28.空间向量在立体几何中的应用

§5.3 空间向量在立体几何中的应用

【基础知识梳理】

1. 直线的方向向量与直线的向量方程

⑴ 用向量表示直线或点在直线上的位置

① 给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ， 以A 为起点作向量AP =_________（Ⅰ），

这时点P 的位置被完全确定.向量方程通常称作直线l 的____________，向量a 称为该直线

的____________.

② 对空间任一个确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在惟一的实数t ，满足等式

O =_________（Ⅱ）

，如果在l 上取=，则（Ⅱ）式可化为 )OA OB (t OA AB t OA OP -+=+=，即O =_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）

都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.

③ 设点M 是线段AB 的中点，则O =_________.

⑵ 用向量方法证明直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行

① 设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1∥l 2或l 1和l 2重合⇔__________.

② 已知两个非零向量1v ，2v 与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α或

l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v =__________.

⑶ 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设直线l 1和l 2成的角为θ（锐角），方向向量分别为1v 和2v ，则有l 1⊥l 2⇔__________， cos θ=__________.

2. 平面的法向量与平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n 的基线与平面α垂直，则向量n 叫做平面α的________或说向量n 与平面α________.

⑵ 设A 是空间任一点，n 为空间任一非零向量，适合条件0n AM =⋅---- ①的点M 的集合构成的图形是________.如果任取两点M 1、M 2（M 1、M 2和A 三点不共线），且0AM 1=⋅，0AM 2=⋅，则n ⊥平面AM 1M 2.在平面AM 1M 2内的任一点M 都满足条件①式.满足条件①的所有

NO.28

点M 都在平面AM 1M 2内. ①式称为一个平面的_____________.

⑶ 共面向量定理的推论：如果A 、B 、C 三点_____________，则点M 在平面ABC 内的充要条件是，存在一对实数x ，y ，使向量表达式=_________.

⑷ 设1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α，β重合⇔_____，

α⊥β⇔_____⇔_________

⑸ 三垂线定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和____________垂直.

三垂线定理的逆定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和

____________垂直.

【基础知识检测】

1. 两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为1v =（1，0，-1），2v =（-2，0，2），则l 1与l 2的位置关系是 （ ）

A. 平行

B. 相交

C. 垂直

D. 不确定

2. 在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是 （ ）

A B C D

3. 已知l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为（1，-2

1m ，2），则m=______. 4. 已知平面α和β的法向量分别为1u =（-1，x ，4）和2u =（y ，1，-2），若α∥β，则x+y=______.

5. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则直线AC 1与直线BC 所成的角为_______.

【典型例题探究】

题型1.（异面直线所成的角）在棱长均为a 的正四面体ABCD 中，M 、N 分别为边AB 、CD 的中点，求异面直线AN 、CM 所成的角的余弦值.

A

B C

D

变式训练：已知直三棱柱ABD-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1和A 1A 的中点,

（1）求异面直线BA 1和CB 1所成的角； （2）求证：A 1B ⊥C 1M.

题型2.（利用空间向量证明平行、垂直问题）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 、N

分别是对角线A 1B 与面对角线A 1C 1的中点.求证：MN ∥侧面AD 1.

变式训练：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=3

a 2，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定

题型3 （空间中点共线、点共面问题）已知平行四边形ABCD ，从平面ABCD 外一点O 引射线OA ，OB ，OC ，OD ，在其上分别取E ，F ，G ，H ，并且使k OD

OH OC OG OB OF OA OE ====（k 为常数）.求证：E ，F ，G ，H 四点共面.

变式训练：求证：四点A （3，0，5），B （2，3，0），C （0，5，0），D （1，2，5）共面.

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1. 对空间任意一点O ，若8

18143++=，则A 、B 、C 、P 四点 （ ） A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断

2. 设P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥BC,

PB ⊥AC,则 P 在该平面内的射影是△ABC 的

（ ）

A. 内心

B. 外心

C. 垂心

D. 重心