q 600
Q 900
1.5
CT
1100
1 Q2 1200
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3. 边际收益
dCT dQ
0.003Q 2
0.6Q 40
（2）Biblioteka BaiduQ 50 单位时的边际成本
CM Q50 (0.003Q2 0.6Q 40) Q50 17.5
这表示生产第50个或第51个单位产品时所花
费的成本为17.5． 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页
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例2 某工厂生产 Q 个单位产品的总成本
则f ( x)称为函数f ( x)的边际函数。
经济学中的函数y f ( x)自变量一般取整数， 那么如何描述x 0呢？
在x x0处，取x变化一个单位,则
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则由函数y f ( x)在 x0处的导数
f ( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
就有
f ( x0 )
Δy Δx Δx1
f f
( x0 1) f ( x0 ) 1
( x0 ) f ( x0 1)
f f
( x0 1) f ( x0 ) ( x0 ) f ( x0 1)