浙江金兰教育合作组织2019-2020年高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析

浙江金兰教育合作组织2019－2020年度第一学期高一数学期中考试试卷一、选择题(本大题共10小题)1.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2＜9},则A∩B＝()A.1,2,B.1,C. D.2.幂函数f(x)＝k•xα的图象过点,则k＋α＝()A. B.1 C. D.23.若a＝20.3,b＝logπ3,c＝log40.3,则()A. B. C. D.4.函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.5.函数y＝的图象大致为()A. B.C. D.6.已知函数,则等于()A. B.0 C.1 D.27.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝x2－3x.则方程f(x)－x＋3＝0的解集()A.1,B.1,C.1,D.8.若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞,－2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A. B.C.,D.9.已知函数f(x)＝e x－1,g(x)＝－x2＋4x－3,若存在f(a)＝g(b),则实数b的取值范围为()A. B. C. D.10.已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2,g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x),g(x)},H2(x)＝min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A－B＝()A.16B.C.D.二、填空题(本大题共7小题,共36.0分)11.已知全集R,集合A＝{x|y＝ln(1－x)},B＝{x|2x(x－2)＜1},则A∪B＝______,A∩(∁R B)＝______.12.函数的定义域为______,值域为______.13.已知函数,则f(f(－2))＝______；若f(x)＝2,则实数x的值是______.14.已知函数是奇函数,则实数m的值是______；若函数f(x)在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立,则实数a的取值范围是______.15.计算：＝______.16.已知函数f(x)＝若存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f(x1)＝f(x2),则x1f(x2)的取值范围是______ .17.已知奇函数f(x)＝(a－x)|x|,常数a∈R,且关于x的不等式mx2＋m＞f[f(x)]对所有的x∈[－2,2]恒成立,则实数m的取值范围是______.三、解答题(本大题共5小题,共74.0分)18.已知全集为R,设集合A＝{x|(x＋2)(x－5)≤0},,C＝{x|a＋1≤x≤2a－1}.(1)求A∩B,(∁R A)∪B；(2)若C⊆(A∩B),求实数a的取值范围.19.已知函数.(1)求f(x)的定义域；(2)当x∈(1,＋∞),①求证：f(x)在区间(1,＋∞)上是减函数；②求使关系式f(2＋m)＞f(2m－1)成立的实数m的取值范围.20.经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50,t∈N).前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30,t∈N),后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50,t ∈N).(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值.21.已知函数f(x)＝x2＋ax＋a＋1.(1)若函数f(x)存在两个零点x1,x2,满足x1＜1＜x2＜3,求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(2x)＝0有实数根,求实数a的取值范围.22.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5.(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值；(2)若a≤1,求函数y＝|f(x)|在[0,1]上的最大值.答案和解析1.【参考答案】D【试题分析】本题考查交集的求法,是基础题,解题时注意交集定义的合理运用.先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出A∩B的值.【试题答案】解：∵集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2＜9}＝{x|－3＜x＜3},∴A∩B＝{1,2}.故选D.2.【参考答案】C【试题分析】解：∵函数f(x)＝k•xα是幂函数,∴k＝1,∵幂函数f(x)＝xα的图象过点,∴()α＝,得α＝,则k＋α＝1＋＝.故选：C.由函数f(x)＝k•xα是幂函数,根据幂函数的定义可知,其系数k＝1,再将点的坐标代入可得α值,从而得到幂函数的解析式.本题考查幂函数的性质及其应用,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念.3.【参考答案】B【试题分析】解：a＝20.3＞1,b＝logπ3∈(0,1),c＝log40.3＜0,则a＞b＞c.故选：B.利用对数函数的单调性即可得出.本题考查了对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.【参考答案】C【试题分析】解：∵函数(x＞0),∴y′＝＋1＋＞0,∴函数y＝ln x＋x－－2在定义域(0,＋∞)上是单调增函数；又x＝2时,y＝ln2＋2－－2＝ln2－＜0,x＝e时,y＝ln e＋e－－2＝＋e－－2＞0,因此函数的零点在(2,e)内.故选：C.先判断函数y是定义域上的增函数,再利用根的存在性定理,即可得出结论.本题主要考查了函数的零点问题,将零点问题转化为交点问题,是解决本题的关键.5.【参考答案】A【试题分析】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考查其余的性质.欲判断图象大致图象,可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑,还可从函数的单调性(在函数当x＞0时函数为减函数)方面进行考虑即可.【试题答案】解：函数有意义,需使e x－e－x≠0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D,又因为,所以当x＞0时函数为减函数,故选A故选：A.6.【参考答案】D【试题分析】解：根据题意,函数,则f(－x)＝,则f(－x)＋f(x)＝ln1＋2＝2,则有f(lg2)＋f(lg)＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2,故选：D.根据题意,由函数的解析式求出f(－x),进而可得f(－x)＋f(x)＝2,据此可得f(lg2)＋f(lg)的值,即可得答案.本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及对数的计算,属于基础题.7.【参考答案】A【试题分析】解：若x＜0,则－x＞0,∵定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)＝x2－3x.∴当x＜0时,f(－x)＝x2＋3x＝－f(x).则当x＜0时,f(x)＝－x2－3x.若x≥0,由f(x)－x＋3＝0得x2－4x＋3＝0,则x＝1或x＝3,若x＜0,由f(x)－x＋3＝0得－x2－4＋3＝0,则x2＋4x－3＝0,则x＝＝－2±,∵x＜0,∴x＝－2－,综上方程f(x)－x＋3＝0的解集为{－2－,1,3}；故选：A根据函数奇偶性的性质求出当x＜0时的解析式,解方程即可.本题主要考查方程根的求解,根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.注意要进行分类讨论.8.【参考答案】D【试题分析】解：令t＝x2－ax－3a＝－－3a,则由题意可得函数f(x)＝log2t,函数t在区间(－∞,－2]上是减函数且t＞0恒成立.∴,求得－4≤a＜4,故选：D.令t＝x2－ax－3a,则得函数f(x)＝log2t,由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得,由此求得a的范围.本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质,属于中档题.9.【参考答案】D【试题分析】解：由题可知f(x)＝e x－1＞－1,g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1,若有f(a)＝g(b),则g(b)∈(－1,1],即－b2＋4b－3＞－1,即b2－4b＋2＜0,解得.所以实数b的取值范围为故选：D.确定两个函数的值域,根据f(a)＝g(b),可得g(b)∈(－1,1],即可求得实数b的取值范围.本题考查函数的值域,考查解不等式,同时考查学生分析解决问题的能力.10.【参考答案】B【试题分析】解：取a＝－2,则f(x)＝x2＋4,g(x)＝－x2－8x＋4.画出它们的图象,如图所示.则H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标,由解得或,∴A＝4,B＝20,A－B＝－16.故选：B.本选择题宜采用特殊值法.取a＝－2,则f(x)＝x2＋4,g(x)＝－x2－8x＋4.画出它们的图象,如图所示.从而得出H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标,再将两函数图象对应的方程组成方程组,求解即得.本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等,考查了数形结合的思想,属于中档题.11.【参考答案】{x|x＜2} {x|x≤0}【试题分析】解：集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1},B＝{x|2x(x－2)＜1}＝{x|x(x－2)＜0}＝{x|0＜x＜2},则A∪B＝{x|x＜2},∁R B＝{x|x≤0或x≥2},所以A∩(∁R B)＝{x|x≤0}.故答案为：{x|x＜2}；{x|x≤0}.化简集合A、B,根据并集和补集与交集的定义,计算即可.本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.12.【参考答案】(－2,1] [－log23,＋∞)【试题分析】解：由题意可得,,解可得,－2＜x≤1,故定义域为(－2,1],∵在(－2,1]上单调递减,∴f(x)≥－log23.故答案为：(－2,1],[－log23,＋∞).由题意可得,,解不等式即可求解定义域；由在(－2,1]上单调递减,可求函数的值域.本题主要考查了函数的定义域及值域的求解,求解值域的关键是单调性的应用.13.【参考答案】2 1或－4【试题分析】解：∵函数,∴f(－2)＝log22＝1,f(f(－2))＝f(1)＝2,f(x)＝2,当x≥0时,f(x)＝2x＝2,解得x＝1,当x＜0时,f(x)＝log2(－x)＝2,解得x＝－4.∴实数x的值是1或－4.故答案为：1或－4.推导出f(－2)＝log22＝1,从而f(f(－2))＝f(1),由此能求出结果；由f(x)＝2,当x≥0时,f(x)＝2x＝2,当x＜0时,f(x)＝log2(－x)＝2,由此能求出实数x的值.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.【参考答案】2 1＜a≤3【试题分析】解：f(x)为奇函数,则f(－x)＝－f(x)；所以f(－1)＝1－m＝－(－1＋2)＝－1,则m＝2；函数f(x)在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立；则函数f(x)在[－1,2]上为增函数；又函数f(x)的增区间为[－1,1]；则[－1,1]⊆[－1,a－2],得1＜a≤3；故答案为：2,1＜a≤3；f(x)为奇函数,有,可计算出m的值为2,；函数f(x)在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立,即函数f(x)在[－1,2]上为增函数,由函数f(x)在[－1,1],则[－1,1]⊆[－1,a－2],得＜a≤3；考查函数奇偶性求参数,分段函数的单调性,根据函数单调性求参数的值,属于基础题.15.【参考答案】1【试题分析】解：：＝－1＋lg4,＝－1,＝1.故答案为：1.结合指数与对数的运算性质即可直接求解.本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.16.【参考答案】[,)【试题分析】本题主要考查了利用一元二次函数的单调性求函数的值域,较难.解题的关键是根据函数的图象得出x1的取值范围,进而转化为y＝＋在x1的取值范围上的值域,即为所求,先作出函数图象,然后根据图象可得,要使存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f(x1)＝f(x2),则必有0≤x1＜且x＋在[0,)的最小值大于等于2x－1在[,2)的最小值,从而得出x1的取值范围,然后再根据x1f(x2)＝x1f(x1)＝＋,即问题转化为求y＝＋在x1的取值范围上的值域.解：作出函数的图象：∵存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f(x1)＝f(x2)∴0≤x1＜∵x＋在[0,)上的最小值为；2x－1在[,2)的最小值为∴x1＋≥,x1≥∴≤x1＜∵f(x1)＝x1＋,f(x1)＝f(x2)∴x1f(x2)＝x1f(x1)＝＋令y＝＋(≤x1＜)∴y＝＋为开口向上,对称轴为x＝－的抛物线∴y＝＋在区间[,)上递增∴当x＝时y＝当x＝时y＝∴y∈[,)即x1f(x2)的取值范围为[,)故答案为[,).17.【参考答案】(,＋∞)【试题分析】解：∵f(x)是奇函数,∴f(－1)＝－f(1),即(a＋1)•1＝－(a－1)•1,∴a＝0,∴f(x)＝－x|x|,f[f(x)]＝x3|x|,∴mx2＋m＞f[f(x)]＝x3|x|,即对所有的x∈[－2,2]恒成立.∵x∈[－2,2],∴x2＋1∈[1,5]；∴＝＝≤,∴；∴实数m的取值范围为(,＋∞).故答案为：(,＋∞).由f(x)为奇函数求出a＝0,再求出f[f(x)]＝x3|x|,然后由关于x的不等式mx2＋m＞f[f(x)]对所有的x∈[－2,2]恒成立,可得对所有的x∈[－2,2]恒成立,进一步求出m的范围.本题考查了函数的奇偶性,基本不等式和函数恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.18.【参考答案】解：(1)集合A＝{x|(x＋2)(x－5)≤0}＝{x|－2≤x≤5},＝{x|－2≥0}＝{x|≤0}＝{x|3＜x≤6},所以A∩B＝{x|3＜x≤5},∁R A＝{x|x＜－2或x＞5},则(∁R A)∪B＝{x|x＜－2或x＞3}；(2)若C⊆(A∩B),则当C＝∅时,a＋1＞2a－1,解得a＜2；当C≠∅时,由,解得2＜a≤3；综上知,实数a的取值范围是a＜2或2＜a≤3.【试题分析】(1)化简集合A、B,根据交集、补集和并集的定义计算即可；(2)当C⊆(A∩B)时,讨论C＝∅和C≠∅时,分别求出对应a的取值范围.本题考查了集合的化简与运算问题,也考查了运算与推理能力,是基础题.19.【参考答案】解：(1)由＞0,得x＜－1或者x＞1,即函数的定义域为(－∞,－1)∪(1,＋∞).(2)①证明：设1＜x1＜x2,f(x1)－f(x2)＝()＝＝,因为1＜x1＜x2,所以x2－x1＞0,所以x1x2－1＋(x2－x1)＞x1x2－1－(x2－x1)＞0,所以,所以f(x₁)＞f(x₂),故f(x)在(1,＋∞)上是减函数.②由(1)知函数f(x)在(1,＋∞)上是减函数,由f(2＋m)＞f(2m－1),得1＜2＋m＜2m－1,得m＞3.【试题分析】(1)由＞0,得x＜－1或者x＞1,解出即可；(2)①设1＜x1＜x2,f(x1)－f(x2)＝()＝＝,判断正负得出结论；②由(1)知函数f(x)在(1,＋∞)上是减函数,由f(2＋m)＞f(2m－1)得出m.考查函数求定义域,判断函数单调性,单调性的应用,中档题.20.【参考答案】解：(1)当1≤t≤30时,由题知f(t)•g(t)＝(－2t＋200)•()＝－t2＋40t＋6000,当31≤t≤50时,由题知f(t)•g(t)＝45(－2t＋200)＝－90t＋9000,所以日销售额S与时间t的函数关系为S＝；(2)当1≤t≤30,t∈N时,S＝－(t－20)2＋6400,当t＝20时,S max＝6400元；当31≤t≤50,t∈N时,S＝－90t＋9000是减函数,当t＝31时,S max＝6210元.∵6210＜6400,则S的最大值为6400元.【试题分析】(1)根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式,此关系式为分段函数；(2)求出分段函数的最值即可.考查学生根据实际问题选择函数类型的能力.理解函数的最值及其几何意义的能力.21.【参考答案】解(1)函数f(x)存在两个零点x1,x2,满足x1＜1＜x2＜3,∴,即,解得；(2)设t＝2x(t＞0),则原方程可化为t2＋at＋a＋1＝0(*),原方程有实根,即方程(*)有正根,令g(t)＝t2＋at＋a＋1,①若方程(*)有两个正实根t1,t2,则,解得；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不符合题意,舍去),则g(0)＝a＋1＜0,解得a＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根,则g(0)＝0且－,解得a＝－1；综上所求：实数a的取值范围为(－∞,2－2].【试题分析】(1)根据函数的零点存在区间,利用零点存在定理,列出不等式组,即可求出实数a的取值范围. (2)利用换元法把原方程转化为一元二次方程,分3种情况讨论方程根的正负,利用根与系数的关系列出不等式组,求出实数a的取值范围.考查了二次函数的图象和性质,考查了一元二次方程根的分布,做题时注意对根的正负分情况讨论,是中档题.22.【参考答案】解：(1)函数f(x)＝x2－2ax＋5＝(x－a)2＋5－a2,且a＞1,∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均是[1,a],∴,即,解得a＝2.(2)①当a≤0时,函数y＝|f(x)|在[0,1]上单调递增,故y max＝f(1)＝6－2a,②当0＜a≤1时,此时△＝4a2－5＜0,且f(x)图象开口向上,对称轴在(0,1)内,故y max＝max{f(0),f(1)}＝max{5,6－2a}＝,综上所求：y max＝.【试题分析】(1)利用二次函数的图象,求出二次函数的最值,列出不等式组,即可解出a的值.(2)对对称轴的位置分类讨论,结合二次函数的图象,求出函数的最大值.考查了二次函数的图象和性质,考查了利用二次函数图象求最值的方法,是基础题.。