2013届高三数学(理科)一轮复习单元评估检测(4)第4章平面向量、数系的扩充(新人教A版)

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高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数

A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12b
D.12a ＋14b
解析：∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，
∴―A→E ＝12―A→C .∵O 是边 BE 的中点，
∴―A→O ＝12(―A→B ＋―A→E )＝12―A→B ＋14―A→C ＝12a ＋14b .
答案：D
2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2
第二节
平面向量的基本定理及坐标表示
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课前双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基础知识
1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝_λ_1e_1_＋__λ_2e_2_. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b
课堂考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一平面向量基本定理及其应用 [考什么·怎么考]
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中点，若―A→B ＝a ，―A→C ＝b ，则―A→O ＝( )
2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_21＋__y_21__.

山西省2013高考数学一轮单元复习测试：平面向量

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a b 、满足4||,1||==，且2=⋅，则与的夹角为（）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 【答案】C 2．已知两点,O 为坐标原点，点C 在第二象限，且,则等于（）A ． 12-B ． 12C ．-1D ． 1【答案】A 【解析】作图[由已知3．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP ＝x AB ＋y AD，则0≤x ≤2，0≤y ≤3的概率是( )A ．13B ．23C ．14D ．12【答案】A4．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D5．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是 ( ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ【答案】B6．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．两个孤立点D ．一个圆【答案】D7．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，且DB CD 2=，AC s AB r CD +=，则s r +的值为（）A 0B 43C 23D -3【答案】A8．下列命题正确的是( )A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1 【答案】C9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，向量)2 , 2(n m a --=，)1 , 1(=b ，则 a 和 b 共线的概率为（）A ．181 B ．121 C ．91 D ．125 【答案】B10．在ABC ∆中，90C =︒，且CA=CB=3，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅ 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B11．已知向量),1(,1n n -==），（，若-2与垂直，则=||（）A ．1BC ．2D ．4【答案】C12．设向量a b 与的模分别为6和5，夹角为120︒，则||a b +等于( ）A ．23B ．23-C D 【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是．【答案】⎛ ⎝⎭⎝⎭或 14．已知向量(1,sin ),(1,cos ),a b θθ==则a b - 的最大值为______.【答案】215．设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则AE AF=______.【答案】1016．已知a ＝(1，sin 2x)，b ＝(2，sin2x)，其中x ∈(0，π)．若|a ·b|＝|a||b|，则tanx=_______. 【答案】1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若⊥b ，求θ； (2) 求|＋b |的最大值．【答案】 (1)若⊥，则0cos sin =+θθ 即1tan -=θ 而)2,2(ππθ-∈，所以4πθ-=(2))4sin(223)cos (sin 23πθθθ++=++=+当4πθ=时，+的最大值为12+18．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32． (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．【答案】(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32＝12cos2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3．所以f (x )的最小正周期为π.令sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k 2π＋π6，k ∈Z.故所求对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫k 2π＋π6，0，(k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3．∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1． 19．已知向量a ＝(3sin 3x ，－y )，b ＝(m ，cos 3x －m ) (m ∈R)，且a ＋b ＝0.设y ＝f (x )．(1)求f (x )的表达式，并求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π18，2π9上图象最低点M 的坐标；(2)若对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π9，f (x )>t －9x ＋1恒成立，求实数t 的范围．【答案】(1)因为a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin 3x ＋m ＝0，－y ＋cos 3x －m ＝0，消去m ，得y ＝3sin 3x ＋cos 3x ，即f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋6，当x ∈⎣⎡⎦⎤π18，2π9时，3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，即f (x )的最小值为1，此时x ＝2π9．所以函数f (x )的图象上最低点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫2π9，1． (2)由题，知f (x )>t －9x ＋1，即2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋9x >t ＋1，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π9时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6单调递增，y ＝9x 单调递增，所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋9x 在⎣⎡⎦⎤0，π9上单调递增，所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋9x 的最小值为1，为要2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋9x >t ＋1在任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π9上恒成立，只要t ＋1<1，即t <0.故实数t 的范围为(－∞，0)．20．已知,1||,2||==b a a 与b 的夹角为3π,若向量b k a +2与b a +垂直, 求k.【答案】3πcos ||||b a b a =⋅=2×1×21=1.∵b k a+2与b a +垂直, ∴(b k a+2))(b a +⋅= 0 ,∴20222=++⋅+b k b a k b a a ⇒ k = － 5.21．已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+ ，1232b e e =-+。

平面向量、数系的扩充综合测评试题(含答案)

π 7． (2013· 云南第一次统检)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3， |a| ＝2，|b|＝3，则 2a－b 与 a＋2b 的夹角的余弦值等于( 1 A.26 1 C.12 1 B．－26 1 D．－12 )
8．(2013· 石家庄质量监测)已知向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈ R)，向量 d 如图所示，则( )
4．复数 z1＝a＋2i， z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数 a 的取值范围是(
1
A．－1<a<1 C．a>0
B．a>1 D．a<－1 或 a>1
→ 5．如图，△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于 F，设AB＝a， → → AC＝b，AF＝xa＋yb，
则(x，y)为(
1 1 A.2，2 1 1 C.3，3
)
2 2 B.3，3 2 1 D.3，2
6．(2013· 威海质量监测)已知向量 a，b 满足|a|＝2，且向量 b 在向量 a 方向上的投影为 1，则 a· (a－b)的值为( A．4 C．2 B．3 D．1 )
高中数学阶段综合测评试题
测试范围：平面向量、数系的扩充与复数的引入 (时间：120 分钟满分：150 分) 温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为 120 分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013· 河南三市联考)在复平面内复数 1 1 ，对应的点分别为 A， 1＋i 1－i )

2013年高三理科数学复习试卷及答案4

2013年高三理科数学复习试卷及答案4时间:120分钟满分：150分一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把正确答案写在答题卷相应的位置上）1．已知i 为虚数单位，则2(1)i +的模为A ．1BC ．2D ．42．若集合{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =>，则A B ⋂为A ．{|02}x x <<B ．{}|12x x <<C ．{}|2x x >D ．{}|1x x >3.计箅的结果等于 A.B.C.D.4．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =A ．12 B ．1 C ．2 D ．145.已知A 是三角形ABC 的内角，则“1cos 2A =”是“23sin =A ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知等差数列{}n a 满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．117.已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥8. 设函数则的值为A. 15B. 16C. -5D. -159．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++的值，则在判断框中应填写A ．19i ≤B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤10．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 A ．1- B ．0 C ．3 D ．411.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是A.y ＝2x －2B.y ＝(12)xC.y ＝log 2xD.y ＝12(x 2－1)12．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内（含边界）运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第4单元-平面向量(理科)

第四单元 │ 网络解读
(2)平面向量的线性运算是指平面向量的加法运算、减法运算、数乘运算，这些运算都是从几何上进行定义的，要从几何表示上弄清楚这些运算的含义，注意两个向量共线的充要条件的应用． (3)平面向量的数量积是平面向量的另一种重要运算，是平面向量的核心内容，主要是数量积的定义、性质和运算法则、运用数量积表示两个向量的夹角、两向量垂直的充要条件，要注意数量积的运算结果是一个数量，注意一个向量在另外一个向量上的投影也是一个数量，注意向量的数量积和数的乘法运算的区别．
(2)下列命题中： ①时间、速度、加速度都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③所有的单位向量都相等； ④共线向量一定在同一直线上．其中真命题的个数为( A．0 B．1 C．2 D．3 )
第24讲 │ 要点探究
(3)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②向量不可以比较大小； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确的命题有( A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个 )
第四单元 │ 使用建议
3．课时安排本单元共3讲和一个45分钟滚动基础训练卷，第26讲建议 2课时完成，其余每讲建议1课时完成，45分钟滚动基础训练卷，建议各1课时完成，共需6课时．
第24讲 │ 平面向量的概念及其线性运算
第24讲
平面向量的概念及其线性运算
第24讲 │ 考纲要求考纲要求
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何意义． 3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 4．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义． 5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

高三数学复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

数学(6省专版)
提升学科素养
演练知能检测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回扣主干知识
1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
提升学科素养
突破热点题型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案：D
数学(6省专版)
演练知能检测
第一节
平面向量的概念及其线性运算向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
演练知能检测
答案：B
数学(6省专版)
第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD
提升学科素养
突破热点题型
位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
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数学(6省专版)
演练知能检测
回扣主干知识

2013届高考数学理一轮复习课件同步测试卷8

＝2tO→A＋tO→B－2t·O→P ∴(1＋2t)O→P＝2tO→A＋tO→B ∴O→P＝1＋2t2tO→A＋1＋t 2tO→B 由 P、A、B 三点共线可知 1＋2t2t＋1＋t 2t＝1，∴t＝1 ∴O→P＝2P→A＋O→B，∴B→P＝2P→A，∴||PP→ →AB||＝12.
5．已知|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的方程 x2
所以 <a，b> ∈[π3，π]．
6．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O
为△ABC 外心，动点 P 满足O→P＝31[(1－λ)O→A＋(1－ λ)O→B＋(1＋2λ)O→C](λ∈R)，则点 P 的轨迹一定过△ ABC 的( B)
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心【解析】设 AB 中点为 D，则O→A＋O→B＝2O→D，
(a－kb)2＝( 3|ka＋b|)2，即 a·b＝－k24＋k 1(k>0)
∴a·b＝－14(k＋1k)≤－41×2＝－12
此时 cosθ＝－21，a·b 的最大值为－21，
此时 θ＝23π.
(2)a·b＝－12时
|a＋λb|＝ a2＋λ2b2＋2λa·b＝ λ2－λ＋1
＝ λ－122＋43
【解析】(1)A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)，则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4) ∴|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2 故所求两对角线长分别为 4 2，2 10. (2)O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t,5＋t) 由(A→B－tO→C)·O→C＝0 得－2(3＋2t)－(5＋t)＝0 ∴t＝－151.
B．(2，－12)
C．(3,2)
D．(1,3)
【解析】A→D＝12B→C＝12(4,3)＝(2，32)， ∴D(2，27)．

高考一轮第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节课下作业我来演练

一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝ ( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，又a ＋b 与4b －2a 平行， ∴3(4x －2)＝6(1＋x )，解得x ＝2. 答案：D3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于 ( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ.解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32.∴c ＝12a －32b .答案：B4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AD ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵a ，b 不共线，∴AC≠0，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在实数t ，满足AB＝t AC ，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，得λμ＝1. 答案：D5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，又△DEF ∽△BEA ， ∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD ，∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC)＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .答案：B 二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：设e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB＝(3,6)， DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA＝(－3，－6)．因为AC ＝13AB ，DA ＝－13DA ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝12－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)，则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。

2013年全国各省市高考真题——平面向量(带答案)

2013年全国各省市文科数学—平面向量1、2013大纲文T3.已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-12、2013辽宁文T3.已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3、2013福建文T10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为（）A ．5B ．52C ．5D ．104、2013广东文T10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量 a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+ a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+ a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+ a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+ a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 5、2013陕西文T2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (D) 06、2013湖南文T8.已知a,b 是单位向量，a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为1127、2013湖北文T7．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ．D ．8、2013新课标文T13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____。

高考一轮第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课下作业第三节我来演练

一、选择题1．(2011·广东高考)若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D2．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为 ( )A.58B ．－316C ．－38D.38解析：由已知得|m |＝34，|n |＝5，m·n ＝11，∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n ＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38.答案：C3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,0解析：由于|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，故|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0.答案：D4．(2012·珠海模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM ·ON＝0(O 为坐标原点)，则A ＝( ) A.π6B.712πC.76πD.73π 解析：由题图知OM ＝⎝⎛⎭⎫π12，A ，ON ＝⎝⎛⎭⎫7π12，－A ，∵OM ·ON ＝7π2144－A 2＝0，A >0，∴A ＝712π.答案：B5．(2012·杭州质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得：a·b ＝0；将|a －b |＝233|a |两边同时平方得：b 2＝13a 2.所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a 2＝12.所以〈a ＋b ，a －b 〉＝60°. 答案：B 二、填空题6．(2011·江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2)＝0，即ke 12＋e 1e 2－2ke 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案：547．(2012·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )·AD的值为________．解析：|BC |2＝|AB |2＋|AC |2＝8，|AD |＝12|BC |，AB ＋AC ＝2AD ，(AB＋AC )·AD ＝2AD ·AD ＝12|BC |2＝4.答案：4 三、解答题8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的射影．解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0.∴(b ·c )a ＝0a ＝0. (2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直， ∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0.∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的射影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22. 9．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a·b ＝0.则⎝⎛⎭⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.10．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点(1) AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值． (2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC的夹角．解：(1) AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． OC ·BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13.∴sin θ＋cos θ＝23.∴1＋2sin θcos θ＝49.∴sin 2θ＝49－1＝－59.(2)∵OA ＝(2,0)，OC＝(cos θ，sin θ)． ∴OA ＋OC＝(2＋cos θ，sin θ)， ∴|OA ＋OC|＝(2＋cos θ)2＋sin 2θ＝7.即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7. ∴4cos θ＝2，即cos θ＝12.∵－π<θ<0，∴θ＝－π3.又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝⎛⎭⎫12，－32，∴cos OB ，OC 〉＝OB ·OC|OB |·|OC |＝0－32＝－32.∴〈OB ，OC 〉＝5π6.。

《平面向量》2013年高三数学一轮复习单元训练(附答案解析)

《平面向量》2013年高三数学一轮复习单元训练（某校）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2. 已知a →、b →均为单位向量，它们的夹角为60∘，那么|a →+3b →|＝（） A.√7 B.√10 C.√13 D.43. 在周长为16的△PMN 中，MN =6，则PM →⋅PN →的取值范围是（） A.[7, +∞) B.(0, 7] C.(7, 16] D.[7, 16)4. 在边长为3的等边三角形ABC 中，CD →=2DB →，则AB →⋅CD →等于（） A.−3√3 B.−3 C.3 D.3√35. 无论a →=(x 1, x 2, x 3)，b →=(y 1, y 2, y 3)，c →=(z 1, z 2, z 3)，是否为非零向量，下列命题中恒成立的是（） A.cos <a →，b →>=x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3⋅B.若a → // b →，c → // b →，则a → // c →C.(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D.||a →|−|b →||≤|a →±b →|≤|a →|+|b →|6. 设e →1，e →2是夹角为45∘的两个单位向量，且a →=e →1+2e →2，b→=2e →1+e →2，则|a→+b →|的值为( )A.3√2B.9C.18+9√2D.3√2+√27. 对于非0向量a →，b →，“a →+b →=0→”是“a → // b →”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知a →=(−1, −√3)，b →=(2, 0)，则a →与b →的夹角是（） A.π6 B.π3C.2π3D.5π69. 已知向量a →=(1, 2)，b →=(1, 0)，c →=(3, 4)．若λ为实数，(a →+λb →) // c →，则λ=( ) A.14 B.12C.1D.210. 在△ABC 中，AB →=c →，AC →=b →．若点D 满足BD →=2DC →，则AD →=( ) A.23b →+13c →B.53c →−23b →C.23b →−13c →D.13b →+23c →11. 已知向量OA →=(4, 6)，OB →=(3, 5)，且OC →⊥OA →，AC → // OB →，则向量OC →等于（） A.(−37，27)B.(−27，421)C.(37，−27)D.(27，−421)12. 如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 上的任一点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设AD →=λ1AB →，AE →=λ2AC →，DF →=λ3DE →，且λ2+λ3−λ1=12，则△BDF 的面积S 的最大值是（）A.12B.13C.14D.18二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）已知e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量，a→=e 1→−2e 2→，b→=ke 1→+e 2→，若a→⋅b →=0，则实数k 的值为________．已知向量a →,b →夹角为45∘，且|a →|=1,|2a →−b →|=√10，则|b →|=________．若e 1→，e 2→是两个不共线的向量，已知AB →=2e 1→+ke 2→，CB →=e 1→+3e 2→，CD →=2e 1→−e 2→，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________．在△ABC 中，若AC →⋅BC →=1，AB →⋅BC →=−2，则|BC →|=________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，且a→=2e 1→+e 2→，b→=−3e 1→+2e 2→（1）求a →⋅b →；（2）求a →与b →的夹角<a →，b →>．已知||a →|=1，|b →|=2．（1）若a → // b →，求a →⋅b →；（2）若a →、b →的夹角为60∘，求|a →+b →|；（3）若a →−b →与a →垂直，求当k 为何值时，(ka →−b →)⊥(a →+2b →)？已知向量a →=(1, sin x)，b →=(sin 2x, cos x)，函数f(x)=a →⋅b →，x ∈[0, π2] （1）求f(x)的最小值；（2）若f(α)=56，求sin 2α的值．已知向量a →=(1,y)，b →=(1,−3)，且(2a →+b →)⊥b →．（1）求|a →|；（2）若(ka →+2b →) // (2a →−4b →)，求k 的值．已知A(3, 0)，B(0, 3)，C(cos α, sin α). (1)若AC →⋅BC →=−1，求sin (α+π4)的值；（2）O 为坐标原点，若|OA →−OC →|=√13，且α∈(0, π)，求OB →与OC →的夹角．已知x ∈R ，向量OA →=(a cos 2x,1)，OB →=(2,√3a sin 2x −a)，f(x)=OA →⋅OB →，a ≠0．（1）求函数f(x)解析式，并求当a >0时，f(x)的单调递增区间；（2）当x ∈[0,π2]时，f(x)的最大值为5，求a 的值．参考答案与试题解析《平面向量》2013年高三数学一轮复习单元训练（某校）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】 C【考点】向量的物理背景与概念【解析】根据向量的定义，找出其中既有大小、又有方向的物理量，即可得到本题答案．【解答】解：∵ 质量、路程只有大小而没有方向， ∴ 质量、路程属于标量，不是向量；又∵ 速度、位移、力和加速度都是既有大小，又有方向的量 ∴ 速度、位移、力和加速度这些量都是向量因此，正确答案为②③④⑤，共有4个故选：C 2.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的概念与向量的模【解析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．【解答】∵ a →,b →均为单位向量，它们的夹角为60∘ ∴ |a →|＝1，|b →|＝1，a →⋅b →=cos 60∘∴ |a →+3b →|=√a →2+6a →⋅b →+9b →2=√1+6cos 60+9=√13 3.【答案】 D【考点】平面向量数量积的运算余弦定理【解析】利用向量的数量积公式表示出向量的数量积；利用三角形的余弦定理求出向量的夹角余弦；通过求二次函数的对称轴求出范围．