第二讲：字典排列法与树形图(巩固篇)

高中数学排列组合知识点

排

列组合

复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类

办法中有n m

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1

3C 然后排首位共有1

4C 最后排其它位置共有

34A 由分步计数原理得1

1

3

434

288C C A =

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时

对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

522522480A A A =种不同的排法

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，

三年级下册数学试题-第十二讲枚举法二（含答案）全国通用

三年级下册数学试题-第⼗⼆讲枚举法⼆（含答案）全国通⽤

第⼗⼆讲枚举法⼆

内容概述

巩固字典排列的⽅法；使⽤树形图的⽅法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的⽅法

兴趣篇

1.有⼀些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？分析：10个

2.汤姆、杰瑞和德鲁⽐都有蛀⽛，他们⼀起去⽛医诊所看病。医⽣发现他们⼀共有8颗蛀

⽛，他们三⼈可能分别有⼏颗蛀⽛？

分析：共21中情况，详解略

3.⽼师让⼩明写出3个⾮零的⾃然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同⼀

种写法，例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同⼀种写法。请问：⼩明⼀共有多少种不同的写法？

分析：7种

4.⽣物⽼师让⼤家观察蚂蚁的习性。第⼆天⼩悦在⼩区的⼴场上发现了12只⿊蚂蚁，这

12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆⾄少有2只。请问：这3堆蚂蚁可能各有⼏只？

分析：共7种情况：（2，2，8）；（2，3，7）；（2，4，6）；（2，5，5）；（3，3，6）；（3，4，5）；（4，4，4）5.⼀个三位数，每⼀位上的数字都是1、2、3中的某⼀个，并且相邻的两个数字不相同。

⼀共有多少个满⾜条件的三位数？

分析：12个

6.如图，⼀只⼩蚂蚁药从⼀个正四⾯体的顶点A出发，沿着这个正四⾯体的棱依次⾛遍4

个顶点再回到顶点A。请问：这只⼩蚂蚁⼀共有多少种不同的⾛法？

分析：6种

7.5块六边形的地毯拼成了下图中的形状，每块地毯上都有⼀个编号。现在阿奇站在1号

地毯上，他想要⾛到5号地毯上。如果阿奇每次都只能⾛到河他相邻的地毯上（两个六边形如果⼜公共边就称为相邻），并且只能向右边⾛，例如1→2→3→5就是⼀种可能的⾛法。请问：阿奇⼀共有多少种不同的⾛法？

枚举法二-字典排列法与简单树形图

第四讲枚举法二

（字典排列法与简单树形图）

知识脉络：本讲属于计数专题，三年级暑期：枚举法一。

枚举法一：主要知识点让学生明白枚举的意思及精髓所在（有序思考）

1.本讲要点：掌握枚举法中的字典排列法与简单树形图。

①字典排序法：中心思想（分类有序思考），从小到大或字母前后顺序。

易错点：分人与分堆的区别，

例：10颗糖分给两个人，1，9和9,1算两种情况，分堆则算一种

②树状图：前后存在关联性，更清晰直观的分析列举所有情况，

步骤少，每个步骤选择少适用

2. 做题步骤：①区别分堆与分人；

②确定以什么为顺序来进行枚举；

③多回头做到不重不漏，

本讲例题

【例1】汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？

三人情况：先确定一人，剩余两人依次枚举，枚举时注意总数

汤姆： 1 1 1 1 1 1 汤姆： 2 2 2 2 2 汤姆： 3 3 3 3

杰瑞： 1 2 3 4 5 6 杰瑞： 1 2 3 4 5 杰瑞： 1 2 3 4

得鲁比：6 5 4 3 2 1 得鲁比 5 4 3 2 1 得鲁比 4 3 2 1

汤姆： 4 4 4 汤姆： 5 5 汤姆： 6

杰瑞： 1 2 3 杰瑞： 1 2 杰瑞： 1

得鲁比：3 2 1 得鲁比：2 1 得鲁比： 1

总共有6+5+4+3+2+1=21种情况。

提示：三个人的情况：每人至少一颗

共8颗：6+5+4+3+2+1；

共10颗：8+7+6+5+4+3+2+1；

共15颗：13+12+11+10+….+3+2+1；

那么共30颗从几加?

