高考数学最常见的18个问题

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重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破

题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。

()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。

三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。

【高考二轮必备】高考数学二轮经典试题专训第一部分18个必考问题能力突破《必考问题11直线斜率不存在、截距

11．直线斜率不存在、截距为0不可忽视一、忽视直线斜率不存在的情况【例1】► 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点．若|AB |＝23，求直线l 的方程．解 (1)当直线l 的斜率不存在时，画出图象可知，直线x ＝1也符合题意．(2)当直线l 的斜率k 存在时，其方程可设为y －2＝k (x －1)，又设圆心到直线l 的距离为d .由d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22，得k ＝34，代入y －2＝k (x －1)，得y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.所以直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0和x ＝1.老师叮咛：在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解.二、忽视直线在坐标轴上的截距为0的情形【例2】► 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；解当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a ＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得：2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.老师叮咛：直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为\f(x,a )＋\f(y,a )＝1，此时ab ≠0，而且不要忘记当a ＝0时，直线y ＝kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考虑截距为0的情形.必考问题12 圆锥曲线【真题体验】1．(2012·江苏，8)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析建立关于m 的方程求解∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.答案 22．(2010·江苏，16)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析法一 x ＝3代入x 24－y 212＝1，y ＝±15，不妨设M (3，15)，右焦点F (4,0)．∴MF ＝1＋15＝4.法二由双曲线第二定义知，M 到右焦点F 的距离与M 到右准线x ＝a 2c ＝1的距离比为离心率e ＝c a ＝2，∴MF 3－1＝2，MF ＝4. 答案 43．(2012·江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知(1，e )和⎝⎛⎭⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca ，由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1，又点⎝⎛⎭⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝(x 1＋1)2＋(y 1－0)2＝(my 1)2＋y 21＝2(m 2＋1)＋m m 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2(m 2＋1)－m m 2＋1m 2＋2.②(ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m ＞0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ⅱ)因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)．因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝22－2AF ·BF 2AF 1＋BF 2.又由①②知AF 1＋BF 2＝22(m 2＋1)m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．【高考定位】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求．【应对策略】圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质．主要是求它们的标准方程及其基本量，几何性质的应用，与直线和圆的综合等问题，其中椭圆是要重点关注的内容.必备知识1．椭圆的定义与标准方程设F1，F2(F1F2＝2c)是平面内两定点，P是平面内动点，PF1＋PF2＝2a，则a＞c⇔P点轨迹是椭圆，并且当焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，当焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，其标准方程为x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)．2．椭圆的第二定义设F为平面内一定点，P是平面内动点，l是定直线(F∉l)，动点P到定点F的距离与P到定直线l的距离之比为e，则当0＜e＜1时，动点P的轨迹是椭圆．e＝ca是椭圆的离心率，直线l是椭圆的准线．3．椭圆的几何性质设P(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)，则有PF1＋PF2＝2a，且x20a2＋y20b2＝1(a＞b＞0)，|x0|≤a，|y0|≤b，a－c≤PF1≤a＋c，a－c≤PF2≤a＋c，|PF1－PF2|≤2c 等．必备方法1．与椭圆有关的参数问题的讨论常用的两种方法：(1)不等式(组)求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的变化范围；(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．2．椭圆中最值的求解方法有两种：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现某一明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值常用的方法：配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法．3．定点定值问题，所考查的数学思想主要是函数与方程思想、数形结合思想、等价化归思想以及基本不等式的运用等，并且基本上都是建立目标函数，通过目标函数的各种性质来解决问题．关于定点定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题：(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值) .命题角度一圆锥曲线的定义与标准方程[命题要点] (1)求圆锥曲线方程；(2)圆锥曲线的性质的应用．【例1】► (2012·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＝t (－4＜t ＜4)与椭圆x 216＋y 29＝1交于两点P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)，且y 1＞0、y 2＜0，A 1、A 2分别为椭圆的左、右顶点，则直线A 1P 2与A 2P 1的交点所在的曲线方程为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 将A 1P 2与A 2P 1的交点(x ，y )用P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)坐标的关系来代换．