结构动力学21运动方程的建立1
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结构动力学第二章 运动方程的建立
h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。
结构动力学填空简答
一、填空题1、消能减震技术包括：速度相关型消能减震装置，位移相关型消能减震装置,其他相关型消能减震装置2、调频减震技术包括：有调谐质量阻尼器(TMD)和调谐液体阻尼器(TLD）、调谐液柱式阻尼器（TLCD）振动控制系统3、地震动三要素：振幅、频谱、持时4、结构的固有特性：频率、振型,阻尼5、实验测量阻尼比的方法：对数衰减率法、共振放大法、半功率法6、逐步积分法的四个标准：收敛性、计算精度、稳定性、计算效率7、结构离散化方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法8、基本力学原理及运动方程的建立：D'Alembert原理、虚功原理、哈密顿原理、拉格朗日方程、牛顿定理9、结构抗震试验方法：伪静力试验方法或低周反复加载、地震模拟振动台试验方法、伪动力试验方法或计算机联机试验10、等效阻尼比用在:等效线性化分析过程中11、常用的阻尼有：粘性阻尼、摩擦阻尼、滞变阻尼、流体阻尼12、测量振动量的仪器：加速度计、位移计、速度计13、单自由度体系对任意荷载的反应分析方法：时域分析法（杜哈梅积分计算)、频域分析法（傅里叶变换法计算)——适用于处理线弹性结构的动力反应问题14、常用的时域逐步积分法有:分段解析法、中心差分法、平均常加速度法、线性加速度法、Newmark-β法、Wilson—θ法15、常用的恢复力模型:当伯格-奥斯左德模型、克拉夫退化双线性模型、武田模型16、振型的归一化方法:特定坐标的归一化方法、最大位移的归一化方法、正交归一法17、恢复力曲线模型三个组成部分：骨架曲线、滞回特性、刚度退化规律18、确定恢复力曲线的方法：试验拟合法、系统识别法、理论计算法二、简答题1。
结构动力学的广义研究内容、目的是什么?内容：结构动力学是研究结构体系的动力特性几起在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科目的:是确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性，为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
刘晶波结构动力学课件21w
线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体 系。
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
11/45
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
4/45
2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
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2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
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2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
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2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋
结构动力学
结构动力学第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
【结构动力学】第1章 运动方程 2020
12
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
结构动力学 -单自由度体系的振动
负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后， 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或：m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) ：等效荷载，即在地面加速度yg (t )影响下，结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样，只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自
振周期T的大小没影响。
（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则
周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也
可以由结构支座的运动而产生。 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
结构动力学(运动方程)
p(t)
m
d
2u(t) dt 2
mu(t)
3.2.1.1-2
式中： mu(t) 称为抵抗质量加速度的惯性力。
直接平衡法
通过动力体系各质点的力矢量平衡关系建立运动方程 的方法。质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方 向相反。这一概念称为达兰贝尔原理。借助该原理可以把 运动方程表示为动力平衡方程。方程中的力包括多种作用 于质量上的力，如抵抗位移的弹性恢复力、抵抗速度的粘 滞阻尼力以及其它独立确定的外荷载。因此，运动方程的 表达式仅仅是作用于质量上所有力（包含惯性力）的平衡 表达式。在许多简单问题中，直接平衡法是建立运动方程 的最直接而且方便的方法。
当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
例：假设给图 3.2.1.1（b）所示体系一个虚位移u （仅仅 是体系约束所允许的微小位移），则作用于体系的全部力都将做 功，体系所作的总功可写作
t2 [muδu cuδu kuδu p(t)δu]dt 0 t1
3.2.1.3-2
利用关系 δu d(δu) / dt ，上式中的第一项可表示为如下的分部积分：
t2 muδudt muδu t2 t2 muδudt
t1
t1
t1Biblioteka 3.2.1.3-3哈密尔顿原理假定变分 u 在积分限 t1 和 t2 时为零，故方程 3.2.1.3-3 右边第一项为
牛顿第二运动定律
任何质量 m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力。这一关系在
结构动力学-第一章
1，集中质量法 2，广义坐标法 3，有限单元法
