江西省宜市丰城中学等五校高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
2023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学质量检测模拟试题(含解析)
1 / 182023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学质量检测模拟试题一、单选题1．命题“，”的否定是（ ）00x ∃>20030x x -+>A ．，B ．，00x ∃>20030x x -+≤0x ∀>230x x -+≤C ．，D ．，00x ∃≤20030x x -+≤0x ∀≤230x x -+≤2．“，且”是“，且”的（ ）2a b +<-1ab >1a <-1b <-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知，，，则（ ）0.50.2a =15log 0.2b =lg15c =A ．B ．C ．D ．a b c <<c<a<bb<c<ab a c<<4．已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）()()212log 3f x x ax a=-+[)2,+∞a A ．B ．C ．D ．(],4∞-(]4,4-()0,2(]0,45．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．216．已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列{}n a 3820a a +=5a 2a 14a 满足，则数列的前项和为（ ）{}n b ()*11N n n n b n a a +=∈{}n b n n S A ．B ．1212121n n n -=++12212121n n n ++=++C ．D ．1112212+1⎛⎫-= ⎪+⎝⎭nn n 11+112212+1⎛⎫+= ⎪+⎝⎭n n n 7．已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解()22122,02log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩x ()f x a =，且，则的取值范围是（ ）1234,,,x x x x 1234x x x x <<<212344x x x x x ++A ．B ．C ．D ．()3,-+∞(),3-∞[)3,3-(]3,3-8．已知函数，且在区间上单调递增，则()()2ln 1,,2a f x x x x b a b =---∈R ()f x ()0,∞+的最小值为（ ）2a b +A ．0B ．C ．D ．-11eln2二、多选题9．下列函数中，是奇函数的是（ ）A ．B ．e ex xy -=-32y x x=-C ．D ．tan 2y x =21log 1x y x+=-10．已知函数，则（ ）()1ln 1x f x x x +=--A ．的定义域为B ．的图像在处的切线斜率为()f x ()0,∞+()f x ()()22f ,52C ．D ．有两个零点，且()01f f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()f x 12,x x 121=x x 11．已知函数，在R 上的导函数分别为，，若为偶函数，()f x ()g x ()f x '()g x '()2f x +是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）()12y g x =+-()()312f xg x -+-=A ．B ．()20220f '=()20230g =C ．是R 上的奇函数D ．是R 上的奇函数()f x ()g x '三、填空题12．计算：=.31log 21lg 2lg35---13．已知函数，若，则的取值范围是.())lnf x x x =++()()2120f x f x -+->x 14．若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 .0x >()e 10xx a a -++≥a 四、解答题15．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数()2(1)1(0)x g x a a -=++>A A3 / 18的图像上.())f x x a =+(1)求的值；a (2)已知，求函数的最大值和最小值.121log 1x -≤≤1114242x xy a a -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．已知数列{ an }的首项，且满足．112a =121n n n a a a +=+(1)求证：数列{}为等比数列；11n a -(2)若，求满足条件的最大整数n ．1231111102na a a a ++++< 17．医生将一瓶含量的A 药在内匀速注射到患者的血液中称为A 药的一次注()mg a 0.2h 射．在注射期间，患者血液中A 药的注入量与注射用时的关系是，当()mg y ()h t y kt =时，血液中的A 药注入量达到，此后，注入血液中的A 药以每小时的速0.2h t =()mg a 10%度减少．(1)求k 的值；(2)患者完成A 药的首次注射后，血液中A 药含量不低于的时间可以维持多少h ？（精3mg 10a确到0.1）(3)患者首次注射后，血液中A 药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A 3mg10a药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A 药含量不低于10%，那么，经过两次注射，患者血液中A 药的含量不低于的时间是否可以维持3mg 10a 3mg 10a （参考数据：，，）25h lg 20.3010=lg 30.4771=lg13 1.114=18．设函数．()()21e 0x f x m x ax m =-->，(1)当时，求的极值；0a =()f x (2)当时，讨论的单调性；1m =()f x (3)在（1）条件下，若对任意，有恒成立，求m 的最大值．()1,x ∞∈-+()()ln 22e 1x f x +≤+19．已知函数，.()()ln f x ax x a R =+∈2()ln x g x x x =-（1）当时，求曲线在处的切线方程；1a =()y f x =1x =（2）若恰有三个不同的零点（）.()()()h x f x g x =-123,,x x x 123x x x <<①求实数的取值范围；a ②求证.2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1．B【分析】根据特称命题的否定时全称命题，改量词否结论即可求得结果.【详解】因为命题“，”的否定是“，”.00x ∃>20030x x -+>0x ∀>230x x -+≤故选：B.2．B【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即1a <-1b <-2a b +<-1ab >必要性成立；当，满足，且，但是，故充分性不成立，13,2=-=-a b 2a b +<-1ab >112b =->-所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.2a b +<-1ab >1a <-1b <-故选：B 3．D【分析】借助中间值比较大小即可.0,1【详解】因为，，，0.5000.20.21a <=<=1515log 0.2log 10b =<=lg15lg101c =>=所以，即.01b a c <<<<b a c <<故选：D.4．B 【分析】设，根据复合函数的单调性的求法，列出相应不等式求解即可.()23x x a g ax -+=【详解】设，()23x x ag ax -+=因为函数在上是减函数，()()212log 3f x x ax a =-+[)2,+∞可得在上是增函数，()23x x ag ax -+=[)2,+∞5 / 18故有对称轴，即，且，22a x =≤4a ≤()24230g a a =-+>解得，即实数的范围是.44a -<≤a (]4,4-故选：B.5．A【分析】首先根据题意得到第年的维护费为，从而得到年平均费用为：n 2n a n =（为正整数），再结合基本不等式求最值即可.1001.5y n n =++n 【详解】由题意可知：每年的维护费构成一个以为首项，为公差的等差数列，22故第年的维护费为：，n 22(1)2n a n n =+-=总的维护费为：，(22)(1)2n n n n +=+故年平均费用为：，1000.5(1)n n n y n +++=即，（为正整数）；100 1.5y n n =++n 由基本不等式得：（万元），10015.5 1.521.y n n ≥+==+当且仅当，100n n =即时取到等号，即该企业年后需要更新设备．10n =10故选：A 6．C【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，{}n a d 1,a d 21n a n =-进而得到，结合裂项法求和，即可求解.11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭【详解】设等差数列的公差为，{}n a ()d d ≠0因为，且是与的等比中项，可得，3820a a +=5a 2a 14a 382521420a a a a a +=⎧⎨=⎩即，解得，所以，()()()121112920413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-又由，()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭可得.11111112334212121111221n n S n n n n ⎛⎫=-+-++-⎛⎫=- -⎪= ⎝⎪+⎭⎭++⎝L 故选：C.7．D画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出．()f x 【详解】()22122,02log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩ 可画函数图象如下所示若关于的方程有四个不同的实数解，且，x ()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<当时解得或2|log |2x =14x =4x =123410144x x x x ∴<≤<≤<<≤3422|log ||log |x x = 2324log log x x ∴-=341x x ∴=7 / 18，关于直线对称，则，1x 2x 2x =-124x x +=-212344444x x x x x x x +=+-+∴()414x <≤令函数，则函数在上单调递增，()4f x x x =+-(]1,4x ∈(]1,4故当时4x =()()max 34444f x f -+===故当时1x =()11314f =+=--所以()(]3,3f x ∈-即(]2123443,3x x x x x ++∈-故选：D本题考查函数方程思想，对数函数的性质，数形结合是解答本题的关键，属于难题.8．C【分析】根据题意，转化为在上恒成立，对于使得取得最小值时，ln ax b x +≥()0,∞+2a b +直线和函数的图象相切，求得上的一点的切线方程为y ax b =+ln y x =ln y x =()00,ln x x ，得到，令，利用导数求得函数的单调性001ln 1y x x x =+-0022ln 1a b x x +≥+-()2ln 1g x x x =+-与最小值，即可求解.【详解】由在区间上单调递增，()()2ln 12a f x x x x b =---()0,∞+所以在上恒成立，即在上恒成立，()ln 0f x ax b x -'=+≥()0,∞+ln ax b x +≥()0,∞+对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，2a b +y ax b =+ln y x =又由，可得，则，ln y x =1y x '=001|x x y x ='=可得在点的切线为，即，ln y x =()00,ln x x ()0001ln y x x x x -=-001ln 1y x x x =+-令，所以，001,ln 1a b x x ==-0022ln 1a b x x +≥+-令，所以，()2ln 1(0)g x x x x =+->()22122x g x x x x ='-=-当时，；当时，，()0,2x ∈()0g x '<()2,x ∞∈+()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，所以，()g x ()0,2()2,∞+()min ()2ln2g x g ==所以的最小值为.2a b +ln2故选：C.方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9．ACD【分析】由奇函数定义逐一判断即可.【详解】对于A ，的定义域为全体实数，关于原点对称，且()e e x xy f x -==-，故A 满足题意；()()()e e x x f x f x --=--=-对于B ，若，则，故B 不满足题意；()32y f x x x ==-()()1012f f =≠-=-对于C ，的定义域为，它关于原点对称，且()tan 2y f x x ==ππ|,Z 42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故C 满足题意；()()()tan 2tan 2f x x x f x -=-=-=-对于D ，的定义域为，它关于原点对称，且()21log 1xy f x x +==-()1,1-，故D 满足题意.()()2211log log 11x xf x f x x x -+-==-=-+-故选：ACD.10．BCD【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B ；x A ()2f '求得即可判断C ；易知的单调性，结合零点存在定理及C 即可判断D ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭()f x9 / 18【详解】由题意，，()12ln ln 111x f x x x x x +=-=----对于选项A ，易知且，故选项A 错误，0x >1x ≠对于选项B ，因为，则，故选项B 正确，()212(1)f x x x =-'+()212522(21)2f -'=+=对于选项C ，因为，所以，故选项C 正确，1111ln ln 111x x f x x x x x ++⎛⎫=--=-+⎪-⎝⎭-()10f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对于选项D ，由选项可知，易知在和上单调递增，A ()2ln 11f x x x =---()f x ()0,1()1,∞+因为，()22e lne 10e 1e 1f =--=-<--，()22222222e 3elne 110e 1e 1e 1f -=--=-=>---所以，使得，()20e,ex ∃∈()00001ln 01x f x x x +=-=-又因为，则，结合选项C ，得，20111e e x <<0101x <<()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即也是的零点，则，，故，故选项D 正确，01x ()f x 10x x =201x x =121=x x 故选：BCD.11．AD【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误.【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称，()2f x +()2f x +0x =所以关于对称，()f x 2x =因为是奇函数，可知关于对称，()12y g x =+-()12y g x =+-()0,0所以关于对称，()g x ()1,2又因为，则，即，()()312f xg x -+-=()()22f xg x -+=()()22g x f x =--所以与关于对称，()f x ()g x ()1,1因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，()1,2()1,1()1,02x =()1,10x =所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，()f x ()1,0()g x 0x =()g x 而关于对称，，又，()f x 2x =()()4f x f x +=-()()2f x f x +=--则，，，()()42f x f x +=-+()()()42f x f x f x +=-+=()()=f x f x -即是周期为4的偶函数，故C 选项错误；()f x 由关于直线对称，，关于对称，，()g x 0x =()()g x g x -=()g x ()1,2()()24g x g x -++=则，，()()24g x g x ++=()()244g x g x +++=所以，即是周期为4的偶函数，()()4g x g x +=()g x 由于是周期为4的偶函数，则，()f x ()()f x f x -=等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，()()f x f x ''--=()f x '同理，由于是周期为4的偶函数，则，()g x ()()g x g x -=等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，()()g x g x '--='()g x '所以与均是周期为4的奇函数，故D 选项正确；()f x '()g x '由于关于对称，，，则，()f x 2x =()()4f x f x +=-()()4f x f x ''+=--()20f '=所以，故A 选项正确；()()()20225054220f f f '''=⨯+==，故B 选项错误；()()()()202350543312g g g g =⨯+===故选：AD.关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得.12．##1.532【分析】根据对数和根式的运算得解.【详解】原式.()13log 2113lg 2lg 533lg 25321222-=+-⨯=⨯-⨯+=+=故答案为.3211 / 1813．()1,-+∞【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为函数，定义域为，且，())lnf x x x =+R ())ln f x x x -=--则()()))ln ln f x f x x x x x -+=-++，)()22ln ln 1ln10x x x x ⎡⎤==+-==⎢⎥⎣⎦即，即为奇函数，()()f x f x -=-()f x 当时，，均单调递增，所以在0x>y x =+ln y x =y x =())lnf x x x =+上单调递增，()0,∞+则在上单调递增，()f x (),0∞-所以是奇函数且在上单调递增，()f x R 由，可得，则，解得，()()2120f x f x -+->()()212f x f x ->-212x x ->-1x >-即的取值范围为.x ()1,-+∞故()1,-+∞14．2【分析】分离参数，利用换元法得，构造函数，利e 1e 1x x x a +≤-ln 11t t a t +≤-()()ln 111t t f t t t +=>-用导数研究其单调性结合隐零点求最小值即可.【详解】原不等式等价于在时恒成立，e 1e 1x xx a +≤-0x >令，则上式化为，()e 1x t t =>ln 11t t a t +≤-构造函数，()()ln 111t t f t t t +=>-则，()()22ln 1t tf t t ---'=令，()()()12ln 10t g t t t t g t t '-=-->⇒=>所以在上单调递增，而在，()g t ()1,∞+()()31ln 30,422ln 20g g =-=-故使得，故在上单调递减，在上单调递增，()03,4t ∃∈()00g t =()f t ()01,t ()0,t ∞+即，()()()0000000021ln 1111t t t t f t f t t t t -++≥===---所以，01a t ≤-又，故的最大整数值为2.()()003,412,3t t ∈⇒-∈a 故2思路点睛：分离参数并换元得，构造函数结合隐零点计算其ln 11t t a t +≤-()()ln 111t t f t t t +=>-最小值即可.15．(1)1(2)最小值为，最大值为154【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值；a （2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭和最小值.【详解】（1）由题意知定点的坐标为，且点又在函数的图像上.A ()2,2A ())f x x a =+∴，即解得.()22a =+22a +=1a =（2）由得，令，则，121log 1x -≤≤122x ≤≤12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭14t ≤≤.221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∴当，即，时，，12t =1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭1x =min 1y =当，即，时，.14t =1124x⎛⎫=⎪⎝⎭2x =max 54y =16．(1)证明见解析(2)10013 / 18【分析】（1）由题意可得=，可证结论；11(1)n a +-11n a ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭12（2）由（1），可求得，可求满足条件的最111()12n n a -=+1123111112()2n n n a a a a -++++=+- 大整数n ．【详解】（1）因为，故，所以，1102a =≠0n a ≠11111222n n n n a a a a ++==+所以，而,故，1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11110a -=≠110n a -≠所以，所以{}是以首项为1，公比为的等比数列．1111121n n a a +-=-11n a -12（2）由（1）知，所以，1111()2n n a --=111()12n n a -=+故．011112311[1()]111111112()1()1()12()1222212n n n n n n a a a a ---++++=++++++=+=+--因为随着n 的增大而增大，n = 100满足题意，n = 101不合题意，112()2n n -+-所以满足条件的最大整数n = 100．17．(1)；5a (2)；11.4h (3)可以.【分析】（1）把，代入计算即得.0.2h t =()mg y a =（2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得.（3）求出A 药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A 药的含量3mg 10a随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得.【详解】（1）依题意，，解得，所以k 的值为.0.2a k =5k a =5a （2）血液中的A 药含量达到后，经过x 小时患者血液中A 药含量为．()mg a ()()10.1mg xa -由，得，两边取对数得：，()310.110xa a -≥93()1010x ≥93lg lg1010x ≥解得，lg 310.4771111.42lg 3120.47711x --≤=≈-⨯-所以患者完成A 药的首次注射后，血液中A 药含量不低于的时间可以维持.3mg 10a 11.4h （3）设第一次注射开始后经过患者血液中A 药的含量为，即，0h t 310a 00.230.910t -=记第二次注射完成后患者血液中A 药的含量为，其中为第一次注射开始()f x ()00.2x x t ≥+后经过的时间，则000.20.20.20.20.40.20.410()0.90.90.90.90.9)0(.9(90.)3x t t x x x x x f x a a a a ---+-----=+=+⨯=+⨯，0.20.20.210130.90.9)0.933(x x x a a --->+⨯=⨯由，得，即，两边取对数得：0.21330.9310x a a-⨯>0.2130.90.9x -⨯> 1.2130.91x -⨯>，解得，又，()lg13 1.0lg 20.9x +->lg13 1.1141.2 1.225.512lg 3120.4771x <+=+≈--⨯25.50.225.3-=所以经过两次注射后，患者血液中A 药的含量不低于的时间可以维持．3mg 10a25h 18．(1)极小值为，无极大值m -(2)详解见解析(3)2e【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值；（2）求导可得，分类讨论当、、、时函数()e 2(e 2)xxf x x ax a x '=-=-0a ≤12a >12a =102a <<对应的单调性，即可求解；（3）分离参数并构造新函数，求导可得，判断函数单调性求出()12e 1(1)1x g x x x =-->-+'最小值即可求解.【详解】（1）当时，，则，，0a =()(1)e x f x m x =-()e xf x mx '=0m >15 / 18令，得，令，得.()0f x '>0x >()0f x '<0x <故在上单调递增，在上单调递减，()f x (0,)+∞(,0)-∞在处取得极小值，无极大值.()f x ∴0x =()0f m =-（2）当时，，则，1m =()()21e x f x x ax =--()e 2(e 2)x x f x x ax a x '=-=-当时，，0a ≤20xe a ->令，，()0f x '<⇒0x <()00f x x >'⇒>所以函数在上单调递减，在上单调递增；()f x (,0)-∞(0,)+∞当时，由，解得或0，0a >()0f x '=ln 2x a =若即时，令，或，0ln 2a <12a >()00ln 2f x x a <⇒<<'()00f x x >'⇒<ln 2x a >所以函数在上单调递减，在、上单调递增；()f x (0,ln 2)a (,0)-∞(ln 2,)a +∞若即时，，所以函数在R 上单调递减；0ln 2a =12a =()0f x '≥()f x 若即时，令，或，0ln 2a >102a <<()0ln 20f x a x <'⇒<<()0ln 2f x x a <'>⇒0x >所以函数在上单调递减，在、上单调递增.()f x (ln 2,0)a (,ln 2)a -∞(0,)+∞（3）对恒成立，即对()ln 22(e 1)x f x +≤+()1,x ∞∀∈-+()ln 2e ln 1x m x x≤-+-恒成立.()1,x ∞∀∈-+令，则只需即可.()()2e ln 1(1)x g x x x x =-+->-min ln ()m g x ≤.()12e 1(1)1x g x x x =-->-+'易知均在上单调递增，故在上单调递增且12e 11,x y x y =--+=()1,∞-+()g x '()1,∞-+.()00g '=当时，单调递减；当时，单调递增.()1,0x ∈-()()0,g x g x '<()0,x ∞∈+()()0,g x g x '>.()min ()02g x g ∴==故，即的最大值为.2ln 20e m m ≤⇒<≤m 2e 方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如的恒成立的求解策略：()()f xg x ≥1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需()()()F x f x g x =-()F x 恒成立即可；()min 0F x ≥2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只()a x ϕ≥()a x ϕ≤()maxa x ϕ≥()mina x ϕ≤需利用导数求得函数的单调性与最值即可；()x ϕ3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不()y f x =()y g x =等式恒成立.19．（1）;（2）①;②证明见解析210x y --=(11,1e e e --【分析】（1）求出导数，继而可得切线斜率为在的导数值，由，结合直线的点1x =()11f =斜式，可求出切线方程.（2）①由题意知关于的方程在上有三个不同的解，令，x ln ln x xa x x x =--(0,)+∞()0F x '=可得或，从而可求出函数的极值，又结合当时，，当1x =e 0x →()F x →+∞，即可求出实数的取值范围.,()1x F x →+∞→a ②令，则，即，ln xt x =11a t t =--21212(1)10,10,10t a t a t t a t t a +-+-=+=-<=-<通过导数探究函数的性质，可知，从而可证明ln ()x t x x =12312123ln ln ln ,x x x t t x x x ===.2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】（1）解：当时，，所以.1a =()ln f x x x=+()'11f x x =+则当时，，即切线的斜率为2，又由，则，1x =()'12f =()11f =()121y x -=-所以曲线在处的切线方程为.()y f x =1x =210x y --=（2）①解：由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解.x 2ln ln x ax xx x =+-(0,)+∞即关于的方程在上有三个不同的解.令.x ln ln x xa x x x =--(0,)+∞ln ()ln x x F x x x x =--17 / 18所以.22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(),0(ln )(ln )x x x x x x F x x x x x x x x '----=-=>--显然，当时，，证明如下：(0,)x ∈+∞2ln 0x x ->令.1212ln (0),2x y x x x y x x '-=->=-=当时，，函数在单调递减；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0'<y 2ln y x x =-10,2⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增.1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭0'>y 2ln y x x =-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当时，取最小值.所以，当时，.12x =2ln y x x =-11ln 02->(0,)x ∈+∞2ln 0x x ->令，可得或.将变化情况列表如下()0F x '=1x =e ,(),()x F x F x 'x(0,1)1()1,e e(,)e +∞()F x '-0+0-()F x 极小值(1)1F =极大值1()1e F e e e=--又当时，，当.0x →()F x →+∞,()1x F x →+∞→所以，实数的取值范围为.a ()11,1e e e --②由①可知，当时，.12301x x e x <<<<<ln 1ln ln ln 1x x xa x x x x x x =-=---令，则，即.ln xt x =11a t t =--21212(1)10,10,10t a t a t t a t t a +-+-=+=-<=-<不妨设，则.又，12t t <120t t <<2ln 1ln ()(0),()x xt x x t x x x '-=>=当时，在上单调递增；(0,)x e ∈()0,()t x t x '>(0,)e 当时，在上单调递减.(,)x e ∈+∞()0,()t x t x '<(,)e +∞显然，当时，；当时，.(,)x e ∈+∞()0t x >(,)x e ∈+∞()0t x >所以.12312123ln ln ln ,x x x t t x x x ===所以2223121212312ln ln ln ln ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()222122121212111111t t t t t t t t t =---=--=-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.2[1(1)(1)]1a a =--+-=即.2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭本题考查了函数切线方程的求解，考查了函数的零点与方程的根，考查了导数判断函数单调性，考查了导数求极值.求函数的切线方程时，常用的等量关系有两个，一是切点处的导数值为切线的斜率，二是切点既在切线上又在函数的图像上.。
高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数的除法法则求解可得结果．详解：∵，∴．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，解题时根据法则求解即可，属于容易题．2.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.3.3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为，构成首项为，公差为的等差数列，所以第个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.5.5.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像6.6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．7.7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项. 详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．8.8.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.9.9.设复数，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10.10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．11.11.已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12.12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．【答案】0.36【解析】.14.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.15.的展开式中的系数是__________．【答案】243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．16.16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于__________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.17.复数，，若是实数，求实数的值.【答案】【解析】分析：由题意求得，进而得到的代数形式，然后根据是实数可求得实数的值．详解：.∵是实数，∴，解得或，∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的有关概念，解题的关键是求出的代数形式，然后根据该复数的实部不为零虚部为零得到关于实数的方程可得所求，解题时不要忽视分母不为零的限制条件．18.18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次0 1 2 3 4数保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次0 1 2 3 4数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.【答案】（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．19.19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.（1）求，，及，，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，，，，， (2) 猜想，，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中，，成等差数列，，，成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的计算可以猜想，，下面用数学归纳法证明：①当时，由已知，可得结论成立.②假设当（且）时猜想成立，即，.则当时，，，因此当时，结论也成立.由①②知，对一切都有，成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．20.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平不满合计对教师管理水平好评意对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②，【解析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：0 1 2 3 4②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．21.21.已知函数，（为自然对数的底数，）.（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴.又，∴曲线在点处的切线方程为．由得.故，所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；当，即或时，切线与曲线有一个公共点；当，即时，切线与曲线没有公共点.（2）由题意得，由，得，设，则.又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以.又，，结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，故当时，函数有两个零点．点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.【答案】(1) (2) 直线的直角坐标方程为或【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．23.23.已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．详解：（1），即，则，∴，∴不等式化为．①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得.综上可得．∴原不等式的解集为.（2）证明：∵，∴.又，∴.点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．。
2022-2023学年江西省宜春市高二下学期6月期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江西省宜春市高二下学期6月期末数学试题一、单选题1．已知集合{}ln 1A x x =<，{}2B x y x ==-，则A B = （）A ．()0,eB ．(],2∞-C ．(]0,2D ．(),e -∞【答案】C【分析】根据对数的单调性解对数不等式求出集合A ，再根据具体函数的定义域求出集合B ，进而利用交集的概念即可求出结果.【详解】因为{}{}ln 10e A x x x x =<=<<，{}{}22B x y x x x ==-=≤，结合交集的概念可得(]0,2A B = ，故选：C2．若)1,0(,2P -，()3,1,1Q 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（）A ．()1,2,3B ．()1,3,2C ．()2,1,3D ．()3,2,1【答案】C【分析】利用方向向量的定义求解.【详解】依题意，直线l 的一个方向向量为3111( )( )( 0 21)23PQ -=-=，，，，，，，其他三个均不合要求.故选：C ．3．若直线21y x k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是（）A ．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．21,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.【详解】联立方程组21122y x k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2(12)3253k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为直线21y x k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，所以2(12)032503k k -⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得1252k k ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，所以5122k -<<，即实数k 的取值范围是51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A4．等差数列2-，0，2，…前10项的和为（）A ．252B ．302C ．352D ．402【答案】C【分析】根据等差数列求和公式求解.【详解】由题意，12=-a ，2d =，()1101011010182,103522a a a a d S +∴=+-==⨯=；故选：C.5．在等比数列{}n a 中，已知119a =，59a =，则3a =（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式可求出结果.【详解】设公比为q ，依题意得4519a a q ==，得4199q =，得481q =，29q =，所以2311919a a q ==⨯=.故选：A6．函数()2sin f x x x =-的零点个数为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】B【分析】求出()2sin f x x x =-为奇函数，并得到()00f =，考虑2x >时无零点，02x <≤时，求导，得到函数极值和最值情况，结合零点存在性定理得到零点，结合函数的对称性求出零点个数.【详解】()2sin f x x x =-定义域为R ，()00f =，又()()()2sin 2sin f x x x x x f x -=-+=-+=-，故()2sin f x x x =-为奇函数，当2x >时，由于2sin 2x ≤恒成立，故()2sin 0f x x x =-<恒成立，无零点，故<2x -时，也不存在零点，当02x <≤时，()2cos 1f x x '=-，当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()2sin f x x x =-单调递增，当π,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()2sin f x x x =-单调递减，故()2sin f x x x =-在π3x =处取得极大值，也时最大值，02sin ππππ33333f ⎛⎫=- =-⎝⎭>⎪，显然()00f =，()2sin2202f =-<，故由零点存在性定理知，在π,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上存在一零点，结合函数为奇函数，在π2,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上存在一零点，综上，()2sin f x x x =-一共有3个零点.故选：B7．我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n 年的累计年产量为()()()1134T n n n n =++（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（）A ．7年B ．8年C ．9年D ．10年【答案】B【分析】计算出()1354n a n n =+，解不等式()135604n n +≤，则有2352400n n +-≤，再利用二次函数的单调性即可得到答案.【详解】第一年年产量为12a =，以后各年年产量为()()()11354n a T n T n n n =--=+，()2,N n n *≥∈，当1n =时也符合上式，∴()()135N 4n a n n n *=+∈．令()135604n n +≤，得2352400n n +-≤．设()235240f n n n =+-，对称轴为56n =-，则当0n >时，()f n 单调递增，又因为n *∈N ，()28385824080f =⨯+⨯-=-<，则最大生产期限应拟定为8年，()293959240480f =⨯+⨯-=>，故选：B ．8．已知函数()e ,02,0x x f x x x ⎧≤=⎨⎩＞，()22g x x x =-，记函数()()()F x g f x m =-，若函数()F x 恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12324x x x -+的最大值为（）A ．1ln3-B ．1ln3+C ．3ln3-D ．3ln3+【答案】C【分析】根据已知条件画出函数图像，得到()g x 与y m =的交点的横坐标一个在(]0,1上，另一个在()1,+∞上，转化为研究()ln 34h x x x =-+，01x <<的最值问题，利用导数研究即可解决.【详解】由()f x 的解析式，可知()f x 在(],0-∞上单调递增，且值域为(]0,1，在()0,∞+上单调递增，且值域为()0,∞+，函数()f x 的图像如图所示，所以在()f x 的值域(]0,1上，任意函数值都有两个x 值与之对应，在值域()1,+∞上，任意函数值都有一个x 值与之对应.要使()()()F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则()g x 与y m =的交点的横坐标一个在(]0,1上，另一个在()1,+∞上，由()22g x x x =-的图像开口向上且对称轴为1x =，易知10m -<<，此时()()12g t g t m ==，且1212012,2t t t t <<<<+=，结合()f x 的图像及123x x x <<，得12132e 2,2xx t x t ===，则121123ln ,,22t t x t x x ===，所以()1231121111124ln 2ln 22ln 34x x x t t t t t t t t -+=-+=-+-=-+，且101t <<，令()ln 34h x x x =-+，01x <<，则()1133xh x x x-=-='.当103x <<时，()()0,h x h x '>单调递增；当13x >时，()()0,h x h x '<单调递减.所以max 1()3ln33h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故12324x x x -+的最大值为3ln3-.【点睛】思路点睛：本题考查函数与导数的综合问题.复合函数要层层分析，通过图像加以辅助，多变量问题要寻找变量之间的关系，实现消元，从而解答.二、多选题9．在高台跳水运动中，s t 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是()24.9 6.510h t t t =-++，判断下列说法正确的是（）A ．运动员在1t =s 时的瞬时速度是3.3m /sB ．运动员在1t =s 时的瞬时速度是 3.3m /-sC ．运动员在1t =s 附近以3.3m /s 的速度上升D ．运动员在1t =s 附近以3.3m /s 的速度下降【答案】BD【分析】求出1s t =时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断.【详解】由已知，(1) 4.9 6.51011.6h =-++=，1s t =的瞬时速度为20004.9(1) 6.5(1)1011.6lim lim lim(4.9 3.3) 3.3t t t h t t t t t∆→∆→∆→∆-+∆++∆+-==-∆-=-∆∆，因此该运动员在1=s t 附近以3.3/m s 的速度下降，故选：BD ．10．过点33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线()3y f x x ==相切的直线方程为（）A ．64150x y +-=B ．360x y +-=C ．360x y +-=D ．46150x y +-=【答案】BC【分析】设出切点003(,)x x ，利用导数的几何意义得出切线方程为020033()y x x x x -=--，再利用条件得到方程200430x x -+=，从而求出0x ，进而可求出切线方程.【详解】设切点为003(,)x x ，因为3y x =，所以23y x'=-，故切线方程为020033()y x x x x -=--，又因为切线过点33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以02003333()22x x x -=--，整理得200430x x -+=，解得03x =或01x =，当03x =时，切线方程为33(3)39y x -=--，即360x y +-=，当01x =，切线方程为33(1)11y x -=--，即360x y +-=.故选：BC.11．已知{}n a 为各项为正数的等比数列，251,24a a ==.记n S 是数列{}n a 的前n 项和，n T 是数列{}2n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的公比为2B ．224nnS T =C ．数列{}2log n a 为等差数列D ．数列{}2|log |n a 的前n 项和为23242n n -+【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出等比数列{}n a 的通项公式，再逐项分析、计算判断作答.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由251,24a a ==，得3528a q a ==，解得2q =，A 正确；于是22421224n n n n a a q ---==⨯=，2424(2)4n n n a --==，显然数列{}2n a 是首项为164，公比为4的等比数列，则221(12)18(41)128n n nS -==--，1(14)164(41)14192n nn T -==--，224n nS T =，B 正确；422log log 24n n a n -==-，212log log 3(4)1n n a a n n +-=---=，数列{}2log n a 为等差数列，C 正确；显然2||4||log n n a =-，当1n =时，23|log |n a =，223241312411322n n -+-⨯+==≠，D 错误.故选：ABC12．已知函数()f x 满足()()20f x f x '+>，且()01f =，则（）A ．()f x 不可能是偶函数B ．若0x >，则()0f x >C ．112ef ⎛⎫>⎪⎝⎭D ．若0x >，则()12f x x>-【答案】BCD【分析】由题意构造函数2()e ()=x g x f x ，求导后可得()0g x '>，所以()g x 在R 上单增，然后逐个分析判断即可.【详解】令2()e ()=x g x f x ，则[]2()e()2()0xg x f x f x ''=+>，故()g x 在R 上单增.对于A ，如()1f x =为常函数，此时()f x 为偶函数，A 错误;对于B ，若0x >，则2()e ()=x g x f x (0)1,g >=从而2()e 0x f x ->>，B 正确；对于C ，由011()e ()(0)e (0)122g f g f =>==可得11()2f e>，C 正确；对于D ，若0x >，同B 选项可知2()e x f x ->，令()e (1)x h x x =-+，则()e 1x h x '=-，当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以()(0)0h x h ≥=，所以e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立），故2e 21x x ->-+()0x >，则()12f x x >-，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，解题的关键是根据()()20f x f x '+>构造函数2()e ()=x g x f x ，求导后可判断函数的单调性即可，考查数学计算能力，属于较难题.三、填空题13．已知点()1,2A -，()4,6B -，则AB =．【答案】5【分析】利用两点间的距离公式计算可得.【详解】因为()1,2A -，()4,6B -，所以()()2214265AB =---+-=⎡⎤⎣⎦.故答案为：514．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为.【答案】34/0.75【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出方程组即可.【详解】设购买甲书的概率为x ，购买乙书的概率为y ，则由题意可得()11,61,2x y xy ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得23,34==x y .故答案为:34.15．已知函数()3223121f x x x x =+-+，则()f x 在[]3,2-上的最大值为．【答案】21【分析】对函数求导判断出单调性，比较极大值与端点值的大小，可得出()f x 在[]3,2-上的最大值.【详解】()()()26612621f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得1x =或2x =-．当[)(]3,21,2x ∈--⋃时，()0f x ¢>，当()2,1x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在()2,1-上单调递减，在[)(]3,2,1,2--上单调递增．因为()()221,25f f -==，所以()max 21f x ⎡⎤=⎣⎦．故答案为：21.16．若数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++--=，且12a =，则数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项的积为.【答案】2【分析】由已知推出111n n n a a a ++=-，由递推关系可得21n n a a +=-，所以421n n n a a a ++=-=，所以数列{}n a 的周期为4且21n n a a +⋅=-，继而推出332n n n n a a a a +++=-，由周期性计算乘积即可.【详解】由已知可得：111121111111n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ++++++++--=⇒=⇒==---343221n n n n n n n a a a a a a a +++++⇒=-=⇒=-由上可得{}n a 周期为4，12a =，可得23412113,,1223a a a +==-=-=-，故32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的周期也为4，数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项分别为413a -=-，512a a -=-=-，623a a -=-=，7312a a -=-=，故数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项的积为()()2020411123232323⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⨯⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】关键点点睛：（1）将已知等式化简､变形，得到数列{}n a 的周期为4；（2）化简32n n n a a a ++，寻找数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭和数列{}n a 之间的关系.