解析函数的高阶导数
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第五节 解析函数的高阶导数
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
ii))22dz
(z (z
ii))22dz
C2
2i
1!
(
z
1 i)2
z
i
2i
1!
(z
1 i)2
z
i
C
i C1
o
x
-i C2
2i
(
2 z i)3
z i
2 (z i)3
z
0
i
第三章 复变函数的积分
二、解析函数的等价概念
莫累拉(Morera)定理
定理2 在单连通区域D内 f(z)连续，若对D内任意一条
闭曲线C都有 f (z)dz 0 ，则在D内f(z)解析.
C
莫累拉定理连同柯西定理组成解析函数的一个等价概念.
6xy ,
x
3y2 3x2 ,
y
2
x2 6 y ,
2
y 2
6y
,
2 2
x2 y2 0
所以φ(x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
2. 解析函数与调和函数的关系
定理1 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是 D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
证明 设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
z
1
2
z
1
2i
1 (z 2)2
2i
z 1 9
第三章 复变函数的积分
例3
求复积分I
|z|2
(
sin z z 1)3
dz 的值.
解
I
2i
2!
(sin z)
z 1 i ( sin z) |z1
i sin1
例4
求复积分
I
z4 z2 dz C (z z0 )3
的值，其中C是不通过
?
即
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz 与
f
(z0 )
的关系如何？
高阶导数公式
第三章 复变函数的积分
定理1 设解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数， 它的n阶
导数为
f
(n) (z0 )
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,3,...)
或
C
f (z) (z z0 )n1
dz
z0
封闭曲 线积分
1.柯西-古萨基本定理 C f (z)dz 0
2.
1 dz 2i , z0在C的内部
C z z0
0 , z0在C的外部
n
3.复合闭路定理 f (z)dz
f (z)dz
c
i1 ci
4.柯西积分公式
C
f (z) z z0
dz
2if
( z0 )
5.高阶导数公式
f (z) C (z z0 )n1
得 g( y) 1, 因此 g( y) y c zez (1 i)z c c为任意实数.
c为e任z 意e实x数iy .
所以 u ex (x cos y y sin y) x y c 由 f (0) = 0 得 c=0
ex (cos y i sin y)
所以 f (z) zez (1 i)z
所以 f (z) [ez zez (1 i)]dz
ez (z 1)ez (1 i)z c zez (1 i)z c 其中c为任意实数.
复变函数的积分
曲线积分
参数方程求积分C f (z)d z f [z(t)]z(t)dt
原函数求积分
z1
f (z)dz F(z1 ) F(z0 )
第三章 复变函数的积分 （2）不定积分法
由于解析函数 f (z) =u+iv 的导数 f (z) 仍为解析函数，
且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把ux iuy与 vy ivx 还原成 z 的函数，得
f (z) ux iuy U (z) , f (z) vy ivx V (z)
第三章 复变函数的积分
C
dz (z z0 )n1
2 i
0
n0 n0
（1）f(z) 为解析函数，且n=0时
C
f (z) z z0
dz 2if (z0 ) 或
1
2i C
f (z) z z0
dz
f (z0)
柯西积分公式
（2）f(z) 为解析函数，且n≠0时
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕 z0 的任何一条 正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D.
注：高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导数，
而是通过求导数来求积分.
第三章 复变函数的积分
例1
求复积分
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
的值.
解 由公式
C
f (z) (z z0 )n1
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
2i
3!
(ez
)
z 2
i e2
3
1
例2 求复积分 I C (z 2)( z 1)2 dz 的值，其中C:
|z+1|=r<2 的正向圆周.
解 z=2是解析点，此时 f (z) 1
1
z2
I
C
z2 (z 1)
2dz
2i
1!
3xuy2x63xyc, v
3xx2
y
x i(3xy2
x3
=
-36xx2yy得i2 v3xy
6xydy 2i x3i
u y
3x2
z x iy
3y2 (, x iy)3
c) 3xy
2x3
3x2 g(x)
yi
3xy
ci
2i
2
i3
y3
再由 yv3xi433xy2 y2 i2 g3(xxy) 2i3uxy3i3cxi2 3y2
定理2 f(z) =u+iv解析的充要条件为：虚部v为实部u的
共轭调和函数.
