1995A数学建模试题
数学建模 历年试题及论文
拟合、规划 图论、层次分析、整数队论、图论 微分方程、优化 非线性规划 非线性规划 随机模拟、图论 多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论
2000 2000 B题 钢管订购和运输 缺 2000 C题 飞越北极 缺 2000 D题 空洞探测 缺 2001 A题 血管的三维重建 数据 曲线拟合、曲面重建 缺 多目标规划 2001 B题 公交车调度 缺 2001 2001 C题 基金使用计划 缺 2001 D题 公交车调度 缺 2002 A题 车灯线光源的优化设计 非线性规划 Y 2002 B题 彩票中的数学 单目标决策 Y 2002 2002 C题 车灯线光源的计算 Y 2002 D题 赛程安排 Y 2003 A题 SARS的传播 微分方程、差分方程 Y 2003 B题 露天矿生产的车辆安排 整数规划、运输问题 Y 2003 2003 C题 SARS的传播 缺 2003 D题 抢渡长江 Y 2004 A题 奥运会临时超市网点设计 数据 统计分析、数据处理、优化 缺 2004 B题 电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化 缺 2004 2004 C题 饮酒驾车 缺 2004 D题 公务员招聘 缺 2005 A题 长江水质的评价和预测 数据 聚类、模糊评判、主成分分析、多目标决策 缺 2005 B题 DVD在线租赁 数据 多目标规划 缺 2005 2005 C题 雨量预报方法的评价 数据 缺 2005 D题 DVD在线租赁 数据 缺 2006 A题 出版社的资源配置 数据 线性规划、多目标规划 Y 2006 B题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 回归、线性规划 数据 Y 2006 2006 C题 易拉罐形状和尺寸的最优设计 缺 2006 D题 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 数据 缺 2007 A题 中国人口增长预测 数据 微分、差分方程 Y 2007 B题 乘公交，看奥运 数据 图论、0-1 规划、动态规划 Y 2007 2007 C题 手机“套餐”优惠几何 数据 Y
1995年全国大学生数学建模竞赛试题
a题一个飞行管理模型在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。
现假定条件如下:1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上;5) 最多需考虑6架飞机;6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。
记录数据为:飞机编号横座标x 纵座标y 方向角(度)1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 220.54 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
b题天车与冶炼炉的作业调度某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p；a组3座转炉(冶炼成品钢)a1, a2, a3；b组2座冶炼炉(冶炼半成品钢，简称半钢)b1, b2；原料供应处q。
这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车t1，t2，...，tn炉了作业服务。
布局示意如下。
|---------t1----t2----------------------------tn--------------|p a1 a2 a3 b1 b2 q天车与冶炼炉的作业过程与工序为：天车从q处吊起原料一罐（吊罐时间ty）运至b1或b2处放下（放罐时间ti），并将上一炉的原料空罐吊起（吊空时间to）返回q处放下（放空罐时间tk）。
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
1995年考研数学三真题及全面解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设1()1x f x x -=+,则()()n f x = . (2) 设()yz xyf x=,()f u 可导,则x y xz yz ''+= .(3) 设(ln )1f x x '=+,则()f x = .(4) 设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *是A 的伴随矩阵,则1()A *-= .(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,其中参数μ和2σ未知,记22111,(),n n i i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t =_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 为可导函数,且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )(A) 2 (B) 1- (C)12(D) 2- (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A)111sin dx x-⎰(B) 1-⎰ (C)2x e dx +∞-⎰(D) 221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵m n A ⨯的秩为()r A m n =<,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) A 的任意m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =(D) A 通过初等行变换,必可以化为(,0)m E 的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布,记,U X Y V X Y =-=+,则随机变量U 与V 必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{}P X μσ-< ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设2202(1cos ),0()1,01cos ,0xx x x f x x t dt x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰,试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.四、(本题满分6分)已知连续函数()f x 满足条件320()3xx t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x .五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--展成x 的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算22()min{,}xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q p =,收益函数为R pQ =,其中p 为产品价格,Q 为需求量(产品的产量),()Q p 为单调减函数.如果当价格为0p ,对应产量为0Q 时,边际收益00Q Q dR a dQ ==>,收益对价格的边际效应0p p dRc dp==<,需求对价格的弹性1p E b =>.求0p 和0Q .八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间[,]a a -(0a >)上连续,()g x 为偶函数,且()f x 满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数).(1) 证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分22sin arctan xx e dx ππ-⎰.九、(本题满分9分)已知向量组(Ⅰ)123,,ααα；(Ⅱ)1234,,,αααα；(Ⅲ)1235,,,αααα,如果各向量组的秩 分别为(I)(II)3r r ==,(III)4r =.证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n ≥台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率θ.十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 求X 和Y 联合分布函数(,)F x y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】12(1)!(1)n n n x +-+ 【解析】由于112()12(1)1,11x f x x x x--==-=+-++ 2()2(1)(1),f x x -'=⋅-+ 3()2(1)(2)(1),,f x x -''=⋅--+所以 1()(1)()2(1)!(2(1)1)!(1)n n n n n fx x n x n -++=⋅-+-+=. (2)【答案】2y xyf x ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据复合函数求导法则,22x y y y y y y z yf xyf yf f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+⋅-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1y y y y y z xf xyf xf yf x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以 222x y y y y y y yf y f xyf y f yf x x x x x xz yz x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'⎝⎭⎝'+⎭=.【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (3)【答案】xx e C ++【解析】在(ln )1f x x '=+中令ln x t =,则()1tf t e '=+,从而()()1()t t x f t e dt t e C f x x e C =+=++⇒=++⎰.(4)【答案】100122010345⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】由AA A E *=,有A A E A *=,故()1AA A-*=.而 10022010345A ==,所以 ()1100122010345A A A -*⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. (5)【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设0H ,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设0H 是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值μ的假设检验问题.据此类型应该选取t 检验的统计量是X Xt ==经过化简得 Xt =【相关知识点】假设检验的一般步骤： (1) 确定所要检验的基本假设0H ；(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；(3) 对确定的显著性水平α,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；(4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设0H 作出拒绝还是接受的判断.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因 0(1)(1)(1)(1)(1)limlimx x f x f f x f f x x xx→→+---'==--00(1)(1)lim(1)(1)2lim 2,2x x f f x xf f x x →→--=--==-所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知111arcsin x π--==⎰,222111ln ln ln 2dx x x x +∞+∞=-=⎰, 且泊松积分2x edx +∞-=⎰故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当0x =时sin 0x =,故在积分区间[1,1]-中0x =是瑕点,反常积分111sin dx x -⎰应分解为两个反常积分之和:101110111sin sin sin dx dx dx x x x --=+⎰⎰⎰,而且111sin dx x -⎰收敛的充要条件是两个反常积分011sin dx x -⎰与101sin dx x⎰都收敛.由于广义积分 11001ln tan sin 2x dx x ⎛⎫==+∞ ⎪⎝⎭⎰, 即101sin dx x ⎰发散,故111sin dx x-⎰发散.在此不可误以为1sin x是奇函数,于是1110sin dx x -=⎰,从而得出它是收敛的错误结论.(3)【答案】(C)【解析】()r A m =表示A 中有m 个列向量线性无关,有m 阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把A 化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如010001⎛⎫⎪⎝⎭,只用初等行变换就不能化成2(,0)E 的形式,故(D)不正确.关于(C),由0BA =知()()r B r A m +≤,又()r A m =,从而()0r B ≤,按定义又有()0r B ≥,于是()0r B =,即0B =.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】 (,)(,)Cov U V Cov X Y X Y =-+.(,)(,)Cov X X Y Cov Y X Y =+-+(,)(,)(,)(,)Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y =+--DX DY =-.由于X 和Y 同分布, 因此DX DY =,于是有(,)0Cov U V =. 由相关系数的计算公式ρ=,所以U 与V 的相关系数也为零,应选(D). 【相关知识点】协方差的性质：(,)(,)Cov aX bY abCov X Y =；1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.(5)【答案】(C) 【解析】由于2(,),XN μσ将此正态分布标准化,故()0,1X N μσ-,{}()1211X P X P .μμσσ⎧-⎫-<=<=Φ-⎨⎬⎩⎭计算看出概率{}P X μσ-<的值与σ大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.222000122(1cos )2lim ()lim lim1x x x x x f x x x ---→→→⋅-===, 22000cos cos lim ()limlim 11xx x x t dt x f x x+++→→→===⎰, 故(00)(00)(0)f f f +=-=,即()f x 在0x =处连续.2000422020001cos 1()(0)(0)lim lim01cos cos 12lim lim lim 0,22xx x xx x x t dt f x f x f x xx t dt x x x x x++++++→→→→→--'==----====⎰⎰2002320002(1cos )1()(0)(0)lim lim 02(1cos )2sin 22(cos 1)lim lim lim 0.36x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x------→→→→→---'==-----====即(0)(0)0f f +-''==,故()f x 在0x =处可导,且(0)0f '=.四、(本题满分6分)【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量3ts =,于是 303()3xx t f dt f s ds ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰.代入题设函数()f x 所满足的关系式,得 20()3()xx f x f s ds e =+⎰.在上式中令0x =得(0)1f =,将上式两端对x 求导数得2()3()2x f x f x e '=+.由此可见()f x 是一阶线性方程2()3()2xf x f x e '-=满足初始条件(0)1f =的特解.用3xe-同乘方程两端,得()3()2xxf x ee--'=,积分即得32()2xx f x Cee =-.由(0)1f =可确定常数3C =,于是,所求的函数是32()32xx f x e e =-.五、(本题满分6分)【解析】由212(12)(1)x x x x --=-+知2ln(12)ln(12)ln(1)x x x x --=-++.因为 231ln(1)(1)23nn x x x x x n++=-+-+-+,其收敛区间为(1,1)-；又 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nn x x x x x n+----=--+-+-+,其收敛区间为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 于是有 121111(2)(1)2ln(12)(1)(1)n n n n n n n n n x x x x x n n n +∞∞++==⎡⎤-----=-+-=⎢⎥⎣⎦∑∑, 其收敛区间为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【相关知识点】收敛区间：若幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径是正数R ,则其收敛区间是开区间(,)R R -；若其收敛半径是+∞,则收敛区间是(,)-∞+∞.六、(本题满分5分)【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域D 是全平面,设0a >,{}(,)|,a D x y a x a a y a =-≤≤-≤≤,则当a →+∞时,有a D D →.从而2222()()min{,}limmin{,}axy xy a D I x y e dxdy x y e dxdy +∞+∞-+-+-∞-∞→+∞==⎰⎰⎰⎰.注意当x y ≤时,min{,}x y x =；当x y >时,min{,}x y y =.于是222222()()()min{,}aa ya xx y x y x y aaaaD x y edxdy dy xedx dx yedy -+-+-+----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,且()2222222222()()22()2211()2211.22axa x a xy x y x a x aaa a a a a a x x a adx ye dy dx e d x y e e dx e e dx e dx -+-+-+-----------=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于2x e dx +∞--∞=⎰从而可得222()21lim0lim 2axa xy x aaaa a dx ye dy e dx -+----→+∞→+∞=-⎰⎰⎰2limt t e dt -→+∞==.同理可得22()limayxy aaa dy xe dx -+--→+∞=⎰⎰于是I ==方法二：设0R >,则圆域{}222(,)|R D x y x y R=+≤当R →+∞时也趋于全平面,从而2222()()min{,}limmin{,}Rxy xy R D I x y e dxdy x y e dxdy +∞+∞-+-+-∞-∞→+∞==⎰⎰⎰⎰.引入极坐标系cos ,sin x r y r θθ==,则当04πθ≤≤与524πθπ≤≤时,min{,}sin x y y r θ==； 当544ππθ≤≤时,min{,}cos x y x r θ==. 于是22()min{,}Rxy D x y e dxdy -+⎰⎰22252222445044sin cos sin RRRr r r d r e dr d r e dr d r e dr πππππθθθθθθ---=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22522244500044sin cos sin RR r r r e dr d d d r e dr πππππθθθθθθ--⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.由此可得2220limlim()RRr r I r e dr rd e --→+∞→+∞=-=⎰⎰222000lim R R r r r ree dr e dr +∞---→+∞⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰七、(本题满分6分)【解析】本题的关键在于p 和Q 之间存在函数关系,因此R pQ =既可看作p 的函数,也可看作Q 的函数,由此分别求出dR dp 及dR dQ,并将它们与弹性p p dQ E Q dp =联系起来,进而求得问题的解.由()Q Q p =是单调减函数知0dQ dp<,从而需求对价格的弹性0p p dQE Q dp =<,这表明题设1p E b =>应理解为1p p E E b =-=>.又由()Q Q p =是单调减函数知存在反函数()p p Q =且1dp dQ dQdp=.由收益R pQ =对Q 求导,有 1(1)p dR dp p p Q p p p dQ dQ dQ E Q dp=+=+=+,从而001(1)Q Q dR p a dQ b ==-=,得01abp b =-.由收益R pQ =对p 求导,有(1)(1)p dR dQ p dQ Q p Q Q E dp dp Q dp=+=+=+, 从而 00(1)p p dR Q b c dp==-=,于是01c Q b=-.八、(本题满分6分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成[]0,a 上的积分,即00()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰,再将()()af xg x dx -⎰作适当的变量代换化为在[]0,a 上的定积分.方法一：由于 00()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰,在()()af xg x dx -⎰中令x t =-,则由:0x a -→,得:0t a →,且00()()()()()()()()()a aa af xg x dx f t g t d t f t g t dt f x g x dx -=---=-=-⎰⎰⎰⎰,所以[]0()()()()()()aaaaf xg x dx f x f x g x dx A g x dx -=+-=⎰⎰⎰.方法二：在()()aaf xg x dx -⎰中令x t =-,则由:x a a -→,得:t a a →-,且()()()()()()()()()aaaaaaaf xg x dx f t g t d t f t g t dt f x g x dx ---=----=-=-⎰⎰⎰⎰.所以1()()()()()()2aaa aa a f x g x dx f x g x dx f x g x dx ---⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ []01()()()()().22a aa a aA f x f x g x dx g x dx A g x dx --=+-==⎰⎰⎰(2)令()arctan xf x e =,()sing x x =,可以验证()f x 和()g x 符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.方法一：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a π=.由于()()arctan arctan xxf x f x e e -+-=+满足()22arctan arctan 011x xxxx xe e eee e ----'+=+≡++,故 arctan arctan xxe e A -+=.令0x =,得2arctan12A A π=⇒=,即()()2f x f x π+-=.于是有22202sin arctan sin sin 222xx e dx x dx xdx πππππππ-===⎰⎰⎰.方法二：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a π=,于是1()()arctan arctan2x x f x f x e e π+-=+=. (这里利用了对任何0x >,有1arctan arctan 2x x π+=) 以下同方法一.九、(本题满分9分)【解析】因为(I)(II)3r r ==,所以123,,ααα线性无关,而1234,,,αααα线性相关, 因此4α可由123,,ααα线性表出,设为4112233l l l αααα=++. 若 112233454()0k k k k ααααα+++-=,即 11412242334345()()()0k l k k l k k l k k αααα-+-+-+=, 由于(III)4r =,所以1235,,,αααα线性无关.故必有11422433440,0,0,0.k l k k l k k l k k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解出43210,0,0,0k k k k ====.于是12354,,,ααααα-线性无关,即其秩为4.十、(本题满分10分)【解析】(1)因为123(,,)f x x x 对应的矩阵为022244243A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,故123(,,)f x x x 的矩阵表示为112312323022(,,)(,,)244243T x f x x x x Ax x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.(2)由A 的特征方程2222224424243241E A λλλλλλλλ----=---=---+--2410024(1)(36)0241λλλλλ+-=--=--=--,得到A 的特征值为1231,6,6λλλ===-.由()0E A x -=得基础解系1(2,0,1)TX =-,即属于1λ=的特征向量. 由(6)0E A x -=得基础解系2(1,5,2)TX =,即属于6λ=的特征向量. 由(6)0E A x --=得基础解系3(1,1,2)TX =-,即属于6λ=-的特征向量.对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有3121231232110,5,1,122X X X X X X γγγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎥======-⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥-⎣⎦⎦⎦那么令123()0Q γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦,经正交变换112233x y x Q y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,二次型化为标准形 222123123(,,)66T T f x x x x Ax y y y y y ==Λ=+-.十一、(本题满分8分)【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A 表示“仪器需要进一步调试”,B 表示“仪器能出厂”,则A =“仪器能直接出厂”,AB =“仪器经调试后能出厂”.且B A AB =,A 与AB互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式()(|)()(|)()()P AB P B A P AB P B A P A P A =⇒=⋅, 有 ()()()()070308094P B P A P A P B |A ....=+=+⨯=.设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数,则X 服从二项分布()094B n,..由二项分 布的概率计算公式,可得所求概率为(1) {}0.94n P X n α===；(2) {}22220.940.06;n n P X n C β-==-=⋅⋅(3) {}{}{}121110.060.940.94n n P X n P X n P X n n θ-=≤-=-=--==-⨯-⋅ 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k k n k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.十二、(本题满分8分)【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).当1(,)x y D ∈时,(,)0F x y =, 其中1{(,)00}D x y x y =<<或.当4(,)x y D ∈,即1x >且1y >时,(,)1F x y =. 当(,)x y D ∈时,即01,01x y ≤≤≤≤时,2220(,)42xyxF x y stdtds sy ds x y ===⎰⎰⎰.当2(,)x y D ∈,即01,1x y ≤≤>时,1200(,)442x yx xF x y stdtds ds stdt sds x ====⎰⎰⎰⎰⎰.当3(,)x y D ∈,即1,01x y >≤≤时,与2D 类似,有2(,)F x y y =.综上分析,(,)X Y 的联合分布函数为22220,00,,01,01,(,),1,01,,01,1,1,1,1.x y x y x y F x y y x y x x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=<≤≤⎨⎪≤≤<⎪<<⎪⎩或。
1995考研数学真题+答案
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 0lim >-x xx sin 2)31(+ =6e .(2) dx d dt xt x ⎰022cos = 2224cos 2cos xt dt x x -⎰.(3) 设 2)(=⋅⨯c b a , 则 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+ = 4 .(4) 幂级数121)3(2-∞=∑-+n n nnx n 的收敛半径R =3.(5) 设三阶方阵A B 、 满足关系式16A BA A BA -=+，且A =1/30001/40001/7⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则=B 300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 有直线L ：⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 及平面π：0224=-+-z y x ，则直线L (C)(A) 平行于π. (B) 在π上 (C) 垂直于π. (D) 与π斜交(2) 设在]10[，上0)(>''x f ，则)0(f '、)1(f '、)0()1(f f -和)1()0(f f -的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. (B) )0()0()1()1(f f f f '>->'. (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. (D) )0()1()0()1(f f f f '>->'.(3) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设)11ln()1(nu n n +-=，则级数 (C)(A) ∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都收敛. (B)∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散(C)∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散. (D)∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛.(5) 设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001010，P 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001，则必有 (C)(A) A P 1P 2 = B (B) A P 2P 1 = B (C) P 1P 2A = B (D) P 2P 1A = B. 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 设(,,)u f x y z =,2(,,)0,sin y x e z y x ϕ==,其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数，且z∂∂ϕ≠0，求dxdu . 解：,du f z dy f dz dx x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂……2分 1231cos ,(2cos )y dy dz x x e x dx dx ϕϕϕ''==-+⋅', ……4分 故sin 1231cos (2cos )x du f z f x x e x dx x y z ϕϕϕ∂∂∂''=+-+⋅∂∂∂'. ……5分(2) 设()f x 在区间[]1,0上连续，并设10()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.解：更换积分次序，可得1111()()()()()()yxxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,……2分于是111112()()()()()()x xxdxf x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1120()()dx f x f y dy A ==⎰⎰……4分 所以1121()()2xdx f x f y dy A =⎰⎰. ……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+222x y x +≤内的部分.解：∑在xoy 平面上的投影区域为22D 2x y x +≤：，221()()2z z dS d d x yσσ∂∂=++=∂∂. 于是222zdS x y d σ∑=+⎰⎰⎰⎰……3分 2cos 22022d r dr πθπθ-=⎰32016322cos 239d πθθ==……6分(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展成周期为4的余弦级数.解：2002(1)0,2a x dx =-=⎰ ……1分222000222(1)cos (1)sin sin2222n n x n x n xa x dx x d dx n n πππππ=-=-=-⎰⎰⎰224[(1)1]n n π=-- ……4分2202(1,2,)821(21)n k k n k k π=⎧⎪==⎨-=-⎪-⎩ .22181(21)()cos ,[0,2](21)2k k xf x x k ππ∞=-=-∈-∑. ……6分注：展开式也可写作2214(1)1()cos ,[0,2]2n n n xf x x n ππ∞=--=∈∑.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xoy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A.已知MA = OA ，且L 过点)23,23(，求L 的方程.解：设点M 的坐标为(,)x y ，则切线MA 的方程为()Y y y X x '-=-.令0X =，则'Y y xy =-，故点A 的坐标为(0,')y xy -.……2分 由MA OA =，有22'(0)(')y xy x y y xy -=-+-+即212'yy y x x-=-. ……4分令2z y =，得dz zx dx x -=-. 解得11()()dxdx x x z e xe dx c x x c -⎰⎰=-+=-+⎰，即22y x cx =-+……6分由于所求曲线在第一象限内,故2.y cx x =-再以条件33()22y =代入得3c =，于是L 的方程为23.(03)y x x x -<<……7分注：不写(03)x <<不扣分.六、(本题满分8分)设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分⎰+Ldy y x Q xydx ),(2与路径无关，并且对任意t 恒有()()()()dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰⎰+=+,10,01,0,0),(2),(2，求),(y x Q .