质系动量矩定理(II)
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动量矩定理
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将其对求二阶导数,得质心加速度的表达式
C = lθ cos θ lθ 2 sin θ x
C = lθ sin θ lθ 2 cos θ y
1 2 由 J C = ml ,联立解得 3
θ =
3g 3g sin θ 4l
3 F A = mg sin θ cos θ mlθ 2 sin θ 4
2 r 2 + ρC M ≤ fsmg r
例12-7 均质细杆AB长2l,质量为m,B端搁在光滑水平地板上, A端靠在光滑墙壁上,A,B均在垂直于墙壁的同一铅直平面内. 初瞬时,杆与墙壁的夹角为θ0,杆由静止开始运动,求杆的角加 速度,角速度及墙壁和地面的反力,(表示为θ 的函数). 解:以杆为研究对象,其受力图如 图示,列平面运动方程
dMv C ( = FRe) = ∑Fi(e ) dt
∑ri′ × Fi(e ) = ∑mC ( Fi (e ) ) = M C
drC × Mv C = v C × Mv C = 0 dt
′ dLC (e) = ∑mC (Fi ) = MC dt
质点系相对于随质心平移坐标系的相对动量矩对时 间的一阶导数,等于质点系的外力对质心之矩的矢 量和.这就是相对于质心的动量矩定理
J z = J zC + md 2
要求记住三个简单几何体转动惯量
mR2 (1) 均质圆盘对盘心轴的转动惯量 ) 2 (2) 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 mR2 )
第2节 动量矩定理
第十章 质点系动力学基础 质点系的 动量矩定理
d LO dt M O ( Fi
i 1 n (e)
)
质点系对固定点O的动量矩对时间的导数等于作 用于质点系上的外力对O点之矩的矢量和。
dLx M x ( Fi
i 1 n n (e)
质点系的动量矩 定理在直角坐标 轴上投影
dt dM y dt dLz dt
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第十章 质点系动力学基础 设质量为 m 、半径为 R ，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的 z 轴的转动惯量。 解 在盘上取半径为 r ， 宽为 d r 的圆环，此圆环质量
dm M
2、匀质薄圆盘
z
O
R
r
R
2
2 π rdr
2M R
2
rdr
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ z r dm
2
2M R
解：圆盘的受力如图所示，只有摩擦力 F 对O轴的 力矩不为零，由刚体绕定轴转动运动微分方程可得： d J O J O Fr
dt
JO 1 mr 2
2
又
F f FR
第十章 质点系动力学基础
2 f F R d dt mr 2 n 设开始制动时， 0 0 ，圆盘的角速度 0 ， t
J z M
(e) z
刚体绕定轴转动的 运动微分方程
理论力学-动量矩定理2
这就是质点系相对质心的动量矩定理(theorem of the moment of momentum with respect to the center of mass) ，它表明：质点 系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力 对质心的主矩。 需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定 是平移坐标系。定理只适用于质心这一特殊的动点，对其它动 点，定理将出现附加项。 对于刚体，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质 点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内 绕质心转动的关系。
刚体平面运动微分方程
C*
vA 相对特殊瞬心的动量矩定理：平面 运动过程中，如果刚体的质心 C 到速 度瞬心 C* 的距离保持不变，则质点 系相对速度瞬心的动量矩对时间的导 vB 数等于质点系外力对同一点的主矩。 即
第11章 动量矩定理
刚体平面运动微分方程
刚体平面运动微分方程
取质心 C 为基点，其坐标为 xC、yC，设D为刚体上任意一点 ， CD 与 x 轴的夹角为 φ, 则刚体 的位置可由xC、yC和φ确定。
xC
yC
将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部 分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平 面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动 量矩为
LC J C
刚体平面运动微分方程
质点系对任意点的动量矩定理
质点系对任意点的动量矩定理
动量矩定理是物理学的一个重要定理，它表明物体所受到的动力等于该物体的质量乘以其加速度的矩形成。该定理可以根据不同的系统，如质点系统和坐标系来应用，用于说明力学系统中某个物体受到的间接和直接力的和。质点系动量矩定理也可以被视为当物体属于质点系，即物体是动量矩定理这个系统中的唯一存在物体时，应用该定理来确定物体受到的动力。
质点系动量矩定理可以表示为：在质点系中，任意点的动量等于该点质量乘以其加速度的矩形成。从数学的角度来看，这可以表示为：F=ma，其中F表示受力，m表示质量，a表示加速度。因此，当点的质量和加速度变化时，它受到的力也会发生变化。因此，质点系动量矩定理可以用来确定在不同情况下物体受到的力，从而有助于物理学家们研究物体的动力学行为。
质点系动量矩定理的应用范围广泛，如被用于说明力学系统中某个物体受到的间接和直接力的和，以及预测物体的机械运动.它也可以为物理学家提供一种理解复杂动态力学系统的工具，如飞行器，汽车等。由于质点系动量矩定理可以更加容易地确定物体所受力的大小，因此也正在被广泛应用于工程领域，如计算机模拟，机械应用，水力学等。
总之，质点系动量矩定理是一个重要的物理学定理，应用非常广泛，是现代物理学研究领域的重要工具之一。它可以帮助物理学家们更好地理解力学系统，并且在工程领域也有着广泛的应用。
7-2动量矩定理
O x
ε ω
例3
