第二章 离散系统振动微分方程
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第二章：动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。
在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。
在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。
在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。
§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。
惯量（质量）=）加速度（力（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）角加速度（力矩（2/)s rad m N ⋅2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。
x k F ∆=这里k 称为弹簧刚度，x ∆是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼力通常表示为：αxc R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为非线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：||1--=αx xc R 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
高等结构振动学-第2章-用拉格朗日方程建立系统数学模型
2muu
[Mg
L 2
0 mgu]sin
0
以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方 程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统 降阶的途径。 2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用
3
对一维连续系统，假设位移为：
N
u(x.t) i (x)qi (t) i 1
d dt
(
T qi
)
T qi
U qi
Qi
(i 1, 2, 3, N )
（2－5）
（推导：）
将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变
分驻值原理），有
t2
t1
(
T q1
q1
T q2
q2
T q N
q N
T q1
q1
f j (q1, q2 ,qM ) 0 ( j 1,2,C)
(i 1,2,M )
(2－43)
联立上两个方程，就可确定 M+C 个未知数 qi , j (i 1,2,M ; j 1,2,C)
【应用实例】
求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。
【解】令，
u(x,
t)
(
x L
D q
0
（2－15）
如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励
力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为 Qi ），则系统的拉 格朗日方程为：
d dt
(
T qi
)
T qi
第二章 离散系统振动微分方程
Fx 1 ke = = n 1 x
∑k
i =1
i
x=
∑
i =1
n
xi = ∑
i =1
n
n Fx 1 = Fx ∑ ki i = 1 ki
串联弹簧
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
传动系统
等效前势能
速比 i = θ 2 / θ 1. 1 U = k t1 θ12 + k t 2 θ 22 2 1 θ 22 2 = k t1 2 + k t 2 θ 2 2 i
θ& 22
2
+
1 J 2 θ& 22 2
传动系统
等效后系统的动能
1 1 2 2 Ve = J 1 e θ& 2 + J 2 θ& 2 2 2
∵
Ve = V
J 1e = J 1 / i
2
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
三. 多自由度系统 1. 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理
4
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
二. 等效系统 单自由度振动系统微分方程的一般形式
& 平动： m e && + c e x + k e x = F ( t ) 平动： x
& & 转动： 转动： J e θ& + c t e θ + k t e
θ =T (t )
多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 等效为一个质量 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。 等效成一个质量元件和一个弹性元件
《模态分析与综合技术》02-模态分析理论基础-01振动系统概论
第1章 振动系统概论
1.3 振动问题分类
4. 振动综合 同时包含前面几方面的振动问题。 5. 振动问题的解决 通常将实际问题抽象为力学模型（运动 方程），实质上是系统识别问题。针对系统 模型列式求解过程，实质上是振动分析的过 程。分析并非问题的终结，分析的结果还必 须用于改进设计或排除故障（已有和潜在）， 这就是振动设计问题。
保守系统： 机械能守恒的系统，或总能量不随时 间变化的系统。在保守力和理想定常完整 约束作用下的系统。 如无阻尼的单摆等。 非保守系统（耗散） 对于耗散系统，在经过很长时间以后， 状态的归宿称为耗散系统的吸引子。 有阻尼的单摆等。
