统计决策与贝叶斯估计
统计学中的贝叶斯统计和决策理论
统计学中的贝叶斯统计和决策理论统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，而贝叶斯统计和决策理论是统计学中的两个重要分支。贝叶斯统计理论是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，而决策理论则关注如何在面对风险或不确定性时做出最佳决策。
一、贝叶斯统计
1. 贝叶斯理论的基本思想
贝叶斯统计理论是以英国数学家Thomas Bayes的名字命名的，其基本思想是通过先验知识和新收集的数据来进行参数估计。与传统频率统计不同，贝叶斯统计将概率看作是描述人们对不确定性的信念，通过更新这些信念来进行推理。
2. 先验概率和后验概率
在贝叶斯统计中，先验概率是在考虑新数据之前已经拥有的关于参数的概率分布。随着新数据的不断积累，我们可以更新先验概率，得到后验概率，从而更加准确地估计参数的值。
3. 贝叶斯公式
贝叶斯公式是贝叶斯统计的核心公式。根据贝叶斯公式，我们可以计算参数的后验概率，从而基于数据来更新我们对参数的估计。
4. 贝叶斯推断的优点和应用
贝叶斯统计有一些独特的优点。首先，它允许我们将先验知识与数
据结合，从而得到更加准确的推断。此外，贝叶斯统计还可以通过使
用先验概率来处理缺乏数据的情况。贝叶斯统计在各个领域中都有广
泛的应用，包括医学诊断、金融风险评估和机器学习等。
二、决策理论
1. 决策理论的基本概念
决策理论是研究在面对不确定性和风险时如何做出最佳决策的学科。决策问题涉及到选择行动和评估不同行动的后果。决策理论包括概率
理论、效用理论和风险管理等概念。
2. 概率理论在决策中的应用
概率理论是决策理论中的一项重要概念，它用于描述事件发生的可
统计学中的贝叶斯统计与决策理论
统计学中的贝叶斯统计与决策理论统计学中的贝叶斯统计学是一种基于贝叶斯公式和概率论原理的统计推断方法。它与传统的频率主义统计学方法相比，具有许多独特的优势。本文将介绍贝叶斯统计学的基本原理、应用领域以及与决策理论的关系。
一、贝叶斯统计学的基本原理
贝叶斯统计学是由英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它基于概率论的贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B分别发生的概率。
贝叶斯统计学的基本原理是根据已有的先验知识和新的观测数据，通过不断更新概率分布来得出对未知参数的后验概率分布。通过贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，得出对未知参数的概率分布，从而进行推断和预测。
二、贝叶斯统计学的应用领域
贝叶斯统计学广泛应用于各个领域，包括医学、金融、生物学、工程学等。其应用主要体现在以下几个方面：
1. 参数估计：贝叶斯统计学通过考虑先验信息，对参数进行估计。与传统的频率主义统计学方法相比，贝叶斯统计学能够更好地利用已有的知识，提供更准确的参数估计。
2. 假设检验：贝叶斯统计学提供了一种新的方法来进行假设检验。通过计算后验概率与先验概率的比值，可以得到对不同假设的相对支持程度，从而在决策时提供更全面的信息。
3. 预测分析：贝叶斯统计学通过更新概率分布，可以对未来的事件进行预测。这使得贝叶斯统计学在金融风险预测、天气预报等领域有着广泛的应用。
贝叶斯统计决策
叶斯统计决策理论是指综合运用决策科学的基础理论和决策的各种科学方法对投资进行分析决策。其应用决策科学的一般原理和决策分析的方法研究投资方案的比选问题,从多方面考虑投资效果,并进行科学的分析,从而对投资方案作出决策。涉及到投资效果的各种评价、评价标准、费用(效益分析)等问题。投资决策效果的评价问题首要的是对投资效果的含义有正确理解,并进行正确评价。
贝叶斯统计中的两个基本概念是先验分布和后验分布。
①先验分布。总体分布参数θ的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于总体分布参数θ的任何统计推断问题中，除了使用样本所提供的信息外，还必须规定一个先验分布，它是在进行统计推断时不可缺少的一个要素。他们认为先验分布不必有客观的依据，可以部分地或完全地基于主观信念。
②后验分布。根据样本分布和未知参数的先验分布，用概率论中求条件概率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据后验分布，而不能再涉及样本分布。
