解析函数的高阶导数
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解析函数的高阶导数 ppt课件
z00在 z1内 , n1,
ez cosz
z 1 z2 dz
2i(ezcozs)
1!
z0
2 i[ e zcz o e s zsiz]n2i. z 0
例3 求积分 z1eznzdz. (n为整)数
解
(1)n0,
ez zn
在z
1上解,析
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz
0;
(2)n1, 由柯西积分公式得
f(zz) f(z)
因此有
z
21 izCf()[z1z1 z]d
f(z zz)f(z)21 iC(f (z))2d
2 ziC(z)2f(()zz)d
对 于 上 式 右 端 的 积 ，分 作值 如 下 的 估 计 .
因 为 f()在 C 上 连 续 M是 ，f(可 )在C 设 上 的 最 大
值并 , 设 为 点Cz上 到的 最 短 于距 是离 在 当 C上 , 时 ,
C(z
1 2)2z3
dz
C 1(z1 2)2z3dzC 2(z1 2)2z3dz
1
1
C1(zz32)2dzC2(zz32)2dz
22!i(z12)2
21!iz13
z0
z2
3i 3i 8 8 0.
例5 设 C 表 示 x2 圆 y23 周 ， 并 且
3-5解析函数的高阶导数 共11页
§5 解析函数的高阶导数
定理 解析函数的导数仍是解析函数， 它的 n
阶导数为：
f(n)(z0)2 n !iC(z f( zz 0) )n 1dz
(3 .5 .1 )
其中 C 为函数 f (z) 的解析域内的环绕 z 0 正向简单闭
曲线，且 C 的内部仍在 f (z)的解析域内。
［证］ 设 z 0 为 f (z) 的解析域 D内任意一点，C
dz
|z2|1 ( z
z
2)2dz
2i ( e z
z
)
z2
2
i[zezz2 ez
]
z2
e2i
2
例2 求 f(z)|z|2(ez)3d.
解 令 g()e, 则由高阶导数公式知
所以
g(z)22!i|z|2(g (z))3d,
f(z0) lz i0m f(z0 zz )f(z0)
2 1 iC (zf (z z 0 ))2dz
(3 .5 .2 )
同理，我们可以利用 (3.5.2) 及其 (3.5.2) 的推导方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求极限
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
得
f(z0)
其中 z0 z在曲线 C的内部。从而有
f(z0z)f(z0) z
定理 解析函数的导数仍是解析函数， 它的 n
阶导数为：
f(n)(z0)2 n !iC(z f( zz 0) )n 1dz
(3 .5 .1 )
其中 C 为函数 f (z) 的解析域内的环绕 z 0 正向简单闭
曲线，且 C 的内部仍在 f (z)的解析域内。
［证］ 设 z 0 为 f (z) 的解析域 D内任意一点，C
dz
|z2|1 ( z
z
2)2dz
2i ( e z
z
)
z2
2
i[zezz2 ez
]
z2
e2i
2
例2 求 f(z)|z|2(ez)3d.
解 令 g()e, 则由高阶导数公式知
所以
g(z)22!i|z|2(g (z))3d,
f(z0) lz i0m f(z0 zz )f(z0)
2 1 iC (zf (z z 0 ))2dz
(3 .5 .2 )
同理，我们可以利用 (3.5.2) 及其 (3.5.2) 的推导方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求极限
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
得
f(z0)
其中 z0 z在曲线 C的内部。从而有
f(z0z)f(z0) z
3-6解析函数的高阶导数
C
zo
D
f z0 z f z0 1 f z f z0 lim dz 2 z 0 z 2 i C z z0
从柯西积分公式得
f z 0 z f z 0 z
1 2 iz
1 f z f z dz dz 2 iz C z z0 z C z z0
其中 L ds 为曲线C的长度。
C
1 取 z 适 当 小 ， 使 其 满 足z d 2
,则
C d
zo
D
令 z 0 ，则 I 0，从而得
f z 0
2 i C z z0
1
f z
2
dz
由此,用类似的方法可得
f z0 z f z0 2! f z0 lim z 0 z 2i
§6 解析函数的高阶导数
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为：
f
n
n! f z z0 dz n 1,2, C n1 2 i z z0
其中C为在函数f(z)的解析区域D内 围绕z0的任何一条正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D. [证 ] 主要证明n=1的情形，即
n ( 1 ) f z n! f z …, f ( n) z0 dz dz (1)( 2)( n) n 1 n1 2 i C 2 i C ( z z0 ) ( z z0 ) 高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来 求积分。
§3.6—解析函数的高阶导数
ez 例2 求积分 n dz . ( n 为整数) z z 1
ez 解： (1) n 0, n 在 z 1 上解析, z z
e n dz 0; z z 1
由柯西－古萨基本定理得
( 2) n 1, 由柯西积分公式得 ez z d z 2 i ( e ) n z 0 z z 1
z2
( 2) z 1 3 两个奇点 z 2 和 z 0 都含在 C 内,
, 作简单闭曲线C1 和 C2 分别包含 0 和 2, C1 和 C2 互不包含且互不相交
由复合闭路定理及 高阶导数公式得
1 1 1 d z d z 2 3 2 3 2 3 dz ( z 2) z ( z 2) z ( z 2) z C C C
y
C1 i
C
x
o
C2
i
8
§ 3.6
解析函数的高阶导数
r 1.
三、典型例题 例1 计算下列积分, 其中 C 为正向圆周: z
cos z ez (1) dz; ( 2) dz . C ( z 1)5 C ( z 2 1)2 cos z ( 1 ) 函数 在 C 内 z 1 处不解析, 但 cos z 在 C 内处处解析, 解: 5 ( z 1) 5 i cos z 2i (4) 由公式得 C ( z 1)5 dz (5 1)! (cos z ) z1 12 ; ez y ( 2) 函数 2 在 C 内的 z i 处不解析, 2 ( z 1)
§3.6 解析函数的高阶导数 (学生看)
1 f z z z ，试证： f 8 . 2
证明 因为在 z 1 上有
ez ez ez dz dz C ( z 2 1)2 C1 ( z 2 1)2 C2 ( z 2 1)2 dz ez ez ( z i )2 ( z i )2 dz C2 ( z i )2 dz ( z i )2
5
C1
f (z) n! dz 2 z z0 R1 z z0 n 1 n! M n! M . n 1 2 R1 2 R1 R1n
9
令 R1 R 便得到
f ( n ) ( z0 )
n! M ( n 1, 2) . Rn
例 4 设 f (z) 在 z 1 上 解 析 且 在 z 1 上 有
当 n k 1 时,同上类似可得
f ( k ) ( z z ) f ( k ) ( z ) ( k 1)! f ( ) d C ( z ) k 2 z 2 i 1 k! f ( ) f ( ) [ d d ] k 1 C C z 2 i ( z z ) ( z )k 1 ( k 1)! f ( ) d C ( z ) k 2 2 i
即结论当 n k 1 时也成立. 该定理的另一种叙述： 【定理】 设函数 f ( z ) 在简单闭曲线 C 所围成的区域 D 内 解析，而在 D D C 上连续，则 f ( z ) 的各阶导函数均 在 D 内解析，对 z0 D 有
高阶导数公式
∆z→ 0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f ' ( z0 ) = lim = ∫C ( z − z0 )2 dz （*） ∆z → 0 2πi ∆z
再利用(∗)式及推导(∗)的方法可证 n = 2的情形 .
f ' ( z0 + ∆z ) − f ' ( z0 ) f ' ' ( z 0 ) = lim ∆z → 0 ∆z f (z) 2! = 依次类推， ∫C ( z − z 0 ) 3 dz 依次类推，用数学归纳法可得 2π i
§6 解析函数的高阶导数
1 f (z) 柯西积分公式 f ( z 0 ) = ∫C z − z 0 dz ( z 0 ∈ D ) 2πi
1 形式上求导得，f ' ( z 0 ) = 2π i
∫
C
f (z) dz 2 ( z − z0 )
2! f " ( z0 ) = 2π i
(n)
f (z) ∫C ( z − z0 ) 3 dz LL
∫
z1
z0
f ( z )dz = F ( z ) z ,
0
z1
F '(z) = f (z)
(6)复合闭路定理和闭路变形原理 : ∫ f ( z )dz = 0
Γ
f (z) (7)柯西积分公式： ∫ dz = 2πif (z0 ) C z−z 0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f ' ( z0 ) = lim = ∫C ( z − z0 )2 dz （*） ∆z → 0 2πi ∆z
再利用(∗)式及推导(∗)的方法可证 n = 2的情形 .
f ' ( z0 + ∆z ) − f ' ( z0 ) f ' ' ( z 0 ) = lim ∆z → 0 ∆z f (z) 2! = 依次类推， ∫C ( z − z 0 ) 3 dz 依次类推，用数学归纳法可得 2π i
§6 解析函数的高阶导数
1 f (z) 柯西积分公式 f ( z 0 ) = ∫C z − z 0 dz ( z 0 ∈ D ) 2πi
1 形式上求导得，f ' ( z 0 ) = 2π i
∫
C
f (z) dz 2 ( z − z0 )
2! f " ( z0 ) = 2π i
(n)
f (z) ∫C ( z − z0 ) 3 dz LL
∫
z1
z0
f ( z )dz = F ( z ) z ,
0
z1
F '(z) = f (z)
(6)复合闭路定理和闭路变形原理 : ∫ f ( z )dz = 0
Γ
f (z) (7)柯西积分公式： ∫ dz = 2πif (z0 ) C z−z 0
36解析函数的高阶导数
§6 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点跟实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这区域上是否连续也不一定，更不要说它有高阶导数存在了.
关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理.
定理 解析函数的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为： )(z f 010!()
()2()n n c
n f z f
z i z z π+=
-⎰ （）
dz （n=1,2,） （3.6.1） 其中C 为在函数的解析域D 内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全属于D。
)(z f 0z [证] 设为D 内任意一点，我们先证n=1的情形，即
0z 0201()
'()2()
c f z f z
d i z z π=
-⎰ z 根据定义
0000
()('()lim
z )
f z z f z f z z
∆→+∆-=∆，
从柯西积分公式得
0201()
()2()c f z f z d i z z π=
-⎰ z 001()
()2c
f z f z z d i z z z π+∆=
--∆⎰ z 从而有
00200()()1()()
[]2(c c
f z z f z f z f z dz dz z i z z z z z z π+∆-=-∆∆--∆-⎰⎰ ) 001()
2()()c
f z dz i z z z z z π=
---∆⎰ 220001()1()
2()2()()
c c f z zf z dz dz i z z i z z z z z ππ∆=
高校工程数学第5节解析函数的高阶导数教学课件
1 并取 z 适当地小, 满足 z d , 2 1 1 , 则 z z0 d , z z0 d d z z0 z z z0 z , 2 1 2 , I z ML , z z0 z d d 3
C
z0 d
D
定理[3-5-1]的证明
思考题答案
高阶导数公式说明 , 函数 f ( z ) 只要在闭区域 G 中处处可微, 它就一定无限次可微 , 并且它的各 阶导数均为闭区域G 上的解析函数.
这一点与实变量函数有本质的区别.
2i 1 2 2! ( z 2 )
z 0
2i 1 3 1! z
z 2
3i 3i 0. 8 8
典型例题
例3 设函数 f ( z ) 在单连通域 B 内连续, 且对于
B 内任何一条简单闭曲线C 都有 f ( z )dz 0,
F ( z ) f ( z ),
所以 F ( z ) 是 B 内一个解析函数 ,
因为解析函数的导数仍为解析函数,
故 f ( z ) 为解析函数.
典型例题
圆周：|z|=r>1 （ 1） （2）
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 C 2i ( z z0 )
(n)
y
ML I z 3 , 这里 L 为 C 的长度. d
C
z0 d
D
定理[3-5-1]的证明
思考题答案
高阶导数公式说明 , 函数 f ( z ) 只要在闭区域 G 中处处可微, 它就一定无限次可微 , 并且它的各 阶导数均为闭区域G 上的解析函数.
这一点与实变量函数有本质的区别.
2i 1 2 2! ( z 2 )
z 0
2i 1 3 1! z
z 2
3i 3i 0. 8 8
典型例题
例3 设函数 f ( z ) 在单连通域 B 内连续, 且对于
B 内任何一条简单闭曲线C 都有 f ( z )dz 0,
F ( z ) f ( z ),
所以 F ( z ) 是 B 内一个解析函数 ,
因为解析函数的导数仍为解析函数,
故 f ( z ) 为解析函数.
典型例题
圆周：|z|=r>1 （ 1） （2）
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 C 2i ( z z0 )
(n)
y
ML I z 3 , 这里 L 为 C 的长度. d
解析函数高阶导数
解析函数高阶导数
一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
从概念上讲，高阶导数计算就是连续进行一阶导数的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题：
（1）一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。
（2）二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的，当求导次数较高或求任意阶导数时，逐阶求导实际是行
不通的，此时需研究专门的方法。
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
z z0
2 if
(z0 )
例
1：计算积分
C
(z
1 1)( z
dz 2)
，其中：
1）
C
是正向圆周 |
z
|
1 2
；
2）
C
是正向圆周
|
z
1|
1 4
；
3） C 是正向圆周| z | 3 。
例
2：设
f
(z)
| |2
(
2 1) sin z
d
，求
f
(i)
。
例 3：求下列积分
将柯西积分公式形式地在积分号下对 z 求导后得
f
( z )
1 2 i
C
f (
( ) z)2
d
，
f (n) (z) n!
f ( ) d
2 i C ( z)n1
定理 2：在定理 1 的条件下，具有各阶导数，且
f (n) (z) n!
2 i
C
(
f ( ) z)n1
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
2 if
(z0 )
例
1：计算积分
C
(z
1 1)( z
dz 2)
，其中：
1）
C
是正向圆周 |
z
|
1 2
；
2）
C
是正向圆周
|
z
1|
1 4
；
3） C 是正向圆周| z | 3 。
例
2：设
f
(z)
| |2
(
2 1) sin z
d
，求
f
(i)
。
例 3：求下列积分
将柯西积分公式形式地在积分号下对 z 求导后得
f
( z )
1 2 i
C
f (
( ) z)2
d
，
f (n) (z) n!
f ( ) d
2 i C ( z)n1
定理 2：在定理 1 的条件下，具有各阶导数，且
f (n) (z) n!
2 i
C
(
f ( ) z)n1
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
3.4解析函数的高阶导数
思考题答案
高阶导数公式说明 , 函数 f ( z ) 只要在闭区域 G 中处处可微 , 它就一定无限次可微 , 并且它的各 阶导数均为闭区域 G 上的解析函数 .