【解答】解：设PM =x ，则PN =10−x ，∠MPN =θ 所以PM →⋅PN →=x(10−x)cos θ 在△PMN 中，由余弦定理得cos θ=(10−x)2+x 2−362(10−x)x又{x +6>10−x 10−x +6>x，解得2<x <8 ∴ PM →⋅PN →=x 2−10x +32(2<x <8)，是一个开口向上的二次函数，对称轴为x =5 当x =5时最小为7，当x =2或x =8时最大为16 故答案为[7, 16) 故选D ． 4.【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算【解析】由题意可得<AB →，CD →>=π3，|AB →|=3，|CD →|=2，利用两个向量的数量积的定义求出AB →⋅CD →的值．【解答】解：由题意可得<AB →，CD →>=π3，|AB →|=3，|CD →|=2， ∴ AB →⋅CD →=|AB →|⋅|CD →| cos <AB →，CD →>=3×2×12=3，故选C ． 5.【答案】 D【考点】空间向量的数量积运算命题的真假判断与应用共线向量与共面向量【解析】逐个验证：选项A ，当有一个为零向量时不成立；选项B ，当b →=0→时，则a → // c →不一定成立；选项C ，当a →与c →不共线时，不成立；选项D ，无论a ¯与b →共线，还是不共线，都成立【解答】解：选项A ，当有一个为零向量时不成立，故错误；选项B ，当b →=0→时，则a → // c →不一定成立，错故误；选项C ，当a →与c →不共线时，不成立，故错误；选项D ，由向量模长的意义和三角形的三边关系可得，无论a ¯与b →共线，还是不共线，都成立，故正确．故选D 6. 【答案】 D【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算单位向量向量的模【解析】利用向量的数量积的定义即可得出e 1→⋅e 2→，a →2，b →2，再根据|a→+b →|=√(a →+b →)2即可得出．【解答】解：∵ e 1→，e 2→是夹角为45∘的两个单位向量， ∴ e 1→⋅e 2→=1×1×cos 45∘=√22． ∴ a →2=(e 1→+2e 2→)2=1+22+4e 1→⋅e 2→=5+2√2，b →2=(2e 1→+e 2→)2=22+1+4e 1→⋅e 2→=5+2√2，a →⋅b →=（(e 1→+2e 2→)⋅(2e 1→+e 2→) =2e 1→2+2e 2→2+5e 1→⋅e 2→=4+5√22． ∴ |a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →⋅b →=√2(5+2√2)+2(4+5√22) =√18+9√2=3√2+√2．故选D ． 7. 【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断向量的共线定理【解析】利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项．【解答】解：∵ a →+b →=0→⇒b →=−a →⇒a → // b →，反之，推不出，例如b →=2a →满足两个向量平行但得到a →+b →=0→，所以“a →+b →=0→”是“a → // b →”的充分不必要条件. 故选A . 8.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】由题意可得|a →|、|b →|，以及a →⋅b →的值，设a →与b →的夹角是θ，则由cos θ=|a →|⋅|b →|˙的值求得θ的值．【解答】解：由题意可得|a →|=√1+3=2，|b →|=2，a →⋅b →=−2+0=−2．设a →与b →的夹角是θ，则由cos θ=|a →|⋅|b →|˙=−22×2=−12，且0≤θ≤π，可得θ=2π3，故选C ． 9. 【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的a →+λb →向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵ 向量a →=(1, 2)，b →=(1, 0)，c →=(3, 4)． ∴ a →+λb →=(1+λ, 2) ∵ (a →+λb →) // c →，∴ 4(1+λ)−6=0， ∴ λ=12. 故选B ． 10.【答案】 A【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D 点把BC 分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵ 由AD →−AB →=2(AC →−AD →)， ∴ 3AD →=AB →+2AC →=c →+2b →， ∴ AD →=13c →+23b →．故选A . 11.【答案】 D【考点】平面向量的坐标运算【解析】根据向量平行垂直的坐标公式X 1Y 2−X 2Y 1=0和X 1X 2+Y 1Y 2=0运算即可．【解答】解：设C(x, y)，∵ OC →⊥OA →，⇒4x +6y =0， AC → // OB →⇒5(x −4)−3(y −6)=0，联立解得D(27，−421)．故选D ． 12.【答案】 D【考点】平面向量的综合题【解析】由三角形ABC 的面积为1且S △ADE S △ABC=12AD⋅AE sin A 12AB⋅AC sin A =λ1AB⋅λ2AC AB⋅AC =λ1λ2可求三角形ADE 的面积，再由△DMB ∽△DEA可得ℎ1ℎ2=DBDA =1−λ1λ1从而有S△DBF S △ADE=12DF⋅ℎ112DE⋅ℎ2=λ3⋅1−λ1λ1，求出三角形DEF 的面积之后，利用基本不等式可求面积的最大值【解答】解：分别过B ，A 作BM ⊥DE ，AN ⊥DE ，垂足分别为M ，N ，设MB =ℎ1，AN =ℎ2 则S △ADES△ABC=12AD⋅AE sin A 12AB⋅ACsin A =λ1AB⋅λ2AC AB⋅AC=λ1λ2∴ S △ADE =λ1λ2S △ABC =λ1λ2 ∵ △DMB ∽△DEA ∴ ℎ1ℎ2=DBDA =1−λ1λ1从而有S △DBFS △ADE=12DF⋅ℎ112DE⋅ℎ2=λ3⋅1−λ1λ1∴ S △DBF =λ3(1−λ1)λ1λ1λ2=λ2λ3(1−λ1)≤(λ2+λ3+1−λ13)3=18当且仅当λ2=λ3=1−λ1=12取等号故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）【答案】54【考点】平面向量数量积的运算【解析】利用向量的数量积公式求出e 1→⋅e 2→；利用向量的运算律求出a →⋅b →，列出方程求出k ．【解答】解：∵ e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量 ∴ e 1→⋅e 2→=−12∴ a →⋅b →=(e 1→−2e 2→)⋅(ke 1→+e 2→) =ke 1→2−2ke 1→⋅e 2→+e 1→⋅e 2→−2e 2→2=2k −52∵ a →⋅b →=0 ∴ 2k −52=0解得k =54 故答案为：54 【答案】3√2【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】由已知可得，a →⋅b →=|a →||b →|cos 45=√22|b →|，代入|2a →−b →|=√(2a →−b →)2=√4a →2−4a →⋅b →+b →2=√4−2√2|b →|+|b →|2=√10可求【解答】∵ <a →,b →>=45，|a →|=1 ∴ a →⋅b →=|a →||b →|cos 45=√22|b →| ∴ |2a →−b →|=√(2a →−b →)2=√4a →2−4a →⋅b →+b →2=√4−2√2|b →|+|b →|2=√10 解得|b →|=3√2 【答案】 −8【考点】平行向量（共线）【解析】先求出BD →，利用A ，B ，D 三点共线，AB →=λBD →，求出k 即可．【解答】BD →=CD →−CB →=(2e 1→−e 2→)−(e 1→+3e 2→)=e 1→−4e 2→因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →=λBD →，已知AB →=2e 1→+ke 2→，BD →=e 1→−4e 2→，λe 1→−4λe 2→=2e 1→+ke 2→，所以k ＝−8，【答案】√3【考点】向量在几何中的应用【解析】根据BC →=AC →−AB →，则|BC →|2=BC →×BC →=(AC →−AB →)BC →，将条件数据代入即可求出所求．【解答】解：BC →=AC →−AB →∴ |BC →|2=BC →×BC →=(AC →−AB →)BC →=AC →⋅BC →−AB →⋅BC →=1−(−2) =3∴ |BC →|=√3故答案为：√3三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）求a →⋅b →=(2e 1→+e 2→)⋅(−3e 1→+2e 2→)=−6e 1→2+e 1→⋅e 2→+2e 2→2=−6+1×1×cos 60∘+2=−72．（2）|a|→=|2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→)2=√4e 1→2+2e 1→⋅e 2→+e 2→2=√7同样地求得|b →|=√7．所以cos <a →，b →>=|a →||b →|˙=−72√7×√7=−12，又0<<a →，b →><π，所以<a →，b →>=2π3．【考点】平面向量数量积的运算平面向量数量积的性质及其运算律数量积表示两个向量的夹角【解析】（1）按照向量数量积的定义和运算法则求解即可．（2）利用向量数量积公式变形，求出a →与b →的夹角余弦值，再求出夹角．【解答】解：（1）求a →⋅b →=(2e 1→+e 2→)⋅(−3e 1→+2e 2→)=−6e 1→2+e 1→⋅e 2→+2e 2→2=−6+1×1×cos 60∘+2=−72．（2）|a|→=|2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→)2=√4e 1→2+2e 1→⋅e 2→+e 2→2=√7 同样地求得|b →|=√7．所以cos <a →，b →>=|a →||b →|˙=−72√7×√7=−12，又0<<a →，b →><π，所以<a →，b →>=2π3．【答案】解：(1)a →⋅b →=±|a →|⋅|b →|=±2（2） a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos 60∘=1|a →+b →|2=|a →|2+a →⋅b →+|b →|2=6， ∴ |a →+b →|=√6 （3）若a →−b →与a →垂直 ∴ (a →−b →)⋅a →=0 ∴ a →⋅b →=|a →|2=1使得(ka →−b →)⊥(a →+2b →)，只要(ka →−b →)⋅(a →+2b →)=0 即k|a →|2+(2k −1)a →⋅b →−2|b →|2=0 ∴ k =3【考点】向量的模平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】（1）由于a → // b →，则两向量共线，根据向量的数量积即得a →⋅b →；（2）直接根据向量的数量积公式即可得到：a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos 60∘=1从而：|a →+b →|2=|a →|2+a →⋅b →+|b →|2=6，开方后即得答案；（3）利用两个向量垂直的数量积条件，由a →−b →与a →垂直，得到(a →−b →)⋅a →=0，为使得(ka →−b →)⊥(a →+2b →)，只要(ka →−b →)⋅(a →+2b →)=0代入数据即可求得k 值．【解答】解：(1)a →⋅b →=±|a →|⋅|b →|=±2（2） a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos 60∘=1|a →+b →|2=|a →|2+a →⋅b →+|b →|2=6，∴ |a →+b →|=√6 （3）若a →−b →与a →垂直 ∴ (a →−b →)⋅a →=0 ∴ a →⋅b →=|a →|2=1使得(ka →−b →)⊥(a →+2b →)，只要(ka →−b →)⋅(a →+2b →)=0 即k|a →|2+(2k −1)a →⋅b →−2|b →|2=0 ∴ k =3 【答案】解：（1）∵ 向量a →=(1, sin x)，b →=(sin 2x, cos x)， ∴ f(x)=a →⋅b →=sin 2x +sin x cos x =1−cos 2x2+12sin 2x =√22sin (2x −π4)+12∵ x ∈[0, π2]，∴ 2x −π4∈[−π4, 3π4]因此，当2x −π4=−π4，即x =0时，f(x)取得最小值，最小值为f(0)=0；（2）由（1）得f(α)=√22sin (2α−π4)+12=56，化简得sin (2α−π4)=√23∵ α∈[0, π2]，2α−π4∈[−π4, 3π4]，且sin (2α−π4)=√23<sin π4∴ 2α−π4∈[0, π4]，得cos (2α−π4)=(√23)=√73因此可得：sin 2α=sin [(2α−π4)+π4]=√22[sin (2α−π4)+cos (2α−π4)]=2+√146．【考点】平面向量数量积的运算同角三角函数间的基本关系求两角和与差的正弦【解析】（1）根据向量的数量积的坐标运算公式，结合二倍角三角公式和辅助角公式化简整理得f(x)=sin (2x −π4)+12．再根据x ∈[0, π2]，得到当x =0时，f(x)的最小值为f(0)=0；（2）由（1）的结论，得到sin (2α−π4)=√23，利用同角三角函数的平方关系结合2α−π4取值范围，算出cos (2α−π4)=√73，最后利用配角和两角和的正弦公式，即可算出sin 2α的值．