解析直线A 1P 2的方程为y ＝y 2t ＋4(x ＋4)，A 2P 1的方程为y ＝y 1t －4(x －4)，两式左右分别相乘得y 2＝y 1y 2t 2－16(x 2－16)，因为点P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)在椭圆x 216＋y 29＝1上，所以t 216＋y 219＝1，t 216＋y 229＝1，即y 21＝9⎝⎛⎭⎫1－t 216，y 22＝9⎝⎛⎭⎫1－t 216，又y 1＞0、y 2＜0，所以y 1y 2＝9⎝⎛⎭⎫t 216－1，代入y 2＝y 1y 2t 2－16(x 2－16)得x 216－y 29＝1；答案 x 216－y 29＝1求圆锥曲线方程的常用方法：轨迹法、定义法、待定系数法【突破训练1】 (2012·南师大附中信息卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，且PF 1＝12，F 1F 2＝2 3.(1)求椭圆C 的方程．(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．【突破训练1】解 (1)∵F 1F 2＝23，∴c ＝3，又PF 1⊥F 1F 2，∴PF 22＝PF 21＋F 1F 22＝494，PF 2＝72， ∴2a ＝PF 1＋PF 2＝4，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC ，其中B (0,1)，由题意可知，直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为y ＝k x ＋1(不妨设k ＜0)，则BC 边所在直线的方程为y ＝－1k x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＋4y 2＝4，得x 1＝0(舍)，x 2＝－8k 1＋4k 2，故A ⎝⎛⎭⎫－8k 1＋4k 2，－8k21＋4k 2＋1，∴AB ＝⎝⎛⎭⎫－8k 1＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 22＝8|k |1＋k 21＋4k 2，用－1k 代替上式中的k ，得BC ＝81＋k 24＋k 2，由AB ＝BC ，得|k |(4＋k 2)＝1＋4k 2，∵k ＜0，即k 3＋4k 2＋4k ＋1＝0，即(k ＋1)(k 2＋3k ＋1)＝0， ∴解得k ＝－1或k ＝－3±52，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形．命题角度二圆锥曲线的几何性质及其应用[命题要点] (1)根据条件确定圆锥曲线的离心率； (2)由圆锥曲线的离心率确定基本量．【例2】► 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 由题设可得出M 点的坐标，M 点的坐标满足椭圆方程，进而得出a ，c 的关系．解析过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标 2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1.答案2－1求圆锥的离心率，关键是建立椭圆的基本量a ，c 所满足的方程组，求出a ，c之间的关系．【突破训练2】 (2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________．解析设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝ (m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心率e ＝1cos α＝52.5答案2命题角度三直线与圆锥曲线的综合问题[命题要点] 定点问题；定值问题；最值问题；应用问题和探索性问题；【例3】► (2012·南通模拟)已知椭圆C 1∶x 22＋y 2＝1和圆C 2：x 2＋y 2＝1，左顶点和下顶点分别为A ，B ，F 是椭圆C 1的右焦点．(1)点P 是曲线C 1上位于第二象限的一点，若△APF 的面积为12＋24，求证：AP ⊥OP ；(2)点M 和N 分别是椭圆C 1和圆C 2上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，证明直线MN 恒过定点．[审题视点] [听课记录][审题视点] 由△APF 的面积求得P 点的坐标，通过计算AP →·OP →＝0从而证明AP ⊥OP ；根据条件求M 、N 的坐标，进而求出直线MN 的方程，再求MN 恒过的定点．证明 (1)设曲线C 1上的点P (x 0，y 0)，且x 0＜0，y 0＞0，由题意A (－2，0)，F (1,0)，∵△APF 的面积为12＋24，∴S △APF ＝12·AF ·y 0＝12(1＋2)y 0＝12＋24，解得y 0＝22，x 0＝－22，即P ⎝⎛⎭⎫－22，22∴AP →·OP →＝⎝⎛⎭⎫22，22·⎝⎛⎭⎫－22，22＝0，∴AP ⊥OP . (2)设直线BM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率为2k ，又两直线都过点B (0，－1)， ∴直线BM 的方程为y ＝k x －1，直线BN 的方程为y ＝2k x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2－4k x ＝0，解得x M ＝4k 2k 2＋1，y M ＝k ·4k2k 2＋1－1＝2k 2－12k 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2k 2＋1，2k 2－12k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k x －1x 2＋2y 2＝2，得(1＋4k 2)x 2－4k x ＝0，解得x N ＝4k 4k 2＋1，y M ＝2k ·4k 4k 2＋1－1＝4k 2－14k 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 4k 2＋1，4k 2－14k 2＋1.直线MN 的斜率k MN ＝4k 2－14k 2＋1－2k 2－12k 2＋14k 4k 2＋1－4k2k 2＋1＝(4k 2－1)(2k 2＋1)－(4k 2＋1)(2k 2－1)4k (2k 2＋1)－4k (4k 2＋1)＝－12k ， ∴直线MN 的方程为y －2k 2－12k 2＋1＝－12k ⎝⎛⎭⎫x －4k 2k 2＋1，整理得，y ＝－12kx ＋1，∴直线MN 恒过定点(0,1)．关于定点、定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题；(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值)．【突破训练3】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且圆C ∶x 2＋y 2＋3x －3y －6＝0过A ，F 2两点．(1)求椭圆标准的方程；(2)设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上；(3)设椭圆的上顶点为Q ，证明：PQ ＝PF 1＋PF 2.(1)解圆x 2＋y 2＋3x －3y －6＝0与x 轴交点坐标为A (－23，0)，F 2(3，0)，故a ＝23，c ＝3，所以b ＝3，∴椭圆方程是x 212＋y 29＝1.(2)证明因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设点P (x ，y )，则k PF 1＝tan β＝y x ＋3，k PF 2＝tan α＝yx －3，因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－ 3因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23yx 2＋y 2－3，所以－23yx 2＋y 2－3＝－ 3.化简得x 2＋y 2－2y ＝3.所以点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上．(3)证明 ∵PQ 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以PQ 2＝12－4y .又PF 21＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ，PF 22＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ，∴2PF 1·PF 2＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2，因为3x 2＝9－3y 2＋6y ，所以2PF 1·PF 2＝44y 2，∵β＝α＋2π3＞2π3，又点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上，∴y ＜0，所以2PF 1·PF 2＝－8y ，从而(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋2PF 1·PF 2＋PF 22＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝PQ 2.所以PQ ＝PF 1＋PF 2.。

