非线性方程线性化
（整理）计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
（整理）计量经济学第四章⾮线性回归模型的线性化第四章⾮线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是⾮线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述⾮线性回归模型是⽆法⽤最⼩⼆乘法估计参数的。
可采⽤⾮线性⽅法进⾏估计。
估计过程⾮常复杂和困难，在20世纪40年代之前⼏乎不可能实现。
计算机的出现⼤⼤⽅便了⾮线性回归模型的估计。
专⽤软件使这种计算变得⾮常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有⼀类⾮线性回归模型。
其形式是⾮线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利⽤线性回归模型的估计与检验⽅法进⾏处理。
称此类模型为可线性化的⾮线性模型。
下⾯介绍⼏种典型的可以线性化的⾮线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是⾮线性的。
对上式等号两侧同取⾃然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表⽰随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =t+, (b < 0)⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t和y t的关系是⾮线性的。
令x t* = Lnx t, 则y t = a + b x t* + u t(4.5)变量y t和x t* 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
非线性方程线性化的两个条件
非线性方程线性化的两个条件
一，小偏差理论和小信号理论。
在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近小范围的变化事，满足这个条件。
只有在这个情况下转化之后的误差才足够小。
二，在工作点附近存在各阶倒数和偏导数
一元函数，一个y对应一个x，导数只有一个。
二元函数，一个z对应一个x和一个y，那就有两个导数了，一个是z对x的导数，一个是z对y的导数，称之为偏导，即输入与输出的导数都存在。
这个是能够转化的条件。
浅谈非线性回归模型的线性化
浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。
高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。
但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。
一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++，其中变量ix 是以其原型(而不是以ni x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。
而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。
在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。
二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。
如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2R 进行拟合效果分析，2R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。
三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型：(1)双曲线型，其形式为1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1x x'=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为by ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(3)指数函数型，其形式为bxy ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。
非线性方程线性化
1.0066 err = 0.0066 k= 5 y= 1.3270e-004 p1 = 1.0033 err = 0.0033 k= 6 y= 3.3211e-005 p1 = 1.0017 err = 0.0017 k= 7 y= 8.3074e-006 p1 = 1.0008 err = 8.3157e-004 k= 8 y= 2.0774e-006 p1 = 1.0004 err = 4.1596e-004 k= 9 y= 5.1943e-007 p1 = 1.0002 err = 2.0802e-004 k= 10 y=
3
6