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
自伴随系统： 系统微分方程组的系数矩阵全部是对 称的振动系统。 非自伴随系统
非亏损振动系统： n自由度系统，具有n个特征值和n个特 征向量。 亏损振动系统
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
可以根据系统的输入（激励）和输出 （响应）的类型进行以下分类： 自由振动 受初始扰动后不再受外界激励时所作的 振动。 受迫振动 系统受随时间变化的激励作用下产生的 振动。 自激振动 由非振动性激励引起的振动。锣、鼓等
f (u , v , ) u f (u , v , ) v 1
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
确定性系统： 系统特性可以由时间的确定性函数给 出的系统。定则系统 随机系统 天气、人脑的脑电图、图卫七的混沌 自转…
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
参数共振 由于系统的参数随时间周期变化而引起 的大幅度振动 固有振动
简谐振动
4二自由度系统振动
)
)
0
0
sin( t ) 0
( a 2 )A1 bA2 0
cA1
(
d
2
)A2
0
这是关于 A1 和 A2 的线性齐次代数方程组。显然，A1 A2 0 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 A1 与 A2 具有非零解，此方程组
的系数行列式必须等于零，即：
2
F1(t ) F2 (t )
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
其中定义：
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
M
m1
0
0
m2
,
C
c1 c2
但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加
x1 x2
x1(1) x2(1)
x1(2) x2(2)
x1 r (1) A2(1) sin(1t 1) r (2) A2(2) sin(2t 2 )
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
扭转振动系统
两者坐标形式相同
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：x x1 x2 T x x1 x2 T
x x1 x2 T
F(t) F1(t) F2 (t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程Mx Cx Kx F(t)
机械动力学.第二章
将（a）和（b）写成矩阵形式
m ml 3 x c 2 J ml 3 c ml 3 k1 k 2 0 x c Fc 2 2 k 1 l 4 k 2 l 5 c T c 0
m1 M 0 0 0 m2 0 0 0 m3
(2-4)
式中； 称为质量矩阵，是一个对角矩阵，其对角 元素为质量m1, m2，m3。
k 11 K k 21 k 31 k 12 k 22 k 32 k 13 k1 k 2 k 23 k2 k 33 0 k2 k2 k3 k3 k3 k3 k4 0
3 影响系数法
影响系数法分为刚度影响系数法和柔度影响系数法。 在实际使用中， 针对不同的系统结构，可以采用不同的方 法。 （1）刚度影响系数法。它又称为单位位移法，是把动力 系统当作静力系统来处理，用精静力学方法来确定系统 所有的刚度系数，借助于这些系数即可建立系统的运动 微分方程。 刚度影响系数法kij是指在系统的j点产生单位位移（即 xj=1），二其余各点的位移均为零时，在系统的i点所需 要施加的力。
K
2、拉格朗日方程
对于复杂的多自由度系统用拉格朗日方程建立方程比较方 便，步骤是选取广义坐标qi, 求系统的动能T和势能U，将 其表示为广义坐标qi、广义速度qi时间t的函数，然后代入 拉格朗日方程求解
d T dt q i Fi T U F i , i 1 , 2 , , k q i q i F x
11
9l
3
768 EL
式中：E为梁材料的弹性模量；I为梁的截面惯性矩。由 于结构对称，α33=α11。 同理，α21表示m1上作用一个单位力F1=1，而单位力m2， m3上无作用力（即F2=0，F3=0）时，梁上m2处产生的位 移，得 3 11 l 21
第2章振动分析基础第1节
Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
若系统有阻尼，振动位移与激振 力之间的相位差随频率比的增加 而逐渐增大，不会发生突然的变 化，但在共振点前后变化较大。 系统阻尼越小，共振点附近相位 差随频率的变化越大。 振动测试中，常应用共振点前 后响应与激振力之间的相 位差发生较大变化这个事实作为 确定共振点的一个指标。
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
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机械动力学
由于阻尼耗散的能量与振幅的平方成正比， 故P点常称为半功率点，半功率点公式提供了一 种确定系统阻尼比的实用方法， 由以上分析可见，当阻尼大时，带宽△。就 宽，过共振时振辐变化平缓，振幅较小，反之 ，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较 陡，振幅就大。所以，品质因数Q反映了系统阻 尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机床系 统中，为了过共振时比较平稳，希望Q值小些。
