230.因式分解,提取公因式1

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因式分解之提取公因式法

第六讲因式分解之提取公因式法一、知识要点1、因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

（1）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。

如：()()22b a b a b a -=-+，从左边到右边的变形属于整式乘法； ()()b a b a b a -+=-22，从左边到右边的变形属于因式分解；（2）因式分解的方法：①提公因式法； ②运用公式法； ③十字相乘法； ④分组分解法2、提公因式法：（1）如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。

把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）公因式：多项式ab ＋ac ＋ad 的各项ab 、ac 、ad 都含有相同的因式a ，a 称为多项式各项的公因式。

公因式由两部份构成：系数：各项系数的最大公约数相同字母的指数：取最低次幂（3）用提公因式法时的注意点：① 公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。

如：4a 2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；② 当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。

如：-2m 3+8m 2-12m= -2．m(m 2-4m+6)； ③ 提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。

二、知识运用典型例题例1、下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，那些不是，为什么？（1） ()()ab b a b a 422+-=+ （2）()()ab b a b a 422-+=- （3）()()22b a a b -=+- （4）()()22b a b a +=--练习：下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（）2233.236A a b ab a b ⋅= 2.(1)(1)1B x x x +-=-()22.211C x x x ++=+ ()2.111D x x x x ++=++例2、若多项式2x mx n ++分解因式的结果是()()65x x -+，则m = ，n = 。

因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)

课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式）整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底．精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+．例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-．例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0．例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-）例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92）例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ；（2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---；（4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -；（8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -；（10）224()25()x y x y --+；解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -；（12）2233(27)4x x --；解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---；（14）222(4)16x x +-；解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++；（16）229312554a ab b -+；解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --；（18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+；（20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值．解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。

提取公因式法因式分解(原卷版)

提公因式的方法

提公因式的方法
提公因式是一种简化代数式的方法，其基本思想是将多个代数式中的公共因式提取出来，从而简化式子，减少计算量。

下面介绍几种常见的提公因式方法。

1. 提取单项式公因式
对于一个多项式，如果其中每一项都含有相同的单项式因子，那么就可以将这个单项式提取出来，得到一个新的表达式。

例如：将式子3x^2 + 6x^3提取公因式x^2，得到3x^2(1 + 2x)。

2. 提取多项式公因式
对于一个多项式，如果其中每一项都可以被一个相同的多项式整除，那么就可以将这个多项式提取出来，得到一个新的表达式。

例如：将式子6x^2y^2 + 12x^3y^2提取公因式6x^2y^2，得到6x^2y^2(1 + 2x)。

3. 将多项式转化为因式分解式
将一个多项式进行因式分解，可以将其表示为若干个单项式的乘积形式，其中每个单项式都是原多项式的因子之一。

例如：将式子x^2 + 5x + 6进行因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。

通过以上三种方法，我们可以将复杂的代数式化简为更简单的形式，提高计算效率。

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公因式的提取方法及常见题型

公因式的提取方法及常见题型因式分解概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++ƒ整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.例题：判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2+-=+-；⑷1(1)(1)x x x x+++=++xy x y x y（1）提取公因式：提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.1、ad bd d-+；2、233--+abc a b a b614123、324-+-4、61512a a a3222524-++261352xy z xy z x y z5、22224()x a x a x +-- 6、 346()12()m n n m -+-7、(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-8、2122()()()2()()n nnx y x z x y y x y z +----+--n 为正整数.（2）公式法：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++1、44a b - 2、22()()a b c d a b c d +++--+-3、481y - 4、22122xy -+5、44+-- 6、81a x a x()()64x-47、22x y x y()4+-92416x xy y-+= 8、222229、22+-+-+-；m n n m n m n m(5)2(5)(3)(3)10、在实数范围内分解因式：42514--a a11、26a-+12、66-a b13、()()()()2432L212121211+++++14、23221111(1)(1)(1)(1)23410----L（3）十字交叉法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解1、256x x ++ 2、256xx -+3、26x x -- 4、2672xx -+5、2121115x x -- 6、21220xx ++7、256-+x x x x-++ 8、261369、22-++ 10、2273320 xy y x2064--x x11、2212197x xy y-++- 12、22x y xy1442513、6336--14、4273019216x x y y+-x x15、2222+++++x a b c x a b c abcx a b c x abc()+++ 16、2()()（4）分组分解法将原式子进行分组，在利用提取公因式、公式和十字交叉法进行因式的分解。

因式分解(1)-提取公因式(1)(1)

《数学》( 苏科版.七年级下册 )
──提公因式法
揭标引学
1.了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解（指数是正整数）；
2.经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生的逆向思考问题的能力和推理能力.
情境引入
计算：375×2.8+375×5+375×2.2 解：原式=375×(2.8+5+2.2) =375×10 =3750
射阳县实验初中
例题讲解
例2：把下列各式分解因式 (1)12a2bc-6ab (2)-2m3+8m2-12m
♦当多项式的第一项的系数是“−”时，通常把“−”作为公因式的负号写在括号外，使括号内第一项的系数化为“+ ”． ♦提公因式法因式分解的关键就是找公因式．
射阳县实验初中
练一练：【自学检查】
射阳县实验初中
拓展延伸
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)2 （1）上述分解因式的方法是_提__取_公__因_式___法，共应用了__2___次；（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018，则需要应用上述方法_2_0_1_8_次，分解因式后的结果是 _____；（3）请用以上的方法分解因式： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n (n为正整数)，必须有简要的过程.

第10节-因式分解-提取公因式及公式法

因式分解——提公因式法、运用公式法【知识点】1.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式;2．分解因式的方法：①提公因式法 ②运用公式法。

①提取公因式法：多项式各项都含有公因式m ，可把公因式m提到外面，将多项式写成m 与的乘积形式，此法叫做提取公因式法。

提取公因式的步骤： 1）找出多项式各项的公因式 2）提出公因式 3）写成m 与的乘积形式找公因式的方法：1）公因式的系数是各项系数的最大公约数； 2）字母取各项中相同的字母； 3）相同字母的指数取次数最低的;②运用公式法：把整式相乘的乘法公式反过来，就得到因式分解的两个公式常用公式：平方差公式： a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）完全平方公示： a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 a 2－2ab+b 2=（a －b ）2立方差（和）公式： a 3－b 3=（a －b ）（a 2+ab+b 2） a 3+b 3=（a+b ）（a 2－ab+b 2）运用公式分解多项式时，特别要注意多项式的系数，当多项式只有两项时，考虑用平方差公式；当多项式有三项时，考虑用完全平方公式。

【典型例题】例1.下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1)例2.（1）3525x x + （2）253243143521x y x y x y +-例3.把下列各式分解因式：（1）a 2－4b 2；（2）442-+-x x（3）()()122++++b a b a （4）()()()()229262n m n m m n n m +++---例4. 把下列各式分解因式：（1）x x x ++232；（2）()222224y x y x -+【练习巩固】1.写出下列多项式中公因式（1）a 2b －5ab+9b 的公因式 . （2）x 2y(x －y)+2xy(y －x) 的公因式 .2．分解因式2x(b －a)+y(a －b)+z(b －a)= . 3.－4a 3b 2+6a 2b －2ab=－2ab( ).4.(－2a+b)(2a+3b)+6a(2a －b)=－(2a －b) ( ).5．因式分解9m 2－4n 4=( )2－( )2= 。

因式分解常用的六种方法详解

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

提取公因式和公式法

提取公因式和公式法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】一、知识点1、把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2、一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式；3、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面，将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法。

4、提取公因式的步骤：1）找出多项式各项的公因式2）提出公因式3）写成m 与a b c ++的乘积形式5、运用公式法：把整式相乘的乘法公式反过来，就得到因式分解的两个公式（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±（3）3223333()a a b ab b a b ±+±=±（4）3322()()a b a b a ab b +=+-+；（5）3322()()a b a b a ab b -=-++；（6）2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++.6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净（2）视“多”为“一”（3）切勿漏1（4）注意符号在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解；（6）仔细观察当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解.二、例题讲解（一）提取公因式法例1、下面从左到右的变形哪些是因式分解？（1）2363(2)x xy x x y -=-（2）22(5)(5)25x y x y x y -+=-（3）2222()()a b c a b a b c -+=+-+（4）221()xy x y x xy y x y++=++ 例2、指出下列各式中的公因式：（1）43224,-8,32a a b a b（2）233(),6(),9()a b a b a b ++-+（3）23,18m m a a -例3、把下列各式分解因式（提取公因式法）：（1）2368a a -（2）3222y 8x x y +（3）224a 62b ab ab --（4）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+（5）4()3()x x y x y +-+（6）234()3()x x y y x -+-（7）325(2)(2)3(2)(2)x y x y -----（8）131335()10()m m a b a b a b b a +----例4、分解因式：93()()168a x yb y x -+-. 例5、一个三位数字与各位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除.（二）公式法例1、把下列各式分解因式（公式法）：（1）22114100m n -（2）22(72)16a b a -- （3）44x y -+（4）22269x y xyz z -+（5）214a a ---（6）22()()abcd a b c d +++--+- （7）1144n n n x x x +--+（8）222224()x y x y -+（9）3241616m m m -+-（10）22(1)(1)4m n mn --+例2、已知乘法公式：（1）43223455()()a b a a b a b ab b a b +-+-+=+（2）43223455()()a b a a b a b ab b a b -++++=-利用或者不利用上述公式分解因式：86421x x x x ++++.三、家庭作业一、选择题1.若2a a k ++是一个完全平方式，则k 是………………………………（）A. C. D.2.下列各式中，正确的是………………………………………………（）A.22224(2)a ab b a b ++=+B.10110.10.110-+=C.a b a b c c-+-=- D.3322()()a b a b a ab b +=+++ 3.分解因式41x -的结果为……………………………………………（）A.()()2211x x -+B.22(1)(1)x x +-C.2(1)(1)(1)x x x -++D.3(1)(1)x x -+4.下列各式中是完全平方式的是………………………………………（）A.2441x x +-B.2144x x --C.2441x x -++D.2421x x -+5.下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是…………………（）A.22x y +B.222x xy y -+C.222x xy y +-D.22x xy y ++二、填空题1.分解因式_____________________ 2.分解因式_______________________ 3.分解因式___________________4.分解因式_____________________ 5.分解因式____________________ 6、分解因式_______________三、用公式法分解因式 .四、用恰当的方法分解因式1.2.五、解答题无论x 、y 为何值，4x2－12x ＋9y2＋30y ＋35的值恒为正。

公因式怎么找公因式分解法步骤及过程公因式的求法提公因式法

公因式：是只有多项式才有的，是指这个多项式中各项都具有的公共因式。

它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积。

公因式的求法：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有的字母；指数：相同字母的最低次幂。

提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“"提取。

（2）当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。

（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。

上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。

注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

提出“”号时，多项式的各项都要变号。

例：3x+6+x+y+xy+1=3（x+2）+（x+xy）+（y+1）=3(x+2)+x（1+y）+（y+1）=3(x+2)+（x+1）（y+1）可见提公因式法也是需要一定的技巧。

再看一道例题：（xy）2+yx=(yx)2+(yx) (技巧就在这一步)=(yx+1)(yx)注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

如：口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

提取公因式法的解题步骤：提取公因式法是因式分解的一种基本方法。

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式。

提取公因式是乘法分配律的逆运算，其最简形式为：ma+mb+mc=m(a+b+c)。

利用提公因式法分解因式时，一般分两步进行：（1）提公因式：把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号。

公因式的提取方法及常见题型

因式分解概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.例题：判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++（1）提取公因式：提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.1、ad bd d -+；2、23361412abc a b a b --+3、32461512a a a -+-4、3222524261352xy z xy z x y z -++5、22224()x a x a x +--6、 346()12()m n n m -+-7、(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-8、2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--n 为正整数.（2）公式法：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++1、44a b -2、22()()a b c d a b c d +++--+-3、481y -4、22122x y -+5、44()()a x a x +--6、81644x -7、2292416x xy y -+= 8、22222()4x y x y +-9、22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；10、在实数范围内分解因式：42514a a --11、26a -+12、66a b -13、()()()()2432212121211+++++14、23221111(1)(1)(1)(1)23410----（3）十字交叉法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解1、256x x ++2、256x x -+3、26x x --4、2672x x -+5、2121115x x --6、21220x x ++7、256x x -++ 8、26136x x -+9、222064xy y x -++ 10、2273320x x --11、2214425x y xy +- 12、2212197x xy y -+13、633619216x x y y -- 14、42730x x +-15、2222()abcx a b c x abc +++ 16、2()()x a b c x a b c +++++（4）分组分解法将原式子进行分组，在利用提取公因式、公式和十字交叉法进行因式的分解。

因式分解——提取公因式

4.2 提取公因式法教学目标：（一）、知识与技能：1、使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系。

2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。

（二）、过程与方法：1、由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。

2、由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。

（三）、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。

教学重点及难点教学重点：因式分解的概念及提公因式法．教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．教学过程：一、复习提问上节课我们已经学过了因式分解的概念，那么请同学来回顾一下什么是因式分解？因式分解的概念：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

在第三章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章我们就来学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法。

例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）(1)x2-x＝x(x-1) (√)(2)a(a-b)＝a2-ab (×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)下面我们学习一种因式分解的方法．二、类比联想、形成概念例1：如图，由一个边长为a的小正方形与一个长、宽分别为a、b的小长方形拼接成一个大长方形ABCD。

请用两种不同的方法表示长方形ABCD面积,写出一个等式。

公因式：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

知道了公因式的概念，接下来我们来看看在因式分解的过程中应该如何正确的提取公因式。

例2、多项式3ax2y+6x3yz有公因式吗？是什么？3ax2y=3*a*x*x*y 6x3yz=2*3*x*x*x*y*z应提取的公因式为3x2y3ax2y+6x3yz=3x2y(a+2xz)提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式！提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式。

