【精品课件】4.3.3余角和补角
课件4：4.3.3余角和补角
(2)图中互补的角是_∠__A_O_D__与__∠_B_O__D_;_∠__A_O_C__与_∠__B_O_C_.
(3)图中相等的角是__∠__A_O_C__与___∠__B_O_C__.
E 西 C
F
北D 45° 45°
O
B南
H （1）正东，正南，正西，正北
射线OA，OB，OC， OD,
东 A
（2）西北方向:__射__线__O_E__
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, ( 已知 ) 则 ∠1和∠2互补 . (互补定义) 若∠1和∠2互补, ( 已知 ) 则∠1 + ∠2 =180 °. (互补定义) 若∠3 + ∠4 =90 °, ( 已知 ) 则 ∠3和∠4互余 . (互余定义) 若∠3和∠4互余, ( 已知 ) 则 ∠3 + ∠4 =90 °.(互余定义)
第四章 几何图形初步
4.3.3 余角和补角
探究余角、补角的定义 活动一：
A
C
12
0
D
71°
ß 19° ª
如图∠AOD = 90° ∠1+∠2 = 90° ∠α +∠ß= 90°
两个角的和等于90°（直角）， 就说这两个角互为余角，简称互余。
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角 练一练：
问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？ 问题2：若 1 2 3 180 ， 那么∠1、∠2、∠3互为补角 吗？[来源 问题3：互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？
练习：如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是__∠__D__O_B_____
②∠AOD的余角是___∠__C_O_D_____
4.3.3_余角和补角课件
所以∠2＝∠4.
归纳
等角 （同角）的补角相等.
对于余角是否也有类似性质？
等角 （同角） 的余角相等.
推导性质，理解运用
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 同角的余角相等 则 _____ ∠1 ＝ ______ ∠3 ，根据是＿＿＿＿＿＿ ＿＿ . (2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补， ∠5 ，根据是 ∠4 ＝______ 且∠3＝∠6, 则_____ 等角的补角相等 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
45° 77°
62°23′
x
推导性质，理解运用
(1)已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那
么∠2和∠3的大小有什么关系？
由∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º －∠1， ∠3＝180º －∠1，
推导性质，理解运用
例 如图，A，O，B在同一直线上,射 线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
推导性质，理解运用
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角 . 又因为射线OD和射线OE
1 1 所以∠COD +∠COE＝ ∠AOC+ ∠BOC 2 2
交流预习
一张长方形纸片，沿一个 角折叠后，折痕与长方形的边 形成了几个角？
∠1与∠2有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3与∠4又有什么数量关系？ ∠3+∠4=180°
1
2
4 3
4.3.3 余角和补角
互为余角 如果两个角的和是一 个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其 如果两个角的和是一个 平角，那么这两个角叫做互 为补角，其中一个角是另一 个角的补角。
《4.3.3余角和补角》课件(三套)
例4 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在 它南偏东60º的方向上,同时,在它北偏东40º、南 偏西10º、西北(即北偏西45º)方向上又分别发现 了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的 方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的 射线.
若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义)
若∠3 + ∠4 =90 °,
则 ∠3和∠4互余.( 互余定义)
若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
（2）图中互补的角是_∠__M_O__Q____与∠__Q_O__N__； ∠_P_O__N___与∠_M__O__P_．
例题
一个角的补角是这个角的余角的2.5倍，求这个角．
解：设这个角为x°. 180-x=2.5（90-x） 180-x=225-2.5x 2.5x-x=225-180
1.5x=45 x=30
）
C
B．20°，70°
C．40°，140°
D．30°，150°
3．下列叙述正确的是（
）
A．180°是补角
B
B．130°和50°互为补角
C．130°和 50°是补角
D．40°是50°的补角
4．（1）若∠α的补角与∠β的余角相等，求 ∠α，∠β的关系．
解：因为180°－ ∠α＝90°－ ∠β， 所以∠α－ ∠β＝90°． 所以∠α＝ ∠β＋ 90°．
∴ ∠1=∠3．
知识要点
补角的性质2
等角的补角相等．
同角或等角的补角相等．
4.3.3余角和补角 课件 (共28张PPT) 人教版七年级数学上册
45°
F
G
东北方向:___射__线__O_H__
B 南
例:如图,轮船O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时， 在它北偏东40°，南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了 客轮B、货轮C、和海岛D，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、 货轮C和海岛D方向的射线．
北
90°
2
3
从数量上看： ∵ 24°+66°=90° ∴∠1+∠2=∠3=90°
如图，可以说∠1和∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
探究新知 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
4 3
如图，可以说∠3和∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4是∠3的余角.