2
固有频率 有阻尼固有角频率 Harbin Institute of Technology
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机械动力学
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1、临界阻尼振动系统
临界阻尼
阻尼比
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例： 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整 的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的 阻尼。
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振动微分方程
振动微分方程
振动微分方程是描述振动现象的数学模型。
在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用。
振动微分方程的求解可以帮助我们更好地理解物体的振动规律，从而在实际工程中提高其效率和安全性。
振动微分方程的一般形式为mx''+cx'+kx=F(t)，其中m,c,k分别为物体的质量、阻尼系数、弹性系数，x为物体的位移，F(t)为外力。
这个方程描述了物体在振动过程中所受到的各种因素的影响，从而决定了物体的振动规律。
解振动微分方程的方法有很多种，其中最常用的方法是拉普拉斯变换和傅里叶变换。
这些方法能够将微分方程转换为代数方程，从而更容易求解。
此外，还可以使用数值模拟的方法来求解振动微分方程，这些方法可以通过计算机模拟物体的振动规律，从而得到数值解。
振动微分方程的应用非常广泛。
在物理学中，它被用于描述各种物体的振动规律，如弹簧振子、简谐振子等。
在工程学中，它被用于设计各种振动系统，如桥梁、建筑物、飞机等。
在数学中，它被用于探索微积分的应用，如变分法、最优化等。
除此之外，振动微分方程还有一些重要的应用。
例如，它被用于描述电路中的振荡器、天文学中的行星振动、地震学中的地壳振动等。
这些应用展示了振动微分方程的重要性和广泛性。
振动微分方程是描述振动现象的重要数学模型。
通过解振动微分方程，我们可以更好地理解物体的振动规律，并在实际工程中提高其效率和安全性。
振动微分方程的应用也非常广泛，涉及到物理学、工程学、数学等多个领域。
因此，学习和掌握振动微分方程的求解方法对于我们的学习和研究都有着很重要的意义。
振动理论多自由度线性系统的振动资料
U
u2
u3
于是 33的矩阵S的特征值方程为：
或写为
11 12 13 u1 u1
21
22
23
u2
u2
31 32 33 u3 u3
SU U
如果 ij ji (i, j 1, 2,3)，则称矩阵S为对称矩阵。 对于对称矩阵有如下定理。
定理一 33的对称矩阵S有3个独立的特征矢。与特
33
3
u u u u (b)
(a)
j ji i
a
(b) (a) ii
i1 j1
i1
又
* ij
* ji
ij
ji
，所以
3
3
a
u u (b) (a) ii
b
u u (a) (b) ii
i 1
i 1
3
即
(a b )
u u (a) (b) ii
0
i 1
3
因 a b ，所以
ห้องสมุดไป่ตู้
u u (a) (b) ii
将特征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上
一个常数使得 ui (i 1, 2,3) 满足
3
ui2 1
i 1
上式的矩阵形式
U%U 1
其中 U%是U 的转置矩阵。
定理二 对称矩阵对应于不同特征值的特征矢相互正交。
证：和 a 、b (a b )对应的特征值方程分别为
3
u(a) ij j
aui(a) ,
征矢对应的特征值为实数。
证：SU U 可写为
SU U (S I)U 0
其中I为单位矩阵
1 0 0
I
0
1
0
0 0 1
振动微分方程
当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力
（二）位移方程法（柔度法）
I (t )
R(t )
P 1
m y(t)
f（柔度 系数）
按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的 可得方程：
y(t ) f [ I (t ) R(t )]
柔度系数 f 和刚度系数 k 有如下关系：
(t ) cy (t ) m y
1 y (t ) 0 f
1 k f令Biblioteka 2 1 k mf m
则两种方法所得方程可写成统一形式
c (t ) y (t ) 2 y (t ) 0 y m 二、无阻尼自由振动
（一）运动微分方程解
单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程：
P(t )
t
二、动力计算的内容和研究方法
首先要确定动力计算简图，明确动力荷载的性质和规律，然后进行分析。无论是 确定结构的动力特性，或是计算动力反应，都是从研究结构质量的运动规律入手， 把质点的位移作为基本未知量，建立体系的运动方程，进行分析。
动力特性，是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振型）和阻 尼特性等。这些是结构自身的固有特性，与外部作用因素无关。 动力反应，是指动力荷载作用下，结构产生的内力、位移、速度、加速 度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关，即是时 间的函数；还与结构的动力特性有关。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡， 荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程