数学提取公因式

数学提取公因式数学中的公因式是指能够同时整除多个数字的因子。

提取公因式是数学中的一种常见技巧，它可以帮助我们简化算式、求解方程等。

在本文中，我们将探讨数学中提取公因式的方法和应用。

一、什么是公因式在数学中，公因式是指同时整除多个数字的因子。

例如，对于数字12和18来说，它们的公因式有1、2、3和6。

这些数字都能同时整除12和18，因此它们是12和18的公因式。

二、如何提取公因式提取公因式是通过将多个数字中的公因式提取出来，从而简化算式或方程。

这样做可以使得计算更加简洁高效。

对于一个算式来说，我们可以通过以下步骤来提取公因式：1. 找出所有数字的因子。

对于给定的算式，我们需要找出所有数字的因子。

2. 找出所有数字的公因式。

在找出每个数字的因子后，我们可以找出它们的公因式。

3. 提取公因式。

将公因式提取出来，得到简化后的算式。

例如，对于算式4x + 8y，我们可以先找出4和8的因子，分别为1、2和4。

然后，我们可以找出它们的公因式为1和2。

最后，我们将公因式2提取出来，得到简化后的算式2(2x + 4y)。

三、提取公因式的应用提取公因式可以在解决各种数学问题中发挥重要作用。

以下是一些常见的应用场景：1. 简化算式。

通过提取公因式，我们可以将一个复杂的算式简化为一个更简洁的形式。

这有助于我们进行进一步的计算和分析。

2. 求解方程。

在解决方程时，提取公因式可以帮助我们化简方程，使得求解过程更加简单明了。

3. 分解因式。

在因式分解时，提取公因式是一个重要的步骤。

通过提取公因式，我们可以将一个复杂的多项式分解为多个简单的因式。

4. 求解最大公因数和最小公倍数。

在求解最大公因数和最小公倍数时，提取公因式可以帮助我们找到所有数字的公因子，从而更快地求解出结果。

通过上述应用场景的举例，我们可以看到提取公因式在数学中的重要性和实用性。

四、提取公因式的注意事项在提取公因式时，我们需要注意以下几点：1. 考虑符号。

在提取公因式时，我们需要注意数字和变量的符号。

提取公因式法因式分解(解析版)

提取公因式法因式分解【知识梳理】一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【考点剖析】一．因式分解的意义（共4小题）1．（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．x2+1＝x（x+）【分析】根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；C、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2是因式分解，故本选项符合题意；D、x2+1＝x（x+），右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．2．（2022秋•静安区校级期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣3a+1＝a（2a﹣3）+1B．C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．﹣4﹣x2y2+4xy＝﹣（2﹣xy）2【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．4．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；CD．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二．公因式（共7小题）5．（2022秋•青浦区校级期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是（）A．3a2b B．3a3b3C．a2b D．a3b3【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【解答】解：单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是3a2b．故选：A．【点评】此题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键．6．（2020秋•浦东新区期末）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+9【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【解答】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故选：C．【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．7．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．8．（2019秋•黄浦区校级期中）多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是．：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【解答】解：多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是2a（x﹣y），故答案为：2a（x﹣y）．【点评】本题主要考查了公因式，多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．9．（2018秋•嘉定区期末）写出多项式x2﹣y2与多项式x2+xy的一个公因式．【分析】先把两个多项式因式分解，再找出它们的公因式．【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y），所以两个多项式的公因式为：x+y．故答案为：x+y【点评】本题考查了因式分解的平方差公式和提取公因式法．掌握多项式因式分解的方法是解决本题的关键．10．（2019秋•浦东新区期末）8x3y2和12x4y的公因式是．【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x3y，∴公因式为4x3y．故答案为：4x3y．【点评】本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，11．（2019秋•松江区期中）多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是．【分析】根据公因式的定义：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数解答．【解答】解：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是（x﹣y）．故答案为：（x﹣y）．三．因式分解-提公因式法（共14小题）12．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．13．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．14．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．15．（2021秋•金山区期末）因式分解：6a2﹣8a3＝．【分析】直接找出公因式进而提取公因式得出答案．【解答】解：6a2﹣8a3＝2a2（3﹣4a）．故答案为：2a2（3﹣4a）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．16．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：2m2n﹣mn2＝．【分析】直接提取公因式mn进行因式分解即可．【解答】解：2m2n﹣mn2＝mn（2m﹣n）．故答案为：mn（2m﹣n）．【点评】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．18．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．20．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．21．（2022秋•浦东新区校级期中）因式分解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝．【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝（y﹣x）2﹣2（y﹣x）＝（y﹣x）（y﹣x﹣2），故答案为：（y﹣x）（y﹣x﹣2）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．22．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：15a2b﹣3ab＝．【分析】先确定公因式为3ab，然后提取公因式后整理即可．【解答】解：15a2b ﹣3ab ＝3ab （5a ﹣1）．故答案为：3ab （5a ﹣1）．【点评】本题考查提公因式法分解因式，较为简单，准确找出公因式是解题的关键．23．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：3x 2y ﹣12xy 2＝．【分析】得出多项式的公因式进而提取得出即可．【解答】解：3x2y ﹣12xy2＝3xy （x ﹣4y ）．故答案为：3xy （x ﹣4y ）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．24．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝．【分析】首先把式子变形为：a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）2．故答案为：（a ﹣b ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．25．（2022m （a ﹣c ）﹣5（a ﹣c ）．【分析】直接提取公因式a ﹣c 即可．【解答】解：原式＝（a ﹣c ）（2m ﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） A ．()2222x y x y xy +=−+ B ．()422211(1x x x x x x ++=++−+） C ．()230130x x x x −−=−−D ．()22121a a a −=−+【答案】B【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．2．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式()()222b x b x −+−正确的结果是（）A ．()()22x b b −+B ．()()21b x b −+C ．()()22x b b −−D ．()()21b x b −−【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：()()222b x b x −+− ()()222b x b x =−−− ()(2)1b x b =−−．故选：D 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式． 3．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，则a ，b ，c 的值分别为（）A ．1，1−，6B ．1，1，6−C ．1，1−，6−D ．1，1，6 【答案】C【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将()()32x x −+展开，分别对应2ax bx c ++即可得出答案．【详解】解：()()2632x x x x =−+−−，∵多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，∴1,1,6a b c ==−=−，故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得326,321,111c b a =−⨯=−=−+=−=⨯=进行求解．4．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（） A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++ 【答案】A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【详解】A ．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；B ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C ．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．5．（2020秋·七年级校考课时练习）把多项式-4a 3+4a 2-16a 分解因式( )A ．-a （4a 2-4a+16）B ．a （-4a 2+4a-16）C ．-4（a 3-a 2+4a ）D ．-4a （a 2-a+4）【答案】D【详解】把多项式-4a3+4a2-16a 运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a （a2-a+4）．故选D ．【答案】D【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值．【详解】解：因为2x y −=，12xy =，所以()24x y −=，22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）若5x y −=，6xy =则22x y xy −=________，2222x y +=________．【答案】 30 74【分析】第一个空先利用提公因式法因式分解，再代入计算即可；第二个空利用完全平方公式变形后，代入计算即可．【详解】解：22()6530x y xy xy x y −=−=⨯=；()222222()22251274x y x y xy ⎡⎤+=−+=⨯+=⎣⎦．故答案为：30，74．【点睛】本题考查代数式求值，掌握因式分解法和熟练利用完全平方公式是解题关键．8．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）分解因式：22615x z yz −+=__________．【答案】()2325z x yz −−【分析】提取公因式即可分解．【详解】解：()222615325x z yz z x yz −+=−−，故答案为：()2325z x yz −−．【点睛】本题是一道有关因式分解的题目，解题的关键是掌握提公因式法分解因式的步骤．9．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：223714ab a b −=______．【答案】()2712ab ab −【分析】直接提取公因式进行计算即可．【详解】解：原式()2712ab ab =−．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）因式分解：2()2()y x x y −+−=___________．【答案】()()2x y x y −−+【分析】直接利用提公因式法分解因式即可．【详解】()()2()2()2y x x y x y x y −+−=−−+．故答案为：()()2x y x y −−+．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【答案】234y x y −【分析】利用提公因式法分解因式求解即可．【详解】()23268234y x y xy y −=−．故答案为：()2234y x y −．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．12．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：25x y xy +=__________．【答案】()5xy x +【分析】根据提公因式法分解因式即可．【详解】解：()255x y xy xy x +=+．故答案为：()5xy x +．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．13．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：2412x y xy −=______．【答案】()43xy x −【分析】直接提取公因式4xy 进行分解因式即可．【详解】解：2412x y xy −()43xy x =−，故答案为：()43xy x −．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．14．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）因式分解：()()()2222a b b a a b −−−+=___________．【答案】()()23a b a b −−【分析】提公因式()2a b −，即可求解．【详解】解：()()()2222a b b a a b −−−+ ()()()2222a b a b a b −+−+=()()222a b a b a b =−−++ ()()23a b a b =−−．故答案为：()()23a b a b −−．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：15105a ab abc −−+=___________．【答案】()532a b bc −+−【分析】提出公因式5a −即可．【详解】解：()15105532a ab abc a b bc −−+=−+− 故答案为：()532a b bc −+−．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．16．（2023·上海·七年级假期作业）已知：()()2111x x x x x +++++=[](1)1(1)x x x x +⋅+++=()()()()31111x x x x ⎡⎤+⋅+⋅+=+⎣⎦，因式分解()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++，结果为_______________．【答案】()20231x + 【分析】将()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++提出一个()1x +，再将 ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤+++++++++⎣⎦提出一个()1x +，继续提出一个()1x +，以此类推，直到原式变为()()202211x x ++，再化简即可．【详解】解：()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++ ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()2220201111...1x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()3220191111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦…()()2021111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦ ()()202211x x =++()20231x =+故答案为：()20231x +【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）如果210x x ++=，那么23991x x x x ++++⋅⋅⋅+的值是______．【答案】1【分析】首先需要先将23991x x x x ++++⋅⋅⋅+变形为()()234561x x x x x x +++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++，经过提公因式得到()()242111x x x x x x ++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++ ，将210x x ++=整体代入即可．【详解】解：23991x x x x ++++⋅⋅⋅+()()234561x x x x x x =+++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++ ()()242111x x x x x x =++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++将210x x ++=代入，得到10001=+++⋅⋅⋅+=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式21x x ++是解题的关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：(5)(32)3(5)x x x −−−−=___________【答案】()()535x x −−/()()355x x −−【分析】提取公因式()5x −，同类项合并即可解得．【详解】(5)(32)3(5)x x x −−−−(5)(323)x x =---(5)(35)x x =--【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法．三、解答题【答案】()()25a c m −−【分析】根据提公因式法分解因式求解即可．【详解】解：2()5()m a c a c −−−()()25a c m =−−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()13(1)22n n n a a a a +−−−【答案】)(1n a a +【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：()13(1)22n n n a a a a +−−−112433n n n n a a a a ++=−−+1n n a a +=+)(1n a a =+．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数相乘，提公因式分解因式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()()42a x y b y x −−−．【答案】()()22x y a b −+【分析】将原式变为()()42a x y b x y −+−，再利用提公因式法分解因式即可．【详解】解：()()42a x y b y x −−− ()()42a x y b x y =−+− ()()22x y a b =−+．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意将题目中的y x −变为x y −时符号的变化，正确找到公因式是解答本题的关键．22．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）因式分解：()22a b a b −−+【答案】()()221a b a b −−−【分析】先把原式化为()()22a b a b −−−，再提取公因式分解因式即可．【详解】解：()22a b a b −−+ ()()22a b a b =−−−()()21a b a b =−−−⎡⎤⎣⎦()()221a b a b =−−−【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的确定以及提取公因式的方法”是解本题的关键．23．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解：()()()22x y x y x y +−−−【答案】()()3x y x y +−【分析】直接提取公因式()x y −进行分解因式即可．【详解】解：()()()22x y x y x y +−−−()()()2x y x y x y =+−−−⎡⎤⎣⎦()()22x y x y x y =+−+−()()3x y x y =+−．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 24．（2023·上海·七年级假期作业）把下列各式分解因式：(1)()()33113510m m a b a b a b b a +−−−−；(2)()()()223222122418ab x y a b y x ab y x −+−+−．【答案】(1)13225()(2)m a b a b a b −−+ (2)26()(2433)ab x y b ab x y −+−+【分析】（1）原式利用提公因式法解答；（2）原式利用提公因式法解答．【详解】（1）原式()()33113510m m a b a b a b a b +−=−+−13225()(2)m a b a b a b −=−+；（2）原式()()()223222122418ab x y a b x y ab x y =−+−−−26()[243()]ab x y b ab x y =−+−−26()(2433)ab x y b ab x y =−+−+．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【答案】3()(32)16x y a b −− 【分析】根据提公因式法因式分解直接求解即可得到答案【详解】解：()()93168a x y b y x −+−()()93168a x y b x y =−−− 3()(32)16x y a b =−−．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．26．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）因式分解：()()32232x a a a x −+−．【答案】()()222x a x a −+【分析】先提取公因式，然后化简即可．【详解】解：原式()()2223x a x a a =−−+ ()()2222x a x a =−+()()222x a x a =−+．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．27．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+．【答案】()()3243x y x y −+【分析】根据提公因式法分解因式求解即可【详解】解：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+()()()()2232253x y x y x y x y =−++−+ ()()223253x y x y x y =−+++⎡⎤⎣⎦()()2129x y x y =−+()()3243x y x y =−+ 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．28．（2023·上海·七年级假期作业）化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．【答案】()20071x +【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案．【详解】原式22005(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++222004(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ 322003(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ =()()200611x x =++()20071x =+．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键．。