function y=f(x); y=x^3-3*x+2; 再用 M-文件写一个名为 df.m 的文件定义函数的微商 df ( x) 3x 2 3 。 function y=df(x) y=3*x^2-3; 然后再 MATLAB 的命令窗口输入： newton('f','df',1.2,10^(-6),10) 结果为： p0 = 1.2000 ans = 0.1280 p1 = 1.1030 err = 0.0970 k= 1 y= 0.0329 p1 = 1.0524 err = 0.0507 k= 2 y= 0.0084 p1 = 1.0264 err = 0.0260 k= 3 y= 0.0021 p1 = 1.0133 err = 0.0131 k= 4 y= 5.2963e-004 p1 =
二：实验内容所需的基本知识
二分法的原理：
设 f ( x) 在 [a, b] 上 连 续 ， 且 f (a) f (b) 0 。 则 [a, b] 为 方 程 区 间 （ 设 只 有 唯 一 根 ） 。 取中 点
牛顿拉夫逊法
并将雅可比矩阵分块，把每个2 2 阶子
阵
如MH
ij ij
Nij H ij
Lij
Rij
N ij S ij
等
作为分块矩阵的
元素，则按节点号顺序而构成的分块雅
可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的
稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。
(4) 和节点导纳矩阵具有相同稀疏结 构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但 由于H ij H ji , Nij N ji , M ij M ji , Lij L ji ， 所以雅可比矩阵不是对称阵。
由上式根据初值 x(0) 可求得第一次迭 代的修正量
x(0) [ f (x(0) )]1 f (x(0) ) (1-25)
将 x(0) 和 x(0) 相加，得到变量的第一次 改进值 x(1) 。
因此，应用牛顿法求解的迭代格式为
f (x(k ) )x(k ) f (x(k) )
(1-26)
x(k1) x(k ) x(k )
（2）修正xi(1)＝ xi(0)＋ △xi(0) ，算出△f，J中各元素，代入 上式方程组，解出△ xi(1) ；
直至 f (x(k) ) 1 或 x(k) 2
注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。
及 2n 1个，在 PV 节点比例不大时，两 者的方程式数目基本接近 2n 1个。
(2) 雅可比矩阵的元素都是节点电压 的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要 重新形成。
(3) 从雅可比阵非对角元素的表示式
可见，某个非对角元素是否为零决定于
相应的节点导纳矩阵元素 Yij 是否为零。
如将修正方程式按节点号的次序排列，
线性 迭代公式：
xk
1
xk
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m
非线性化模型的线性化方法总结
非线性化模型的线性化方法总结在学习计量经济学过程中，我们所接触的经济学模型不仅仅是线性的，许多实际经济活动中的经济模型都是非线性的，例如恩格尔曲线表现为幂函数曲线形式，菲利普斯曲线表现为双曲线形式，下面介绍三种非线性模型的转化方法，分别适应于不同的模型：一、直接置换法：直接替换模型中原有的非线性变量。
适用模型如下：（1）倒数（双曲线）模型：0111u Q P ββ=++，可以用1Y Q =,1X P=来置换，变为01Y X u ββ=++（2）多项式模型：2012Y t t u βββ=+++，可以用212,X t X t ==来置换变为： 0122Y X X u βββ=+++（3）对数模型： 01ln Y X u ββ=++，将1ln X X=带入原式进行置换，得到：011Y X u ββ=++二、函数变换法：通过函数变化，如取对数、移项等方式对原模型进行变形以得到线性化模型：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+（1） 幂函数模型：u Q AK L e αβ=，方程两边取对数，得到：ln ln ln ln Q A K L u αβ=+++再对上式进行置换。
（2）指数函数模型：Q uC ab e =，方程两边取对数得到：ln ln ln C a Q b u =++，再对上式进行置换。
三、级数展开法：如CES 函数112()p p u pQ A K L e δδ---=+，方程两边取对数得到：121ln ln ln()p p Q A K L u pδδ--=-++，将式中12ln()p p K L δδ--+在p=0处展开泰勒级数，取关于p 的线性项，即得到一个线性近似式，如取0阶、1阶、2阶项，可得:212121ln ln ln ln [ln()]2K Y A K L p Lδδδδ=++- （备注：无法线性化的模型一般为：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+，其中12(,,,)k f X X X ⋅⋅⋅为非线性函数）。
非线性数学模型的线性化
第2章 辅导机械系统机械旋转系统如图所示。
为一圆柱体被轴承支撑并在黏性介质中转动。
当力矩作用于系统时，产生角位移。
求该系统的微分方程式。
解 根据牛顿第二定律，系统的诸力矩之和为22s )()()(T -T (t)dtt d J t T t d θ=- 式中：J ——转动系统的惯性矩；扭矩)()(T s t K t θ=， K ——扭簧的弹性系数； 黏性摩擦阻尼力矩dtt d B t T d )()(θ=，B因此该系统的运动方程式为)()()()(22t T tK dt t d B dt td J =++θθθ （2－2）电气系统电气系统的基本元件是电阻、电容、电感以及电动机等，支配电气系统的基本定律是基尔霍夫电路定律。