贝叶斯统计(Bayesian statistics)，推断统计理论的一种。英国学者贝叶斯在1763年发表的论文《有关机遇问题求解的短论》中提出。依据获得样本(Xl，X2，…，Xn)之后θ的后验分布π（θ|X1，X2，…，Xn)对总体参数θ作出估计和推断。它不是由样本分布作出推断。其理论基础是先验概率和后验分布，即在事件概率时，除样本提供的后验信息外，还会凭借自己主观已有的先验信息来估计事件的概率。而以R．A．费希尔为首的经典统计理论对事件概率的解释是频率解释，即通过抽取样本，由样本计算出事件的频率，而样本提供的信息完全是客观的，一切推断的结论或决策不允许加入任何主观的先验的信息。以对神童出现的概率P的估计为例。按经典统计的做法，完全由样本提供的信息(即后验信息)来估计，认为参数p是一个“值”。贝叶斯统计的做法是，除样本提供的后验信息外，人类的经验对p 有了一个了解，如p可能取pl与户p2，且取p1的机会很大，取p2机会很小。先验信息关于参数p的信息是一个“分布”，如P(p=p1)=0．9，P(p=p2)=0．1，即在抽样之前已知道(先验的)p取p1的可能性为0．9。若不去抽样便要作出推断，自然会取p=p1。但若抽样后，除非后验信息(即样本提供的信息)包含十分有利于“p—=p2”的支持论据，否则采纳先验的看法“p=p1”。20世纪50年代后贝叶斯统计得到真正发展，但在发展过程中始终存在着与经典统计之间的争论。
统计决策与贝叶斯估计.
f ( x; ) h( | x) m( x )
q ( x | ) ( )
q ( x | ) ( )d
7 February 2019
参数估计
第19页
这个条件分布称为 的后验分布，它集中了 总体、样本和先验中有关 的一切信息。 后验分布h( x1, x2 , …, xn )的计算公式就是 用密度函数表示的贝叶斯公式。它是用总体和 样本对先验分布( )作调整的结果，贝叶斯统 计的一切推断都基于后验分布进行。
R( , d * ) R( , d ), , d , d * D
则称d*(X)为一致最小风险决策函数，或一致 最优决策函数
7 February 2019
参数估计
第8页
例1: 设总体X ~ N (,1), (,), 估计未知参数 ,
解 : 选取损失函数为: L( , d ) (d ) 2 则对的任一估计 d ( X ), 风险函数为 R ( , d ) E [ L( , d )] E (d ) 2
本，求的共轭先验分布
n
( X 1 , X 2 , , X n )T 的似然函数为
xi xi q( x | ) C N (1 ) N xi i 1
i1 (1 )
xi
n
nN
xi
统计决策与贝叶斯分析课程设计
统计决策与贝叶斯分析课程设计
1.课程概述
本课程旨在帮助学生理解统计决策与贝叶斯分析的概念和实际应用，掌握相关方法和工具，能够应用于实际问题的分析和决策中，并为学生提供在数据科学和决策分析等领域进一步发展所需的方法和基础。
2.课程大纲
2.1 统计决策
•概率模型与统计决策
•决策树、贝叶斯决策和最大期望算法
•风险决策和决策分析
•实战应用案例：股票市场投资决策、医学诊断决策
2.2 贝叶斯分析
•概率论预备知识
•贝叶斯定理及其推导
•贝叶斯统计学基本理论
•贝叶斯网络模型及其应用
•实战应用案例：创业公司市场预测、马尔可夫链蒙特卡罗法
3.课程设计
本课程设计包括三个任务模块：
3.1 题目描述
研究一个复杂问题，描述问题的背景、目的以及数据来源。例如，探讨股票市
场中的投资决策问题。
3.2 数据分析
对选定的问题进行数据分析，建立相关模型，给出数据分析结果，并对结果进
行解释和讨论。例如，基于历史数据和风险模型，预测当前市场中股票的涨跌概率，并给出相关理由和解释。
3.3 决策建议
基于数据分析和模型结果，提供针对性的决策建议，包括风险评估和投资建议等。例如，针对涨跌概率、风险系数和市场情况等综合因素，给出明确的投资建议。
4.课程作业
本课程作业包括三个部分：
4.1 数据分析报告
根据选定的问题和数据，撰写数据分析报告，包括数据处理和分析方法、建立
的模型及其参数、分析结果和相关解释等；
4.2 决策建议报告
根据分析结果，给出合理的决策建议报告，包括分析风险和投资建议等；
4.3 课程总结报告
对整个课程的学习和研究成果进行总结，并提出对未来发展的建议和展望。
统计决策与贝叶斯估计
统计决策与贝叶斯估计
一、统计决策
统计决策理论是指从统计上分析和评估各种可能的决策结果，取得最佳决策并做出正确的选择。是将统计学和模型评估与管理决策整合使用的一种科学技术。
统计决策理论(SDT)是一种决策理论，其基本思想是应用统计学方法来分析和评估管理决策的决策潜力，以及各种可行决策结果的后果，从而使得经理能够从最优的角度决策，实现企业的最佳管理效果。
SDT有三个主要特点：
1、科学性：统计决策理论是以科学的方式来分析经济管理决策，使用统计学、经济学、模型评估等方法。
2、系统性：它充分考虑决策要素之间的关系，通过逻辑推理运用现代决策理论，系统地分析和评估决策内容，按照各种可行决策的潜力和可能性，从而使管理者能够选择最佳决策方案。