第三章 复变函数的积分
2.已知调和函数 u 或 v 求解析函数 f (z) 的方法
（1）偏积分法 例1. 求函数u(x,y)= y3-3x2y 的共轭调和函数v ,并求u, v组
成的解析函数f(z) =u+iv.
f
v解(x, y)v (z) yy3 由vy =yu3ix4
在单连通域D内 f (z)为解析函数的充要条件是：
在D内f(z)连续，且对D内任意一条闭曲线C都有
f (z)dz 0
C
第六节 解析函数与调和函数
• 一．调和函பைடு நூலகம்的概念 • 二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
一、 调和函数的概念
1.调和函数的定义
在流体力学、电磁学等领域的许多实际问题中，经
得 ig(x(3x) 3x32xy2i 3xy2gi2(x)i3 yx33) cic c为任意实数. 所以i(x viy(x)3, y)ic 3ixzy32icx3 c
f (z) iz3 ic
第三章 复变函数的积分
例2. 已知一调和函数 v= ex (ycosy + xsiny)+x +y，求一解
f (z) vy ivx = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1+i[ex (ycosy +xsiny+ siny)+1] = ex (cosy+ isiny) +ex (x+iy)cosy+iex (x+iy)siny + (1+i) = ex+iy +ex (x+iy)[cosy+isiny]+ (1+i) = ex+iy +ex+iy (x+iy) + (1+i) = ez+ zez+ (1+i)
所以 f (z) 3iz2dz iz3 c1 i(z3 c) 其中c1为纯虚数.
第三章 复变函数的积分
例2中，由于v= ex (ycosy +xsiny)+x +y， 故 vx = ex (ycosy +siny+ xsiny)+1， vy = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1
析函数f (z) = u+iv ,使f (0) = 0.
u解 exv(xx=coesx (yycoyssyin+ yx)sinxy + ysincy)+1，
f (z) vye=x (exx c(coossyy- yyssiinnyy+) xcxosyy)+1c y i2 y
由vy =ux得iexu( yco[seyx (coxssyinyy) sinixyiyx cos y) 1]dx
二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
1.共轭调和函数的定义 设u (x,y) 为区域D内给定的调和函数，我们把使u+iv在
D内构成解析函数的调和函数v称为u的共轭调和函数. 换句话说，在D内满足C-R方程的两个调和函数中， v称为u的共轭调和函数. 即：区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
第三章 复变函数的积分
函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y)： f (z)满足C-R方程
f (z)在区域D内解析
u 和v都是D内的调和函数
虚部为实部的共轭调和函数
C g(z)dz
0
g(z)在C内解析
f (z)
C (z z0 )n1 dz
g(z)在C内不解析
由C-R方程 u v , x y
从而
2u x2
2v yx
,
u v y x
2u y 2
2v xy
由解析函数高阶导数定理， u 与 v 具有任意阶的连续
偏导数， 有 2v 2v xy yx
故在D内有
2u x 2
2u y 2
0,
同理有
2v 2v x2 y2 0
因此u 与 v 都是调和函数.
ex cos y(x iy) exie(exxxscsioinnsyyy((ix ysiyyin)) y)(x xiyg)( yi)(x iy) c
再由(x uiyy)exe(cx (oxssyin iysinyyc)os(y1si)in(xy) iy)g(cy)
(x iy)exvixy (1exi()y(xcosiyy)xcsin y sziny)x1 iy
将上式积分得 f (z) U (z)dz
已知u求f (z)
f (z) V (z)dz
已知v求f (z)
例1中，由于u= y3-3x2y， 故 ux 6xy , uy 3y2 3x2 ,
所以 f (z) ux iuy 6xy 3y2i 3x2i
3i(x2 2xy y2 ) 3i(x iy)2 3iz2
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
ii))22dz
(z (z
ii))22dz
C2
2i
1!