高中数学经典高考难题集锦(解析版)1

2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．116．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．22．〔2007•四川〕设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．〔Ⅰ〕假设P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；〔Ⅱ〕设过定点M〔0，﹣2〕的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角〔其中O为坐标原点〕，求直线l的斜率k的取值范围．23．〔2021•丰台区校级一模〕如图，△OFP的面积为m，且=1．〔I〕假设，求向量与的夹角θ的取值范围；〔II〕设，且．假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．24．设、为平面向量，假设存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，那么称、线性相关，下面的命题中，、、均为平面M上的向量．①假设=2，那么、线性相关；②假设、为非零向量，且⊥，那么、线性相关；③假设、线性相关，、线性相关，那么、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕25．〔2005•安徽〕椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，与=〔3，﹣1〕共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．26．〔2021•江苏模拟〕如图，D是△ABC的中点，，那么λ1+λ2=．27．〔2021•泗县校级模拟〕单位圆⊙O：x2+y2=1，A〔1，0〕，B是圆上的动点，∥，．〔1〕求点P的轨迹E的方程；〔2〕求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．28．〔2021•西安校级模拟〕向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当时，求的最大值和最小值；〔3〕如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．29．〔2021•上海〕在直角坐标平面xOy上的一列点A1〔1，a1〕，A2〔2，a2〕，…，A n〔n，a n〕，…，简记为{A n}、假设由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，那么称{A n}为T点列，〔1〕判断，，是否为T点列，并说明理由；〔2〕假设{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．30．〔2021•临川区校级一模〕设点F〔，0〕〔p为正常数〕，点M在x轴的负半轴上，点P 在y轴上，且，．〔Ⅰ〕当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=﹣的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，记，，，λ=，求λ的值．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣〔a+1〕〕||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．应选：D．点评：此题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m 且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴•==，应选C．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解题的关键，属于中档题．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]考点：相等向量与相反向量；平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：压轴题．分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得〔sinα﹣1〕2+〔16t2+18t+2〕=0可得﹣〔16t2+18t+2〕∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．应选A．点评：此题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，表达了化归的思想方法．4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈〔0，〕，∴cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴•==，应选：D．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由可得〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，所以λ=c，μ=d，代入得〔1〕假设C是线段AB的中点，那么c=，代入〔1〕d不存在，故C不可能是线段AB 的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入〔1〕得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．应选D点评：此题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积公式表示出，有得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．解答：解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos〔90°±θ〕|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．应选A．点评：此题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：压轴题．分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．解答：解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．应选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的根底上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，此题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：压轴题．分析：根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解答：解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确应选C．点评：此题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知此题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大局部内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=〔m，n〕与=〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈〔0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．应选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原那么进行分解，构造出三角形，由题目，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，防止出错．解答：解：法一：如下图：=+，设=x，那么=．=∴==3．法二：如下图，建立直角坐标系．那么=〔1，0〕，=〔0，〕，∴=m+n=〔m，n〕，∴tan30°==，∴=3．应选B点评：对一个向量根据平面向量根本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法那么，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：此题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法那么，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．解答：解：∵，那么由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心应选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈〔0，]，∴2θ∈〔0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=应选D．点评：此题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点解答：解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点应选D点评：此题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔k，l〕那么据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔﹣m，m〕应选项为A点评：此题考查平移公式的应用．15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法那么作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．解答：解：∵，∴的夹角为120°，设，那么；=如下图那么∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2应选A点评：此题考查向量的数量积公式、向量的运算法那么、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．16．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．考点：平面向量的根本定理及其意义；二元一次不等式〔组〕与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量根本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A〔〕，B〔〕．再设P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，那么区域面积为．应选D．点评：此题考查了平面向量的根本定理及其意义，考查了二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0应选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．〔2〕由判断出y=f〔x〕的图象是由C按平移得到的；得到C是由f〔x〕左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．〔3〕利用向量的运算法那么将有以P n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．解答：解：〔1〕设点A0〔x，y〕，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为〔2﹣x，4﹣y〕，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为〔2+x，4+y〕，∴={2，4}．〔2〕∵={2，4}，∴f〔x〕的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g〔x〕的图象，其中g〔x〕是以3为周期的周期函数，且当x∈〔﹣2，1]时，g〔x〕=lg〔x+2〕﹣4．于是，当x∈〔1，4]时，g〔x〕=lg〔x﹣1〕﹣4．〔3〕=++…+，由于=，得=2〔++…+〕=2〔{1，2}+{1，23}+…+{1，2n﹣1}〕=2{，}={n，}点评：此题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：立体几何．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN 的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM 的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得t=从而M〔0，1，〕，所以AM=〔2〕因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和〔1〕的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：此题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；〔2〕当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．当切线斜率不存在时，代入检验即可．〔3〕因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．解答：解：〔Ⅰ〕因为a⊥b，所以a•b=0，即〔mx，y+1〕•〔x，y﹣1〕=0，故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m＜0时，该方程表示双曲线．〔Ⅱ〕当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，所以，即t2=r2〔1+k2〕．①因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，整理得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0．②由方程组消去y得〔1+4k2〕x2+8ktx+4t2﹣4=0．③由韦达定理代入②式并整理得〔1+k2〕，即5t2=4+4k2．结合①式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=．〔Ⅲ〕显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1〔x3，y3〕轨迹E的方程为．由直线l与圆相切得t12=R2〔1+k12〕，且对应③式有△=〔8k1t1〕2﹣4〔1+4k12〕〔4t12﹣4〕=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．由韦达定理x32===，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2===≤，其中，等号成立的条件，。

高考数学科目最容易出错的知识点

高考数学科目最容易出错的知识点x高考数学科目易错知识点数学是所有科学的基础。

数学网推荐了高考数学科目容易出错的知识点。

请仔细阅读，希望你喜欢。

集合和简单逻辑1.遗忘空集合导致的错误错误分析：因为空集是任何非空集的适当子集，对于集合B，有三种情况：B=A，B，B，如果在解题时考虑不够仔细，可能会忽略B的这种情况，导致解题结果错误。

特别是在求解带参数的集合问题时，更要注意当参数在一定范围内时，给定集合可能为空的情况。

空集是一种特殊的集合。

由于思维定势，考生在解题时往往会忘记这一套，导致解题错误或不完整。

2.忽略集合元素的三个特征会导致错误。

错误分析：一个集合中的元素是确定的、无序的、相互不同的。

集合元素的三个性质中，互差对解题影响很大，尤其是带字母参数的集合，实际上隐含了对字母参数的一些要求。

解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解题。

3.四个命题的结构不明，造成错误。

错误分析：如果原命题是如果a是b，那么这个命题的逆命题是如果b是a，无命题是如果A那么B，而逆无命题是如果B那么a。

有两组等价命题，即原命题与其逆无命题等价，反无命题与其逆命题等价。

在求解一个命题所写的其他形式的命题时，必须搞清楚四个命题的结构及其等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是一个特殊命题，而特殊命题的否定是一个全称命题。

如果a和b是偶数，那么否定应该是a和b不是偶数，而不是a和b是奇数。

4.充分必要条件颠倒引起的误差错误分析：对于A和B两个条件，如果A=B成立，那么A是B and B的充分条件是A的必要条件；如果B=A成立，那么A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果是AB，那么a和b是相互充分必要条件。

在解决问题时，X因为颠倒了充分性和必要性而容易出错，所以在解决这类问题时，需要根据充分必要条件的概念做出准确的判断。

5.不允许对逻辑连词有误解错误分析：用逻辑连词判断命题时，由于理解不准确，容易出错。

下面我们给出一些常见的判断方法，希望对大家有所帮助：P=p真或q真，P=p假和q假(总结为一真一真)；Pq真，p真和q真，Pq假p假或q假(总结为一个假或假)；p真p假，p假p真(概括为一真一假)。

高考数学必考大题型解题方法总结

高考数学必考大题型解题方法总结随着高考考试的不断改革，数学成为了每位高中学生不可避免的一门学科，而数学中涉及到的大题一直是考生们最为关注的难点。

下面，本文将为大家总结高考数学必考大题型解题方法。

第一大题型：函数与解析几何这是高考数学中最常见的一种大题型。

对于这种大题型，考生需要抓住以下几个关键点来解题：1、先寻找基本函数的变换规律，例如绝对值函数、平方函数、指数函数、对数函数等。

2、寻找题目中函数的性质，例如函数的奇偶性、单调性、周期性和极值等。

3、遵循函数的基本性质，对于复合、反函数的求导和求极值问题，应该采用函数相应的求导公式。

4、对于解析几何，要熟练掌握直线和平面的参数方程，会求解直线和平面的交点、垂足、距离等问题。

第二大题型：矩阵与向量这是高考数学中相对较为常见的一种大题型。

对于这种大题型，考生需要抓住以下几个关键点来解题：1、矩阵和行列式的基本定义及特点，了解矩阵的代数运算（加、减、乘、转置、逆等）。

2、掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵法、Cramer法则等。

3、掌握向量的基本定义及特点，了解向量的代数运算。

4、掌握向量组的线性相关性、线性无关性及相关计算方法。

第三大题型：三角函数这是高考数学中比较基础的一种大题型。

对于这种大题型，考生需要抓住以下几个关键点来解题：1、对于常见角度的正弦、余弦、正切、余切等函数值要熟练掌握。

2、要熟悉三角函数的性质，例如周期性、奇偶性、单调性和对称性等。

3、要理解和掌握三角函数的反函数及其定义域和值域的特点。

4、要掌握三角函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等常用公式。

总之，掌握以上三种大题型的解题方法和技巧对于高考数学考试是非常有帮助的。

同时，考生在备考过程中也要注重日积月累，多做题、多总结，通过不断的复习和实战演练，才能在考场上熟练应用这些方法和技巧，取得优异的成绩。

高考数学考前提醒82个问题(1)

⑧ 若奇函数 y f x 的图象关于直线 x a 对称 , 则其周期 T 4a (即⑦中的 b 0 );
【例 1】(2006 年安徽卷,理)函数 f x 对于任意实数 x 满足条件 1 f x 2 ，若 f 1 5, 则 f f 5 __________. f x 【分析及解】由 f x 2 所以 f (5) f (1) 5 ，则 f
(6) 关于周期性. ① 若函数满足 f a x f x ,则其周期T a ; ② 若函数满足 f a x f x ,则其周期T 2a ③ 若函数满足 f x a
1 (其中 f x 0, a 0 ),则其周期 f x
(7) 关于奇偶性. ①若奇函数 y f x 在 x 0 处有定义,则 f 0 0 ; ②任何一个定义域关于原点对称的函数 F x ,总可以表示为一个奇函数 f x 和一个偶函数 g x 的和,其中
f x F x F x 2 , g x F x F x 2
高考数学考前提醒的 82 个问题
1. 对于集合 A, B, 当 A B 时，你是否注意到一个极端情况： A 或 B ,求集合的子集时,是否忘记了 ? 【例】已知 A x x 2 p 2 x 1 0, x R ， A R ，求 p 的取值范围. 【分析】 A R ,容易理解为方程 x 2 p 2 x 1 0 的两根为非正,而忽视了 A 的可能,此题应分为 A , A 为单元素集合, A 含有两个非正元素三种情况讨论.（答案: p 4, ）.