初二数学上册：因式分解常见八种解题方法

初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。

在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。

下面通过例题一一介绍。

一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。

注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。

因式分解的四种方法

因式分解的四种方法一、引言因式分解是数学中的一个重要概念，指将一个多项式表达式分解成更简单的乘积形式。

在高中数学中，因式分解是一个重要的章节，也是许多其他数学概念的基础。

本文将介绍四种常见的因式分解方法，包括公因数法、提公因式法、配方法和根与系数法。

二、公因数法1.定义公因数法是指在多项式表达式中找到所有项共有的因子，并将其提取出来，从而得到一个更简单的乘积形式。

2.步骤（1）找出所有项共有的最大公因数；（2）用最大公因数除去每一项中相同的部分；（3）将剩余部分相乘。

3.示例例如：$6x^2+12x$。

（1）找出所有项共有的最大公因数：$6x$；（2）用最大公因数除去每一项中相同的部分：$6x(x+2)$；（3）将剩余部分相乘：$6x(x+2)$。

三、提公因式法1.定义提公因式法是指在多项式表达式中找到可以整除所有项的一个或几个常量或变量，并将其提取出来作为公因式，从而得到一个更简单的乘积形式。

2.步骤（1）找出所有项的公因式；（2）将公因式提取出来，剩余部分相乘。

3.示例例如：$2x^3+4x^2$。

（1）找出所有项的公因式：$2x^2$；（2）将公因式提取出来，剩余部分相乘：$2x^2(x+2)$。

四、配方法1.定义配方法是指通过适当的变形将多项式表达式转化为两个容易因式分解的二次多项式之和或差的形式，从而得到一个更简单的乘积形式。

2.步骤（1）将多项式表达式按照一定规则进行拆分；（2）利用二次多项式之和或差公式进行化简；（3）将化简后的结果进行合并得到最终结果。

3.示例例如：$x^2+6x+5$。

（1）将$x^2+6x+5$拆分为$(x+5)(x+1)$；（2）利用二次多项式之和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行化简，得到$(x+5)(x+1)$；（3）将化简后的结果进行合并得到最终结果：$(x+5)(x+1)$。

五、根与系数法1.定义根与系数法是指通过求出多项式的根或零点，并利用这些根或零点的特殊性质，将多项式表达式分解成更简单的乘积形式。

因式分解的万能公式是什么,分解因式公式有哪些例题二

因式分解的万能公式是什么，分解因式公式有哪些例题二初中数学因式分解公式全整理？因式分解是指把一个多项式变为哪些整式的积的形式，初中经常会用到的因式分解的方式有：1.提取公因式法，如：ax＋bx＝x（a＋b）2.公式法，a平方-b平方＝（a＋b）（a-b），a平方±2ab＋b平方＝（a±b）平方3.十字相乘法，x平方-（a＋b）x＋ab＝（x-a）（x-b）因式分解的公式？因式分解公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)²就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。

