广东省罗定市廷锴纪念中学2017-2018学年高二数学(理)尖子生辅导资料7 Word版含答案

廷锴纪念中学2017-2018学年高二第二学期数学尖子生辅导资料（7）
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +3
5，b n ＝1
n
log 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公
式是 ．
2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ．
3．设函数f (x )＝ax 2
＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体， 点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．
5．数列{}n a 满足1112,1n
n n
a a a a ++==-，n ∈N*．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ．
(第4题)
C
A B
D
D 1
C 1
B 1
A 1
P Q
R
6. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。

（用组合数符号表示）
7．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．
8．向量(1,sin )a θ=，(cos b θ=，R θ∈，则a b -的取值范围为 。

二、解答题（第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

10. 给定两个数列
{}
n x ，
{}
n y 满足100==y x ，)1( 21
1
≥+=
--n x x x n n n ，
)1( 211
21
≥+=--n y y y n n n 。

证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得 n j n x y =。

11. 已知椭圆22
22154
x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右侧
一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。

若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。

廷锴纪念中学高二第二学期数学尖子生辅导资料（7）
1．答案：b n ＝
n ＋4
5
，n ∈N* 简解：由a n ＝22n +35，得a 1a 2a 3…a n ＝22(1＋2＋…＋n )＋3n
5
＝2
n (n ＋4)
5
，n ∈N*．
所以b n ＝1n ×n (n ＋4)5＝n ＋4
5
，n ∈N*．
2．答案：3简解：易得MN ＝5，以点M 为圆心，半径1为的圆与以点N 为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l 有3条．
3．答案：(－17，－1
17) 简解：(方法一) 因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，
此时f (n )＞f (n ＋1)恒成立等价于f (8)＞f (9)，即64a ＋8＞81a ＋9，解得a ＜－1
17
．
因为f (3)＜f (4)，所以9a ＋3＜16a ＋4，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－1
17)．
(方法二)考察二次函数f (x )＝ax 2
＋x 的对称轴和开口方向．
因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，且－12a ＜172，解得a ＜－1
17．
因为f (3)＜f (4)，所以－
12a ＞72，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－1
17
)． 4．答案：4
3
简解：因为C 1C ⊥面ABCD ，所以C 1C ⊥BD ．
又因为AC ⊥BD ，
所以BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ． 又PQ ∥BD ，所以AC 1⊥PQ ． 同理AC 1⊥QR ．所以AC 1⊥面PQR ．
因为AP ＝AQ ＝AR ＝1，所以PQ ＝QR ＝RP ＝2． 因为AC 1＝33，且V A －PQR ＝13·12·12·1＝1
6
，所以
V C 1－PQR ＝13·
34·(2)2
·33－V A －PQR ＝43
． 5．答案：－6 简解：易得：a 1＝2，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝1
3，a 1a 2 a 3a 4＝1．
又a 5＝2＝a 1，由归纳法易知a n ＋4＝a n ，n ∈N*． 所以T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝a 1a 2＝－6．
6. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有300
1710C 种关灯方法。

7．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10
(第4题)
C
A B
D
D 1
C 1
B 1
A 1
P
Q
R
种，概率为 3106 . 掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+24C =10种，概率为 4106 . 所以概率的比为 3106:4
106 = 1:6 .
8
．解答：(1cos
a b -=-=，其最大值为3，最小值为1，取值范围为。

9. 解：当20,(1)1,x y x ≤=--+ 当
20,(1)1,x y x >=--
---------------------------------- 5分 由
此
可
知
max 0
y =。

---------------------------------- 10分 当2min 12,2a y a a ≤≤=-；
当min 11,1a y ≤<=-； 当
2min 12a y a a
<=-+。

---------------------------------- 16分
10. 解：由已知得到：
1112111112(1){1}n n n n n
x x x x x --=+⇒+=+⇒+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以
11
11
1221
n n n n x x +++=⇒=-。

----------------- 8分
又由已知，222
11111(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=⇒=⇒+=++
由011121212221
n n
n y n y y +=⇒+=⇒=
-，
所以取21n n
j =-即可。

------------------- 20分
11. 已知椭圆22
22154
x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右侧
一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。

若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。

解答：125
(3,0),3
F x -=-
左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。

设1122(,),(,)A x y B x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=116
25)3(2
2y x x k y 2222
(1625)1502254000k x k x k ⇒+++-=得2222
12121212222
150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k -+=-=-⇒=++=-+++
----------------------12分
设342525(,),(,)33M y N y -
-。

由M 、A 、D 共线123412(325)(325),3()3()
a y a y y y a x a x ++==--同理。

又131411111616
(,),(,),033
F M y F N y F M F N F M F N =-
=-⊥⇒∙=由已知得， 得212343412325)256,99()()
a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即222561625k k -
∙+2
12325)9()()a a x a x +--（=256,9- 整理得 2
2
(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=⇒=±>-=又所以。

--------------20分
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附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：/wxt/list. aspx? ClassID=3060。