解：由曲线积分与路径无关的条件知(2)2Q xy x x y∂∂==∂∂. ……2分于是，2Q(,)()x y x c y =+，其中()c y 为待定函数. ……3分又(,1)1122(0,0)002(,)[()](),t xydx Q x y dy t c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰(1,)2(0,0)2(,)[1()]()t ttxydx Q x y dy c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰.……6分故由题设知12()()tt c y dy t c y dy +=+⎰⎰.两边对t 求导得21(),()21t c t c t t =+=-从而()21c y y =-，所以2(,)21Q x y x y =+-.……8分七、(本题满分8分)假设函数)(x f 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数，并且()0g x ''≠，()()()()0f a f b g a g b ====，试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()f fg g ξξξξ''=''. 证：(1) 用反证法. 若存在点(,)c a b ∈，使()0g c =，则对()g x [,]a c 和[,]c b 上分别 应用罗尔定理，知存在1(,)a c ξ∈和2(,)c b ξ∈，使12()()0g g ξξ''==. ……2分再对'()g x 在12[,]ξξ在上应用罗尔定理，知存在3123(,),''()0g ξξξξ∈=使， 这与题设''()0g x ≠矛盾，故在(,)a b 内()0g x ≠.……4分 (2) 令()()'()'()()x f x g x f x g x ϕ=-，……6分易见()()0a b ϕϕ==，对()x ϕ在[,]a b 上应用罗尔定理，知存在(,)a b ξ∈，使'()0ϕξ=. 即()''()-''()()0f g f g ξξξξ=.因()0,''()0g g ξξ≠≠，故得()()()()f fg g ξξξξ''=''. ……8分八、(本题满分7分)设三阶实对称阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A .解：对应于231λλ==有两个线性无关的特征向量23,ξξ，它们都与1ξ正交， 故可取23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-，.……3分令0101/2021/202P ⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝，……5分则1T PP -=，于是1010100021/210020201010000100101020201/22A PAP -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ---⎝⎭⎝⎭⎝⎝.……7分 九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵，满足AA I '=（I 是n 阶单位阵，A '是A 的转置矩阵），0A <，求I A +.解：因||||||||A I A AA A I A ''+=+=+……2分 |||()|||||A I A A I A '=+=+，……4分 所以(1||)||0A I A -+=.由因1||0A ->，故||0I A +=.……6分十、(本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4 ，则2X 的数学期望 )(2X E ＝ 18.4 .(2) 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则{max (,)0}57P X Y ≥=/.十一、(本题满分6分)设X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x f xX ，求Xe Y =的概率密度)(yf Y .解：(){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤……1分 0,1{ln },1y P X y y <⎧=⎨<≥⎩，……3分故1y ≥时，ln 0(){ln }yx Y F y P X y e dx -=<=⎰，21()()Y Y f y F y y'==……5分因此20,1()1,1Y y f y y y <⎧⎪==⎨≥⎪⎩.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题】三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1)【 同数学一 第三、(1) 题 】(2) 求曲面222y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面方程.解：2200000(,,).{,2,1}.2x P x y z z y P x y =+-设切点为于是曲面在点的法矢量为因所给平面的法矢量为{2,2,1}-.故由条件知0021.221x y -==- 所以切点坐标为22000002,1,32x x y z y ===+=.……3分 于是所求切平面方程为2(2)2(1)(3)0,x y z -+---=即2230x y z +--=. ……5分(3) 计算二重积分 2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 是由双曲线122=-y x 及直线y = 0, y = 1所围成的平面区域. 解：22112201y yDx ydxdy dy ydx ++=⎰⎰⎰……2分1351222200222(1)(1)(421)31515y y dy y =+=+=⎰. ……5分四、(本题满分12分)【 同数学一 第四题 】 五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分8分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题共2小题，每小题7分，满分14分)(1) 设 1234234243211233x x x x x ax ax x x +++=⎧⎪+-=-⎨⎪+=⎩，问a 为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解.解：因1321113211011012221203300221a aa a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→--⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，……3分所以2a≠时，方程组有解，……4分其通解为1234710232221112aaxaxk axx a-⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭，其中k为任意常数. ……7分(2)【同数学一第八题】九、(本题满分6分)【同数学一第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设221cos()siny x x=，则y '=22221122sin()sinsin cos()x x x x x x --. (2) 微分方程x y y 2-=+''的通解为x c x c x y sin cos 221++-=.(3) 曲线 231x t y t ⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为370x y --=. (4) ∞→n lim (112++n n + 222++n n ++ nn n n ++2 ) =21.(5) 曲线22x y x e -=的渐近线方程为y =.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠，()x ϕ有间断点，则 （D ）(A) [()]f x ϕ必有间断点 （B ）2[()]x ϕ必有间断点 (C) [()]f x ϕ必有间断点 （D ）)()(x f x ϕ 必有间断点(2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 (C)(A) 2(1)(2).x x x dx ---⎰（B ）⎰⎰-----1021.)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x(C) 1201(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰； （D ）dx x x x )2)(1(2--⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导，且对任意12,x x ，当12x x >时，有12()()f x f x >，则 （D ）(A) 对任意x ，()0f x '>. (B) 对任意x ，()0f x '-<. (C) 函数()f x -单调增加. (D) 函数()f x --单调增加.(4) 设在[0,1]上()0f x '''>(0)=0f ''，则)1(f '、)0(f ' 、)0()1(f f - 和)1()0(f f - 的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. ( B ) )0()0()1()1(f f f f '>->' (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. ( D ) )0()1()0()1(f f f f '>->'. (5) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，若()F x 在0x =处可导，则必有 (A)(A)(0)0f =. (B).0)0('=f (C)(0)'(0)0.f f += (D)(0)'(0)0.f f -=三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分) (1) 求)cos 1()cos(1lim 0x x x x --+→.解：原式0lim (1cos )(1cos )x x x x +→=-+……1分2012lim 1(1cos 2x x x x x +→=⋅⋅+ ……4分12=. ……5分(2) 设函数()y y x =方程()f y yxee =确定，其中f 具有二阶导数，且,1'≠f 求22d ydx. 解：方程两边取对数，得ln ()x f y y +=. 对x 求导，得1'()''f y y y x+=从而1'(1'())y x f y =- ……2分故222231'()''()'(1'())''()''(1'())[1'()]f y xf y y f y f y y x f y x f y ----=-=---. ……5分(3) 设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ， 求⎰dx x )(ϕ解：因为222(1)1(1)ln (1)1x f x x -+-=--，所以1()ln1x f x x +=-. ……1分 又()1()11[()]lnln ,,()=()1()11x x x f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ+++===---从而. ……3分 于是21()2ln(1)(ln(1))1x x dx dx x x c x x c x ϕ+==-++=-++-⎰⎰或 ……5分(4) 设21,0()0,0xarctg x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试讨论'()f x 在0x =处的连续性. 解：因为201'(0)lim2x xarctg x f x π→==， ……2分 2240012lim '()lim()12x x x f x arctg x x π→→=-=+, ……4分所以'()f x 在0x =处是连续的. ……5分(5) 求摆线⎩⎨⎧-=-=tt y tx sin cos 1一拱（0π2≤≤t ）的弧长.解：sin ,1cos ,dx dy t t dt dt==- ……1分所以22sin (1cos )ds t t dt =+-2(1cos )2sin (02)2tt dt dt t π=-=≤≤. ……3分 从而202sin 82ts dt π==⎰.……5分(6) 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 00v v t ==.已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t 为多少时此质点的速度为3v ？并求到此时刻该质点所经过的路程. 解：设质点的运动速度为()v t .由题设,有00()()0t v t v t v v ='+=⎧⎨⎢=⎩. ……2分解此方程,得0()t v t v e -=. ……3分 由03t v v e -=，解得ln 3t = ……4分到此时刻该质点所经过的路程ln300023t s v e dt v -==⎰.……5分四、(本题满分8分) 求函数()f x =⎰--2)2(x t dt e t 的最大值和最小值.解：因为(),()).f x f x ∞是偶函数故只需求在[0,+内的最大值与最小值 ……2分令22'()2(2)0x f x x x e -=-=，故在区间(0,)+∞内有唯一驻点2x =而当02x <<'()0f x >；当2x >'()0f x <，所以2x =.……4分最大值为22200(2)(2)(2)t t tf t e dt t e e dt ---=-=--⎢-⎰⎰21e -=+. ……6分又因为000(2)(2)211t t t t e dt t e e +∞--+∞-+∞-=--⎢+⎢=-=⎰，(0)0f =，故(0)0f =是最小值.……8分五、(本题满分8分)设xy e =是微分方程x y x p xy =+)('的一个解，求此微分方程满足条件ln 20x y =⎢=的特解.解：以x y e =代入原方程，得()x xxe p x e x +=，解出().x p x xe x -=-……2分代入原方程，得'().x xy xe x y x -+-= 解其对应的齐次方程'(1)0x y e y -+-=，有(1),ln ln x x dye dx y c e x y--=-+-=+，得齐次方程的通解x x e y ce -+=. ……5分 所以原方程的通解为xx x e y e ce -+=+. ……6分于是由ln20x y =⎢=，得12220e c +=，即12c e-=-，故所求特解为12x x e xy e e-+-=-. ……8分六、(本题满分8分)如图，设曲线L 的方程为()y f x =，且.0''>f 又MT 、MP 分别为该曲线在点M （x 0,y 0）处的切线和法线.已知线段MP 的长度为232))(1(y y '''+，（其中，)(''''),(0000x y y x y y ='='），试推导出点),(ηξP 的坐标表达式. 解：由题设得232200020(1)()()y x y y ξη'+-+-='' (1)又PM MT ⊥，所以000'x y y ξη-=-- (2) ……4分2220020(1)(1),(2) ()y y y η'+-=''由解得.200001''0,L 0,y y y y y ηη'+>-<-=-''由于曲线是凹的,故从而. ……6分又2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=''，于是得200002000(1)(1)y y x y y y y ξη⎧''+=-⎪''⎪⎨'+⎪=+⎪''⎩.……8分七、(本题满分8分) 设0sin ()x tf x dt tπ=-⎰，计算⎰π0)(dx x f .解：00()()'()f x dx xf x xf x dx πππ=⎢-⎰⎰……3分 00sin sin x xdx x dx x x πππππ=---⎰⎰……6分 00sin sin 2x xdx xdx x ππππ-===-⎰⎰. ……8分八、(本题满分8分) 设1)(lim=→xx f x ，且0)(''>x f , 证明()f x x ≥. 证：因为()f x 连续且具有一阶导数，所以由0()lim 1x f x x→=，知(0)0f =. 从而有00()(0)()'(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→-===-.……3分令()()F x f x x =-，则(0)0F =. 由于'()'()1F x f x =-，所以(0)0F '=.又由()()0F x f x ''''=>……5分(0)()'().()F F x F x F x 知是的极小值和单调故只有一个驻点，(0)F 从而是()F x 的最小值.因此()(0)0,()F x F f x x ≥=≥即. ……8分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设1()1x f x x-=+，则()()n f x =1(1)2!(1)n n n x +-⋅⋅+. (2) 设()yz xyf x=，()f u 可导，则zz y z x y x 2='+'.(3) 设x x f +=1)(ln '，则()f x =x x e c ++. (4) A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543022001，A*是A 的伴随矩阵，则( A* )1-=1/10001/51/503/101/51/2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中参数μ和2σ未知，记X =∑=ni i X n 11，∑=-=ni i X X Q 122)(，则假设0:0=μH 的t 检验应使用统计量t =(1)Xn n Q-.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设()f x 为可导函数，且满足条件 12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 (D) (A) 2 （B ）-1 （C ）12. (D) -2 (2) 下列广义积分发散的是 (A)(A)⎰-11.sin 1dx x (B)121dx x--⎰ (C)2x edx +∞-⎰(D)221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n ，I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足BA=0，则B=0(D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布，记U =X -Y,V =X +Y ，则随机变量U 与V 必然 (D)(A) 不独立(B) 独立 (C) 相关系数不为零(D) 相关系数为零(5) 设随机变量X 服从正态分布N （2,σμ）,则随着σ的增大，概率P{}σμ<-X (C )(A) 单调增大(B) 单调减小 (C) 保持不变(D) 增减不定三、(本题满分6分)设()f x =2202(1cos ),01,01cos ,0xx x x x t dt x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪>⎩⎰若若若，试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性. 