《正切函数的性质与图象(第2课时)》教学教案
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质。
2. 能够绘制正切函数的图象，理解正切函数图象的特点。
3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。
二、教学重点：1. 正切函数的定义。
2. 正切函数的性质。
3. 正切函数图象的特点。
三、教学难点：1. 正切函数的性质的理解与运用。
2. 正切函数图象的绘制与分析。
四、教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：利用正切函数的实际应用情境，引导学生思考正切函数的定义，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：讲解正切函数的定义，通过示例让学生理解正切函数的概念。
讲解正切函数的性质，让学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质。
讲解正切函数图象的特点，让学生通过观察、实验、探究等方式，掌握正切函数图象的特点。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。
六、教学反思：本节课通过引导学生思考正切函数的定义，讲解正切函数的性质与图象，让学生掌握了正切函数的基本知识。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，引导学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质与图象。
但在教学中也存在一些问题，如部分学生对正切函数的理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。
六、教学拓展：1. 讲解正切函数的周期性，引导学生理解正切函数周期性的含义。
2. 讲解正切函数的奇偶性，引导学生理解正切函数奇偶性的含义。
3. 讲解正切函数的单调性，引导学生理解正切函数单调性的含义。
七、课堂小结：2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。
八、课后作业：1. 巩固正切函数的性质与图象，完成课后练习题。
2. 搜集正切函数在实际应用中的例子，加深对正切函数的理解。
1. 课后对学生进行提问，了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。
2. 分析学生的练习作业，评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。
高中数学 1.4.2《正切函数的性质与图象》教学设计 新人教A版必修4
1.4.2《正切函数的图象与性质》教学设计【教学目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质. 【导入新课】 复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.新授课阶段 一、正切函数的图象：当α在第一象限时， 正弦线sinα=BM>0 余弦线cosα=OM>0 正切线tanα=AT>0那么，当α在其他三个象限 的情况呢？请同学们画 出其他三个象限的正切线. 我们将区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭进行八等分，9个点分别为3284πππ---，，,0,,88ππ-3,.482πππ，分别画出其中384ππ--，，,0,,88ππ-3ππ，的正切线， 然后利用描点法画出正切函数的大致图象. MAxO由正切三角比的诱导公式可知：tan()tan παα+= 那么y =tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图象如下：例1 （1）比较tan1670与tan1730的大小;Y =tan α，α∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭π23-π-π2π-2ππ230yx（2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小. 解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数， ∴tan1670<tan1730. (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：20,tan 0,4522y x ππππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭在内单调递增， ⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即. 二、正切函数的性质观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈，2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T .4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数.5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 从图象上看出函数y=tanx 的单调区间是,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12x x 、，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2=1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212sin cos cos sin sin()cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202x x π≤<<，所以120.2x x π-<-<则cosx 1、cosx 2>0， sin(12x x -)<0,从而tanx 1-ta nx 2<0，y 1<y 2.即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.由奇函数的性质可知，在,02π⎛⎤-⎥⎝⎦上正切函数y=tanx 也是增函数.由于y=tanx 的周期为π，则函数y=tanx 在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增. 除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx ，你还有什么方法能够证明它在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增吗？ 证法2：在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12,x x ，且12x x <,tanx 1-tanx 2=1212tan()1tan tan x x x x -+⋅. 因为120,2x x π-<-<所以tan(x 1-x 2)<0，tanx 1≥0，tanx 2>0.因此1+tanx 1·tanx 2>0.则tanx 1-tanx 2<0, tanx 1<tanx 2, 即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.接下来的证明同前一种方法.[说明]在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭每一个单调区间．．．．．．．上．是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明. 例2 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质. 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域：R;它是非奇非偶函数; 在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数;令f (x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan[(x+π)+4π]=f(x+4π)， 因此，函数f(x)的周期是π.例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+解：1,3tan 24u x y u π=+=令那么， 124u x π=+Q 是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈1:24u x π∴=+由得12242k x k πππππ-<+<+；13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222k k k Z ππππ-+∈（，）.变式训练1：求函数3tan()24x y π=-+的单调区间.解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ=--;tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的单调递减区间为3(2,2)22k k k Z ππππ-+∈.例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π=+解：()3tan(2)4f x x π=+Q 3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++()2f x π=+，2T π∴=周期.变式训练2：求解13tan()24y x π=+的周期. 解：1()3tan()24f x x π=+Q 13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2)f x π=+，2T π∴=周期.（||T πω=周期） 例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期. 解：令u=3x-3π,则y=tanu ，由u≠2k k Z ππ+∈可得：5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，. y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3π], 所以，y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k ππππ-<<+可以得到5()318318k k x k Z ππππ-<<+∈. ∴y=tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)， ∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f(x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π.课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容： 正切函数y=tanx 的性质：定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域：全体实数R 周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=π 奇偶性：奇函数单调性：正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数.我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx 的周期是π的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+T)，求出函数的周期.作业 见同步练习 拓展提升1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)，其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上).6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域.参考答案 1.C 2.D 3.C4. tan2<tan3<tan15.(1)(4)(5)6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭。
《正切函数的性质与图象》教案及说明
四、教学过程
一、提出学习课题，明确学习目标
提问：
1.正弦函数 都有那些性质？
2.正弦函数的两个代数性质： 反映了正弦函数图象的什么几何特征？
明晰：
1、定义域： 周期性： 奇偶性：奇函数
单调性：在 是单调递增的；
在 是单调递减的
值域：
2、 反映了函数的周期性， 反映了函数的奇偶性
3、函数图象的每一个几何特征也都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象。
另外，由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，而对于周期函数，我们只要认清楚它在一个周期区间上的性质，通过其周期性，函数在整个定义域上的性质也就完全清楚了。
鉴于以上认识，确定本节课的教学目标为：
1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象.