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列(1)求通项公式na (2)设2n an b =，求数列n b 的前n 项和nS 【答案】(1)52n a =或35n a n =-(2)42n S n =或8128n n S -=【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差数列通项公式以及等比中项列式求出1a 和d 可得结果；（2）根据等比数列求和公式可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1434102a d ⨯+=，即1235a d +=，又237,,a a a 成等比数列，所以2327a a a =，即2111(2)()(6)a d a d a d +=++，整理得21230d a d +=，得0d =或132d a =-，若0d =，则152a =，15(1)2n a a n d =+-=，若132d a =-，则119252a a -=，得12a =-，3d =，35n a n =-.综上所述：52n a =或35n a n =-.（2）若52n a =，则52242n b ==，42n S n =；若35n a n =-，则358232nn n b -==，18(18)3218n n S -=⋅-8128n -=.18．3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．高二（A ）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34，35，通过第二轮比赛的概率分别是45，23，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．(1)若高二（A ）班获得决赛资格的小组个数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，三轮后总分高的获胜．假设两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组每次抢到该题的可能性分别是13，23，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求在第一题中乙已得10分的情况下最终甲获胜的概率．【答案】(1)分布列见解析，1(2)925【分析】（1）根据题意，计算出X 的取值和概率，利用数学期望的计算公式计算可得解（2）根据题意，乙已得10分，分类讨论甲获胜情况，进而可求得概率【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件1A ，2A ，则1343()455P A =⨯=，2322()535P A =⨯=．由题意可得，X 的取值有0，1，2，326(0)(1)(1)5525P X ==-⨯-=，323213(1)(1)(1)555525P X ==-⨯+⨯-=，326(2)5525P X ==⨯=.X012P6251325625所以6136()0121252525E X =⨯+⨯+⨯=．（2）依题意，甲，乙抢到并答对一题的概率分别为1131()355P B =⨯=，2224()3515P B =⨯=，乙已得10分，甲若想获胜情况有：①甲得20分：其概率为1115525⨯=②甲得10分，乙再得10-分，其概率为121234()53525C ⨯⨯=；③甲得0分，乙再得20-分，其概率为2234()3525⨯=．故乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率为144925252525++=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，24,,90,,PD CD AD AB AB CD CDA E F ====∠=分别为棱,PD PB 的中点，14PG PC =.(1)证明：,,,A G F E 四点共面；(2)求平面ABF 与平面AEF 的夹角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件可知，若存在,R m n ∈，使AG mAE nAF =+，则,,,A G F E 四点共面；（2）分别求出平面ABF 与平面AEF 的法向量，从而根据夹角公式求解即可.【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD CD ⊥⊥，又底面ABCD 为直角梯形，90CDA ∠= ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()4,0,0,0,0,2,2,1,2,0,1,3A E F G .()()()4,0,2,2,1,2,4,1,3AE AF AG =-=-=-.设AG mAE nAF =+ ，即4421322m n n m n -=--⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1,21,m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以12AG AE AF =+.故,,,A G F E 四点共面.（2）设(),,n x y z =r是平面AEF 的法向量，则420220n AE x z n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令2z =，得()1,2,2n =-r.取AP 的中点H ，则(2,0,2)H ，连接DH ，又因为PD AD =，所以DH AP ⊥，又由（1）,CD AD PD CD ⊥⊥，AD PD D =I ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AB CD ∥，所以AB ⊥平面PAD ，又DH ⊂平面PAD ，所以DH AB ⊥，又AP AB A = ，AP ⊂平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，所以DH ⊥平面ABF ，即平面ABF 的一个法向量为()2,0,2DH =.所以2cos ,2n DH n DH n DH⋅==.故平面ABF 与平面AEF 的夹角的大小为π4.20．某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的23领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元．(1)求{}n a 的通项公式．(2)当827ab =时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？(3)当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？【答案】(1)12123,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⋅+⋅≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩(2)这个人第三年的收入最少，为8a9元(3)当38ab ≥时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入【分析】（1）根据题意得到2n ≥时，122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到数列的通项公式；（2）由2n ≥时，122833272n n n a a a --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式，即可求解；（3）由2n ≥时，12122323332382n n n n n a a a b a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论.【详解】（1）解：由题意得，当1n =时，1a a =，当2n ≥时，122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12123,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⋅+⋅≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩（2）解：由827a b =，当2n ≥时，12121228328382327232729n n n n n a a a a a a ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当122833272n n a a --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，上式的等号成立，即2242233n -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得3n =，所以这个人第三年的收入最少，最小值为8a9元．（3）解：当2n ≥时，12121223233233232382382n n n n n n n a a a a b a a a------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥+≥⨯= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当38ab =且2233121log 1log 223n =+>+=，上式等号成立，因此，等号不能取到，当38ab ≥时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为22，点61,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 与直线10,2y kx m k m ⎛⎫=+≠> ⎪⎝⎭相交于不同的两点M 、N ，P 为弦MN 的中点，A 为椭圆C 的下顶点，当AP MN ⊥时，求m 的取值范围．【答案】(1)2213x y +=(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件可得出关于2a 、2b 的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y 、(),P P P x y ，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆>可得出2231m k <+，由韦达定理求出点P 的坐标，根据AP MN ⊥结合斜率关系可得出2231m k =+，代入2231m k <+结合12m >可得出m 的取值范围.【详解】（1）解：由题意可知222c =，所以22c =，所以222a b -=①，又2226311a b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以221619a b +=②，由①②可得23a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）解：设点()11,M x y 、()22,N x y 、(),P P P x y，联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222316310+++-=k x mkx m ，由题知()()222236123110k m k m ∆=-+->，可得2231m k <+③，由韦达定理可得122631kmx x k +=-+，2213231P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+，21313P APP y m k k x mk+++∴==-，AP MN ⊥ ，则23113APm k k mk k++=-=-，即2231m k =+④，把④代入③得22>m m ，解得02m <<，又12m >，故m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()(1)e x f x ax =-，a R ∈.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)当12a =时，存在,(0,)m n ∈+∞满足()()f m f n =，证明22em n +>-.【答案】(1)(1)10a x y --+=(2)证明见解析【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）由()()f m f n =得2e 2n m mn--=-，令12(1,2)m x -=∈，22(0,1)n x -=∈，12x t x =后可转化为证2(1)ln 1t t t ->+，构造函数2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+即可求证.【详解】（1）依题意得(0)1f =，()(1)e x f x ax a '=--，所以(0)1f a '=-，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1(1)y a x -=-，即(1)10a x y --+=.（2）12a =时，1()(1)e 2x f x x =-，1()(1)e 2xf x x '=-，令()0f x '=，得1x =，(,1)x ∞∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0)1f =，e(1)2f =，(2)0f =，因为存在,(0,)m n ∈+∞满足()()f m f n =，不妨设m n <，则其一个必要条件是01,12m n <<<<，由()()f m f n =得11(1)e (1)e 22m nm n -=-，即2e 2n m m n --=-，令12(1,2)m x -=∈，22(0,1)n x -=∈，则1212e x x x x -=，两边取对数得1122ln x x x x =-，即12121ln x x x x -=，要证22em n +>-，只要证2m n +>，1212122222212x x m n x x x x ++>⇔-+->⇔+<⇔<，故只要证1212122ln x x x x x x +-<，即112212112ln x x x x x x +-<，设12xt x =，则1t >，故只要证112ln t t t+-<，即2(1)ln 1t t t ->+，令2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+，则22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=，即2(1)ln 1t t t ->+成立，从而原不等式得证.【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对数均值不等式即可.。
2022-2023学年江西省宜春市高二下学期7月期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江西省宜春市高二下学期7月期末数学试题一、单选题1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】{}{}202A x x x x =-≥=≥，{}1,2,3B =，所以A B = {}2,3，故选:D2．在正四面体DABC 中，点O 是ABC 的中心，若DO xDA yDB zDC =++，则（）A ．14x y z ===B ．13x y z ===C ．12x y z ===D ．1x y z ===【答案】B【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】因为四面体DABC 是正四面体，则每个面都是正三角形，所以()()1133DO DA AO DA AB AC DA DA DC DA DB =+=++=+-+- 111333DA DB DC =++.又由DO xDA yDB zDC =++ ，所以13x y z ===.故选：B.3．已知直线l ：x cos α＋y sin α＋m 2＋n 2＝0（α∈R ，mn ＞0），圆O ：x 2＋y 2＝4m 2n 2，则直线l 与圆O 交点的个数为（）个A ．0或1B ．1或2C ．0或2D ．0或1或2【答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用重要不等式判断即可；【详解】解：因为圆心到直线的距离2222222cos sin m n d m n mnαα+==+≥+当且仅当m n =时取等号，所以直线与圆相切或相离，故直线与圆的交点为0或1个；故选：A4．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（）A ．113尺B ．10529尺C ．6529尺D ．73尺【答案】B【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列，且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--，故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭，故选：B.5．已知双曲线22197x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（）A ．73B ．143C ．52D ．53【答案】B【分析】由于双曲线22197x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，由此可得答案.【详解】解：由22197x y -=得229,7a b ==，所以3,7a b ==，因为双曲线22197x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径22143b a =，故选：B【点睛】此题考查双曲线和抛物线，考查双曲线的通径，属于基础题.6．已知O 为坐标原点，向量(1,2,3),(2,1,2),(1,1,2)OA OB OP ===，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．134,,223⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用向量//OQ OP 表示出点Q 坐标，再求出QA ，QB的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.【详解】因点Q 在直线OP 上运动，则//OQ OP ，有(,,2)OQ tOP t t t ==，于是有(,,2)Q t t t ，因此，(1,2,32)QA t t t =--- ，(2,1,22)QB t t t =---，于是得2242(1)(2)(2)(1)(32)(22)616106()33QB t Q t t t A t t t t t ⋅=--+--+--=-+=-- ，则当43t =时，min 2)3(Q A B Q ⋅=- ，此时，点Q 44833()3,,，所以当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为44833()3,,.故选：C7．已知若()f x 为定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()20f x x '+>，则不等式()()1223f x f x x +-+>+的解集为（）A ．（32，∞+）B ．（-∞，3-）C ．（-∞，32-）D ．（32-，∞+）【答案】D【分析】设()()2g x f x x =+，可得()g x 为偶函数，又(],0x ∈-∞时,()()20g x f x x +'=>，所以()g x 在(],0-∞上单调递增，在[)0+，∞上单调递减，由()()1223f x f x x +-+>+，可得()()12g x g x +>+，即()()12g x g x +>+，由单调性可得出答案.【详解】设()()2g x f x x =+，()f x 为定义在R 上的偶函数，则()g x 为偶函数.当(],0x ∈-∞时，,()()20g x f x x +'=>,所以()g x 在(],0-∞上单调递增.由()g x 为偶函数，则()g x 在[)0+，∞上单调递减.由()()1223f x f x x +-+>+，即()()()()221122f x x f x x +++>+++所以()()12g x g x +>+，由()g x 为偶函数，即()()12g x g x +>+又()g x 在[)0+，∞上单调递减，所以12x x +<+，解得：32x >-故选：D【点睛】本题考查构造函数，根据导数得出单调性，结合函数为偶函数解不等式，本题根据条件构造出函数是关键，属于中档题.8．若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（）A ．e B ．2eC ．2eD ．2【答案】C【分析】临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线.设()=2ln f x e x的切点为111(,)(0)x y x >，设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，得到12122ln 30ex x +-=，再求出方程小的零点为e ，方程另外一个零点一定大于2e ,即得解.【详解】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线.设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e ef x a x x '∴=.设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，,所以21212=,2ea x x x e x =∴=.由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)eh x x x x =+->，所以211331112424()x ee h x x x x -'=-=，所以函数11212()2ln 3eh x x x =+-在()0,2e 上单调递减，在()2,e +∞单调递增.又2()2ln 3=1+23=0eh e e e=+--，当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于2e .所以方程小的零点为e ，所以max 22ea e e==.故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的公切线问题，考查利用导数研究函数的单调区间和零点问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()()g x f x '=，()11g =，且()1f x +为奇函数，()1g x -为偶函数，则（）A ．()10f =B ．()30g -=C ．()20251g =D ．()210g =【答案】AC【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性，导数几何意义，即可逐个选项判断.【详解】因为()1f x +为奇函数，()1g x -为偶函数，所以()()()()11,11f x f x f x f x '-+=-+--+=-+'，()()11g x g x --=-，所以()f x 关于()1,0对称，()g x 关于=1x -对称，()f x '关于=1x 对称，又()()g x f x '=，则()g x 关于=1x 对称，所以()()()()22,g x g x g x g x =-=--是以4为周期的函数，令0x =，则()()11f f =-，得()10f =，A 正确；令2x =，则()()311g g -==，B 错误；因为202545031=⨯+，所以()()202511g g ==，C 正确；因为21451=⨯+，所以()()2111g g ==，D 错误.故选：AC10．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（）A ．10143S =B ．135********a a a a a ++++= C ．24620202021a a a a a ++++> D ．202020202021S a a =+【答案】AB【分析】依次求出1210,,,a a a 的值可判断A ，由12n n n a a a --=+可得12n n n a a a --=-，然后可得()()()135202124264202220202022a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++-= ，同理可得020*********a a a a a ++++=- ，依此可判断BCD.【详解】因为11a =，21a =，()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，所以3456789102,3,5,8,13,21,34,55a a a a a a a a ========，所以1011235813231345145S =++++++=+++，故A 正确，因为()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，所以()()()135202124264202220202022a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++-= ，故B 正确，()()()3246202315202120119202020211a a a a a a a a a a a a =-+-++-=-++++< ，故C 错误，因为()()()213520192024642000220218a a a a a a a a a a a a =+-+-++++=-++ ，()()()524623103202120192002211a a a a a a a a a a a =-+-+++++-+=- ，所以2020202020211S a a =+-，故D 错误；故选：AB11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为抛物线上任意一点，点P 为A 在l 上的射影，线段PF 交y 轴于点,E Q 为线段AF 的中点，则（）A ．AE PF⊥B ．直线AE 与抛物线C 相切C ．点Q 的轨迹方程为221y x =-D ．QEF ∠可以是直角【答案】ABC【分析】分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行求解.【详解】对于A 选项，设准线与x 轴交于点M ，由抛物线知原点O 为FM 的中点，l y 轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，故A 正确；对于B 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()111,,0A x y x ≠，则10,2y E ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AE 的方程：()1112y y x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：221120y y y y -+=，所以1221Δ440y y =-=，所以直线AE 与抛物线相切，故B 正确；对于C 选项，设点(),Q x y ，则点()21,2A x y -，而A 是抛物线C 上任意一点，于是得()2(2)421y x =-，即221y x =-，所以点Q 的轨迹方程为221y x =-，故C 正确；对于D 选项，因点Q 的轨迹方程为221y x =-，则设21,2t Q t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令()0,E m ，有()211,,,2t EF m EQ t m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，2222111102242t EF EQ m tm m t t +⎛⎫⋅=-+=-++> ⎪⎝⎭ ，于是得QEF ∠为锐角，故D 错误.故选：ABC.12．设0.02e 1a =-，ln1.02b =，151c =， 1.021d =-，则（）A ．b a <B ．b c<C ．d b<D ．d c<【答案】ACD【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定a 与b ，b 与c ，d 与b ，d 与c 大小关系.