质量均为m的 和 两人同时从静止开始爬绳 已知A 两人同时从静止开始爬绳。 质量均为 的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知 的体质比B的体质好 因此A相对于绳的速率 的体质好， 相对于绳的速率u 的体质比 的体质好 ， 因此 相对于绳的速率 1大于 B相对于绳的速率 2。试问谁先到达顶端并求绳子的 相对于绳的速率u 相对于绳的速率 移动速率u。 移动速率 。
i i
i
O O r
vo
x
ri
可见： 可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘 以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。 以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。 问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？ 问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？
对两点动量矩之间的关系 对两点动量矩之间的关系
z
ri = ρi + rA
F2
质系对定轴z的动量矩定理： 质系对定轴 的动量矩定理： 的动量矩定理
J Oz ε = M Oz
ɺɺ J Ozϕ = M Oz
vi O1 ri mi Fn y
给定M 用此方程求解刚体转动规律。 给定 Oz用此方程求解刚体转动规律。 给定刚体转动规律不能用此方程求 解约束反力。可用动静法解， 解约束反力。可用动静法解，可用 刚体动力学的方法解。 刚体动力学的方法解。
u = (u1 − u2 ) / 2
ε ω
例3
质量均为m的 和 两人同时从静止开始爬绳 已知A 两人同时从静止开始爬绳。 质量均为 的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知 的体质比B的体质好 因此A相对于绳的速率 的体质好， 相对于绳的速率u 的体质比 的体质好 ， 因此 相对于绳的速率 1大于 B相对于绳的速率 2。试问谁先到达顶端并求绳子的 相对于绳的速率u 相对于绳的速率 移动速率u。 移动速率 。
i i
i
O O r
vo
x
ri
可见： 可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘 以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。 以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。 问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？ 问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？
对两点动量矩之间的关系 对两点动量矩之间的关系
z
ri = ρi + rA
F2
质系对定轴z的动量矩定理： 质系对定轴 的动量矩定理： 的动量矩定理
J Oz ε = M Oz
ɺɺ J Ozϕ = M Oz
vi O1 ri mi Fn y
给定M 用此方程求解刚体转动规律。 给定 Oz用此方程求解刚体转动规律。 给定刚体转动规律不能用此方程求 解约束反力。可用动静法解， 解约束反力。可用动静法解，可用 刚体动力学的方法解。 刚体动力学的方法解。
u = (u1 − u2 ) / 2
理论力学7-2-质系的动量矩定理
解
第 7章
实例分析
外力系对z轴之矩为零，系统对z轴动量矩守恒。
=
Lz 2 2m a l sin
2
0
a2 0 (a l sin ) 2
19/61
第 7章
21/61
第 7章
23/61
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
20/61
质点系动力学
通过改变转动惯量来控制角速度。
例 7-2-5
已知：质量为m的刚体悬挂在O点，并可绕水平 轴转动，C为刚体的质心，OC = a。 求：此复摆的微振动周期。 第 7章
例 7-2-5
运动微分方程
解
mga sin J g sin 0 令 l J / ma l 如摆角 很小 很小，sin
应用动量矩定理求解质系动力学问题
dLC (e) MC dt dLCr (e) MC dt
dLCx (e) , M Cx dt
质系对质心C的动量矩对时间的 一阶导数等于作用在质系上的外 力系对质心的主矩
dLCy (e) , M Cy dt dLCz (e) M Cz dt
J J C ma 2 J ma 2 a ' a l C ma
maCn N n P, maC N d mga sin J d 0 t 0 : 90 ,
动量矩定理 (2)
d LI dt
MI
C vC
I
vA
A
O O
对杆AB
I
vC
C
vB
B
例：匀质鼓轮放置粗糙的地面上，对轴O的转动惯量为JO,在半 径为r 的轴柱上绕着绳索，索的拉力为F1、F2,外半径为R。试求 轮的角加速度与摩擦力。
解:
[O]: J F r F r F R
O
1
2
s
[x]: F2 F1 Fs m a
侧绳索,试求此时左侧绳索张力。
解: 自由度: 2 条件: vA=0
aCAn 0
O
运动学关系: aC a A t aCA t
P " y " : g aCAt cos 30 FA P cos 30
"x":
P g
(aAt
aCA t
cos 60)
P cos 60
FA
C
B
C
A
6F sin
ml
acx
F
cos
m
acy
F
sin m
1
4 例：质量m、长度l的均质杆初始时刻被光滑的水平面和绳 索约束，平衡于图示位置。现突然将绳索剪断，试求剪断 后瞬时A处的约束反力。
工程力学 2动量矩定理
对点O的动量矩 对点 的动量矩
r r r r MO (mv ) = r × mv
对 z 轴的动量矩
r r M z (mv ) 等于 [mv ]xy 对点 的矩 对点O的矩 的矩. r M z (mv )是代数量 从 z 轴正向看 代数量,从 轴正向看,
逆时针为正,顺时针为负 逆时针为正 顺时针为负. 顺时针为负
例：均质木板（质量M）放在光滑水平面上，板 的一端站一人（m），某时刻人以不变的u沿板向 x轴正向运动，求t秒后，人的绝对速度v1，与位 移s，以及板的绝对速度v与位移x
• 动量守恒中所用的速度必须是绝对速度。 • 要确定一个正方向，严格按照动量投影 去计算，正与所设方向相同，负号则表 示与所设方向相反。 • 通常用动量守恒来求速度。
r Lz = ∑ M z (mi vi )
n
即
（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心 可将全部质量集中于质心, 作为一个质点来计算.