探究新知
如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
114° 从图形上看：
α
66° β
180° γ
从数量上看： ∵ 114°+66°=180° ∴∠α+∠β=∠γ=180°
如图，可以说∠α和∠β互为余角，∠α是∠β的余角，∠β是∠α的余角.
做一做
1.图中给出的各角，哪些互为补角？
12°26′ 102°26′
27°37′ 117°37′
90 x 180 x
二、余角的性质： 1.画一画:已知∠α，请利用三角板画的∠α 的余角
1 α
2.图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关 系？为什么？
3.这同一角结的论余用角文相字等怎么叙述？
例：如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分 ∠AOC和∠BOC， （1）求∠DOE的度数； （2）图中哪些角互为余角，那些角互补？
人教版七年级数学上 4.3.3《余角和补角》课件(共18张PPT)课件
理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课件1：4.3.3余角和补角
例2
已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数.
解: 设这个角为 x 度,则这个角的余角是 (90 – x) 度,补角是 ( 180 – x ) 度. 由题意,得 180 – x = 4 ( 90 – x ), 解方程,得 x=60 (度) 所以这个角的度数为60 °
射线OC的方向就是南偏
西
O
●
东
西10°，即货轮C所在的
方射向线的方向就是北偏西45°， 即海岛D所在的方向.
C 60°
●A
●10南°
通过本节课的学习，要求学生： 1.认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的 性质． 2.了解方位角，能确定具体物体的方位．
本节内容结束
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如图所示，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方
向上,同时,在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的
方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线北 .
●B
射线OB的方向就是北偏东40°， ● D 45°40°
即客轮B所在的方向.
()
×× ( )
× (4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，另一个是钝角。 （ ）
√ (5)一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( )
× (6)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直线上。 ( )
× ⑺若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角（ ）
看谁思考的快！！ 1．锐角的余角一定是锐角吗？
填空题：
1、若 1与 2互补，则 1＋ 2＝_1__8_0°
人教七年级数学上册4.3.3《余角和补角》课件
知识点 1 余角和补角 【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于 90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°. 又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°， 所以∠3+∠4=90°. 所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互 余. (2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【解题探究】1.C在A的北偏东30°是绕点A以什么方向为基准， 沿什么方向旋转30°. 提示：以正北方向为基准，沿顺时针方向旋转30°. 2.C在B南偏东45°是绕点B以什么方向为基准，沿什么方向旋 转45°. 提示：以正南方向为基准，沿逆时针方向旋转45°.
3.点C与以上两个方向线有什么关系？ 提示：以上两个方向线的交点就是点C.如图：
2.余角和补角的性质： 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4 有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 所以∠1+∠2=_1_8_0_°__，∠3+∠4=_1_8_0_°__， 所以∠2=_1_8_0_°__-_∠__1_，∠4=_1_8_0_°__-_∠__3_， 又因为∠1=∠3，所以_∠__2_=_∠__4_.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为基准，描述物体运动方向的角.
4.3.3余角与补角
4. 3. 3余角与补角(1)学习目标：1•在具体情境中了解余角、补角的概念.2 •了解等角的余角与补角的性质，能运用这个性质解决简单的实际问题.3 •学习进行简单的推理，学习有条理的表达.学习重点：等角的余角与补角的性质.学习难点：推导“等角的余角与补角的性质”的过程.一、自主学习：1 .①如果/ 1 = 35°,/ 2= 55°，那么/ 1 + Z2 = _________________.如果/ A= 42°,那么当/ B= ____________ 时，/ A+Z B= 90°.②三角尺中，有一个角是直角(90 ° ),那么另两个角的和是 ____________________度.③度量图4.3-13的两个角，Z 3 = , / 4= ，计算：Z 3+/ 4= . 一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角.2 . (1)在上面的这些角中，哪两个角是互为余角的？(2)已知/ A= 72°，那么/ A的余角是_______________ 度.(3)已知/ A的余角是/ A的两倍，你能求出/ A的度数吗？说说你的想法.3. _________________________________ 度量图4.3-14 的两个角，/ 1 = __________ , / 2= __________________________________ ，计算：/ 1+/ 2 = ___________________ .一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角.(1) 上面的/ 1与/ 2互为补角吗？(2) 试举出两个互为补角的例子.(3) ______________________________________ ①已知/ A= 72 °，则/ A的补角= 度.②如果/ a = 62° 23 '，则/ a的余角= __________________ ，则/ a的补角= ______________③已知/ A的补角是/ A的两倍，你还能求出/ A的度数吗？④已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数.、当堂检测：练习第1、2、3题.三、合作探究：1 .如果/ 1与/ 2互余，/ 1与/ 3互余，那么/ 2与/ 3相等吗？为什么?2.如果/ 1与/ 2互补，/ 1与/ 3互补，那么/ 2与/ 3相等吗？为什么?3.如果/ 1与/ 2互余，/ 3与/ 4互余，并且/ 1 = Z 3,那么/ 2与/ 4相等吗?4.如果/ 1与/ 2互补，/ 3与/ 4互补，并且/ 1 = Z 3,那么/ 2与/ 4相等吗?5 余角的性质：补角的性质：四、学习小结：4. 3. 3余角与补角(2)学习目标：1 .了解用于表现方向的角方位角的意义. ,.2学习重点： .初步掌握方位角的判别，体会方位角在生活中的应用. 方位角的判别与应用. 学习难点： 方位角的判别与应用.、自主学习：1•海上缉私艇发现离它 50海里处停着一艘可疑船只(如图)(1) 试画出缉私艇的航线.(2) 如果是真在海面上，你能确定船的航向吗？2 •在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到上述类似的问题，即如何描述一个物体 的方位.描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角——方位角.方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描 述物体的方向•即用“北偏东多少度”、“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示方向.如图，(1)射线OA 的方向是南偏西 40°,或者说 点A 在点O 的南偏西40°方向.(2) ______ 射线OB 的方向是北偏东45°,或者说点B 在 点O 的 _______________ 方向.注：北偏东45°的方向又称为“东北方向”.所以， 我们也可以称点 B 在点O 的 ___________________________ 方向.(3)在图中画出北偏西 50°方向射线 OC3 .在第1个问题中，我们规定“上北下南，左西右东”，试确定缉私艇的航向.二、合作探究：1. 已知点O 在点A 的南偏东65°方向，那么点 A 应在点O 的 北AB_________________ 方向.2. 某同学参观展览馆 A 后，想去景点 B ,但他不知道如何走， 你能借助右图，告诉他去景点 B 应朝什么方向，大约走多远吗？ .(图中1厘米代表1千米)3 .如图，A B 、C 三点分别代表邮局、商店和学校. 邮局和商店分别在学校的北偏西方向， 邮局又在商店的北偏东方向.那么，图中A 点应该是,B点应该是 __________C 点应该是 ________ .*C4. 考察队从P 地出发，沿北偏东60°前进5千米到达A 地，再沿东南方向前进到达 C 地, C 恰好在P 地的正东方.(1 )用1 cm 代表2千米，画出考察队的行进路线图.(2)量得/ PAC= __________ ，/ ACP= _______ .(精确到 1°)，缉私艇要立即赶往检查.・B可疑船A.5 .灯塔A在灯塔B的南偏西60°,距离20海里，轮船C在灯塔B的西北方向，距离海里•用1 cm表示40 10海里画出示意图，试确定货船C在灯塔A的什么方向，距A多远?三、学习小结：四、作业：。
《4.3.3余角与补角》课件
（1）图中有哪几对互补的角?
A
C 1 2 O B 3 4 D
同角的补角相等
认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？ C ∠A与∠B互余 2 1 ∠A与∠2互余 ∠1与∠B互余 B D ∠1与∠2互余 A （2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 说明它们相等的原因。
∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
性质
注意点
1
互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。 互余、互补概念中的角是成对出现的。
角 的余角是 90 ，补角是180 ,
2
3
4
同一个锐角的补角比余角大 90 。 90 。 只有锐角才有余角。
5
同角的余角（补角）相等； 等角的余角（补角）相等。
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
5 3 1 2 6 4
∠BEF = ∠BFE
G ∠AED = ∠CFG = 90 °
D
E
F
找出图中相等的角并说明理由。
AEF CFE(等角的余角相等)
AEB CFB(等角的余角相等)
BED BFG(等角的补角相等)
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180 的数量 (1 90 2) (1 180 2) 关系 对应 图形 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等
相 ∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余(已知) 等。 ∴ ∠2 = 90°─∠1，∠4 = 90°─∠3(互为余角的定义)
∵ ∠1=∠3(已知) ∴ ∠2 =∠4(等量减等量差相等)
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(1)-(-a-b)=a-b × (2)5x-(2x-1)-x2=5x-2x+1+x2 × (3)3xy-0.5(xy-y2)=3xy-0.5xy+y2 × (4)(a3+b3)-3(2a3-3b3)=a3+b36a3+9b3 √
-
3.根据去括号法则，在___上填上“+”号 或“-”号：
(1)a___(-b+c)=a-b+c； (2)a___(b-c-d)=a-b+c+d； (3)____(a-b)___(c+d)=c+d-a+b
5.利用去括号的规律进行整式的化简:
化简下列各式: (1)8a 2b (5aa-b
=13a+b
(2)(5a-3b)-3(a -2b)
解：原式 5a 3b (3a 6b)
2
2
5a 3b 3a 6b 2 3a 5a 3b
2
归纳小结
你觉得我们去括号时应特别注意什么？ 1、去括号时要将括号前的符号和括号一起去掉
2、去括号时首先弄清括号前是“+”还是“-”；
3、去括号时当括号前有数字因数应用乘法分配 律，切勿漏乘。
这节课我们学到了什么？ • １ 去括号的依据是：分配律
2 学习了类比的方法
3 去括号的方法
4 去括号在整式加减中的运用
用三个字母a、b、c表示去括号前后的变 化规律:
a+(b+c) = a+b+c a-(b+c) = a-b-c
读一读下面顺口溜，你是怎样理解的？
s 去括号，
看符号： s 是“+”号，不变号； s 是“-”号，全变号
s你明白它们变化的依据吗?
巩固新知
1.口答：去括号
（1）a + (– b + c ) = a-b+c ( 2 ) ( a – b ) – ( c + d ) = a-b-c-d ( 3 ) – (– a + b ) – c = a-b-c ( 4 ) – (2x – y ) – ( - x2 + y2 ) = -2x+y+x2-y2
(1)2(χ+8)=2χ+16 (2)-3(+3χ+4)= -9χ-12
观察与思考：
(3)-7(+7y-5)= -49y+35
(1) :12( x 0.5) 12 x 6
5 x (3) : ( x 3) x 3 (4) : ( x 3) x 3
1 (2) : 5(1 x) 5
布置作业
甲本:P97 练习 新干线
再
见
----去括号
知识回顾
1.你记得乘法分配律吗？用字母怎 样表示？
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别 同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为: a(b+c)=ab+ac
2.利用乘法分配律计算:
(1)12 ( )
1 6 2 3
( 2) 12 ( )
1 4 1 3
探究新知
用类比方法计算下列各式： 2χ+16 (1)2(χ+8)= (2)-3(3χ+4)=
巩固新知
2.判断下列计算是否正确:
(1) : 3( x 8) 3 x 8 (2) : 3( x 8) 3 x 24 (3) : 2(6 x) 12 2 x (4) : 4( 3 2 x) 12 8 x
不正确 不正确 正确 不正确
3.下列去括号正确吗？如有错误 请改正。
(3)-7(7y-5)= -9χ-12
-49y+35
探究新知
(1) :12( x 0.5) 1 (2) : 5(1 x) 5
12x 6
(3) : ( x 3)
5 x x3
+(x+3)可 以看成是 +1×(x+3)
(4) : ( x 3) x 3
去括号前后，括 号里各项的符号 有什么变化？
s
s
s s
如果括号外的因数是正数，去括号后原 括号内的各项的符号与原来的符号 ( )； 如果括号外的因数是负数，去括号后原 括号内的各项的符号与原来的符号 ( )。 项数都没变 乘法分配律
去括号法则：
去掉“+（ 去掉“–（ ）”，括号内各项的符号不变。 ）”，括号内各项的符号改变。