高考数学常见难题大盘点解析几何

1. 设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅ay b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解析：本例（1）通过32e =，22b =，及,,a b c 之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。

答案：（1）2232 2.1, 2.32c a b b b e a e a a -=====⇒==椭圆的方程为1422=+x y （2）设AB 的方程为3+=kx y由41,4320132)4(1432212212222+-=+-=+=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k x x k k x x kx x k x y kx y 由已知43)(43)41()3)(3(410212122121221221++++=+++=+=x x k x x k kx kx x x ay y b x x ±=++-⋅++-+=k k k k k k 解得,4343243)41(44222 2（3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1 当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b42042)4(1422122222+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y bkx y 得到 442221+-=k b x x:04))((0421212121代入整理得=+++⇔==b kx b kx x x y y x x4222=+k b 41644|||4)(||21||||212222122121++-=-+=--=k b k b x x x x b x x b S1||242==b k 所以三角形的面积为定值.2. 在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r , ②||MA uuu r = ||MB uuu r = ||MC u u u u r ③GM u u u u r ∥AB u u u r（1）求顶点C 的轨迹E 的方程（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上，定点F 的坐标为（2, 0），已知PF u u u r ∥FQ uuur ,RF u u u r ∥FN u u u r 且PF u u u r ·RF u u u r= 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。

高考数学考前提醒82个问题(4)

c a2 62. 圆锥曲线方程中的 a, b, c, e, p, , 的意义记住了吗?注意到 a c x2 y2 双曲线方程 2 2 ,当 0 时表示渐近线方程, 当 0 时表示 a b 双曲线方程了吗? x2 y 2 63. 若 P 为椭圆 2 2 1 上一点, P 为长轴顶点时,到两个焦点 a b 的距离分别为最长和最短, P 为短轴顶点时,对两个焦点的张角最大. 64. 在双曲线的焦点弦中,若焦点弦的两个端点在同一支上,以通径为最短, 若焦点弦的两个端点分别在两支上,以实轴长为最短,
高考数学考前提醒的 82 个问题
52.要注意向量的数量积与实数的积有什么相同与不同? 向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律 a b b a a b b a 分配律 (a b) c ac bc a b c a c b c 2 2 2 (a b) 2 a 2 2ab b 2 a b a 2a b b 2 2 2 2 (a b)(a b) a b a b a b a b
59. 在解析几何试题中涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的题目较多,解这类问题时,要通过联立方程得到关于 x 或 y 的二次方程的形式,首先要讨论方程的次数,若二次项系数为 0,为一次方程, 若二次项系数不为 0,为二次方程,其次要对二次方程用判别式判断位置关系或根据已知位置关系求其中的参数的范围;再利用韦达定理求出交点坐标的关系式. 60. 若直线的斜率为 k ,则直线与圆锥曲线相交,所得弦长 AB 的公式为 AB 或

▲给出以下情形之一 ① AB// AC , ②存在实数 , 使A B A C,

高考数学学生最常见的18个问题

高考数学学生最常见的18个问题导语：人每天都学到一点东西，而往往所学到的是发觉昨日学到的是错的。

下面是我为大家整理的，数学学问。

更多相关信息请留意CNFLA学习网!下面我将同学们常问的一些相关问题和我的看法公布如下：问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做题就做不出来了，帮忙分析一下缘由。

答：数学这个东西是靠着规律吃饭的，是靠着规律演绎向前推动和进展的。

当一个老师把你抱到了规律的起点上，告知你这个规律关系是怎样的，比如说饿了就应当找饭吃，下雨了就应当找伞来打，告知你了这个规律规章，你自己确定会根据规律的挨次往前跑，这就叫为什么上课听得懂。

为什么课下自己不会做了呢?是由于课下你找不到规律的起点，就像一个运动员空有一身本事，跑得飞速，没有找到起点，没有到起点做好仔细的预备，结果人家一发令，你没反应。

有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在学校是主要手段，在学校，这种手段还占着百分之六七十的重量，但是到了高中就不行了，靠仿照能得到的分数也就是五六非常，其他的分数都要靠你的理解。

所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性熟悉，在你的头脑中，应当存下老师讲解的这一段学问和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。

当你遇到新问题、新试题的时候，你应当拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。

那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。

我教过的同学里头也有这样的，学数学的方式来停留在学校的仿照和描红模子的阶段，他本人并不笨，脑子也很聪慧，就是由于学习方法不当，还是停留在仿照的阶段，而且习惯于不时地流露出仿照的痕迹，在这样的阶段，高一高二学新课，成果还不错，也可以考到九十多分，高三的开头，成果也不错，随着时间的推移，综合题大量的下来，成果就渐渐下来，自己做题也显得很枯燥，建议改改你的学习和思维方式，可能有效。