这一点与实变量函数有本质的区别. 这一点与实变量函数有本质的区别.
作业： 作业： p46 3.4 （7）、（ ） ）、（8） ）、（ p47 3.6 3.7
高阶导数公式的作用: 高阶导数公式的作用 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分： 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分：
f (z) 2πi (n) ∫C (z − z0 )n+1 dz = n! f (z0 )
例1 计算下列积分 , 其中 C 为正向圆周 : z = 2.
(1) ∫
二、解析函数的无穷可微性
定理 设函数 f ( z ) 在简单闭曲线 C所围的区域 D 内解析 ,
上连续， 在 D = D ∪ C 上连续，则 f ( z )在区域 D 内有各阶导数， 内有各阶导数， 且都在D内解析， 且都在 内解析，对D内任一点 z0 , 有
f
( n)
n! f (z) (z0 ) = ∫ (z − z0 )n+1 dz (n = 1,2,L) 2πi C
f
( n)
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n! f (z) (z0 ) = ∫C (z − z0 )n+1 dz 2πi
解析函数的高阶导数
§3.4 解析函数的高阶导数
一、高阶导数定理 二、柯西不等式 三、刘维尔定理
一、高阶导数定理
分析 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在D D C
上连
续，
则由柯西积分公式有
f (z)
1 2πi
C
f ( ) d , z
(z D).
又 d [( z)1] ( z)2 ,
dz
d2 dz2
(高阶导数公式)
2πi 1!
[
ez
(z i)2
]
zi
C1 i
C
C2
2
i
π (1 i)ei .
2
同样可求得
I2
π 2
(1
i)ei
.
(3)
I
I1 I2
π 2
[(1 i)ei
(1 i)ei ]
2πi sin(1 π ) . 4
二、柯西不等式
定理 设函数 f (z) 在| z z0 | R
dz ,
(n 1,
2, ).
| f (n)(z0 )|
n! 2π
| z z0 | R1
| f (z)| | z z0 |n1
ds
n! M R1n
,
令 R1 R , 得
即| f (n)(z0 )|
n! M Rn
,
一、高阶导数定理 二、柯西不等式 三、刘维尔定理
一、高阶导数定理
分析 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在D D C
上连
续，
则由柯西积分公式有
f (z)
1 2πi
C
f ( ) d , z
(z D).
又 d [( z)1] ( z)2 ,
dz
d2 dz2
(高阶导数公式)
2πi 1!
[
ez
(z i)2
]
zi
C1 i
C
C2
2
i
π (1 i)ei .
2
同样可求得
I2
π 2
(1
i)ei
.
(3)
I
I1 I2
π 2
[(1 i)ei
(1 i)ei ]
2πi sin(1 π ) . 4
二、柯西不等式
定理 设函数 f (z) 在| z z0 | R
dz ,
(n 1,
2, ).
| f (n)(z0 )|
n! 2π
| z z0 | R1
| f (z)| | z z0 |n1
ds
n! M R1n
,
令 R1 R , 得
即| f (n)(z0 )|
n! M Rn
,
解析函数的高阶导数
§ 3.4 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高 阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同.
一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数
在这区间上是否连续也不一定,更不要说它 有高阶导数存在了.
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶 导数为:
cos z [解] 1) 函数 ( z 1 ) 5
在C内的z=1处不解析, 但
cosz在C内却是处处解析的. 由高阶导数公式，
5 cos z 2 i i ( 4 ) d z (cos z ) | . 5 z 1 ( 5 1 )! 12 ( z 1 ) C
i 2sin( 1 ) 4
例2 设
3 2 6 5 f(z ) d , 其中C: |ζ|=2,取正向， C z
|z|≠2,计算
(1) f (3 5i); (2) f (1 i).
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满 足 |Dz| < d/2,因此
1 1 | zz d , , 0| | zz d 0|
C
z0
d
d |z z Δ z | |z z | |Δ z | , 0 0 2 1 2 1 | Δ z | |fz () | d s M L , |I | | Δ z | 3 2 | z z0 Δ z | d 2 π| z z ||z z z | π d 0 0 Δ C
一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数
在这区间上是否连续也不一定,更不要说它 有高阶导数存在了.
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶 导数为:
cos z [解] 1) 函数 ( z 1 ) 5
在C内的z=1处不解析, 但
cosz在C内却是处处解析的. 由高阶导数公式，
5 cos z 2 i i ( 4 ) d z (cos z ) | . 5 z 1 ( 5 1 )! 12 ( z 1 ) C
i 2sin( 1 ) 4
例2 设
3 2 6 5 f(z ) d , 其中C: |ζ|=2,取正向， C z
|z|≠2,计算
(1) f (3 5i); (2) f (1 i).
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满 足 |Dz| < d/2,因此
1 1 | zz d , , 0| | zz d 0|
C
z0
d
d |z z Δ z | |z z | |Δ z | , 0 0 2 1 2 1 | Δ z | |fz () | d s M L , |I | | Δ z | 3 2 | z z0 Δ z | d 2 π| z z ||z z z | π d 0 0 Δ C
3.4解析函数的高阶导数
高阶导数公式
思考题
f
(n)(z0 )
n! 2i
C
(
z
f
(z) z0 )n1
dz
解析函数的高阶导数公式说明解析
函数的导数与实函数的导数有何不同?
思考题
解析函数的高阶导数公式说明解析 函数的导数与实函数的导数有何不同?
思考题答案
高阶导数公式说明,函数 f (z) 只要在闭区域 G 中处处可微, 它就一定无限次可微, 并且它的各 阶导数均为闭区域G 上的解析函数.
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz
n!
2
f (z) C z z0 n1 ds
n! M R1n
令R1 R, 得
f
(n)(z0 )
n! M Rn
(n 1,2,).
刘维尔（Liouville）定理 设函数 f (z) 在
全平面上解析且有界，则 f (z)为一常数．
证 设z0为平面内任意一点，f (z) M. 对于任
证 先证n 1的情况.
根据导数的定义,
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
由柯西积分公式
f
(z0 )
1 2i
C
f (z) z z0
dz,
f
( z0
解析函数的高阶导数
复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
第三节柯西积分公式
一、柯西积分公式
二、解析函数的高阶导数
二、解析函数高阶导数
问题的提出：
假设：(1)解析函数具有任意阶导数;
1()()2ξξπξ=−⎰C f f z d i z
将柯西积分公式(2)导数运算可在积分号下进行.
在积分号下对z 求导
()()n f z 的可能形式是什么？假设是否成立？
1(),()
ξξξ+−⎰n C f d z
10()()n C f z dz z z +−⎰10
()()n C f z dz z z +−⎰内的围绕z 0的任意一条简单正向应用高阶求导公式计算积分：
5cos (1)C z dz z π−⎰求的值，其中5cos (1)
π−z C z 函数在内有一奇点5cos (1)C z dz
z π−⎰(4)2(cos )4!
ππi z (f =
(1)0()()+−⎰n C f z dz z z
谢谢观看！
Cauchy积分公式和高阶导数公式
| f (z)f (z0)| <e. 作圆周K :|z-z0|=R 在C 的内部,
C
f ( z) f ( z) d z dz z z0 z z0 K
C
z K R z0
K
f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) dz dz z z0 z z0 K
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
sin z 2 i sin z d z z 0 0; z z 4
8
2 1 ( 2) dz . z 1 z 3 z 4
1 2 dz dz （根据柯西积分公式） z 1 z3 z 4 z 4
2i 1 2i 2 6i .
关于Cauchy积分公式的意义: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. （这是解析函数的一个重要特征） (2) 公式给出了一种表示解析函数的方法,而且给 出了解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数各种局部性质的有力工具)
(3) 公式提供了一种计算积分的方法.
5
z0
C
注：
求下列积分 sin z (1) d z; z z 4 2 1 ( 2) dz . z 1 z 3 z 4
解 (1)
sin z dz z z 4
C
f ( z) f ( z) d z dz z z0 z z0 K
C
z K R z0
K
f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) dz dz z z0 z z0 K
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
sin z 2 i sin z d z z 0 0; z z 4
8
2 1 ( 2) dz . z 1 z 3 z 4
1 2 dz dz （根据柯西积分公式） z 1 z3 z 4 z 4
2i 1 2i 2 6i .
关于Cauchy积分公式的意义: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. （这是解析函数的一个重要特征） (2) 公式给出了一种表示解析函数的方法,而且给 出了解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数各种局部性质的有力工具)
(3) 公式提供了一种计算积分的方法.
5
z0
C
注：
求下列积分 sin z (1) d z; z z 4 2 1 ( 2) dz . z 1 z 3 z 4
解 (1)
sin z dz z z 4
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第五节 解析函数的高阶导数
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
在单连通域D内 f (z)为解析函数的充要条件是：
在D内f(z)连续，且对D内任意一条闭曲线C都有
f (z)dz 0
C
第六节 解析函数与调和函数
• 一．调和函数的概念 • 二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
一、 调和函数的概念
1.调和函数的定义
在流体力学、电磁学等领域的许多实际问题中，经
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
2i
3!
(ez
)
z 2
i e2
3
1
例2 求复积分 I C (z 2)( z 1)2 dz 的值，其中C:
|z+1|=r<2 的正向圆周.
解 z=2是解析点，此时 f (z) 1
1
z2
I
C
z2 (z 1)
2dz
2i
1!
z
1
2
z
1
2i
1 (z 2)2
2i
z 1 9
第三章 复变函数的积分
例3
求复积分I
|z|2
(
sin z z 1)3
dz 的值.
解
I
2i
2!
(sin z)
z 1 i ( sin z) |z1
i sin1
例4
求复积分
I
z4 z2 dz C (z z0 )3
的值，其中C是不通过
6xy ,
x
3y2 3x2 ,
y
2
x2 6 y ,
2
y 2
6y
,
2 2
x2 y2 0
所以φ(x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
2. 解析函数与调和函数的关系
定理1 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是 D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
证明 设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
得 g( y) 1, 因此 g( y) y c zez (1 i)z c c为任意实数.
c为e任z 意e实x数iy .
所以 u ex (x cos y y sin y) x y c 由 f (0) = 0 得 c=0
ex (cos y i sin y)
所以 f (z) zez (1 i)z
第三章 复变函数的积分 （2）不定积分法
由于解析函数 f (z) =u+iv 的导数 f (z) 仍为解析函数，
且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把ux iuy与 vy ivx 还原成 z 的函数，得
f (z) ux iuy U (z) , f (z) vy ivx V (z)
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
ii))22dz
(z (z
ii))22dz
C2
2i
1!
(
z
1 i)2
z
i
2i
1!
(z
1 i)2
二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
1.共轭调和函数的定义 设u (x,y) 为区域D内给定的调和函数，我们把使u+iv在
D内构成解析函数的调和函数v称为u的共轭调和函数. 换句话说，在D内满足C-R方程的两个调和函数中， v称为u的共轭调和函数. 即：区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
析函数f (z) = u+iv ,使f (0) = 0.
u解 exv(xx=coesx (yycoyssyin+ yx)sinxy + ysincy)+1，
f (z) vye=x (exx c(coossyy- yyssiinnyy+) xcxosyy)+1c y i2 y
由vy =ux得iexu( yco[seyx (coxssyinyy) sinixyiyx cos y) 1]dx
2i
n!
f
(n) (z0 )
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕 z0 的任何一条 正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D.
注：高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导数，
而是通过求导数来求积分.
第三章 复变函数的积分
例1
求复积分
I
wk.baidu.com
|z|3
(z
ez 2)4
dz
的值.
解 由公式
C
f (z) (z z0 )n1
所以 f (z) 3iz2dz iz3 c1 i(z3 c) 其中c1为纯虚数.
第三章 复变函数的积分
例2中，由于v= ex (ycosy +xsiny)+x +y， 故 vx = ex (ycosy +siny+ xsiny)+1， vy = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1
定理2 f(z) =u+iv解析的充要条件为：虚部v为实部u的
共轭调和函数.
第三章 复变函数的积分
2.已知调和函数 u 或 v 求解析函数 f (z) 的方法
（1）偏积分法 例1. 求函数u(x,y)= y3-3x2y 的共轭调和函数v ,并求u, v组
成的解析函数f(z) =u+iv.
f
v解(x, y)v (z) yy3 由vy =yu3ix4
ex cos y(x iy) exie(exxxscsioinnsyyy((ix ysiyyin)) y)(x xiyg)( yi)(x iy) c
再由(x uiyy)exe(cx (oxssyin iysinyyc)os(y1si)in(xy) iy)g(cy)
(x iy)exvixy (1exi()y(xcosiyy)xcsin y sziny)x1 iy
z0
封闭曲 线积分
1.柯西-古萨基本定理 C f (z)dz 0
2.
1 dz 2i , z0在C的内部
C z z0
0 , z0在C的外部
n
3.复合闭路定理 f (z)dz
f (z)dz
c
i1 ci
4.柯西积分公式
C
f (z) z z0
dz
2if
( z0 )
5.高阶导数公式
f (z) C (z z0 )n1
所以 f (z) [ez zez (1 i)]dz
ez (z 1)ez (1 i)z c zez (1 i)z c 其中c为任意实数.
复变函数的积分
曲线积分
参数方程求积分C f (z)d z f [z(t)]z(t)dt
原函数求积分
z1
f (z)dz F(z1 ) F(z0 )
f (z) vy ivx = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1+i[ex (ycosy +xsiny+ siny)+1] = ex (cosy+ isiny) +ex (x+iy)cosy+iex (x+iy)siny + (1+i) = ex+iy +ex (x+iy)[cosy+isiny]+ (1+i) = ex+iy +ex+iy (x+iy) + (1+i) = ez+ zez+ (1+i)
将上式积分得 f (z) U (z)dz
已知u求f (z)
f (z) V (z)dz
已知v求f (z)
例1中，由于u= y3-3x2y， 故 ux 6xy , uy 3y2 3x2 ,
所以 f (z) ux iuy 6xy 3y2i 3x2i
3i(x2 2xy y2 ) 3i(x iy)2 3iz2
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
第三章 复变函数的积分
函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y)： f (z)满足C-R方程
f (z)在区域D内解析
u 和v都是D内的调和函数
虚部为实部的共轭调和函数
C g(z)dz
0
g(z)在C内解析
f (z)
C (z z0 )n1 dz
g(z)在C内不解析
由C-R方程 u v , x y
从而
2u x2
2v yx
,
u v y x
2u y 2
2v xy
由解析函数高阶导数定理， u 与 v 具有任意阶的连续
偏导数， 有 2v 2v xy yx
故在D内有
2u x 2
2u y 2
0,
同理有
2v 2v x2 y2 0
因此u 与 v 都是调和函数.
z
i
C
i C1
o
x
-i C2
2i
(
2 z i)3
z i
2 (z i)3
z
0
i
第三章 复变函数的积分
二、解析函数的等价概念
莫累拉(Morera)定理
定理2 在单连通区域D内 f(z)连续，若对D内任意一条
闭曲线C都有 f (z)dz 0 ，则在D内f(z)解析.
