高中数学教学论文 一类圆锥曲线相交弦问题的统一研究

1 2 0;
ep 2 即直线 c 为过顶点 A 的切线时, 1 2 ; 1 e 1 e
当 e 1 ,即方程(1)表示抛物线时,
1 2 1;
推论 3.当直线 c 过有心圆锥曲线的中心 (e 1) 时, 即xa
e2 p 2 时, 1 2 . 2 1 e2 1 e
x ky (k 0)
(3) .
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1
点 A、B、M 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), (a, y3 ) .由 x a 得 y3 由 MA 1 AF 得


a . k
1 y1 y3 y1 , 1
由 MB 2 BF 得
2007 年福建高考试卷第 20 题,就是推论 1.
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尊敬的编辑老师： 您好！ 向贵刊投一篇短文《一类圆锥曲线相交弦问题的统一研究》.本文在圆锥曲线统一方程 的基础上,证明了定理：过圆锥曲线的焦点 F 的直线 m 与圆锥曲线相交于 A、B 两点，交平 行于准线的直线 c 于点 M.若 MA 1 AF , MB 2 BF ,则有 1 2 为定值.并作特殊化处 理得到三个重要推论.2007 年福建高考第 20 题和很多习题集中的问题都是推论的内容.
(1 e 2 ) x 2 2e 2 px e 2 p 2 0
(2);
当 e 1 时,方程(1)表示有心圆锥曲线.设方程(2)的两根为 x1 、x2 ,由韦达定理得:
2e 2 p x1 x2 e2 p e2 p x1 x2 , .即有心圆锥曲线的中心为 ( , 0) ； 1 e2 2 1 e2 1 e2
一类圆锥曲线相交弦问题的统一研究
定理:过圆锥曲线的焦点 F 的直线 m 与圆锥曲线相交于 A、B 两点，交平行于准线的直 线 c 于点 M.若 MA 1 AF , MB 2 BF ,则有 1 2 为定值. 当直线 c 为圆锥曲线的准线;过顶点的切线;过有心圆锥曲线的中心时,都可以作为定理 的推论.这样做是一举多得,这是统一研究的一种形式. 这个定理的证明有两种方法,一种是分为椭圆、双曲线、抛物线三种情况证明，另一种 是建立圆锥曲线的统一方程，一起证明.我们采用后一种方法，统一证明，使过程缩短，这 是统一研究的重要方法. 我们拟使用的是人教版解析几何课本中，由极坐标的圆锥曲线统一方程转化为直角坐 标系的方程(如图 1):
y3 1 ; y1


2 y2 y3 y2 , 2 1 2 y3 (
y3 1. y2
1 1 y y ) 2 y3 ( 1 2 ) 2. y1 y2 y1 y2
2 2 2 2 2 2 2
把方程(3)代入方程(1),并整理得: (k k e 1) y 2e pky e p 0 . 由韦达定理得:
y1 y2
y y2 2e 2 pk e 2 p 2 2k , y y . 1 . 1 2 2 2 2 2 2 2 k k e 1 k k e 1 y1 y2 p
1 2
a 2k 2a ( ) 2 2 (定值). k p p
推论 1.当 a p 时,即直线 c 为准线 x p 时, 推论 2.当 a
解得方程(2)的两根为 x1 顶点 E 的坐标为 (
ep ep .显然图 1 中 , x2 1 e 1 e
ep , 0) . 1 e p 当 e 1 时,点 E 的坐标为 ( , 0) . 2 ep 可以统一记为 E ( , 0) . 1 e
下面我们在圆锥曲线统一方程(1)的情况下,证明定理. 如图 2,设直
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(1 e 2 ) x 2 y 2 2e 2 px e 2 p 2 0
(1).
在方程(1)中, p 表示焦点 F 到准线 l 的距离, e 表 示离心率.当 0 e 1 时, 表示椭圆;当 e 1 时, 表 示双曲线(两支);当 e 1 时, 表示抛物线. 这是焦点重合的圆锥曲线的统一方程. 在此情况下，准线 l 的方程为 x p ； 在方程(1)中,令 y 0 得