r r r r LO = MO (mvC ) , Lz = M z (mvC )
ω
（2） 刚体绕定轴转动
Lz = ∑ M z (mi vi ) = ∑ mi vi ri
Z
= J C + Md
2
（证明从略）
刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动 惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。 可见，刚体对质心轴的转动惯量最小。
r r r r MO (mv ) = r × mv
对 z 轴的动量矩
r r M z (mv ) 等于 [mv ]xy 对点 的矩 对点O的矩 的矩. r M z (mv )是代数量 从 z 轴正向看 代数量,从 轴正向看,
逆时针为正,顺时针为负 逆时针为正 顺时针为负. 顺时针为负
例：均质木板（质量M）放在光滑水平面上，板 的一端站一人（m），某时刻人以不变的u沿板向 x轴正向运动，求t秒后，人的绝对速度v1，与位 移s，以及板的绝对速度v与位移x
• 动量守恒中所用的速度必须是绝对速度。 • 要确定一个正方向，严格按照动量投影 去计算，正与所设方向相同，负号则表 示与所设方向相反。 • 通常用动量守恒来求速度。
r Lz = ∑ M z (mi vi )
n
即
（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心 可将全部质量集中于质心, 作为一个质点来计算.
r r r r LO = MO (mvC ) , Lz = M z (mvC )
ω
（2） 刚体绕定轴转动
Lz = ∑ M z (mi vi ) = ∑ mi vi ri
Z
= J C + Md
2
（证明从略）
刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动 惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。 可见，刚体对质心轴的转动惯量最小。
动量矩定理公式
动量矩定理公式
动量矩定理公式是经典力学中最为重要的定理之一，也是描述质点、力和角动量之间关系的基本公式。它在物理学和工程学中的应用非常广泛，例如在机械设计中，我们需要利用动量矩定理公式来计算旋转惯量、角加速度等参数，以便进行机器的性能设计和优化。在本文中，我们将深入探讨动量矩定理公式的含义、意义和应用。
一、动量矩定理的定义
动量矩定理公式是描述质点或物体角动量的变化率与施加于物体的力矩之间的关系。在经典力学中，动量矩定理的形式可以表示为：
L = Iω
其中，L 表示物体的角动量，I 表示物体的旋转惯量，ω 表示物体的角速度。
动量矩定理的本质是质点或物体的动量守恒定律和角动量守恒定律的延伸和综合。动量守恒定律和角动量守恒定律分别是描述质点和物体在运动过程中动量和角动量不变的规律。而动量矩定理则是将它们集成在一起，明确了物体动量和角动量与施加于它的力和力矩之间的关系。
在动量矩定理中，旋转惯量起到了很重要的作用。旋转惯量是物体绕不同轴旋转时所具有的转动惯性，是物体旋转惯性的度量。不同形状和密度的物体，其旋转惯量也
会有所不同。例如，某个物体绕它的质心旋转时，它的旋转惯量是最小的。因为在质心系下，物体的动量为零，只有转动部分的动量和角动量。
二、动量矩定理的应用
动量矩定理的具体应用非常广泛。下面将分别就质点的动量矩定理、刚体的动量矩定理以及动量与角动量的守恒作一些说明。
1. 质点的动量矩定理
对于一个质量为 m 的质点，在施加力 F 时，它的动量矩定理为：
Ft = Δ(mv)
其中，Ft 为施加于物体上的力矩，v 表示质点的速度，Δ(mv) 表示质点动量的变化。
质点动力学2
质心参照系
ac 0
分析P.80 例题2.16
2.17
补充例 均质直棒（m,l )竖直地立在光滑的桌面上， 当自然倒下时，求棒的位置。
解： Fx 0,
acx 0
Y
当t 0时，vc 0, xc 0 xc 0
0 X
密舍尔斯基方程
dm dv m F v 的推导 dt dt
主要内容
1 质点动量定量，质点系动量定量。
2 动量守恒定律的条件。
3 质心运动定律。
4 密舍尔斯基方程。
动量定理
1 质点动量定理 dP d (mv ) F dt dt
t2
t1
F dt P2 P 1 mv2 mv1
t1
t2 定义力F的冲量为： I F dt
t2
2
质点系动量定理
对系统内质点mi有：
Fi
mi
t2
t1
( Fi f i ) dt mi vi 2 mi vi1
t2
fi
对系统内所有质点求和为：