解：(1) 由2002sin lim (1cos )lim 1,x x x x x x--→→-== ……1分 220001cos lim cos lim 11x x x x t dt x ++→→==⎰, ……2分 可知0lim ()1(0)x f x f →==，于是，函数()f x 在0x =处连续 ……3分(2) 分别求()f x 在0x =处的左右导数，2230012(1cos )2(1cos )(0)lim [1]lim x x x x x f x x x---→→---'=-= 20002sin 22cos 2sin lim lim lim 0363x x x x x x x x x ---→→→---====， ……4分222000cos 11(0)lim cos 1lim xx x x t dt x f t dt x x x+++→→-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭⎰⎰2200cos 12sin lim lim 022x x x x x x ++→→--===. ……5分 由于左、右导数都等于0,可见()f x 在0x =处可导.且'(0)0f =.……6分注：若只说明()f x 在0x =处可导，并说明可导一定连续，仍给满分.四、(本题满分6分)已知连续函数)(x f 满足条件320()()3xx t f x f dt e =+⎰,求)(x f .解：两端同时对x 求导数，得一阶线性微分方程2()3()2x f x f x e '-=……1分 解此方程,有()f x 233332(2)(2)2.x x x x x x xe e dx c e e dx c e ce e --=⋅+=+=-⎰⎰……4分 由于(0)1, 3.f c ==可得 ……5分 于是x x e e x f 2323)(-=.……6分五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--)展成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 解：2ln(12)ln(12)(1)ln(1)ln(12)x x x x x x --=-+=++-……1分231ln(1)(1),(-1,1];23nn x x x x x n++=-+-+-+ 其收敛区间为 ……3分 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nn x x x x x n+----=--+-+-+ ,11,).22其收敛区间为[-……5分 于是有,2111(2)ln(12)[(1)(1)]n n n n n x x x x n n ∞++=---=-+-∑ 11(1)211,[,).22n n n n x n +∞=--=-∑其收敛区间为……6分六、(本题满分5分) 计算{}22()min ,xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.解：2222yxy x x y I edy xedx e dx yedy +∞+∞-----∞-∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰……2分 22222211.22y x x e dy e dx e dx +∞+∞+∞----∞-∞-∞=--=-⎰⎰⎰ ……3分作换元,令,22t dtx dx ==，有22221222t t I e dt e dt ππ+∞+∞---∞-∞=-=⎰ ……4分 2,2ππ==-……5分2212t edt π+∞--∞=⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q P =,收益函数为R PQ =,其中P 为产品价格,Q 为需求量（产品的产量），()Q P 是单调减函数，如果当价格为0P 时，边际收益00|Q Q dRa dQ==>,收益对价格的边际效应0P P dRc dP==<,需求对价格的弹性为1p E b =>，求0P 和0Q .解：由收益R PQ =对Q 求导，有dR dP P QdQ dQ =+P =+dP P dQ Q ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()(1)pP P E -=-，于是001(1)Q Q dR P a dQ b =⎢=-=. 即0.1abP b =- ……3分又由收益R PQ =对Q 求导，有()(1)p dQdR dQ Q Q P Q Q Q E dP dP dPP=+=--=-，故00(1).P P p dR Q E c dP =⎢=-= ……5分 因此0.1cQ b=-……6分 八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间 [,]a a -(0a >) 上连续，()g x 为偶函数，且()f x 满足条件()()f x f x A +-= (A 为常数)(1) 证明:()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分⎰=22.sin ππdx arctge x x证：(1) 0()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰而()()()()()()aaax t f x g x dx f t g t dt f x g x dx -=----=-⎰⎰⎰.……2分()()()()()()aaa af xg x dx f x g x dx f x g x dx -=-+⎰⎰⎰于是[()()]()()a af x f xg x dx A g x dx =+-=⎰⎰.……3分(2) 取(),()sin ,2x f x arctge g x x a π===，则(),()f x g x 在[,]22ππ-上连续，且()g x 为偶函数. 由于(arctge +arctge )=0x x -'，故arctge +arctge =A x x -， ……4分令0x =，得21arctg A =，故.2A π=从而()().2f x f x π+-=……5分于是有222sin sin 2xxarctge dx xdx ππππ-=⎰⎰2200sin (cos )222xdx x πππππ==-⎢=⎰. ……6分九、(本题满分9分)已知向量组(I)123,,ααα；(II)1234,,,αααα；(III)1235,,,αααα.如果各向量组的秩分别 为R(I)= R(II)=3，R(III)=4. 证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证：因R(I)= R(II)=3，所以123,,ααα线性无关.而1234,,,αααα线性相关，故存在数123,,λλλ使2423131λλααααλ=++. （1）……3分设有数1234,,,k k k k ，使得123123454)(0k k k k ααααα+++=-，将（1）代入上式，化简得11421232433445)((0())k k k k k k k ααλλααλ--+++-=. 由R(III)=4，知1235,,,αααα线性无关.……6分所以11422433440000k k k k k k k λλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩，于是有12340k k k k ====.故12354,,,ααααα-线性无关，即其秩为4.……9分十、(本题满分10分)已知二次型=),,(321x x x f 323121232284434x x x x x x x x +-+-.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵.解：(1) f 的矩阵表达式为112312323022(,,)(,,)244243x f x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， ……2分(2) 二次型的矩阵为022244243-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A ， A 的特征方程为222||244(1)(36)0243λλλλλλ--=---=--=-+I A ，由此得A 的特征值为1231,6,6λλλ===-.对应的特征向量为1201α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2152α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3112α⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭； ……6分对应的单位特征向量为1505β=⎪ ⎪，2303030β=，3666β=. 由此可得正交矩阵1235306(,03065306P βββ==,).……8分对二次型f 作正交变换112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……9分则二次型f 可以化为如下标准型222123123(,,)66f x x x y y y =+-. ……10分十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器，以概率为0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试， 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n ( n ≥2 ) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两件不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两件不能出厂的概率θ.解：对于新生产的每台仪器，引进事件：A=｛仪器需进一步调试｝，B={仪器能出厂}， 则A ＝｛仪器能直接出厂｝，AB ＝｛仪器经调试后能出厂｝.由条件知,B A AB =+；()0.30,(|)0.80,P A P B A ==()()(|)0.300.800.24P AB P A P B A ==⨯=，()()()0.700.240.94P B P A P AB =+=+=，……3分设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为(,0.94)n 的二项分布，因此{}0.94n P X n α===，……4分 222{2}0.940.06n n P X n C β-==-=⋅⋅，……6分1{2}1{1}{}10.940.060.94n n P X n P X n P X n n θ-=≤-=-=--==-⋅⋅-.……8分十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,xy x y x y ϕ≤≤≤≤⎧=⎨⎩若其他 ,求X 和Y 的联合分布函数(,)F x y .解：(1) 对于00x y <<或，有(,){,}0F x y P X x Y y =≤≤=. ……1分 (2) 对于01,1x y ≤≤≤≤0，有220(,)4xyF x y uvdudv x y ==⎰⎰，……３分 (3) 对于1,1x y >>，有(,)1F x y =.……４分 (4) 对于1,1x y >≤≤0，有2(,){1,}F x y P X Y y y =≤≤=. ……６分 (5) 对于1,1y x >≤≤0，有2(,){,1}F x y P X x Y x =≤≤=.……８分故X 和Y 的联合分布函数22220,0001,1(,)1,11,111,1x y x y x y F x y x x y y x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩或000.数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设 ⎰∞-∞→=+a t axx dt te xx ,)1(lim 则常数a = 2 .(2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第一、(4) 题 】(5) 设X 是一个随机变量，其概率密度为1,10()1,010,x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩若若其他,则方差=X D 16. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第二、(2) 题 】(3) 设n 维行向量11(,0,0)22α= ,矩阵T A I αα=-,2TB I αα=+,其中I 为n 阶单位矩阵，则AB 等于 (C) (A) 0(B) I -(C) I(D) TI αα+(4) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n, I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) 非齐次线性方程组AX = b 一定有无穷多组解 (D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式. (5) 【 同数学四 第二、(5) 题 】三、(本题满分6分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分6分) 求不定积分⎰dx x 2)(arcsin .解：222(arcsin )(arcsin )1x dx x x dx x=--⎰……2分222(arcsin )(1)1x x x x=+--……3分 22(arcsin )212x x x x dx =+--⎰……5分 22(arcsin )212x x x x x c =+--+.……6分五、(本题满分7分)【 同数学四 第八题 分值不同 】 六、(本题满分6分)【 同数学四 第七题 】 七、(本题满分5分)设)(x f 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--.证：做辅助函数()()F x x f x =， ……1分 则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()'().F b F a F b aξ-=-……3分 由于()()()F x f x xf x ''=+. ……4分可见()()()'()bf b af a f f b aξξξ-=+-.……5分 八、(本题满分9分)求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域 Ｄ上的极值、最大值与最小值.解：由方程组222(,)2(4)0(,)(4)0xy f x y xy x y x y f x y x x y x y ⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩，得0,(06)(4,0),(2,1).x y =≤≤及点因点(4,0)及线段0x =在D 的边界上，故只有点(2,1)是可能的极值点. 由于222862,834,2xx xy yy f y xy y f x x xy f x ''''''=--=--=-……3分故在点(2,1)处，有22186260x xx y A f y xy y ==''==--⎢=-<，2218344,x xy y B f x x xy ==''==--⎢=-22128x yy y C f x ==''==-⎢=-，21648320B AC -=-=-<.因而点(2,1)是极大值点，其极大值为 (2,1)4f =.……5分显然在边界0(06)x y =≤≤和0(06)y x =≤≤上，有(,)0f x y =；而在边界6x y +=上，6y x =-，代入(,)f x y 中有，32212(06)Z x x x =-≤≤.……6分由2'6240Z x x =-=，得0,4x x ==，又44Z''1224240x x x ==⎢=-⎢=>，所以点(4,2)是边界6x y +=上的极小值点，极小值为(4,2)64f =-. ……8分 经比较得，最大值为(2,1)4f =，最小值为(4,2)64.f =-……9分九、(本题满分8分)对于线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，讨论λ取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解？在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：113112112A λλλλ⎛-⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭112011000(2)(1)3(1)λλλλλλ⎛-⎫⎪→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭……2分（1）当21λλ≠-≠且时，()()3R A R A ==，从而方程组有唯一解. ……3分 （2）当2λ=-时，()2,()3R A R A ==，由于()()R A R A ≠，方程组无解.……4分（3）当1λ=时，有A 111200000000⎛-⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭.此时()()13R A R A ==<，故此时方程组有无穷多组解.……5分又由此可得与原方程组同解的方程组为1232x x x =---. 令230x x ==，得特解0(2,0,0)T u =-.……6分而与原方程组的导出组同解的方程组为123x x x =--，由此可得导出组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)T T v v =-=-. 于是，原方程组的全部解为0112212211010001x u c v c v c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中12,c c 为任意常数.……8分十、(本题满分8分)设三阶矩阵A 满足),3,2,1(==i ia Aa i i 其中列向量1(1,2,2)T α=，2(2,2,1)T α=-，3(2,1,2)T α=--，试求矩阵A .解：由(1,2,3)i i A i i αα==，可得123123(,,)(,2,3)A αααααα=. ……2分记123123(,,),(,2,3)P B αααααα==.上式可写为AP B =.因123122|||,,|221270212P ααα-==--=-≠……3分所以矩阵P 可逆，由此可得1A BP -=.……4分而112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.……7分 所以1461227/302/3124322105/32/392262122/32/32A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……8分 注：由i α是A 的对应于特征值i 的特征向量(1,2,3)i =，得到123,,ααα线性无关，说明矩阵P 可逆，可得3分.十一、(本题满分8分)【 同数学四 第十一题 】 十二、(本题满分7分)假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Xe Y 21--=在区间(0,1)上服从均匀分布.证：X 的分布函数21,0()00x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，21x y e -=-是单调增函数，其反函数ln(1)2y x -=-. ……2分设()G y Y 是的分布函数，则2(){}{1}xG y P Y y P e y -=≤=-≤0,0ln(1){},121,1y y P X y y ≤⎧⎪-⎪=≤-<<⎨⎪≥⎪⎩若若0若， ……5分0,0,11,1y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩若若0若. 于是，Y 服从(0,1)均匀分布.……7分。