3、决策性：取决于决策者的主观能力，经过深入的分析评估后，最后从几种可行的决策中，根据客观情况，选择最有利的方案。
贝叶斯估计是一种概率模型，是用来估计未知参数的概率分布，它可以利用已经观察到的数据来改变我们对未知参数的概率的看法，并且可以进一步用来作出预测，从而进行概率预测。
(最新整理)贝叶斯决策理论与统计判决方法
2021/7/26
8
例：鱼的分类
分别输入100组鲈鱼和鲑鱼的亮度、长度数据，作为训练集。输入400组数据作为测试 集，其中200组鲈鱼数据，100组鲑鱼数据。得到以下实验结果（设定鲈鱼先验概率为 0.5，鲑鱼先验概率为0.5）：
鲈鱼错误分类（鲑鱼判决为鲈鱼）：3 鲑鱼错误分类（鲈鱼判决为鲑鱼）：8 错误率：2.75%（3+8/400）
2021/7/26
17
贝叶斯决策理论
贝叶斯决策理论是统计模式识别中的一个基本方法。贝叶斯决策理论方法所讨论 的问题是：
Байду номын сангаас已知总共有c类物体，也就是说待识别物体属于这c类中的一个类别，对这c类不 同的物理对象，以及各类在这d维特征空间的统计分布，具体说来是各类别 ωi=1,2,…,c的先验概率P(ωi)及类条件概率密度函数p(x|ωi)已知的条件下， 如何对某一样本按其特征向量分类的问题。由于属于不同类的待识别对象存在着
13
例：统计模式识别
19名男女同学进行体检，测量了身高和体重，但事后发现 其中有4人忘记填写性别，试问（在最小错误的条件下） 这4人是男是女？体检数值如下：
2021/7/26
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例：统计模式识别
• 待识别的模式：性别（男或女） • 测量的特征：身高和体重 • 训练样本：15名已知性别的样本特征 • 目标：希望借助于训练样本的特征建立判别函数（即数学模型）
模式识别_2贝叶斯决策理论_正态分布时的统计决策
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2S 生课程 仅作本科生课程教学参考使用 本科 程
仅作本科生课程教学参考使用
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第2章 贝叶斯决策理论与统计判别方法
第2章贝叶斯决策理论与统计判别方法模式识别第2章贝叶斯决策理论与统计判别方法武汉大学电子信息学院1
贝叶斯决策理论模式识别学习指南??主要内容是说明分类识别中为什么会有错分类，在何种情况下会出现错分类？错分类的可能性会有多大？在理论上指明了怎样才能使错分类最少？??不同的错分类造成的危害是不同的，有的错分类种类造成的危害更大，因此控制这种错分类则是更重要的。为此引入了一种“风险”与“损失”概念，希望做到使风险最小。要着重理解“风险”与“损失”的概念，以及在引入“风险”概念后的处理方法。武汉大学电子信息学院2
贝叶斯决策理论模式识别理解这一章的关键是要正确理解先验概率，类概率密度函数，后验概率这三种概率，对这三种概率的定义，相互关系要搞得清清楚楚。Bayes公式正是体现这三者关系的式子，要透彻掌握。武汉大学电子信息学院3
贝叶斯决策理论模式识别 2.1 引言??模式识别是一种分类(classify)问题，即根据识别对象所呈现的观察值，将其分到某个类别中去。统计决策理论是处理模式分类问题的基本理论之一，对模式分析和分类器(classifier)的设计起指导作用。贝叶斯决策理论是统计模式识别中的一个基本方法，我们先讨论这一决策理论，然后讨论涉及统计判别方法的一些基本问题。武汉大学电子信息学院4
贝叶斯决策理论模式识别特征向量与特征空间??例：苹果的直径尺寸限定在7厘米到15厘米之间，它们的重量在3两到8两之间变化。如果直径长度x用厘米为单位，重量y以两为单位。那么，由x值从7到15，y值从3到8包围的二维空间就是对苹果进行度量的特征空间。??总体概率分布已知??要决策分类的类别数一定武汉大学电子信息学院5
贝叶斯方法(估计,推断,决策)
例如经典统计学认为参数的无偏估计应满足：
其中平均是对样本空间中所有可能出现的样本而求的， 可实际中样本空间中绝大多数样本尚为出现过，而多 数从未出现的样本也要参与平均是实际工作者难以理 解的。故在贝叶斯推断中不用无偏性，而条件方法是 容易被实际工作者理解和接受的。
1 先验分布 定义3.1 将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值 于Θ的随机变量，它有一概率分布，记为π （θ），称为参数θ的先验分布。
2 后验分布 在贝叶斯统计学中，把以上的三种信息归纳起 来的最好形式是在总体分布基础上获得的样本 X1，…，Xn，和参数的联合密度函数
