第八章 多元函数微分学课件

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为该点的第i个坐标,n维空间记为 n . n维空间中两点 P(x1,x2, ,xn)及 Q(y1,y2, ,yn)间
的距离规定为 P Q (y 1 x 1 )2 (y 2 x 2)2 (y n x n)2
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二、多元函数概念
例题 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为
任何两点，都可用折线连结起
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P E 图 8-2
来,而且该折线上的点都属于D, 则称开集D是连通的.
连通的开集称为区域或开区域. 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域.
3.n维空间
设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
(x1,x2, ,xn)的全体为n维空间,而每个有序n元数 组 (x1,x2, ,xn)称为n维空间中的一个点,数 x i 称
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y)对自变量x
的偏导函数，记作
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z, x
fx,zx或fx(x,
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任意二点 P1 , P 2 ，只要当 P1 P2 时，都有
成立.
f(P1)f(P2)
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P 0 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内， 则极限值就是函数在该点函数值，即
Pli m P0 f(P)f(P0)
在D上至少有一点 P 1 及一点 P 2 ，使得 f ( P1 ) 为最 大值而f ( P 2 ) 为最小值，即对于一切P∈D，有
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f(P 2)f(P)f(P 1) 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的
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三、多元函数的极限
二元函数 z f (x, y)当 x x0 , y y0,即
P(x,y) P 0(x0,y0)时的极限.
这里P P0 表示点 P
以任何方式趋于 P
，也就
0
是点 P 与点 P 0 间的距离趋于零，即
PP0 (xx0)2(yy0)2 0
定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域） 内有定义，P0 (x0,y0) 是D的内点或边界点如果 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得 对于适合不等式
例题
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第二节 偏导数
一.偏导数的定义及其计算方法
二.高阶偏导数
习题
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一、偏导数的定义及其计算方法
定义 设函数 z f (x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 的某 一邻域内有定义，当y固定在 y 0 而x固定在 x 0 处
有增量Δx 时，相应地函数有增量
f(x0 x,y0)f(x0,y0)
如果
limf(x0x,y0)f(x0,y0) （1）
x 0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y)在点
( x0 , y 0 ) 处对x的偏导数 ，记作
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z f
x
xx0 yy0
,
x
xx0 yy0
,
zx
xx0 或fx(x0, y0)
yy0
例如，极限(1)可以表示为
fx(x0,y0) lixm 0f(x0 x,y 0x )f(x0,y0) (2)
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0PP 0 (xx0)2(yy0)2
的一切点P(x,y)∈D，都有
f (x, y)A
成立，则称常A为函数f(x,y)当x x0 ，y y0 时的极限，记作
limf (x, y) A
xx0
或
f(x,y)A ( 0)
这里 P P0 .
例题
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四、多元函数的连续性
函数
f
(x,
y)
x2
xy y2
,
x2
y2
0
0, x2 y2=0
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当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是 该函数的一个间断点.
函数
1 z sin
x2 y2 1
在圆周 x2 y2 1上没有定义，所以该圆周上各 点都是间断点，是一条曲线.
性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区 域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和 最小值.
类似地,函数 z f (x, y)在点 ( x0 , y 0 ) 对y的偏导
数定义为
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limf(x0x,y0)f(x0,y0)
x0
y
(3)
记作
z f
x
xx0 yy0
,
x
xx0 yy0
,
zx
xx0 或fx(x0, y0)
yy0
如果函数 z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)
定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D
内有定义，P0 (x0 , y0 )是D的内点或边界点且 P0 D .
如果
xl im x0 f(x,y)f(x0,y0)
yy0
则称函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )连续.
若函数f(x,y)在点 P0 (x0 , y0 )不连续，则称 P 0 为 函数f(x,y)的间短点.
第八章 多元函数微分学课件
2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个
点.如果存在点P的某一邻域U ( P ) 使U(P)E， 则称P为E的内点(图8-1).
如果点集E的点都是内点，则 称E为开集.
如果点P的任一邻域内既有属
P
于E的点，也有不属于E的点，
E 图 8-1
则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的
zf(x ,y)或 zf(P )
点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z
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也称为因变量,数集
{zzf(x,y),(x,y)D }
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 uf(x1,x2, ,xn).当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.