2.借助单位圆中的三角函数线能画出 的图象，借助图象理解正切函数在 上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），并能解决一些简单问题。
（二）布置作业：
教材P53习题1.4第6、7、8、9题。
关于“正切函数的性质与图象”的教案说明
一、关于教学内容
我们生活在一个不断变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在不停的做着周期变化运动，因此研究周期变化规律是我们必须直面的问题。而三角函数本身就是最基本的周期函数，是描述周期现象的一个重要工具，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述。
（2）借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律可以得出：正切函数在 内是增函数，又由正切函数的周期性可知：正切函数在开区间 内都是增函数。
正切函数的性质与图像教学设计
《正切函数的性质与图像》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。
在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。
2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。
我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。
二．学情分析通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。
这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。
2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。
3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2. 能力目标：1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、德育目标：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
【新课标必修】《正切函数的性质与图象》教学案例
课题正切函数的性质与图象教学目标：知识目标：1.会用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.会用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；情感态度与价值观：培养认真学习的精神；激发学生学数学的兴趣。
教学重点难点：1．重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2．难点：正切函数的性质；教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。
教学过程：一、设置情境，激发探索教学环节教学过程设计意图师生活动设置疑问突出主题问题：正弦曲线是怎样画的？正切线?练习正切线，画出下列各角的正切线：．我们能否做出正切函数tany x=的图象？并回答下列问题1．正切函数tany x=的定义域是什么？2．正切函数是不是周期函数？创设问题情境，让学生在问题解决的过程中观察、联想，导入课题教师提出回答，学生回答师生共同分析概念介绍为解决难点1．正切函数tany x=的定义域是什么？|,2x x k k Zππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2．正切函数是不是周期函数？()tan tan,,,2x x x R x k k Zπππ⎛⎫+=∈≠+∈⎪⎝⎭，π∴是tan,,2y x x R x k k Zππ⎛⎫=∈≠+∈⎪⎝⎭的一个纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，为了讨论问题的方便，同时也为下一步研究三角函数奠基基础师生共同归纳出正切函数的性质；类比正弦函数的性质。
作铺垫周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan,,22y x xππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan,,2y x x R x k k Zππ⎛⎫=∈≠+∈⎪⎝⎭的图象，称“正切曲线”。
6.2正切函数的图像与性质(2)教案
6.2正切函数的图像与性质（2）（教案）教学目的：1、熟练掌握正切函数的图像和性质2、掌握正切函数的图像与性质的简单应用教学重点：正切函数的图像和性质的应用教学过程：（一）、引入一、双基回顾：1、正切函数的图像与性质：2、余切函数的图像与性质：（二）、新课 一、典型例题 例1、求函数xy tan 11+=的定义域解：由⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠-≠)(21tan Z k k x x ππ 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠-≠)(24Z k k x k x ππππ 所以定义域为},2,4|{Z k k x k x x ∈+≠-≠ππππ例2、求下列函数的最小正周期（1）2tan 12tan22x x y +=；（2）2tan 12tan22xxy -= 解：（1）x y sin =，定义域},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，所以周期π2 （2）x y tan =，定义域},2,2|{Z k k x k x x ∈+≠+≠ππππ，所以周期π2例3、已知函数)3tan(2)(π-=nx x f 的最小正周期T 满足231<<T ，其中*∈N n , （1） 求n 的值；（2）判断函数的奇偶性并说明理由；（3）求函数的单调区间 解： （1）3=n ，)33tan(2)(π-=x x f（2）定义域},1853|{Z k k x x ∈+≠ππ不关于原点对称，为非奇非偶函数 （3）函数在Z k k k ∈+-)1853,183(ππππ上单调递增 例4、设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）解：如图6-12，AB=7米，由球场宽65米，可知AC =29米，BC =36米。
设足球运动员在边线上的点M 处射球门，βα=∠=∠AMC AMB ,，显然α越大，越有利于射门。
设点M 与底线AC 的距离为x 米，则xx 36)tan(,29tan =+=βαβ。
《正切函数的性质与图象》教案
《正切函数的性质与图象》教案贵阳六中 付守贵一、课题分析一般来说，对函数性质的研究总是先作函数的图象，通过图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格的表述。
而教材对正切函数的研究，换了一个新的角度：采取先根据已有的知识研究性质，然后根据性质研究正切函数的图象。
这样处理的目的，主要是为了给学生提供研究数学问题的多视角，在函数性质的指导下可以更加有效地作出函数的图象、研究函数的图象，加强对学生理性思考的培养，并使数性结合的思想体现得更加全面。
二、教学重点与难点1、教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用；2、教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用。
三、教学过程（一）新课导入1、问题1：三角函数包括哪几种函数？2、问题2：在前面我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象与性质，大家回忆一下，正弦函数的性质是怎样研究的？3、问题3：对正弦函数的性质，我们主要从哪几个方面研究的？4、观察正弦函数的图象与性质引导学生归纳：函数图象的每一个几何特征都是函数性质的直观体现，函数的每一个代数性质反映在其图象上都有其相应的几何特征。
所以可借助于函数的图象来研究函数的性质，也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就从一个新的角度来研究正切函数：先研究性质，再由性质研究图象。
（二）新课讲解1、正切函数tan y x =的定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ 2、正切函数tan y x =的周期性：由诱导公式tan()tan x x π+=可知正切函数tan y x =是周期函数，周期T π=3、正切函数tan y x =的奇偶性：由诱导公式tan()tan x x -=-可知正切函数tan y x =是奇函数4、正切函数tan y x =的单调性：①由周期函数的特征我们知道，如果探究清楚了正切函数tan y x =在一个周期内的单调性，那么正切函数tan y x =在整个定义域上的单调性便清楚了。
《1.3.2三角函数的图象与性质(二)》教学案
《1．3.2三角函数的图象与性质（二）》教学案第2课时 正切函数的图象与性质●三维目标 1．知识与技能(1)能画出y ＝tan x 的图象，并能借助图象理解y ＝tan x 在(－π2，π2)上的性质．(2)会利用正切函数的单调性比较函数值大小．(3)理解正切函数的对称性． 2．过程与方法通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃． ●重点难点重点：正切函数的图象与性质．难点：理解正切函数在(－π2，π2)上的性质，并会运用性质解决简单问题．教学方案设计●教学建议 1．正切函数的性质建议教师引导学生根据正、余弦函数的图象和性质研究正切函数的性质． 2．正切函数的图象建议教师在教学中，让学生先画出在区间(－π2，π2)内的图象，体会正切函数图象的形态，并对图象进行平移，观察函数的性质，有条件的话，可以借助多媒体演示作图的过程和图象的变化趋势．提醒学生对正切函数图象的理解并记忆正切函数的性质． ●教学流程创设问题情境，引导学生探究正切函数的图象和性质.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握正切函数定义域、值域的应用，并总结在求定义域、值域时注意的事项.⇒通过例2及其变式训练，解决利用正切函数的单调性求函数的单调区间和比较正切值大小问题.⇒通过例3及其互动探究，掌握与正切函数有关的函数图象变换问题的解决方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. 课前自主导学1．说出正切函数y ＝tan x 的定义域与值域． 【提示】 定义域为{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }，值域为R . 2．正切函数的奇偶性如何？【提示】 正切函数的定义域关于原点对称，又由tan (－x )＝－tan x 可知，正切函数y ＝tan x 为奇函数．