【详解】解：0.02e 1a =-，()ln1.02ln 10.02b ==+，1151501c ==+， 1.02110.021d =-=+-，对于A ，设()()()e ln 11,0,x f x x x ∞=-+-∈+，则()1e 1xf x x ='-+，令()()1e 1xg x f x x '==-+，则()()21e 01x g x x '=+>+恒成立，所以()f x '在()0,x ∈+∞上单调递增，则()()00f x f ''>=恒成立，所以()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，则()()0.020.02e ln1.02100f f =-->=，即0.02ln1.02e 1<-，所以b a <，故A 正确；对于B ，设()()ln ,1,h x x x x x ∞=-∈+，则()ln 0h x x '=>，故()h x 在()1,x ∈+∞上单调递增，则()()1.02 1.02ln1.02 1.0211h h =->=-，整理得21ln1.0210251>=，所以b c >，故B 不正确；对于D ，设()()()()23211,0,1m x x x x =+-+∈，则()()()()()2242131321311m x x x x x x x '=+-+=-++=-+-，当()0,1x ∈时，()()()3110m x x x =-+->'，所以()m x 在()0,1x ∈上单调递增，所以有()()()()230.0210.0410.0200m m =+-+>=，即210.0410.0210.02+⎛⎫>+ ⎪+⎝⎭，所以1 1.02151>-，则d c <，故D 正确；由前面可知,d c c b <<，所以d b <，故C 正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查构造函数结合导数比较指对幂大小问题，属于难题.解决本题的关键是处理好指对幂式子中自变量的位置，结合作差法比较大小，构造差函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较0.02e 1a =-，ln1.02b =大小，将转换得()ln1.02ln 10.02b ==+，可构造差函数()()()e ln 11,0,x f x x x ∞=-+-∈+，求解导数()f x '结合导函数的性质即可确定()f x 在()0,∞+的单调性，从而可得函数值大小，即可判断,a b 大小关系.三、填空题13．计算：0.25428⨯+（1258-）0+323log =．【答案】5【分析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.【详解】依题意，原式()1134422122125=⨯++=++=.故答案为：5【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．已知函数f(x)=cosx ，则()'()22f f ππ+=.【答案】-1【详解】分析：先求出导函数，然后将2π代入原式和导函数求值即可.详解：由题可得：'()sin ()'()22cos sin221f x x f f ππππ=-∴+=-=-故答案为-1.点睛：考查导数的计算公式和三角特殊值，属于基础题.15．函数321()43f x x x =-+的极值点是.【答案】0和2【分析】对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可得函数的极值点.【详解】解：由321()43f x x x =-+，对其求导可得：'2()2f x x x =-，令2'()20f x x x =-=，可得0x =或2x =，当(,0)x ∈-∞时，'()0f x ＞，函数单调递增；当(0,2)x ∈时，'()0f x ＜，函数单调递减；当(2,)x ∈+∞时，'()0f x ＞，函数单调递增；故可得函数有两个极值点：0和2，.故答案为：0和2【点睛】本题主要考查利用导数求函数极值点，考查学生的计算能力，属于基础题.16．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.已知数列{}n a 是首项和公差均为1的等差数列.设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n b ，对任意的正整数k ，当k m ≤时，都有1k k k b a b +≤≤成立，则m 的最大值为.【答案】5【分析】求出数列{}{}n n a b ，的通项公式；构造函数，利用导数讨论函数的单调性，找到零点，进而找到最大值.【详解】由题意知，1n n b q -=，()11n a n n =+-=,N k m k m +∈≤，，，1k k q k q -≤≤恒成立，当1k =时，111=1q q-≤≤当2k =时，22q q ≤≤，22q ≤≤当3k ≥时，两边取对数可得，ln ln ln 1k kq k k ≤≤-对k m ≤有解，即max minln ln ln 1k k q k k ⎡⎤⎡⎤≤≤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦令()()ln 3x f x x x =≥，，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()21ln 0xf x x -'=<，此时，()f x 单调递减，所以，当3k ≥时，maxln ln 33k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令()()ln 31xg x x x =≥-，，则()()()211ln 31x x g x x x --'=≥-，令()()11ln 3x x x x φ=--≥，，则()()213x x x xφ-'=≥，当3x ≥时，()21x x x φ-'=<0，即()211ln 0xx g x x--'=<，所以，()g x 在[)3+∞，上单调递减，即当3k ≥时，min ln ln 11k m k m ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，则ln 3ln 31m m ≤-，化简，得()3ln 1ln 30m m --≥令()()3ln 1ln 3h m m m =--，则()3ln 3h m m '=-，由3k ≥得3m ≥，则()3ln 30h m m'=-<，所以，()h x 在[)3+∞，上单调递减，又因为()()53ln 551ln 3ln125ln810h =--=->，()()63ln 661ln 3ln 216ln 2430h =--=-<所以，存在()056m ∈，，使得()00h m =所以整数m 的最大值为5，此时113435q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()3k ≥.故答案为：5四、解答题17．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）将圆C 向上平移1个单位长度后得到圆1C ，求圆1C 的标准方程．【答案】（1）()()223213x y -+-=；（2）()()223313x y -+-=．【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线，再联立直线l 求解即可；（2）分析C 向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可【详解】（1）因为直线AB 的斜率为50116-=--，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1．又易知线段AB 的中点坐标为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即10x y --=．因为圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．由102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．所以圆心为()3,2C ，半径13r CA ==．所以圆C 的标准方程是()()223213x y -+-=．（2）由（1），知圆C 的圆心坐标为()3,2，将点()3,2向上平移1个单位长度后得到点()3,3，故圆1C 的圆心坐标为()3,3，半径为13，故圆1C 的标准方程为()()223313x y -+-=．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，2PC PD ==，E 为PB 中点.（1）求证：//PD 平面ACE ；（2）求二面角E AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）66-.【分析】（1）设BD 交AC 于点F ，连结EF .根据中位线定理得//EF PD ，再由线面平行的判定定理可得证；（2）建立空间直角坐标系，运用二面角的向量求解方法可求得答案.【详解】解：（1）设BD 交AC 于点F ，连结EF .因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点.又因为E 为PB 中点，所以//EF PD .因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ，所以//PD 平面ACE .（2）取CD 的中点O ，连结PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O 为CD 中点，所以PO CD ⊥，//OF BC ，所以OF CD ⊥.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD 平面ABCD CD =.所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,1,0A -，()0,1,0C ，()1,1,0B ，()0,0,1P ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，()1,2,0AC =- ，131,,222AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以200213100222x y AC m x y z y x y z AE m -+=⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ .令1y =，则2x =，1z =-，所以()2,1,1m =- .平面ACD 的法向量为()0,0,1OP = ，则6cos ,6m OP m OP m OP⋅<>==-⋅ .如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-.19．新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分.对而不全得2分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为(01)p p <<，有3个选项正确的概率为1p -，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多选题的选项A 是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为112，求p ；(2)小明可以确认另一道多选题的选项A 是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A 不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若512p =，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？【答案】(1)14p =(2)①【分析】(1)根据条件概率事件求解即可；(2)分别分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根据得分情况选择方案；【详解】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件1A ，“有3个选项正确”为事件2A ，“小明该题得5分”为事件B ，则()()()1112311()C 12P B P BA P A P B A p ==⨯=⨯=，求得14p =.（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.若小明选择方案②，记小强该题得分为X ，则0,2,5X =，且()()1121121133C C 527117(0)C C 12312336P X P A P A ==+=⨯+⨯=，()12213C 72147(2)C 1233618P X P A ===⨯==，()11113C 515(5)C 12336P X P A ===⨯=，所以，1714553()025********E X =⨯+⨯+⨯=，若小明选择方案③，记小强该题得分为Y ，则0,5Y =，且()()211312122233C C C 57229(0)C C 1212336P Y P A P A ==+=+⨯=，()22223C 717(5)C 12336P Y P A ===⨯=，所以，29735()05363636E Y =⨯+⨯=,因为()()2E Y E X <<，所以小明应选择方案①.20．已知数列{}n a 满足：11a =，35a =且112n n n a a a +-=+（n *∈N 且2n ≥）；数列{}n b 的前n 项和nS 满足：()21n n S b n *=-∈N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ；(3)设()132n n n n n a b c n a *++=∈N ，是否存在正整数m ，()2k m k <<，使2c ，m c ，k c 成等比数列？若存在，求出所有的正整数m ，k ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)21n a n =-，13n nb =(2)113n n n T +=-(3)存在，4m =，40k =【分析】（1）由已知可得{}n a ，{}n b 分别为等差、等比数列，求基本量即可.（2）用错位相减法求和.（3）由已知列出等式并分析出m 的取值，进而可得k 的范围.【详解】（1）∵()1122n n n a a a n +-=+≥，∴{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则3124a a d -==，即2d =，∴()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-.又当1n =时，111212S b b =-=，∴1103b =≠，当2n ≥时，()()()1112211n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-，即13n n b b -=，∴113n n b b -=，故{}n b 是以为13首项，13为公比的等比数列，所以13n n b =.（2）由（1）知21n a n =-，13n n b =，则()1213n n na b n ⋅=-⋅，∴()231111135213333n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，①∴()2341111111352133333n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，②则①-②得：23412111112123333333n n n n T +-⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()21111112112123321333313n n n n n -++⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+⋅-=--，∴113n nn T +=-.（3）由（1）可知()()1213322121n n n n n c n n -+⋅==++，假设存在正整数m ，()2k m k <<，使2c ，m c ，k c 成等比数列，即22m k c c c =，即2221521m k m k ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得：225412m m k m -++=，∴2410m m -++>，解得2525m -<<+又,m k *∈N 且m>2，∴3m =或4m =，当3m =时，解得458k *=∉N ，舍去；当4m =时，解得40k =，符合.综上：存在正整数4m =，40k =使2c ，m c ，k c 成等比数列.21．已知点A 是圆()22:116E x y -+=上的任意一点，点()1,0F -，线段AF 的垂直平分线交AE 于点P .(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)若过点F 的直线交轨迹Γ于M 、N 两点，B 是FM 的中点，点O 是坐标原点，记MEB 与ONF △的面积之和为S ，求S 的最大值.【答案】(1)22143x y +=(2)32【分析】（1）由题意可知42PE PF PE PA EA EF +=+==>=，所以动点P 的轨迹是椭圆，即可求解；（2）分析出MOF OFN MON S S S S =+= ，直线MN 的斜率不存在时，32MON S = ，直线MN 的斜率存在时，可通过设而不求的方法求得2222(1)6(34)k k S k +=+，令234m k =+后可得233212S m m=--+，根据m 的范围即可求出S 的范围，进而可求其最大值.【详解】（1）由题意可知42PE PF PE PA EA EF +=+==>=，所以动点P 的轨迹Γ是以,E F 为焦点且长轴长为4的椭圆，则24,22a c ==，所以2,3a b ==，因此动点P 的轨迹Γ的方程是22143x y +=.（2）如图：不妨设点M 在x 轴上方，连接OM ，因为,O B 分别为,EF FM 有中点，所以MEB MOF S S = ，所以MOF OFN MON S S S S =+= ，当直线MN 的斜率不存在时，其方程为=1x -，则3(1,)2M -，3(1,)2N --，此时113331[()]22222MON S MN OF =⋅=⨯⨯--= ；当直线MN 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，显然直线MN 不与x 轴重合，即0k ≠，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以2222121212212(1)11()434k MN k x x k x x x x k +=+-=+⋅+-=+，又点O 到直线MN 的距离21kd k =+，所以22221(1)62(34)k k S MN d k +=⨯=+，令234(3,)m k =+∈+∞，则22(3)(1)33261162m m S m m m-+==--+，因为(3,)m ∈+∞，所以11(0,)3m ∈，所以223211413()(0,1)33m m m --+=-++∈，所以3(0,)2S ∈.综上，3(0,]2S ∈，即S 的最大值为32.22．已知函数1()(R)a f x a x+=∈．(1)当0a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(2)设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数()h x 的极值；(3)若()ln g x a x x =-在[1,e]（e 2.71828=⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】(1)20x y +-=，(2)答案见解析；(3)2e 1e 1a +≥-或2a ≤-【分析】（1）求出函数的导数，计算()()1,1f f '，根据点斜式即可求出切线方程，（2）求出()h x 的导数，通过讨论a 的范围，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）问题转化为函数()1ln a h x a x x x +=--在[]1,e 上，有()max 0h x ≥，通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，从而求出a 的范围即可.【详解】（1）当0a =时，1()f x x =，则(1)1f =,所以切点为(1,1)，因为()21f x x'=-,所以切线的斜率为()11k f '==-,所以曲线()f x 在点()f x 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=，（2）依题意()1ln a h x a x x x +=--，定义域为(0,)+∞，所以()()()()222211111x x a x ax a a a h x x x x x⎡⎤+-+--++⎣⎦'=-+=-=-,①当10a +>，即1a >-时，令()0h x '>，因为0x >，所以01x a <<+,此时，()h x 在区间(0,1)a +上单调递增，令()0h x '<，得1x a >+．此时，()h x 在区间(1,)a ++∞上单调递减．所以()h x 在1x a =+处取得极大值(1)ln(1)2h a a a a +=+--，无极小值；②当10a +≤，即1a ≤-时，()0h x '<恒成立，()h x 在区间(0,)+∞上单调递减．所以()h x 在区间(0,)+∞上无极值．综上，当1a >-时，()h x 在1x a =+处取得极大值(1)ln(1)2h a a a a +=+--，无极小值；当1a ≤-时，()h x 在区间(0,)+∞上无极值．（3）依题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00g x f x ≥成立,即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()max 0h x ≥，故函数()1ln a h x a x x x+=--在[]1,e 上，有()max 0h x ≥．由（2）可知，①当1e a +≥,即e 1a ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()()max 1e e 0ea h x h a +==--≥,所以2e 1e 1a +≥-,因为2e e 1e 11+>--，所以2e 1e 1a +≥-．②当011a <+≤，或1a ≤-，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()()max 1110h x h a ==---≥，所以2a ≤-．③当11e a <+<，即0e 1a <<-时，由（2）可知，()h x 在1x a =+处取得极大值也是区间(0,)+∞上的最大值，即()()max ()(1)ln 12ln 112h x h a a a a a a ⎡⎤=+=+--=+--⎣⎦，因为0ln(1)1a <+<,所以(1)0h a +<在[]1,e 上恒成立，此时不存在0x 使0)(0h x ≥成立．综上可得，所求a 的取值范围是2e 1e 1a +≥-或2a ≤-.【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性及极值值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=-.。
江西省宜春市高二下学期期末考试理科数学试题 有答案
2017届高二下学期期末考试数学(理科)试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}12,1>=<=x x N x x M ，则=N M ( )A ．φB ．{}0<x xC ．{}1<x xD ．{}10<<x x2.下列说法错误的是A. 命题“若,0652=+-x x 则2=x ”的逆否命题是“,2≠x 则0652≠+-x x ”B. 已知命题p 和q ，若q p ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假C. 若,,R y x ∈则“y x =”是“22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”的充要条件D. 若命题,01,:0200<++∈∃x x R x p 则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p3.设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于A.5B.53C.73D.34.已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：6.295.0ˆ+=x y )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.55．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A .16B . 112C . 124D .1486. 一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ， 则()D ξ等于( )A.0.196B.0.2C.0.8D.0.8047.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+()0,1a a >≠，若()2g a =，则()2f =( )A. 2B.415 C. 417 D. 2a 8．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种9.从0,1,2,3,4,5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有 ( ) A.40个B.36个C.28个D.60个10．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(单位长度相同)．已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=6sin 36cos 1ππt y t x (t 为参数)．若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，则满足这样条件的点P 的个数为( )A ．1B ．2C ． 3D ．411.函数xx x x x x f cos 232)4sin(2)(22+-++=π的 最大值为M ，最小值为N 则有 ( )A ．M-N=4B ．M-N=2C ．M+N=4D ．M+N=212.函数()||()xx af x e a R e=+∈在区间[]1,0上单调递增，则a 的取值范围是 ( ) A ．[]1,1-∈a B ． ]0,1[-∈a C ．[0,1]a ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈e e a ,1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上)13.在二项式8x ⎛ ⎝的展开式中，含5x 的项的系数是 .(用数字作答)14.有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种(用数字作答)． 15．已知a b >，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是 .16.已知函数|2||12|)(a x x x f ++-=，3)(+=x x g ，设1->a ，且当]21,2[a x -∈)时，)()(x g x f ≤，则a 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分10分)已知幂函数2422)1()(+--=m m xm x f 在),0(+∞上单调递增，函数.2)(k x g x -= (1)求m 的值；(2)当]2,1[∈x 时，记)(),(x g x f 的值域分别为B A ,，若A B A =⋃，求实数k 的取值范围．18.(本小题满分12分)直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).(1)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若1C 上的点P 对应的参数为π2t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线 3:(cos 2sin )7C ρθθ-=距离的最小值.19．(本小题满分12分)已知函数()3,f x k x k R=--∈且(3)0f x +≥的解集为[]1,1-(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)若,,a b c 是正实数，且111123ka kb kc ++=，求证：1231999a b c ++≥。
江西省丰城中学等五校2016-2017学年高二数学下学期期末联合考试试卷
C.
3 1 i 2 2
D.