例子：1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²因式分解万能公式？万能公式,只是针对一元二次因式的分解.ax^2 + b x +c =0先凑完全平方,再用平方差公式.x^2 +bx/a +c/a =0x^2 +bx/a +b^2/4a^2 - b^2/4a^2 + c/a = 0(x - b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a^2=0[ x - b/2a +根号 (b^2-4ac)/2a]*[x-b/2a-根号（b^2-4ac)/2a]=0经常会用到的因式分解公式还未确定系数法(因式分解)在因式分解时，一部分多项式经过分析，可以断定它能分解成某哪些因式，但这哪些因式中的某些系数暂时还没有确定，这时可以用一部分字母来表示还未确定的系数.因为该多项式等于这哪些因式的乘积，按照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的哪些特殊值，列出有关还未确定系数的方程(或方程组)，解出还未确定字母系数的值，这样的因式分解的方式叫作还未确定系数法.求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为有关x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为有关x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a.按照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的重点是求多项式f(x)的根.针对任意多项式f(x)，要得出它的根是没有大多数情况下方式的，然而，当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常常用下面的定理来判断它是不是有有理根。

230.因式分解,提取公因式(试题+参考答案)

因式分解与提取公因式【要点梳理】〖知识点一〗因式分解的定义问题1．计算下列各题，看谁算得又准又快： ⑴7.6×99.8＋4.3×99.8－1.9×99.8＝； ⑵=-2299101 ；⑶=+⨯⨯+22434357257 ．问题2．把下列多项式写成几个整式乘积的形式： ①=+x x 2；②=-22b a ；③=+-122x x ；④=++mc mb ma定义：把一个多项式化成几个整式积．．．的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．说明：⑴因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算． ⑵因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．问题3．下式从左到右的变形哪些是因式分解? ⑴()12-=-x x x x ；⑵()ab a b a a -=-2；⑶()12122+-=+-a a a a ；⑷()22244-=+-x x x ；⑸⎪⎭⎫⎝⎛+=+a a a 111．〖知识点二〗提取公因式问题4．观察问题2中的①和④，你发现什么特点？指出：多项式mc mb ma ++中，各项都含有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式．问题5．指出下列多项式中各项的公因式：⑴a ay ax ++； ⑵263mx mx -； ⑶22912y x xyz -；⑷c ab ab b a 322224128+- ⑸()()32223143221x y a y x b a ---；⑹()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+【典例剖析】例1．用提取公因式法将下列各式因式分解： ⑴4363x x +； ⑵c ab b a 323128+； ⑶()()c b c b a +-+32；⑷()()b a b a b a ---+；⑸()()232x y y x ---；⑹23++-n nna aa ；⑺()()()()y x n m y x n m +--+-2387．例2．计算： ⑴33131939⨯-⨯；⑵20062005200520032005220052323-+-⨯-．【课堂操练】1．把下列各式分解因式：⑴=+2228mn n m ； ⑵=-22912y x xyz ； ⑶()()=---y z b z y a 32 ； ⑷=-+-ma ma ma 126323； 2．分解因式：⑴ab abx aby 61236+-； ⑵x xy x +-632；⑶()()q p q q p p +-+46；⑷xy xy y x -+22；⑸()()()()m y m x m y m x m x -----；⑹()()11+---++b a b a b a ；⑺()()()232x y c x y b y x a -+-+-．⑻()()3222x y xy y x y x --- ⑼11+-+-n n n x x x3．利用因式分解计算： ⑴978×85＋978×7＋978×8；⑵989923⨯+-．4．已知40,13==+ab b a ，求22ab b a +的值． 5．（2011江苏南通）分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝6．多项式32223320515b a b a b a -+提公因式后的另一个因式是．7．多项式b ab b a +-632分解因式的结果是（） A ．()b a a 23- B ．()123+-b a a C ．()a a b 632- D ．()1632+-a a b 8．下列各式分解因式正确的是( ) A ．()()()()122-++=+-+b a b a b a b a B ．()y x x x xy x 63632-=-- C ．()b a ab ab b a -=-441412322D ．()c b a a ac ab a -+-=-+- 9．分解因式： ⑴（ 2011重庆江津） 2x 3－x 2；⑵（2011四川凉山州）：32214a ab ab -+-；⑶()()23126m n n m ---；⑷()()1315----+ay ax m ay ax m ； ⑸()()()()b a b a b a b a 28287--+--； ⑹()()()334m n n n m m n m -+-+-．10．两个小孩的年龄分别是x ，y ，且992=+xy x ，试求这两个小孩的年龄．【课后巩固】1．判断下列变形过程，哪个是因式分解？ ⑴()()4222-=+-x x x ；（）⑵()()x x x x x 322342++-=+-；（）⑶()17777--=--n m n m ；（）⑷⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x 14442．（）2．下式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A ．b a b a 32622⋅=B ．()43432--=--x x x xC ．()222-=-b ab ab abD ．()()2422a a a -=+-3．（2011河北）下列分解因式正确的是（） A ．32(1)a a a a -+=-+B ．2a －4b ＋2=2（a －2b ）C ．a 2－4=(a －2)2D ．a 2－2a ＋1=(a －1)24．把()()a m a m -+-222分解因式等于（） A ．()()m m a +-22 B ．()()m m a --22C ．()()12--m a mD ．()()12+-m a m 5．因式分解()()x y x 2552-+-的结果是( ) A ．()()y x +-152 B ．()()y x --152 C ．()()y x +-125 D ．()()y x --125 6．分解因式()()3286b a b a a ---时，应提取的公因式是（）A ．aB ．()26b a a -C ．()b a a -8D ． ()22b a -7． 200820072121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-的结果是（）A ．21-B ．200821⎪⎭⎫⎝⎛-- C ．200721⎪⎭⎫⎝⎛-- D ．21答案：B8．观察下列各式：①adx abx -；②2262xy y x +；③124823++-m m m ④3223b ab b a a -++；⑤()()()22265q p q p x y x q p +++-+；⑥()()()x y b y x y x a +--+42其中可以用提取公因式法分解因式的有．（填序号） 9．()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+ 各项的公因式为．10．多项式23224128xy z xy y x -+-各项的公因式是．11．若()()()A y x y x xy y x ⋅+=+-+3，则A 为． 12．将n n y x -分解因式，其结果为()()()y x y x y x-++22，则n 的值为．13．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的有（）A ．y x -2B ．x x 22+C ．22y x + D ．22y xy x +-14．下列多项式中，公因式是b a 25的是（）A ．2222015b a b a +B ．b a ab 221030- C ．322010ab b a + D ．b a ab 2155+ 15．填空：⑴=--x xy x 2422()12--y x ；⑵2232232104b a b a b a =-（）； ⑶()=-+-11a mn a ； ⑷()()()=----221m n n m m mn ；⑸()()=+-+y x y x 332；⑹()()=---32a b b a ；16．把下列各式分解因式： ⑴xy x +2 ⑵x x x ++23⑶x xy x 2812242+--⑷()y x a y x +-- ⑸232363a na ma +- ⑹()()2264a b y b a x ---⑺()()232x y x y x -+-⑻()()()()b a b a b a b a +++-+252322 ⑼()()()()y x n m y x n m +--+-2387 ⑽()()x x x x -+-2262217．利用因式分解计算： ⑴6.15×3.16＋13.2×0.316＋2.53×3.16 ⑵2239899⨯--18．计算：=⨯+⨯-31034323；=⨯+⨯-234310343 ；=⨯+⨯-345310343 ；根据计算过程，猜想下列各式的结果：=⨯+⨯-200320042005310343 ； =⨯+⨯-++n n n 31034312 ．19．求证：对于任意自然数n ，n n 224-+能被5整除．20．化简并求值，其中2-=x ，()()()200821111x x x x x x x ++++++++ ．21．若232=+x x ，求x x x 46223-+的值．因式分解与提取公因式参考答案：问题1．⑴998;⑵400;⑶10000 问题2．①x (x ＋1); ②(a ＋b )(a －b );③(x －1)2; ④m (a ＋b ＋c )问题3．⑴⑷。