(
z
1 i)2
z
i
2i
1!
(z
1 i)2
z
i
C
i C1
o
x
-i C2
2i
(
2 z i)3
z i
2 (z i)3
z
0
i
第三章 复变函数的积分
二、解析函数的等价概念
莫累拉(Morera)定理
定理2 在单连通区域D内 f(z)连续，若对D内任意一条
闭曲线C都有 f (z)dz 0 ，则在D内f(z)解析.
C
莫累拉定理连同柯西定理组成解析函数的一个等价概念.
6xy ,
x
3y2 3x2 ,
y
2
x2 6 y ,
2
y 2
6y
,
2 2
x2 y2 0
所以φ(x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
2. 解析函数与调和函数的关系
定理1 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是 D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
证明 设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
z
1
2
z
1
2i
1 (z 2)2
2i
z 1 9
第三章 复变函数的积分
例3
求复积分I
|z|2
(
sin z z 1)3
dz 的值.
解
I
2i
2!
(sin z)
z 1 i ( sin z) |z1
i sin1
例4
求复积分
I
z4 z2 dz C (z z0 )3
的值，其中C是不通过
?
即
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz 与
f
(z0 )
的关系如何？
高阶导数公式
第三章 复变函数的积分
定理1 设解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数， 它的n阶
导数为
f
(n) (z0 )
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,3,...)
或
C
f (z) (z z0 )n1
dz
z0
封闭曲 线积分
1.柯西-古萨基本定理 C f (z)dz 0
2.
1 dz 2i , z0在C的内部
C z z0
0 , z0在C的外部
n
3.复合闭路定理 f (z)dz
f (z)dz
c
i1 ci
4.柯西积分公式
C
f (z) z z0
dz
2if
( z0 )
5.高阶导数公式
f (z) C (z z0 )n1
得 g( y) 1, 因此 g( y) y c zez (1 i)z c c为任意实数.
c为e任z 意e实x数iy .
所以 u ex (x cos y y sin y) x y c 由 f (0) = 0 得 c=0
ex (cos y i sin y)
所以 f (z) zez (1 i)z
所以 f (z) [ez zez (1 i)]dz
ez (z 1)ez (1 i)z c zez (1 i)z c 其中c为任意实数.
复变函数的积分
曲线积分
参数方程求积分C f (z)d z f [z(t)]z(t)dt
原函数求积分
z1
f (z)dz F(z1 ) F(z0 )
第三章 复变函数的积分 （2）不定积分法
由于解析函数 f (z) =u+iv 的导数 f (z) 仍为解析函数，
且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把ux iuy与 vy ivx 还原成 z 的函数，得
f (z) ux iuy U (z) , f (z) vy ivx V (z)
第三章 复变函数的积分
C
dz (z z0 )n1
2 i
0
n0 n0
（1）f(z) 为解析函数，且n=0时
C
f (z) z z0
dz 2if (z0 ) 或
1
2i C
f (z) z z0
dz
f (z0)
柯西积分公式
（2）f(z) 为解析函数，且n≠0时
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕 z0 的任何一条 正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D.
注：高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导数，
而是通过求导数来求积分.
第三章 复变函数的积分
例1
求复积分
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
的值.
解 由公式
C
f (z) (z z0 )n1
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
2i
3!
(ez
)
z 2
i e2
3
1
例2 求复积分 I C (z 2)( z 1)2 dz 的值，其中C:
|z+1|=r<2 的正向圆周.
解 z=2是解析点，此时 f (z) 1
1
z2
I
C
z2 (z 1)
2dz
2i
1!
3xuy2x63xyc, v
3xx2
y
x i(3xy2
x3
=
-36xx2yy得i2 v3xy
6xydy 2i x3i
u y
3x2
z x iy
3y2 (, x iy)3
c) 3xy
2x3
3x2 g(x)
yi
3xy
ci
2i
2
i3
y3
再由 yv3xi433xy2 y2 i2 g3(xxy) 2i3uxy3i3cxi2 3y2
定理2 f(z) =u+iv解析的充要条件为：虚部v为实部u的
共轭调和函数.
