(新课程)高中数学《3.1.2 用二分法求方程的近似解》课件新人教A版必修1

合集下载

必修1课件：3.1.2《用二分法求方程的近似解(四)》课件ppt

3
142 273
y
f(x)= 2 x+3x-7
可知f(1)·f(2)<0,说明在区间说明在区间(1,2)内有零点。可知说明在区间内有零点通过计算得下表
区间[a,b] 区间[a,b] a 1 1 1.25 1.375 1.375 b 2 1.5 1.5 1.5 1.4375 中点c 中点c 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 f （c ） 0.328427125 -0.87158577 -0.281320891 0.021011094 -0.13078 -1 0
（1）若f（c）=0， c就是函数的零点。）（），就是函数的零点则就是函数的零点。（2）若f（a）·f（c）﹤0，）（）（），（3）若f（c）·f（b）﹤0，）（）（），
则令b=c（此时零点 x 0 ∈（a，c））；（则令，））；则令a=c（此时零点 x 0 ∈（c，b）；（则令，）； 4.判断是否达到精确度；若︱ a-b︱﹤m则得到零点判断是否达到精确度；判断是否达到精确度则得到零点近似值a（或b）；否则重复2～4。近似值（）；否则重复。）；否则重复
2 2.5
2.75
3
因为︱因为︱2.5-2.5625︱=0.0625 <0.1时，2.5（或2.5625）就是方程︱时（） lnx+2x-6=0的近似解的近似解 2.5 根 2.5625
二分法定义: 二分法定义
对于在区间[a,b]上连续不断且＿＿＿＿＿的函数上连续不断且对于在区间＿＿＿＿＿＿＿＿＿ f(a)·f(b)<0 y=f(x),通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，的零点所在的区间一分为二，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .

高一数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3课件新人教A版必修1

返回
第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次第11次
左端点
0 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734 375 0.742 1875 0.742 1875 0.742 1875
右端点
2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 675
值α满足|a-α|<ε或|b-α|<ε，所以只需取零点近似解x0=a或(b).
（2）若在区间［an,bn］上，|an-bn|<2ε，取零点近似解x0=
，
则|x0-a|< |an-bn|<ε.
返回
［1.437 5,1.463 125］
x7 1.4453125
f(x7)>0
［1.437 5,1.445 312 5］
返回
∵1.445 312 5-1.437
1.4375 1.4453125
5=02.007 812 5<0.01,
∴
【确评定≈近1似.析要44解使】为.函区此数间类的长问一度题个小的，求否解则，会首增先加是运大算致次区数间和的
元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，
猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际
上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设
计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
价格区间［500,1 000］的中点750,如果主持人说低了，就
再取［750,1 000］的中点875；否则取另一个区间
返回
学点一用二分法求零点的近似值求函数f(x)=x3-3的一个正零点（精确到0.01）.

【高中数学必修一】3.1.2二分法求方程的近似解

知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
(2)要找出稍重的球，尽量将稍重的球所在的范围尽量的缩小，我们通过不断地 “平分球” 、 “锁定” 、 “淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围，直到满意为止.
(3)这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.
新知展现
1.二分法的定义
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所在的范围(区间).
知识探究(一)：二分法的概念
思考3：通过阅读教材，你知道是用什么办法将零点所在范围(区间)缩小的?
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所在的范围(区间).
ab 一般地，我们把 x 称 2
为区间(a,b)的中点.
知识探究(一)：二分法的概念
另种情况为
一样重
知识探究(一)：二分法的概念
一分为二(3)
另种情况为
一样重
被选出的球为最重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
知识探究(一)：二分法的概念

福建省安溪蓝溪中学人教A版高中数学必修一课件 3.1.2用二分法求方程的近似解

x1,并且这个解在区间（2,3）内。
设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得：
f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3) f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0, f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)
23
f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625)
（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
（2）若f(a).f(x1)<0，则令b= x1（此时零点x0∈(a, x1) ); （3）若f(x1).f(b)<0，则令a= x1（此时零点x0∈( x1,,b));
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε 则得
到零点近似值a(或b),否则重复2~4
所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。
第十六页，编辑于星期日：十九点二十九分。
二分法概念
y
a
0
b
x
对于在区间a, b上连续不断且 f a • f b 0的函
数y f x ,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
模拟实验室
第九页，编辑于星期日：十九点二十九分。
模拟实验室
我在这里
第十页，编辑于星期日：十九点二十九分。
模拟实验室
第十一页，编辑于星期日：十九点二十九分。
模拟实பைடு நூலகம்室
第十二页，编辑于星期日：十九点二十九分。
模拟实验室
我在这里
第十三页，编辑于星期日：十九点二十九分。

