医药高等数学_第二章

例如，(
x )
1
(x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
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例2. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
h0
h
h0
h
lim 2 cos(x h)
h0
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
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(2) (uv) uv u v
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
第二章 导数与微分
第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数
的导数 相关变化率 第五节 函数的微分
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第一节 导数概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系
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4. 设
, 问 a 取何值时,
在
都存在 , 并求出
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
f (0)
lim x0
sin x 0 x0
1
f
(0)
lim x0
ax 0 x0
a
故 a 1时
此时
在
都存在,
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5. 设
h0
h
h0 h
即 (a x ) a x ln a. (ex ) ex .
例4 求函数 f ( x) loga x(a 0, a 1) 的导数
解
f (x) lim h0
f
(x h) h
f
(x)
lim loga (x h) loga (x)
h0
h
lim
h0
1 h
loga
xh x
1 x
存在, 且
求
解: 因为
1 lim f (1 (x)) f (1)
2 x0
(x)
所以
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6. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 lim f (1 (x)) f (1)
2 x0
(x)
所以
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§2.2 函数的求导法则
2
lim cos(x h)
h0
2
cos x
即 类似可证得
(sin x) cos x (cos x) sin x
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例3 求函数 f ( x) a x (a 0,a 1) 的导数.
解 (a x ) lim a xh a x a x lim ah 1 a x ln a.
一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
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一、四则运算求导法则
定理1.
则
的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v(x) 0)
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1. x ln a
即
(loga
x)
1 x ln
a
(ln x) 1 x
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例5 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 因为 f (x) f (0) x ,
x
x
f (x) f (0)
x
lim
则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数
简称导数 记作
y f (x)
dy 或 df (x)
dx
dx
易见 1. f ( x0 ) f ( x) . xx0 • 求导数的步骤
(1)求增量 y f ( x x) f ( x);
(2)算比值 (3)求极限
y f ( x x) f ( x) ;
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
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运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程
解解
y
1 x2
所求切线及法线的斜率分别为
k1
(
1 x2
)
x1 2
4
k2
1 k1
1 4
所求切线方程为
y
2
4(x
1) 2
即4x+y-4=0
所求法线方程为
y
2
1 4
(x
1) 2
即2x-8y+15=0
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例7. 问曲线
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x0 ,
0, x 0
在x=0处的连续性和可导性
解 因为 sin 1 是有界函数 , 所以 lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f (x) 0 所以f (x)在x 0处连续.
x0
但在x 0处有
f
(x)
f
(0)
x sin
1 x
0
sin 1
x
x
x
h0
h
h0
h
lim (u(x) u)(v(x) v) u(x)v(x)
h0
h
lim uv(x) h0 h
lim
h0
u
(
x)v h
lim
h0
uv h
u(x)v(x) u(x)v(x)
故结论成立.
推论: 1) (C u ) C u ( C为常数 )
2) (uvw) uvw uvw uvw
24 例2 yex (sin xcos x) 求y
解 yex)(sin xcos x)e x (sin xcos x)
e x(sin xcos x) e x(cos x sin x) 2excos x
例4 ysec x 求y
yy((sseeccxx))((ccoo11ssxx))
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2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
x
x
y lim y . x0 x
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例1. 求函数
解:
lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
xa
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数) (x ) x1
lim 1,
x0
x
x h0
lim f (x) f (0) lim x 1
x0
x
x h0
即 f(0) f(0),
函数y f (x)在x 0点不可导.
y y x
o
x
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单侧导数
1.左导数:
f ( x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) lim
率 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 问 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
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求导法则
(uv)uv (uv)uvuv
(uv )
uv uv v2
例例21 f (x) x3 4cosx sin 求 f (x)及 f ( )
2
2
解 f (x)(x3)(4cosx)(sin )3x2 4sin x
2
f ( ) 3 2 4
f ( x0 ) tanα(α为倾角) o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
1 (x f ( x0 )
x0 ).
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例6.求等边双曲线 y 1 在点 (1 , 2) 处的切线的斜率
当x 0时, f (x) f (0) 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
所以f (x)在x=0处不可导
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内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f (x0 ) a
f(x0 ) f(x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率 f (x0 )
f (t0 )
注:
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
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•导函数的定义
如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值
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(1) (u v) u v
证: 设 f (x) u(x) v(x) , 则
f (x) lim f (x h) f (x)
h0
h
lim [u(x h) v(x h) ] [u(x) v(x) ]
h0
h
lim u(x h) u(x) lim v(x h) v(x)
x x0
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) ;
2.右导数:
f ( x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) lim
x x0
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) ;
•函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.
•函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一
与导函数
有什么区别与联系 ?
区别: f (x) 是函数 , f (x0 ) 是数值;
？ 联系: f (x) xx0 f (x0 ) 注意: f (x0) [ f (x0) ]
2. 设
存在 , 则
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 )
___f_(_x_0_)_ .
3. 已知
则
k0
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4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
1 (ln x) x
(cos x) sin x;
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.
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思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数
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四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 证: 设 存在 , 因此必有
在点 x 处可导, 即
其中
故 所以函数
x 0
在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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例8 讨论函数
点可导
•函数f(x)在闭区间[a b]上可导是指函数f(x)在开区间
(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数
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三、导数的几何意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f(x) 在点M(x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
1
x
2 3
3
y x0 ,
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线
令
1 33
1 x2
1, 3
得
x 1 ,
对应 y
1 ,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行的切线方程分别为
即
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f (x) f (x0 ) x x0
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瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
Leabharlann Baidu
CM
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化