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三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
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三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
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二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
结构动力学方程及有限元方程
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 根据虚位移原理有：
•
U =W
• 将式（8.3）分别代入式（8.1）和式（8.2）并整理，可得单元动力方 程为：
• 式中
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• {R(t)}e 为单元节点的动载荷列阵，它是作用在单元上的体积力、表面 力和集中力向单元节点移置的结果。
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8.2 单元特性矩阵
• 1. 一致质量矩阵 • 一致质量矩阵的分布较合理，可以求得更精确的振型，另外，其整个
模型的质量分布还受到网格划分形式的影响。 • 在离散后的结构中取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作
用的惯性力为：
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8.2 单元特性矩阵
• 由于惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，则有： • 令：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 8.1.2 结构整体动力学有限元方程
• 将各个单元的刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换， 再进行叠加，可以得到结构的总动力学方程为：
• 式中 δ (t)——所有节点位移分量组成的 n 阶列阵（n 为结构的总自 由度数）；
• 称为节点载荷列阵，即一个节点上的节点力是由该节点所在的所有单 元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成的；
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8.2 单元特性矩阵
• （3）矩形平面单元的一致质量矩阵为：
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8.3 固有特性分析
• 结构的固有特性由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷 无关，它可以由一组模态参数来定量描述。固有特性包括固有频率、 模态振型、模态质量、模态刚度以及模态阻尼比等。
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 根据虚位移原理有：
•
U =W
• 将式（8.3）分别代入式（8.1）和式（8.2）并整理，可得单元动力方 程为：
• 式中
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• {R(t)}e 为单元节点的动载荷列阵，它是作用在单元上的体积力、表面 力和集中力向单元节点移置的结果。
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8.2 单元特性矩阵
• 1. 一致质量矩阵 • 一致质量矩阵的分布较合理，可以求得更精确的振型，另外，其整个
模型的质量分布还受到网格划分形式的影响。 • 在离散后的结构中取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作
用的惯性力为：
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8.2 单元特性矩阵
• 由于惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，则有： • 令：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 8.1.2 结构整体动力学有限元方程
• 将各个单元的刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换， 再进行叠加，可以得到结构的总动力学方程为：
• 式中 δ (t)——所有节点位移分量组成的 n 阶列阵（n 为结构的总自 由度数）；
• 称为节点载荷列阵，即一个节点上的节点力是由该节点所在的所有单 元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成的；
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8.2 单元特性矩阵
• （3）矩形平面单元的一致质量矩阵为：
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8.3 固有特性分析
• 结构的固有特性由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷 无关，它可以由一组模态参数来定量描述。固有特性包括固有频率、 模态振型、模态质量、模态刚度以及模态阻尼比等。
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
3(运动方程的建立)
f S 1 k11 f k S 2 = 21 f SN kN1 k12 k22 kN 2 k1 j k2 j k Nj fS = ku k1N u1 k2 N u2 k NN u N
20/78
第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
21/78
例 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量 分别为 m1 和 m2 ，忽略杆的分布质量，建立体系无阻尼 自由运动方程，并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能，也给出了直角坐 标系，在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2 − u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2 Biblioteka （例子见后）8/78
第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
9/78