p(x1,, xn , ) p(x1,, xn ) ( )
π（1.0）=0.4 π（1.5）=0.6 假如检查一卷磁带发现了3个缺陷，求λ的后 验分布。
四、贝叶斯推断（估计）
Ⅰ条件方法
由于未知参数的后验分布是集三种信息（总体、样本 和后验）于一身，它包含了所有可供利用的信息。故 有关的参数估计和假设检验等统计推断都按一定方式 从后验分布提取信息，其提取方法与经典统计推断相 比要简单明确得多。基于后验分布的统计推断就意味 着只考虑已出现的数据（样本观察值）而认为未出现 的数据与推断无关，这一重要的观点被称为“条件观 点”，基于这种观点提出的统计方法被称为条件方法。
P( X 2 0.1)P( 0.1) P( X 2 0.2)P( 0.2)
贝叶斯统计学的基本原理与推断方法
贝叶斯统计学的基本原理与推断方法贝叶斯统计学是一种基于概率论的统计学方法，它以贝叶斯定理为
基础，通过先验概率和观测数据的信息更新来进行概率推断。本文将
介绍贝叶斯统计学的基本原理和推断方法，以及其在实际问题中的应用。
一、贝叶斯定理
贝叶斯定理是贝叶斯统计学的核心，它描述了如何根据新的观测数
据来更新对事物的概率信念。贝叶斯定理可以表示为：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中，P(A|B)表示在已知B发生的条件下，事件A发生的概率；
P(B|A)表示在已知A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)
分别表示事件A和事件B的边缘概率。
二、贝叶斯推断方法
在贝叶斯统计学中，推断的目标是通过观测到的数据来更新事物的
概率分布。贝叶斯推断方法主要包括贝叶斯估计和贝叶斯决策。
1. 贝叶斯估计
贝叶斯估计是通过观测到的数据来估计参数或未知变量的概率分布。在贝叶斯估计中，我们首先需要定义先验概率分布，即在观测数据之
前对参数或未知变量的概率分布的假设。然后，通过观测数据计算后
验概率分布，即在观测数据之后对参数或未知变量的概率分布的更新。
贝叶斯估计充分利用了先验信息和观测数据，可以得到更准确的估计结果。
2. 贝叶斯决策
贝叶斯决策是在已知概率分布的基础上做出最优决策的方法。在贝叶斯决策中，我们需要先定义损失函数，即对于不同的决策结果，所带来的损失或成本。然后，通过计算条件概率分布和损失函数，选择使期望损失最小的决策结果。贝叶斯决策可以有效地处理带有不确定性的决策问题。
三、贝叶斯统计学的应用
统计学中的贝叶斯统计方法
统计学中的贝叶斯统计方法
统计学中的贝叶斯统计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。它是以英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）命名的，贝叶斯定
理是该方法的核心。
贝叶斯统计方法与经典统计学（频率派统计学）不同，它更注重主
观概率和先验知识的引入。在贝叶斯统计中，我们可以使用先验概率
来描述我们对未知参数的先前信念或经验。然后，通过考虑新的观测
数据，我们可以更新我们的信念，并获得后验概率。这一过程可以通
过贝叶斯定理实现。
贝叶斯定理可以表达为：
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
其中，P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在
A发生的条件下B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B的边际概率。
贝叶斯统计方法的主要优势在于它能够将先验知识与观测数据相结合，提供更准确的推断结果。具体而言，贝叶斯统计方法可以解决以
下几个问题：
1. 参数估计：在贝叶斯统计中，我们可以通过先验分布来描述参数
的不确定性。然后，根据观测数据，我们可以计算出参数的后验分布，从而获得对参数的准确估计。
2. 假设检验：贝叶斯统计方法可以将假设检验问题转化为计算假设的后验概率。通过比较不同假设的后验概率，我们可以确定哪个假设更为合理。
3. 模型选择：在贝叶斯统计中，我们可以使用模型的边际似然或边际概率来比较不同模型的拟合好坏。这有助于我们选择最合适的模型来解释观测数据。
4. 不确定性量化：贝叶斯统计方法可以提供对参数和模型不确定性的准确量化。通过参数的后验分布或模型的边际概率，我们可以获取参数估计的置信区间或模型选择的不确定性范围。
统计贝叶斯方法在决策分析中的应用
统计贝叶斯方法在决策分析中的应用统计贝叶斯方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，它在决策
分析中具有广泛的应用。贝叶斯方法的核心理念是将先验信息与观测