m y jw y(t)
可写出平衡方程：
（二）位移方程法（柔度法）
I (t )
R(t )
P 1
m y(t)
f（柔度 系数）
按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的 可得方程：
y(t ) f [ I (t ) R(t )]
柔度系数 f 和刚度系数 k 有如下关系：
(t ) cy (t ) m y
1 y (t ) 0 f
1 k f令Biblioteka 2 1 k mf m
则两种方法所得方程可写成统一形式
c (t ) y (t ) 2 y (t ) 0 y m 二、无阻尼自由振动
（一）运动微分方程解
单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程：
P(t )
t
二、动力计算的内容和研究方法
首先要确定动力计算简图，明确动力荷载的性质和规律，然后进行分析。无论是 确定结构的动力特性，或是计算动力反应，都是从研究结构质量的运动规律入手， 把质点的位移作为基本未知量，建立体系的运动方程，进行分析。
动力特性，是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振型）和阻 尼特性等。这些是结构自身的固有特性，与外部作用因素无关。 动力反应，是指动力荷载作用下，结构产生的内力、位移、速度、加速 度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关，即是时 间的函数；还与结构的动力特性有关。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡， 荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程
m y jw y(t)
可写出平衡方程：
第2章 离散系统的振动微分方程
θ (R-r) R
转动时，圆柱体绕质心轴转动，由 于无滑动，角速度为：
ω = v = 1 (R − r)θ&
rr
r φ
0
第2章 离散系统的振动微分方程
任一瞬时位置，圆柱体动能为
：T = 1 mv2 + 1 Iω 2 = 1 w [(R − r)θ&]2 + 1 w r 2 [1 (R − r)θ&]2 = 3 w (R − r)2θ&2
第2章 离散系统的振动微分方程
解：振动微分方程为：
[M ]{&x&} + [C]{x&} + [K ]{x} = 0
⎡m1 0 0 ⎤
[M
]
=
⎢ ⎢
0
m2
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 m3 ⎥⎦
第2章 离散系统的振动微分方程
⎡k1 + k2
[
K
]
=
⎢ ⎢
−k2
⎢⎣ 0
−k2 k2 + k3
−k3
0⎤
−k3
第2章 离散系统的振动微分方程
(2). 汽车前轮横梁，具有一定的质量和转动惯量， 在垂直方向，具有两自由度。
方法一：建立垂直方向和绕质心旋转方向的坐标
图1.2-8 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
方法二：在两个前轮位置分别建立垂直方向的坐标
图1.2-9 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
=
0
——常系数齐次微分方程
设 ωn2
=
g l
，则可以整理标准形式：
θ&& + ωn2 ⋅θ = 0
振动分析基础 第二章 (2.01-2.10)
。
之间
所以，研究响应和激励在频率域上的变化关系，可能要比从 时间域上来研究更能够了解系统的动力特性。 尤其的，讨论放大因子 H( ) 和相角 与激励频率 的变化关系，将能够更好的揭示系统的动力响应特性。 根据复数代数，放大因子 H( ) ，即复频(率)响应的模，等 于 H ( ) 的实部与虚部平方的和的开方，即：
(2.7)
2 A 2 x (t ) sin t cost 1 n 2 2 2 n 1 n 2 n
这时，引入如下表达：
(2.7)
2 n
1 n 2 n
n 附近， 1
放大因子明显增大，说 明响应的振幅将远大于 激励的幅值。这时，限 制响应振幅的就只有阻
尼因素。
图2－3. 放大因子与频率比在不同阻尼系数下的关系曲线
要确定“放大因子”对“频率比”的曲线的峰值点位置，可 用计算函数驻值的方法。将放大因子 (2.20) 式对驱动频率 导，并令结果为零，即可得到峰值点发生的位置为：
后，可由傅立叶变换和拉普拉斯变换来得到系统响应。
2.2 对谐波激励的响应
仍然考虑下图2－1所示的二阶线性阻尼系统：
x(t ) x(t )
F (t )
Fs (t ) Fd (t )
k
m
m
F (t )
c
图2－1. 二阶线性阻尼系统
已经知道，该系统运动微分方程为：
mx(t ) cx(t ) kx(t ) F (t )
这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。
系统对于外部激励的响应，其求解方法在很大程度上取决于 激励的类型。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍： ① 谐波激励：
机械振动第二章a
A B 稳态响应的实振幅
无阻尼情况：
B it F0 1 i t e x(t ) e 2 k 1 s2 1 s
7
it mx cx kx F0 e
F0 A k
F0 i (t ) i (t ) x e Ae k
1 (1 s 2 )2 (2 s)2
12
• 稳态响应特性
( s)
1 (1 s ) (2 s)
2 2 2
(s)
5 4 3 2 1
0
0 .1
（4）当 s 1
n
0.25 0.375 0 .5 1
( s ) 迅速增大 对应于较小 值，
s
0 1 2 3
当 0 结论：共振
( s)
0
初始条件响应 自由伴随振动 特点：以系统 固有频率为振 动频率
强迫响应
23