飞行管理问题-数学建模
d ( xi x ) ( y y ) 2
0 0 2 j i j
0
0
不碰撞的条件(在区域内)
r
满足
2 ij
(t ) 64
t在区域内时间
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 ij
(t ) 64 0
即为碰撞时时间
令 c=d-64
条件为:
b 2 4ac 0 b b 4ac tij 2a
另外的非线性规 划模型
min Z s.t. ij ij ij ij i j 2
i i 30
0
0 0 30 0
通过条件简化最终化为线性规划模型
另类非线性规 划模型
min f ( i i 0 ) 2 s.t. 或 minD 2 ( i , j ) 64 t 0
非线性规划化为线性规划
确定ij 8 8 ij [ij arcs in , ij arcs in ] d ij d ij i j (i j ) 2 2 i j ij (i j ) 2 2 无方向（i j）
关于目标函数的讨论 第一种目标函数 第二种目标函数
sign i min i 1 且 i min
jJ 6
i min
jJ
第三种目标函数 第四种目标函数
1 i 6
max i min
i2 min
i 1
6
约束条件思考
约束条件
非线性规划化为线性规划图示
2
(i, j 1,2,...,6, i j), t 0 y ijSij x ijC ij C ij Sij
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
全国大学生数学建模竞赛历年赛题Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】1992A 施肥效果分析1992B 实验数据分解1993A 非线性交调的频率设计1993B 足球队排名次1994A 逢山开路1994B 锁具装箱1995A 一个飞行管理问题1995B 天车与冶炼炉的作业调度1996A 最优捕鱼策略1996B 节水洗衣机1997A 零件参数1997B 截断切割1998A 投资的收益和风险1998B 灾情巡视路线1999A 自动化车床管理1999B 钻井布局1999C 煤矸石堆积1999D 钻井布局2000A DNA序列分类2000B 钢管购运2000C 飞越北极2000D 空洞探测2001A 血管三维重建2001B 公交车调度2001C 基金使用2001D 公交车调度2002A 车灯线光源2002B 彩票中数学2002C 车灯线光源2002D 赛程安排2003A SARS的传播2003B 露天矿生产2003C SARS的传播2003D 抢渡长江2004A 奥运会临时超市网点设计2004A 赛题使用数据2004B 电力市场的输电阻塞管理2004C 饮酒驾车2004D 公务员招聘2005A 长江水质的评价和预测2005B DVD在线租赁2005C 雨量预报方法的评价2005D DVD在线租赁2005D 数据2006A 出版社的资源配置2006A 数据2006B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测2006B 数据2006C 易拉罐形状和尺寸的最优设计2006D 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制2006D 数据2007A 中国人口增长预测2007A 数据2007B 乘公交，看奥运2007B 数据2007C 手机“套餐”优惠几何2007C 数据2007D 体能测试时间安排2008A 数码相机定位2008B 高等教育学费标准探讨2008C 地面搜索2008D NBA赛程的分析与评价2008D 数据2009A 制动器试验台的控制方法分析2009A 数据2009B 眼科病床的合理安排2009C 卫星和飞船的跟踪测控2009D 会议筹备2010A 储油罐的变位识别与罐容表标定2010B 2010年上海世博会影响力的定量评估2010C 输油管的布置2010D 对学生宿舍设计方案的评价。
1995考研数学真题+答案
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 0lim >-x xx sin 2)31(+ =6e .(2) dx d dt xt x ⎰022cos = 2224cos 2cos xt dt x x -⎰.(3) 设 2)(=⋅⨯c b a , 则 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+ = 4 .(4) 幂级数121)3(2-∞=∑-+n n nnx n 的收敛半径R =3.(5) 设三阶方阵A B 、 满足关系式16A BA A BA -=+，且A =1/30001/40001/7⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则=B 300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 有直线L ：⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 及平面π：0224=-+-z y x ，则直线L (C)(A) 平行于π. (B) 在π上 (C) 垂直于π. (D) 与π斜交(2) 设在]10[，上0)(>''x f ，则)0(f '、)1(f '、)0()1(f f -和)1()0(f f -的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. (B) )0()0()1()1(f f f f '>->'. (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. (D) )0()1()0()1(f f f f '>->'.(3) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设)11ln()1(nu n n +-=，则级数 (C)(A) ∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都收敛. (B)∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散(C)∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散. (D)∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛.(5) 设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001010，P 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001，则必有 (C)(A) A P 1P 2 = B (B) A P 2P 1 = B (C) P 1P 2A = B (D) P 2P 1A = B. 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 设(,,)u f x y z =,2(,,)0,sin y x e z y x ϕ==,其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数，且z∂∂ϕ≠0，求dxdu . 解：,du f z dy f dz dx x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂……2分 1231cos ,(2cos )y dy dz x x e x dx dx ϕϕϕ''==-+⋅', ……4分 故sin 1231cos (2cos )x du f z f x x e x dx x y z ϕϕϕ∂∂∂''=+-+⋅∂∂∂'. ……5分(2) 设()f x 在区间[]1,0上连续，并设10()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.解：更换积分次序，可得1111()()()()()()yxxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,……2分于是111112()()()()()()x xxdxf x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1120()()dx f x f y dy A ==⎰⎰……4分 所以1121()()2xdx f x f y dy A =⎰⎰. ……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+222x y x +≤内的部分.解：∑在xoy 平面上的投影区域为22D 2x y x +≤：，221()()2z z dS d d x yσσ∂∂=++=∂∂. 于是222zdS x y d σ∑=+⎰⎰⎰⎰……3分 2cos 22022d r dr πθπθ-=⎰32016322cos 239d πθθ==……6分(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展成周期为4的余弦级数.解：2002(1)0,2a x dx =-=⎰ ……1分222000222(1)cos (1)sin sin2222n n x n x n xa x dx x d dx n n πππππ=-=-=-⎰⎰⎰224[(1)1]n n π=-- ……4分2202(1,2,)821(21)n k k n k k π=⎧⎪==⎨-=-⎪-⎩ .22181(21)()cos ,[0,2](21)2k k xf x x k ππ∞=-=-∈-∑. ……6分注：展开式也可写作2214(1)1()cos ,[0,2]2n n n xf x x n ππ∞=--=∈∑.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xoy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A.已知MA = OA ，且L 过点)23,23(，求L 的方程.解：设点M 的坐标为(,)x y ，则切线MA 的方程为()Y y y X x '-=-.令0X =，则'Y y xy =-，故点A 的坐标为(0,')y xy -.……2分 由MA OA =，有22'(0)(')y xy x y y xy -=-+-+即212'yy y x x-=-. ……4分令2z y =，得dz zx dx x -=-. 解得11()()dxdx x x z e xe dx c x x c -⎰⎰=-+=-+⎰，即22y x cx =-+……6分由于所求曲线在第一象限内,故2.y cx x =-再以条件33()22y =代入得3c =，于是L 的方程为23.(03)y x x x -<<……7分注：不写(03)x <<不扣分.六、(本题满分8分)设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分⎰+Ldy y x Q xydx ),(2与路径无关，并且对任意t 恒有()()()()dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰⎰+=+,10,01,0,0),(2),(2，求),(y x Q .解：由曲线积分与路径无关的条件知(2)2Q xy x x y∂∂==∂∂. ……2分于是，2Q(,)()x y x c y =+，其中()c y 为待定函数. ……3分又(,1)1122(0,0)002(,)[()](),t xydx Q x y dy t c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰(1,)2(0,0)2(,)[1()]()t ttxydx Q x y dy c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰.……6分故由题设知12()()tt c y dy t c y dy +=+⎰⎰.两边对t 求导得21(),()21t c t c t t =+=-从而()21c y y =-，所以2(,)21Q x y x y =+-.……8分七、(本题满分8分)假设函数)(x f 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数，并且()0g x ''≠，()()()()0f a f b g a g b ====，试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()f fg g ξξξξ''=''. 证：(1) 用反证法. 若存在点(,)c a b ∈，使()0g c =，则对()g x [,]a c 和[,]c b 上分别 应用罗尔定理，知存在1(,)a c ξ∈和2(,)c b ξ∈，使12()()0g g ξξ''==. ……2分再对'()g x 在12[,]ξξ在上应用罗尔定理，知存在3123(,),''()0g ξξξξ∈=使， 这与题设''()0g x ≠矛盾，故在(,)a b 内()0g x ≠.……4分 (2) 令()()'()'()()x f x g x f x g x ϕ=-，……6分易见()()0a b ϕϕ==，对()x ϕ在[,]a b 上应用罗尔定理，知存在(,)a b ξ∈，使'()0ϕξ=. 即()''()-''()()0f g f g ξξξξ=.因()0,''()0g g ξξ≠≠，故得()()()()f fg g ξξξξ''=''. ……8分八、(本题满分7分)设三阶实对称阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A .解：对应于231λλ==有两个线性无关的特征向量23,ξξ，它们都与1ξ正交， 故可取23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-，.……3分令0101/2021/202P ⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝，……5分则1T PP -=，于是1010100021/210020201010000100101020201/22A PAP -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ---⎝⎭⎝⎭⎝⎝.……7分 九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵，满足AA I '=（I 是n 阶单位阵，A '是A 的转置矩阵），0A <，求I A +.解：因||||||||A I A AA A I A ''+=+=+……2分 |||()|||||A I A A I A '=+=+，……4分 所以(1||)||0A I A -+=.由因1||0A ->，故||0I A +=.……6分十、(本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4 ，则2X 的数学期望 )(2X E ＝ 18.4 .(2) 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则{max (,)0}57P X Y ≥=/.十一、(本题满分6分)设X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x f xX ，求Xe Y =的概率密度)(yf Y .解：(){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤……1分 0,1{ln },1y P X y y <⎧=⎨<≥⎩，……3分故1y ≥时，ln 0(){ln }yx Y F y P X y e dx -=<=⎰，21()()Y Y f y F y y'==……5分因此20,1()1,1Y y f y y y <⎧⎪==⎨≥⎪⎩.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题】三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1)【 同数学一 第三、(1) 题 】(2) 求曲面222y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面方程.解：2200000(,,).{,2,1}.2x P x y z z y P x y =+-设切点为于是曲面在点的法矢量为因所给平面的法矢量为{2,2,1}-.故由条件知0021.221x y -==- 所以切点坐标为22000002,1,32x x y z y ===+=.……3分 于是所求切平面方程为2(2)2(1)(3)0,x y z -+---=即2230x y z +--=. ……5分(3) 计算二重积分 2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 是由双曲线122=-y x 及直线y = 0, y = 1所围成的平面区域. 解：22112201y yDx ydxdy dy ydx ++=⎰⎰⎰……2分1351222200222(1)(1)(421)31515y y dy y =+=+=⎰. ……5分四、(本题满分12分)【 同数学一 第四题 】 五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分8分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题共2小题，每小题7分，满分14分)(1) 设 1234234243211233x x x x x ax ax x x +++=⎧⎪+-=-⎨⎪+=⎩，问a 为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解.解：因1321113211011012221203300221a aa a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→--⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，……3分所以2a≠时，方程组有解，……4分其通解为1234710232221112aaxaxk axx a-⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭，其中k为任意常数. ……7分(2)【同数学一第八题】九、(本题满分6分)【同数学一第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设221cos()siny x x=，则y '=22221122sin()sinsin cos()x x x x x x --. (2) 微分方程x y y 2-=+''的通解为x c x c x y sin cos 221++-=.(3) 曲线 231x t y t ⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为370x y --=. (4) ∞→n lim (112++n n + 222++n n ++ nn n n ++2 ) =21.(5) 曲线22x y x e -=的渐近线方程为y =.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠，()x ϕ有间断点，则 （D ）(A) [()]f x ϕ必有间断点 （B ）2[()]x ϕ必有间断点 (C) [()]f x ϕ必有间断点 （D ）)()(x f x ϕ 必有间断点(2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 (C)(A) 2(1)(2).x x x dx ---⎰（B ）⎰⎰-----1021.)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x(C) 1201(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰； （D ）dx x x x )2)(1(2--⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导，且对任意12,x x ，当12x x >时，有12()()f x f x >，则 （D ）(A) 对任意x ，()0f x '>. (B) 对任意x ，()0f x '-<. (C) 函数()f x -单调增加. (D) 函数()f x --单调增加.(4) 设在[0,1]上()0f x '''>(0)=0f ''，则)1(f '、)0(f ' 、)0()1(f f - 和)1()0(f f - 的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. ( B ) )0()0()1()1(f f f f '>->' (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. ( D ) )0()1()0()1(f f f f '>->'. (5) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，若()F x 在0x =处可导，则必有 (A)(A)(0)0f =. (B).0)0('=f (C)(0)'(0)0.f f += (D)(0)'(0)0.f f -=三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分) (1) 求)cos 1()cos(1lim 0x x x x --+→.解：原式0lim (1cos )(1cos )x x x x +→=-+……1分2012lim 1(1cos 2x x x x x +→=⋅⋅+ ……4分12=. ……5分(2) 设函数()y y x =方程()f y yxee =确定，其中f 具有二阶导数，且,1'≠f 求22d ydx. 解：方程两边取对数，得ln ()x f y y +=. 对x 求导，得1'()''f y y y x+=从而1'(1'())y x f y =- ……2分故222231'()''()'(1'())''()''(1'())[1'()]f y xf y y f y f y y x f y x f y ----=-=---. ……5分(3) 设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ， 求⎰dx x )(ϕ解：因为222(1)1(1)ln (1)1x f x x -+-=--，所以1()ln1x f x x +=-. ……1分 又()1()11[()]lnln ,,()=()1()11x x x f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ+++===---从而. ……3分 于是21()2ln(1)(ln(1))1x x dx dx x x c x x c x ϕ+==-++=-++-⎰⎰或 ……5分(4) 设21,0()0,0xarctg x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试讨论'()f x 在0x =处的连续性. 解：因为201'(0)lim2x xarctg x f x π→==， ……2分 2240012lim '()lim()12x x x f x arctg x x π→→=-=+, ……4分所以'()f x 在0x =处是连续的. ……5分(5) 求摆线⎩⎨⎧-=-=tt y tx sin cos 1一拱（0π2≤≤t ）的弧长.解：sin ,1cos ,dx dy t t dt dt==- ……1分所以22sin (1cos )ds t t dt =+-2(1cos )2sin (02)2tt dt dt t π=-=≤≤. ……3分 从而202sin 82ts dt π==⎰.……5分(6) 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 00v v t ==.已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t 为多少时此质点的速度为3v ？并求到此时刻该质点所经过的路程. 解：设质点的运动速度为()v t .由题设,有00()()0t v t v t v v ='+=⎧⎨⎢=⎩. ……2分解此方程,得0()t v t v e -=. ……3分 由03t v v e -=，解得ln 3t = ……4分到此时刻该质点所经过的路程ln300023t s v e dt v -==⎰.……5分四、(本题满分8分) 求函数()f x =⎰--2)2(x t dt e t 的最大值和最小值.解：因为(),()).f x f x ∞是偶函数故只需求在[0,+内的最大值与最小值 ……2分令22'()2(2)0x f x x x e -=-=，故在区间(0,)+∞内有唯一驻点2x =而当02x <<'()0f x >；当2x >'()0f x <，所以2x =.……4分最大值为22200(2)(2)(2)t t tf t e dt t e e dt ---=-=--⎢-⎰⎰21e -=+. ……6分又因为000(2)(2)211t t t t e dt t e e +∞--+∞-+∞-=--⎢+⎢=-=⎰，(0)0f =，故(0)0f =是最小值.……8分五、(本题满分8分)设xy e =是微分方程x y x p xy =+)('的一个解，求此微分方程满足条件ln 20x y =⎢=的特解.解：以x y e =代入原方程，得()x xxe p x e x +=，解出().x p x xe x -=-……2分代入原方程，得'().x xy xe x y x -+-= 解其对应的齐次方程'(1)0x y e y -+-=，有(1),ln ln x x dye dx y c e x y--=-+-=+，得齐次方程的通解x x e y ce -+=. ……5分 所以原方程的通解为xx x e y e ce -+=+. ……6分于是由ln20x y =⎢=，得12220e c +=，即12c e-=-，故所求特解为12x x e xy e e-+-=-. ……8分六、(本题满分8分)如图，设曲线L 的方程为()y f x =，且.0''>f 又MT 、MP 分别为该曲线在点M （x 0,y 0）处的切线和法线.已知线段MP 的长度为232))(1(y y '''+，（其中，)(''''),(0000x y y x y y ='='），试推导出点),(ηξP 的坐标表达式. 解：由题设得232200020(1)()()y x y y ξη'+-+-='' (1)又PM MT ⊥，所以000'x y y ξη-=-- (2) ……4分2220020(1)(1),(2) ()y y y η'+-=''由解得.200001''0,L 0,y y y y y ηη'+>-<-=-''由于曲线是凹的,故从而. ……6分又2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=''，于是得200002000(1)(1)y y x y y y y ξη⎧''+=-⎪''⎪⎨'+⎪=+⎪''⎩.……8分七、(本题满分8分) 设0sin ()x tf x dt tπ=-⎰，计算⎰π0)(dx x f .解：00()()'()f x dx xf x xf x dx πππ=⎢-⎰⎰……3分 00sin sin x xdx x dx x x πππππ=---⎰⎰……6分 00sin sin 2x xdx xdx x ππππ-===-⎰⎰. ……8分八、(本题满分8分) 设1)(lim=→xx f x ，且0)(''>x f , 证明()f x x ≥. 证：因为()f x 连续且具有一阶导数，所以由0()lim 1x f x x→=，知(0)0f =. 从而有00()(0)()'(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→-===-.……3分令()()F x f x x =-，则(0)0F =. 由于'()'()1F x f x =-，所以(0)0F '=.又由()()0F x f x ''''=>……5分(0)()'().()F F x F x F x 知是的极小值和单调故只有一个驻点，(0)F 从而是()F x 的最小值.因此()(0)0,()F x F f x x ≥=≥即. ……8分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设1()1x f x x-=+，则()()n f x =1(1)2!(1)n n n x +-⋅⋅+. (2) 设()yz xyf x=，()f u 可导，则zz y z x y x 2='+'.(3) 设x x f +=1)(ln '，则()f x =x x e c ++. (4) A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543022001，A*是A 的伴随矩阵，则( A* )1-=1/10001/51/503/101/51/2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中参数μ和2σ未知，记X =∑=ni i X n 11，∑=-=ni i X X Q 122)(，则假设0:0=μH 的t 检验应使用统计量t =(1)Xn n Q-.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设()f x 为可导函数，且满足条件 12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 (D) (A) 2 （B ）-1 （C ）12. (D) -2 (2) 下列广义积分发散的是 (A)(A)⎰-11.sin 1dx x (B)121dx x--⎰ (C)2x edx +∞-⎰(D)221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n ，I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足BA=0，则B=0(D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布，记U =X -Y,V =X +Y ，则随机变量U 与V 必然 (D)(A) 不独立(B) 独立 (C) 相关系数不为零(D) 相关系数为零(5) 设随机变量X 服从正态分布N （2,σμ）,则随着σ的增大，概率P{}σμ<-X (C )(A) 单调增大(B) 单调减小 (C) 保持不变(D) 增减不定三、(本题满分6分)设()f x =2202(1cos ),01,01cos ,0xx x x x t dt x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪>⎩⎰若若若，试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性. 解：(1) 由2002sin lim (1cos )lim 1,x x x x x x--→→-== ……1分 220001cos lim cos lim 11x x x x t dt x ++→→==⎰, ……2分 可知0lim ()1(0)x f x f →==，于是，函数()f x 在0x =处连续 ……3分(2) 分别求()f x 在0x =处的左右导数，2230012(1cos )2(1cos )(0)lim [1]lim x x x x x f x x x---→→---'=-= 20002sin 22cos 2sin lim lim lim 0363x x x x x x x x x ---→→→---====， ……4分222000cos 11(0)lim cos 1lim xx x x t dt x f t dt x x x+++→→-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭⎰⎰2200cos 12sin lim lim 022x x x x x x ++→→--===. ……5分 由于左、右导数都等于0,可见()f x 在0x =处可导.且'(0)0f =.……6分注：若只说明()f x 在0x =处可导，并说明可导一定连续，仍给满分.四、(本题满分6分)已知连续函数)(x f 满足条件320()()3xx t f x f dt e =+⎰,求)(x f .解：两端同时对x 求导数，得一阶线性微分方程2()3()2x f x f x e '-=……1分 解此方程,有()f x 233332(2)(2)2.x x x x x x xe e dx c e e dx c e ce e --=⋅+=+=-⎰⎰……4分 由于(0)1, 3.f c ==可得 ……5分 于是x x e e x f 2323)(-=.……6分五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--)展成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 解：2ln(12)ln(12)(1)ln(1)ln(12)x x x x x x --=-+=++-……1分231ln(1)(1),(-1,1];23nn x x x x x n++=-+-+-+ 其收敛区间为 ……3分 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nn x x x x x n+----=--+-+-+ ,11,).22其收敛区间为[-……5分 于是有,2111(2)ln(12)[(1)(1)]n n n n n x x x x n n ∞++=---=-+-∑ 11(1)211,[,).22n n n n x n +∞=--=-∑其收敛区间为……6分六、(本题满分5分) 计算{}22()min ,xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.解：2222yxy x x y I edy xedx e dx yedy +∞+∞-----∞-∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰……2分 22222211.22y x x e dy e dx e dx +∞+∞+∞----∞-∞-∞=--=-⎰⎰⎰ ……3分作换元,令,22t dtx dx ==，有22221222t t I e dt e dt ππ+∞+∞---∞-∞=-=⎰ ……4分 2,2ππ==-……5分2212t edt π+∞--∞=⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q P =,收益函数为R PQ =,其中P 为产品价格,Q 为需求量（产品的产量），()Q P 是单调减函数，如果当价格为0P 时，边际收益00|Q Q dRa dQ==>,收益对价格的边际效应0P P dRc dP==<,需求对价格的弹性为1p E b =>，求0P 和0Q .解：由收益R PQ =对Q 求导，有dR dP P QdQ dQ =+P =+dP P dQ Q ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()(1)pP P E -=-，于是001(1)Q Q dR P a dQ b =⎢=-=. 即0.1abP b =- ……3分又由收益R PQ =对Q 求导，有()(1)p dQdR dQ Q Q P Q Q Q E dP dP dPP=+=--=-，故00(1).P P p dR Q E c dP =⎢=-= ……5分 因此0.1cQ b=-……6分 八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间 [,]a a -(0a >) 上连续，()g x 为偶函数，且()f x 满足条件()()f x f x A +-= (A 为常数)(1) 证明:()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分⎰=22.sin ππdx arctge x x证：(1) 0()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰而()()()()()()aaax t f x g x dx f t g t dt f x g x dx -=----=-⎰⎰⎰.……2分()()()()()()aaa af xg x dx f x g x dx f x g x dx -=-+⎰⎰⎰于是[()()]()()a af x f xg x dx A g x dx =+-=⎰⎰.……3分(2) 取(),()sin ,2x f x arctge g x x a π===，则(),()f x g x 在[,]22ππ-上连续，且()g x 为偶函数. 由于(arctge +arctge )=0x x -'，故arctge +arctge =A x x -， ……4分令0x =，得21arctg A =，故.2A π=从而()().2f x f x π+-=……5分于是有222sin sin 2xxarctge dx xdx ππππ-=⎰⎰2200sin (cos )222xdx x πππππ==-⎢=⎰. ……6分九、(本题满分9分)已知向量组(I)123,,ααα；(II)1234,,,αααα；(III)1235,,,αααα.如果各向量组的秩分别 为R(I)= R(II)=3，R(III)=4. 证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证：因R(I)= R(II)=3，所以123,,ααα线性无关.而1234,,,αααα线性相关，故存在数123,,λλλ使2423131λλααααλ=++. （1）……3分设有数1234,,,k k k k ，使得123123454)(0k k k k ααααα+++=-，将（1）代入上式，化简得11421232433445)((0())k k k k k k k ααλλααλ--+++-=. 