数据相结合，通过不断迭代更新概率分布，得出对未知参数或未来事
件的后验概率分布。本文将探讨统计贝叶斯方法在决策分析中的应用，并讨论其优势和局限性。
一、贝叶斯决策分析简介
贝叶斯决策分析是一种以概率为基础的决策分析方法。它允许决策
者在不确定的环境中，通过将概率模型与决策模型相结合，做出最优
的决策。贝叶斯决策分析通常包括以下几个步骤：
1. 收集信息：获取相关的数据和先验知识。
2. 确定决策模型：定义决策变量和目标函数，建立决策模型。
3. 建立概率模型：根据先验知识和观测数据，建立贝叶斯概率模型。
4. 更新概率分布：通过贝叶斯定理，将先验概率分布与新观测数据
相结合，得到后验概率分布。
5. 做出决策：根据目标函数，选取后验概率最大的决策。
二、统计贝叶斯方法在决策分析中的应用
1. 模式识别：统计贝叶斯方法在模式识别领域被广泛应用。通过将
先验概率和观测数据结合，可以有效地进行图像识别、语音识别等任
务。例如，在人脸识别中，贝叶斯方法可以通过学习先验概率和观测数据，对人脸进行准确的识别和分类。
2. 健康风险评估：统计贝叶斯方法在健康风险评估中非常有用。通过将患病先验概率和医学检测结果相结合，可以准确地评估一个人的患病风险。例如，在乳腺癌检测中，贝叶斯方法可以根据乳腺癌的先验概率和乳腺摄影检查结果，对患者的乳腺癌风险进行评估。
3. 金融风险管理：统计贝叶斯方法在金融风险管理领域有着重要的应用。通过将市场数据和经济指标与先验概率相结合，可以对金融市场的风险进行准确的评估和预测。例如，在股票市场中，贝叶斯方法可以根据股票的历史数据和市场因素，对未来股票价格的涨跌进行预测。
统计决策与贝叶斯分析第三章先验分布的确定
使用直方图法时应注意
在实际绘制直方图时，需要考虑区间如何划分才比较恰当，而关于 分多少个区间以及每个区间的大小没有统一的标准。如果划分太细，会 增加估计概率的困难程度;如果划分太粗，则绘制的密度函数将会很粗 糙。因此，要根据问题的实际情况来确定如何划分。另外，借助直方图
得到的密度函数曲线 ( ) 是由各区间上的光滑曲线连接而成，因而并
由 =1400， P( 1600) =0.125 可得 P( 1600) = (200) =0.875
即 =174，销售量 ~ N (1400,1742 )
所以 P( 1150) 0.076 。
注意事项
（1）不管按照什么方法确定的主观概率必须满足概率的三 条公理：
①非负性公理：对任意事件A，0≤P(A)≤1。 ②正则性公理：必然事件的概率为1。 ③可列可加性公理：对可列个互不相容的事件
观似然性，最后由此相对似然性描绘出先验密度。这种方法获得的先 验密度图形的精确度会随着点的增多而提高。
4.设定先验密度，估计未知参数
这种方法思路是：先选定一个先验密度（其中含有未知参数， 即超参数），然后根据已有信息计算先验密度中的未知参数，最后得 到参数的先验密度。
【例 3.1.4 】 假设对某种商品的需求量 选取先验分布为
N (, 2 ) ，根据以往的销售情况可知，最有可能的需求量是 100，
经济统计学中的贝叶斯统计分析
经济统计学中的贝叶斯统计分析
贝叶斯统计分析是经济统计学中一种重要的分析方法，它基于贝叶斯定理，通
过先验概率和观测数据来更新概率分布，从而得出更准确的统计推断结果。本文将从贝叶斯统计分析的基本原理、应用领域和优势等方面进行探讨。
一、贝叶斯统计分析的基本原理
贝叶斯统计分析的基本原理是贝叶斯定理，即在观测到数据之前，我们对待估
计的参数有一个先验概率分布。当我们观测到数据后，根据贝叶斯定理，我们可以通过将先验概率与似然函数相乘，得到后验概率分布。后验概率分布包含了我们对参数的新的估计，它综合了先验信息和观测数据，使得我们的估计更加准确和可靠。
二、贝叶斯统计分析的应用领域
贝叶斯统计分析在经济统计学中有广泛的应用。首先，贝叶斯统计分析可以用
于经济预测和决策分析。通过建立经济模型，我们可以利用贝叶斯统计分析来对未来的经济变量进行预测，从而帮助决策者做出更明智的决策。其次，贝叶斯统计分析可以用于经济政策评估。通过对政策实施前后的数据进行比较，我们可以利用贝叶斯统计分析来评估政策的效果，为政策制定者提供科学的依据。此外，贝叶斯统计分析还可以用于经济风险评估和金融市场分析等领域。
三、贝叶斯统计分析的优势
相比于传统的频率统计方法，贝叶斯统计分析具有以下几个优势。首先，贝叶
斯统计分析可以很好地处理小样本问题。在小样本情况下，传统的频率统计方法可能会出现估计不准确的问题，而贝叶斯统计分析可以通过引入先验信息来提高估计的准确性。其次，贝叶斯统计分析可以很好地处理参数不确定性问题。在实际应用中，经济变量的参数通常是未知的，传统的频率统计方法只能给出一个点估计，而贝叶斯统计分析可以给出参数的整个概率分布，从而更全面地描述参数的不确定性。
统计决策与贝叶斯推断概述