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) x0 cos nt
n
x0
sin nt
Bs B sin t sin t n 2 2 1 s 1 s
强迫响应
初始条件响应
自由伴随振动
如果是初始位移和初始速度皆为零的初始条件，则有
( s)
1 (1 s 2 )2 (2 s)2
1
2 s ( s) tg 1 s2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后 激振力的简谐振动 （ 2 ）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
0.25 0.375 0 .5 1
振动微分方程
2
yk ln iTr 2i yk i
2i
8.4单自由度体系的受迫振动
一、运动微分方程
体系在振动过程中有动力荷载P(t)或支座运动等外部干扰作用时，其振动称为 受迫（或强迫）振动。
P(t )
m
y(t)
S (t )
R(t )
P(t )
m
I (t )
（2）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置建立运动方程，所得 运动方程是代数方程而不是微分方程 （3）弹性力指向永与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同
例： 求图示梁频率
m1
EI=∞
m2
B
0 I2
A
a
k
a
A1
A
A2
B
2ak
2a
I10
此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为 A1 A2,惯性力幅值为
周期
T
2
频率
k 1 g g m mf mgf y jw
1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外 因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率； 2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比； 3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。
振幅
表示合成运动仍为简谐运动，其中A和φ 为：
初相位
v A y2 y tg 1 v
2
y
y y
v
y A t
0 -y
t
0
v
0
t -A T
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第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
例2-6 建立图示系统作微振动 的微分方程。 解：
建立广义坐标。 建立广义坐标。 选θ为 为 广义坐标，逆时为负， 广义坐标，逆时为负， OB静止时 为零，则 静止时θ 静止时 为零， x1=a θ ，x2=2a θ 。
图2-6 多质量系统
第二章 离散系统的振动微分方程
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
1. 等效刚度
计算方法： 刚度的定义。 计算方法：1) 刚度的定义。 2)等效前后系统势能不变。 等效前后系统势能不变。 等效前后系统势能不变
斜向布置的弹簧
等效弹簧刚度
Fx = F cosθ
斜置弹簧
kxe
x方向的力 = x方向的位移
x = ∆ cos θ
n n
& & P = ∑ ∫ 0 c i x i d xi = ∑ ∫ 0 c i x i2 d t
i =1 i =1
t
t
关键是要清楚 各个元件的能 量表达式
3）利用能量守恒原理 ）
d V + U + P） d t = 0 （ /
得到的方程经整理， 得到的方程经整理，线性化后就能得到系统的振 动微分方程。 动微分方程。
例 2-10 （1）建立广义坐标。 ）建立广义坐标。 质量m 的位移x 质量 i 的位移 i，质 量mi静平衡位置为原 方向向右为正。 点，方向向右为正。 （2）隔离体受力分析 ） 广义位移、速度、 广义位移、速度、加 速度均为正 n个自由度的系统 个自由度的系统
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
并联阻尼： c e = ∑ c i 并联阻尼：
i =1
传动系统：传动比 ，主动轴扭转阻尼系数c 传动系统：传动比i，主动轴扭转阻尼系数 t1，从动轴 扭转阻尼系数c 主动轴向从动轴等效时， 扭转阻尼系数 t2，主动轴向从动轴等效时， 主动轴等效扭转阻尼系数 ct1e=ct1 / i 2
第二章 离散系统的振动微分方程
θ& 22
2
+
1 J 2 θ& 22 2
传动系统
等效后系统的动能
1 1 2 2 Ve = J 1 e θ& 2 + J 2 θ& 2 2 2
∵
Ve = V
J 1e = J 1 / i
2
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
三. 多自由度系统 1. 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理
第二章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
三要素” 二.离散化的力学模型 （“三要素”） 1.质量元件 1.质量元件
---无弹性、不耗能的刚体， ---无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 无弹性
平动： 平动： 转动： 转动： 动 能
Fm = m && x
力、质量和加速度的单位分 别为N、 和 别为 、kg和m / s 2。 力矩、 力矩、转动惯量和角加速度的单位分别 为Nm、kg m 2和rad / s 2 、
4
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