＝ A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）
4．从标有 1, 2,3, 4,5, 6 的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是 A．
1 5
B．
1 15
C．
2 15
D．
1 3
5．若椭圆
x2 y 2 1 过抛物线 y 2 8 x 的焦点， a 2 b2
C.若方程 f ( x) m 在 [ , 0] 上有两个不相等的实数根，则实数m的 取值范围是 (2, 3] D.将函数 y 2sin(2 x ) 的图象向左平移 个单位得到函数 f ( x) 的图象
6
6
10．函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x R 都有 f ( x) f ( x 4) ，当
10 3
B． 6
10 3
C． 12 2
D． 6 4
7．已知等比数列 a n 的公比 q 2 ，前n项和为 S n ，若 S 4 1 ，则 S 8 A．15 B．17 C．19 D．21
8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为
A.7 D.11
个判断: （1）当 k 0 时，有3个零点； （3）当 k 0 时，有4个零点； 则正确的判断是 A．（1）（4） D．（3）（4） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数 f x x 3 ax 4 a R ，若函数 y f x 的图象在点 P 1, f 1 处的 切线的倾斜角为 B．（2）（3） C．（1）（2） （2）当 k 0 时，有2个零点; （4）当 k 0 时，有1个零点．
江西省宜春市等五校高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
2014-2015学年江西省宜春市丰城中学等五校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）A B．3 C．﹣3 D2．下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x3．如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是（）A B C D4．如果（3x n的展开式中各项系数之和为8n dx的值是（）A B C D．15．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．116．如图为一个几何体的三视图，其主、左视图均为等腰直角三角形，俯视图的外轮廓是正方形（尺寸如图），则该几何体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π7．已知等差数列{a n}，S n是其前n项的和，若S3=2a3）A．2015 B．2016 C．1024 D．10088．△ABC）A．3 B．2 C D9．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．5010．如图，平行四边形的顶点A位于双曲线的中心，顶点B位于该双曲线的右焦点，∠ABC为60°，顶点D，则此双曲线的离心率是（）A B D11．若实数x、y满足sinx z=x+y的最小值是（）A B．﹣2 C D12．设函数f（x）=x2lnx x1∈[e，e2]，x2∈[1，2]，使得e3（k2﹣2）g（x2）≥kf（x1）成立（其中e为自然对数的底数），则正实数k的取值范围是（）A．k≥2B．0＜k≤2C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知a=bcosC，则角C的大小是（弧度）14．实数x、y满足（x﹣1）2+y2≤1，则y≥x的概率为．15．设P是抛物线2﹣3上横坐标非负的一个动点，过P引圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为T1、T2，当|T1T2|最小时，直线T1T2的方程是．16．已知函数f（x）y=k与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．如图，从宾馆A到火车站B有A﹣C﹣B、A﹣D﹣B两条路线．出租车司机准备开车从宾馆送某旅客到火车站，若各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A﹣C﹣B算作两个路段；路段AC CB发生（1）请你为该出租车司机选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；（2）若记路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．18．已知数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，S n是数列{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2{b n}的前n项和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=4，AB=1，BC=2，过A作AM⊥PC交PC于M．（1）判断AM与平面PCD是否垂直，并说明理由；（2）AM与平面PBC所成的角是否大于30°？请说明理由．20．椭圆C的中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C的两个焦点及短轴的两个端点恰是一个面积为8的正方形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，①写出满足上述要求的充要条件（用含k、b的式子表示）；②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），求x0的取值范围．21．已知f（x）=lnx，g（x）m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a四、选做题请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本题10分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB 并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）ACBD=ADAB；（Ⅱ）AC=AE．选修4-4：坐标系与参数方程23．求圆C与直线l的极坐标方程；（2）已知P是l上一动点，线段OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．选修4-5：不等式选讲24．=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）求f（x）的值域；（2）求不等式：f（x）≥x2﹣3x﹣1的解集．2014-2015学年江西省宜春市丰城中学等五校高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）A B．3 C．﹣3 D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解a的值．【解答】解：∵（3﹣i）z=a+i，又z为纯虚数，故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件．B．f（x）f（y）=﹣x﹣1（﹣y﹣1）=（xy）﹣1，f（xy）=﹣（xy）﹣1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立．C．f（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立．D．f（xy）═2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立．故选：A【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行验证是解决本题的关键．比较基础．3．如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是（）A B C D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由图形可知，王珊的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，进而对选择项进行判断，可得结论【解答】解：由于一段时间离家的距离保持不变，家是一个点，所以在那段时间内行走的路线就可能是在以家为圆心，那段距离为半径的一段弧上．故选：D．【点评】本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，考查学生分析解决问题的能力．4．如果（3x n的展开式中各项系数之和为8n dx的值是（）A B C D．1【考点】定积分．【专题】导数的综合应用；二项式定理．【分析】利用赋值法求出n，然后计算定积分．【解答】解：令x=1，得到（3﹣1）n=8，所以n=3，n3故选：B．【点评】本题考查了二项展开式的项的系数以及定积分的计算；关键是利用赋值法求出n 值．5．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求i 值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求1，而1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．如图为一个几何体的三视图，其主、左视图均为等腰直角三角形，俯视图的外轮廓是正方形（尺寸如图），则该几何体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出该几何体的外接球的半径，可得答案．【解答】解：由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，棱锥的高为2，∴该几何体的外接球的表面积为4π×3=12π，故选：C．【点评】本题考查求该几何体的外接球的表面积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．7．已知等差数列{a n}，S n是其前n项的和，若S3=2a3）A．2015 B．2016 C．1024 D．1008 【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公差等于首项，代入求和公式和通项公式化简可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=2a3，∴3a1（a1+2d），解得d=a1，故选：D．【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题．8．△ABC）A．3 B．2 C D【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】结合题意，算出x、y【解答】故选：B【点评】本题给出三角形一边的三等分点，求向量的线性表达式，着重考查了平面向量的性质运算与平面向量基本定理等知识，属于基础题．9．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．50【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22，相乘得到结果，再表示出甲组含有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列．【解答】解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52=10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22=6种结果，∴根据分步计数原理知共有10×6=60，当甲中有三个人时，有C53A22=20种结果∴共有60+20=80种结果故选A．【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，本题是一个基础题，解题时注意对于三个小组的人数限制，先排有限制条件的位置或元素．10．如图，平行四边形的顶点A位于双曲线的中心，顶点B位于该双曲线的右焦点，∠ABC为60°，顶点D，则此双曲线的离心率是（）A B D【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（a＞0，b＞0），则D（﹣c），代入a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】（a＞0，b＞0），则D（﹣c），∴c2b2﹣3a2c2=a2b2，∴c2（c2﹣a2）﹣3a2c2=a2（c2﹣a2），∴e4﹣5e2+1=0，∴e2故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．11．若实数x、y满足sinx z=x+y的最小值是（）A B．﹣2 C D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z和曲线y=sinx相切时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由f′（x）﹣1，即2sin（=﹣1，即sin（=即x=此时y=sin=代入目标函数得z=故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据三角函数的图象，结合直线和曲线的相切问题是解决本题的关键．12．设函数f（x）=x2lnx x1∈[e，e2]，x2∈[1，2]，使得e3（k2﹣2）g（x2）≥kf（x1）成立（其中e为自然对数的底数），则正实数k的取值范围是（）A．k≥2B．0＜k≤2C D【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，求得f（x）在[e，e2]的最小值，求出g（x）的导数，判断g （x）在[1，2]的单调性，求得最大值，由存在性的结论可得e3（k2﹣2）g（x2）max≥kf（x1），解不等式即可得到所求范围．min【解答】解：f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x，当x∈[e，e2]，f′（x）＞0，f（x）在[e，e2]递增，即有f（e）为最小值，且为e2；g′（x）当x∈[1，2]，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]递减，即有g（1由题意可得e3（k2﹣2）g（x2）max≥kf（x1）min，即为e2（k2﹣2）≥ke2，由k2﹣k﹣2≥0，结合k＞0，可得k≥2．故选A．【点评】本题考查导数的运用：求最值，主要考查函数的单调性的运用，注意不等式存在性问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知a=bcosC，则角C的大小【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC，再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值．【解答】解：△ABC中，a=bcosC，∴sinA=sinBcosC，即sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0；又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目，属于基本知识的考查．14．实数x、y满足（x﹣1）2+y2≤1，则y≥x【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由题意，画出图形，明确满足条件的区域面积，利用面积比求概率．【解答】解：如图，满足满足（x﹣1）2+y2≤1，且y≥x的区域如图阴影部分圆的面积为π由几何概型公式得到实数x、y满足（x﹣1）2+y2≤1，则y≥x的概率为：【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是找出事件集合的长度是面积的比．15．设P是抛物线2﹣3上横坐标非负的一个动点，过P引圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为T1、T2，当|T1T2|最小时，直线T1T2的方程是x+y﹣1=0 ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设圆心为O（0，0），PO与T1T2交于E，则PO2=PT12+2，T1T2=2T1当PO值最小时，T1T2取最小值，求出P的坐标，设出两切点坐标，根据圆的切线方程公式分别写出两条切线方程，然后把P点坐标代入后得到过两切点的直线方程即可．【解答】解：设圆心为O（0，0），PO与T1T2交于E，则PO2=PT12+2，T1T2=2T1∴当PO值最小时，T1T2取最小值；设P（x，y），则PO2=x2+y2=y2+4y+12=（y+2）2+8当y=﹣2时，PO2有最小值8，P（2，2）设切点为T1（x1，y1），T2（x2，y2），则PT1的方程为x1x+y1y=2，PT2的方程为x2x+y2y=2，把（2，2）分别代入求得2x1+2y1=2，2x2+2y2=2∴直线T1T2的方程是2x+2y=2，化简得x+y﹣1=0故答案为：x+y﹣1=0．【点评】此题考查学生掌握圆的切线方程公式，灵活运用点的坐标与直线方程的关系写出直线方程，是一道中档题．16．已知函数f（x）y=k与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是[0，e4）．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出y=f（x）与y=k的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是x2+2x+k﹣3=0的两根，由于x＜0时，﹣x2﹣2x+3=4﹣（x+1）2≤4，判别式为4﹣4（k﹣3）=4（4﹣k）＞0，即有k＜4，∴a+b=﹣2，ab=k﹣3＜1，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣k，lnd=2+k，∴ln（cd）=4，∴cd=e4，∴abcd∈[0，e4），故答案为：[0，e4）．【点评】本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．如图，从宾馆A到火车站B有A﹣C﹣B、A﹣D﹣B两条路线．出租车司机准备开车从宾馆送某旅客到火车站，若各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A﹣C﹣B算作两个路段；路段AC CB发生（1）请你为该出租车司机选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；（2）若记路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）运用独立事件同时发生的概率公式求解，先求解堵车的概率，运用对立事件求解，再比较即可．（2）确定路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2运用互斥事件，独立事件的概率公式求解即可，得出分布列，数学期望．【解答】解：（1）根据题意得出：A﹣C﹣B堵车的概率为：P1=1﹣（11=1A﹣D﹣B堵车的概率为：P2=11=10，∴A﹣C﹣B堵车的概率小，（2）∵记路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2∴P（ξ=0）P（ξ=1）P（ξ=2）ξ0 1 2PEξ【点评】本题考察了学生的识图能力，运用图形解决问题的能力，离散型的概率分布数学期望的求解，考察了计算分析问题能力．18．已知数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，S n是数列{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．∴S n n=2n+1﹣2﹣n．（2∴数列{b n}的前n项和T n=1【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=4，AB=1，BC=2，过A作AM⊥PC交PC于M．（1）判断AM与平面PCD是否垂直，并说明理由；（2）AM与平面PBC所成的角是否大于30°？请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）可以采用反证法：假设AM与平面PCD垂直，那么AM⊥CD，那么CD垂直于平面PAC，CD⊥AC，事实通过勾股定理得出AC和CD是不垂直的，（2）首先证明AN垂直于平面PBC，然后求出AM和AN的长度，求出线面夹角可得答案．【解答】解：（1）AM与平面PCD不垂直，理由如下：假设AM⊥平面PCD，∵CD⊂平面PCD，∴AM⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，CD⊂⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又由PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，又∵AC⊂平面PAC，∴CD⊥AC，在直角梯形ABCD中，AD=4，AB=1，BC=2，AB⊥AD，故AC和CD是不垂直的，故假设不成立，即AM与平面PCD不垂直；（2）AM与平面PBC所成的角小于30°，理由如下：过A作AN⊥PB，垂足为N，又∵PA⊥底面ABCD，BC⊂⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，又由PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又∵AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，∵PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC，∵PA=AD=4，AB=1，BC=2，设AM与平面PBC所成的角为α，则cosα故AM与平面PBC所成的角小于30°．【点评】本题考查的知识点是空间线面垂直与线线垂直的判断与证明，求二面角，是立体几何知识的简单综合应用，难度中档．20．椭圆C的中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C的两个焦点及短轴的两个端点恰是一个面积为8的正方形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，①写出满足上述要求的充要条件（用含k、b的式子表示）；②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），求x0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过题意可知b=c、a2=8，进而可得结论；（2）①通过联立直线与椭圆方程，消去y整理得关于x的一元二次方程，只需根的判别式大于0，计算即可：②通过垂直平分线的性质易知|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22，利用点A、B、x2x1≠x2，代入计算即可．1【解答】解：（1）依题意，设椭圆C，焦距为2c，由题设条件知a2=8，b=c，∴b22=4，故椭圆C（2y整理得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣8=0，∵直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，∴△=（4kb）2﹣4（1+2k2）（2b2﹣8）＞0，整理得：4+8k2＞b2，即直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点的充要条件是4+8k2＞b2；②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），求x0的取值范围．设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．∵线段AB的垂直平分线与x轴相交，∴AB不平行于y轴，即x1≠x2．又∵交点为P（x0，0），∴|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22 （*）∵A、B在椭圆上，代入（*）式得：2（x2﹣x1）x0∵x1≠x2，∴x0、x2x1≠x2，1x1+x2x0【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知f（x）=lnx，g（x）m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，ln（a+b）﹣f（2a【解答】解：（1）=1．∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．∴直线l的方程为y=x﹣1．的图象相切，由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①依题意，方程①有两个相等的实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0解之，得m=4或m=﹣2∵m＜0，∴m=﹣2．由（1∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．（6分）7分）∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣（∵0＜b＜a，∴﹣a由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，ln（．∴f（a+b）﹣f（2a【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．四、选做题请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本题10分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB 并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）ACBD=ADAB；（Ⅱ）AC=AE．【考点】综合法与分析法(选修）．【专题】证明题．【分析】（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DA B，从而有△ACB∽△DAB，（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，AEBD=ADAB，再结合（I）的结论ACBD=ADAB 可得，AC=AE．【解答】证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，同理可得∠ACB=∠DAB，∴ACBD=ADAB．（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠B DA，∴△EAD∽△ABD，再由（I）的结论ACBD=ADAB 可得，AC=AE．【点评】本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段，是解题的关键，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．求圆C与直线l的极坐标方程；（2）已知P是l上一动点，线段OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】（1）通过将x=ρcosθ、y=ρsinθ分别代入圆C、直线l方程即可；（2）通过设点Q（x，y），P（4，t），利用OP、OQ斜率相等即得P（4，，结合|OR|=2、利用|OQ||OP|=|OR|2计算即可．【解答】解：（1）将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入圆C：x2+y2=4，可得：ρ2=4，即圆C的极坐标方程为：ρ=2；将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入直线l：x=8，可得l的极坐标方程为：ρcosθ=8；（2）设点Q（x，y），P（4，t），显然x＞0，∵P、Q共线，∴P、Q为同一角的终边上，∵直线l：x=8，4又∵R在圆C：x2+y2=4上，∴|OR|=2，∵|OQ||OP|=|OR|2，2，整理得：x2﹣x+y2=0，∴（x2+y2x＞0），∴点Q在直角坐标系下的轨迹方程为：（x2+y2x＞0）．【点评】本题主要考查坐标系与方程，直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）求f（x）的值域；（2）求不等式：f（x）≥x2﹣3x﹣1的解集．【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，利用函数的性质即可求得函数f（x）的值域；（2）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的二次不等式即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|，∴当x≤2时，f（x）=2﹣x﹣（5﹣x）=﹣3；当2＜x＜5时，f（x）=x﹣2﹣（5﹣x）=2x﹣7∈（﹣3，3）；当x≥5时，f（x）=x﹣2﹣（x﹣5）=3；综上所述，函数f（x）的值域为[﹣3，3]；（2）∵|x﹣2|﹣|x﹣5|≥x2﹣3x﹣1，∴当x＜2时，x2﹣3x﹣1≤﹣3，解得1≤x＜2；当2≤x＜5时，有x2﹣3x﹣1≤2x﹣7，解得2≤x≤3；当x≥5时，有x2﹣3x﹣1≤3，即得x∈Φ，综上所述，原不等式的解集为{x|1≤x≤3}．精品文档【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查解一元二次不等式的运算能力，属于中档题．试卷。