Bayes统计中意义就不同 了，其表示条件分布。
定义6.1 若函数 h(和x) 相g比(x)仅差一个常 数因子，则称 为h(x的) 核g，(x记) 为
h(x) g(x)
例如
正态分布N
(
,
2
)的核是
exp{
(
x 2 2
)
2
},
x
均匀分布U (a, b)的核是1, a x b
( , )分布的核是x 1ex , x 0
j 1
(2 | 0)
(2 )P{X 0 | 2}
2
0.8235
( j )P{X 0 | j}
j 1
这样样本空间 H 1,0，行动空间 Aa1, a2，所以
决策函数只有以下4个
d1(x)
a1 , x1 a2 , x0
d2 (x)
a1 , x 1 a2 , x 0
d3(x) a1,x H
采取的行动 画的状态
真品
赝品
买 +5000 -6000
不买 -3000 0
现在，这位收藏家需要决定是买还是不买这幅画？
(1) 如果收藏家有以下三种决策可供选择： d：1 以概率0.5买下这幅画；
0.d9：25请识一别位一鉴幅赏真家画进，行以鉴概定率（0已.7知识该别鉴一赏幅家假以画概）率，如 果鉴赏家鉴定为真品就买下这幅画；
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n 若取d ( X ) X 1 , 则R( , d ) DX1
参数估计
第10页
问题总结
1 风险函数是二元函数，极值往往不存在或不唯
一 2 在某个区间内的逐点比较不现实（麻烦） 3 对应不同参数的，同一决策函数，风险值不相 等 4 由统计规律的特性决定不能点点比较 5 必须由一个整体指标来代替点点比较
n
1 2 2
2 ( x ) ] i i 1
n
(
1
) 2
n/2
exp[
2 ( x ) ] i i 1
1 1 2 ( ) ( 2 ) exp[ 2 ](为倒分布） ( )
4 November 2017
参数估计
第23页
例9 X1, X2 , …, Xn来自二项分布B(N , )的一个样
若要求d ( X )是无偏估计, 即E (d ( X )) , 则风险函数为: R( , d ) E (d Ed ) 2 D (d ( X )) 即风险函数为估计量 d ( X )的方差,
1 若取d ( X ) X , 则R( , d ) D X n 若取d ( X ) X 1 , 则R( , d ) DX1 1 显然, 当n 1时, 后者的风险比前者大 , X 优于X 1
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参数估计
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2 风险函数 决策函数 d(X)，完全取决于样本，损失函数 L(, d) 也 是样本X 的函数,当样本取不同的值x时，决策 d(X) 可能不 同，所以损失函数值 L(, d) 也不同，不能判断决策的好坏， 一般从总体上来评价、比较决策函数，取平均损失，就是 风险函数 定义3.2 设样本空间，分布族分别为X，F*，决策空间为A， 损失函数为 L(, d), d(X)为决策函数,
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2)先验分布
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利用先验信息的前提 （1）参数是随机的，但有一定的分布规律 （2）参数是某一常数，但无法知道 目标：充分利用参数的先验信息对未知参数作出更 准确的估计。 贝叶斯方法就是把未知参数视为具有已知分布的随 机变量，将先验信息数字化并利用的一种方法， 一般先验分布记为( )
R( , d ) E [L( , d ( X ))]
为决策函数d(X)的风险函数， R(, d),表示采取决策d(X)所 蒙受的平均损失（ L(, d)的数学期望）
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优良性准则 定义3.3 设d1, d2 是统计问题中的两个决策函数， 若其风险函数满足不等式
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4）共轭先验分布
定义：设总体X 的分布密度为 p(x|
),
F*为 的一个分布族， ( ) 为 的任意 一个先验分布， ( ) ∈ F*,若对样本的任 意观测值x, 的后验分布h( |x)仍在F*内， 称F*为关于分布密度 p(x| )的共轭先验分
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3)贝叶斯公式的密度函数形式(后验分布）