二. 等效系统 单自由度振动系统微分方程的一般形式
& 平动： m e && + c e x + k e x = F ( t ) 平动： x
& & 转动： 转动： J e θ& + c t e θ + k t e
θ =T (t )
多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 等效为一个质量 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。 等效成一个质量元件和一个弹性元件
3.阻尼元件 阻尼元件
---无质量、无弹性、 ---无质量、无弹性、线性耗能元件 无质量
平动： 平动： 转动： 转动：
& Fd = c x
力、阻尼系数和速度的单位 分别为N、 分别为 、N· s/ m和m/s。 和 。 力矩、 力矩、扭转阻尼系数和角速度的单 位分别为Nm、 Nms / rad和rad/s 位分别为 、 和
2.3 振动微分方程的建立
一.单自由度系统 1. 力法 工具：牛顿第二定律、 工具：牛顿第二定律、质系动量矩定理 步骤： 步骤： 1）建立广义坐标 ） 2）作质量元件的隔离体受力分析图 ） 3）建立振动微分方程并整理成标准的形式 ）
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
例2-3 建立图示系统在铅垂方 向振动的微分方程。
(
)
等效后势能
2 2 U e = k t1 e θ 2 / 2 + k t 2 θ 2 / 2
传动系统
等效刚度
k t1 e = k t1 / i 2
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
2. 等效阻尼
计算方法： 类似于等效刚度） 计算方法：（类似于等效刚度）
n n 1 1 串联阻尼： 串联阻尼： = ∑ ce i = 1 ci
2 c
Tm
& = J θ&
2
1 1 & ，刚体移动： = mx & 质点平动： 刚体移动： V V 质点平动： = mx 2 2 1 & 刚体转动： 刚体转动：V = Jθ 2
2
第二章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
2.弹性元件 2.弹性元件
---无质量、不耗能， ---无质量、不耗能，储存势能的元件 无质量
例2-4
& m l 2θ& + m g l sin θ = 0
sin θ ≈ θ
& （ θ& + g l） = 0 θ
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
建立图示U形管中液柱振 建立图示 形管中液柱振 截面积a， 动的微分方程。（截面积 ，液柱长 l ）
例2-5
建立广义坐标。 建立广义坐标。设系统平衡时液面 的位置为广义坐标的零位， 的位置为广义坐标的零位，液柱沿 直管上升的距离y为广义坐标 为广义坐标。 直管上升的距离 为广义坐标。 受力分析 由D’Alembert原理得到 原理得到
例2-1
机组质量集中 为一个质量元 件，弹性支承 简化成并联的 弹簧和阻尼器。 弹簧和阻尼器。
图 2.1 弹性安装的柴油发电机组 .
第二章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-2
图2.2 柴油机推进轴系 . 1. 活塞 2. 连杆 3. 曲轴 4. 飞轮 5. 中间轴 6. 螺旋桨
2.3 振动微分方程的建立
1 & & 1 & m1 a2 θ 2 + 2 m 2 a 2 θ 2 + m3 a 2 θ 2 2 2 1 1 1 9 U = k 1 a 2 θ 2 + k 2 4a 2 θ 2 + k 3 a 2 θ 2 2 2 4 V =
系统的动能V 系统的动能 势能U 势能 耗散能P 耗散能 由能量守恒原理得到
2.3 振动微分方程的建立
3. 等效质量
计算方法： 计算方法：等效前后系统动能不变 例2-7 求图示系统对A点的等效质量 求图示系统对 点的等效质量 弹簧-杠杆（质量不计） 弹簧 杠杆（质量不计） 杠杆 -质量系统 质量系统
2 & 1 1 x 1 & & 等效前系统的动能 V = m a x 2 + m b 2 l = ( m a + 4 m b ) x 2 2 2 2 l 1 & 等效后系统的动能 Ve = m e x 2 2
k x e = Fx / x = k cos 2 θ
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
并联弹簧
等效弹簧刚度
Fx = ( ∑ k i ) x
i =1
n
Fx = ∑ ki ke = x i =1
n
并联弹簧
第二章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
串联弹簧
等效弹簧刚度
（3）建立方程 ）
& & & F1 (t ) − c 1 x 1 − c 2 ( x 1 − x 2 ) − k 1 x 1 − k 2 ( x 1 − x 2 ) = m 1 &&1 x
LL
& & & & Fi (t ) − c i ( x i − x i −1 ) − c i +1 ( x i − x i +1 ) − k i ( x i − x i −1 ) − k i +1 ( x i − x i +1 ) = m i &&i x LL
2
P=0
& θ （ [ m 1 a 2 + 4 m 2 a 2 + m 3 a 2 ）& +
2 2
1 & ( k 1 a + 4 k 2 a + 2 k 3 a 2 ) θ ]θ = 0 4 2 2 2 && + ( k a 2 + 4 k a 2 + 2 1 k a 2 ) θ = 0 （ m1 a + 4 m 2 a + m 3 a ） θ 1 2 3
原 则
• • • • 弹性较小而质量较大的构件 质量较小而弹性较大的构件 阻尼较大的部分 质量、 质量、弹性和阻尼均布 → → → →