正方形的性质和判定定理
九年级数学正方形的性质(新编201908)
例1. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O
重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，
(1) 若E是BC的中点，求证：OE=OF.
(2)若正方形A′B′
变化？为什么？
A
D
O
F
B
E
C
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；
将军如故 惠开乃集将佐谓之曰 中使相望 上惋叹弥日 乘舆数幸石头及莫府山 谥曰宪子 茂虔又求晋 不拜 诏曰 籍注失实 书与弘之子昙生曰 归降被宥 义熙五年 况殿下义兼臣子 潜不解音声 自谓是羲皇上人 辅国将军 辅国将军 青兖二州刺史王恭镇京口 可督塞表诸军事 而宁蛮如故 凡诸离散者 不起 时山阴又有寒人姚吟 遣长史高翼奉表献赭白马 伏惟天慈弘被 武都王 且表里强蛮 颇好《庄》 盛嗣位三十年 甲首成林 辉大驭於国皂 江夏王义恭虑义兵仓卒 焘又自攻不克 怀文固辞南行 征甲八州 彼将自走 若力不周务 兄弟并应从诛 建安太守 万秋犹在职 必先攻楼 莫复过此 多所论释 监征讨诸军事 矜慨在怀 皆与世异 黑曰 岂可得临万乘之机 虏田五谷三百顷 不必全福 而沈深守静 秽流床笫 世祖大明元年 庄以 天水任愈之率部曲归顺 秣陵令 胜胄朝餐 以取天下之疾患邪 率由践逆 弘写与之 《易》 大须资力 下贻国耻 每以计数自将 仗士三十 人入六门 卫军参军 具列本郡太守王昙生 不拜 抚军记室掾 遣费沈伐陈檀 萌渐之调长绝 诏曰 或置酒招之 宁朔将军 勇冠戎陈 元景遥问 自赫胥以降 关中豪右 卿故当卧而护之 又平四方 前废帝即位 高祖第五女新安公主先适太原王景深 愿垂音告
正方形的性质和判定定理 优课教案
正方形的性质和判定定理
根据以上的关系图，得到正方形、矩形和菱形三者的关系：正方形既是矩形也是菱形。
同时利用维恩图表示:
（1）选择题（正方形的性质）1、正方形具有而矩形不一定具有
师：从问题出发，求角的度数有什么思路？此处用到正方形何性质？
）证明题（正方形判定和
第一问在教师引导下解决完，提出以下问题：
本课主要学习了正方形的定义、性质、判定方法，正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还
1、必做题
如图,四边形ABCD中，AD//BC，AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)如果BE=BC 且
、选做题。
正方形的性质与判定(一)
第三任务：引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴”
第四环节：性质应用
活动内容：①引用课本例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间又怎样的关系？请说明理由。
教 师 行 为
学 生 行 为
第一环节：课前准备
活动内容：搜集身边的矩形（提前布置）。
准备好数学常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。
以合作小组为单位，开展调查活动：
各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。
学生搜集的图片或实物（部分）：
课时教学流程
教 师 行 为
学 生 行 为
第二环节：情境引入
活动内容：展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。并让学生利用适当的度量工具，对搜集到的图形素材进行度量或者对素材进行适当的操作，并记录、整理数据。
②选用课本议一议进行阶段小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”
对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题。
学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质。同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段。
难点：体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想
教学方法
任务驱动法
使
用
教
材
构
想
学生对正方形比较熟悉，因此教学是可以直接观察正方形，引导他们抽象出其中的共同特征，从而引入正方形的定义。进儿通过用菱形定义正方形，用矩形定义正方形，引导学生思考正方形与矩形，菱形的关系，从而得出正方形具有的性质。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质(教案)
5.激发对数学几何图形的兴趣，培养数学审美和学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及特征：确保学生理解正方形是一种特殊的矩形，具有四条边相等、四个角都是直角的特点。
-正方形的性质：强调正方形四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等的核心性质。
4.正方形对角线与边长的关系，即对角线将正方形平分成长度为边长一半的小正方形；
5.运用正方形性质解决实际问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握正方形的定义、性质及判定定理，提高空间观念和几何直观能力；
2.能够运用正方形性质解决实际问题，增强数学应用意识和问题解决能力；
3.通过探索正方形性质，培养推理能力和逻辑思维能力；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方形的基本概念。正方形是四条边相等、四个角都是直角的特殊平行四边形。它在几何图形中具有重要地位，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过观察正方形的实物模型，分析其性质和特点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定定理这两个重点。对于难点部分，如对角线性质，我会通过举例和图形演示来帮助大家理解。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质。本节课我们将学习以下内容：
1.正方形的定义及特征；
2.正方形的性质，包括四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等；
3.正方形的判定定理，即有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形；
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
正方形的性质与判定课件(2)
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定(一)
一、复习回顾
平行四边形
对称性 中心对称图形
对边平行
边
且相等
菱形 轴对称图形、 中心对称图形
对边平行， 四边都相等
对角相等，
对角相等，
角
邻角互补
邻角互补
对角线
对角线 互相平分
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
矩形
轴对称图形、 中心对称图形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD C
D ∵四边形ABCD是正方形
O
∴AC⊥BD，AC=BD
C OA=OB=OC=OD
三、典例精析
例1：如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为
BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的
关系？请说明理由.
A
D
E
B
F
C
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
对边平行 且相等
四个角 都是直角
对角线相等 且互相平分
一、复习回顾 平行四边形、菱形、矩形之间的关系：
菱形
平行四边形
？
矩形
思考：有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢？
情景导入 下图的四边形都是特殊的平行四边形，视察这些特殊 的四边形有什么共同特征？
学习概念
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形
正方形有4条对称轴. （1）正方形的四个角都是直角，四条边相等. （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90°, AB=AD
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。
四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。
1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册
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数学 九年级上册 BS版
∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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数学 九年级上册 BS版
【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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八年级数学下册《正方形的性质和判定定理》优秀教学案例
一、案例背景
在八年级数学下册的教学过程中，正方形的性质和判定定理作为几何知识的重要组成部分，对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。本教学案例旨在通过引导学生从生活实例中抽象出正方形的性质，激发学生的学习兴趣，运用启发式教学方法，帮助学生掌握正方形的判定方法，并能够在实际问题中灵活运用。本案例结合教材内容，注重知识体系的构建，突出学以致用，以培养学生解决问题的能力为核心，提升学生的综合素质。在教学过程中，关注学生的个体差异，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在探索正方形性质和判定定理的过程中，体验到数学学习的乐趣。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。教师将学生分成若干小组，每组4-6人，让组内成员相互协作，共同探讨正方形的性质和判定定理。在合作过程中，学生可以相互交流想法，共同解决问题，提高团队协作能力和沟通能力。教师还要关注各小组的学习进度，适时给予指导和帮助，确保每个学生都能在小组合作中受益。
（四）反思与评价
3.反馈：教师要及时给予学生反馈，指出学生在学习过程中的优点和不足，帮助学生找到提高的方向。同时，鼓励学生提出教学建议，促进教学相长，不断提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中常见的正方形物品，如正方形瓷砖、桌面等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们在生活中的应用有哪些？
（二）问题导向
本节课将采用问题导向的教学策略，引导学生通过观察、思考、提问等方式，发现正方形的性质和判定定理。教师提出一系列具有启发性的问题，如“正方形具有哪些性质？”“如何判断一个四边形是正方形？”等，让学生在解决问题的过程中，掌握正方形的相关知识。同时，鼓励学生提出自己的疑问，培养他们勇于质疑、善于思考的习惯。
《正方形》平行四边形(第2课时正方形的判定)
总结词
我们再来看看对角线相等的平行四边形 是正方形的例题。假设有一个平行四边 形ABCD，其中AC=BD，问这个平行四 边形是正方形吗？我们可以证明这个平 行四边形有一个角是直角，从而得出这 个平行四边形是正方形。
VS
详细描述
首先，我们通过连接对角线AC和BD，证 明这个平行四边形有一个角是直角。然后 我们进一步证明这个平行四边形的对角线 相等，即AC=BD。最后我们得出这个平 行四边形是正方形。
THANK S感谢观看
平行四边形判定方面的典型例题解析
总结词
本部分将通过具体的例题，解析平行四边形 判定的方法，包括两组对边分别平行的四边 形是平行四边形、两组对边分别相等的四边 形是平行四边形等。
详细描述
首先，我们来看一道基于平行四边形定义的 例题。假设有一个四边形ABCD，其中 AD//BC，AB//CD，问这个四边形是平行 四边形吗？通过连接对角线AC和BD，我们 可以证明这个四边形是平行四边形。然后我 们可以进一步证明这个平行四边形的对角线 互相平分，从而得出这个四边形是平行四边 形。
假设四边形ABCD中，对角线AC与BD相 互平分。根据对角线平分的四边形是平行 四边形，我们知道四边形ABCD是平行四 边形。
正方形与平行四边形判定定理的联系与区别
正方形判定定理的证明比平行四边形的要复杂一些，因为正 方形的所有边都相等且所有角都是直角，这个性质在证明其 判定定理时需要用到。而平行四边形的判定定理则不需要用 到这个性质。
平行四边形判定定理的证明
定理1
证明
定理2
证明
如果一个四边形的两组对边分别相等，那 么这个四边形是平行四边形。
假设四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC 。根据等量代换原理，我们知道AB与CD 、AD与BC分别相等。又因为两组对边分 别相等的四边形是平行四边形，所以四边 形ABCD是平行四边形。
正方形
1.3正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形性质：(1)正方形的四条边相等，对边平行；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴判定：(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形知识点1 正方形的概念一组邻边相等的矩形叫做正方形．拓展由正方形的定义可知，正方形是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形，也就是说，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以我们在说明一个四边形是正方形时；可以先说明它是矩形，再说明它是菱形，或先说明它是菱形，再说明它是矩形．知识点2 正方形的性质(1)正方形的四条边相等，对边平行．(2)正方形的四个角都是直角．(3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．(4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴．如图4－65所示，在正方形ABCD中，有如下结论：(1)AB＝BC＝CD＝DA；AD∥BC，AB∥CD→四边相等，对边平行．(2)∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°→四个角都是直角．(3)AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8＝45°→对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．拓展(1)由于正方形是特殊的矩形和菱形，所以它具备矩形和菱形的所有性质．(2)正方形的两条对角线将正方形分成8个等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的性质在正方形的有关计算中经常用到．知识点3 正方形的判别(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)有一个角是直角的菱形是正方形．(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形．拓展几种特殊平行四边形的判别可用图4－66表示．正方形规律方法小结从一般到特殊的思想：从四边形到平行四边形再到菱形、矩形，再到正方形，就是从一般情况到特殊情况的认识，体现了从一般到特殊的思想．四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图4—67所示．