正切函数的图象与性质例1 (1)函数y ＝log 12tan (π4－x )的定义域是________． (2)求函数y ＝tan 2(3x ＋π3)＋tan (3x ＋π3)＋1的定义域和值域．【思路探究】 (1)列出使函数有意义的不等式，再求解即可．(2)求定义域可把3x ＋π3看成一个整体，结合函数y ＝tan x 的定义域求解，利用换元法求值域．【自主解答】 (1)由题意tan (π4－x )＞0，即tan (x －π4)＜0，∴kπ－π2＜x －π4＜kπ，∴kπ－π4＜x ＜kπ＋π4，k ∈Z .【答案】 (kπ－π4，kπ＋π4)(k ∈Z )(2)由3x ＋π3≠kπ＋π2，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |x ≠k π3＋π18(k ∈Z )}，设t ＝tan (3x ＋π3)，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋12)2＋34≥34， ∴原函数的值域是[34，＋∞)． 规律方法1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠kπ＋π2(k ∈Z )，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．2．求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． 变式训练(1)函数y ＝1tan x (－π4＜x ＜π4)的值域是________． (2)求函数y ＝1x 的定义域．【解】 (1)∵－π4＜x ＜π4， ∴－1＜tan x ＜1，即1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)要使y ＝1an x 有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，tan x ＞0，tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，k π＜x ＜k π＋π2k ∈Z ，x ≠k π＋π4k ∈Z∴函数y ＝1x 的定义域为(kπ，kπ＋π4)∪(π4＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z ).例2 (1)求函数y ＝tan (－12x ＋π4)的单调区间； (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．【思路探究】 (1)将函数转化为y ＝－tan (12x －π4)，然后把12x －π4看成一个整体，利用y ＝tan x 单调区间求解．(2)把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较． 【自主解答】 (1)y ＝tan (－12x ＋π4)＝－tan (12x －π4)． 由kπ－π2＜12x －π4＜kπ＋π2(k ∈Z )， 得2kπ－π2＜x ＜2kπ＋32π(k ∈Z )．∴函数y ＝tan (－12x ＋π4)的单调递减区间是 (2kπ－π2，2kπ＋32π)(k ∈Z )．(2)tan 2＝tan (2－π)，tan 3＝tan (3－π)． 又∵π2＜2＜π， ∴－π2＜2－π＜0， ∵π2＜3＜π， ∴－π2＜3－π＜0，显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2， 且y ＝tan x 在(－π2，π2)内是增函数，∴tan (2－π)＜tan (3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1. 规律方法1．求y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－π2＜ωx ＋φ＜kπ＋π2求得x 的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内． 2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小． 变式训练(1)比较大小：tan 1与tan 4. (2)求函数y ＝tan (π2x ＋π3)的单调区间．【解】 (1)∵tan 4＝tan [π＋(4－π)]＝tan (4－π)，－π2＜4－π＜1＜π2且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增函数，∴tan (4－π)＜tan 1，即tan 1＞tan 4. (2)由kπ－π2＜π2x ＋π3＜kπ＋π2(k ∈Z )， 得2k －53＜x ＜2k ＋13(k ∈Z )．∴函数y ＝tan (π2x ＋π3)的单调增区间是(2k －53，2k ＋13)(k ∈Z ).例3 【思路探究】 画y ＝tan x 图象→y ＝|tan x |图象→研究性质 【自主解答】 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x k π≤x <k π＋π2k ∈Z ，－tan x －π2＋k π<x <kk ∈Z ，其图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为[kπ，π2＋kπ)(k ∈Z )，单调递减区间为(－π2＋kπ，kπ)(k ∈Z )，周期为π. 规律方法1．用图象法研究三角函数性质，体现了数形结合思想方法，其优点是直观、形象，但前提是必须正确作出相应函数图象，本题可采用对称的办法通过变换作出函数图象． 2．只有熟练掌握正切函数的图象和性质才能更好地研究与正切函数有关的一些函数的图象和性质． 互动探究将本例中的函数y ＝|tan x |改为y ＝tan |x |解答同样的问题． 【解】 由y ＝tan |x |得y ＝⎩⎨⎧tan x x ≥0且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，－tan x x <0且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，根据y ＝tan x 的图象，作出y ＝tan |x |的图象如图：由图象可知，函数y ＝tan |x |是偶函数，单调增区间为[0，π2)，(kπ＋π2，kπ＋32π)(k ＝0，1，2，…)； 单调减区间为(－π2，0]，(kπ－32π，kπ－π2)(k ＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．易错易误辨析忽视正切函数的定义域致误典例 求函数y ＝1tan xx －3 的定义域．【错解】 要使y ＝1tan x x －3有意义，必须满足⎩⎨⎧tan x ≠0，tan x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k k ∈Z ，x ≠k π＋π3k ∈Z∴函数y ＝1tan xx －3的定义域为{x |x ≠kπ且x ≠kπ＋π3，k ∈Z }．【错因分析】 忽略了保证正切函数有意义，即y ＝tan x 中x ≠kπ＋π2，k ∈Z .【防范措施】 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋kπ，k ∈Z . 【正解】 要使y ＝1tan xx －3有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k k ∈Z ，tan xx －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋kk ∈Z ，x ≠k k ∈Z ，x ≠k π＋π3k ∈Z∴函数y ＝1tan x x －3的定义域为(－π2＋kπ，kπ)∪(kπ，kπ＋π3)∪(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z )．1．正切函数的图象的作法 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁． (2)三点两线法“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π4，1)；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 2．准确理解正切函数的性质(1) 正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }，这与正弦、余弦函数不同． (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π.一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的周期为T ＝πω.(3)正切函数y ＝tan x 无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间．(4)正切函数y ＝tan x 是奇函数，正切函数的图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，正切函数的图象无对称轴，正、余弦函数图象既中心对称又轴对称. 当堂双基达标1．函数y ＝tan (x ＋π4)的定义域为________． 【解析】 x ＋π4≠kπ＋π2，k ∈Z ， ∴x ≠kπ＋π4，k ∈Z .【答案】 {x |x ≠kπ＋π4，k ∈Z } 2．函数y ＝tan x3的周期为________． 【解析】 由公式得T ＝π13＝3π.【答案】 3π3．函数y ＝3tan (12x ＋π4)的增区间为________．【解析】 kπ－π2＜12x ＋π4＜kπ＋π2，k ∈Z ，∴kπ－3π4＜12x ＜kπ＋π4，k ∈Z ， ∴2kπ－3π2＜x ＜2kπ＋π2，k ∈Z . 【答案】 (2kπ－3π2，2kπ＋π2)，k ∈Z4．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象． 【解】 定义域为{x ∈R |x ≠π4＋k π2，k ∈Z }；值域为R ；周期为π2.图象如下：课后知能检测一、填空题1．下列说法正确的有________．(填序号) ①y ＝tan x 是增函数；②y ＝tan x 在第一象限是增函数；③y ＝tan x 在每个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k ∈Z )上是增函数； ④y ＝tan x 在某一区间上是减函数．【解析】 根据正切函数的单调性，可知③正确． 【答案】 ③2．(2013·南通高一检测)函数y ＝lg (3tan x －3)的定义域为________． 【解析】 由y ＝lg (3tan x －3)得3tan x －3＞0，即tan x ＞33， ∴kπ＋π6＜x ＜kπ＋π2，k ∈Z ，∴y ＝lg (3tan x －3)的定义域为(kπ＋π6，kπ＋π2)(k ∈Z )． 【答案】 (kπ＋π6，kπ＋π2)(k ∈Z )3．函数y ＝tan (2x ＋π4)的单调递增区间是________．【解析】 由kπ－π2＜2x ＋π4＜kπ＋π2(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8(k ∈Z )． 【答案】 (k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ) 4．比较大小：tan π5________tan 13π10. 【解析】 tan 13π10＝tan (π＋3π10)＝tan 3π10. ∵y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数且0＜π5＜3π10＜π2. ∴tan π5＜tan 3π10，即tan π5＜tan 13π10. 【答案】 ＜5．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象是图1－3－3中的________．图1－3－3【解析】 函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x － sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，π2＜x ≤π，2sin x ，π＜x ＜32π.【答案】 (4)6．y ＝tan x2满足下列哪些条件________．(填序号) ①在(0，π2)上单调递增； ②为奇函数； ③以π为最小正周期；④定义域为{x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z }．【解析】 令x ∈(0，π2)，则x 2∈(0，π4)，所以y ＝tan x 2在(0，π2)上单调递增正确；tan (－x2)＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋kπ，k ∈Z 得，定义域为{x |x ≠π＋2kπ，k ∈Z }，所以④不正确． 【答案】 ①②7．函数y ＝3tan (2x ＋π3)的对称中心是________． 【解析】 2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z . 【答案】 (k π4－π6，0)(k ∈Z )8．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的取值范围是________． 【解析】 y ＝tan ωx 在(－π2，π2)是减函数，∴ω＜0且π|ω|≥π⇒－1≤ω＜0. 【答案】 [－1，0) 二、解答题9．求下列函数的定义域．(1)y ＝3－tan x ；(2)y ＝tan x ＋lg (1－tan x )．【解】 (1)由3－tan x ≥0，得tan x ≤ 3.在(－π2，π2)内满足不等式的范围是(－π2，π3]．又y ＝tan x 的周期为π，故原函数的定义域为(kπ－π2，kπ＋π3)，k ∈Z .(2)函数y ＝tan x ＋lg (1－tan x )有意义，等价于⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x ＞0，所以0≤tan x ＜1.由正切曲线可得kπ≤x ＜kπ＋π4，k ∈Z .故原函数的定义域为{x |kπ≤x ＜kπ＋π4，k ∈Z }．10. 已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．【解】 ∵－π3≤x ≤π4， ∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，当tan x ＝1即x ＝π4时，f (x )有最大值5.11．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝tan x ＋1tan x ；(2)f (x )＝lg |tan x |.【解】 (1)要使函数有意义，需满足：tan x ≠0，且tan x 有意义，即x ∈(kπ－π2，kπ)∪(kπ，kπ＋π2)，k ∈Z ，可知定义域关于原点对称．又对于定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－tan x －1tan x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π2＋k k ∈Z ，|tan x |＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k k ∈Z ，x ≠k k ∈Z ，∴函数f (x )的定义域为(－π2＋kπ，kπ)∪(kπ，π2＋kπ)，k ∈Z ，定义域关于原点对称．又对任意x ∈(－π2＋kπ，kπ)∪(kπ，π2＋kπ)，k ∈Z ，都有f (－x )＝lg |tan (－x )|＝lg |－tan x |＝lg |tan x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数.教师备课资源备选例题观察正切函数图象，写出下列不等式的解集：(1)tan x ＞0；(2)|tan x |≤1.【思路探究】 画出正切函数在(－π2，π2)内的图象，结合图象求解集．【自主解答】 (1)设y ＝tan x ，则它在(－π2，π2)内的图象如图所示．由图可知满足不等式tan x ＞0的解集为{x |kπ＜x ＜kπ＋π2，k ∈Z }．(2)设y ＝|tan x |，则它在(－π2，π2)内的图象如图所示．由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为{x |kπ－π4≤x ≤kπ＋π4，k ∈Z }．规律方法解决与正切函数的图象有关的问题，关键是正确画出正切函数的图象，然后根据正切函数图象的性质进行求解，求解过程中注意整体思想的应用．备选变式不等式tan (2x －π6)≥－1的解集为________．【解析】 令u ＝2x －π6，由tan u ≥－1及相应图象可知：kπ－π4≤u <kπ＋π2， 即kπ－π4≤2x －π6<kπ＋π2. ∴k π2－π24≤x <k π2＋π3(k ∈Z )．∴原不等式解集为{x |k π2－π24≤x <k π2＋π3，k ∈Z }． 【答案】 {x |k π2－π24≤x <k π2＋π3，k ∈Z }。
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，能够运用正切函数的性质解决问题。
2. 让学生通过观察正切函数的图象，加深对正切函数性质的理解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点：1. 正切函数的性质。
2. 正切函数的图象特征。
三、教学难点：1. 正切函数性质的推导。
2. 正切函数图象的绘制。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正切函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解正切函数的图象特征。
3. 通过小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。
2. 学生准备笔记本和文具。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 提问：正切函数有什么性质呢？它的图象又是怎样的呢？二、探究正切函数的性质（15分钟）1. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的周期性。
2. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的奇偶性。
3. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的单调性。
三、总结正切函数的性质（5分钟）1. 总结正切函数的周期性。
2. 总结正切函数的奇偶性。
3. 总结正切函数的单调性。
四、绘制正切函数的图象（15分钟）1. 引导学生利用函数图象绘制工具，绘制正切函数的图象。
2. 引导学生观察正切函数的图象，验证正切函数的性质。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成正切函数性质的练习题。
2. 让学生绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结正切函数的性质。
2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 完成正切函数性质的相关练习题。
2. 绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
八、课后反思（教师）1. 反思本节课的教学效果，调整教学方法。
5.4.3 正切函数的性质与图像(教案) 高中数学人教A版(2019)必修第一册
第五章 三角函数5.4.3 正切函数的性质与图像教学设计一、教学目标1.掌握利用单位圆中正切函数定义得到图像的方法.2.能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.二、教学重难点教学重点能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.教学难点掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图像.三、教学过程（一）情景引入教师：三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.学生：思考.（二）探究一：正切函数的图像教师提问：正切函数图像是怎样的？类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？学生：思考 正切函数tan , ?()2y x x R x k k z ππ=∈≠+∈且图象：观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域： ()2x k k z ππ≠+∈ 值域： (,)R ∞∞-+最值： 无最值 渐近线：()2x k k Z ππ=+∈周期性：最小正周期是π奇偶性: 奇函数 单调性：增区间,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭图像特征：无对称轴，对称中心：,0Z 2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 例1 求函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调递增区间． 【答案】定义域：12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；最小正周期为2；单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . 【解析】由232x k ππππ+≠+，得12()3x k k ≠+∈Z ．所以函数()f x 的定义域是12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣； 由于22ππ=，因此函数f (x )的最小正周期为2. 由,2232k x k k ππππππ-+<+<+∈Z ，解得5122,33k x k k -+<<+∈Z .因此，函数的单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . （三）课堂练习1.与函数πtan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相交的一条直线是( ) A.π2x = B.π2y = C.π8x = D.π8y = .答案：C 解析：令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，得ππ()28k x k =+∈Z ，令0k =，则π8x =. 2.函数1πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像是( ) A. B.C. D. 答案：A解析：当2π3x =时，0y =，排除C,D ；当0x =时，πtan 3y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，排除B.故选A.3.已知函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则( ) A.增区间为(65,61)k k -+,k ∈ZB.增区间为(61,65)k k -+,k ∈ZC.减区间为(65,61)k k -+,k ∈ZD.减区间为(61,65)k k -+,k ∈Z答案：C 解析：令ππππππ()2632k x k k -+<+<+∈Z ，解得6561()k x k k -<<+∈Z ， 故函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为(65,61)()k k k -+∈Z .故选C. 4.函数πtan 4y x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的定义域是( ) A.π,4x x x ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭R ∣ B.π,4x x x ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭R ∣ C.ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ D.3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ 答案：D解析：函数的解析式即πtan 4y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,要使函数有意义,则πππ()42k x k ≠+∈-Z ,解得3ππ()4x k k ≠+∈Z ,据此可得函数πtan 4=x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣.故选D.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.正切函数的图像2.正切函数的性质四、板书设计5.4.3 正切函数的性质与图像1.正切函数的图像2.正切函数的性质。
正切函数的图像与性质教案
正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质；（2）学会运用正切函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正切函数的图像，探索正切函数的性质；（2）利用数形结合思想，研究正切函数的单调性、周期性等性质。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学审美观，感受数学的对称美；（2）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的图像与性质。
2. 教学难点：（1）正切函数的单调性；（2）正切函数的周期性。
三、教学准备1. 教师准备：（1）正切函数的图像与性质的相关知识；（2）教学课件或黑板。
2. 学生准备：（1）掌握锐角三角函数的基本概念；（2）了解正切函数的定义。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习锐角三角函数的基本概念，引导学生回顾正切函数的定义；（2）提问：你们认为正切函数的图像会是什么样的呢？2. 探究正切函数的图像与性质（1）教师展示正切函数的图像，引导学生观察并描述正切函数的图像特点；（2）学生分组讨论，探索正切函数的单调性和周期性；3. 应用拓展（1）教师提出实际问题，引导学生运用正切函数解决问题；（2）学生独立解答，分享解题思路和方法。
五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质，通过观察图像、探索性质，我们了解了正切函数的特点。
我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。
希望同学们在课后继续深入学习和思考，掌握更多的数学知识。
六、教学反馈与评价1. 课堂提问：在教学过程中，教师应根据学生的回答情况，及时给予评价和反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。
2. 课后作业：布置有关正切函数图像与性质的练习题，要求学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
3. 学习评价：通过课堂表现、课后作业和小组讨论，评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。
七、教学改进1. 针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度，以便更好地满足学生的学习需求；2. 在教学中，注重引导学生运用数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 加强与学生的互动，鼓励学生提问、发表见解，提高课堂氛围。
正切函数的性质与图象教案
一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质和图象。
2. 培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。
二、教学内容：1. 正切函数的定义：正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值，用符号tan 表示。
2. 正切函数的性质：（1）正切函数是周期函数，周期为π。
（2）正切函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
（3）正切函数在区间(-π/2, π/2)上单调递增。
（4）正切函数的图象是一条连续的曲线。
3. 正切函数的图象：正切函数的图象是一条从第二象限到第四象限的曲线，经过点(π/4, 1)和(-π/4, -1)。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：正切函数的定义、性质和图象。
2. 教学难点：正切函数的性质和图象的深入理解与应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。
2. 利用多媒体课件，展示正切函数的图象，帮助学生直观地理解正切函数的性质。
3. 结合具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。
五、教学步骤：1. 引入：通过讲解正切函数的定义，引导学生理解正切函数的概念。
2. 探索正切函数的性质：让学生观察正切函数的图象，引导学生发现正切函数的周期性、奇偶性和单调性。
4. 应用正切函数解决实际问题：给出具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。
六、教学评估：1. 课堂练习：设计一些有关正切函数性质和图象的练习题，让学生在课堂上完成，以检验他们对知识的掌握程度。
2. 课后作业：布置一些有关正切函数的应用题，让学生课后思考和解答，以巩固所学知识。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让他们分享自己在学习正切函数性质和图象过程中的心得体会，以培养他们的合作能力和交流能力。
七、教学反思：在课后，对本次教学进行反思，分析学生在学习正切函数性质和图象过程中遇到的问题，以及自己的教学方法和策略是否得当。
高一数学《正切函数的图象和性质(二)》教案
正切函数的图象和性质（二）教学目标（一） 知识与技能目标进一步了解正余切函数的图像和性质．（二） 过程与能力目标会运用换元法研究)tan(ϕω+=x A y 函数的有关性质．（三） 情感与态度目标让学生掌握“类比”的学习方法．教学难点重点灵活应用正余切函数的性质解决相关问题．教学过程一、复习复习正切函数的图象与性质：二、应用 . 3tan .1 ≥x 用图象解不等式例Z ]2,3[:∈++k k k ππππ所求解为由图象知.)33tan( 2. 性周期性、奇偶性、单调出它的的定义域、值域，并指求函数例π-=x y)46tan(3)33tan(x y x y -=-=ππ改成变式：将 y 32-o x2ππ2π2π-3ππ-A x o 3y T xy 2π2π-o 33π.tan )621tan(2 3. 的图象变换得到的图象如何由指出例x y x y =+=π 解1：将x y tan =的图象向左平移6π个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数)621tan(π+=x y 的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数)621tan(2π+=x y 的图象． 解２：将x y tan =的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数x y 21tan =的图象，然后向左平移3π个单位，得到)621tan(π+=x y 的图象， 再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可．三、余切函数的图象及其性质：. cot 2 tan )2tan()2tan(cot 的图象即得轴为对称轴上下翻折，单位，再以个向左平移的图象，—即将—x y x x y x x x y ==--=-==πππ余切函数的性质：课堂小结：1. 函数)tan(ϕω+=x A y 的性质. 2. 余切函数的图象与性质.作业：1．阅读教材第76～79页；2．《优化设计》第65页第8、10题． o x2ππ23π2π-23π-π-y 定义域}Z ,R |{∈≠∈k k x x x π且值域周期π=T 奇偶性奇函数单调性内，函数单调递减在开区间Z ))1(,(∈+k k k ππR。
1.4.3 正切函数的性质与图象(第2课时) 精品教案
1.4.3正切函数的性质与图象
【课题】：正切函数的性质与图象(2)
【三维目标】：
一、知识与技能
1．理解正切函数的性质
2．会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象
3．理解正切函数的图象
二、过程与方法
1．掌握正切函数的性质与图象
2．掌握正切函数的性质与图象的简单应用
3．会解决一些实际问题
三、情感态度与价值观
1．用数形结合的思想理解和处理有关问题
2．发现数学规律
3．提高数学素质，培养实践第一的观点
【教学重点】：正切函数性质及正切函数的图象和性质的运用。
【教学难点】：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
【教学突破点】：利用正切函数的图象和性质解决问题。
【教法、学法设计】：多媒体辅助教学，启发引导教学，讲练结合。
【课前准备】：多媒体，实物投影仪。
教学设计2：5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4.3 正切函数的性质与图象【教学目标】1．会求正切函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期．2．掌握正切函数y ＝tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．3．掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．【要点梳理】正切函数y ＝tan x 的图象与性质温馨提示：(1)正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．(2)正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，k ∈Z ，两线为直线x ＝k π＋π2和直线x ＝k π－π2，其中k ∈Z ，这样可以快速地作出正切函数的图象．【思考诊断】1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2，k ∈Z 有公共点吗？直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？[答案] 没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R .( )(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( )(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√【课堂探究】题型一 正切函数的定义域【典例1】 求下列函数的定义域：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝1tan x. [思路导引] (1)将x ＋π4看成一个整体．由正切函数y ＝tan x 的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解；(2)tan x ≠0且tan x 有意义． [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z . (2)由tan x ≠0且tan x 有意义得x ≠k π且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2，k ∈Z ， 所以函数y ＝1tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2，k ∈Z . [名师提醒]求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x . [针对训练]1． 函数f (x )＝1tan x －1的定义域是____________．[解析] 若使函数f (x )有意义，需使tan x －1≠0，即tan x ≠1.∵tan x 有意义，∴x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (x )＝1tan x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z . [答案] {x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z } 题型二 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【典例2】 (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．[思路导引] 解(1)利用T ＝π|ω|，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f (－x )与f (x )及－f (x )的关系来判断奇偶性．[解] (1)由正切函数的最小正周期，可得T ＝π2. ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，∴它是奇函数．[名师提醒]正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期． (2)若函数y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π或φ＝k π＋π2(k ∈Z )，否则为非奇非偶函数． (3)正切函数是奇函数，所以原点是y ＝tan x 的对称中心，同样，结合y ＝tan x 的图象，可以得到⎝⎛⎭⎫k π2，0k ∈Z 都是正切函数的对称中心．[针对训练]2．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图象关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．[解析] ①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错误；观察正切函数y ＝tan x 的图象，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．[答案] ①题型三 正切函数的单调性及应用【典例3】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间；(2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小； (3)解不等式tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤ 3. [思路导引] (1)将12x －π4看成一个整体；(2)比较大小时应将角化到同一个单调区间内；(3)将x ＋π3看成一个整体，结合y ＝tan x 的图象求解． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. (3)将x ＋π3看成一个整体，由函数y ＝tan x 的图象可知在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan x ≤3的解应满足－π2<x ≤π3，再结合y ＝tan x 的周期，得k π－π2<x ＋π3≤k π＋π3，k ∈Z ，即k π－56π<x ≤k π，k ∈Z ，所以不等式tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－56π<x ≤k π，k ∈Z . [变式] 若本例(1)改为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－12x ，其单调减区间是_______．[解析] ∵y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－12x ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4∴k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z . 故函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． [答案] ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，(k ∈Z ) [名师提醒](1)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可． ②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．(2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(3)解关于tan x 的不等式：先写出这个不等式在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的解，再结合周期性得出x 的解集．[针对训练]3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调增区间为________．[解析] 由题意知，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z . 所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ， 故单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )． [答案] ⎝⎛⎭⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 4．比较大小：tan 65π________tan ⎝⎛⎭⎫－137π； [解析] tan 65π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π5＝tan π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝－tan ⎝⎛⎭⎫－π7＝tan π7，因为－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， 所以tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝⎛⎭⎫－137π. [答案] >5．