地基运动问题： 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的，而是由于结构基础的运动引起的。
20/78
第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
21/78
例 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量 分别为 m1 和 m2 ，忽略杆的分布质量，建立体系无阻尼 自由运动方程，并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能，也给出了直角坐 标系，在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2 − u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2 Biblioteka （例子见后）8/78
第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
9/78
地基运动问题： 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的，而是由于结构基础的运动引起的。
第2章 结构动力方程的建立
2014-04-19
第二章 结构动力方程的建立
结构动力学
第一节 达朗贝尔原理 第二节 虚位移原理及应用
结构动力方程的建立
第三节 拉格朗日方程及应用
第四节 哈密顿原理及其应用
汪梦甫
退出
第一节
达朗贝尔原理
1.一个自由度的质点运动 设在质量m上沿y的正向作用一个力P(t)(称为主动
在动力计算中需要列出运动方程，通常应用得 较多的一种方法是直接平衡法。它是根据达朗贝尔 原理将惯性力假想地加在质量上，然后当作平衡状 态去建立动力平衡方程，故该法又有“惯性力学” 之称。 下面扼要阐述达朗贝尔原理。
U W
或写成：
We W Wd U qi qi i qi qi (i 1,2,, k ) qi qi qi qi
在上式中惯性力所作虚功可改用质量的动能来表示。
U W qi qi qi qi
退出 退出
7
2014-04-19
设以 T表示质量的动能，则有：
0
l
u udx
0
l
m* m 2 ( x)dx M 2 (l )
0
l
c* c( x) 2 ( x)dx
0 l
l
u( x, t ) ( x)q(t )
( Mg 2 ( x)dx)q q
0
l
kG q q
q W阻尼 c*q
kG Mg ( x)dx
2 0
* U弯曲 kE q q
l
* kE EI ( )2 dx 0
l
kG Mg 2 ( x)dx
0
p* p( x) ( x)dx
0
第二章 结构动力方程的建立
结构动力学
第一节 达朗贝尔原理 第二节 虚位移原理及应用
结构动力方程的建立
第三节 拉格朗日方程及应用
第四节 哈密顿原理及其应用
汪梦甫
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第一节
达朗贝尔原理
1.一个自由度的质点运动 设在质量m上沿y的正向作用一个力P(t)(称为主动
在动力计算中需要列出运动方程，通常应用得 较多的一种方法是直接平衡法。它是根据达朗贝尔 原理将惯性力假想地加在质量上，然后当作平衡状 态去建立动力平衡方程，故该法又有“惯性力学” 之称。 下面扼要阐述达朗贝尔原理。
U W
或写成：
We W Wd U qi qi i qi qi (i 1,2,, k ) qi qi qi qi
在上式中惯性力所作虚功可改用质量的动能来表示。
U W qi qi qi qi
退出 退出
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设以 T表示质量的动能，则有：
0
l
u udx
0
l
m* m 2 ( x)dx M 2 (l )
0
l
c* c( x) 2 ( x)dx
0 l
l
u( x, t ) ( x)q(t )
( Mg 2 ( x)dx)q q
0
l
kG q q
q W阻尼 c*q
kG Mg ( x)dx
2 0
* U弯曲 kE q q
l
* kE EI ( )2 dx 0
l
kG Mg 2 ( x)dx
0
p* p( x) ( x)dx
0
(完整版)结构动力学基础
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
x a
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my 弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
大型桥梁结构 的有限元模型
第二章 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
8
比较：
c k
清华大学结构动力学2-1
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
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（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
刚度法求运动方程
刚度法是一种用于建立结构动力学运动方程的方法，它基于力的平衡条件来建立运动微分方程。
以下是使用刚度法求解结构运动方程的基本步骤：
1. 确定自由度：需要确定结构的独立位移数目，即自由度。
每个自由度对应一个广义坐标。
2. 列出平衡方程：对于每个自由度，根据达朗贝尔原理列出力的平衡方程。
这包括惯性力、弹性恢复力和阻尼力等。
3. 计算刚度系数：刚度系数是指结构在单位位移下产生的力。
对于多自由度体系，需要计算刚度矩阵，其中每个元素代表结构在某一点单位位移引起的力的变化。
4. 建立运动方程：将刚度系数与质量、阻尼系数结合，得到运动方程。
对于单自由度体系，运动方程通常形式为( m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = P(t) \)，其中\( m \) 是质量，\( c \) 是阻尼系数，\( k ) 是刚度系数，( P(t) \) 是外部荷载。
5. 求解方程：最后，通过适当的数学方法求解运动方程，得到结构响应的时间历程。
《结构动力学》教学日志知识资料b
年月日
第
24
次
总结复习
知识点串讲
年月日
学生考核成绩记录
序号
项目
出勤
作业
学号
姓名
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
成
绩
/
/
/
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/
/
/
/
成
绩
1
5
杨金银
2
2
甄一帆
3
4
周叙霖
4
1
史宝红
5
2
李明聪
6
3
桑胜涛
7
4
崔亚歌
8
5
贾世宁
9
6
连娜
10
7
周文丽
11
8
熊治凯
12
9
薛涛
13
0
周翱翔
14
1
赵锦涛
15
2
田里
16
3
孙可锋
17
4
王浩
教研室主任主管教学院（部）长
