高中数学选修三角与二项式系数的性质人教版ppt课件

观察
结合杨辉三角和上图来研究二项 式系数的一些性质.
知识要点
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式 Cnm=Cnn-m 得到.
直线 像的对称部分，它是图
知识要点
2.增减性与最大值
由于：
Ck n = n(n - 1)(n - 2) …(n - k + 1) k (k - 1)!
本节课的课题《二项式定理》就是研究 （a+b）的平方,(a+b)
的三次方…… （a+b）的n次方的乘法展开式的规律， 法国数学家
帕斯卡在17世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实， 我国数学家杨辉早在1261年在他的《详解九章算法》中就有了相应 的图表.
《九章算术》
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
教学重难点
重点
通过探究提炼二项式系数的性质和 讨论它的一些方法，如：赋值法 、递推 法、图象法.
难点
用函数的角度研究二项式系数的 性质和对赋值法的灵活运用. 通过画出 函数图象，数形结合地进行思考.
1、杨辉三角
杨辉
南宋末年钱塘人，是当时有名的 数学家和教育家，杨辉一生编写的数 学书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当 过地方官,到过苏州、台州等地，他 每到一处都会有人慕名前来 请教数 学问题.
原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n-1+8n-2…+8-1-2=8(8n-1-8n-2+…+)-3，余数为83=5.
1 2 C0 ， C ， C 2 2 2
0 C1 ，C1 1
1 2 3 C0 ， C ， C ， C 3 3 3 3
0 2 n Cn ，C1 ， C ， ， C n n n
设第n行中从左到右第14与第15个数的比为
13 14 C · C 则 ，解得 n n = 2:3
2:3
n = 34
2.(2003年湖北)(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为 _____(用数字作答). 200
(a b)
6
1 6 15 20 15 6 1
（1）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规 律,并加以归纳. （2）继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性 质),猜测出二项式系数的性质.
1.3.2“杨辉三角” 与 二项式系数的性质
教学目标
知识目标
（1）掌握二项式系数的性质； （2）进一步认识组合数、组合数的性质.
能力目标
（1）使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直 觉，并探索其中的规律，培养学生的探索精神和创新意识 ; （2）能运用函数观点分析处理二项式系数的性质,提高 学生分析问题、发现问题、解决问题的能力,激发学生的学 习兴趣.
情感目标
结合 “杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育， 激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的 热情．
导入新课
二项定理:
n
一般地，对于n
0 n n
N*有
1 n n 1
(a b) C a C a C a
r n
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
n r
b
C b
n n
观察
(a b) (a b) 2 3 (a b) 4 (a b) 5 (a b)
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
k -1 n
=C
n -k +1 k
所以 C
k 相对于 n
C 的增减情况由
k 1 n
n -k +1 决定． k
n -k +1 由： >1 k

n +1 k < 2
可知，当
n +1 k < 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是 逐渐减小的，且中间项取得最大值.
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数
即
0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以 Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证.
课堂小结
1.二项式系数的三条性质
（1）对称性;
（2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）.
2. 数学思想方法
（1）函数法;
（2）特殊值法 ;
（3）赋值法 、递推法、图象法.
2、二项式系数性质
n 展开式的二项式系数依次是： (a b)
0 2 n Cn , C1 , C , … , C n n n
从函数角度看， 义域是： f (r ) 当
r 可看成是以 r为自变量的函数 C n
0,1,2,, n
,其定
时，其图象是右图中的 7个孤立点． n 6
由以上分析可以画出如下图:
解析：
∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)，
∴x4的系数为C104+(-1) C101=200.
3. （2003年成都)若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+6-1 被8除所得的余数是( ). C (A)0 (B)2 (C)5 (D)7
3.“系数”与“二项式系数”的区别
不能混淆两者，只有二项式系数最大的才是中间项，而 系数最大的不一定是中间项.
高考链接
1. （2004年上海春季高考卷）如图１，在由二项式系数所构 成的杨辉三角中，第______行中从左到右第14与第15 个数的比为 34 2:3 .
解析：
由图1我们能发现，第1行中的数是 第2行中的数是 第3行中的数是 则第n行中的数是
C
n 2 取得最大值； n n-1 2 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
、
C
C
n+1 2 相等，且同时取得最大值. n
知识要点
3.各二项式系数之和
已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+…+Cnrxr+…+Cnnxn 令x=1，则 2n=Cn0+Cn1+…+Cnn
例题
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等 于偶数项的二项式系数的和
分析：
奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+…
偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+…
由于在二项式定理中a、b可以取任意实数，因此我们可以 通过对a、b适当赋值来得到上述两个系数和.
证明：
在二项展开式中，令a=1，b=-1，则得
(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn