赣马高级中学高三数学解答题专题训练2007.4.14

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）在△ABC 中，.3,2,2

2cos sin ===+Ab AC A A （Ⅰ）求A tan 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA=SB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；

（Ⅱ）求证：平面SCD ⊥平面SCE.

19．（本小题满分12分）

已知数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N *），点（a n ，S n ）在直线n x y 32-=上.

（Ⅰ）求证：数列{a n +3}是等比数列；Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）数列{a n }中是否存在成等比数列的三项？若存在，求出一组合适条件的三项；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分12分）

设21,x x 是函数)0(2

3)(223>-+=a x a x b x a x f 的两个极值点，且2||||21=+x x （Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）求证：9

34||≤b .

21．（本小题满分12分）

甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f （x ）、g （x ），当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f （x ）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g （x ）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

（Ⅰ）试解释20)0(,10)0(==g f 的实际意义；

（Ⅱ）设20)(,104

1)(+=+=x x g x x f ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？

三、解答题：

17．解：（I ）2

2)45cos(2cos sin =︒-=+A A A 2

1)45cos(=︒-∴A ……………………3分又∵0°＜A ＜180° ∴A －45°=60°故A=105°………………………………5分

32313

1)6045tan(tan --=-+=︒+︒=∴A ……………………7分

（Ⅱ）∵︒︒+︒︒=︒+︒=60sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(sin A 462+=

………9分 ∴4

623221sin 21+⨯⨯⨯=⋅⋅=∆A AC AB S ABC )62(43+=……12分 18．解证：（Ⅰ）连结AC 、AF 、BF 、EF 、

∵SA ⊥平面ABCD

∴AF 为Rt △SAC 斜边SC 上的中线

∴AF SC 2

1=…………………………………2分 又∵ABCD 是正方形∴CB ⊥AB

而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA

∴CB ⊥平面SAB ∴CB ⊥SB

∴BF 为Rt △SBC 斜边SC 上的中线 BF SC 2

1=……………………………………………………5分 ∴△AFB 为等腰三角形，EF ⊥AB 又CD//AB ∴EF ⊥CD ……………………7分

（Ⅱ）由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE

∴SE=EC 即△SEC 是等腰三角形∴EF ⊥SC

又∵SC ∩CD=C ∴EF ⊥平面SCD 又EF ⊂平面SCE

∴平面SCD ⊥平面SCE ……………………………………12分

19．解证：（Ⅰ）由题意知S n =2a n －3n

∴n a n a S S a n n n n n 32)1(32111+-+-=-=+++321+=∴+n n a a ………………2分

332,233)

3(23111111=-===++∴+=+∴++a a S a a a a a n n n n 又∴a 1+3=6……………4分

∴数列{a n +3}成以6为首项以2为公比的等比数列

（Ⅱ）由（I ）得3

2323231-⋅=∴⋅=⋅=+-n n n

n n a b a （Ⅲ）设存在s 、p 、r ∈N *且s ＜p ＜r 使a s ，a p ，a r 成等差数列∴2a p =a s +a r ∴323323)323(2-⋅+-⋅=-⋅r s p r s p 222

1+=∴+………………9分

即s r s p -+-+=212

1（*）∵s 、p 、r ∈N *且s ＜p ＜r ∴s r s p -+-+2121为偶数，为奇数∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在。…12分

20．解证：（I ）易得22')(a bx ax x f -+=…………………………………………1分

)(,21x f x x 是 的两个极值点0)(,'21=∴x f x x 是的两个实根，又a ＞0

a

b x x a x x -=+<-=2121,0……………………………………………………3分 ∴a a b x x x x 4||||||2

2

2121+=-=+∵2||||21=+x x )1(44444232222

a a a a

b a a

b -=-==+∴，即1002≤<∴≥a b ……7分 （Ⅱ）设,44)(322a a a g b -==则)32(4128)(2'a a a a a g -=-= 由13

20)(,320,0)(''

≤<<<<>a a g a a g 得由得 )132()320()(，在单调递增，在，在a g ∴上单调递增………………10分 2716)32()]([max ==∴g a g 9

34≤∴b ………………………………………………12分 21．解：（I ）f （0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要

投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。………………………………4分

（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当

⎪⎩

⎪⎨⎧+=≥+=≥)2(..........20)()1.......(1041)(y y g x x x f y 成立，双方均无失败的风险……………………8分

由（1）（2）得060410)20(4

1≥--⇒++≥y y y y 0)154)(4(≥+-∴y y

2420420,1640

154=+≥+≥≥⇒≥∴>+y x y y y

1624min min ==y x

答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。………12元