年月日年月日
教学计划内容
授课实施记录
课内
课外作业、实验
第
1
次
第1章绪论和概述
1.1结构动力分析主要目的
1.2荷载的分类(持时和来源)
1.3动力问题的基本特性
重点：结构动力分析意义及基本概念。
难点：动力问题与静力问题区别与联系。
寻找1-2本国外结构动力学相关的教材，供学习参考。
（自愿上交）
年月日
第
2
次
第1章绪论和概述
1.4离散化主意
1.5运动方程的建立
第
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第1章绪论和概述
1.1结构动力分析主要目的
1.2荷载的分类(持时和来源)
1.3动力问题的基本特性
重点：结构动力分析意义及基本概念。
难点：动力问题与静力问题区别与联系。
寻找1-2本国外结构动力学相关的教材，供学习参考。
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1.4离散化主意
1.5运动方程的建立
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2.1.9 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
fs ? fs (u ,u?)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
14/43
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标 ：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面 积和体积来表示。
静力自由度 的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度 的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度。
?运动方程是进行结构动力分析的基础 ?运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
本章首先通过对简单结构体系 (单自由度体系 )的讨论介 绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程 的方法，然后介绍更复杂的 多自由度体系 运动方程的 建立。
16/43
单自由度体系 ： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
2.2 基本力学原理与 运动方程的建立
◆ 牛顿（Newton ）第二定律 ◆ D'Alembert 原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton 原理 ◆ Lagrange 方程
15/43
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程：
描述结构中力与位移 (包括速度和加速度 )关系 的数学表达式。 （有时也称为动力方程）
虚位移 ： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组 微小位移，称为体系的虚位移。
6/43
2.1 基本概念
2.1.4 广义力
略??????
7/43
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力 ：大小 等于物体的质量与加速度的乘积，
方向与加速度的方向相反。
fI ? mu??
I — 表示惯性 （Inertial）； m— 质量（mass）； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
8/43
2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring ）
对弹性体系， 弹簧的恢复力 也被称为弹性恢复力 弹性恢复力 ：大小等于弹簧刚度与位移 (弹簧变形)的乘积
方向指向体系的平衡位置。
fs ? ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧（Spring） c
(a)
k— 弹簧的刚度 （Spring Stiffness ）
u— 质点位移
(b)
9/43
2.1 基本概念
单层框架结构的水平刚度
k?
24EIc h3
?6? 6?
? ?
1 4
;
? ? hIb / LIc
粘性(滞)阻尼力可表示为：
fD ? cu?
fD
u fD
D — 表示阻尼（Damping）
(a)
uc?——
阻尼系数（Damping 质点的运动速度
coefficient）
fD c
1 u
(b)
11/43
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定：
不能像结构刚度 k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得，因为 c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。
粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中 最为简单的一种。
其它常用的阻尼 ：
摩擦阻尼 ：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼 ：阻尼力大小与位移成正比 (相位与速度相同 )； 流体阻尼 ：阻尼力与质点速度的平方成正比。
滞变阻尼 ——时滞阻尼——复阻尼
12/43
2.1 基本概念
2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系 ：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系 ：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻 尼）的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
13/43
2.1 基本概念
4/43
2.1 基本概念
2.1.2 功和能 ?功的定义 ?有势力和势能 ?动能
略??????
5/43
2.1 基本概念
2.1.3 实位移、可能位移和虚位移
可能位移 ： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能ห้องสมุดไป่ตู้移。
实位移 ： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。
2.2.0 牛顿（Newton）第二定律
F ? ma
F ? p(t) ? fD ? f s
单质点体系的受力分析
ma ? fD ? f s ? p(t)
a ? u?? fD ? cu? fs ? ku
h—框架结构的高度 L—梁的长度
?? ?:
E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
?? 0:
k
?