不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥1的解集为______________． [解析] 由已知可得k π＋π4≤2x ＋π4<k π－π2，解得k π2≤x <k π2－3π8，k ∈Z ， ∴不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π2≤x <k π2－38π，k ∈Z . [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π2≤x <k π2－38π，k ∈Z 【课堂小结】1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间. 【随堂验收】1．下列说法正确的是( )A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 [解析] 由正切函数的图象可知D 正确．[答案] D2．函数y ＝1tan x －1的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z B ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z } C.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z [解析] 若使函数y ＝1tan x －1有意义， 需使tan x －1>0，即tan x >1.结合正切曲线，可得k π＋π4<x <k π＋π2(k ∈Z )． 所以函数y ＝1tan x －1的定义域是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )． [答案] D3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期是( ) A ．4 B ．4π C ．2π D ．2 [解析] 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期T ＝ππ2＝2，故选D. [答案] D4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)[解析] ∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )∴x ＋π5＝k π2，(k ∈Z )，∴x ＝k π2－π5(k ∈Z ) 当k ＝2时，x ＝45π，∴对称中心为⎝⎛⎭⎫45π，0. [答案] C5．函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域为________． [解析] y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)． [答案] (－3，1)。
高中数学教案——正切函数的图象和性质 第二课时
课 题：410正切函数的图象和性质（2）教学目的：1掌握正切函数的性质； 2掌握性质的简单应用； 3会解决一些实际问题教学重点：正切函数的性质的应用．教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT ．正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R 3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质： 1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 2．值域：R ， 3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y4．周期：π=T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减二、讲解范例：例1 用图象解不等式3tan ≥x解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ 亦可利用单位圆求解例2求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数 例3作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x xx y 且23,2ππ≠x 的简图 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈==+=23,2,sin 2,232,0,sin sec tan tan 1tan 2x x x x x x x x y例4求下列函数的定义域 1、1tan cot -=x xy 2、x x y csc cot ⋅=解：1、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+≠≠+≠+≤<⇒+≠≠≠-≥z k k x k x k x k x k k x k x x x 242201tan 0cot πππππππππππZ k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+,2,44,πππππππ2{}⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇒≠≤≤≠≥≥轴括第一象限或第四象限包或y k x x x k x x x ππ0csc 0cot 0csc 0cot z k k k k k x ∈-⋃+∈∴)2,22[]22,2(ππππππ例5 已知函数y =si n 2x +3cos2x -2(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象(2)求这个函数的周期和单调区间(3)求函数图象的对称轴方程(4)说明图象是由y =si nx 的图象经过怎样的变换得到的解：y =sin2x +3cos2x -2=2sin(2x +3π)-2 (1)其图象如图示 (2)22π=T =π 由-2π+2k π≤2x +3π≤2π+2k π，知函数的单调增区间为 ［-125π+k π,12π+k π］,k ∈Z 由2π+2k π≤2x +3π≤23π+2k π，知函数的单调减区间为 ［12π+k π,12ππ+k π］,k ∈Z (3)由2x +3π=2π+k π得x =12π+2kπ∴函数图象的对称轴方程为x =12π+2kπ,(k ∈Z )(4)把函数y 1=sin x 的图象上所有点向左平移3π个单位，得到函数y 2=si n (x +3π)的图象； 再把y 2图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y 3=sin (2x +3π)的图象； 再把y 3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y 4=2sin (2x +3π)的图象； 最后把y 4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y =2sin (2x +3π)-2的图象评注：(1)求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式(2)对于函数y =Asin(ωx +φ)的对称轴，实际上就是使函数y 取得最大值或最小值时的x 值(3)第(4)问的变换方法不惟一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序！ 例6 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =Asin(ωx +φ)+B(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20(℃)(2)图中从6时到14时的图象是函数y =Asin(ωx +φ)+B 的半个周期的图象∴21·ωπ2=14-6⇒ω8又由图可得2021030,1021030=+==-=B A ∴y =10sin(8πx +φ)+20 将x =6，y =10代入上式得：sin(43π+φ)=-1 ∴43πϕπϕπ4323=⇒=+ 故所求的解析式为y =10si n (8πx +43π)+20，x ∈［6,14］ 评注：①本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，匠心独具 ②此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A ，ω，φ和B ，它们的计算方法为：22最低点纵坐标最高点纵坐标最低点纵坐标最高点纵坐标+=-=B Aω与周期有关，可通过T =ωπ2求得，而关键一步在于如何确定φ？通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单三角方程，但φ到底取何值值得考虑若得方程sin φ=21，那么φ是取6π，还是取65π呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上，若在上升的曲线上，φ就取6π，否则就取65π，而不能同时取两个值例7 a 为何值时，方程sin 2x +2sin x cos x -2cos 2x =a 有实数解分析：所给方程的特征较明显，即是关于sin x 与cos x 的奇式方程，通过变形就可化为以tan x 为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解 解法一：原方程可化为：sin 2x +2sin x cos x -2cos 2x =a (sin 2x +cos 2x )即(1-a )sin 2x +2sin x cos x -(2+a )cos 2x =0 (1)当a ≠1时，∵cos x ≠0,∴方程两边同除以cos 2x 得(1-a )tan 2x +2tan x -(2+a )=0∵tan x ∈R ∴Δ≥0即4+4(1-a )(2+a )≥0即a 2+a -3≤0又a ≠1,∴a ∈［2131--,1］∪(1,2131+-］ (2)当a =1时，原方程化为2si nx cos x -3cos 2x =0,此方程有实根综合(1)、(2)可得a ∈［2131--,2131+-］时，原方程有实数根 解法二：(用函数观点) 当实数a 取函数y =sin 2x +2sin x cos x -2cos 2x 值域中的数值时，原方程有实根因此，求a 的范围，实质上就是求上述函数的值域∵y =sin 2x +2sin x cos x -2cos 2x =1+sin2x -3cos 2x=1+sin2x -23(1+cos2x ) =sin2x -23cos2x -21 =213sin(2x -φ2 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==133sin 132cos ϕϕ ∴y ∈［2113,2113---］ 即a ∈［2113,2113---］时，原方程有实数根 评注：解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点通过函数思想来解方程函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性例8 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示)，ABCD 是一块边长为50 m 的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m ，矩形AGHM 就是拟建的健身室，其中G 、M 分别在AB 和AD 上，H 在 上AGH M 的面积为S ，∠HCF =θ，请将S 表示为θ的函数，并指出当点H 在 的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解 解：延长GH 交CD 于N ，则NH =40 sin θ,CN =40 cos θ∴HM =ND =50-40 cos θ,AM =50-40 sin θ 故S =(50-40 cos θ)(50-40 sin θ)=100［25-20(sin θ+cos θ)+16sin θcos θ］(0≤θ≤2π)令t =sin θ+cos θ=2si n (θ+4π) 则sin θcos θ=212-t 且t ∈［1, 2］EF EF∴S =100［25-20t +8(t 2-1)］=800(t -45)2+450 又t ∈［1, 2］∴当t =1时，S max =500此时2sin(θ+4π)=1⇒sin (θ+4π22 ∵4π≤θ+4π≤43π ∴θ+4π=4π或43π 即θ=0或θ2答：当点H 在的端点E 或F 处时，该健身室的面积最大，最大值是500 m 2三、课堂练习：1．利用单位圆中的三角函数线：（1）证明当0＜x ＜2π时tan x ＞x ，（2）解方程tan x ＝x ，（－2π＜x ＜2π）．（1）证明：如图x ＝AP ，角x 的正切线为AT即tan x ＝A Ｔ，由Ｓ扇形AOP ＜Ｓ△ＯA Ｔ即AT AP AT OA AP OA <⋅<⋅得2121 ∴x ＜tan x （0＜x ＜2π）又由于y ＝x 与y ＝tan x 为奇函数，当0＜x ＜2π时，x ＜tan x（2）解：由（1）结论，得∴当－2π＜x ＜0时x ＞tan x又x ＝0是方程x ＝tan x 的解因此方程x ＝tan x 在（－2π，2π）内有惟一解即 x ＝02．已知f (x )=tan x ，对于x 1，x 2∈（0，2π）且x 1≠x 2试证)2(2)()(2121x x f x f x f +>+证明：∵0＜x 1＜2π0＜x 2＜2π∴－2π＜x 1－x 2＜2π且x 1≠x 2 ∴cos （x 1－x 2）＜1EF即1＋cos （x 1＋x 2）＞2cos x 1cos x 2 ，21212cos cos 22cos2x x x x >+⇒+>+2cos1cos cos 2cos 212121x x x x x x 2cos2sin cos cos 22cos 2sin22121212121x x x x x x x x x x ++>++ 2tan cos cos 2)sin(212121x x x x x x +>+⇒2t a n 2t a n t a n 2121x x x x +>+即 )2(2)()(2121x x f x f x f +>+因此说明：通过本题的证明可知函数y ＝tan x 的图象，当x ∈（0，2π）时是下凸的，同样可以证明函数y ＝tan x 的图象当x ∈（－2π，0）时是上凸的3．求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象解：（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠2π＋ｋπ，ｋ∈Z即x ≠4π＋2πk ，ｋ∈Z ∴函数y ＝tan2x 的定义域为｛x ∈R ｜，x ≠24ππk +，ｋ∈Z ｝ （2）设ｔ＝2x ，由x ≠24ππk +，ｋ∈Z ｝知ｔ≠2π＋ｋπ，ｋ∈Z ∴y ＝tan ｔ的值域为（－∞，＋∞）即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞） （3）由tan2（x ＋2π）＝tan （2x ＋π）＝tan2x∴y ＝tan2x 的周期为2π．（4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图 四、小结： 讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y ＝tan(ωx )，x ≠ωπωπ2+k (k ∈Z )的周期T ＝ωπ；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 五、课后作业：1y ＝x tan log 21的定义域是( )A x ｜0＜x ≤4π） B ｛x ｜2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z } C x ｜k π＜x ≤k π＋4π，k ∈Z } D x ｜k π－2π＜x ≤k π＋4π，k ∈Z}解析：由log 21tan x ≥0，得0＜tan x ≤1根据y ＝tan x 在x ∈(－2π，2π)上的图象可知0＜x ≤4π 结合周期性，可知原函数的定义域为：｛x ｜k π＜x ≤k π＋4π，k ∈Z ｝ 答案：C2y ＝x x sin cot 的定义域解：∵cot x sin x ＝xxsin cos ·sin x ＝cos x ∴函数的定义域由⎩⎨⎧≠≥0sin 0cos x x 确定解之得2k π-2π≤x ≤2k π＋2π，且x ≠k π，(k ∈Z ) 从而原函数的定义域为：［2k π－2π，2k π)∪(2k π，2k π＋2π] (k ∈Z )3α、β∈(2π，π)且tan α＜cot β，那么必有( )A α＜βB β＜αC α＋β＜23π D α＋β＞23π 解：tan α＜cot β⇔tan α＜tan(23π－β)∵α、β∈(2π，π)，23π－β∈(2π，π)又∵y ＝tan x 在(2π，π)上是增函数三人行，必有我师 ∴α＜23π－β 即α＋β＜23π 答案：C 4y ＝lg(tan x )的增函数区间是( ) A k π－2π，k π＋2π)(k ∈Z ) B (k π，k π＋2π)(k ∈Z ) C k π－2π，2k π＋2π)(k ∈Z ) D (k π，k π＋π)(k ∈Z ) 解：函数y ＝lg(tan x )为复合函数，要求其增函数区间则要满足tan x ＞0，且y ＝tan x 是增函数的区间解之得k π＜x ＜k π＋2π (k ∈Z ) ∴原函数的增函数区间为：(k π，k π＋2π)(k ∈Z ) 答案：B 5y ＝log a tan x 的单调性解：y ＝log a tan x 可视为y ＝log a u 与u ＝tan x 复合而成的，复合的条件为tan x ＞0，即x ∈(k π，k π＋2π)(k ∈Z ) ①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增；当x ∈(k π，k π＋2π)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2π)(k ∈Z )上是单调增函数 ②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减；当x ∈(k π，k π＋2π)时，u ＝tan x 是单调递增的 ∴y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2π)(k ∈Z )上是单调减函数 故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2π)(k ∈Z )上单调递增； 当0＜a ＜1时，y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2π)(k ∈Z )上单调递减； 六、板书设计（略）七、课后记：。
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1.4.3正切函数的性质与图象
学习目的：
1、熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
2、渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
学习重点：正切函数的图象和性质的运用。
学习难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
授课类型：新授课
学习模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
学习过程：
一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
（1）3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 答：T π=。
（2）tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 答：3T π=。
说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω
=． 例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由233π
ππ
+≠-k x 得18
53ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。
将tan y x =图象向右平移3π个单位，得到tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象；再将 tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），就得到函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=33tan πx y 的图象。
例3
：用图象求函数y =
解：由tan 0x ≥ 得
tan x ≥ 利用图象知，所求定义域为(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣
⎭，
三、巩固与练习
1．“tan 0x >”是“0x >”的
既不充分也不必要 条件。
2．与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象不相交的一条直线是（ D ） ()2A x π
= ()2B x π
=- ()4C x π
= ()8D x π
=
3．函数y = (),24k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝
⎦． 4．函数2tan tan 1,2y x x x k k Z ππ⎛⎫=++≠+∈ ⎪⎝⎭
的值域是 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 5．函数tan cot y x x =-的奇偶性是 奇函数 ，周期是2
π．
四、小结：本节课学习了以下内容：正切函数的性质。
五、课后作业：。