高考数学常考问题专题讲解函数中易混问题—11对

函数中易混问题—11对函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十一对问题加以剖析并举例说明．一、定义域与值域例1．（I）若函数的定义域为，求实数的取值范围．（II）若函数的值域为，求实数的取值范围．分析：（I）若函数的定义域为，就是无论为何实数，永远成立．令，则的图象始终在轴的上方，因此，就有且，从而，．（II）若函数的值域为，就是应该取遍一切正的实数，也就是集合是值域的子集．当时，，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得；时不合要求．故实数的取值范围是．评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．二、定义域与有意义例2．（I）已知函数的定义域为，求实数的取值范围．（II）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围分析：（I）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得．（II）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即．评注：若在上有意义，则是函数定义域的子集．三、值域与函数值变化范围例3．（I）若函数的值域为，求实数的取值范围．（II）若函数的值恒大于或等于1，求实数的取值范围．分析：（I）因为函数，所以，即的值域为，于是有，解得或．（II）因为函数恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得．评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值．四、主元与次元例4．（I）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．（II）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．分析：（I）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：i）当时，即时，只要，即，此时矛盾．ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾．iii）当时，即时，只要，即．综上，实数的取值范围．（II）原来的不等式可以转化为对于恒成立；只要即可，于是，解得或或评注：构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．五、有解与恒成立例5．（I）已知，若恒成立，求实数的取值范围．（II）已知，若有解，求实数的取值范围．分析：（I）因为恒成立，这就要求的图象全部在直线的上方，即就可，易知，所以，．（II）要使有解，这就要求的图象上有点在直线的上方即可，即，又，所以，评注：“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可．有解，有解．“恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．六、单调区间与区间单调例6．（I）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．（II）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围．分析：（I）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得．（II）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得．评注：若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．七、某点处的切线与过某点的切线例7．（I）求曲线在点处的切线方程．（II）求曲线过点的切线方程．分析：（I）由得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（II）设切点为，又，所以切线斜率为，则曲线在点的切线方程为．又在切线上，于是就有，即，解得或；当时，切点就是，切线为；当时，切点就是，切线斜率为，切线为．评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一．八、对称与周期例8．（I）若函数对一切实数都有，且，求．（II）若函数对一切实数都有，且，求．分析：（I）因为对于一切，都有，即，恒成立，那么就有的图象关于直线对称，所以，．（II）因为函数对一切实数都有，那么就有是周期函数且，则．评注：若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线对称．若函数对一切实数都有，则有是周期函数，且其中一个周期为．九、中心对称与轴对称例9．（I）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．（II）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．分析：（I）若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线成轴对称；又时有；所以时，有，；解析式为（II）函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称；又时有；所以时，有，．解析式为评注：函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称．十、时恒成立与时恒成立例10．（I）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．（II）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．分析：（I）设，则；于是，对于任意的时，恒成立．即；容易知道，故．（II）对于任意的，都有恒成立，等价于当时，；容易求得，，于是，故．评注：时恒成立，等价于时，；时恒成立，等价于时．十一、函数单调与数列单调例11．（I）若函数是单调增函数，求实数的取值范围．（II）若函数（且）是单调增函数，求实数的取值范围．分析：（I）因为函数在区间是单调增函数，所以对称轴直线，得实数的取值范围是．（II）因为函数在且上是单调增函数，所以，对于一切，恒成立，即恒成立，故．评注：数列是特殊的函数．若在上是增函数，则数列一定是增数列，但反之未必成立．因此，函数的单调性与对应数列的单调性有时会不一致，应该慎重处理．。

高考数学一轮复习常见问题

高考数学一轮复习常见问题高中数学学习存在着不同方面的数学思想需要考生慢慢培养，为此整理了高考数学一轮复习常见问题，请考生认真阅读。

问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做题就做不出来了，帮忙分析一下原因。

答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。

当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。

为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。

有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。

所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。

当你遇到新问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。

那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。

我教过的学生里头也有这样的，学数学的方式来停留在初中的模仿和描红模子的阶段，他本人并不笨，脑子也很聪明，就是因为学习方法不当，还是停留在模仿的阶段，而且习惯于不时地流露出模仿的痕迹，在这样的阶段，高一高二学新课，成绩还不错，也可以考到九十多分，高三的开始，成绩也不错，随着时间的推移，综合题大量的下来，成绩就慢慢下来，自己做题也显得很枯燥，建议改改你的学习和思维方式，可能有效。

高考数学18个必考题型

高考数学18个必考题型我们在做作业或者考试的时候最重要的就是审题。

你对题型、题目条件和考点没有一种敏感度，不擅长从看似复杂繁琐的题干中提取出关键有用的信息，非常容易受到干扰条件的误导。

做题的时候，如果你连题目都判断错了，那还能得分吗？这一次无偿放送的福利是高考数学一些必考题型。

如果大家想要获取更多的学习资料。

掌握快速提分方法和解题技巧。

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首先要弄清楚题目的内容、已知条件、求什么、需要联系哪些知识点等；其次是考虑好解题思路、方法、步骤，要善于把一道题拆分成几个部分，化大为小，化繁为简，化难为易，仔细理清其中的已知条件和位置条件，弄清楚各个部分之间的联系，想好整个解题步骤，一定要让自己做到：不明白题意不做提，不清楚方法步骤不下笔。

另外这里再强调一下草稿纸的重要性。

有的同学的草稿纸非常乱，东写一下西画一笔，这样是非常不可取的。

草稿纸可以把它分为几个板块，每一道题都写在固定的板块上，理清自己的思维，这样可以大大的减少因为看错或者计算错误而出现的失分。

如果想要提升审题的敏感度，那么这部分学生首先需要坚实到足够多的题目，重质重量的完成习题，并且在此基础上学会归纳和总结，通过这些题目建立题干到考点的联系，从而能够从繁琐复杂的题干中挖掘出有用的信息和对解题有帮助的条件。

把一道题变为一类题，形成一种看见这一道题就知道是具体考察什么知识点的一种反射，要通过题目对知识体系和考试题型有一个全面的梳理和清晰的了解。

然后在这个基础上，自己总结出一套行之有效的解题经验和套路，会渐渐发现高考数学中的绝大多数难题的考察方式和考点都是相对固定的，将不同的题目对应不同的解题方法，能够很大程度上环节学生在考场上面对问题时的窘迫，也让解题能够更加有目的性和方向性。

所以，我们在做题上的整体安排要做到：1.按照顺序做题，先做容易的再做难题。

2.做题时稍稍慢一点，计算一定不要出现差错；做中档题的时候稳中求胜，绕开哪些一看就没有思路的难题。

高考数学中的基本初等函数题型总结

高考数学中的基本初等函数题型总结作为全国高中生的普及性质考试，高考中必定会考到数学这个科目，而其中初等函数部分则是数学中的基础知识。

初等函数常常出现在多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等高中知识点当中。

因此，对于考生来说，掌握初等函数的知识点，对高考数学考试及日后的数学学习都非常重要。

本文就高考数学中的基本初等函数题型进行总结。

1. 最值问题求函数的最值是很常见的一种初等函数题型。

以一些典型的例子为参考，可更好地掌握这类题型。

例1：已知$f(x)=x^2-2x+2$，求$f(x)$的最小值。

解：首先，把$f(x)$变形为完全平方的形式。

即$$f(x)=(x-1)^2+1$$显然，当$x=1$时，$(x-1)^2$取最小值$0$。

故$f(x)$在$x=1$时取得最小值$1$。

例2：已知$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+5$，求$f(x)$的最大值。

解：同样把$f(x)$变形为完全平方的形式。

即$$f(x)=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{1}{2}$$显然，当$x=3$时，$(x-3)^2$取最小值$0$。