[t1 (Fi f i ) dt] (mi vi 2 mi vi1 ) t2 ( Fi ) dt (mi vi 2 mi vi1 )
t1
动量矩定理2
v v v 平动刚体对任一固定点O的动量矩 平动刚体对任一固定点 的动量矩 LO = mrc × v
定轴转动刚体对转轴的动量矩： 定轴转动刚体对转轴的动量矩： Lz = J zω
v LC = 0
LCz = J Cz ω
平面运动刚体对平面图形内点的动量矩
LCz = J Cz ω
v LOz = J Czω + M z (mvC )
macx = 0 macy = mg − T Jcα = T × 0.25 (1) (2) (3)
n 则有 acA = 0
T
θ n aCA
τ aCA
aA
ac
C
aA
mg
初瞬时ω＝0
又由(1)知acx＝0
τ aC = aCy = aCA cosθ = AC ⋅α cosθ = 0.25α
(4)
J0 =
2 J z = ∑ mi hzi = ∑ mi ( xi2 + y i2 )
不计厚度的平面刚体: 不计厚度的平面刚体:
J x = Σmi y i2
细长杆: 细长杆:
J y = Σmxi2
J oz = Σmi ( xi2 + yi2 ) = J x + J y
均质圆盘: 均质圆盘:
J zC = 1 ml 2 12
− F2 + F1 + F = ma
一、质点和质点系的动量矩二、动量矩定理三、刚体绕定轴转
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向； （3）力矩作用面方位。
MO(F)
B
F
O h
r
A(x,y,z)
y
M O F
定位矢量
x
力对点之矩的几何意义
MO(F) =Fh=2△OAB
解析式：
z
MO(F) F
O
h B
r xi yj zk F Xi Yj Zk
i M O (F ) r F x j k y z Z
一、质点和质点系的动量矩 二、动量矩定理 三、刚体绕定轴转动的微分方程 四、刚体转动惯量的计算 五、相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理
六、刚体平面运动微分方程
一、 质点和质点系的动量矩
质点的动量矩——质点的动量对点之矩 z [1、力对点之矩] 空间的力对O 点之矩：
M O (F ) r F
二、动量矩定理
1、质点的动量矩定理
z MO(mv) MO(F)
O
M O (mv ) r mv
d d M O ( mv ) ( r mv ) dt dt dr d mv r ( mv ) dt dt v mv r F M O (F )
F
mv r
A(x,y,z)
m m m dm ds Rd d 2R 2R 2
Jz
（2）力矩的转向； （3）力矩作用面方位。
MO(F)
B
F
O h
r
A(x,y,z)
y
M O F
定位矢量
x
力对点之矩的几何意义
MO(F) =Fh=2△OAB
解析式：
z
MO(F) F
O
h B
r xi yj zk F Xi Yj Zk
i M O (F ) r F x j k y z Z
一、质点和质点系的动量矩 二、动量矩定理 三、刚体绕定轴转动的微分方程 四、刚体转动惯量的计算 五、相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理
六、刚体平面运动微分方程
一、 质点和质点系的动量矩
质点的动量矩——质点的动量对点之矩 z [1、力对点之矩] 空间的力对O 点之矩：
M O (F ) r F
二、动量矩定理
1、质点的动量矩定理
z MO(mv) MO(F)
O
M O (mv ) r mv
d d M O ( mv ) ( r mv ) dt dt dr d mv r ( mv ) dt dt v mv r F M O (F )
F
mv r
A(x,y,z)
m m m dm ds Rd d 2R 2R 2
Jz
9.2 质点系对固定点(轴)的动量矩定理
∑==41
'')]([)(i t i i O t O v m M L ∑==⨯41
)(0)(i i i i F r ∑=⨯=41
)
()
(i e i i F r ∑=⨯=41
'
)(i t
i i i v m r 9.2动量矩定理（2-1）
=⋅')(t O k L ∑=⋅⨯41
)(]
)[(i e i i k F r 0)()(1221)(1221)(212)(121
=⨯=⨯-=⨯+⨯i i i i F r F r r F r F r
∑∑==⨯+⨯=4
1
41
)
()(i i i i i i i i a m r v m v
]
)([41
)()(∑=+⨯=i i i e i i F F r
1
2
3
4567
8
9
)(i Z Z F M J
∑=ε刚体定轴转动微分方程，也叫转动牛顿定律
M J =εF ma c =物体的惯性指标有两个：平移惯量和转动惯量
质心运动定理，平移牛顿定理动量矩定理：质点系对某固定点动量矩的导数, 等于系统所受全部外力对该点力矩的矢量和; 质点系对某固定轴动量矩的导数, 等于系统所受全部外力对该轴力矩的代数和。
10
11
12
图2
图4图1
图3
解细杆/圆盘对O 轴的转动惯量分别为
例9.1-2 图示摆锤绕O 轴在竖直平面内自由运动，它由两部分焊接而成: 长度为L 的匀质细杆1和半径为r 的匀质圆轮2, 质量依次为m 1, m 2 .求系统转动到任意位置角θ时的角加速度。2
1212113
1)21(121L
m L m L m J =⋅+=2
2222)(2
1r L m r m J ++=εJ J )(21+θ
动力学—质点系动量矩定理
l
y
1、受力分析
b
2、运动分析
FN
x
o
动能 kinetic energy
引入动能的必要性
m
m
v r rv
m
A
m
p 0 Mo 0 abc 0
T
1 2
n i 1
mi vi2
T 2mv2 ???
a2 b2 c2 d 2 e2 f 2
与作用力之间的联系
计算下列质点系的动量、 对 o 点的动量矩 和动能
长度为l , 无质量柔索分别系于O、O1两点，求AB 杆的运动微分方程，及柔索中的张力。
运动分析
O
FA
a n O1 a FB
A
B
受力分析 mg
运 mg sin ma ml
动 方
FA FB mg cos
程 man ml 2
g sin l
g sin l d d
2g cos 2
质点系动量矩定理
质点在惯性参考系中， O为参考系中的固定点
d(r mv) r F dt
设质点系中有n个质点，其中第 i个质点：
d(ri
mivi ) dt
ri
Fi (e )
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
n
i 1
d(ri mivi ) dt
n
y
1、受力分析
b
2、运动分析
FN
x
o
动能 kinetic energy
引入动能的必要性
m
m
v r rv
m
A
m
p 0 Mo 0 abc 0
T
1 2
n i 1
mi vi2
T 2mv2 ???
a2 b2 c2 d 2 e2 f 2
与作用力之间的联系
计算下列质点系的动量、 对 o 点的动量矩 和动能
长度为l , 无质量柔索分别系于O、O1两点，求AB 杆的运动微分方程，及柔索中的张力。
运动分析
O
FA
a n O1 a FB
A
B
受力分析 mg
运 mg sin ma ml
动 方
FA FB mg cos
程 man ml 2
g sin l
g sin l d d
2g cos 2
质点系动量矩定理
质点在惯性参考系中， O为参考系中的固定点
d(r mv) r F dt
设质点系中有n个质点，其中第 i个质点：
d(ri
mivi ) dt
ri
Fi (e )
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
n
i 1
d(ri mivi ) dt
n
动量(矩)定理2
Jz Tn = 2π k
ϕ
已知： 已知：标准盘的Jz标，欲求测试盘的 Jz。
T标 = 2π J z标 k
k =(
2π 2 ) J z标 T标
2π k = ( )2 J z Tn
J z = J标
Tn2 2 T标
2.落体观测法 为测试不匀质材料的鼓轮转动惯量， 为测试不匀质材料的鼓轮转动惯量 ，可以在一侧悬桂一个重 物，当t=0时系统静止不动， 时系统静止不动，然后测试重物下落h高度的t值，欲 求鼓轮的转动惯量。 求鼓轮的转动惯量。
例13：匀质圆盘沿斜坡无滑动滚下， 匀质圆盘沿斜坡无滑动滚下，已知盘重力为P，半径r, 试求下滚时圆盘质心的加速度与摩擦力。 试求下滚时圆盘质心的加速度与摩擦力。 解: 自由度k=1 maCx = maC = mg sin ϕ − Fs
maCy = 0 = mg cos ϕ − FN
α
C
r P
y
J Cα = Fs r
rE J Oα1 = ∑ M O ( Fi ) = 0
FB sin ϕ l l l l − FB cos ϕ + FC sin ϕ + FC cos ϕ = 0 2 2 2 2 1 FC = P sin ϕ (1 − tan ϕ ) 2 得
FB = 1 P sin ϕ (1 + tan ϕ ) 2
问题： 问题：能不能对点B应用 平衡方程？ 平衡方程？
ϕ
已知： 已知：标准盘的Jz标，欲求测试盘的 Jz。
T标 = 2π J z标 k
k =(
2π 2 ) J z标 T标
2π k = ( )2 J z Tn
J z = J标
Tn2 2 T标
2.落体观测法 为测试不匀质材料的鼓轮转动惯量， 为测试不匀质材料的鼓轮转动惯量 ，可以在一侧悬桂一个重 物，当t=0时系统静止不动， 时系统静止不动，然后测试重物下落h高度的t值，欲 求鼓轮的转动惯量。 求鼓轮的转动惯量。
例13：匀质圆盘沿斜坡无滑动滚下， 匀质圆盘沿斜坡无滑动滚下，已知盘重力为P，半径r, 试求下滚时圆盘质心的加速度与摩擦力。 试求下滚时圆盘质心的加速度与摩擦力。 解: 自由度k=1 maCx = maC = mg sin ϕ − Fs
maCy = 0 = mg cos ϕ − FN
α
C
r P
y
J Cα = Fs r
rE J Oα1 = ∑ M O ( Fi ) = 0
FB sin ϕ l l l l − FB cos ϕ + FC sin ϕ + FC cos ϕ = 0 2 2 2 2 1 FC = P sin ϕ (1 − tan ϕ ) 2 得
FB = 1 P sin ϕ (1 + tan ϕ ) 2
问题： 问题：能不能对点B应用 平衡方程？ 平衡方程？
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对动点的动 量矩定理
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
dLC dt
=
M
e C
例:仍出的旋转斧子
maC = mg
dLC dt
=
M
e C
(mg
)
=
0
斧子对质心的动量矩守恒：
LC = JCωk = 常数 ω = 常数
LC = LrC
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒
dLC dt
=
M
e C
若 Mce=0 ，则有 LC = 常矢量；
1
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒
与应用实例
dLC dt
=
M
e C
后空翻转体180°跳水
屈体向前跳水
动量定理与动量矩定理: 外力系与动量系的因果关系
外力系 动量系
{ } F1e , F2e , L , Fne
{ } m1v 1 , m2v 2, L, mnv n
动量 定理
dp = F e dt
v。0 与球初与始桌角面速的度动摩ω0擦。系球
数 f 。试分析球的运动。
薄球壳
JC
=
2 mr 2 3
ω
解：取定系 Oxy 。 已知力求运动问题。
aC
εε
运动分析与受力分析。
解:
建立乒乓球的质心动量方程和质心动量矩方程
m dvx = −F
(1)
dt
FN = mg
(2)
ω
aC
εε
JC
dω dt
=
−Fr ,
质点系相对动点动量矩（II）
（1）相对动点和质心的动量矩定理 （2）动量定理和动量矩定理的联合应用：
刚体平面运动微分方程
(3)刚体平面运动时对瞬心的动量矩定理
基点法的运动学描述
与相对动点的动量矩定理
z
zp
y
P z0 xp
x
rOP
O
y0
来自百度文库x0
yp P：基点
质系对任意动点的动量矩定理
定理：质系对动点的绝对动量矩对时间的导数等于外力系对该点的
>
3 v0 2r
,ω1 > 0,
Flx< 0，球自动返回(!)
vB
=
rω1
=
ω0r
−
3 2
v0
又滚又滑返回（！）。
一定阶段纯滚返回。
2. ω0
=
3 2
v0 r
,
vcx
=
0,
ω
1=
0
,
ω
aC
εε
球在 t1 自动停止运动。
3.
ω0
<
3 2
v0 r
, 请思考。
例 题质量m、半径 r 的匀质圆柱在半径R的 圆槽内作纯滚动。t = 0，ϕ =ϕ 0，ϕ&0 = 0 。试 求：
=
M (e) A
+ mvC × vA
取移动的瞬心C*作 A:
vC*
vC // vC*
LC* = JC*ω (顺时针方向)
ε
mg
dLC* dt
=
M (e) C*
( ) d
dt
JC ∗ ω
= M C ∗ (mg)
aC
(3mR2 2)ε = mgR
ε = 2g 3R aC = 2g 3
质心动量方程
maC = mg − FT
刚体平面运动微分方程
maCτ = F − mg sin ϕ
maCn = FN − mg cosϕ
JCε = −Fr
t = 0, ϕ (0) = ϕ0, ϕ& (0) = 0
∫ ( ) ∫ ϕ& d
0
ϕ& 2
2
+
ϕ ϕ0
ω02