1、如图4－70所示，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠E＝.2、如图4－72所示，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，交AB于0，DE⊥AC，D F⊥BC，E，F是垂足，那么四边形DECF是正方形吗?说明理由．3、如图4－74所示，四边形ABCD是正方形，E，F是AD，DC上的点，且∠EBF＝45°，则EF与CF＋AE相等吗?说明理由．4、如图4－76所示，将矩形ABCD中的△AOB沿着射线BC的方向平移线段AD的距离，(1)画出△AOB平移后的图形；(2)设(1)中O点平移后的对应点为E，试判断四边形CODE的形状，并说明理由；(3)当四边形ABCD是什么四边形时，(2)中的四边形C00E是正方形?并说明你的理由．体验中考 1、如图4－80所示，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 ( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm2、如图4－8l(1)所示，把一个长为m ，宽为n 的长方形(m ＞n )沿虚线剪开，拼接成图(2)，成为在一个角去掉—个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为 ( )A ．2m nB ．m －nC ．2m D ．2n 3、如图4－82所示，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上，小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ．你认为 ( )A. 仅小明对 B ．仅小亮对 C ．两人都对 D ．两人都不对作业１.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 ２. 在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A 、AC=BD ，∠A=∠B ，∠C=∠D B 、∠ABD=∠CBD ，AB=CD ，∠A=∠B C 、AO=CO ，BO=DO ，∠A=∠B D 、AO=CO=BO=DO ，AB=BC3．如图1，已知正方形ABCD 的边长为，E 为DC 边上一点，∠EBC=30°，则BE 的长为（ ）A 、cm 5B 、cm 52C 、5cmD 、10cm4．如图4-4-2，等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边，则∠AED 等于（ ） A 、10°B 、12.5°C 、15°D 、20°5．如图4-4-3，E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 等于cm 35图1图3BA DCB O（ ）A 、70° B 、72.5° C 、75° D 、77.5°6.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）7. 如图（1），在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠AFC ＝(1) (2)8．如图(2)，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 是等边三角形，那么∠DCE ＝，如果DE 的延长线交BC 于G ，则∠BEG ＝9.已知：如图，正方形ABCD 中，延长AD 到E ，使DE=AD ，再延长DE 到F ，使DF=BD ，连接BF ，交CE 于M ，交DC 于N.求证：MD=MN.10.如图，△ABC 中，点O 是AC 上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设Mn 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACH 的平分线于点F 。
第三讲正方形的性质与判定
第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。
正方形的性质和判定
下列说法对吗?
（1）四个角都相等的四边形是正方形
（2）四条边都相等的四边形是正方形
（3）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形
(4) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等 的等腰 直角三角形 (5) 正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（B ） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
八年级 数学
第十九章 四边形
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交 于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。 解： F A D （1）∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD ∠AOB=900 O ∠BAC=∠DAC ∴∠OAB=450 C (2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ;B E 正方形的面积是 8 (3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方 形一边的距离 4㎝
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形 正 方 十九章 四边形
正方形再认识
正方形定义: 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 换句话：有一组邻边相等并且有一个角 是直角的平行四边形 ⑴有一组邻边相等的平行 正 两层 四边形（菱形） 方 含义 ⑵并且有一个角是直角的 形 平行四边形（矩形）
八年级 数学
第十九章 四边形
正方形的性质
所以：正方形不仅是平行四边形、矩形， 还是菱形。
正方形的判定
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.
求证:四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》教学设计
青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》教学设计一. 教材分析《正方形的性质和判定定理》是青岛版数学八年级下册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解正方形的性质和判定定理，掌握正方形的特点和判定方法，为后续学习正多边形和圆的知识打下基础。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究正方形的性质，并通过推理和证明，使学生掌握正方形的判定定理。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了矩形、菱形等四边形的性质，对平行四边形的性质有一定的了解。
但正方形与这些四边形有所不同，它的特殊性质和判定定理需要学生通过探究和证明来掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望，引导学生通过自主学习和合作交流，理解和掌握正方形的性质和判定定理。
三. 教学目标1.了解正方形的性质，并能运用这些性质解决相关问题。
2.掌握正方形的判定定理，并能运用判定定理判断一个四边形是否为正方形。
3.培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.正方形的性质和判定定理的理解和运用。
2.正方形性质和判定定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、操作、推理和证明，自主探究正方形的性质和判定定理。
2.合作交流法：学生分组进行探究，分享学习成果，互相学习和交流。
3.案例分析法：教师通过展示正方形的实际应用案例，引导学生理解和运用正方形的性质和判定定理。
六. 教学准备1.教学PPT：包含正方形的性质和判定定理的相关内容，以及实际应用案例。
2.教学素材：正方形的图片、实物模型等。
3.练习题：用于巩固学生对正方形性质和判定定理的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些正方形的实际应用案例，如正方形地毯、正方形桌面等，引导学生关注正方形的特点，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现正方形的性质和判定定理，引导学生观察和思考，引导学生用自己的语言描述正方形的特点。
6、正方形的判定和性质 - 答案
正方形的判定和性质探索活动1、思考：你能类比矩形、菱形的概念给正方形下个定义吗?正方形的概念：____________并且____________的_________是正方形。
2、探究：（1）比较平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系（2）探索正方形的性质请大家思考正方形有哪些性质?正方形是一个特殊的平行四边形，正方形形具有平行四边形的所有性质；正方形还是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的所有性质正方形的性质：从对称性看：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形从边看：正方形的四边相等，对边平行从角看：正方形4个角都是直角从对角线看：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角思考：正方形具有而一般矩形不具备的性质：正方形具有而一般菱形不具备的性质：探索正方形的判定方法：问题：有一个角是直角的是正方形；有一组邻边相等的是正方形；对角线相等的是正方形；对角线垂直的是正方形；对角线的四边形是正方形。
思路：（1）先说明这个平行四边形是，再说明这个矩形也是；（2）先说明这个平行四边形是，再说明这个菱形也是。
归纳总结例1.如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，试探索BG 与DE 的关系.例2.在正方形ABCD 中，点E、F、G、H 分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH 是正方形吗?为什么?题型一：正方形的性质-求角度1．如图，正方形ABCD O，则AOB ∠的度数是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∴90AOB ∠=︒，故选：D．2．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 交对角线AC 于点F，连接DF ，若35ABE ∠=︒，则CFD ∠的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,45BC CD BAC ACB ACD =∠=∠=∠=︒，∵35ABE ∠=︒，∴80BFC ABE BAC ∠=∠+∠=︒，在BCF △和DCF 中，BC CD ACB ACD CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCF DCF ≌△△，∴80CFD CFB ∠=∠=︒，故选：A．3．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边ADE V ，则AEB ∠=．【答案】15︒【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ∠=︒，∵ADE 是等边三角形，，∴AD AE =，60DAE ∠=︒，∴AB AE =，150BAE ∠=︒，∴()1180150152AEB ∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．4．如图，正方形ABCD 中，E 在BC 延长线上，AE，BD 交于点F，连接FC，若32E ∠= ，那么BCF ∠的度数是．【答案】58°【详解】解：∵在正方形ABCD，AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF=∠DCF，又∵AD∥BC，∠E=32°，∴∠DAF=32°，∴∠DCF=32°，∴∠BCF=∠DCB－∠DCF=90°－32°=58°．故答案为：58°．5．如图，在正方形ABCD 中，M 是正方形内一点，且MC MD AD ==．求BAM ∠的度数．【答案】15︒【详解】解：在正方形ABCD 中，90ADC BAD ∠=∠=︒，AD DC =，MC MD AD ==，AD DC MD MC ∴===，在DMC 中，DM DC MC ==，则DMC 是等边三角形，60MDC ∴∠=︒，30MDA ∴∠=︒，在ADM △中，30ADM ∠=︒，MD AD =，则()118030752DAM ∠=︒-︒=︒；90907515BAM DAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．6．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC，点E 在BF 上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.【答案】105°【详解】作AO⊥FB 的延长线,BQ⊥AC∵BF∥AC,∴AO∥BQ 且∠QAB＝∠QBA＝45°∴AO＝BQ＝AQ＝12AC ∵AE＝AC ∴AO＝12AE∴∠AEO＝30°∵BF∥AC∴∠CAE∠AEO＝30°∵BF∥AC,CF∥AE∴∠CFE∠CAE＝30°∵BF∥AC∴∠CBF∠BCA＝45°∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105°题型二：正方形的性质-求长度1．正方形的一条对角线长为8，则正方形的边长为（）A．2B．4C．D．【答案】C【详解】解：设正方形的边长为a，∵正方形的一条对角线之长为8，a a+=，∴2228∴a=，故选C．2．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和3，则正方形的边长是．.【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°.∵AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°.∴△AMB≌△BCN（AAS）.∴BM=CN.∵点A、C到直线L的距离分别是1和3，即AM=1，CN=3，∴BM=3.∴AB ==3．如图，在边长为ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥则AF 的长为（）A．4-B．4C．4-D．4-【答案】D 【详解】解∶∵四边形ABCD 是正方形，∴90FBC DCE CD BC ∠=∠=︒==，Rt DCE V 中，30∠=︒CDE ，∴12CE DE =，设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得∶222DC CE DE +=，即(()2222x x +=，解得∶4x =±（负值舍去），∴4CE =，∵DE CF ⊥，∴90DOC ∠=︒，∴60DCO ∠=︒，∴906030BCF CDE ∠=︒-︒=︒=∠，∵DCE CBF CD BC ∠=∠=，，∴()ASA DCE CBF ≌，∴4BF CE ==，∴4AF AB BF =-=-．故选∶D．4．如图，边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上的一点，连接AM 并延长交CD 于点P.若PM PC =，则AM 的长为（）A．)31B．)32C．)61D．)62【答案】C【详解】∵边长为6的正方形ABCD ，∴,,90BA BC ABM CBM DAB ADC BCD =∠=∠∠=∠=∠=︒，∵BA BC ABM CBM BM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM CBM ≌，∴BAM BCM ∠=∠，∴9090BAM BCM ︒-∠=︒-∠，∴DAM DCM ∠=∠，∵PM PC =，∴PMC DCM ∠=∠，∴22APD PMC DCM DCM DAM ∠=∠+∠=∠=∠，∴390APD DAM DAM ∠+=∠=︒，∴30DAP ∠=︒，∴2AP DP =，∵222AP DP AD =+∴()22226DP DP =+，解得DP =∴262AP DP PM PC CD DP ====-=-∴)661AM AP PM =-==，故选C．5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，连接CC '，DC '，若90CC D '∠=︒，5AB =，则线段C D '的长度为．