C
莫累拉定理连同柯西定理组成解析函数的一个等价概念.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
3xuy2x63xyc, v
3xx2
y
x i(3xy2
x3
=
-36xx2yy得i2 v3xy
6xydy 2i x3i
u y
3x2
z x iy
3y2 (, x iy)3
c) 3xy
2x3
3x2 g(x)
yi
3xy
ci
2i
2
i3
y3
再由 yv3xi433xy2 y2 i2 g3(xxy) 2i3uxy3i3cxi2 3y2
得 ig(x(3x) 3x32xy2i 3xy2gi2(x)i3 yx33) cic c为任意实数. 所以i(x viy(x)3, y)ic 3ixzy32icx3 c
f (z) iz3 ic
第三章 复变函数的积分
例2. 已知一调和函数 v= ex (ycosy + xsiny)+x +y，求一解
?
即
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz 与
f
(z0 )
的关系如何？
高阶导数公式
第三章 复变函数的积分
定理1 设解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数， 它的n阶
导数为
f
(n) (z0 )
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,3,...)
或
C
f (z) (z z0 )n1
dz
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
第三章 复变函数的积分
C
dz (z z0 )n1
2 i
0
n0 n0
（1）f(z) 为解析函数，且n=0时
C
f (z) z z0
dz 2if (z0 ) 或
1
2i C
f (z) z z0
dz
f (z0)
柯西积分公式
（2）f(z) 为解析函数，且n≠0时
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
在单连通域D内 f (z)为解析函数的充要条件是：
在D内f(z)连续，且对D内任意一条闭曲线C都有
f (z)dz 0
C
第六节 解析函数与调和函数
• 一．调和函数的概念 • 二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
一、 调和函数的概念
1.调和函数的定义
在流体力学、电磁学等领域的许多实际问题中，经
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
2i
3!
(ez
)
z 2
i e2
3
1
例2 求复积分 I C (z 2)( z 1)2 dz 的值，其中C:
|z+1|=r<2 的正向圆周.
解 z=2是解析点，此时 f (z) 1
1
z2
I
C
z2 (z 1)
2dz
2i
1!
z
1
2
z
1
2i
1 (z 2)2
2i
z 1 9
第三章 复变函数的积分
例3
求复积分I
|z|2
(
sin z z 1)3
dz 的值.
解
I
2i
2!
(sin z)
z 1 i ( sin z) |z1
i sin1
例4
求复积分
I
z4 z2 dz C (z z0 )3
的值，其中C是不通过
6xy ,
x
3y2 3x2 ,
y
2
x2 6 y ,
2
y 2
6y
,
2 2
x2 y2 0
所以φ(x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
2. 解析函数与调和函数的关系
定理1 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是 D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
证明 设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
得 g( y) 1, 因此 g( y) y c zez (1 i)z c c为任意实数.
c为e任z 意e实x数iy .
所以 u ex (x cos y y sin y) x y c 由 f (0) = 0 得 c=0
ex (cos y i sin y)
所以 f (z) zez (1 i)z
第三章 复变函数的积分 （2）不定积分法
由于解析函数 f (z) =u+iv 的导数 f (z) 仍为解析函数，
且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把ux iuy与 vy ivx 还原成 z 的函数，得
f (z) ux iuy U (z) , f (z) vy ivx V (z)
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
ii))22dz
(z (z
ii))22dz
C2
2i
1!
(
z
1 i)2
z
i
2i
1!
(z
1 i)2
二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
1.共轭调和函数的定义 设u (x,y) 为区域D内给定的调和函数，我们把使u+iv在
D内构成解析函数的调和函数v称为u的共轭调和函数. 换句话说，在D内满足C-R方程的两个调和函数中， v称为u的共轭调和函数. 即：区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
析函数f (z) = u+iv ,使f (0) = 0.
u解 exv(xx=coesx (yycoyssyin+ yx)sinxy + ysincy)+1，
f (z) vye=x (exx c(coossyy- yyssiinnyy+) xcxosyy)+1c y i2 y
由vy =ux得iexu( yco[seyx (coxssyinyy) sinixyiyx cos y) 1]dx
2i
n!
f
(n) (z0 )
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕 z0 的任何一条 正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D.
注：高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导数，
而是通过求导数来求积分.
第三章 复变函数的积分
例1
求复积分
I
wk.baidu.com
|z|3
(z
ez 2)4
dz
的值.
解 由公式
C
f (z) (z z0 )n1
所以 f (z) 3iz2dz iz3 c1 i(z3 c) 其中c1为纯虚数.