)在贝叶斯统计中 记为P (x | )，它表示在随机变量θ取某个给定值 时总体的条件概率密度函数； P (x ; )= P (x | ) 根据参数 的先验信息确定先验分布( )；
设总体X 的分布密度函数P (x ; 样本 x1, x2 , …, xn 的联合条件分布密度函数为
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二、统计决策函数及风险函数
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1 统计决策函数 定义3.1 ：定义在样本空间上X，取值于决策空 间A 内的函数d(x)，称为统计决策函数，简称 决策函数 决策函数就是一个行动方案，如果用表达 式处理， d(x)= d(x1,x2,…xn)本质上就是一个统 计量
简记为 f (x, ) = q(x )( ) 这个联合分布把总体信息、样本信息和先验 信息三种可用信息都综合进去了；
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在有了样本观察值 x1, x2 , …, xn 之后，则应依
据 f (x, )对 作出推断。由于 f (x, ) =h( x1,x2 ,…,xn )m(x1,x2 ,…,xn)， 其中m(x1,x2 ,…,xn) 是x1, x2 , …, xn 的边际概率函 数，它与 无关。因此能用来对 作出推断的仅 是条件分布h( x1, x2 , …, xn)，它的计算公式是
R( , d * ) R( , d ), , d , d * D
则称d*(X)为一致最小风险决策函数，或一致 最优决策函数
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例1: 设总体X ~ N (,1), (,), 估计未知参数 ,
解 : 选取损失函数为: L( , d ) (d ) 2 则对的任一估计 d ( X ), 风险函数为 R ( , d ) E [ L( , d )] E (d ) 2
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（1）总体信息:总体分布提供的信息。 （2）样本信息:抽取样本所得观测值提供的信息。 （3）先验信息:人们在试验之前对要做的问题在经 验上和资料上总是有所了解的，这些信息对 统计推断是有益的。先验信息即是抽样（试 验）之前有关统计问题的一些信息。一般说 来，先验信息来源于经验和历史资料。先验 信息在日常生活和工作中是很重要的。
R( , d1 ) R( , d2 ),
则称决策函数d1 优于d2
若R( , d1 ) R( , d2 ), , 则称d1 , d2等价
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定义3.4 设D={d(X)}是一切定义在样本空间X 上，取值于决策空间A 上的决策函数全体， 若存在一个决策函数d*(X)，使对任意一个d(X) 都有
q( x | ) p( xi | )
i 1
n
这个分布综合了总体信息和样本信息；
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0 是未知的，它是按先验分布( )产生的。 为把先验信息综合进去，不能只考虑0，对
的其它值发生的可能性也要加以考虑，故要 用( )进行综合。这样一来，样本x1 , …, xn和 参数 的联合分布为: f (x1, x2 , …, xn, ) = q(x1, x2 , …, xn )( )，
f ( x; ) h( | x) m( x )
q ( x | ) ( )
q ( x | ) ( )d
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这个条件分布称为 的后验分布，它集中了 总体、样本和先验中有关 的一切信息。 后验分布h( x1, x2 , …, xn )的计算公式就是 用密度函数表示的贝叶斯公式。它是用总体和 样本对先验分布( )作调整的结果，贝叶斯统 计的一切推断都基于后验分布进行。
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1、统计决策
一、统计决策的三个要素
1 样本空间和分布族 设总体X的分布函数为 F (x; ) ,是未知参数，若设X1 , …, Xn 是来自总体X的一个样本，则样本所有可能值组成的集合称 为样本空间，记为X
联合分布函数 F ( x; ) F ( xi ; ),
i 1 n
记F { F ( xi ; ), },
* i 1
n
则称F *为样本的概率分布族