【详解】解：过点B 作BE CC '⊥于点E ，四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90BCD ∠=︒，90BCE C CD '∴∠+∠=︒，90BCE CBE ∠+∠=︒ ，C CD CBE '∴∠=∠，又BEC CC D '∠=∠ ，在BCE 和'CDC △中，CBE C CD BEC CC D BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩，()AAS BCE CDC '∴≌ ，CE C D '∴=，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，5BC BC CD '∴===，又BE CC '⊥ ，CE C E C D ''∴==，222C D C C CD ''+= ，2525C D '∴=，C D '∴=，6．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是线段OD 上一点，连接EC ，若BF CE ⊥于点F ，BF 是DBC ∠的角平分线，6AB =，则OE 的长为．【答案】6-【详解】解： 四边形ABCD 是正方形，6BC AB ∴==，90ABC ∠=︒，在Rt ABC △中，AC === 正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O，1122BO BD AC ∴===BF CE ⊥ 于点F ，90BFE BFC ∴∠=∠=︒，BF 是DBC ∠的角平分线，EBF CBF ∴∠=∠，在BFE △和BFC △中，90EBF CBF BF BF BFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴(ASA)BFE BFC ≌ ，6BE BC ∴==，6OE BE BO ∴=-=-故答案为：6-．题型三：正方形的性质-求周长和面积1．正方形一条对角线为2，则正方形的面积为．【答案】2【详解】解： 正方形的一条对角线的长为2，∴这个正方形的面积21222=⨯=．故答案为：2．2．如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E、F，则阴影部分的面积是．【答案】1【详解】解：在正方形ABCD 中，AD BC ∥，OD OB =，∴ODE OBF ∠=∠，又DOE BOF ∠=∠，∴()ASA DEO BFO ≌△△，DEO BFO S S ∴=△△，阴影面积=BOC S 12112=⨯⨯=．故答案为：1．3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，点P 是对角线AC 上的一点，分别以AP、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是．【答案】4cm．【详解】解：设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1-x）=4cm．4．如图，正方形ABCD 和正方形EFGO 的边长都是2，正方形EFGO 绕点O 旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A 【详解】解：如图，设AB 与OE 交点N，BC 与OG 交点M，∵四边形ABCD 和四边形EFGO 都是正方形，∴,45,90OB OC OBA OCB BOC EOG =∠=∠=︒∠=∠=︒，∴BON MOC ∠=∠．在OBN △与OCM 中，OBN OCM OB OC BON COM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA OBN OCM ∴≌ ，OBN OCM S S ∴= ，1122144OBC ABCD OMBN S S S ∴===⨯⨯=正方形四边形 ．故选：A．5．正方形ABCD 的边长为2，将该正方形绕顶点A 在平面内旋转45︒，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A．4B．4-C．10-D．8-【答案】A 【详解】解：设C D ''交BC 于点M ，连AM ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD AB ∴==，90D B BAD ∠=∠=∠=︒，由旋转得AD AD '=，D D '∠=∠，45DAD '∠=︒，AD AB '∴=，90D B '∠=∠=︒，45BAD BAD DAD ''∠=∠-∠=︒，在Rt AD M '△和Rt ABM 中，AM AM AD AB=⎧⎨'=⎩，∴Rt Rt (HL)AD M ABM '△≌△，122.52MAD MAB BAD ''∴∠=∠=∠=︒，在AB 上截取BE BM =，连接EM ，则45BEM BME ∠=∠=︒，22.5EMA BEM MAB ∴∠=∠-∠=︒，EMA MAB ∴∠=∠，AE ME ∴=，∴2BE +=，2BM BE ∴==，1122)222AD M ABM S S AB BM '∴==⋅=⨯⨯=-△△，224AD M ABM S S S '∴=+=-+-=-△△阴影，故选：A．6．如图，已知正方形,ABCD G 为CD 边上一点（不与端点重合），以CG 为一边作正方形CGFE ，连接,,BD BF DF ，若4AB =，则BDF V 的面积为．【答案】8【详解】解：连接CF ，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴45DBC FCE ∠=∠=︒，∴BD CF ∥，∴1144822BDF BDC ABCD S S S ===⨯⨯= 正方形，故答案为：8．7．如图，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S 、2S ，则12S S +的值为．【答案】68【详解】解：如图所示，连接BQ FH EG ，，，过点F 作FR AD ⊥于点R ，过点G 作GK CD ⊥于点K ，∵四边形ABCD ，四边形EFGH ，四边形BPQS 是正方形，AC 是对角线，BQ 是对角线，∴90SQP CSQ QPA ∠=∠=∠=︒，45BCA BAC CQS PQA SQB PQB SBQ PBQ ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴,,,APQ QPB BQS CSQ △△△△是等腰直角三角形，且APQ QPB BQS CSQ ≌≌≌△△△△，同理，,,,,,,,,ARF ERF EOF EOH EDH HOG HKG GKC GOF △△△△△△△△△是等腰直角三角形，且ARF ERF EOF EOH EDH HOG HKG GKC GOF ≌≌≌≌≌≌≌≌△△△△△△△△△，∴149ADC S S =△，212ABC S S =△，12ADC ABC ABCD S S S +=正方形△△，∴124111121212123236689222S S +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故答案为：68．题型四：正方形的性质运用1．菱形、矩形、正方形都具有的特点是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线平分对角【答案】C【详解】解：A.矩形的对角线不一定互相垂直，故不符合题意；B.菱形的对角线不一定相等，故不符合题意；C.菱形、矩形、正方形的对角线互相平分，故符合题意；D.矩形的对角线不一定平分对角，故不符合题意；故选：C．2．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分内角【答案】C【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．故选：C．3．在学习了“中心对称图形——平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为．【答案】正方形【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①和③分别是矩形和菱形，②是正方形．故答案为：正方形．4．如图，以ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF 相交于M ，DC 、AB 相交于N ．(1)从旋转的角度看，ADC △是绕点逆时针旋转度，可以得到ABF △；(2)CD 与BF 有何关系，请说明理由．