2019A新高中数学必修第一册：3.1.2 用二分法求方程的近似解

f(1)=-2, f(2)=1,
根所在区间
中点
f(中点)
(1, 2)
1.5
-1
(1.5, 2)
1.75
-0.125
(1.75, 2)
1.875
0.4
(1.75, 1.875)
1.8125 0.13
(1.75, 1.8125)
|1.75-1.8125)| =0.0625 <0.1,
|1.75-(1.8)| =0.05 <0.1.
34 6x
(A)
(B)
(C)
(D)
分析: 用二分法求解需在区间 [a, b] 上连续不断, 且 f(a)·f(b)<0 的函数.
A、C 图不满足 f(a)·f(b)<0.
3. 借助计算器或计算机, 用二分法求方程 (x1) (x2)(x-3)=1 在区间 (-1, 0) 内的近似解 (精确到0.1).
f(1.375)·f(1.5)<0, 取1.375与1.5的中点1.4375, f(1.4375)≈0.02,
f(1.375)·f(1.4375)<0,
|1.4375-1.375| = 0.0625 <0.1, ∴方程的近似解为 x=1.4. (用表格表示如下)
例2. 借助计算器或计算机用二分法求方程
f(中点) -0.1 0.5 0.2
y 2.5
2
o
3x
(2.5, 2.625)
2.5625 0.1
2.75
(2.5, 2.5625)
2.53125 -0.01
(2.53125, 2.5625) 2.546875 0.03
(2.53125, 2.546875) 2.5390625 0.01

《用二分法求方程的近似解》教学设计

3.1.2用二分法求方程的近似解本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修1》（人教A版）第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》第二小节《用二分法求方程的近似解》.一、教学背景分析1.教学内容分析函数与方程是中学阶段研究的重要数学模型，本节课是学生在系统学习了集合、函数的概念及性质以及基本初等函数（I）之后，研究函数与方程关系的内容，是《函数与方程》一节的重点.二分法是数值计算中最简单常用的一种方法.本节课学生通过对具体实例的探究，借助图形计算器用二分法求相应函数零点的近似解，经历用函数的观点看方程的思维过程，在问题的解决中突出函数的应用，深化对函数与方程联系的理解，初步形成用函数观点处理问题的意识，这是本节课的一条明线；总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，发展学生的数学抽象能力，是本节课的一条暗线.这也是研究程序性知识的一条主线.图形计算器可以实现求方程的近似解，但是内置的程序是由人设计的，并且“二分法”的产生要远远早于计算器，因此对于此内容的学习是十分必要的：我们要“教”计算器如何求解.2.学生学情分析初中阶段，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程，并会用求根公式求一元二次方程的根；高中阶段，学生学习了基本初等函数（I），对指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质都有了比较深入的研究，同时对“数形结合”思想有了较为深入的理解和应用；另外，前一节内容的学习，不仅把函数与方程联系起来，还可以利用零点的存在性定理判断零点是否存在。

这些都为本节课的学习奠定了基础.同时对已经学过此内容的高二、高三学生的调研发现，学生对于“精确度”的概念非常模糊，这也对我们的教学提供了参考.二、教学目标设计基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：1.知识与技能（1）通过具体实例，能够借助图形计算器用二分法求相应方程的近似解（给定精度），体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；（2）通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来；2.过程与方法经历借助图形计算器画出具体函数的图像、用二分法求函数零点的近似值、总结二分法实施步骤的过程，体会其中所蕴含的函数与方程思想、数形结合思想、逼近思想以及从具体到一般的研究方法等；3.情感态度与价值观引导学生用联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系；发展学生的理性思维.【教学重点】理解二分法的基本思想、会用二分法求方程的近似解.【教学难点】精确度的概念、归纳概括二分法的实施步骤并用准确的数学语言表述.三、教学策略分析为了更好地突出重点，我在引入环节通过具体实例以及介绍历史上方程求解的发展脉络引入课题——求方程的近似解，首先解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.至于“如何研究”则通过具体实例ln 260x x +-=阐释.在这个过程中借助图形计算器充分体现数形结合思想，并将数形结合思想具体化落实：1.从数到形：方程的解——函数的零点——函数图象与x 轴的交点；2.从形到数：交点的坐标——数轴上的区间——表格数据——二分法的形成.为了突破难点，在具体实例的解决中采用问题串的形式引导、激发学生的探究热情：“如何将零点所在区间缩小”、“如何停止”等，由此引出 “精确度”的概念.为了突破此难点，首先在引入中用“误差”做铺垫，同时利用数轴进行直观解释.而从具体实例中的二分法上升到归纳概括一般步骤对于学生是困难的，在教学中首先在解决具体问题中引导学生思考“第一步做什么，第二步做什么……”，然后引导学生用文字语言表述并尝试用数学符号语言表述，同时利用数轴的直观来突破符号语言中“赋值”这一难点.本节课的核心内容是“用二分法求方程的近似解，体会二分法思想”，为了不冲淡本节课的主题，在教学中设计应用TI 图形计算器：作图功能、表格功能（计算函数值）、求解功能.图形计算器的使用，可以帮助我们实现“数形结合”的具体化落实，对知识的发展起到了助力作用.三、教学过程的设计与实施（一）具体实例，引出课题【问题1】2018年5月15日北大珠峰登山队成功登顶世界第一高峰珠穆朗玛峰，以此庆贺北大建校120周年.我们知道，随着海拔的升高，大气压强会降低,空气中的含氧量会降低，影响人的身体.（1）登山队员为了实时监测身处地的大气压强，从某公司购买了先进的气压表，在其产品参数中有这样一句话：经订正后测量误差不大于200Pa ，你如何理解这句话？（2）已知大气压强y （单位Pa ）与海拔x （单位m ）间的关系式为：()5.25885ln 288.150.006518.2573x y e ⨯--=.2018年5月13日登山队计划前往海拔7790米的营地，但是某队员身体不适，当压强降低为海拔的5.5倍时他就必须停止攀登，此时他能否到达该营地呢？【设计意图】从一个实际问题引入，首先让学生体会现实生活中存在大量取近似值问题，如生产零食袋上标注的净含量、22m 的正方形地面砖等,另一方面（1）中的“误差”也为要学习的“精确度”概念做铺垫.对于（2）可以从两个角度将实际问题转化为数学问题：一是求方程()5.25885ln 288.150.006518.2573 5.5x e x ⨯--=的解，与7790比较；二是将7790代入关系式求出压强，利用压强与海拔的比值进行判断.本节课我们抓住角度一，让学生产认知冲突，激发学生的求知欲望并体会求近似解的必要性，同时引入方程求解的历史，让学生感受数学文化方面的熏陶.这样我们就解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.（二）问题引领，探究方法【问题2】如何求方程ln 260x x +-=的近似解？【设计意图】由于问题1中方程较为复杂，为了计算方便研究此方程.引导学生从函数与方程联系角度将求方程的解进行转化：一种是转化为求函数()ln 26f x x x =+-零点的近似值；另一种是将方程变形为ln 62x x =-，转化为求函数ln ,62y x y x ==-交点横坐标的近似值.通过学生小组合作探究、教师追问解决如下问题：函数的零点是否存在？如果存在有几个？并找到零点的一个大致范围.二分法源于逐步搜索法，该方法基于连续函数零点存在性定理：按某规则将区间[],a b 分成若干个子区间，在每个子区间上计算端点值，一旦发现两端点的函数值异号，则可断定该子区间上至少有一个零点.本节课作为二分法的起始课，确定初始区间[],a b 是十分重要的，因为我们只需要求出一个零点即可，不需要考虑所有零点，所以课本上给出了一个单调函数的例子（至多有一个零点）.可以通过两种途径寻找零点大致范围：借助图形计算器画出函数图象；利用函数零点存在性定理判断.如果学生选择前者，那就需要用零点存在定理进行验证；如果学生选择后者，要引导学生通过图象观察函数的单调性，以此来确定零点个数。

2019-2020高中数学必修一课件：3.1.2用二分法求方程的近似解

第二十四页，编辑于星期日：点三十六分。
【错因】本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度 ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
【正解】由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 [2,3] [2,2.5] [2,2.25] [2.125,2.25] [2.187 5,2.25]
第十页，编辑于星期日：点三十六分。
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分
法求解的零点个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
【答案】D
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右
函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3.
故选D．
第十一页，编辑于星期日：点三十六分。
第九页，编辑于星期日：点三十六分。
【方法规律】1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.“二分法”与判定函数零点存在的方法密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用 “二分法”求函数零点.
第十九页，编辑于星期日：点三十六分。
【方法规律】1.二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
2.本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的.

2020-2021学年高一上学期数学人教A版必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解精品课件(共

（1）若 f(c) =0 ，则c就是函数的零点；
（2）若 f(a) f(c)<0 ，则令b=c（此时零点
x0∈(a,c))；（3）若 f(c) f(b)<0 ，则令a=c(此时零点
x0∈(c，b))。
4，判断是否达到精确度ε：即若| a'-b|' <ε，
则得到零点近似值 a（' 或 b'）；否则重复2～4。
f(2)=-1.3069
f(3)=1.0986
次数 (a+b)/2 f[(a+b)/2] 区间(a,b)
|a-b|
1
2.5
－0.084
(2.5，3)
0.5
2
2.75
0.512
(2.5 , 2.75)
0.25
3
2.625
0.215
(2.5 , 2.625)
0.125
4
2.5625
0.066
(2.5 , 2.5625)
数值逼近的其中一个思想：将数轴上的一个区间无限缩小，最终将逼
近到数轴上的一个点。
思考：求下列方程的解
(1) 2x-16=0
解得：x=8
(2) x2-3x-4=0
解得：x=-1或4
(3) lnx+2x-6=0
?
解方程 : ••ln x 2x 6 0
找函数•f ( x) ln x 2x 6的零点逐渐缩小函数f ( x) ln x 2x 6的零点所在范围
逼近零点
寻找函数f（x）=lnx+2x-6的零点。
f（x）的定义域为（0，+∞），单调递增。
f(2)f(3)<0, 零点在（2,3）里，且只有一个零点。

3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一数学优秀课件)

f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口诀
定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（（B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？第一步：得到初始区间（2，3）第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去：若要求结精确度为0.1，则何时停止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)

数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件(新人教A版必修1)

（2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。
3.逐步逼近思想. 4.数形结合思想. 5.近似与精确的相对统一.
用二分法求方程的近似解一般步骤：
确定初始区间求中点，算其函数值Βιβλιοθήκη 缩小区间算长度，比精度下结论
返回
口诀
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
ε
牛刀小试：
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下：
f(2)=_____,f(3)=_____
单调
如何求出这个零点？
缩小零点所在的区间范围，直到满足精确度。
引例：有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
引例
从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？(每50米一根电线杆)
定区间，找中点，同号去，异号算，中值计算两边看. 零点落在异号间.
周而复始怎么办?
精确度上来判断.
x 0 1 2 3 4 5 f(x) -6 -2 3 10 21 40 6 75 7 142 8 273
练习：用二分法求方程x 3 lg x在(2, 3) 内的近似解(精确度0.1).
根所在区间（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.625）区间端点函数值符号 f(2)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(2.75)>0 f(2.5)<0，f(2.625)>0 中点值 2.5 2.75 2.625 2.5625 中点函数值符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0

人教版高中数学必修1(A版) 用二分法求方程的近似解 PPT课件

3.1.2用二分法求方程的近似解
情境引入
情境一：在一个风雨交加的夜里，从甲地到乙地的某一处电话线路出现了故障。这是一条长10公里的线路，其中每隔50米有一个电话杆。你能设计一种方案，以检查最少的次数查出故障吗？情境二：中央电视台“幸运52”节目有一个限时猜物的游戏：如果在限定的时间内你猜中某种商品的价格，就把该商品奖励给选手。现在一部价格在500~1000之间的手机，你能设计一种可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
重复上面的步骤，得零点x0 (2.5,2.625);
f (2.5) f (2.75) 0, 所以零点在区间（2.5, 2.75）内；
x0 (2.5,2.5625), x0 (2.53125,2.5625), x0 (2.53125,2.5390625), 由于 | 2.5390625- 2.53125| 0.0078125 0.01,
(1)若f (c) 0，则c就是函数的零点； (2)若f (a ) f (c) 0, 则令b c(此时零点x0 (a, c )); (3)若f (c) f (b) 0, 则令a c(此时零点x0 (c, b)).
4.判断是否达到精确度：即若 | a - c | , 则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2~4.
1 1 x 解：原方程可化为3 1 0,即3 1 x 1 x 1
x
g ( x)
且只有一个交点，所以原方程只有一解x x0 . x 1 x x 令f ( x) 3 3 1, x 1 x 1
f (0) 1 1 1 1 0, 1 1 3 f (0.5) 2 1 0, 3 3 x0 (.05, 0).
h( x )

最新人教A版高中数学必修一课件：3.1.2 第一课时函数的表示法

【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，
值域是________．解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．答案：[－3,3] [－2,2]
2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图2.
3．1.2 函数的表示法
明确目标
发展素养
1.掌握函数的三种表示方法：解 1.通过用图象法表示函数，培养直观想
析法、图象法、列表法．象素养．
2.会根据不同的需要选择恰当的 2.通过求函数解析式及分段函数求值，
方法表示函数．理解函数图象培养数学运算素养．
的作用． 3.利用分段函数解决实际问题，培养数
【学透用活】 [典例 3] 求下列函数的解析式： (1)已知函数 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求 f(x)．
题型三函数解析式的求法 [探究发现] (1)什么是函数解析式？ (2)一次函数、二次函数、反比例函数的解析式各是什么？提示：(1)用数学表达式表示两个变量 x，y 之间的对应关系． (2)一次函数的解析式是 y＝kx＋b(k≠0)，二次函数解析式是 y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)，反比例函数的解析式是 y＝kx(k≠0)．
()

2021年高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似值练习新人教A版必修1

2021年高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似值练习新人教A 版必修1基础梳理1．对于在区间[a ，b ]上连续不断，且满足f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做________．例如：指出下列函数中哪些能用二分法求其近似零点，哪些不能． ①y ＝2x ＋3；②y ＝x 2＋2x ＋1；③y ＝－3＋lg x .2．图象在闭区间[a ，b ]上连续不断的单调函数f (x )，在(a ，b )上至多有________．例如：判断下列函数在(－2，2)上的零点个数． ①y ＝－2x ；②y ＝3x－10.3．函数零点的性质．(1)从“数”的角度看：即是使f (x )＝____的实数；(2)从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与____交点的横坐标；(3)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与________，则零点x 0通常称为不变号零点； (4)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与________，则零点x 0通常称为变号零点． 4．用二分法求函数的变号零点．二分法的条件f (a )·f (b )＜0表明用________求函数的近似零点都是指________． 5．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤： (1)确定初始区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )____，给定精确度ε. (2)求区间(a ，b )的________(将a ＋b2称为区间[a ，b ]的中点)．(3)计算f (x 1)：①若f (x 1)＝0，则x 1是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令b ＝x 1[此时零点x 0∈(a ，x 1)]；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1[此时零点x 0∈(x 1，b )]．(4)判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)步骤．基础梳理1．一分为二二分法 ①③可以，②不行 2．一个零点 ①一个 ②0个3．(1)0 (2)x 轴 (3)x 轴相切 (4)x 轴相交 4．二分法变号零点 5．(1)＜0 (2)中点x 1思考应用1．用二分法求函数的零点近似值时应注意的问题有哪些？解析：首先要找到零点所在的一个区间[]a ，b ，即满足f (a )·f (b )＜0；其次是区间[]a ，b 的长度尽量小；再次是函数值f (a )、f (b )比较容易计算．2．根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的．若要求方程f (x )＝g (x )的实根，可研究哪个函数的零点？解析：可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，研究函数F (x )的零点，函数F (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实根．3．如何理解“精确度ε”的含义？解析：精确度ε是事先给定的任意一个正数．若函数零点的存在区间[]a ，b 满足：||b －a <ε，则区间[]a ，b 内的任意一个实数都是满足要求的零点近似值．自测自评1．设f ()x ＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在区间(1，2)内近似解的过程中得到f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根所在的区间是( )A ．(1.25，1.5) B. (1，1.25) C ．(1.5，2) D ．不能确定2．根据下表，能判断方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是( )C．(1，2) D．(2，3)3．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有唯一零点．如果用“二分法”求这个零点(精确到0.000 1)的近似值，求至少将区间(a，b)等分的次数．自测自评1．A2．解析：f(x)与g(x)的函数值大小发生转换的区间(0，1)．答案：B3．解析：将区间(a，b)等分n次后，区间长度变为(b－a)·12n ＝0.1×12n，即可精确到0.1×12n .令0.1×12n≤0.000 1，即2n≥1 000，∴n＞9.将区间(a，b)等分的次数至少是10.►基础达标1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点近似值的是( )1．解析：B图中函数无零点，故不能用二分法求其零点近似值．答案：B2．求方程f(x)＝0在[0，1]内的近似根，用二分法计算到x10＝0.445达到精度要求．那么所取误差限ε是( )A．0.05 B．0.005C．0.000 5 D．0.000 052．C3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．解析：记f(x)＝x3－2x－5，∵f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，f (2)＝8－4－5＝－1＜0，∴f (2.5)f (2)＜0，∴有根区间为(2，2.5)．答案：(2，2.5)4．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0，0.5)，f (0.25)B ．(0，1)，f (0.25)C ．(0.5，1)，f (0.25)D ．(0.5，1)，f (0.125)4．解析：函数f (x )连续，且f (0)f (0.5)＜0，∴x 0∈(0，0.5)，第二次计算应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．故选A.答案：A5．利用计算器，方程x 2－2x －1＝0在(1，3)内的近似解(精确到0.1)是( )A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.85．B6．在用二分法求方程f (x )＝0在[1，1.5]上的近似解时，经计算，f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，f (1.375)＜0，f (1.437 5)＞0，f (1.406 25)＜0，那么方程f (x )＝0的一个近似解为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.56．解析：∵f (1.406 25)f (1.437 5)＜0，∴方程f (x )＝0的根位于区间(1.406 25，1.437 5)内，精确到0.1的一个近似根是1.4.故选C.答案：C ►巩固提高7．方程x 3－2x 2＋3x －6＝0在区间[－2，4]上的根必属于区间( )A ．[－2，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，52 7．解析：令f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6，则f (－2)＝－28＜0，f (4)＝38＞0，f (1)＝－4＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝378＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＝－9764.故选D. 答案：D8．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f(x)至少有____个零点．8．解析：∵f(x)的图象是连续不断的由表知在(2，3)，(3，4)，(4，5)各至少有1个零点，故至少有3个零点．答案：39．利用计算器，求方程x3＋x＋4＝0的近似解(精确到0.1)．9．解析：令f(x)＝x3＋x＋4 ，因为函数f(x)＝x3＋x＋4 在R上是增函数，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 至多有1个零点．因为f(－2)f(－1)<0，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 的零点在(－2，－1)内，用二分法逐次计算，列表如下：取区间中点值中点函数值(－2，－1)－1.5－0.875(－1.5，－1)－1.250.797(－1.5，－1.25)－1.3750.025(－1.5，－1.375)－1.437 5－0.408(－1.437 5，－1.375)∵|－∴函数f(x)的零点近似值为－1.437 5.∴方程x3＋x＋4＝0的近似解为－1.4.10．利用计算器，用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－3在(2, 3)内的零点近似值(精确到0.1)．10．解析：∵f(x)＝lg x＋x－3在(2，3)上是连续不断的且在(2，3)上是单调增函数．取区间中点值中点函数值(2, 3) 2.5－0.102(负数)(2.5, 3) 2.750.189(正数)(2.5, 2，75) 2.6250.044(正数)(2.5，2.625) 2.562 5－0.029(负数)(2，562 5, 2.625)∴函数f(x)的零点近似值为2.6.1．用二分法求函数零点时，先要判断函数是否可用二分法求零点，注意数形结合，充分利用函数的图象，把近似计算与直观判断相结合．2．用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少运算量．3．注意“精确度”要求对结果的影响，不同的“精确度”要求，对结果有影响．g26513 6791 枑40354 9DA2 鶢S28745 7049 灉4 35081 8909 褉 37229 916D 酭_25089 6201 戁31786 7C2A 簪34912 8860 衠。