2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{3，2}，B＝{1，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝（）A．{1，2，3}B．{0，1，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x+e x B．C．D．3．（5分）设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）4．（5分）已知函数y＝f（log2x）的定义域为[1，2]，那么函数y＝f（x）的定义域为（）A．[2，4]B．[1，2]C．[0，1]D．（0，1]5．（5分）若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b6．（5分）某人有5把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试过的钥匙放在一旁，打开门时试过的次数ξ为随机变量，则P（ξ＝3）等于（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）已知命题p：函数y＝ln（x2+3）+的最小值是2；命题q：x＞2是x ＞l的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q10．（5分）给出下列命题，其中正确命题的个数为（）①在区间（0，+∞）上，函数y＝x﹣1，y＝，y＝（x﹣1）2，y＝x3中有三个是增函数；②命题p：∀x∈R，sin x≤1．则￢p：∃x0∈R，使sin x0＞1；③若函数f（x）是偶函数，则f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称；④已知函数f（x）＝则方程f（x）＝有2个实数根．A．1B．2C．3D．411．（5分）若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝e﹣x有公共切线，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（0，]D．（0，] 12．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f′（x）＞f （x）•tan x成立．则（）A．f（）＜f（）B．f（1）＜2cos1•f（）C．f（）＞2f（）D．f（）＞f（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣f′（1）•x2+x+5，则f′（1）＝．14．（5分）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.6，设ξ＝3X﹣2，那么Eξ＝．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）＝3x+m（m为常数），则m＝，f（﹣log35）的值为．16．（5分）∀x1∈R，∃x2∈[1，2]，使得x12+x1x2+x22≥3x1+mx2﹣3成立，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：t2﹣t﹣6≤0，命题q：∃x∈R，．（Ⅰ）写出命题q的否定￢q；（Ⅱ）若￢p∧q为真命题，求实数t的取值范围．18．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．19．（12分）已知函数f（x）＝为偶函数（1）求实数a的值；（2）记集合E＝{y|y＝f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ＝lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E的关系；（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n 值．20．（12分）盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1，1，2，2，2，每张卡片被取到的概率相等．先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字y．设M＝x+y，f（t）＝t2﹣Mt+．（1）求随机变量M的分布列和数学期望；（2）设“函数f（t）＝t2﹣Mt+在区间（2，4）内没有零点”为事件A，求A的概率P （A）．21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x3﹣ax2+a﹣，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）﹣g（β）|＜a成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵A∩B＝{2}，∴b＝2，则B＝{1，2}，则A∪B＝{1，2，3}，故选：A．2．【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，但是f（﹣x）＝﹣x+e﹣x≠±f（x），因此为非奇非偶函数；B．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣f（x），因此为奇函数；C．定义域为x∈R，关于y轴对称，又f（﹣x）＝＝f（x），因此为偶函数；D．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）＝＝f（x），因此为偶函数；故选：A．3．【解答】解：复数＝＝﹣1+i，则在复平面内＝i•（﹣1﹣i）＝﹣i+1对应的点坐标为（1，﹣1），故选：D．4．【解答】解：∵函数y＝f（log2x）的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，可得0≤log2x≤1，即函数y＝f（x）的定义域为[0，1]．故选：C．5．【解答】解：∵a＝20.5＞1，0＜b＝logπ3＜1，c＝log2sin＜0，∴a＞b＞c．故选：C．6．【解答】解：ξ＝3，说明前2次没有打开，且第三次打开了，故P（ξ＝3）＝••＝，故选：B．7．【解答】解：∵（x＞0）∴（x＞0）则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＝1时，f（x）取最大值，f（1）＝；故选：B．8．【解答】解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为x+y﹣1＝0．由点到直线的距离公式得d＝＝，故选：B．9．【解答】解：y＝ln（x2+3）+＞2＝2，令ln（x2+3）＝，得：ln（x2+3）＝1，显然ln（x2+3）＞lne＝1，故“＝”不成立，取不到2，故命题p是假命题；x＞2是x＞l的充分不必要条件，故命题q是真命题，故¬p∧q是真命题，故选：C．10．【解答】解：①在区间（0，+∞）上，函数y＝x﹣1为减函数，y＝为增函数，y＝（x ﹣1）2不单调，y＝x3为增函数，所以增函数有两个，所以①错误．②根据全称命题的否定是特称命题得，￢p：∃x0∈R，使sin x0＞1，所以②正确．③若函数f（x）是偶函数，则函数f（x）关于y轴对称，即x＝0对称，将函数f（x）向右平移1个单位得到f（x﹣1），此时函数关于x＝1对称，所以③正确．④当x≤2时，f（x）＝3x﹣2∈（0，1]，当f（x）＝时，此时有一解，当x＞2时，f（x）＝log3（x﹣1）＞0，f（x）＝时，此时有一解，所以方程f（x）＝有2个实数根，所以④正确．故正确的命题有三个．故选：C．11．【解答】解：设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，），则曲线C1的导数为y′＝2ax，C2的导数为y′＝﹣e﹣x．则2ax1＝﹣＝，将＝﹣2ax1代入2ax1＝，可得2x2＝x1﹣2，∴a＝﹣，记f（x）＝﹣，则f′（x）＝，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0．当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，∴当x＝﹣2时，f（x）min＝f（﹣2）＝．∴a的范围是[，+∞）．故选：A．12．【解答】解：当x∈（0，），cos x＞0，则不等式f′（x）＞f（x）•tan x等价为f′（x）＞f（x）•，即cos xf′（x）﹣sin xf（x）＞0，设g（x）＝f（x）cos x，则g′（x）＝cos xf′（x）﹣sin xf（x）＞0，即函数g（x）在（0，）单调递增，则g（）＜g（），g（1）＞g（），g（）＜g（），g（）＜g（），即f（）＜f（），cos1f（1）＞f（），f（）＜f（），f（）＜f（），则f（）＜f（），故A正确．2cos f（1）＞f（），故B错误．f（）＜2f（），故C错误．f（）＜f（），故D错误．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣f′（1）•x2+x+5，∴f′（x）＝x2﹣2f′（1）•x+1，令x＝1，则f′（1）＝1﹣2f′（1）+1，得f′（1）＝，故答案为：．14．【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.6，∴P（X＝0）＝0.4，∴EX＝1×0.6+0×0.4＝0.6，设ξ＝3X﹣2，则Eξ＝3EX﹣2＝3×0.6﹣2＝﹣0.2．故答案为：﹣0.2．15．【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）＝3x+m（m为常数），∴f（0）＝30+m＝0，解得m＝﹣1，故有x≥0时f（x）＝3x﹣1，∴f（﹣log35）＝﹣f（log35）＝﹣（﹣1）＝﹣（5﹣1）＝﹣4，故答案为：﹣1，﹣4．16．【解答】解：由x12+x1x2+x22≥3x1+mx2﹣3，得x12+x1（x2﹣3）+≥mx2﹣3﹣x22+，即mx2﹣3﹣x22+，∴mx2﹣3﹣x22+≤0，由于任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使不等式x12+x1x2+x22≥2x1+mx2+3成立，则有（4m﹣6）x2≤3x22+3，即有4m﹣6≤3x2+在[1，2]有解，则4m﹣6≤3×2+，解得m≤．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（Ⅰ）命题q的否定￢q为：…（4分）（Ⅱ）若p为真命题，则﹣2≤t≤3故￢p为真命题时，得t＜﹣2或t＞3…（7分）若q为真命题时，即成立，∴，即t2﹣3t﹣4≥0，解得：t≥4或t≤﹣1…（9分）∵¬p∧q为真命题，∴命题¬p和q都是真命题…（10分）∴，解得：t＜﹣2或t≥4…（12分）18．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ，可得ρ2sin2θ＝2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；，消去t，可得x﹣y﹣2＝0，直线l的普通方程为x﹣y﹣2＝0．4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）＝0 （*）△＝8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2＝|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2＝|t1t2|．由（*）得t1+t2＝2（4+a），t1t2＝8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）＝0，得a＝1，或a＝﹣4．因为a＞0，所以a＝1．10分19．【解答】解：（Ⅰ）∵函数为偶函数．∴f（﹣x）＝f（x）即＝∴2（a+1）x＝0，∵x为非零实数，∴a+1＝0，即a＝﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴E＝{y|y＝f（x），x∈{﹣1，1，2}}＝{0，}而＝＝＝＝∴λ∈E（Ⅲ）∵＞0恒成立∴在上为增函数又∵函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，∴f（）＝1﹣m2＝2﹣3m，且f（）＝1﹣n2＝2﹣3n，又∵，m＞0，n＞0∴m＞n＞0解得m ＝，n ＝20．【解答】解：（1）依题意，M的可能取值为2，3，4．先从盒子中任取1张卡片，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，基本事件总数为×5＝25，当M＝2时，摸出的卡片上分别写着数学1，1．P（M＝2）＝＝；当M＝4时，摸出的卡片上分别写着数学2，2．P（M＝4）＝＝；当M＝3时，P（M＝3）＝1﹣P（M＝2）﹣P（M＝4）＝．所以M的分布列：∴EM＝2×+3×+4×＝；（2）∴M的可能取值为2，3，4．当M＝2时，没有零点，不符合要求；当M＝3时，，它的零点分别是2，3，在区间（2，4）内有且只有一个零点，符合要求；当M＝4时，，它的零点分别是，，都不在区间（2，4）内，不符合要求；∴事件A相当于M＝3，由（1）知，事件A的概率P（A）＝P（M＝3）＝．21．【解答】（Ⅰ）解：当a＝0时，f（x）＝x2e x，f'（x）＝（x2+2x）e x，故f'（1）＝3e，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）＝e，所以该切线方程为y﹣e＝3e（x﹣1），整理得：3ex﹣y﹣2e＝0．（Ⅱ）解：f'（x）＝[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]e x第11页（共13页）令f'（x）＝0，解得x＝﹣2a，或x＝a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论．①若a ＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．函数f（x）在x＝﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）＝3ae﹣2a．函数f（x）在x＝a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）＝（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数函数f（x）在x＝a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）＝（4﹣3a）e a﹣2，函数f（x）在x＝﹣2a处取得极小值f （﹣2a），且f（﹣2a）＝3ae﹣2a．22．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，得．当a ≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴函数f（x）的增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜．∴函数f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；（Ⅱ）当x∈（0，a]时，，由g（x）＝﹣x3﹣ax2+a﹣，得．当a＞0时，g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，g（x）在（0，+∞）上为减函数，当x∈（0，a]时，g（x）＜g（0）＝．第12页（共13页）．①当时，则|f（α）﹣g（β）|min＝0＜a显然成立，即a≥2．②当时，则，即．综上可知：a ＞；（Ⅲ）∵x1，x2是方程f（x）＝c的两个不相等的实数根，不妨设0＜x1＜x2，则．两式相减得．即．又∵，当x ＞时f′（x）＞0，当0＜x ＜时f′（x）＜0．故只要证明即可，即证．即证明．设t ＝，令，则．则在（0，+∞）上是增函数，又∵g（1）＝0，∴t∈（0，1）时总有g（t）＜0成立．即f ′（）＞0．第13页（共13页）。
江西省丰城中学高二数学下学期期末考试试题 理
丰城中学2015-2016学年下学期高二期末考试试卷数学 （理 科）本试卷总分值为150分 考试时间为120分钟一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B ⋂=，则A B ⋃=（ ） A ．{1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 212+= D ．21x y += 3. 设复数，则在复平面内对应的点坐标为（ ） A ． （1，1）B ． （﹣1，1）C ． （﹣1，﹣1）D ． （1，﹣1）4．已知函数2(log )y f x =的定义域为[1,2]，那么函数()y f x =的定义域为( ) A. [2,4] B. [1,2] C . [0,1]D ．(0,1]5. 若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则( ) A ．b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b6.某人有5把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试过的钥匙放在一旁，打开门时试过的次数ξ为随机变量，则P （ξ＝3）等于（ ）A.35 B.15 C.25 D.35！！7函数221ln )(x x x f -=的图象大致是（ ）8.在极坐标系中,直线l 的方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ则点⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2πA 到直线l 的距离为（ ）A.22 B.2C.222-D.222+ 9．已知命题p:函数y=ln(2x +3)+21ln(3)x + 的最小值是2；命题q ：x>2是x>l 的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( )A. p ∧q B ．p q ⌝∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∧⌝ 10. 给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ）①在区间()0,+∞上，函数()12132,,1,y x y x y x y x -===-=中有三个是增函数；②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ； ③若函数()f x 是偶函数，则(1)f x -的图象关于直线1=x 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x =有2个实数根。
等五校高二数学下学期期末试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
江西省宜春市丰城中学等五校2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}，Q={5，7}，下列结论成立的是（）A．Q⊆P B．P∪Q=P C．P∩Q=Q D．P∩Q={5}2．（5分）复数z满足（z+i）（1﹣i）=2+i，则z=（）A．B．C．D．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4）B．（3，5）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）4．（5分）从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π7．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，若S4=1，则S8=（）A．15 B．17 C．19 D．218．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．B．C．2 D．﹣211．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．△AEF的面积与△BEF的面积相等C．EF∥平面ABCDD．三棱锥A﹣BEF的体积为定值12．（5分）已知函数f（x）=下列是关于函数y=f+1的零点个数的4个判断：①当k＞0时，有3个零点；②当k＜0时，有2个零点；③当k＞0时，有4个零点；④当k＜0时，有1个零点．则正确的判断是（）A．①④B．②③C．①②D．③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣4（a∈R）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a=．14．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a3•a7=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=a5，则S9=．15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则w=4x•2y的最大值是．16．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则△PAF 周长的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积为45，求△ABC的外接圆半径的大小．18．（12分）我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（°C）10 11 13 12 8 6就诊人数y（个）22 25 29 26 16 12该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考数据：x i2=112+132+122+82=498；x i y i11×25+13×29+12×26+8×16=1092．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．20．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B 两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）设定义在上的函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x（t∈R）的最大值为M，最小值为N，且M＞2N，求实数t的取值范围．选修4-1：平面几何选讲22．（10分）如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．选修4-4：极坐标与参数方程23．已知圆的极坐标方程为：．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|（1）若关于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值；（2）求不等式：f（x）≥x2﹣8x+15的解集．江西省宜春市丰城中学等五校2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}，Q={5，7}，下列结论成立的是（）A．Q⊆P B．P∪Q=P C．P∩Q=Q D．P∩Q={5}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}={3，4，5，6}，从而解得．解答：解：P={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0，x∈Z}={3，4，5，6}，故P∩Q={5}；故选D．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．2．（5分）复数z满足（z+i）（1﹣i）=2+i，则z=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵（z+i）（1﹣i）=2+i，∴（z+i）（1﹣i）（1+i）=（2+i）（1+i），化为2（z+i）=1+3i，∴z==，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4）B．（3，5）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：可结合图形，根据向量的加法，及相等向量、相反向量、向量的坐标运算即可求出的坐标．解答：解：=（2，4）﹣（1，3）=（1，1）．故选C．点评：考查向量的加法，以及向量的坐标运算．4．（5分）从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：用列举法求出基本事件数是多少，计算出对应的概率即可．解答：解：从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，不同的取法种数是12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56共15种；其中这2张纸片数字之积为6的取法种数是23、16；∴对应的概率是P=．故选：C．点评：本题考查了利用列举法求基本事件数以及计算古典概型的概率问题，是基础题目．5．（5分）若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的基本性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值，得到椭圆方程．解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线 x2﹣y2=1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，即c=，则a2﹣b2=c2=2，即a2=b2+2，所以设椭圆的方程为：+=1，把（2，0）代入得：=1即b2=2，则该椭圆的方程是：．故选A点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．6．（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积．解答：解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成，其中矩形的面积为2×3×2=12，曲面的面积为×2×3=2π，故其侧面积S=12+2π，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，若S4=1，则S8=（）A．15 B．17 C．19 D．21考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据在等比数列{a n}中，S4、S8﹣S4、S12﹣S8、…构成公比为q4的等比数列，以及S4=1和q=2求出S8﹣S4，在求出S8的值．解答：解：∵在等比数列{a n}中，S4、S8﹣S4、S12﹣S8、…构成公比为q4的等比数列，又S4=1，公比q=2，∴S8﹣S4=1×24=16，则S8=S4+16=17，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的灵活应用，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i 值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，结合图象，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象可得A=2，==﹣，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），在上，2x+∈，当实数m的取值范围是时，函数f（x）的图象和直线y=m有2个交点，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．B．C．2 D．﹣2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=f（x+4）得出f（x）是周期为4的函数，再由f（x）是奇函数，求出f （2）=f（﹣2）=0，从而求出f与f的值．解答：解：∵f（x）=f（x+4），∴f（﹣2）=f（﹣2+4）=f（2），又∵奇函数f（x），∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，又∵2015=4•504﹣1，2014=4•503+2，∴f=f（﹣1）=2﹣1=，f=f（2）=0，∴f﹣f=．故选：B．点评：本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用问题，是基础题目．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．△AEF的面积与△BEF的面积相等C．EF∥平面ABCDD．三棱锥A﹣BEF的体积为定值考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF 的面积相等不正确；C．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值．解答：解：A．AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，排除A选项；B．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF 的面积相等不正确，故B是错误的；C．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，排除B选项；D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A 点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确，排除D选项；故选：B．点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．12．（5分）已知函数f（x）=下列是关于函数y=f+1的零点个数的4个判断：①当k＞0时，有3个零点；②当k＜0时，有2个零点；③当k＞0时，有4个零点；④当k＜0时，有1个零点．则正确的判断是（）A．①④B．②③C．①②D．③④考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由y=0得f=﹣1，利用换元法将函数分解为f（x）=t和f（t）=﹣1，作出函数f （x）的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f+1=0得f+1=0，即f=﹣1，设f（x）=t，则方程f=﹣1等价为f（t）=﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）=﹣1，∴此时方程f（t）=﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）=t2，＜0，知此时x有两解，由f（x）=t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数y=f+1有4个零点．②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）=﹣1，∴此时方程f（t）=﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）=t1∈（0，1）知此时x只有1个解，即函数y=f+1有1个零点．综上：只有③④正确，故选：D．点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣4（a∈R）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a=4．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可．解答：解：∵f（x）=﹣x3+ax﹣4，∴f'（x）=﹣3x2+a，∵函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，∴﹣3+a=1，∴a=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力．14．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a3•a7=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=a5，则S9=18．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：首项根据等比数列的性质若m+n=k+l则a m a n=a k a l，计算出b5=a5=2，再根据等差数列的性质若m+n=k+l则b m+b n=b k+b l，得出S9=9b5，进而得到答案．解答：解：在数列{a n}为等比数列中，若m+n=k+l则a m a n=a k a l．已知数列{a n}为等比数列，且a3•a7=2a5，所以a5=2．所以b5=a5=2．在数列{b n}为等差数列中，若m+n=k+l则b m+b n=b k+b l．所以S9=（b1+b9）=9b5=18．故答案为18．点评：解决此类问题的关键是首项等差数列的性质以及等比数列的性质，再结合着正确的运算即可，此类题目在2015届高考中常以选择题或填空题的形式出现．15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则w=4x•2y的最大值是512．考点：简单线性规划；有理数指数幂的化简求值．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数，根据数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得B（3，3），而w=4x•2y=22x+y，令z=2x+y，则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z过B（3，3）时，z最大，Z max=9，∴w=29=512，故答案为：512．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则△PAF 周长的最小值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出右焦点H 的坐标，由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周长的最小值．解答：解：∵F是双曲线﹣=1的左焦点，∴a=2，b=2，c=4，F（﹣4，0 ），右焦点为H（4，0），由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9，∵|AF|==，∴△PAF周长的最小值为．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF|+|PA|化为2a+|PH|+|PA|是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积为45，求△ABC的外接圆半径的大小．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据题意设出三边，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的三边代入求出cosA 的值即可；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把表示出的b，c及sinA，已知面积代入求出k的值，确定出a的值，利用正弦定理求出△ABC的外接圆半径即可．解答：解：（1）根据题意设a=7k，b=5k，c=3k，∴cosA===﹣，则A=；（2）∵S△ABC=bcsinA=45，∴•15k2•=45，即k=2，∴a=7k=14，由正弦定理=2R，得：R===14．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（°C）10 11 13 12 8 6就诊人数y（个）22 25 29 26 16 12该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考数据：x i2=112+132+122+82=498；x i y i11×25+13×29+12×26+8×16=1092．