第三章 复变函数的积分
例2中，由于v= ex (ycosy +xsiny)+x +y， 故 vx = ex (ycosy +siny+ xsiny)+1， vy = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1
定理2 f(z) =u+iv解析的充要条件为：虚部v为实部u的
共轭调和函数.
第三章 复变函数的积分
2.已知调和函数 u 或 v 求解析函数 f (z) 的方法
（1）偏积分法 例1. 求函数u(x,y)= y3-3x2y 的共轭调和函数v ,并求u, v组
成的解析函数f(z) =u+iv.
f
v解(x, y)v (z) yy3 由vy =yu3ix4
ex cos y(x iy) exie(exxxscsioinnsyyy((ix ysiyyin)) y)(x xiyg)( yi)(x iy) c
再由(x uiyy)exe(cx (oxssyin iysinyyc)os(y1si)in(xy) iy)g(cy)
(x iy)exvixy (1exi()y(xcosiyy)xcsin y sziny)x1 iy
z0
封闭曲 线积分
1.柯西-古萨基本定理 C f (z)dz 0
2.
1 dz 2i , z0在C的内部
C z z0
0 , z0在C的外部
n
3.复合闭路定理 f (z)dz
f (z)dz
c
i1 ci
4.柯西积分公式
C
f (z) z z0
dz
2if
( z0 )
5.高阶导数公式
f (z) C (z z0 )n1
所以 f (z) [ez zez (1 i)]dz
ez (z 1)ez (1 i)z c zez (1 i)z c 其中c为任意实数.
复变函数的积分
曲线积分
参数方程求积分C f (z)d z f [z(t)]z(t)dt
原函数求积分
z1
f (z)dz F(z1 ) F(z0 )
f (z) vy ivx = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1+i[ex (ycosy +xsiny+ siny)+1] = ex (cosy+ isiny) +ex (x+iy)cosy+iex (x+iy)siny + (1+i) = ex+iy +ex (x+iy)[cosy+isiny]+ (1+i) = ex+iy +ex+iy (x+iy) + (1+i) = ez+ zez+ (1+i)
将上式积分得 f (z) U (z)dz
已知u求f (z)
f (z) V (z)dz
已知v求f (z)
例1中，由于u= y3-3x2y， 故 ux 6xy , uy 3y2 3x2 ,
所以 f (z) ux iuy 6xy 3y2i 3x2i
3i(x2 2xy y2 ) 3i(x iy)2 3iz2
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
第三章 复变函数的积分
函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y)： f (z)满足C-R方程
f (z)在区域D内解析
u 和v都是D内的调和函数
虚部为实部的共轭调和函数
C g(z)dz
0
g(z)在C内解析
f (z)
C (z z0 )n1 dz
g(z)在C内不解析
由C-R方程 u v , x y
从而
2u x2
2v yx
,
u v y x
2u y 2
2v xy
由解析函数高阶导数定理， u 与 v 具有任意阶的连续
偏导数， 有 2v 2v xy yx
故在D内有
2u x 2
2u y 2
0,
同理有
2v 2v x2 y2 0
因此u 与 v 都是调和函数.
z
i
C
i C1
o
x
-i C2
2i
(
2 z i)3
z i
2 (z i)3
z
0
i
第三章 复变函数的积分
二、解析函数的等价概念
莫累拉(Morera)定理
定理2 在单连通区域D内 f(z)连续，若对D内任意一条
闭曲线C都有 f (z)dz 0 ，则在D内f(z)解析.
C
莫累拉定理连同柯西定理组成解析函数的一个等价概念.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
3xuy2x63xyc, v
3xx2
y
x i(3xy2
x3
=
-36xx2yy得i2 v3xy
6xydy 2i x3i
u y
3x2
z x iy
3y2 (, x iy)3
c) 3xy
2x3
3x2 g(x)
yi
3xy
ci
2i
2
i3
y3
再由 yv3xi433xy2 y2 i2 g3(xxy) 2i3uxy3i3cxi2 3y2
得 ig(x(3x) 3x32xy2i 3xy2gi2(x)i3 yx33) cic c为任意实数. 所以i(x viy(x)3, y)ic 3ixzy32icx3 c
f (z) iz3 ic
第三章 复变函数的积分
例2. 已知一调和函数 v= ex (ycosy + xsiny)+x +y，求一解
?
即
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz 与
f
(z0 )
的关系如何？
高阶导数公式
第三章 复变函数的积分
定理1 设解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数， 它的n阶
导数为
f
(n) (z0 )
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,3,...)
或
C
f (z) (z z0 )n1
dz
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
第三章 复变函数的积分
C
dz (z z0 )n1
2 i
0
n0 n0
（1）f(z) 为解析函数，且n=0时
C
f (z) z z0
dz 2if (z0 ) 或
1
2i C
f (z) z z0
dz
f (z0)
柯西积分公式
（2）f(z) 为解析函数，且n≠0时
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz