高中数学必修3人教A导学案1.3.3

§1.3.3算法案例 ——进位制

了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的

重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换

1. k 进制数使用0～（k-1）共k 个数字，但左侧第一个数位上的数字（首位数字）不为0.

2.用 )(011k n n a a a a -表示k 进制数，其中k 称为基数，十进制数一般不标注基数

3.利用除k 取余法，可以把任何一个十进制数化为k 进制数，并且操作简单、实用.

4.通过k 进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k

进制数转化为另一个不同基数的k 进制数.

知识探究(一):进位制的概念

思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k 进一”就是k 进制，其中k 称为k 进制的基数.那么k 是一个什么范围内的数？

思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？

思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k 是一个大于1的整数，则以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：)(011k n n a a a a -其中各个数位上的数字n a ,1-n a ,…，1a ，0a 的取值范围如何？

思考4:十进制数4528表示的数可以写成0123108102105104⨯+⨯+⨯+⨯，依此类比，二进制数)2(110011,八进制数 )8(7342分别可以写成什么式子？

思考5:一般地，如何将k 进制数 )(011k n n a a a a -写成各数位上的数字

与基数k 的幂的乘积之和的形式？ 思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？

知识探究(二): k 进制化十进制的算法 思考1:二进制数110011（2）化为十进制数是什么数？ 思考2:二进制数右数第i 位数字i a 化

为十进制数是什么数？ 思考3:运用循环结构，把二进制数 )2(011a a a a a n n -=化为十进制数b 的

算法步骤如何设计？ 第一步， 第二步， 第三步 第四步，

思考4:按照上述思路，把k 进制数 )(011k n n a a a a -化为十进制数b 的算法

步骤如何设计？ 第一步，输入a ，k 和n 的值. 第二步，

第三步

第四步，

思考5:上述把k 进制数)(011k n n a a a a a -=化为十进制数b 的

算法的程序框图如何表示？

思考6:该程序框图对应的程序如何表述？

理论迁移 例1 将下列各进制数化为十进制数. （1）)4(10303 ； （2）)5(1234

例2 已知)3()2(02110a b 求数字b a ,的值.

知识探究(三):除k 取余法

思考1:二进制数101101（2）化为十进制数是什么数？十进制数89化为二进制数是什么数？

思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？

思考3:上述方法也可以推广为把十进

制数化为k 进制数的算法，称为除k 取余法，那么十进制数191化为五进制数是什么数？

思考4:若十进制数a 除以2所得的商是q 0，余数是r 0，即a=2·q 0+ r 0；

q 0除以2所得的商是q 1，余数是r 1， 即q 0=2·q 1+ r 1； …… q n-1除以2所得的商是0，余数是r n ，那么十进制数a 化为二进制数是什么数？

思考2:根据上面分析，利用除k 取余法，将十进制数a 化为k 进制数的算法步骤如何设计？

第一步，输入十进制数a 和基数k 的值.

第二步，

第三步，

第四步，

思考3:将除k 取余法的算法步骤用程序框图如何表示？

2 1 2 2 2 5

2 11 2

22 2 44 2

89

余数

思考4:该程序框图对应的程序如何表述？

理论迁移

例1 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.

例2 将五进制数3241（5）转化为七进制数.

1、以下给出的各数中不可能是八进制

数的是( )

A.312

B.10110

C.82

D.7457

2、下列各数中最小的数是( )

A.()2111111

B.()6210

C.()41000

D.()981 3、将389化成四进位制数的末位是 ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0 4、将二进制数()2101101化为十进制结果为___________；再将该数化为八进制数,结果为________________. 5、若六进数()613502m 化为十进数为12710,则_____m =,把12710化为八进数为____________.

6、完成下列进位制之间的转化.

()21011001=_________()10=_______()5 ()8105=_________()10=__________()5 ()320212=_________()10

6、已知()175r =()10125,求r.

※自我评价（ ） A 、课前自主学习认真，学案完成很好； 你真棒，继续坚持。 B 、课前自主学习一般，学案完成良好；

下次争取做的更好。

C 、课前自主学习较差，学案空白较多；

注意学习方法，提高学习效率。