树形图法

小学数学树形图计数方法知识点讲解

一棵树有树根、树枝、树叶，给人一种分叉的感觉。在数学中借助树的分叉特征构造出的树形图往往可以对数学问题中有可能出现的多种结论做出逐一的判断。

“树形图”是数学中应用最为广泛的图形之一。

在数学计数问题中，每当我们面对一些非常规的题目一筹莫展、无从下手时，枚举法往往可以发挥巨大的威力。枚举法又叫穷举法，顾名思义，就是把所有符合题目条件的对象一一列举出来，然后根据要求从中挑出合理的。

但是，怎样在枚举的过程中既不重复也不遗漏地枚举出所有符合条件的对象来呢？

“树形图”就可以使我们的枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不易重复或遗漏，使人一目了然。

利用树形图解决染色问题例题讲解

小学数学树形图求概率例题解析：分袜子

小学数学树形图求概率例题解析：抽扑克牌

小学奥数：计数问题之树形图法基本应用

一棵树有树根、树枝、树叶，给人一种分叉的感觉。在数学中借助树的分叉特征构造出的树形图往往可以对数学问题中有可能出现的多种结论做出逐一的判断。

“树形图”是数学中应用最为广泛的图形之一。

在数学计数问题中，每当我们面对一些非常规的题目一筹莫展、无从下手时，枚举法往往可以发挥巨大的威力。枚举法又叫穷举法，顾名思义，就是把所有符合题目条件的对象一一列举出来，然后根据要求从中挑出合理的。

但是，怎样在枚举的过程中既不重复也不遗漏地枚举出所有符合条件的对象来呢?

“树形图”就可以使我们的枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不易重复或遗漏，使人一目了然。

三年级下册数学试题-第十二讲枚举法二(含答案)全国通用

第十二讲枚举法二

内容概述

巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法

兴趣篇

1.有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？分析：10个

2.汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有8颗蛀

牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？

分析：共21中情况，详解略

3.老师让小明写出3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一

种写法，例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法。请问：小明一共有多少种不同的写法？

分析：7种

4.生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这

12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？

分析：共7种情况：（2，2，8）；（2，3，7）；（2，4，6）；（2，5，5）；（3，3，6）；（3，4，5）；（4，4，4）

5.一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同。

一共有多少个满足条件的三位数？

分析：12个

6.如图，一只小蚂蚁药从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4

个顶点再回到顶点A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？

分析：6种

7.5块六边形的地毯拼成了下图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1号

地毯上，他想要走到5号地毯上。如果阿奇每次都只能走到河他相邻的地毯上（两个六边形如果又公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？

第二讲字典排列法与树形图

知识点总结

1、枚举法：字典排列法、分类枚举、树形图都是枚举法中的一种，使用各

种枚举法需要注意有条理、不重复、不遗漏，使人一目了然。

2、字典排列法：从首位开始，按一定的顺序（比如从小到大）枚举第一位，

对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推。

3、分类枚举：先有序分类，再有序枚举。

4、树形图：确定起点，按照一定的顺序一一罗列，最后数终点个数。

例题精讲

【例1】汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医

生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？

【分析】三人情况：都有蛀牙说明每个人的蛀牙数目不能为0，每人至少

有1颗，一共有8颗蛀牙，所以最多的蛀牙数是6。题中有三个人的名字，

所以三个人是有次序的，我们将汤姆看成是首位，杰瑞看成第二位，德鲁

比看成第三位，则可以运用字典排列法枚举。

汤姆： 1 1 1 1 1 1 汤姆： 2 2 2 2 2 杰瑞： 1 2 3 4 5 6 杰瑞： 1 2 3 4 5 得鲁比：6 5 4 3 2 1 得鲁比： 5 4 3 2 1

汤姆： 3 3 3 3 汤姆： 4 4 4

杰瑞： 1 2 3 4 杰瑞： 1 2 3

得鲁比：4 3 2 1 得鲁比：3 2 1

汤姆： 5 5 汤姆： 6

杰瑞： 1 2 杰瑞： 1

得鲁比：2 1 得鲁比：1

总共有6+5+4+3+2+1=21种情况。

【例2】下午茶的时候，老师给同学们准备了苹果，香蕉和橘子三种水果，每种都有足够多个，昊昊想挑3个水果吃，请问：他一共有多少中选择？

【分析】分类枚举：先有序分类，再有序枚举。

小学奥数：加法原理之树形图及标数法.专项练习及答案解析

1.使学生掌握加法原理的基本内容；

2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；

3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．

加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．

一、加法原理概念引入

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．

例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．

二、加法原理的定义

一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．

计数第02讲_字典排列(学生版)A4

二年级A 班专属讲义 ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

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计数第02讲_字典排列(学生版)

一．字典排列法所谓字典排序法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．例如：

用数字4、5、6可以组成多少个不同的三位数．用字典排列法枚举时，每个位置都按从小

到大排列，枚举的顺序是：456、465、546、564、645、654．

二．枚举中的至多、至少问题

根据至多、至少的条件用字典排列法进行分类枚举．

三．分类计数

枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重

复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．在分类

时，一定要注意类与类之间有没有重复和遗漏的情况．

重难点：分类的基本原则：不重不漏；枚举时注意审题：判断题目“交换顺序算作两种”

列表法与树状图法-初中数学知识点

列表法与树状图法

1．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

1 / 1

中考数学专题复习树状图含解析

例谈画树状图

一、显性放回

例1 现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”、“2”、“3”．第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机