故$f(x)$在$x=3$时取得最大值$\dfrac{1}{2}$。

2. 解方程解初等函数的方程是另一种常见的题型。

以下为几个典型的例子，例3：已知$y=2^x-x$，求$y=0$时的$x$的值。

解：根据方程可得$$2^x-x=0$$$$x=2^x$$把函数$y=2^x-x$作图，可以看出在$x=1$时交于$y=0$。

因此，方程的解为$x=1$。

例4：已知$y=\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2$，求$y=1$时$x$的值。

解：根据方程可得$$\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2=1$$$$\log_2(x-1)=2$$$$x-1=2^2=4$$因此，方程的解为$x=5$。

3. 函数图像解题函数图像是初等函数题目中重要的一部分。

高考数学常见的三种错误及应对方法

高考数学常见的三种错误及应对方
法
高考数学是每个高中生都必须参加的科目之一，也是录取重要的依据之一。

然而，许多学生在高考前半年或最后一年依旧存在许多错误。

这些错误会阻碍他们的学习和考试性能，为了帮助学生避免这些错误，以下是高考数学常见的三种错误及应对方法：
一、读题错误
读题错误是高考数学中最常见的错误之一，尤其在考前紧张时更加常见。

这种错误会导致学生不理解问题的意图，因而无法得出正确的答案。

解决这个问题的一个简单方法是：认真阅读题目，多思考多理解。

当遇到难题时要多做几遍，同时关注问题中的关键字和条件。

读题也要注意细节，如行列号等.
二、计算错误
数学考试中的第二种常见错误是计算错误。

这种错误包括基本的计算错误（加、减、乘、除），错误的单位或数字丢失等。

这种错误往往不仅导致分数丢失，而且还浪费时间，因为必须多次检查方案才能确保正确性。

避免计算错误的方法是：注意计算细节、谨慎对待复杂的问题、优先计算出待计算的答案、检查答案的数字、单位和解释是否正确。

三、概念错误
数学主要是基于概念研究的一门学科，因此在高考数学中产生概念错误是非常常见的。

例如，许多学生会混淆概念，例如向量与点、线段，导致计算错误。

为防范这种错误，学生应该重视概念，关注课堂上的授课和个人的阅读，以更深入的理解数学概念。

总而言之，防止上述高考数学中的三种错误的关键在于多做练习，重视细节、认真阅读题目和授课时对于概念的理解。

通过勤奋努力，我们可以避免这些常见错误，并获得出色的成绩。

高考数学中的常见排列组合

高考数学中的常见排列组合在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，也是高考中常见的题型之一。

掌握排列组合的基本原理和解题方法，对于学生们提高数学成绩，顺利应对高考至关重要。

本文将介绍高考数学中常见的排列组合知识点及其解题技巧。

一、排列排列是指从给定的一组数或对象中按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列。

常见的排列问题有以下几种情况：1. 直线排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，就构成了从n个对象中取出k个对象的直线排列。

直线排列的公式为：A(n, k) = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1)，其中n ≥ k。

2. 圆排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，构成了从n个对象中取出k个对象的圆排列。

圆排列的公式为：P(n, k) = (n-k+1) * (n-k+2) * ... * n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1，其中n ≥ k。

3. 重复排列：重复排列是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列，允许重复。

重复排列的公式为：A'(n, k) = n^k，其中n ≥ k。

排列问题在高考中常常涉及选排队、座位、字母、数字等情况，解题时需要根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种排列公式，并注意计算时的条件约束。

二、组合组合是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或全部进行组合。

与排列不同，组合中的元素的排列顺序不重要。

常见的组合问题有以下几种情况：1. C(n, k)表示从n个对象中选择k个不同的对象组成一个集合，其中n ≥ k。

定义组合公式为：C(n, k) = A(n, k) / k! = n! / [(n-k)! * k!]。

2. n个相异对象的m个同类分成若干组，每组可以有0个或者多个，此种情况下共有C(m-1, n)种不同的组合。

组合问题在高考中常常涉及选人、选课、摆放等情况，解题时需要根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种组合公式，并注意计算时的条件约束。

警惕：高考数学备考中存在的18个风险

警惕：高考数学备考中存在的18个风险每次考试终止，都能看到同学们各种后悔：后悔高一、二没有好好的学习，后悔没有好好分析自己存在的不足，直到考试时才明白着急，后悔显现了专门多低级失误，后悔练习不足导致面对一些试题不适应……之因此觉得后悔，是因为这些风险早就在那儿，只只是因为自己视而不见才会在考试中爆发出来。

大伙儿都可不能期望这些风险在高考的时候爆发——不要说全部爆发，确实是随便爆发一点，也可能是致命的。

为了幸免自己在高考完后悔，我们是不是应该提早分析一下备考中存在哪些风险呢？下面我们就从数学卷各个题型动身，分析一下数学备考中存在的风险。

选择题和填空题后两道一样为难度较大的题，导致考生错误的概率专门高。

那么学生在备考中应该关注这些点：（1）答题时刻风险（2）会而不对造成的风险（3）对压轴题总结和研究程度（4）过去的考试中暴露的问题以及缘故（5）如何样才能做到有效的调整（6）训练与检验模式如何样（7）做题的时候收集属于自己的心得如何规避风险？从分发试卷到开考铃响，一样有五分钟的时刻，考生能够在这段时刻内，作出时刻的安排，保证答题速度，以免答题时，前松后紧，造成时刻不够用，慌了手脚。