sin ϕ dϕ
LA = I Aω （逆时针方向）
= ( IC + mrA2C )θ& = ( IC + mR2 + mhC2 − 2mRhC cosθ )θ&
mg
A
x
F
N
θ
xC = xCO + Rθ − hC sinθ
yC = R − hC cosθ
vA = Rθ&i vC = ( R − hC cosθ )θ&i + (hC sinθ )θ& j
（ k 代表逆时针方向。）
取A点为随接触点（瞬心）移动的动点C*， 则
半圆盘的速度分布在每个顺时都以A的瞬时中心
，
因此关于它的动量矩： dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
vC
vC* C*
平面运动刚体对瞬心的动量矩定理:
d dt
[(IC
+
mrC2*C
)ω]
=
Me C*
(F
e
)
+
mvC
×
vC*
或Mce≠ 0，但 Mcex= 0 ,则有 Lcx= 常数。
思考题
图示机构。 t = 0，ϕ =ϕ 0,
ϕ&0 = 0 从静止 释放。
ϕ
盘作何种运动？
平放在光滑平面上圆盘的运动
F
C
aC ε =0
maC = F
dLC dt
=
M
e C
F
ε C
LC = JCω
JCε = FR
aC
JC = mR2 / 2
ε = 2F /(mR)
当刚体的动瞬心轨迹为圆时，rC*C为常数， 且 vC // vC*
这种情况下对瞬心的动量矩定理为：
(IC
+ mrC2*C )ε
=
M
e C*
(F
e
)
简单刚体的平面运动微分方程
问题1: 建立半圆盘在水平面上纯滚动的动力学方程。
问题2：计算 在角度 θ0 处静止释放瞬间， 圆盘的角加速度。 问题3：计算 在角度 θ0 处静止释放, 运动到任意角度的时候
maC = F e
∑ 主矢 F e = Fie ∑ p = mivi = mvC
动量矩 定理
dLO dt
=
M
e O
(对定点 )
dLC dt
=
M
e C
(对质心 )
∑ ( ) 主矩
M
e O
=
MO Fie
∑ LO = MO (m ivi )
∑ LC = MC (m ivi )
LO = LC + rOC × mvC
， 圆盘的角速度和角加速度。
半圆盘质量和绕质心的转动惯量分别为 m, IC ， 半径为 R
hc
O C
A
θ
O C
mg
A
NF
θ
y x
解法1： 利用对动点的动量矩定理:
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
hC
O
取A点为随接触点（瞬心）移动的
C
y
动点， 则半圆盘的速度分布在每
个顺时都以A为瞬时中心， 因此关 于它的动量矩：
在角度 θ0 处静止释放瞬间， 圆盘的角加速度。
( ) θ&&(0) = −mghC sinθ0 IC + mR2 + mhC2 − 2mRhC cosθ0
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒与应 用实例
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
4
自由下落猫的转体
FT = mg / 3 结果同方法1。
m, r
r/2 aC = ?
2
例： 自重作用下沿光滑墙面下滑的刚性杆的平面运动
微分方程。
∑ m&x&C = Fx
∑ m&y&C = Fy
Nx
( ) ∑ JCε = MC F e
解：应用质心动量定理及质
mg
心动量矩定理
取广义坐标 θ
xC
=
l sinθ 2
yC
=
l cosθ 2
下落过程中那些动力学量守恒？
小结：动量定理与动量矩定理的联合应用
二定理综合构成质点系普遍定理的动量方法，可对一般质点系 整体运动的动力学进行描述。其中动量定理描述了质心的运动，动 量矩定理描述了质点系相对某定点或相对质心的运动。利用量定理 可以方便地建立刚体平面运动的运动微分方程、以及求解两类基本 问题： （1）已知力 =〉未知运动量，
解：方法1：应用质心动量定理及 质心动量矩定理
maC = ∑ F
JCε = ∑ M C (F )
maC = mg − FT (1)
(
1 2
mR2 )ε
=
FT R
(2)
运动学关系 aC = Rε (3)
联立求解得： aC = 2g 3
FT = mg 3
mg
ε
mg aC
解法2：应用对动点的动量矩定理
dLA dt
（2）求出的运动量 =〉未知约束力； 利用质心的概念可以方便地计算动量、动量矩等动力学函数。 选用质心动量矩定理不容易出错！
作业题（1）7-10，（2）7-11(滑轮D无质量)
（3）7-13 (4)7-25.