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用公式求得回归直线方程的系数，可得回归直线方程；（2）根据条件代入x=6和x=10求得预报变量y值，验证误差是否小于2，可得线性回归方程是否理想．解答：解：（1），，，，，a=24﹣11×=﹣，于是得到y关于x的回归直线方程为y=x﹣．（2）当x=10时，，；同样，当x=6时，，．∴该小组所得线性回归方程是理想的．点评：本题考查了线性回归方程的求法及应用，利用最小二乘法求回归直线方程的系数是解题的关键，运算要细心．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归的思想，属于基础题．20．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B 两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率，即可求直线l的倾斜角；（2）设点A（x1，mx1﹣m+1），点B（x2，mx2﹣m+1 ），由题意2=，可得2x1+x2=3．①再把直线方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圆C，化简可得x1+x2=②，由①②解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线L的方程．解答：解：（1）由于半径r=，|AB|=，∴弦心距d=，再由点到直线的距离公式可得d==，解得m=±．故直线的斜率等于±，故直线的倾斜角等于或．（2）设点A（x1，mx1﹣m+1），点B（x2，mx2﹣m+1 ），由题意2=，可得 2（1﹣x1，﹣mx1+m ）=（x2﹣1，mx2﹣m ），∴2﹣2x1=x2﹣1，即2x1+x2=3．①再把直线方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，化简可得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，由根与系数的关系可得x1+x2=②．由①②解得x1=，故点A的坐标为（，）．把点A的坐标代入圆C的方程可得m2=1，故m=±1，故直线L的方程为x﹣y=0，或x+y﹣2=0．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）设定义在上的函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x（t∈R）的最大值为M，最小值为N，且M＞2N，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，求得单调区间，由极值的定义，即可得到极大值；（Ⅱ）由M＞2N即2g（x）min＜g（x）max，研究g（x）在上单调性，用t表示出g（x）在上的最值，解相关的关于t的不等式求出范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=的导数为f′（x）=，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）递增．即有x=0处，f（x）取得极大值，且为f（0）=1；（Ⅱ）由M＞2N即2g（x）min＜g（x）max，∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x=，∴g′（x）=，①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在上单调递减，∴2g（1）＜g（0），即2•＜1，得t＞3﹣＞1．②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在上单调递增．∴2g（0）＜g（1），即2＜，得t＜3﹣2e＜0，③当0＜t＜1时，在x∈上单调递减在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在上单调递增．∴2g（t）＜max{ g（0），g（1）}，即2•＜max{ 1，}（*）由（Ⅰ）知，f（t）=2•在上单调递减，故2•≥2•=，∴所以不等式（*）无解，综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使命题成立．点评：本题考查的知识点是导数的运用：求单调区间和极值、最值，运用函数的单调性研究函数的最值，其中运用分类讨论是解答此类问题的关键，属于难题．选修4-1：平面几何选讲22．（10分）如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．专题：综合题．分析：（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB 的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案．解答：解：（I）∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE=90°∴（4分）（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC∴（6分）又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，（8分）∴在RT△ABE中，（10分）点评：本题考查的知识点是圆周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的证明及性质等，本题中未给出任何角的度数，故建立∠ADF必为特殊角，从而根据图形分析角∠ADF的大小，进而寻出解答思路是解题的关键．选修4-4：极坐标与参数方程23．已知圆的极坐标方程为：．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程．专题：计算题．分析：（1）极坐标方程即ρ2﹣4（+），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，故 x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+），由于﹣1≤sin（α+）≤1，可得2≤x+y≤6．解答：解：（1）即ρ2﹣4（+），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．..点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的参数方程，得到圆的参数方程为，是解题的关键．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|（1）若关于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值；（2）求不等式：f（x）≥x2﹣8x+15的解集．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据绝对值的意义求得﹣3≤f（x）≤3，可得f（x）≥k有解时，k的最大值．（2）分类讨论，去掉绝对值，求得f（x）≥x2﹣8x+15的解集．解答：解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|表述数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到5对应点的距离，故﹣3≤f（x）≤3．再根据不等式f（x）≥k有解，∴k≤3，即k的最大值为3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15，即 x2﹣8x+18＜0，它的解集为空集；当2＜x＜5时，时，f（x）≥x2﹣8x+15，即 x2﹣10x+22≤0，它的解集为{x|5﹣＜x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15，即 x2﹣8x+12≤0，它的解集为{x|2≤x≤6}．综上，不等式的解集为：{x|5﹣＜x≤6}．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．DOC版.。
五校联考高二数学下学期期末试卷 理(含解析)(2021学年)
江西省南昌市五校联考2016-２０17学年高二数学下学期期末试卷理（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（江西省南昌市五校联考2016-2017学年高二数学下学期期末试卷理(含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2０16—2017学年江西省南昌市五校联考高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题５分,共６０分)1.我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数",例如1２３就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有( ）A.28个B．２１个ﻩC．35个D．５6个２．将４个颜色互不相同的球全部放入编号为１和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有（）A．10种ﻩB．20种Ｃ.３６种D．52种3.某人参加一次考试,规定４道题中解对了3道则为及格，已知他解每一题的正确率为0。
4,则他能及格的概率约为( )A.0.18B.0。
2８ﻩC．０。
3８ﻩD．0。
４８4．已知随机变量ξ服从正态分布N(２,σ２),且P(ξ<4)=０。
8,则P（0＜ξ＜2)＝( ）Ａ．０.６ﻩB．0。
4ﻩC．0。
3ﻩＤ．０．25．从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体,其三视图如图,则该几何体的体积为( ）A. B.C.ﻩＤ.6．六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（)A．B．ﻩC.ﻩＤ.7.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图,下列结论中正确的是( )A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于20％Ｂ.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20%C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于2０％D．人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于20％8.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为( )Ａ． B.C．ﻩD．9.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位:万元）:广告费x２３4５6销售额y２９41５05９７1由表可得到回归方程为=1０.2x+，据此模型,预测广告费为１0万元时的销售额约为（）Ａ．101.2ﻩB．１08。
高中数学选修1-2丰城中学-下学期高二期末考试试卷
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）丰城中学2015-2016学年下学期高二期末考试试卷数学试题(文)命题人： 审题人： 2016.7.18 本试卷总分值为150分考试时间为120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；1.已知1|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1B =-，则=⋂B A （ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1-C. {}1,0D. {}1,1-2.新定义运算：c ad b =bc ad -，则满足 1 i z z-=2的复数z 是（ ） A.i -1 B. i +1 C.i +-1 D. i --13.下列判断错误的是（ ）A ．若q p ∧为假命题，则q p ,至少之一为假命题B. 命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ” C ．“若c a //且c b //，则b a //”是真命题D ．“ 若22bm am <，则b a <”的否命题是假命题 4.函数f （x ）=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是（ ）A. ab =0B. a +b =0C. a =bD. a 2+b 2=05.某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A. y ^＝－10x ＋200B. y ^＝10x ＋200C. y ^＝－10x －200D. y ^＝10x －2006.函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A. (－3,0]B. (－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0]D.(－∞，－3)∪(－3,1]7.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤ 则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A ．89B ．2716-C ．1516D ．188.已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( )A ．3B ．±3C ．－2D ．－ 39.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A. 43 B ．32C. 1 D ．2 10. 对函数c xbx a x f ++=tan )(，其中Z c R b a ∈∈,,，选取c b a ,,的一组值计算)1(-f和)1(f 所得出的正确结果一定不是.A 4和6 .B 3和1 .C 2和4 .D 1和211.函数x a e bx f ⋅-=1)( (a >0，b >0)的图象在0=x 处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切， 则a ＋b 的最大值是A ．4B ． 2C ．2 2D ．212.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=0,30,21)(3x a x x x x f x的值域为[)+∞,0，则实数a 的取值范围是：2.≥a A 32.≤≤a B3.≤a C 2.≤a D二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；13.若函数f (x )＝|log a x | (0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是 ________．14. 已知函数)(x g y =的图象与函数3()2x f x +=的图象关于直线x y =对称， 若16mn =（m n ∈+R ，），则)()(n g m g +的值为________ 15.设函数,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 给出以下四个命题：① D （x ）的值域为{0,1} ② D （x ）是偶函数③ D （x ）不是周期函数 ④ D （x ）不是单调函数 其中正确命题的是____________ (写出所有正确命题序号)16. 如图：已知BD 为ABC ∆的中线，若BC BD AB ==,3 ，则ABC ∆的 面积的最大值为是_______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）D CBA17.已知函数()1025f x x x =---，且关于x 的不等式()1010f x a <+()a R ∈的解集 为R ．（1）求实数a 的取值范围； （2）求2272a a +的最小值．18. 在直角坐标系xOy 中，已知点P (0，3)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝15sin φ(φ为参数).以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程 为)6cos(23πθρ-=(1)判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由； (2)设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求|P A |·|PB |的值.19.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表： 甲厂 分组 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 频数12638618292614乙厂 分组 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； (2)由于以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品合计22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥ 0．50 0．40 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001k0．455 0．708 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10.82820.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ；已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+= （1）求角B 、C 的大小；（2）若2a =，求△ABC 的面积。
2021年江西省宜春市丰城职业高级中学高二数学理期末试题含解析
2021年江西省宜春市丰城职业高级中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11.那么频率为0.2的范围是（）A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5参考答案：D2. 当，则的大小关系是A． B．C. D．参考答案：C3. 对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。
已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数，都有，则的值是（）A. B.C. D.参考答案：B略4. 若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A. B. C. D.参考答案：C6. 圆在点处的切线方程为（）A． B． C． D．参考答案：D 解析：的在点处的切线方程为7. 对甲、乙两名同学的连续6次数学成绩进行统计分析，得到的观测值如下：(单位:分)则从甲、乙两人中选拔一人去参加数学竞赛，你认为应该选（）A．甲 B．乙 C．乙和甲选谁都一样 D．不好确定参考答案：A8. 在等差数列中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a=（）A. 40B. 42C. 43D. 45参考答案：B9. 双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作斜率是的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为A．B．C．D．参考答案：B将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中，10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求出AF，|BC若△ABC为锐角三角形，只要∠FAB为锐角，即|BC|＜AF；从而可得结论．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，AF=a+c，|BC|=过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，只要∠FAB为锐角，即|BC|＜AF；所以有＜a+c，即c2﹣a2＜a2+ac，即：e2﹣e﹣2＜0解出e∈（1，2），故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 能说明命题“在△ABC中，若，则这个三角形一定是等腰三角形”为假命题的一组A、B的值为_____.参考答案：答案不唯一满足（）即可.【分析】由可得：或，所以当时，显然也满足条件，但三角形不是等腰三角形，从而得到原命题为假命题。
江西省宜春市丰城中学2019年高二数学理测试题含解析
江西省宜春市丰城中学2019年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“x∈Z，使0”的否定是（）A．x∈Z,都有0 B．x∈Z，使＞0 C．x∈Z,都有＞0 D.不存在x∈Z，使＞0参考答案：C略2. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都是偶数”，正确的反设为（）A．中至少有一个是奇数B．中至多有一个是奇数C．都是奇数 D．中恰有一个是奇数参考答案：A3. 已知mn≠0，则方程mx2+ny2=1与mx+ny2=0在同一坐标系下的图形可能是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】曲线与方程．【分析】由mn≠0，分m、n同号或异号讨论，即可得到结论．【解答】解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣x，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（mn≠0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（mn≠0）表示椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣x 开口向右，方程mx2+ny2=1表示双曲线，故选A．4. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的性质．【专题】阅读型．【分析】由题意可知：l⊥α时，由线面垂直性质定理知，l⊥m且l⊥n．但反之不能成立，由充分必要条件概念可获解．【解答】解：l，m，n均为直线，m，n在平面α内，l⊥α?l⊥m且l⊥n（由线面垂直性质定理）．反之，如果l⊥m且l⊥n推不出l⊥α，也即m∥n时，l也可能平行于α．由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查线面垂直和充分必要条件的有关知识．主要注意两点：（1）线面垂直判定及性质定理．（2）充分必要条件的判定，要注意方向性，即谁是谁的．5. “x=1”是“x2+2x﹣3=0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；转化思想；简易逻辑．【分析】由x2+2x﹣3=0，解得x=1或﹣3．即可判断出结论．【解答】解：∵x2+2x﹣3=0，解得x=1或﹣3．∴“x=1”是“x2+2x﹣3=0”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 通项公式为的数列的前项和为, 则项数为A．7 B．8 C． 9 D．10参考答案：C略7. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A. B. C. D.参考答案：A8. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，那么该定点到原点的距离是（）A. B. C. D.参考答案：A略9. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．参考答案：A【考点】导数的几何意义．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．10. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的倍，则的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 向量在向量方向上的投影为．参考答案：3【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】计算题．【分析】先求向量，的夹角，再求向量在向量方向上的投影；【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；【点评】此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质，注意向量积公式，是一道基础题；12. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_________ 人．参考答案：1513. 函数 f（x）=+ln（x+2）的定义域为．参考答案：（﹣2，3）【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，得﹣2＜x＜3．∴函数 f（x）=+ln（x+2）的定义域为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．14.参考答案：15. .“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．参考答案：充分不必要条件【分析】首先解出的等价条件，然后利用充分条件与必要条件的定义进行判定即可。
江西省宜春市丰城袁渡中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析
江西省宜春市丰城袁渡中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点到直线的距离是（）A、 B、 C、 D、参考答案：D2. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是，若，则等于（）.A. B. C. D.参考答案：C3. 设随机变量ξ的概率分布列为，k=1，2，3，4…6，其中c为常数，则P（ξ≤2）的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由，k=1，2，3，4…6，知c×（）=1，解得c=，由此能求出P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）的值．【解答】解：∵，k=1，2，3，4…6，∴c×（）=1，解得c=，∴P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．故选B．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. B. C. D.参考答案：A5. 不等式的解集是（）A B C D参考答案：D略6. 已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是（）A．（，）B．［，］C．（，）D．［，］参考答案：A7. 设A，B是全集的子集,,则满足的B的个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2参考答案：B试题分析：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A?B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．考点：集合的子集8. 使得的展开式中含有常数项的最小的为（）A． B．C．D．参考答案：B略|=2+i，那么z等于（﹣+i+i C﹣﹣iD﹣iB略10. 数列{a n}是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则a1+a8与a4+a5的大小关系为( ) A．a1+a8＞a4+a5 B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5 D．与公比的值有关参考答案：A【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】首先根据条件判断出a1＞0，q＞0 且q≠1，然后做差a1+a8﹣（a4+a5）＞0，即可得出结论．【解答】解：∵等比数列{a n}，各项均为正数∴a1＞0，q＞0 且q≠1a1+a8﹣（a4+a5）=（a1+a1q7）﹣（a1q3+a1q4）=a1（q3﹣1）（q4﹣1）＞0∴a1+a8＞a4+a5 故选A．【点评】本题考查了等比数列的性质，对于比较大小一般采取作差法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在空间四边形ABCD中，BC = AD，E、F、M、N分别是AB、CD、BD、AC的中点，则EF与MN的夹角等于______________。
丰城期末数学试卷答案解析
一、选择题1. 下列选项中，下列哪个数不是有理数？A. 2B. -1/3C. √2D. 0.25答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。
√2是无理数，不能表示为两个整数之比，因此选C。
2. 下列哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。
对于选项C，当x取相反数时，f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，满足奇函数的定义，因此选C。
3. 下列哪个数是实数集R中的最小数？A. -∞B. 0C. 1D. ∞答案：A解析：实数集R中不存在最小数，因为对于任意实数x，都存在一个比x更小的实数。
但是，在实数集中，-∞表示负无穷大，可以认为是最小的数。
因此选A。
4. 下列哪个图形是等腰三角形？A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案：B解析：等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在选项中，等边三角形是特殊的等腰三角形，但题目要求的是等腰三角形，所以选B。
5. 下列哪个数是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：偶数是可以被2整除的数。
在选项中，只有4可以被2整除，因此选B。
二、填空题1. 下列等式成立的是：A. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3D. (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3答案：D解析：根据二项式定理，(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3，因此选D。
2. 已知x + y = 5，x - y = 1，求x和y的值。
答案：x = 3，y = 2解析：将两个等式相加得2x = 6，解得x = 3；将两个等式相减得2y = 4，解得y = 2。
江西省宜春市数学高二下学期理数期末联考试卷
江西省宜春市数学高二下学期理数期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（）A . ad-bc=0B . ac-bd=0C . ac+bd=0D . ad+bc=02. （2分） (2017高二下·淄川期中) 若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A .B .C .D .4. （2分）若变量x,y 满足约束条件则的最小值等于（）A .B . -2C .D . 25. （2分） (2019高二下·厦门期末) 独立性检验中，假设 :运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得的观测值 .下列结论正确的是（）A . 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关B . 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C . 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D . 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关6. （2分） (2015高二下·泉州期中) 某节假日，一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表．要求每人值班一天，但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻，则不同的安排方法有（）种．A . 336B . 408C . 240D . 2647. （2分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A . 一定是异面B . 一定是相交C . 不可能平行D . 不可能垂直8. （2分） (2017高一下·晋中期末) 若b＞a＞0，则的最小值为（）A .B . 3C .D . 29. （2分）若实数a,b满足，则的最小值为（）A .B . 2C .D . 410. （2分）如果两个实数之和为正数，那么这两个数（）A . 一个是正数，一个是负数B . 两个都是正数C . 两个都是非负数D . 至少有一个是正数11. （2分）从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程ax2+by2+c=0中的系数，则确定不同椭圆的个数为（）A . 20B . 18C . 9D . 1612. （2分）(2017·长宁模拟) 已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A . 4 ﹣B . 4 ﹣C .D . +二、填空题 (共4题；共6分)13. （3分）命题“存在实数 x,y ，使得x+y>1 ，用符号表示为________；此命题的否定是________（用符号表示），是________命题（添“真”或“假”）。