答题时，小鹿建议考生把自己最有把握，最容易得分的题目先做。

假如时刻承诺，每一个题目都不能轻易舍弃，假如时刻不够，那么就应该采取“抓大放小”的策略，优先确保分值高的题目做好。

解答题解答题第一题一样为三角函数，众多学生都能得分，然而存在几种风险如平常疏忽训练导致生疏、运算能力不足、对变换模式题不适应。

解答题第二题一样为立体几何题学生存在的风险要紧是集中第二、三问对新题型不适应。

解答题第三题一样为概率题，学生要紧存在的风险是分析不全面、简单的运算错误等等。

解答题第四题一样为导数与函数综合题，风险要紧有以下这些：（1）平常训练不足（2）总结不全面（3）运算能力和逻辑能力不强（4）表达（5）在短时刻内不能更好的完成与适应解答题第五题一样为解析几何题，在之前的文章里面差不多有相应的分析了。

高考数学中的常见多项式求值

高考数学中的常见多项式求值在高考数学中，多项式的求值问题是一个非常常见的题型。

多项式求值即给定一个多项式和一组变量的值，要求计算出多项式在这组变量值下的结果。

多项式求值问题可以帮助我们巩固多项式的基本概念和运算规则，提高我们的代数计算能力。

下面，本文将通过介绍多项式的基本定义和求值方法，以及一些典型的高考多项式求值问题，来帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、多项式的基本定义多项式是由一系列的项按照加法的法则形成的代数式。

每个项由常数系数和一个变量的幂次组成。

例如，多项式P(x) = 3x^2 + 2x - 1 由三个项组成，分别是3x^2, 2x和-1。

其中，3, 2和-1是项的系数，x是变量，2、1和0是对应项的次数。

二、多项式的求值方法要求解一个多项式在给定变量值下的结果，可以按照以下步骤进行：1. 将多项式中每个项的变量替换为给定的值。

例如，如果要求计算多项式P(x) = 3x^2 + 2x - 1 在x=2下的值，可以将x替换为2，得到P(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 12 + 4 - 1 = 15。

2. 按照指数法则计算出每个项的结果。

对于一般的多项式，可以利用指数法则简化计算。

指数法则包括指数的加法、减法和乘法法则。

例如，(2x)^3 = 2^3*x^3 = 8x^3，(x^2)^3 = x^(2*3) = x^6。

3. 将每个项的结果相加得到最终的多项式结果。

将所有项的结果相加，即可得到多项式在给定变量值下的结果。

三、典型的高考多项式求值问题1. 求多项式在给定变量值下的结果。

例如，计算多项式P(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 1 在x=3下的值，可以将x替换为3，得到P(3) = 2(3)^3 + 4(3)^2 - 3(3) + 1 = 2(27) + 4(9) - 9 +1 = 54 + 36 - 9 + 1 = 82。

2. 求多项式的特定值。

高考数学中的条件极值问题详解

高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。

其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。

本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。

一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。

所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。

条件则是问题给出的限制条件。

例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。

二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。

2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。

3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。

4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。

5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。

三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。

分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。

其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。

根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。

2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。

证明此三角形是等边三角形，并求其面积。

高考数学37个易犯错误的考点

高考数学37个易犯错误的考点01常见的5种错误的数学学习习惯错误习惯一：被动学习被动学习的同学，其依赖心会很强，会跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权。

表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。

发现，这一习惯可能对于小学生而言影响还并不明显，但对于中学生而言就很严重了，如果保持这种习惯，就很难对数学知识掌握透彻，无法真正理解所学内容。

错误习惯二：学不得法每天都要在学校上课，难免不对其产生乏味感，于是一部分同学上课没有认真听课，导致要点没听到或听不全，虽然笔记记了很多，但隐藏的问题却不少，导致课后会花更多精力去理解和掌握。

而且有个很严重的问题是，很多同学课后很少做到及时巩固、总结，只是当任务一般完成作业，并且在做题时乱套题型，对概念、公式一知半解，机械模仿，做对就结束，不多做思考。

更有甚者，会有上课不听课，另起炉灶独自学习，结果是事倍功半，收效甚微。

错误习惯三：不重视基础事实上，所有摩梭人都知道自己的父亲，只是没有和父亲生活在一起。

同学摆满月酒时，母亲需要邀请父亲出席并确认亲子关系。

在过年、重大节日时，子女必须去父亲家中拜见父亲，父亲亦会送礼物给子女。

子女有重大仪式如成年礼等，父亲亦必须在场。

但父亲并不负责管教和供养子女，他们只需要管教和供养姊妹的子女，与外甥的关系比亲子女亲密。

错误习惯四：数学思维不变通我们知道，小学数学到初中数学，再到高中数学，它们之间在知识的深度、广度，能力要求都是递增的，要知道中学数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高，需要有变化的思维。

比如二次函数的最值问题，就含有参数的一些问题等，如果考虑不全，就会丢分不少。

错误习惯五：浅尝辄止，不能举一反三课堂的学习只能让同学认识到知识的概念、公式、法则等的由来，但如果不在课下巩固深入，就很难掌握到知识点的来龙去脉，尤其是缺乏对知识点之间的联系，导致只要题目稍有变化就可能不会做。