例 题 刚体平面运动动力学分析
用于指压捻置于粗糙桌面上
的乒乓球，给其质心 C以初始
速度 m，r
I Aθ&& = −mghC sinθ − (mRhC sinθ )θ&2
( ) θ&& = dθ& dθ = θ& dθ& = d θ&2 2 dθ dt dθ dθ
d dθ
I A (θ )
=
2mRhC
sin θ
d dθ
[I
A
θ&2
2 − mghC cosθ ] = 0
1 2
I A (θ )θ&2
质心动量方程
Ny
m
d2 dt 2
(
l 2
sin θ
)
=
Nx
m
d2 dt 2
(
l 2
cosθ
)
=
Ny
−
mg
质心动量矩方程
( ) 1 12
ml
2
θ&&
=
−
N
x
(
l 2
cos
θ
)
+
N
y
(
l 2
sin
θ
)
整 θ&& = (3g 2l )sinθ
理 Nx = (ml 2)(−θ&2 sinθ +θ&&cosθ ) 得 N y = (ml 2)(−θ&2 cosθ −θ&&sinθ )
解：应用质心动量定理及质
心动量矩定理 θ&& = (3g 2l )sinθ
θ&& = dθ& dθ = θ& dθ& N x dθ dt dθ
Nx = (ml 2)(−θ&2 sinθ +θ&&cosθ )
N y = (ml 2)(−θ&2 cosθ −θ&&sinθ )
mg
无初速从 θ0 释放
θ&
刚体平面运动微分方程
刚体平面运动的相对质心 动量矩
LC = JCω
aC
刚体平面运动微分方程
∑ m&x&C = Fx
∑ m&y&C = Fy
∑ JCε =
M
e C
(
Fi
)
Oxy: 定系；Cx′y′：质心平动系
例题 轮绕着绳,铅垂悬挂,从静止开始运动。 轮质量m，半径R，试求轮心C下降的加速 度aC与绳内拉力。
OC = hc
O C
mg
质心动量方程 m&x&C = F m&y&C = N − mg
A
NF
y x
质心动量矩方程
θ
ICθ&& = −F (R − hC cosθ ) − NhC sinθ
整理得系统的运动微分方程
( ) IC + mR2 + mhC2 − 2mRhC cosθ θ&&+ mRhCθ&2 sinθ = −mghC sinθ
Nx = 0
θ = cos−1(2 / 3cosθ0 )
解法2：应用对动点的动量矩定理
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
取移动的瞬心C*作 A:
vC // vC*
动瞬心 轨迹
dLC* dt
=
M (e) C*
LC* = JC*θ& (顺时针方向) JC* = ml 2 / 3
C* vC*
θ
∫ θ&dθ& = ∫ (3g 2l)sinθ dθ
θ&0
θ0
θ&2 = (3g l) (cosθ0 − cosθ )
Ny
Nx = mg (9 cosθ − 6 cosθ0 ) sinθ 4
N y = mg(6 cos2 θ − 6 cosθ0 sinθ − 3sin2 θ ) 4
讨论: 杆子什么时候离开墙面?
(3)
接触点滑动条件下
F = fFN = fmg
vcx = vox − fgt
ω
=
ω0
−
3 2
1 r
fgt
速度变为零的时间
vcx = 0 ,
t1
=
v0 fg
ω1
=
ω0
−
3 2
1 r
fg ⋅ t1
=
ω0
−
3 2
v0 r
小结
vcx = 0 ,
t1
=
v0 fg
ω1
=
ω0
−
3 2
v0 r
几种情形：
1. ω0
1.圆柱体的运动微分方程；
2.圆槽作用的约束力；
运动学分析与受力分析
单自由度系统，N=1, q=ϕ 。
圆柱体的角速度 ω 、角加速度 ε
ε
5
解：1.圆柱体的运动微分方程
单自由度系统，N=1, q=ϕ ，
圆柱体的角速度 ω 、角加速度 ε
ε
运动学关系 vC = ( R − r )ϕ& = ωr
aCτ = ( R − r )ϕ&& aCn = ( R − r )ϕ& 2 ε = ϕ&& ( R − r ) r
−
mghC
cosθ
=
C
3
解法2：建立半圆盘纯滚动的运动微分方程。
取广义坐标 θ 。 角加速度 ε = θ&& （逆时针方向）
xC = xCO + Rθ − hC sinθ yC = R − hC cosθ 质心加速度 &x&Ci + &y&C j
&x&C = θ&&( R − hC cosθ ) + hCθ&2 sinθ &y&C = hCθ&&sinθ + hCθ&2 cosθ
vC
定瞬心
轨迹
( ) d
dt
JC ∗ θ&
= MC ∗ (mg )
JC*θ&& = (mgl / 2) sinθ
θ&& = (3g 2l )sinθ
结果同方法1。
平面运动刚体对瞬心的动量矩定理:
vC = ω × rC*C
vC* 瞬心在定系中的移动速度， 沿定顺
心轨迹。
C
( ) LC* = IC*ωk = IC + mrC2*C ωk
主矩，再加上质系动量与该点速度的叉积。
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC
×vA
n
∑ LA = ρi × mivi i =1
ρi = ri - rA
ρ&i = r&i - r&A = vi - vA
∑ ∑ dLA
dt
=
n i =1
ρ&i × mivi
+
n i =1
miai = ρi × miai
F (i) i
+
F (e) i
n
n
∑ ∑ = (vi − vA ) × mivi + ρi × Fie
i =1
i =1
=
mvC
×
vA
+
M
e A
(F
e
)
内力系对任意一点的主矩为零。
ρi
rC
∑ p = mivi = mvC
相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量 矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩。
动点 A 取质心C,有 vC // vA