江西省高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
江西省高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一．选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回．．．抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A. 5B. 9C. 10D. 25【答案】B【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.考点：离散型随机变量．2.随机变量服从正态分布，若，，则（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.【详解】，，，即，，故选B.【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，3.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的高三男生体重为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由上表知，，所以，当时，，所以男生体重约为，故选B．考点：线性回归方程．4.设随机变量，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项分布概率计算公式结合条件计算出，然后再利用二项分布概率公式计算出.【详解】由于，则，，所以，，因此，，故选：A.【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。
5.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的展开式通项，与和分别做乘法，分别求得的系数，作和求得整体的的系数. 【详解】展开式的通项为：与相乘可得：当时得：与相乘可得：当时得：的系数为：本题正确选项：【点睛】本题考查二项式定理求解的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果.6.有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案。
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2014-2015学年江西省宜春市丰城中学等五校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣B．3 C．﹣3 D．2．下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x3．如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是（）A．B．C．D．4．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为8，则x n dx的值是（）A．B．C．D．15．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．116．如图为一个几何体的三视图，其主、左视图均为等腰直角三角形，俯视图的外轮廓是正方形（尺寸如图），则该几何体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π7．已知等差数列{a n}，S n是其前n项的和，若S3=2a3，则的值为（）A．2015 B．2016 C．1024 D．10088．△ABC中，若，且，则的值为（）A．3 B．2 C．D．．9．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．5010．如图，平行四边形的顶点A位于双曲线的中心，顶点B位于该双曲线的右焦点，∠ABC 为60°，顶点D恰在该双曲线的左支上，若=0，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．11．若实数x、y满足sinx﹣cosx≤y≤0，﹣≤x≤，则目标函数z=x+y的最小值是（）A．﹣B．﹣2 C．D．﹣﹣12．设函数f（x）=x2lnx，，若存在x1∈[e，e2]，x2∈[1，2]，使得e3（k2﹣2）g（x2）≥kf（x1）成立（其中e为自然对数的底数），则正实数k的取值范围是（）A．k≥2B．0＜k≤2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC，则角C的大小是（弧度）14．实数x、y满足（x﹣1）2+y2≤1，则y≥x的概率为．15．设P是抛物线y=x2﹣3上横坐标非负的一个动点，过P引圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为T1、T2，当|T1T2|最小时，直线T1T2的方程是．16．已知函数f（x）=，直线y=k与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．如图，从宾馆A到火车站B有A﹣C﹣B、A﹣D﹣B两条路线．出租车司机准备开车从宾馆送某旅客到火车站，若各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A﹣C﹣B算作两个路段；路段AC发生堵车事件的概率为，路段CB发生堵车事件的概率为）．（1）请你为该出租车司机选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；（2）若记路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．18．已知数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，S n是数列{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=4，AB=1，BC=2，过A作AM⊥PC交PC于M．（1）判断AM与平面PCD是否垂直，并说明理由；（2）AM与平面PBC所成的角是否大于30°？请说明理由．20．椭圆C的中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C的两个焦点及短轴的两个端点恰是一个面积为8的正方形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，①写出满足上述要求的充要条件（用含k、b的式子表示）；②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），求x0的取值范围．21．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．四、选做题请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本题10分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB 并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）ACBD=ADAB；（Ⅱ）AC=AE．选修4-4：坐标系与参数方程23．求圆C与直线l的极坐标方程；（2）已知P是l上一动点，线段OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．选修4-5：不等式选讲24．=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）求f（x）的值域；（2）求不等式：f（x）≥x2﹣3x﹣1的解集．2014-2015学年江西省宜春市丰城中学等五校高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣B．3 C．﹣3 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解a的值．【解答】解：∵（3﹣i）z=a+i，∴，又z为纯虚数，∴，解得：a=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件．B．f（x）f（y）=﹣x﹣1（﹣y﹣1）=（xy）﹣1，f（xy）=﹣（xy）﹣1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立．C．f（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立．D．f（xy）═2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立．故选：A【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行验证是解决本题的关键．比较基础．3．如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由图形可知，王珊的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，进而对选择项进行判断，可得结论【解答】解：由于一段时间离家的距离保持不变，家是一个点，所以在那段时间内行走的路线就可能是在以家为圆心，那段距离为半径的一段弧上．故选：D．【点评】本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，考查学生分析解决问题的能力．4．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为8，则x n dx的值是（）A．B．C．D．1【考点】定积分．【专题】导数的综合应用；二项式定理．【分析】利用赋值法求出n，然后计算定积分．【解答】解：令x=1，得到（3﹣1）n=8，所以n=3，所以x n dx=x3dx=；故选：B．【点评】本题考查了二项展开式的项的系数以及定积分的计算；关键是利用赋值法求出n 值．5．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i 值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．如图为一个几何体的三视图，其主、左视图均为等腰直角三角形，俯视图的外轮廓是正方形（尺寸如图），则该几何体的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出该几何体的外接球的半径，可得答案．【解答】解：由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，棱锥的高为2，故该几何体的外接球的直径为，半径为，∴该几何体的外接球的表面积为4π×3=12π，故选：C．【点评】本题考查求该几何体的外接球的表面积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．7．已知等差数列{a n}，S n是其前n项的和，若S3=2a3，则的值为（）A．2015 B．2016 C．1024 D．1008【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公差等于首项，代入求和公式和通项公式化简可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=2a3，∴3a1+d=2（a1+2d），解得d=a1，∴=1008故选：D．【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题．8．△ABC中，若，且，则的值为（）A．3 B．2 C．D．．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的性质运算，得出用、表示的式子，再平面向量基本定理结合题意，算出x、y的值，可得的值．【解答】解：∵，∴﹣=2（﹣），整理得=+又∵∴x=，y=，可得=2故选：B【点评】本题给出三角形一边的三等分点，求向量的线性表达式，着重考查了平面向量的性质运算与平面向量基本定理等知识，属于基础题．9．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80 B．120 C．140 D．50【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22，相乘得到结果，再表示出甲组含有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列．【解答】解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52=10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22=6种结果，∴根据分步计数原理知共有10×6=60，当甲中有三个人时，有C53A22=20种结果∴共有60+20=80种结果故选A．【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，本题是一个基础题，解题时注意对于三个小组的人数限制，先排有限制条件的位置或元素．10．如图，平行四边形的顶点A位于双曲线的中心，顶点B位于该双曲线的右焦点，∠ABC 为60°，顶点D恰在该双曲线的左支上，若=0，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则D（﹣c， c），代入﹣=1可得，确定a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则D（﹣c， c），代入﹣=1可得，∴c2b2﹣3a2c2=a2b2，∴c2（c2﹣a2）﹣3a2c2=a2（c2﹣a2），∴e4﹣5e2+1=0，∴e2=，∴e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．11．若实数x、y满足sinx﹣cosx≤y≤0，﹣≤x≤，则目标函数z=x+y的最小值是（）A．﹣B．﹣2 C．D．﹣﹣【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z和曲线y=sinx﹣cosx相切时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由f′（x）=cosx+sinx=﹣1，即2sin（x+）=﹣1，即sin（x+）=﹣，∵﹣≤x≤，∴﹣≤x+≤，即x+=﹣，x=﹣，此时y=sin（﹣）﹣cos（﹣）=﹣﹣=﹣，即切点坐标为（﹣，），代入目标函数得z=﹣﹣．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据三角函数的图象，结合直线和曲线的相切问题是解决本题的关键．12．设函数f（x）=x2lnx，，若存在x1∈[e，e2]，x2∈[1，2]，使得e3（k2﹣2）g（x2）≥kf（x1）成立（其中e为自然对数的底数），则正实数k的取值范围是（）A．k≥2B．0＜k≤2C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，求得f（x）在[e，e2]的最小值，求出g（x）的导数，判断g （x）在[1，2]的单调性，求得最大值，由存在性的结论可得e3（k2﹣2）g（x2）max≥kf（x1），解不等式即可得到所求范围．min【解答】解：f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x，当x∈[e，e2]，f′（x）＞0，f（x）在[e，e2]递增，即有f（e）为最小值，且为e2；的导数为g′（x）=，当x∈[1，2]，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]递减，即有g（1）取得最大值，且为．由题意可得e3（k2﹣2）g（x2）max≥kf（x1）min，即为e2（k2﹣2）≥ke2，由k2﹣k﹣2≥0，结合k＞0，可得k≥2．故选A．【点评】本题考查导数的运用：求最值，主要考查函数的单调性的运用，注意不等式存在性问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC，则角C的大小是（弧度）【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC，再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值．【解答】解：△ABC中，A=，a=bcosC，∴sinA=sinBcosC，即sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBco sC，∴cosBsinC=0；又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，∴B=，C=；故答案为：．【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目，属于基本知识的考查．14．实数x、y满足（x﹣1）2+y2≤1，则y≥x的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由题意，画出图形，明确满足条件的区域面积，利用面积比求概率．【解答】解：如图，满足满足（x﹣1）2+y2≤1，且y≥x的区域如图阴影部分圆的面积为π，阴影部分的面积为：，由几何概型公式得到实数x、y满足（x﹣1）2+y2≤1，则y≥x的概率为：；故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是找出事件集合的长度是面积的比．15．设P是抛物线y=x2﹣3上横坐标非负的一个动点，过P引圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为T1、T2，当|T1T2|最小时，直线T1T2的方程是x+y﹣1=0 ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设圆心为O（0，0），PO与T1T2交于E，则PO2=PT12+2，T1T2=2T1E==2，当PO值最小时，T1T2取最小值，求出P的坐标，设出两切点坐标，根据圆的切线方程公式分别写出两条切线方程，然后把P点坐标代入后得到过两切点的直线方程即可．【解答】解：设圆心为O（0，0），PO与T1T2交于E，则PO2=PT12+2，T1T2=2T1E==2∴当PO值最小时，T1T2取最小值；设P（x，y），则PO2=x2+y2=y2+4y+12=（y+2）2+8当y=﹣2时，PO2有最小值8，P（2，2）设切点为T1（x1，y1），T2（x2，y2），则PT1的方程为x1x+y1y=2，PT2的方程为x2x+y2y=2，把（2，2）分别代入求得2x1+2y1=2，2x2+2y2=2∴直线T1T2的方程是2x+2y=2，化简得x+y﹣1=0故答案为：x+y﹣1=0．【点评】此题考查学生掌握圆的切线方程公式，灵活运用点的坐标与直线方程的关系写出直线方程，是一道中档题．16．已知函数f（x）=，直线y=k与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是[0，e4）．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出y=f（x）与y=k的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=，的图象如下：四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是x2+2x+k﹣3=0的两根，由于x＜0时，﹣x2﹣2x+3=4﹣（x+1）2≤4，判别式为4﹣4（k﹣3）=4（4﹣k）＞0，即有k＜4，∴a+b=﹣2，ab=k﹣3＜1，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣k，lnd=2+k，∴ln（cd）=4，∴cd=e4，∴abcd∈[0，e4），故答案为：[0，e4）．【点评】本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．如图，从宾馆A到火车站B有A﹣C﹣B、A﹣D﹣B两条路线．出租车司机准备开车从宾馆送某旅客到火车站，若各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A﹣C﹣B算作两个路段；路段AC发生堵车事件的概率为，路段CB发生堵车事件的概率为）．（1）请你为该出租车司机选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；（2）若记路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）运用独立事件同时发生的概率公式求解，先求解堵车的概率，运用对立事件求解，再比较即可．（2）确定路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2运用互斥事件，独立事件的概率公式求解即可，得出分布列，数学期望．【解答】解：（1）根据题意得出：A﹣C﹣B堵车的概率为：P1=1﹣（1﹣）×（1﹣）=1﹣=，A﹣D﹣B堵车的概率为：P2=1﹣（1﹣）×（1﹣）=1﹣=，∵==＜0，∴，∴A﹣C﹣B堵车的概率小，（2）∵记路线A﹣C﹣B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=××==，P（ξ=2）=×=，ξ0 1 2PEξ=0×=【点评】本题考察了学生的识图能力，运用图形解决问题的能力，离散型的概率分布数学期望的求解，考察了计算分析问题能力．18．已知数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，S n是数列{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．∴S n=﹣n=2n+1﹣2﹣n．（2）==，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+=1﹣=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=4，AB=1，BC=2，过A作AM⊥PC交PC于M．（1）判断AM与平面PCD是否垂直，并说明理由；（2）AM与平面PBC所成的角是否大于30°？请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）可以采用反证法：假设AM与平面PCD垂直，那么AM⊥CD，那么CD垂直于平面PAC，CD⊥AC，事实通过勾股定理得出AC和CD是不垂直的，（2）首先证明AN垂直于平面PBC，然后求出AM和AN的长度，求出线面夹角可得答案．【解答】解：（1）AM与平面PCD不垂直，理由如下：假设AM⊥平面PCD，∵CD⊂平面PCD，∴AM⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，CD⊂⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又由PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，又∵AC⊂平面PAC，∴CD⊥AC，在直角梯形ABCD中，AD=4，AB=1，BC=2，AB⊥AD，故AC=CD=，由勾股定理得出AC和CD是不垂直的，故假设不成立，即AM与平面PCD不垂直；（2）AM与平面PBC所成的角小于30°，理由如下：过A作AN⊥PB，垂足为N，又∵PA⊥底面ABCD，BC⊂⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，又由PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又∵AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，∵PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC，∵PA=AD=4，AB=1，BC=2，∴AN=，AM=，设AM与平面PBC所成的角为α，则cosα==＜，故AM与平面PBC所成的角小于30°．【点评】本题考查的知识点是空间线面垂直与线线垂直的判断与证明，求二面角，是立体几何知识的简单综合应用，难度中档．20．椭圆C的中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C的两个焦点及短轴的两个端点恰是一个面积为8的正方形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，①写出满足上述要求的充要条件（用含k、b的式子表示）；②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），求x0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过题意可知b=c、a2=8，进而可得结论；（2）①通过联立直线与椭圆方程，消去y整理得关于x的一元二次方程，只需根的判别式大于0，计算即可：②通过垂直平分线的性质易知|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22，利用点A、B 在椭圆上及﹣≤x1、x2≤且x1≠x2，代入计算即可．【解答】解：（1）依题意，设椭圆C的方程为+=1，焦距为2c，由题设条件知a2=8，b=c，∴b2==a2=4，故椭圆C的方程式为；（2）①联立，消去y整理得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣8=0，∵直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点A、B，∴△=（4kb）2﹣4（1+2k2）（2b2﹣8）＞0，整理得：4+8k2＞b2，即直线y=kx+b与椭圆C恒有两个横坐标不同的交点的充要条件是4+8k2＞b2；②若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），求x0的取值范围．设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．∵线段AB的垂直平分线与x轴相交，∴AB不平行于y轴，即x1≠x2．又∵交点为P（x0，0），∴|PA|=|PB|，即（x1﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22 （*）∵A、B在椭圆上，∴=4﹣， =4﹣，代入（*）式得：2（x2﹣x1）x0=（﹣），∵x1≠x2，∴x0=，∵﹣≤x1、x2≤，且x1≠x2，∴﹣＜x1+x2＜，∴﹣＜x0＜．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，ln（1+）＜即可得出f（a+b）﹣f（2a）＜．【解答】解：（1）∵，∴f'（1）=1．∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．∴直线l的方程为y=x﹣1．的图象相切，∴方程组有一解．由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①依题意，方程①有两个相等的实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0解之，得m=4或m=﹣2∵m＜0，∴m=﹣2．由（1）可知，∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．（6分）∴．（7分）∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．∵0＜b＜a，∴﹣a，∴．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，ln（1+）＜．∴f（a+b）﹣f（2a）＜【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．四、选做题请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本题10分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB 并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）ACBD=ADAB；（Ⅱ）AC=AE．【考点】综合法与分析法(选修）．【专题】证明题．【分析】（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB∽△DAB，=，由此得到所证．（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠B AD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD， =，AEBD=ADAB，再结合（I）的结论ACBD=ADAB 可得，AC=AE．【解答】证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，同理可得∠ACB=∠DAB，∴△ACB∽△DAB，∴ =，∴ACBD=ADAB．（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，∴=，∴AEBD=ADAB．再由（I）的结论ACBD=ADAB 可得，AC=AE．【点评】本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段，是解题的关键，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．求圆C与直线l的极坐标方程；（2）已知P是l上一动点，线段OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】（1）通过将x=ρcosθ、y=ρsinθ 分别代入圆C、直线l方程即可；（2）通过设点Q（x，y），P（4，t），利用OP、OQ斜率相等即得P（4，4×），结合|OR|=2、利用|OQ||OP|=|OR|2计算即可．【解答】解：（1）将x=ρcosθ、y=ρsinθ 代入圆C：x2+y2=4，可得：ρ2=4，即圆C的极坐标方程为：ρ=2；将x=ρcosθ、y=ρsinθ 代入直线l：x=8，可得l的极坐标方程为：ρcosθ=8；（2）设点Q（x，y），P（4，t），显然x＞0，∵P、Q共线，∴P、Q为同一角的终边上，∵直线l：x=8，∴=，∴P（4，4×），又∵R在圆C：x2+y2=4上，∴|OR|=2，∵|OQ||OP|=|OR|2，∴=22，整理得：x2﹣x+y2=0，∴（x﹣）2+y2=（x＞0），∴点Q在直角坐标系下的轨迹方程为：（x﹣）2+y2=（x＞0）．【点评】本题主要考查坐标系与方程，直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）求f（x）的值域；（2）求不等式：f（x）≥x2﹣3x﹣1的解集．【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，利用函数的性质即可求得函数f（x）的值域；（2）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的二次不等式即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|，∴当x≤2时，f（x）=2﹣x﹣（5﹣x）=﹣3；当2＜x＜5时，f（x）=x﹣2﹣（5﹣x）=2x﹣7∈（﹣3，3）；当x≥5时，f（x）=x﹣2﹣（x﹣5）=3；综上所述，函数f（x）的值域为[﹣3，3]；（2）∵|x﹣2|﹣|x﹣5|≥x2﹣3x﹣1，∴当x＜2时，x2﹣3x﹣1≤﹣3，解得1≤x＜2；当2≤x＜5时，有x2﹣3x﹣1≤2x﹣7，解得2≤x≤3；当x≥5时，有x2﹣3x﹣1≤3，即得x∈Φ，综上所述，原不等式的解集为{x|1≤x≤3}．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查解一元二次不等式的运算能力，属于中档题．。