抽取一张并记下数字．请用画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率．

分析从题中文字“记下数字后放回”知本题属于“显性放回”．本题中的事件是摸

两次卡片，看卡片的数字，由此可以确定事件包括两个环节．摸第一张卡片，放回去，再摸第二张卡片，所以树状图应该画两层．第一张卡片的数字可能是1，2，3等3个中的一个，所以第一层应画3个分叉；再看第二层，由于放回，第二个乒乓球的数字可能是3个中的一个，所以第二层应接在第一层的3个分叉上，每个小分支上，再有3个分叉．画出树状图，这样共得到3x 3＝9种情况，从中找出第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的情况，再求出概率．

解根据题意画树状图如图1．

所有可能的结果为：

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．

∵有9种等可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的只有3种， ∴ P(第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字)＝13

．

二、显性不放回

例2 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，－2，3，－4．小明先从布袋中随机摸出一个球(不放回去)，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球．

(1)共有_______种可能的结果；

第13课、字典排列法与树形图

Ps：分类法没有既定格式和统一的模式，每一题的分类都是不同的。
注意分类时机的把握：题目哪个地方难了，哪个地方让人摸不清方向和要求了，就可以
尝试在此处分类。
例：有 1g，2g，5g 的金币很多枚（任取），可以有多少种方法凑出 11g 的金子呢？
分类：①只用 1 种金币： 1g×11
1种
②用 2 种金币：
晨浩老师作品
第 13 课、字典排列法和树形图
1、字典排列法按一定的层次和一定的顺序，枚举所有的可能，并且层次内也按同样的顺序枚举。
2、枚举法要解决问题的所有可能情况，按照一定的顺序一个丌漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性。 ①枚举要注意顺序（不重复、不遗漏）例：大于 500 的三位数且是上升数，有多少个？由小到大分别是：567,568,569,578,579,589,678,679,689,789，共 10 个顺序是：由小到大，从最小的写起，在保持其他位置丌变的情况下，先增大个位，个位丌能再增大后，开始增大十位，缩小个位……
②枚举要注意次序（不同的东西分给不同的人，存在两种不同因素）例：苹果和葡萄，分别分给小艾和小白，有几种情况？——2 种
两个完全一样的苹果，分别分给小艾和小白，有几种情况？——只有 1 种苹果和葡萄，分别分给两个完全一样的盒子，有几种情况？——只有 1 种

树状图、列表法 ppt课件

ppt课件 11
解：列表如下
小晶 1 小红 1 2 2 3 4 5 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11
6
7
8
9
10
11
12
由表可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，故 P(和为6)=5/36，P( 和为 7)=6/36 ，所 ppt课件以小红获胜的概率大
9
方法指导: 利用树状图可以分先后、分层次清晰地列举出所有可能的结果，当出现更多元素时，列举出所有可能的结果就不容易，我们可以考虑用列表法
ppt课件
10
小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，小晶赢；点数之和等于7，小红赢；点数之和是其他数，两人不分胜负。问他们谁获胜的概率大?请你用 “画树状图”或“列表”的方法加以分析说明。
ppt课件
17
1．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）．
1 A． 4
3 B． 4
1 C．2
D．1．
2.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球. （1）共有多少种可能性相同的结果？（2）摸出2个球有多少种的结果？（3）摸出两个黑球的概率是多少？ 18 ppt课件

列表法与树状图法

列表法与树状图法．

一、选择题

1. （2011内蒙古呼和浩特，6，3）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（） A. 31

B. 32

C. 91

D. 21

考点：列表法与树状图法．

分析：列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．

解答：解：列表得：

∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种， ∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是19

．故选C ．

点评：本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3. （2011•台湾23，4分）一签筒内有四支签，分别标记号码1，2，3，4．已知小武以每次取一支且取后不放回的方式，取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为（） A 、错误！未找到引用源。

B 、错误！未找到

引用源。 C 、错误！未找到引用源。

D 、错误！未找到引用源。

考点：列表法与树状图法。

分析：先利用树状图展示所有12种的等可能的结果数，然后找出和为奇数的结果数，最后利用概率的概念求解即可．解答：解：根据题意列树状图：

共有12种等可能的结果，其中和是奇数的有8种，

所以这两支签的号码数总和是奇数的机率=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。．故选B ．

点评：本题考查了利用树状图求事件概率的方法：先利用树状图展示所有等可能的结果数n ，再找出某事件所占的结果数m ，然后根据P=错误！未找到引用源。计算即可．

第二讲：字典排列法与树形图(巩固篇)

高中数学排列组合知识点

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枚举法二-字典排列法与简单树形图

树形图法

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第二讲 字典排列法与树形图

小学奥数：加法原理之树形图及标数法.专项练习及答案解析

计数第02讲_字典排列(学生版)A4

列表法与树状图法-初中数学知识点

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第13课、字典排列法与树形图

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