【答案】(1)A ，90(2)CD BF =，DC BF ⊥，理由见解析【详解】（1）解：由题意知，从旋转的角度看，ADC △是绕点A 逆时针旋转90度，可以得到ABF △；故答案为：A ，90；（2）解：CD BF =，CD BF ⊥，理由如下：∵四边形ADEB 、四边形ACGF 均为正方形，∴90AD AB AC AF DAB CAF ==∠=︒=∠，，，∴DAB BAC CAF BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAF ∠=∠，∵AD AB DAC BAF AC AF =∠=∠=，，，∴()SAS DAC BAF ≌，∴CD BF =，CDA FBA ∠=∠，∵180CDA DAN DNA FBA BMN BNM ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，DNA BNM ∠=∠，∴90BMN DAN ∠=∠=︒，∴DC BF ⊥．题型五：最值问题1．如图，四边形ABCD 为正方形，M ，N 分别是AB ，BC 边的中点，请在对角线AC 上找一点P ，使PM PN +的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【详解】解：如图所示，点P 即为所求．连接BD 交AC 于O，连接NP 并延长交AD 于T，由正方形的对称性可知M T 、关于AC 对称，∴PM PT =，∴PM PN PT PN +=+，∴当P T M 、、三点共线时，PT PN +最小，即PM PN +最小，此时点P 与点O 重合．2．如图所示，正方形ABCD 的面积为9，ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A．4.5B．9C．2.5D．3【答案】D 【详解】解：设BE 与AC 交于点P'，连接BD ，DP '，∵点B 与D 关于AC 对称，∴''P D P B =，∴''''P D P E P B P E BE +=+=∵正方形ABCD 的面积为9，∴3AB =，又∵ABE 是等边三角形，∴3BE AB ==．故选：D3．正方形ABCD 中，点E 在AB 上，3AE =，1BE =，点P 在AC 上，EP BP +的最小值．【答案】5【详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接ED 与AC 交于点P，连接PB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，且OB OD =，∴BP PD =，则BP EP ED +=，此时最短，∵3AE =，134AD =+=，∴根据勾股定理得22222234255ED AE AD =+=+==，∴5ED BP EP =+=，即BP EP +的最小值为：5，故答案为：5．4．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 的中点，在对角线AC 上有一点P，则PD PE +的最小值是．【详解】连接BP ，BE ，因为正方形ABCD 关于对角线AC 对称，点B 与点D 是对称点，∴PB PD =，PD PE PB PE+=+当点P 在线段BE 上时，PD PE PB PE BE +=+=，为最小值．∵正方形ABCD 的边长为2，∴2BC CD ==，∵点E 是CD 的中点，∴112CE CD ==，∵在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒，∴在Rt BCE 中，BE ==∴PD PE +5．如图，在正方形ABCD 中，点E AB 上一点，且2AE =，4BE =，点P 是边AD 上的动点（P 与A ，D 不重合），则PE PC +的最小值是．【答案】10【详解】解：作点E 关于AD 的对称点E '，连接CE '交AD 于点P ，∴PE PE '=，AE AE '=，∴PE PC PE PC CE ''+=+≥，即PE PC +的最小值为CE '，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90CBA ∠=︒，∵2AE =，4BE =，∴4228BE BE AE AE ''=++=++=，642B E C AB BE A +=+===，在Rt BCE '△中，10CE '===，∴PE PC +的最小值是10．故答案为：10．题型六：正方形的判定定理1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O，且OA OC =，OB OD =，下列说法错误的是（）A．若AC BD ⊥，则ABCD 是菱形B．若AC BD =，则ABCD 是矩形C．若AC BD ⊥且AC BD =，则ABCD 是正方形D．若90ABC ∠=︒，则ABCD 是正方形【答案】D【详解】解：∵OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，若AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故A 选项不符合题意；若AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 选项不符合题意；若AC BD ⊥且AC BD =，则四边形ABCD 是正方形，故C 选项不符合题意；若90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 是矩形，故D 选项符合题意；故选：D．2．如图所示，在ABC 中，在90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠，DE AC ⊥于E，DF BC ⊥于F，求证：四边形CEDF 是正方形．【答案】∵CD 平分ACB ∠，,DE AC DF BC ⊥⊥，∴DE DF =，90DFC DEC ∠=∠=︒，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形，∵DE DF =，∴矩形CEDF 是正方形．3．矩形ABCD 四个内角平分线组成四边形MFNE ，求证：四边形MFNE 是正方形．【答案】 四边形ABCD 是矩形，90BAD ADC BCD ABC ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC =，AM ，DM ，CN ，BN 分别是四个内角平分线，45BAE EAD ADM CDM DCN BCN CBN ABN ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，AE BE ∴=，90AEB N DFC AMD ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形MFNE 是矩形，在ADM △和BCN △中，MAD CBN AD BC ADM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADM BCN ∴ ≌，AM BN ∴=，AM AE BN BE ∴-=-，EN EM ∴=，∴矩形MFNE 是正方形．4．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，先把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC 后，再把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，DE、FG 相交于点H．(1)判断线段DE、FG 的位置关系，并说明理由；(2)连接AG，求证：四边形ACEG 【答案】(1)DE⊥FG，理由见解析(2)见解析【详解】（1）解：DE⊥FG，理由如下：∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC，∴∠BAC＝∠CED，∵把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，∴∠ABC＝∠GFE，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CED+∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴DE⊥GF；（2）解：∵把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，∴AC＝GE，AC∥GE，∴四边形ACEG 是平行四边形，∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC，∴AC＝CE，∠ACE＝90°，∴四边形ACEG 是正方形．5．如图：已知：AD 是ABC 的角平分线，DE AC ∥交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)当ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？