一元二次方程应用题经典题型汇总(1)

一元二次方程应用题经典题型汇总

例1．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

例2．某商场服装柜销售某一品牌童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，每降价一元可增加销量两件。（1）问降价多少元能够盈利1200元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

例3.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？例4.（2013•威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）

例5．王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

如果人数超过25

人，

每增加1人，人均旅游

费用降低20元，但人

均旅游费用不得低于

元.

如果人数不超过

25人，人均旅游

费用为1000元.

例6. 如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P

从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向

点B 以2cm/s 的速度移动.

（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？

（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于

△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

例7. 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.

（1）若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的

距离是多少米？

例8. 如图5所示，我海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航．一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰. （1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？ （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与

补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1

海里）

1． 设这两个月的平均增长率是x .，则根据题意，得200(1－20%)(1+x )2＝193.6，

即(1+x )2＝1.21，解这个方程，得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（舍去）. 答 这两个月的平均增长率是10%. 解 设第一次存款时的年利率为x . 则根据题意，得[1000(1+x )－500](1+0.9x )＝530.整理，得90x 2+145x －3＝0. 解这个方程，得x 1≈0.0204＝2.04%，x 2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x 2≈－1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 解 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人. 则根据题意，得[1000－20(x －25)]x ＝27000. 整理，得x 2－75x +1350＝0，解这个方程，得x 1＝

45，x 2＝30.

当x ＝45时，1000－20(x －25)＝600＜700，故舍去x 1；

当x 2＝30时，1000－20(x －25)＝900＞700，符合

题意.

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游. 解 因为∠C ＝90°，所以AB ＝22

AC BC +＝22

68+＝10（cm ）. F E D C B A 图5 Q P C B

A 图7

（1）设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以 AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm.

则根据题意，得

12

·(6－x )·2x ＝8.整理，得x 2－6x +8＝0，解这个方程，得

x 1＝2，x 2＝4.

所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2. （2）设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.

则根据题意，得

12

(6－x )·2x ＝

12×1

2

×6×8.整理，得x 2－6x +12＝0.

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.

解 依题意，梯子的顶端距墙角2

2

106-＝8（m ）.

（1）若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.

则根据勾股定理，列方程72+(6+x )2＝102，整理，得x 2+12x －15＝0， 解这个方程，得x 1≈1.14，x 2≈－13.14（舍去）， 所以梯子顶端下滑1m ，底端水平滑动约1.14m.

（2）当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动x m.

则根据勾股定理，列方程(8－x )2+(6+1)2＝100.整理，得x 2－16x +13＝0. 解这个方程，得x 1≈0.86，x 2≈15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑动1m ，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动x m 时，底端向外也滑动x m.

则根据勾股定理，列方程 (8－x )2+(6+x )2＝102，整理，得2x 2－4x ＝0， 解这个方程，得x 1＝0（舍去），x 2＝2.

所以梯子顶端向下滑动2m 时，底端向外也滑动2m. 解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （2）S 1＝n 2+(12－n )[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12.

①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S 2＝12×12－34＝110. 所以S 1∶S 2＝34∶110＝17∶55. ②若S 1＝S 2，则有－n 2+25n －12＝

12

×122，即n 2－25n +84＝0，

解这个方程，得n 1＝4，n 2＝21（舍去）.

所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.

说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.

解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28. 过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K .

则可得，FG ＝125

x

-×4，

所以S △BEF ＝12BE ·FG ＝－25x 2+24

5

x （7≤x ≤10）.

（2）存在.由（1）得－25x 2+24

5

x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5

（不合题意，舍去），

所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7. （3）不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2，

即(BE +BF )∶(AF +AD +DC )＝1∶2.则有－

25

x 2+

165x ＝283

， 整理，得3x 2－24x +70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0，

所以不存在这样的实数x .即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积

同时分成1∶2的两部分.

说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x 2＝5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.

解（1）F 位于D 的正南方向，则DF ⊥BC .因为AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，所以DF ＝

12

AB ＝100海里，所以，小岛D 与小岛F 相距100海里.

（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE ＝x 海里，AB +BE ＝2x 海里，EF ＝AB +BC －(AB +BE )－CF ＝(300－2x )海里.

在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程x 2＝1002+(300－2x )2，整理，得3x 2－1200x +100000＝0. 图

6 F

E D C B A 图7 K G