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2 决策空间（判决空间） 对于任何参数估计，每一个具体的估计值，就是一 个回答，称为一个决策，一个统计问题中可能选取的全 部决策组成的集合称为决策空间，一个决策空间至少应 有两个决策。 3 损失函数 统计决策的一个基本假定是，每采取一个决策，必 然有一定的后果，统计决策是将不同决策以数量的形式 表示出来
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2.贝叶斯估计
1)统计推断的基础
经典学派的观点：统计推断是根据样本信息对 总体分布或总体的特征数进行推断，这里用到 两种信息：总体信息和样本信息； 贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外， 统计推断还应该使用第三种信息：先验信息。
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1 (1 ) 1
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2
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例8 X1, X2 , …, Xn来自正态分布N( , )的一个样本，
其中 已知，求方差2的共轭先验分布
( X 1 , X 2 , , X n )T 的似然函数为 q( x | )
2
1 ( 2 ) n 1 2 2
exp[
引入一个依赖参数 , 和决策d的二元函数 L( , d ) 0, 称为损失函数
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常见的损失函数有以下几种
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k0 ( d ), d （1）线性损失函数 L( , d ) k1 (d ), d
绝对损失函数 L( , d ) | d | （2）平方损失函数 L( , d ) ( d ) 2 （3）凸损失函数 L( , d ) ( )W (| d |) （4）多元二次损失函数 L( , d ) (d )T A(d )
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例2 设总体X ~ P( x; ), 估计未知参数 , 选取损失函数为: L( , d ) (d ) 2 则对的任一估计d ( X ), 风险函数为 R( , d ) E [ L( , d )] E (d ) 2 若要求d ( X )是无偏估计, 即E (d ( X )) , 则风险函数为: R( , d ) E (d Ed ) 2 D (d ( X )) 若取d ( X ) X , 则R( , d ) D X 显然, 当n 1时, 风险不同
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贝叶斯学派的基本观点：任一未知量 都可看 作随机变量，可用一个概率分布去描述，这个 分布称为先验分布；在获得样本之后，总体分 布、样本与先验分布通过贝叶斯公式结合起来 得到一个关于未知量 新的分布—后验分布； 任何关于 的统计推断都应该基于 的后验分 布进行。
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基于上述三种信息进行统计推断的统计学称为 贝叶斯统计学。它与经典统计学的差别就在于 是否利用先验信息。贝叶斯统计在重视使用总 体信息和样本信息的同时，还注意先验信息的 收集、挖掘和加工，使它数量化，形成先验分 布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的 质量。忽视先验信息的利用，有时是一种浪费， 有时还会导出不合理的结论。
布族，简称共轭族。 计算共轭先验分布的方法
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当给定样本的分布（似然函数）q (x | ) 和先验分布( )；由贝叶斯公式得 h(x| ) = ( ) q( x )/m(x) 由于m(x)不依赖于, 改写为 h(x| ) ∝( ) q( x ) 上式不是正常的密度函数,是h(x| ) 的主要 部分,称为h(x| ) 的核
本，求的共轭先验分布
n
( X 1 , X 2 , , X n )T 的似然函数为
xi xi q( x | ) C N (1 ) N xi i 1
i1 (1 )
ຫໍສະໝຸດ Baidui
n
nN
xi
i 1
n
所以的先验分布为贝塔 分布Be( , ), 其核为