由R(III)=4，知1235,,,αααα线性无关.……6分所以11422433440000k k k k k k k λλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩，于是有12340k k k k ====.故12354,,,ααααα-线性无关，即其秩为4.……9分十、(本题满分10分)已知二次型=),,(321x x x f 323121232284434x x x x x x x x +-+-.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵.解：(1) f 的矩阵表达式为112312323022(,,)(,,)244243x f x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， ……2分(2) 二次型的矩阵为022244243-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A ， A 的特征方程为222||244(1)(36)0243λλλλλλ--=---=--=-+I A ，由此得A 的特征值为1231,6,6λλλ===-.对应的特征向量为1201α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2152α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3112α⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭； ……6分对应的单位特征向量为1505β=⎪ ⎪，2303030β=，3666β=. 由此可得正交矩阵1235306(,03065306P βββ==,).……8分对二次型f 作正交变换112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……9分则二次型f 可以化为如下标准型222123123(,,)66f x x x y y y =+-. ……10分十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器，以概率为0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试， 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n ( n ≥2 ) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两件不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两件不能出厂的概率θ.解：对于新生产的每台仪器，引进事件：A=｛仪器需进一步调试｝，B={仪器能出厂}， 则A ＝｛仪器能直接出厂｝，AB ＝｛仪器经调试后能出厂｝.由条件知,B A AB =+；()0.30,(|)0.80,P A P B A ==()()(|)0.300.800.24P AB P A P B A ==⨯=，()()()0.700.240.94P B P A P AB =+=+=，……3分设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为(,0.94)n 的二项分布，因此{}0.94n P X n α===，……4分 222{2}0.940.06n n P X n C β-==-=⋅⋅，……6分1{2}1{1}{}10.940.060.94n n P X n P X n P X n n θ-=≤-=-=--==-⋅⋅-.……8分十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,xy x y x y ϕ≤≤≤≤⎧=⎨⎩若其他 ,求X 和Y 的联合分布函数(,)F x y .解：(1) 对于00x y <<或，有(,){,}0F x y P X x Y y =≤≤=. ……1分 (2) 对于01,1x y ≤≤≤≤0，有220(,)4xyF x y uvdudv x y ==⎰⎰，……３分 (3) 对于1,1x y >>，有(,)1F x y =.……４分 (4) 对于1,1x y >≤≤0，有2(,){1,}F x y P X Y y y =≤≤=. ……６分 (5) 对于1,1y x >≤≤0，有2(,){,1}F x y P X x Y x =≤≤=.……８分故X 和Y 的联合分布函数22220,0001,1(,)1,11,111,1x y x y x y F x y x x y y x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩或000.数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设 ⎰∞-∞→=+a t axx dt te xx ,)1(lim 则常数a = 2 .(2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第一、(4) 题 】(5) 设X 是一个随机变量，其概率密度为1,10()1,010,x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩若若其他,则方差=X D 16. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第二、(2) 题 】(3) 设n 维行向量11(,0,0)22α= ,矩阵T A I αα=-,2TB I αα=+,其中I 为n 阶单位矩阵，则AB 等于 (C) (A) 0(B) I -(C) I(D) TI αα+(4) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n, I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) 非齐次线性方程组AX = b 一定有无穷多组解 (D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式. (5) 【 同数学四 第二、(5) 题 】三、(本题满分6分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分6分) 求不定积分⎰dx x 2)(arcsin .解：222(arcsin )(arcsin )1x dx x x dx x=--⎰……2分222(arcsin )(1)1x x x x=+--……3分 22(arcsin )212x x x x dx =+--⎰……5分 22(arcsin )212x x x x x c =+--+.……6分五、(本题满分7分)【 同数学四 第八题 分值不同 】 六、(本题满分6分)【 同数学四 第七题 】 七、(本题满分5分)设)(x f 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--.证：做辅助函数()()F x x f x =， ……1分 则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()'().F b F a F b aξ-=-……3分 由于()()()F x f x xf x ''=+. ……4分可见()()()'()bf b af a f f b aξξξ-=+-.……5分 八、(本题满分9分)求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域 Ｄ上的极值、最大值与最小值.解：由方程组222(,)2(4)0(,)(4)0xy f x y xy x y x y f x y x x y x y ⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩，得0,(06)(4,0),(2,1).x y =≤≤及点因点(4,0)及线段0x =在D 的边界上，故只有点(2,1)是可能的极值点. 由于222862,834,2xx xy yy f y xy y f x x xy f x ''''''=--=--=-……3分故在点(2,1)处，有22186260x xx y A f y xy y ==''==--⎢=-<，2218344,x xy y B f x x xy ==''==--⎢=-22128x yy y C f x ==''==-⎢=-，21648320B AC -=-=-<.因而点(2,1)是极大值点，其极大值为 (2,1)4f =.……5分显然在边界0(06)x y =≤≤和0(06)y x =≤≤上，有(,)0f x y =；而在边界6x y +=上，6y x =-，代入(,)f x y 中有，32212(06)Z x x x =-≤≤.……6分由2'6240Z x x =-=，得0,4x x ==，又44Z''1224240x x x ==⎢=-⎢=>，所以点(4,2)是边界6x y +=上的极小值点，极小值为(4,2)64f =-. ……8分 经比较得，最大值为(2,1)4f =，最小值为(4,2)64.f =-……9分九、(本题满分8分)对于线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，讨论λ取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解？在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：113112112A λλλλ⎛-⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭112011000(2)(1)3(1)λλλλλλ⎛-⎫⎪→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭……2分（1）当21λλ≠-≠且时，()()3R A R A ==，从而方程组有唯一解. ……3分 （2）当2λ=-时，()2,()3R A R A ==，由于()()R A R A ≠，方程组无解.……4分（3）当1λ=时，有A 111200000000⎛-⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭.此时()()13R A R A ==<，故此时方程组有无穷多组解.……5分又由此可得与原方程组同解的方程组为1232x x x =---. 令230x x ==，得特解0(2,0,0)T u =-.……6分而与原方程组的导出组同解的方程组为123x x x =--，由此可得导出组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)T T v v =-=-. 于是，原方程组的全部解为0112212211010001x u c v c v c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中12,c c 为任意常数.……8分十、(本题满分8分)设三阶矩阵A 满足),3,2,1(==i ia Aa i i 其中列向量1(1,2,2)T α=，2(2,2,1)T α=-，3(2,1,2)T α=--，试求矩阵A .解：由(1,2,3)i i A i i αα==，可得123123(,,)(,2,3)A αααααα=. ……2分记123123(,,),(,2,3)P B αααααα==.上式可写为AP B =.因123122|||,,|221270212P ααα-==--=-≠……3分所以矩阵P 可逆，由此可得1A BP -=.……4分而112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.……7分 所以1461227/302/3124322105/32/392262122/32/32A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……8分 注：由i α是A 的对应于特征值i 的特征向量(1,2,3)i =，得到123,,ααα线性无关，说明矩阵P 可逆，可得3分.十一、(本题满分8分)【 同数学四 第十一题 】 十二、(本题满分7分)假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Xe Y 21--=在区间(0,1)上服从均匀分布.证：X 的分布函数21,0()00x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，21x y e -=-是单调增函数，其反函数ln(1)2y x -=-. ……2分设()G y Y 是的分布函数，则2(){}{1}xG y P Y y P e y -=≤=-≤0,0ln(1){},121,1y y P X y y ≤⎧⎪-⎪=≤-<<⎨⎪≥⎪⎩若若0若， ……5分0,0,11,1y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩若若0若. 于是，Y 服从(0,1)均匀分布.……7分。
1995 Mathematical Contest in Modeling
1995年美国大学生数学建模竞赛题目Problem A: Helix ConstructionA small biotechnological company must design, prove, program and test a mathematical algorithm to locate "in real time" all the intersections of a helix and a plane in general positions in space. Design, justify, program and test a method to compute all the intersections of a plane and a helix, both in general positions (at any locations and with any orientations) in space. A segment of the helix may represent, for example, a helicoidal suspension spring or a piece of tubing in a chemical or medical apparatus. Theoretical justification of the proposed algorithm is necessary to verify the solution from several points of view, for instance, through mathematical proofs of parts of the algorithm, and through tests of the final program with known examples. Such documentation and tests will be required by government agencies for medical use.Problem B: Faculty CompensationAluacha Balaclava College, and undergraduate facility, has just hired a new Provost whose first priorityis the institution of a fair and reasonable faculty-compensation plan. She has hired your consulting team to design a compensation system that reflects the following circumstances and principles: [Three paragraphs of details omitted] Design a new pay system, first withoutcost-of-living increases. Incorporate cost-of-living increases, and then finally, design a transistion process for current faculty that will move all salaries towards your system without reducing anyone's salary. The Provost requires a detailed compensation system plan for implementation, as well as a brief, clear, executive summary outlining the model, its assumptions, strengths, weaknesses and expected results, which she can present to the Board and faculty. [A detailed table of current salaries is omitted.]。
1995年全国初中数学竞赛试题及答案.doc
1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。
选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。
先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
1995年全国高考数学试题及答案解析
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知I 为全集,集合M, I N ⊂,若M ∩N=N,则 A.N M ⊇ B. N M ⊆ C. N M ⊆ D. N M ⊇ [Key] C 2.函数1x 1y +-=的图象是[Key] B3.函数)4x 3cos(3)4x 3sin(4y π++π+=的最小正周期是 3.D 32.C 2.B 6.A ππππ[Key] C4.正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是2222a 3.D a 2.C 2a .B 3a .A ππππ[Key] B5.若图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 [Key] D6.在(1-x 3)(1+x)10的展开式中,x 5的系数是 A.-297 B.-252 C.297 D.207 [Key] D7.使arcsinx>arccosx 成立的x 的取值范围是)0,1.[D )32,1.[C ]1,32.(B ]32,0.(A --[Key] B8.双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是x33y .D x 3y .C x 31y .B x 3y .A ±=±=±=±=[Key] C9.已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95,那第sin2θ等于 32.D 32.C 322.B 322.A --[Key] A10.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,有下面四个命题: ①m l //⊥⇒βα②m //l ⇒β⊥α③β⊥α⇒m //l ④βα⇒⊥//m l 其中正确的两个命题是A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③ [Key] D11.已知y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) [Key] B12.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ,若1n 3n 2T S n n +=，则n nn b a lim ∞→等于 94.D 32.C 36.B 1.A[Key] C13.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 A.24 B.30 C.40 D.60 [Key] A14.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是)cos e 1(e )e 1(c .D )cos e 1(e )e 1(c .C cos e 1)e 1(c .B cos e 1)e 1(c .A 22θ--=ρθ--=ρθ--=ρθ--=ρ[Key] D15.如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点D 1,F 1分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是1015.D 1530.C 21.B 1030.A[Key] A16.不等式x28x 3)31(2-->的解集是______________[Key] (2,4)17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为____________.[Key] 323718.函数xcos )6x sin(y π-=的最小值___________[Key]4319.直线l 过抛物线y 2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a= . [Key] 420.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____种(用数字作答).[Key] 14421.(本小题满分7分)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1,Z 2,Z 3,O (其中O 为原点),已知Z 2对应复数经z 2=1+i 3,求Z 1和Z 3对应的复数。
数学建模入门基本知识
数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
历年全国数学建模试题及解法
一、历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A 非线性交调的频率设计拟合、规划93B 足球队排名图论、层次分析、整数规划94A 逢山开路图论、插值、动态规划94B 锁具装箱问题图论、组合数学95A 飞行管理问题非线性规划、线性规划95B 天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A 最优捕鱼策略微分方程、优化96B 节水洗衣机非线性规划97A 零件的参数设计非线性规划97B 截断切割的最优排列随机模拟、图论98A 一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B 灾情巡视的最灾情巡视的最佳佳路线图论、组合优化99A 自动化车动化车床床管理随机优化、计随机优化、计算算机模拟99B 钻井布局0-1规划、图论00A DNA 序列分类模式识别式识别、、Fisher 判别判别、、人工神经网络00B 钢管订购和运输组合优化、组合优化、运输运输运输问题问题01A 血管三维重建曲线拟合、线拟合、曲面重建曲面重建01B 工交车调度问题多目标规划02A 车灯线光源光源的优化的优化非线性规划02B 彩票彩票问题问题问题 单目标目标决决策 03A SARS 的传播传播 微分方程、微分方程、差差分方程分方程03B 露天矿生产矿生产的车的车的车辆安辆安辆安排排 整数规划、整数规划、运输运输运输问题问题问题 04A 奥运会临时超市网点奥运会临时超市网点设计设计设计 统计分析、数计分析、数据处据处据处理、优化理、优化理、优化 04B 电力市场电力市场的的输电阻塞输电阻塞管理管理管理 数据拟合、优化拟合、优化 05A 长江长江水水质的评价和预测评价和预测 预测评价预测评价、数、数、数据处据处据处理理 05B DVD 在线租赁租赁 随机规划、整数规划随机规划、整数规划二、赛题发展的特点1.对选手对选手的计的计的计算算机能力提出了更高能力提出了更高的的要求：要求：赛题的解赛题的解赛题的解决依赖决依赖决依赖计计算机，题目的数题目的数据较据较据较多多，手工，手工计计算不能完成，如03B ，某些，某些问题问题问题需要需要需要使用使用使用计计算机软件，01A 。
详解——1995年全国初中数学竞赛试题
1995年全国初中数学联赛参考答案及详解第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。
选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。
先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。
三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又有0≤4－4m＜1．4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2＝252＋602＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132＝392＋522＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE －S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC －S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B．二、填空题1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2， (95)个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有由②－①，得由③－②并将④代入，得还可由①得⑥÷⑤即得所求．3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数因而x＝1时，y有最小值1．4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下：与AB2＝AB2＋AC2②联立，可推出而式①、③表明，AB、AC是二次方程改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由第二试一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S ≥2T．在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD．今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）．其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法．证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD－45°＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心．证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．由这个证明可知，F是△DCB的外心．证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1=45°+∠1得∠1＝∠2．从而∠DCF＝∠GCF，得CF为∠DCE的平分线．证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故△CDE的外心I在直线DF上．现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线AB是一次函数y＝-x＋d①的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则x1＋y1＝CH＋IH＝CH＋HB＝CB＝d满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证．二、讲解：此题的原型题目是：于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点．这个题目的实质是解不等式求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由及1≤y＜x，知1＋2＋...＋(x－1)＜1995＜1＋2＋ (x)但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)．经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．有x2－x＋18≤10｜x｜．当x≥0时，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);当x＜0时，有x2＋9x＋18≤0，得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：(-6,6),(-3,3)．对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x＞9时，由对x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x<-6时，由知y>-x，再无满足y≤｜x｜的解．故一共有6个整点，图示略．解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程x2－11x＋18＝0①x2＋9x＋18＝0②可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．再找满足y＜｜x｜的整点，这时2＜x＜9或-6＜x＜-3，依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点．三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n－2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记B＝n－A≥2，有n＝A＋B．此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来．(1)当n为奇数时，有n＝2＋(n－2)，(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有。
数学建模美国赛1995AB.docx
AMCM-95问题・A单一螺旋线问题为向小型微主物工程公司提供帮助。
设计出“实时”求一条螺旋线与空间屮位于一般位置的平面(见图95A-1)所有交点的方法，证明方法的正确性并编程对算法进行数值检验。
图95A-1在计算机辅助几何设计(CAGD)中用类似程序可使工程人员观察到他们所设计物体的截面，例如，飞机引擎，汽车缓冲装置或者医疗器材等。
而且工程设计人员也许述能显示出诸如气流、压力、温度以及用颜色或水平线的编码。
进一步地，工程人员可以运过对整个物体的截面部分进行快速扫描以得到物体的三维视觉及其运动、受压和受热时的反应。
为达此目的，所用的计算机程序必须以尽可能快的速度和尽可能高的精度找出所需观察平面与所给物体每一部分的所有交点，一般所指的“问题求解”即为求此类点，但对特殊问题而言，特殊方法或许比通用方法更高效更准确。
特别地，通用的计算机辅助几何设计软件或许会由于速度太慢而不能完成实时计算，或者软件适用范围虽然广泛但并不适合公司所提出的医疗服务要求，基于上述考虑，公司捉岀下列问题。
问题设计、判断、编程并检验给定平面与螺旋线在空间小任意位置和方向上的交点。
例如，在化学或医疗器械屮，-•段螺旋线可表示为直立悬挂的弹簧或一小段纲管。
算法理论上的证明需要通过几种不同的角度來进行，例如，对算法进行数学上的证明并用已知例子的编程进行检验，另外，从事医疗服务的当事人进行检验和证实也是必要的。
AMCM95 题・B Aluacha Balaclava 学院Aluacha Balaclava学院聘用了一个新院长。
而任院长是由于教员工资问题而被迫辞职的，因此，新院长需要制定一个公平台理的工资系统方案，以树立其权威。
作为第一步，她聘请你们队作为顾问，设计一个能够反映以下背景及原则的工资系统。
背景教员共分四级：助教、讲师、副教授、教授。
博士毕业后任教的教员被聘为讲师。
在读的博士生被聘为助教，并且当毕业时门动升为讲师。
副教授通常须满七年后才能申报教授。
1995年全国高中数学联赛试题及解答
1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．设等差数列{a n }满足3a8=5a13且a1>0，S n为其前项之和，则S n中最大的是( )(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是( )(A)4 (B)5 (C)10 (D)203．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )(A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个4．已知方程|x－2n|=k(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )(A)k>0 (B)0<k≤(C)<k≤ (D)以上都不是5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是(A) log sin1cos1<log cos1sin1<log sin1tan1< log cos1tan1(B) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1(C) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1(D) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16．设O是正三棱锥P—ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式++(A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1．设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=2，且为实数，则|α|=．2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．3．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lg x]－2=0的实根个数是．4．直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是．5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．6．设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15xA，则A中元素的个数最多是．第二试一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p 的三个根均为正整数．三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。
1995年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版
用心 爱心 专心 7 1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1． 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( )(A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )(A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4． 已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是 5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是(A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1(B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1(C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1(D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ． 2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ．4． 直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ， y ≥x 3， x +y ≤100的整点个数是 ． 5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．6． 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是 ．。
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A题：一个飞行管理问题
在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。
现假定条件如下：
1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；
5）最多需考虑6架飞机；
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域内4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
记录数据为：
注：方向角指飞行方向与x轴方向的夹角。
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。