图为一具有电阻－电感－电容的无源网络，求以电压u 为输入，u c 为输出的系统微分方程式。
解 根据基尔霍夫电路定律，有 C u R i dtdiL t u +⋅+⋅=)( 而 dtdu Ci c=，则上式可写成如下形式 22u dt du RC dt u d LCC cc =++ （2－3）上式表示了RLC 电路的输入量和输出量之间的关系。
编写控制系统微分方程的一般步骤为：(l) 首先确定系统的输入量和输出量；(2) 将系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入量和输出量。
确定输入量和输出量时，应使前一环节的输出量是后一环节的输入量。
(3) 写出每一环节(或元件)描述输出信号和输入信号相互关系的运动方程式；找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。
而这些物理定律的数学表达式就是环节(或元件)的原始方程式。
在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化。
考虑忽略一些次要因素。
使方程简化的可能性和容许程度。
(4) 消去中间变量，列出各变量间的关系式。
设法消去中间变量，最后得到只包含输入量和输出量的方程式。
于是，就得到所要建立的元件或系统的数学模型了。
非线性数学模型的线性化1、一般运动方程式化为增量方程式的步骤 以下式为例)()()()(22t ky dt t dy B dtt y d M t F ++= (1) 确定额定点，写出静态方程式：设额定点为(F 。
04-非线性回归模型的线性化
计量经济学第4章非线性回归模型的线性化（1）多项式函数模型（2）双曲线函数模型（3）对数函数模型（4）生长曲线(logistic) 模型file:li-4-1file:5nonli7（比教材中的模型复杂些）（5）指数函数模型幂数模型file:5nonli3 file:5nonli01 file:li-4-2（6）幂函数模型file:5nonli14第4章非线性回归模型的线性化有时候变量之间的关系是非线性的。
虽然其形式是非线性的但可以通过适当的变换转化为线性模型然后利第章非线性模型的线性线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型可线性化的非线性模型。
以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计估计过程非常复杂和困难计可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易但本章不是介绍这类模型的估计这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
y t = α0 + α11βt x + u t y t = α0tx e1α+ u t下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
（第(1)多项式函数模型(1)2版教材第111页）（第3版教材第90页）多项式方程=+++y t = b 0+b 1 x t + b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t 令x t 1 = x t ，x t 2 = x t 2，x t 3 = x t 3，上式变为+++y t = b 0+b 1 x t 1+ b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t这是三元线性回归模型。
经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。
(b 1>0, b 2>0, b 3>0) (b 1<0, b 2>0, b 3<0)(1)多项式函数模型(1)例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页, file:li-4-1)+++y t= b0+b1 x t+ b2 x t2+ b3 x t3+ u t（第2版教材第112页）估计结果见下页（第3版教材第91页）(1)多项式函数模型(1)例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页,file:li-4-1）= 2434.7+ 85.7x t -0.028 x t 2+0.00004 x t3(1.8) (12.0) (-2.8) (9.6)t C ˆ（第R 2= 0.9998, N = 152版教材第114页）（第3版教材第92页）19902003（1990~2003）19902003从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。
非线性函数的线性化问题
D(X)= 2 X X X X X t t 1 t 2
2 X X X X1X 2 1 t 1 2 X X X X2Xt 2 1 2
协方差阵传播率
E X E (( X 12 )) 随机向量X的数学期望E(X)是由E(X)= E (X ) t 定义的，它具有如下性质：
ξ
1
（3）n个随机变量之和的数学期望，等 于各随机变量数学期望之和，即 E(ξ1+ξ2+·· n)=E(ξ1)+E(ξ2)+·· ξ ). ·+ξ ·+E(
n
ξ
1
（4）随机变量的线性函数 F=α1ξ1+α2ξ2+·· αnξn= ·+ 的数学期望为 E( )= α1E(ξ )+ α2E(ξ2)+·· α E(ξn). ·+
X1X 2 ，D(X)= ) X 2 X1 D ( X 2 )
D ( X1)
一般，设有t维随机向量X=(X1X2·· t)T， ·X 定义X的数学期望和方差为
E X E (( X 12 )) E (X t )
E(X)=
则有
A ( k ) X ( k 1) L ( k ) R
(k )
ε 0
（6）
在式（6）中，将 换成估值形式 ，用 代表 的最或然误差 （又称为 的改正数），则有
V 1( k ) (k ) V 2 V (k ) n
(k ) (k )
A (k )
n 2
Wn
(k )
ln( D 1 H 1 ) 2 ln( D 2 H 2 ) 2 ln( D n H n )
非线性系统线性化
化。
令状态偏差为 e x xd ，则有e x xd
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
e x xd f (x,u,t) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f (x,u,t) ( Ad x Bdv)] （1.3）
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。
（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
自动控制原理--元件微分方程式的编写及非线性元件的线性化
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
[例2-6]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
[解]：⑴该系统的组成和原理；
⑵该系统的输出量是 ，输入量是ug
⑶速度控制系统方块图：
u u g
e 运放Ⅰ
u1 运放Ⅱ
u 2 功放
u a 电动机
-
uf
测速
⑷各环节微分方程：
2.1 元件微分方程式的编写
编写元件微分方程的步骤
1. 确定元件的输入量和输出量； 2. 根据元件的物理规律写出相应的微分方程； 3. 消去中间变量，求出其微分方程。
[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。
uL
R
i
i
C
ui
输入
uo
输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
uo
L
di dt
Ri
1 C
idt
s
2u0
(s)
s
0.1
1 1
0.1
su0
(s)
0.1
u0
(s)
ui
(s)
1
0.1s 0.2
u0(s) s2 s 1ui (s) s2 s 1
ui
(s)
1 s
,
故有：
u0
(s)
L1[u0
(s)]
L1[
s(s2
1 s
1)
0.1s s2 s
0.2 ] 1
11.15e0.5t sin(0.866t 1200 )
I2 (s)
1 uC (s) C2 s I 2 (s)
消去中间变量后，得到传递函数为
jma 方程
JMA（Jacobian Matrix and Algebraic）方程是一种用于求解非线性系统的状态估计问题的方法。
它结合了雅可比矩阵（Jacobian Matrix）和代数方法（Algebraic），用于解决系统状态估计问题，尤其是在卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波（EKF）的框架下。
在非线性系统状态估计问题中，系统的状态转移方程和观测方程通常是非线性的。
JMA方程提供了一种方法来近似这些非线性方程，以便在估计状态时使用线性化的形式。
这种方法的关键在于对非线性方程进行泰勒展开，并保留一阶项，从而得到一个线性化的系统模型。
JMA方程的主要步骤包括：
1. **线性化**：对系统的状态转移方程和观测方程进行泰勒展开，并保留一阶项，从而得到一个线性化的系统模型。
2. **构造雅可比矩阵**：雅可比矩阵包含了线性化模型中状态变量和观测变量对状态转移和观测方程的偏导数。
这个矩阵对于解决线性化后的系统至关重要。
3. **求解线性系统**：使用线性化的系统和雅可比矩阵，可以求解出状态估计问题。
这通常涉及到卡尔曼滤波或EKF框架。
4. **更新估计**：根据新的观测数据，更新状态估计和误差协方差。
JMA方程在工程和科学领域有广泛的应用，特别是在自动驾驶、机器人导航、信号处理等领域。
它提供了一种有效的手段来处理非线性系统的状态估计问题，从而提高系统的性能和可靠性。
02 数学模型 - 03非线性微分方程的线性化
第二章控制系统的数学模型第3讲非线性微分方程的线性化王燕舞为什么要进行线性化？严格的说，几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程，即输入、输出和扰动等之间的关系都是非线性的。
非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂，而线性化后的模型可借助叠加原理的性质，简化系统分析。
因此，研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价值。
什么是非线性数学模型的线性化？在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法。
符合什么条件的系统可以进行线性化呢？▪条件1: 小偏差理论或小信号理论。
在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化时，就满足这个条件。
▪条件2: 在工作点附近存在各阶导数或偏导数。
如何进行线性化呢？假设微分方程模型中包含非线性函数f(x)如图所示。
设y=f(x)，假设系统在工作点(x 0, y 0), y 0=f(x 0) 附近变化，且在该工作点处各阶导数均存在，在(x 0, y 0)附近将y 展开成泰勒级数：)()()()(000xx x x x f x f x f y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==若偏差Δx=x-x 0很小，可忽略级数中高阶无穷小项，上式化为)()()()()()(00000x xK x f x x x x x f x f x f y -+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+≈=K 表示y=f(x)曲线在(x 0,y 0)处切线的斜率。
因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。
yy=f(x)y 0x 0x ⋯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+20022)()(!21x x x x x f xK x f x f y y y ∆=-=-=∆)()(00如何进行线性化呢？小偏差法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中的高阶项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。
液位流体过程。
如图，Q1为流入量，也是输入量；Q 2为流出量；h 为液位高度，为系统输出；C 为液缸的截面积。
第4章-非线性系统线性化(1)
其中 xd 为模型的状态向量；Ad
0
0
1
，bd
0
，
C 1 0 0 为常数。
1
2
n
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x0 的选取，若 x0 偏离 x* 简单的算法，它的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收敛太慢，故 一般不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值。迭代法是一种逐次逼近法，迭代过程是个 极限过程，在用迭代法进行实际计算是，必须按精度要求控制迭代次数。并且对于收敛的迭代过程，只要 迭代足够多次，就可以是结果达到任意的精度，但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大。牛顿 法实质上是一种线性化方法，就是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。牛顿 迭代公式的收敛速度很快，但计算实践表明，当初值不够好时，Newton 法可能发散，一般可有问题的实 际背景来预测后由对分区间法求得教的初始值。
3
%p 是不动点的近似值 %err 是误差 %p(p1,p2, … ,pn) P(1)=p0; for k=2:max1 P(k)=feval('g',P(k-1)); k,err=abs(P(k)-P(k-1)) p=P(k); if(err<tol), break;end if k==max1 disp('maximum number of iteration exceeded'); end 首先在 MATLAB 命令窗口输入 fplot('[sin(x)-x^2,0]',[-5,5]);grid 回车，可得图形
end 首先在 MATLAB 命令窗口输入 fplot('[x^3-3*x+2,0]',[-2.5,2.5]);grid; 回车，得到图形
有图形可知函数 f ( x) 与 x 轴有交点，也就是说有根，并且从图中能够大致估算到根的位置。 先用 M-文件写一个名为 f.m 的文件定义函数 f ( x) x 3x 2 。
x0
1 (a b) ，检查 f (a) 与 f ( x0 ) 是否同号，若同号，说明根 x * 与 b 之间，此时 a1 x0 , b1 b ；若异 2
*
号，说明根 x 在 a 与 x 0 之间，此时 a1 a, b1 x0 ，得新区间 [a1 , b1 ] 为原区间的一半。对 [a1 , b1 ] 进行上 述过程，取中点 x1
7
1.0066 err = 0.0066 k= 5 y= 1.3270e-004 p1 = 1.0033 err = 0.0033 k= 6 y= 3.3211e-005 p1 = 1.0017 err = 0.0017 k= 7 y= 8.3074e-006 p1 = 1.0008 err = 8.3157e-004 k= 8 y= 2.0774e-006 p1 = 1.0004 err = 4.1596e-004 k= 9 y= 5.1943e-007 p1 = 1.0002 err = 2.0802e-004 k= 10 y=
x x0
f ( x0 ) ，将此根记为原方程的近似根 x1 ，然后按上式迭代计算，使形成一种新的迭代公式： f ' ( x0 ) f ( xk ) , k 0,1,2,.... f ' ( xk )
xk 1 xk
三：实验问题、方法及步骤
1、用二分法解方程 x 3 x 1 0 在区间[1.0,1.5]上的一个根。
8
1.2987e-007 ans = 1.0002
四：计算结果的分析
通过以上三种方法计算结果，我们可以看出二分法的计算精度较差，因为它只能求得一个较好的近似 值；迭代法的计算精度相对很高，它是一种逐次逼近的方法，要想求得很精确的解，只要迭代足够多次就 可得到；牛顿法的计算精度也是很高的，但是它必须能够选一个很好的初值，因为牛顿法的收敛性依赖于 初值
* *
*