24EIc h3
k
?
6EIc h3
10/43
2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。
阻尼的来源 （物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
基本动力体系 ： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
17/43
基本动力体系
两个典型的单自由度体系
(a) 单层框架结构 (b) 弹簧―质点体系
物理元件： 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
18/43
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
结构动力学
1/43
结构动力学
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
2/43
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
● 广义坐标与动力自由度 ★ 功和能 ★ 实位移、可能位移和虚位移 ★ 广义力 ● 惯性力 ● 弹簧的恢复力 ● 阻尼力 ● 线弹性体系和粘弹性体系 ● 非弹性体系
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结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
fs ? fs (u ,u?)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
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第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标 ：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面 积和体积来表示。
静力自由度 的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度 的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度。
?运动方程是进行结构动力分析的基础 ?运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
本章首先通过对简单结构体系 (单自由度体系 )的讨论介 绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程 的方法，然后介绍更复杂的 多自由度体系 运动方程的 建立。
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单自由度体系 ： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
2.2 基本力学原理与 运动方程的建立
◆ 牛顿（Newton ）第二定律 ◆ D'Alembert 原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton 原理 ◆ Lagrange 方程
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程：
描述结构中力与位移 (包括速度和加速度 )关系 的数学表达式。 （有时也称为动力方程）
虚位移 ： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组 微小位移，称为体系的虚位移。
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2.1 基本概念
2.1.4 广义力
略??????
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2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力 ：大小 等于物体的质量与加速度的乘积，
方向与加速度的方向相反。
fI ? mu??
I — 表示惯性 （Inertial）； m— 质量（mass）； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
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2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring ）
对弹性体系， 弹簧的恢复力 也被称为弹性恢复力 弹性恢复力 ：大小等于弹簧刚度与位移 (弹簧变形)的乘积
方向指向体系的平衡位置。
fs ? ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧（Spring） c
(a)
k— 弹簧的刚度 （Spring Stiffness ）
u— 质点位移
(b)
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2.1 基本概念
单层框架结构的水平刚度
k?
24EIc h3
?6? 6?
? ?
1 4
;
? ? hIb / LIc
粘性(滞)阻尼力可表示为：
fD ? cu?
fD
u fD
D — 表示阻尼（Damping）
(a)
uc?——
阻尼系数（Damping 质点的运动速度
coefficient）
fD c
1 u
(b)
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2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定：
不能像结构刚度 k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得，因为 c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。
粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中 最为简单的一种。
其它常用的阻尼 ：
摩擦阻尼 ：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼 ：阻尼力大小与位移成正比 (相位与速度相同 )； 流体阻尼 ：阻尼力与质点速度的平方成正比。
滞变阻尼 ——时滞阻尼——复阻尼
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2.1 基本概念
2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系 ：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系 ：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻 尼）的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
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2.1 基本概念
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2.1 基本概念
2.1.2 功和能 ?功的定义 ?有势力和势能 ?动能
略??????
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2.1 基本概念
2.1.3 实位移、可能位移和虚位移
可能位移 ： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能ห้องสมุดไป่ตู้移。
实位移 ： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。
2.2.0 牛顿（Newton）第二定律
F ? ma
F ? p(t) ? fD ? f s
单质点体系的受力分析
ma ? fD ? f s ? p(t)
a ? u?? fD ? cu? fs ? ku
h—框架结构的高度 L—梁的长度
?? ?:
E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
?? 0:
k
?
24EIc h3
k
?
6EIc h3
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2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。
阻尼的来源 （物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
基本动力体系 ： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
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基本动力体系
两个典型的单自由度体系
(a) 单层框架结构 (b) 弹簧―质点体系
物理元件： 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
结构动力学
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结构动力学
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
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第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
● 广义坐标与动力自由度 ★ 功和能 ★ 实位移、可能位移和虚位移 ★ 广义力 ● 惯性力 ● 弹簧的恢复力 ● 阻尼力 ● 线弹性体系和粘弹性体系 ● 非弹性体系
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