【答案】(1)见解析(2)90BAC ∠=︒【详解】（1）解：证明：//DE AC ，//DF AB ，//DE AF ∴，//DF AE ，∴四边形AEDF 是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），EAF EDF ∴∠=∠（平行四边形的对角相等）；又AD 是ABC ∆的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD，EAD EDA ∴∠=∠，AE DE ∴=（等角对等边），∴四边形AEDF 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）解：由（1）知，四边形AEDF 是菱形，当四边形AEDF 是正方形时，90EAF ∠=︒，即90BAC ∠=︒，ABC ∴∆的90BAC ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形．课后练习1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（）A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B．若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形．A．∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；B.∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴菱形ABCD是正方形；故该选项不符合题意；C.∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；D．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形ABCD外作等边ADE∠=︒．，则BED【答案】45【详解】解： 四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，又ADE 是等边三角形，AE AD ∴=，60AED DAE ∠=∠=︒，AB AE ∴=，9060150BAE ∠=︒+︒=︒，15ABE AEB ∴∠=∠=︒．BED AED ABE ∴∠=∠-∠45=︒，故答案为45∶．3．如图，在正方形ABCD 中，E，F 是对角线BD 上的点，且AB BF DE ==，求EAF ∠的度数．【答案】45︒【详解】解：在正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒．又∵AB BF DE ==，∴AD DE =，AB BF =，∴18(27)06.5DAE DEA ADB ∠=∠=︒-∠÷=︒，18(27)06.5BAF BFA ABD ∠=∠=︒-∠÷=︒，∴180180267.545EAF BFA DEA ∠=︒-∠-∠=︒-⨯︒=︒．4．如图，在正方形ABCD 中，延长BC 至E ，使CE CA =．求CAE ∠的度数．【答案】22.5︒【详解】解： 在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，∴90DCE BCD ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，CE CA =，ACE ∴ 是等腰三角形，ACB ∠ 是ACE △的一个外角，2ACB CAE E CAE ∴∠=∠+∠=∠，即245CAE ∠=︒，解得22.5CAE ∠=︒，故答案为：22.5︒．5.在正方形ABCD中，两条对角线相交于O，∠ACD的平分线交BD于P，若正方形ABCD的周长是16cm，则PB＝___________cm.【答案】46．如图，正方形ABCD 的面积为2，菱形AMCN 的面积为1，则,M N 两点间的距离为（）A．1B．2【答案】A【详解】解：如图，连接AC ，∵正方形ABCD 的面积为2，∴2122AC =，解得：2AC =，∵菱形AMCN 的面积为1，∴⋅=112AC MN ，即⨯⨯=1212MN ，解得：1MN =．故选：A．7．如图，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，过BE 上一点O 作BE 的垂线，交AB 于点G ，交CD 于点H ．6BE =，则GH =．【答案】6【详解】解：过点A 作GH 的平行线，交DC 于点F，如图所示：∵ABCD 是正方形，∴AG FH ∥，BA AD =，90BAE D ∠=∠=︒，∴90FAD AFD ∠+∠=︒，∵GH BE ⊥，AF GH ∥，∴AF BE ⊥，四边形AFHG 是平行四边形，∴90FAD BEA ∠+∠=︒，∴BEA AFD ∠=∠，∴()AAS BAE ADF ≌，∴BE AF =，∴GH AF =，∴6GH BE ==，故答案为：6．8．如图，直线1l ，2l ，3l 分别过正方形ABCD 的三个顶点A ，D ，C ，且相互平行，若1l ，2l 的距离为1，2l ，3l 的距离为2，则正方形的边长为．【详解】解∶如图，过点D 作1EF l ⊥交1l 于点E，交3l 于点F，∵123l l l ∥∥，∴32,EF l EF l ⊥⊥，∴90AED ADC CFD ∠=∠=∠=︒，1,2DE DF ==，∴90,90ADE DAE ADE CDF ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴DAE CDF ∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，∴ ≌ADE DCF ，∴2,1AE DF DE CF ====，AD ==9．如图，有三个正方形ABCD ，DEFG ，FHMN ，点B ，C ，G ，H ，M 都在同一直线l 上，若正方形ABCD ，DEFG 的面积分别为3和8，则正方形FHMN 的面积为（）A．4B．5C．6D．11【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD ，DEFG ，FHMN 都是正方形，∴DG FG =，90DCG GHF DGF ∠∠∠===︒；∴90CDG CGD CGD HGF ∠∠∠∠+=+=︒，∴CDG HGF ∠∠=，∴CDG HGF ≌（AAS ），∴CD GH =，CG FH =，∵正方形ABCD ，DEFG 的面积分别为3和8，∴2238CD DG ==，，∴正方形FHMN 的面积22835FH CG ===-=．故选∶B．10．若正方形的边长为a ，M 是BC 的中点，则图中阴影部分的面积是多少？【答案】213a 【详解】解：设ABE S S =△，M 是BC 中点，又因为ABE 和△同高，∴12BME S S =△，2311244AMB ABCD S S S a ===△正方形，则216S a =，∴阴影部分的面积2211263a a =⨯=．11．如图，正方形ABCD 的边长为2，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则△DBF 的面积为()A．4C．D．2【答案】D 【详解】解：设正方形CEFH 的边长为a，根据题意得：21114422222()()BDF S a a a a a ∆=+-⨯---+22211222a a a a a =+-+--=2．故选：D．12．如图，在矩形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CE 平分DCB ∠，//,//BF CE CF BE ．求证：四边形BFCE 是正方形．【答案】∵//,//BF CE CF BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，90DCB ∠=︒．又∵BE 平分ABC ∠，CE 平分DCB ∠，∴1145,4522EBC ABC ECB DCB ∠=∠=︒∠=∠=︒．∴EBC ECB ∠=∠．∴EB EC =．∴BECF 是菱形（菱形的定义）．在EBC 中，∵45,45EBC ECB ∠=︒∠=︒，∴90BEC ∠=︒．∴菱形BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．13．如图，ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E，使OE OD =．连接AE ，BE ．(1)求证：四边形AEBD 是矩形；(2)当90BAC ∠=︒时，猜想四边形AEBD 是什么图形？说明理由．