因式分解之提取公因式法和运用公式法(学生版)

课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式）整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底．精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+．例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-．例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0．例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）；（2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）；（4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -；（8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -；（10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -；（12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---；（14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++；（16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --；（18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+；（20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。

公因式分解法步骤及过程

公因式分解法步骤及过程一、引言公因式分解法是一种常用的因式分解方法，用于将多项式分解为可以约简的公因式乘积。

它在数学中的应用非常广泛，尤其在代数学和高等数学中起着重要的作用。

本文将详细介绍公因式分解法的步骤及过程。

二、公因式分解法的步骤1. 提取公因式：首先观察多项式中是否存在可以提取的公因式，即多项式中所有项都能够被某一因式整除。

找出这个公因式后，将其提取出来。

2. 继续分解：将提取公因式后的多项式进行继续分解。

如果多项式中还存在可约简的因式，继续提取公因式并进行分解，直到多项式无法再约简为止。

3. 整理结果：将分解得到的每一个因式写在一起，即可得到公因式分解后的结果。

三、公因式分解法的过程下面通过一个具体的例子来演示公因式分解法的过程。

例子：将多项式3x^2 + 6xy + 9xz分解为公因式的乘积。

1. 提取公因式：观察多项式中的每一项，发现它们都能够被3整除，所以可以提取公因式3。

将3提取出来后，多项式变为3(x^2 + 2xy + 3xz)。

2. 继续分解：观察括号中的多项式x^2 + 2xy + 3xz，发现它们之间没有公因式了。

所以无法再进行进一步的提取和分解。

3. 整理结果：将提取出来的公因式3和括号中的多项式x^2 + 2xy + 3xz写在一起，即可得到公因式分解后的结果：3(x^2 + 2xy + 3xz)。

四、公因式分解法的应用举例公因式分解法不仅可以用于简化多项式，还可以用于解决一些实际问题。

下面通过几个应用举例来说明。

1. 应用举例一：简化分式假设有一个分式(2x + 4)/(4x + 8)，我们可以使用公因式分解法将分子和分母都约简。

首先提取公因式2，得到2(x + 2)/4(x + 2)。

然后继续分解，发现分子和分母都存在公因式(x + 2)，所以最终可以将分式简化为1/2。

2. 应用举例二：解方程有时候在解方程时，我们需要将方程进行因式分解。

例如，要解方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以使用公因式分解法将方程进行因式分解，得到(x + 2)(x + 3) = 0。