高考高三2月内部特供卷 文科数学(二)教师版

金戈铁骑
2019届高三2月份内部特供卷
文科数学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =I （ ） A ．()0,2 B ．()2,0 C ．(){}0,2
D ．(){}2,0
【答案】D
【解析】解方程组22x y x y +=⎧⎨-=⎩，得2
0x y =⎧⎨=⎩
．故(){}2,0M N =I ．故选D ．
2．若双曲线2
21y
x m
-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ） A ．22 B ．8
C ．9
D ．64
【答案】B
【解析】∵双曲线22
1y x m
-=的一个焦点为()3,0-，∴()2
1398m m +=-=⇒=，故选B ．
3．已知函数()()221,1
log 1,1
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则
73f f ⎡
⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（ ） A ．13
B ．
43
C ．
12
D ．1
【答案】A
【解析】由()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩得
22774log 1log 333f ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则24
log 3
27441log 2
1333
13f f
f ⎡
⎤⎛⎫⎛-⎫==-= ⎪ ⎪⎢=⎥⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦，故选A ． 4．已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1 B ．2
C ．
1
2
D ．
22
【答案】D
【解析】设a 与b 的夹角为θ，∵()⊥-a a b ，
∴()20⊥-=-⋅=a a b a a b ，2cos 0θ-⋅=a a b ，∴2cos 2
θ= ∴向量a 在b 方向上的投影为2
cos 2
θ⋅=
a ．故选D ． 5．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A ．2n B ．22n C ．2n 或22n D ．2n 或42n -
【答案】C
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列， ∴2215a a a =，即()()2
2224d d =++，解得0d =或4． ∴2n a =，或()24142n a n n +-=-=． 当0d =时，数列{}n a 的前n 项和为2n ； 当4d =时，则数列{}n a 的前n 项和为()212422
n n n n -+
⨯=．故选C ．
6．函数()1ln f x x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
此
卷
只装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
【答案】B
【解析】令211
0x x x x --=>，得10x -<<或1x >，故排除选项A 、D ，
由()132ln 2ln 022f ⎛
⎫=-=> ⎪⎝
⎭，故排除选项C ，故选B ．
7．设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r
，则（ ）
A ．PA P
B =-u u u r u u u r B ．PA P
C =-u u u r u u u r C ．PB PC =-u u u r u u u r
D ．PA PB PC +=-u u u r u u u r u u u r
【答案】B
【解析】2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r 移项得2BC BA BP +-=u u u r u u u r u u u r
0， 则BC BP BA B PC P P A -=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
0，故选B ．
8．下列命题正确的是（ ）
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，∴A 错；
一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错； 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确．
9．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
()01k k k >≠且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足
2PA PB
=，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ）
A ．22
B ．2
C ．
22
D ．
2 【答案】A
【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；
则()1,0A -，()1,0B ，设(),P x y ，∵
2PA PB
=()()2
2
2
2
121x y x y ++-+，
两边平方并整理得：()2
22261038x y x x y +-+=⇒-+= ， ∴PAB △面积的最大值是1
222222
⨯⨯=A ．
10．已知函数()22sin 2sin cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期和一个单调递减区间分别为（ ） A ．2π，3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2π，π3π,88⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C ．π，3π7π,88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．π，π3π,88⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】由()2π2sin 2sin cos sin 2cos 212214f x x x x x x x ⎛
⎫=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
∴()f x 的最小正周期2π
π2
T ==， 当
ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+时函数单调递减，解得3π7πππ88
k x k +≤≤+，()k ∈Z ， 当0k =时，得()f x 的一个单调减区间3π7π,88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．故选C ．
11．设函数()22x x f x -=-，则不等式()()120f x f x -+>的解集为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞
C ．1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】根据题意，函数()22x x f x -=-，
则()()
()2222x x x x f x f x --=---=--=，()f x 为奇函数，
又由()22x x f x -=-，其导数为()()
22ln20x x f x -'+>=，则函数()f x 在R 上为增函数， 则()()()()()()120121212f x f x f x f x f x f x x x -+>⇒->-⇒->-⇒->-， 解可得1x <，即不等式的解集为(),1-∞；故选A ．
12．在底面是边长为2的正方形的四棱锥P ABCD -中，点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中
金戈铁骑
心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为2，若四棱锥P ABCD -的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则r
R
=（ ） A ．
23
B ．
25
C ．
12 D ．13
【答案】B
【解析】如图，E ，F 为AB ，CD 的中点，
由题意，P ABCD -为正四棱锥，底边长为2，
∵BC AD ∥，∴PBC ∠即为PB 与AD 所成角，可得斜高为2， ∴PEF △为正三角形，正四棱锥P ABCD -的内切球半径， 即为PEF △的内切圆半径，可得3
3
r =，
设O 为外接球球心，在Rt OHA △中，(
)
2
223R R =+-，解得53
6
R =
， ∴2
5
r R =，故选B ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数x ，y 满足约束条件0
10x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为__________．
【答案】2
【解析】作出不等式组010x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域，如图：
由10x y x +=⎧⎨=⎩
可得()0,1A ，作直线0:20l x y +=并平行移动，
当直线经过()0,1A 时z 取得最大值，max 0212z =+⨯=． ∴2z x y =+的最大值为2．
14．函数()()3e x f x x =-的单调递增区间是 ． 【答案】()2,+∞
【解析】()()()()()()3e 3e e 3e 2e x x x x x f x x x x x '+=+=''=----，令()0f x '>，即()e 02x x ->， ∴20x ->，∴2x >．∴单调递增区间是()2,+∞．
15．四棱锥的三视图如图所示（单位：cm ），则该四棱锥的体积是__________3cm ．
【答案】12
【解析】由三视图得到几何体如图：
体积为1
334123⨯⨯⨯=；故答案为12．
16．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且3PM MF =u u u u r u u u u r
，则直线OM 斜率的最大值为__________．
【答案】
3
【解析】由题意可得,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，设2
00,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
显然当00y <，0OM k <；当00y >，0OM k >． 要求OM k 的最大值，设00y >，
则()
1144OM OF FM OF FP OF OP OF =+=+=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，200133,44884y y p OP OF p ⎛⎫
+=+
⎪⎝
⎭u u u r u u u r ， 可得0022
0023
4
3388
OM y y k y y p p p p
=
=
≤
++，当且仅当2203y p =，取得等号． 故答案为3
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos cos cos a C b A b c A -=-． （1）求角A 的值；
（2）若ABC △的面积为33，且7b c +=，求ABC △外接圆的面积． 【答案】（1）
π3；（2）13π
3
． 【解析】（1）∵()cos cos cos a C b A b c A -=-．
∴由正弦定理得()sin cos sin cos sin cos cos A C B A B C A -=-， ∴()sin 2sin cos C A B A +=，
∵πA B C ++=，∴()sin sin C A B -=，∴1cos 2
A =， 又∵()0,πA ∈，π
3
A =； （2）由（1）知π3
A =
，∴由余弦定理()2
2222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-， 又1
sin 332
ABC S bc A ==△，∴12bc =，
又7b c +=，∴13a =， 又∵
2sin a R A =，∴133R =，13π3
S =． 18．（12分）已知数列{}n a 满足()
*2n n S a n n =-∈N ． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；
（2）令()1n n b n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ． 【答案】（1）见解析；（2）()1122n n T n +=-+．
【解析】（1）由1121S a =-得11a =，
∵()()()()112212n n n n S S a n a n n ---=----≥， ∴121n n a a -=+，从而由()1121n n a a -+=+得
()11
221
n n a n a -+=≥+，
∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）得21n n a =-，2n n b n =⋅，
∴231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅L ，233121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅L ． ∴()1122n n T n +=-+．
19．（12分）如图，在直角三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点，12BB AB BC ===，1C F AB ⊥．
（1）求证：1C F ∥平面ABE ； （2）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （3）求三棱锥1C ABE -的体积．
金戈铁骑
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
2
3
． 【解析】（1）取AB 中点M ，连EM ，MF ， 则MF AC ∥，1
2MF AC =． ∵1EC AC ∥，11
2
EC AC =
， ∴四边形1EGFC 是平行四边形，∴1C F EM ∥． ∵1C F ⊄平面ABE ，EM ⊂平面ABE ， ∴1C F ∥平面ABE ；
（2）在直三棱柱中1CC AB ⊥，
又1C F AB ⊥，1C F ，1C C ⊂平面11BCC B ，111CC C F C =I ， ∴AB ⊥平面11BCC B ，
又∵AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ； （3）11112
222323
C ABE B AC E V V --==⋅⋅⋅⋅=．
20．（12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>经过点()0,1M -，长轴长是短轴长的2倍．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 经过点()2,1N 且与椭圆C 相交于A ，B 两点（异于点M ），记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，证明：12k k +为定值．
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）见解析．
【解析】（1）∵椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>经过点()0,1M -，∴1b =．
又∵24a b =，∴2a =．
椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=．
（2）若直线AB 的斜率不存在，则直线的方程为2x =， 此时直线与椭圆相切，不符合题意．
设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+．
联立22
2114
y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()
()2221482116160k x k k x k k +--+-=． 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则()()211212121212
222211x kx k x kx k y y k k x x x x -++-++++=
+= ()()
()()
12121212
12
222222kx x k x x k x x k x x x x --+-+=
=-
()()
()
()2282122211161k k k k k k k k -⋅-=-
=--=-．
∴12k k +为定值，且定值为1．
21．（12分）已知函数()2ln f x ax x x =-+，记()y f x =在点()00(,x f x 处的切线为l ．
（1）当0a >时，求()()()1g x f x a x =-+在[)1,+∞上的最小值；
（2）当0a <时，求证：函数()y f x =的图像（除切点外）均为切线l 的下方． 【答案】（1）()min
1ln 1,01
2,
1a a g x a
a ⎧
---<<⎪=⎨⎪-≥⎩；（2）见解析． 【解析】（1）()()2ln 1g x ax x x a x =-+-+，()1x ≥，
()()()()()2111
'2110x ax g x ax a a x x --=-+
-+=>， ①当01a <<时，1
1>，
x
11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
()g x '
-
+
()g x
单调递减 极小值 单调递增
∴()()2min 111111ln 1ln 1g x g a a a a a a a a a ⎛⎫
==⋅-+-+=--- ⎪⎝⎭
；
②当1a ≥时，
1
1a
≤，在[)1,+∞上，()'0g x >，()g x 在[)1,+∞上单调递增， ∴()()min 12g x g ==-， 由①②知，∴()min
1ln 1,01
2,
1a a g x a
a ⎧
---<<⎪=⎨⎪-≥⎩； （2）设切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-， 记()()()()()0000h x f x f x x f x x f x =-+-''．
()00h x =，()()()0h x f x f x ''-'=，()00h x '=， ()()21
20h x f x a x
==-'''<'，
()h x '在()0,+∞上单调递减．
()00,x x ∈，()0h x '>，()h x 在()00,x 上单调递增， ()0,x x ∈+∞，()0h x '<，()h x 在()0,x +∞上单调递减． ∴()()0max 0h x h x ==，
即()()()()000f x f x x x f x -'≤+，当且仅当0x x =时取“=”． 故命题成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy
中，曲线12cos :x C y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的
极坐标系中，曲线(
)2:cos sin C ρθθ-= （1）写出曲线1C 和2C 的普通方程；
（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值．
【答案】（1）22
1:143x y C +=
，2:0C x y --；
（2
【解析】（1）22
1:143
x y C +=
，2:0C x y --；
（2
）设()
2cos M θθ，
结合图形可知：MN 最小值即为点M 到直线2C 的距离的最小值．
∵M 到直线2C
的距离
d ，
∴当()sin
1θϕ+=时，d 最小，即min MN 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知0a >，0b >，0c >，函数()f x a x x b c =-+++． （1）当1a b c ===时，求不等式()3f x >的解集； （2）当()f x 的最小值为3时，求
111
a b c
++的最小值． 【答案】（1）{}
11x x x <->或；（2）3． 【解析】（1）()111f x x x =--++，
∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1
213x x ≥⎧⎨+>⎩
，解得{}
11x x x <->或．
（2）()3f x x a x b c a x x b c a b c a b c =-+++≥-+++=++=++=， ()11111111333b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
322233
≥
+++=． 当且仅当1a b c ===时取得最小值3．
【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末数学（文）试题用稿】。