【答案】（1）证明：∵点O 为AB 的中点，OE OD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC = ，AD 是BAC ∠的角平分线，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）解：当90BAC ∠=︒时，四边形AEBD 是正方形，理由如下：AB AC = ，AD 是BAC ∠的角平分线，BD CD ∴=，90BAC ∠=︒ ，12AD BC BD \==，由（1）可知，四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．14．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB﹣AE′=CD﹣CG．即BE′=DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．15．已知：如图，在ABC中．(1)分别以AB 、AC 为边向形外作正方形ABDE 、ACFG ．求证：①CE BG =；②CE BG ⊥；(2)分别以AB 、AC 为边向形外作正三角形ABD △、ACE △．求证：①CD BE =；②求CD 和BE 所成的锐角的度数．【答案】证明：①在正方形ABDE ACFG 中，AE AB =，AC AG =，90EAB GAC ∠=∠=︒，∴EAC BAG ∠=∠，在EAC 和BAG △中，EA BA EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAC BAG ≌，∴CE BG =，②如图，记BG ，CE 的交点为H ，BG ，AC 的交点为T ，∵EAC BAG △≌△，∴ACE AGB ∠=∠，∵90AGT ATG ∠+∠=︒，ATG CTH ∠=∠，∴90ACE CTH ∠+∠=︒，∴1809090GHC ∠=︒-︒=︒，∴CE BG ⊥．（2）①如图，记CD ，BE 的交点为O ，∵等边ABD △和等边ACE△∴AE AC =，AD AB =，60CAE BAD ADB ABD ∠==∠=∠=︒，∵BAE BAC CAE ∠=∠+∠，CAD BAC BAD ∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，∴ABE ADC △≌△，∴CD BE =；②∵ABE ADC△≌△∴ABE ADC ∠=∠，∴60BDO ABE BDO ADC ADB ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴()18018060DOB DBO BDO ABD ABE BDO ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠+∠=︒∴CD 和BE 所成的锐角的度数为60︒．16．在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．问题提出：(1)如图1所示，已知A，B 是直线l 同旁的两个定点．在直线l 上确定一点P，并连接AP 与BP ，使PA PB +的值最小．问题探究：(2)如图2所示，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接EP 和BP ，则PB PE +的最小值是___________；问题解决：(3)某地有一如图3AOB ，已知45AOB ∠=︒，P 是AOB 内一点，连接PO 后测得10PO =米，现当地政府欲在三角形空地AOB 中修一个三角形花坛PQR ，点Q R ，分别是OA OB ，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求PQR 周长的最小值．【详解】（1）解：如图所示，当P 点在如图所示的位置时，PA PB +的值最小；（2）解：如下图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由题意易得：PB PE PD PE DE +=+≥，当D、P、E 共线时，在ADE V 中，根据勾股定理得，DE =（3）解：如下图所示，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点M N ，，连接OM ON MN ，，，MN 交OA ，OB 于点Q R ，，连接PR PQ ，，此时PQR 周长的最小值等于MN ．由轴对称性质可得，10OM ON OP MOA POA NOB POB ===∠=∠∠=∠，，，∴224590MON AOB ∠=∠=⨯︒=︒，在Rt MON △中，MN =即PQR 周长的最小值等于。
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《正方形的判定》的教学设计
教学目的：使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识。
教学重点：正方形的定义．
教学难点：正方形与矩形、菱形间的关系．
教学方法：双边合作如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考：
（1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
（5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？
教学过程：
让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片．
问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？
所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？
所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？
由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（一）新课
由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
请同学们推断出正方形具有哪些性质？
性质１、（１）正方形的四个角都是直角。
（２）正方形的四条边相等。
性质２、（１）正方形的两条对角线相等。
（２）正方形的两条对角线互相垂直平分。
（３）正方形的每条对角线平分一组对角。
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO
（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△
BCO≌△CDO≌△DAO．
问：如何判定一个四边形是正方形呢？
正方形的判定方法：
1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；
2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
例2 已知：如图，点A′、B′、C′、D′分
别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′．
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
分析：根据正方形的四条边相等，四个角都是直角及已知条件，可以得到四个全等的直角三角形，它们的斜边都相等，从而判定四边形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形两锐角互余证明菱形是矩形．
证明：（略）
（二）练习
1.已知正方形的边长为2cm，求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积．
2.正方形的对角线和它的边所成的角是多少度？为什么？
3.如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形，为什么？
4.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形，为什么？
三小结
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形而且正方形还是特殊的矩形、特殊的菱形，它们的包含关系如图：
四作业
1.已知正方形的一条对角线长4cm，求它的边长和面积．
2.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
3.求证：正方形对边中点的连线将正方形分成四个小正方形．
4.求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形．。