第三章 复变函数的积分
2.已知调和函数 u 或 v 求解析函数 f (z) 的方法
（1）偏积分法 例1. 求函数u(x,y)= y3-3x2y 的共轭调和函数v ,并求u, v组
成的解析函数f(z) =u+iv.
f
v解(x, y)v (z) yy3 由vy =yu3ix4
在单连通域D内 f (z)为解析函数的充要条件是：
在D内f(z)连续，且对D内任意一条闭曲线C都有
f (z)dz 0
C
第六节 解析函数与调和函数
• 一．调和函பைடு நூலகம்的概念 • 二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
一、 调和函数的概念
1.调和函数的定义
在流体力学、电磁学等领域的许多实际问题中，经
得 ig(x(3x) 3x32xy2i 3xy2gi2(x)i3 yx33) cic c为任意实数. 所以i(x viy(x)3, y)ic 3ixzy32icx3 c
f (z) iz3 ic
第三章 复变函数的积分
例2. 已知一调和函数 v= ex (ycosy + xsiny)+x +y，求一解
f (z) vy ivx = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1+i[ex (ycosy +xsiny+ siny)+1] = ex (cosy+ isiny) +ex (x+iy)cosy+iex (x+iy)siny + (1+i) = ex+iy +ex (x+iy)[cosy+isiny]+ (1+i) = ex+iy +ex+iy (x+iy) + (1+i) = ez+ zez+ (1+i)
所以 f (z) 3iz2dz iz3 c1 i(z3 c) 其中c1为纯虚数.
第三章 复变函数的积分
例2中，由于v= ex (ycosy +xsiny)+x +y， 故 vx = ex (ycosy +siny+ xsiny)+1， vy = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1
析函数f (z) = u+iv ,使f (0) = 0.
u解 exv(xx=coesx (yycoyssyin+ yx)sinxy + ysincy)+1，
f (z) vye=x (exx c(coossyy- yyssiinnyy+) xcxosyy)+1c y i2 y
由vy =ux得iexu( yco[seyx (coxssyinyy) sinixyiyx cos y) 1]dx
二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
1.共轭调和函数的定义 设u (x,y) 为区域D内给定的调和函数，我们把使u+iv在
D内构成解析函数的调和函数v称为u的共轭调和函数. 换句话说，在D内满足C-R方程的两个调和函数中， v称为u的共轭调和函数. 即：区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
第三章 复变函数的积分
函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y)： f (z)满足C-R方程
f (z)在区域D内解析
u 和v都是D内的调和函数
虚部为实部的共轭调和函数
C g(z)dz
0
g(z)在C内解析
f (z)
C (z z0 )n1 dz
g(z)在C内不解析
由C-R方程 u v , x y
从而
2u x2
2v yx
,
u v y x
2u y 2
2v xy
由解析函数高阶导数定理， u 与 v 具有任意阶的连续
偏导数， 有 2v 2v xy yx
故在D内有
2u x 2
2u y 2
0,
同理有
2v 2v x2 y2 0
因此u 与 v 都是调和函数.
ex cos y(x iy) exie(exxxscsioinnsyyy((ix ysiyyin)) y)(x xiyg)( yi)(x iy) c
再由(x uiyy)exe(cx (oxssyin iysinyyc)os(y1si)in(xy) iy)g(cy)
(x iy)exvixy (1exi()y(xcosiyy)xcsin y sziny)x1 iy
将上式积分得 f (z) U (z)dz
已知u求f (z)
f (z) V (z)dz
已知v求f (z)
例1中，由于u= y3-3x2y， 故 ux 6xy , uy 3y2 3x2 ,
所以 f (z) ux iuy 6xy 3y2i 3x2i
3i(x2 2xy y2 ) 3i(x iy)2 3iz2