高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件新人教A版必修1

(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念．解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．

人教A版必修一3.1.2用二分法求方程的近似解

由于|0.6875－0.75|=0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解. 规律方法：（1）二分法解题流程：
（2）二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间［a，b］的长度|b－a|<0.1，此时a（或 b）即为零点近似值.而精确到0.1，是指a，b四舍五入精确到0.1的近似值相同，这个相同的近似值即为零点近似值. 变式训练2－1：利用计算器，求方程lg x=2－x的近似解（精确度0.1）解：作出y=lg x，y=2－x的图象可以发现，方程lg x=2－x有唯一解，设为x0，并且在区间（1，2）内，
（2）“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 变式训练1－1：下面关于二分法的叙述，正确的是（）（A）用二分法可求所有函数零点的近似值（B）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位（C）二分法无规律可循，无法在计算机上完成（D）只有在求函数零点时才用二分法解析：二分法是一种有规律的计算方法，它不仅用在数学中，在实际生活中也有非常广泛的应用，所以C、D的表述不对，又有些函数的零点不能用二分法求解，则A也错误.实际上，用二分法可以无限地缩短区间长度，可以精确到小数点后的任一位.故选B.
探究要点一：二分法概念的理解 1.二分法就是通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示零点.如图.
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中，不满足f（a）·f （b）<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.故选B. 规律方法：（1）准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

人教版高中数学课件-二分法

求函数y= 2x+3x-7的零点的近似解
用计算机演示
小结
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？学到了哪些知识？
1.什么是二分法？
2.有哪些特点的函数适合用二分法求其零点的近似解？
3.如何利用二分法求方程的近似解？
1.下列函数图像中，不能用二分法求其零点的近似值的有
y
y
y
y
x
x
x
x
0
0
0
0
A
Bபைடு நூலகம்
C
D
2.课本P92习题3.1第2题
ab) 2
;
若
f
(ab) 2
f
(b) 0
，则零点
x0
(
ab 2
,b)
;
4.判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε,则零点值为a（或b）, 否则重复步骤2—4.
例2：求方程 2x+3x-7=0 的近似解（精确到0.001）
转化成求函数y= 2x+3x-7的零点的近似值探求函数y= 2x+3x-7的零点的个数确定函数y= 2x+3x-7的零点所在的大致区间
4 1.687 0.1804 （1.625 ,1.687） 0.063
何时终止计算呢？
<0.1
问题：精确度ε=0.001时，借助计算器或计算机
用二分法求方程x3+2x-8=0的近似解.
用EXCEL计算
二分法：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

用二分法求方程的近似解(教学课件)-高一数学同步备课(人教A版2019必修第一册)

而 (1.125) ≈ −0.4512 < 0，
则 ( )的零点在(1.125,1.25)上，
1
所以 ( ) = 3 + − 3在区间 1,2 上递增，
又由 2 (1.125 + 1.25) = 1.1875，
1 = −1 < 0， 2 = 7 > 0，
而 (1.1875) ≈ −0.1379 < 0，
【解析】 = 3 + 2 − 1在R上单调递增，
0.5 − 0.4375 = 0.0625 < 0.1，
0 = −1 < 0, 1 = 2 > 0, 0 ⋅ 1 < 0，
所以在区间 0,1 内的零点的近似值为0.4375
所以在区间 0,1 内有唯一零点，
0.5 = 0.125，
值的方法叫做二分法.
注：判断一个函数能否用二分法的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该
零点为变号零点.
新知2：用二分法求函数零点的一般步骤：
给定精确度，用二分法求函数 = ()零点的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点初始区间[, ]，验证()() < .
2.求区间(, )的中点.
的零点．
第一次
5
6
1
5 = 0. 9 5 −
10
21
≈ 0.114，
第二次
5．5
6
0．5
6 = 0. 9 6 −
12
21
≈ −0.040 < 0，
第三次
5．5
5．75
0．25
所以取初始区间为 5,6 ，用二分法求解，如下表：
第四次
5．625