动点，求 f ( x) 的零点就等价于求 ( x) 的不动点。 任取一点 x 0 代入 ( x) 求得
x1 ( x0 )
x2 ( x1 )
一般地
又将 x1 代入 ( x) 求得 如此反复迭代下去
xk 1 ( xk )
k=0,1,2,………
( x) 称为迭代函数， x ( x) 称为迭代公式。若迭代序列 {x k } 有极限，即 lim xk x * ，则称迭代方程
1 (a1 b1 ) ，检查 f (a1 ) 与 f ( x1 ) 是否同号，如此反复二分下去，即可得出一系列有 2
根 区 间 [a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] … [a k , bk ] … ， 其中 每 个 区间都是 前 一个 区 间的 一 半， 因此
解 先按照二分法的基本原理编写二分发的 MATLAB 程序（程序命名为： HalfInterval.m） ， 编程如下： function root=HalfInterval(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4 end f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); if(f1==0) root=a; end if(f2==0) root=b; end if(f1*f2>0) disp('两端点函数值乘积大于 0！ '); return; else root=FindRoots(f,a,b,eps); end function r=FindRoots(f,a,b,eps) f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); if(f_1*mf>0) t=(a+b)/2; r=FindRoots(f,t,b,eps); else if(f_1*mf==0) r=(a+b)/2; else if(abs(b-a<=eps))
3
2、用迭代法求方程 sin x x 0 的一个近似值，给定初始值 x0 0.5 ，误差界为 10 。
2
5
解
按照迭代法的基本原理编写迭代法的 MALAB 程序（函数名为： fixpt.m） 编程如下： function[p0,k,err,p]=fixpt(g,p0,to1,max1) %g 是给定的迭代函数 %p0 是给定的初始值 %max1 是所允许的最大迭代次数 %k 是所进行的迭代次数加 1
4
3 err = 0.1052 k= 4 err = 0.0292 k= 5 err = 0.0078 k= 6 err = 0.0021 k= 7 err = 5.7408e-004 k= 8 err = 1.5525e-004 k= 9 err = 4.1975e-005 k= 10 err = 1.1350e-005 k= 11 err = 3.0688e-006 P= 0.5000 0.9589 0.8767 0.8767 ans = 0.5000 结 果 中 列 出 了 最 后 两 次 迭 代 产 生 的 xn 和 xn xn 1 。 因 为 x10 x9 3.5003 10
有图形可知函数 f ( x) 与 x 轴有交点，也就是说有根，并且从图中能够大致估算到根的位置。 先用 M-文件写一个名为 g.m 的函数。 function y=g(x); y=sin(x)/x; 然后再 MATLAB 的命令窗口输入： fixpt('g',0.5,10^(-5),20) 结果为： k= 2 err = 0.4589 k=
非线性方程线性化
一：实验目的
1、掌握用二分法解非线性方程的方法。 2、掌握用迭代法解非线性方程的方法。 3、掌握用牛顿法解非线性方程的方法。 4、学会运用 Matlab 语言解决提供的函数求解实际问题。
二：实验内容所需的基本知识
二分法的原理：
设 f ( x) 在 [a, b] 上 连 续 ， 且 f (a) f (b) 0 。 则 [a, b] 为 方 程 区 间 （ 设 只 有 唯 一 根 ） 。 取中 点
6
0.8537
0.8829
0.8751
0.8772
0.8766
0.8768
0.8767
105 。 所 以
x* x10 0.876 。
3、用牛顿法求方程 x 3x 2 的近似值，给定一个初始值 p0 1.2 ，误差界为 10 。
3 6
5
解
按照 Newton 法的基本原理编写 Newton 法德 MATLAB 程序（函数名为 Newton.m） 编程如下： function [p1,err,k,y,]=newton(f,df,p0,delta,max1) %f是非线性函数 %df是 f的微商 %p0是初始值 %delta是给定允许误差 %max1是迭代的最大次数 %p1是牛顿法求得的方程的近似值 %err是 p0的误差估计 %k是迭代的次数 %y=f(p1) p0,feval('f',p0) for k=1:max1 p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; p1,err,k,y=feval('f',p1) if(err<delta)|(y==0), break,end
k
xk 1 ( xk ) ，k=0,1,2，…收敛，这时 x * 显然是 x ( x) 的不动点。
牛顿(Newton) 法：
1
将非线性方程 f ( x) 0 逐步转化为某种线性方程求解。已知 f ( x) 0 的一个近似根 x 0 ，则函数 f ( x) 在 点 x 0 附近可以用一阶泰勒公式来近似， f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) 0 ，若 f ' ( x0 ) 0 ，解得