40高考数学试卷分析与复习展望-PPT40

试题点评与答卷分析 (附参考答案) 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（理科） （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.解析：（1）由131m m a a +=+得1113().22m m a a ++=+ 又113a 22+=，所以，{12m a + } 是首项为32，公比为3的等比数列。

12m a +=32m，因此{n a }的通项公式为m a =312m -；（2）由（1）知1m a =231m -，因为当n ≥1时，31m -≥123,m -⨯所以，1113123m m -≤-⨯ 于是，11211111133m m a a a -+++≤+++ =313(1)232m -<所以，1211132m a a a +++< 。

17.（文科）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（Ⅰ）求C 和BD ； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.解析：（1）由题设及余弦定理得①2BD =2BC +2CD -2BC-CDcosC=13-12cosC ②2BD =2AB +2DA -2AB ∙DAcosA=5+4cosC 由①②得cosC =12,故 C=60°，（2）四边形ABCD 的面积S=12AB×DAsinA+12BC×CDsinC=(12⨯1⨯2+12⨯3⨯2)sin60°=18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，三棱锥E-ACD 的体积. （理科） 解析：（1）连结BD 交AC 于点O,连结EO因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为的PD 的中点，所以EO PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC（2）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂直如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系，则A —xyz,则则E(0,2,12),AE12) 设B(m,0,0)(m ＞0)，则C （0），设n(x,y,z)为平面ACE 的法向量，则{1100n AC n AE ∙=∙= ，即012mx y z =+= 可取1n =（m，又2n =（1,0,0）为平面DAE 的法向量，由题设12cos(,)n n =12=12，解得m=32 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12，三棱锥E-ACD 的体积为 V=13⨯12⨯⨯32⨯12=8（18）（文科）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设1,AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积V =A 到平面PBC 的距离. 解析：（1） 设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E为PD 的中点，所EO//PB ，EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC（2） V=16PA ×AB ×AD=6AB ，由V=4，可得AB=32作AH ⊥PB 交PB 于H由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥PBC 。

又13PA AB AH PB ⋅==所以A 到平面PBC 的距离为13。

19（理科）. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 解析：（1）由所得数据计算得t =17（1+2+3+4+5+6+7）=4， y =17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3，7211()i t t =-∑=9+4+1+0+1+4+9=28， 7111()()i tt y y =--∑=(-3)⨯(-1.4)+(-2)⨯(-1)+(-1)⨯(-0.7)+0⨯0.1+1⨯0.5+2⨯0.9+3⨯1.6=14， b=71117211()()()i i tt y y tt ==---∑∑=1428=0.5，a=y -b t =4.3-0.5⨯4=2.3所求回归方程为y =0.5t+2.3 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得y=0.5×9+2.3=6.8故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元（19）（文科）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评优.解析：（1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在25、26位的是75、75，故样本中位数是75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序， 排在25、26位的是68、68，故样本中位数,66、68，故样本中为数是 6668672+= ，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.150=，80.1650=，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数。

而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大。

(注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）20.（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （理科） （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 解析：（Ⅰ）根据c=以及题设知M （c ，），2=3ac将=-代入2=3ac ，解得=，=-2（舍去） 故C 的离心率为（Ⅱ）由题意，原点O 的的中点，M ∥y 轴，所以直线M 与y 轴的交点D 是线段M 的中点，故=4，即①，由=得=设N （x ，y ），由题意可知y<0,则 即，代入方程C ，得+=1 ②将①以及c=代入②得到+=1，解得a=7，a=7，（20）（文科）（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .解析：（Ⅰ）根据c=以及题设知M （c ，），2=3ac将=-代入2=3ac ，解得=，=-2（舍去），故C 的离心率为 （Ⅱ）由题意，原点O 的的中点，M ∥y 轴，所以直线M 与y 轴的交点D 是线段M 的中点，故=4，即 ①由=得=设N （x ，y ），由题意可知y<0,则 即代入方程C ，得+=1 ② 将①以及c=代入②得到+=1解得a=7， a=7，21. （本小题满分12分）已知函数()f x =2x x e e x ---（理科）（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001） 解析：（1）.)(.02-12≥2-12-)(∴∈2--)(--上单增在所以，，R x f e e e e e e x f R x x e e x f xxx x x x x x =•+=+=′= （2）2≥22≥0-0≥)-(-))((0≥)-(2-2-2.0≥)(0,t t),(0,∈∃x ∴)-(2-2-2)(.0)0(,0m m),(0,∈x )2-(2-2-)(.0≥)2-(2-2-0≥)2-(4-4-22.0≥)(0,m m),(0,∈∃x ∴)2-(4-4-22)(.0)0(,0),2--(4-4--)(.0,0)2--(4-4--)(4-)2()(--------2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2的最大值为，所以，即即，且，即即使，则，同理，令即即使，则令b b e e e e b e e e e e e b e e e e e e b e e x m e e b e e x m m e e b e e x m e e b e e e e b e e x h e e b e e x h h x x e e b x e e x h x x e e b x e e x bf x f x g x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =•>++>+>=′=>++=++++′>++=′=>=>>==（3） 由（2）知，32(21)ln 22b -+->0,ln2>312>0.6928 当b=14+时，32)ln 22-<0,ln2<1828+<0.6934 所以，ln2的近似值为0.693.21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（文科）（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.解析：（）(x)=3-6x+a,(0)=a曲线y=f （x ）在点（0,2）处的切线方程为y=ax+2由题设可知1-k>0当x (x)= =3-6x+1-k>0，g （x ）单调递增，g （-1）=k-1<0,g(0)=4 所以g （x ）=0有（-当x>0时，令h （x ）=-3+4，则g （x ）= h （x ）（1-k ）x> h （x）(x)=-6x=3x(x-2)所以g （x ）>h(x)(2)=0 所以g （x ）=0在（0，）没有实根 综上，g （x ）=0在R 有唯一的实根，即曲线的y=f （x ）与直线y=kx-2只有一个交点（22）（文理）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，P 是O外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明： （Ⅰ）BE EC =；（Ⅱ）22AD DEPB ⋅=解析：（1）EC.BE BE ∠CE ∠BE ∠αBE,∠βαβBE ∠∠DEB ∠PDA ∠∠∠∠∠.AE ∠CE ,∠EB ∠,,,2===+=+∴+===+=+====∠Δ=∴==，所以，即即则连接为等腰三角形。