【解答】解：（1）∵ 向量a →=(1, sin x)，b →=(sin 2x, cos x)， ∴ f(x)=a →⋅b →=sin 2x +sin x cos x =1−cos 2x2+12sin 2x =√22sin (2x −π4)+12∵ x ∈[0, π2]，∴ 2x −π4∈[−π4, 3π4]因此，当2x −π4=−π4，即x =0时，f(x)取得最小值，最小值为f(0)=0；（2）由（1）得f(α)=√22sin (2α−π4)+12=56，化简得sin (2α−π4)=√23∵ α∈[0, π2]，2α−π4∈[−π4, 3π4]，且sin (2α−π4)=√23<sin π4∴ 2α−π4∈[0, π4]，得cos (2α−π4)=√1−(√23)2=√73因此可得：sin 2α=sin [(2α−π4)+π4]=√22[sin (2α−π4)+cos (2α−π4)]=2+√146．【答案】解：（1）由题意可得：2a →+b →=(3,2y −3)，由(2a →+b →)⋅b →=0可得3−3(2y −3)=0，解得y =2．---------------- ∴ a →=(1, 2)，由模长公式可得|a →|=√5−−−−−−−−−−−−−−−（2）由（1）知：a →=(1, 2)，∴ ka →+2b →=(k +2,2k −6)，2a →−4b →=(−2,16)−−−−−−−−−−−− ∵ (ka →+2b →) // (2a →−4b →)，∴ 16(k +2)+2(2k −6)=0，解得k =−1−−−−−−−−−−− 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的模平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由向量垂直的充要条件可得y 的值，进而由模长公式可得；（2）由（1）可得式中向量的坐标，由向量平行的充要条件可得k 的值．【解答】解：（1）由题意可得：2a →+b →=(3,2y −3)，由(2a →+b →)⋅b →=0可得3−3(2y −3)=0，解得y =2．---------------- ∴ a →=(1, 2)，由模长公式可得|a →|=√5−−−−−−−−−−−−−−−（2）由（1）知：a →=(1, 2)，∴ ka →+2b →=(k +2,2k −6)，2a →−4b →=(−2,16)−−−−−−−−−−−− ∵ (ka →+2b →) // (2a →−4b →)，∴ 16(k +2)+2(2k −6)=0，解得k =−1−−−−−−−−−−− 【答案】解：(1)∵ A(3, 0)，B(0, 3)，C(cos α, sin α)； ∴ AC →=(cos α−3, sin α)； BC →=(cos α, sin α−3)；∴ AC →⋅BC →=cos 2α+sin 2α−3(sin α+cos α) =1−3(sin α+cos α)=1−3√2sin (α+π4)=−1∴ sin (α+π4)=√23(2)∵ |OA →−OC →|=|CA →|=|AC →| =√cos 2α+sin 2α−6cos α+9 =√10−6cos α=√13, ∴ cos α=−12.又∵ α∈(0, π), ∴ α=2π3，则OB →与OC →的夹角为2π3−π2=π6．【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角运用诱导公式化简求值【解析】(1)根据已知中A ，B ，C 三点的坐标，我们易求出向量AC →，BC →的坐标，根据AC →⋅BC →=−1，我们易得到一个三角方程，解方程即可得到sin (α+π4)的值．(2)根据向量减法的三角形法则，我们易将|OA →−OC →|=√13转化为|AC →|=√13，结合(1)中结论，易构造出关于α的三角方程，解方程即可求解．【解答】解：(1)∵ A(3, 0)，B(0, 3)，C(cos α, sin α), ∴ AC →=(cos α−3, sin α),BC →=(cos α, sin α−3),∴ AC →⋅BC →=cos 2α+sin 2α−3(sin α+cos α)=1−3(sin α+cos α)=1−3√2sin (α+π4)=−1,∴ sin (α+π4)=√23. (2)∵ |OA →−OC →|=|CA →|=|AC →| =√cos 2α+sin 2α−6cos α+9 =√10−6cos α=√13 ∴ cos α=−12 又∵ α∈(0, π) ∴ α=2π3，则OB →与OC →的夹角为2π3−π2=π6．【答案】解：（1）f(x)=2a cos 2x +√3a sin 2x −a =√3a sin 2x +a cos 2x =2a sin (2x +π6)．当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z)时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)时．f(x)为增函数，即f(x)的增区间为[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z) （2）f(x)=2a sin (2x +π6)，当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]．若a >0，当2x +π6=π2时，f(x)最大值为2a =5，则a =52．若a <0，当2x +π6=7π6时，f(x)的最大值为−a =5，则a =−5．【考点】三角函数的最值平面向量数量积的运算正弦函数的单调性【解析】（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出f(x)，然后利用两角和的正弦函数公式的逆运算把f(x)化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调区间(2kπ−π2, 2kπ+π2)，求出x 的范围即为函数的增区间；（2）根据x 的范围求出2x +π6的范围，讨论a 的正负利用2x +π6的范围及正弦函数的图象可得f(x)的最大值，让最大值等于5列出关于a 的方程，求出a 的值即可．【解答】解：（1）f(x)=2a cos 2x +√3a sin 2x −a =√3a sin 2x +a cos 2x =2a sin (2x +π6)．当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z)时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)时．f(x)为增函数，即f(x)的增区间为[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z) （2）f(x)=2a sin (2x +π6)，当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]．若a >0，当2x +π6=π2时，f(x)最大值为2a =5，则a =52．若a <0，当2x +π6=7π6时，f(x)的最大值为−a =5，则a =−5．。

高考数学一轮复习单元评估检测4第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入理北师大版

单元评估检测(四) 第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．i [答案] C2．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35I D ．45－35i[答案] D3．若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( )A ．－1B ．－iC ．ID ．1 [答案] A4．复数z ＝－3＋i2＋i的共扼复数是( )【导学号：79140414】A ．2＋IB ．2－iC ．－1＋ID ．－1－i [答案] D5．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9) [答案] D6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] A8．设复数z 1＝2sin θ＋icos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2在复平面上对应向量OZ 1→，将OZ 1→按顺时针方向旋转34π后得到向量OZ 2→，OZ 2→对应的复数为z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则y x＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1B ．2tan θ－12tan θ＋1 C.12tan θ＋1D ．12tan θ－1[答案] A9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5,5)，则b ·c ＝( )A ．(－3,4)B ．(3，－4)C ．1D ．－1[答案] C10．如图41，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图41A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →[答案] D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( )A ．3－2iB ．2－3iC ．－3－2iD ．2＋3i[答案] D12．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8 [答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. [答案] 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.[答案] 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________.【导学号：79140415】[答案]32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10.(1)求D 点坐标；(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →；(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． [解] (1)D (2,1)或D (－2,3)． (2)AC →＝－AB →＋AD →. (3)AE →＝(－14,2)．18．(本小题满分12分)如图42，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值.【导学号：79140416】图42[解] 78.19．(本小题满分12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω；(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值．[解] (1)1－i. (2)54π.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A2，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)－12. (2)2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cosA ，cosB )，n ＝(a,2c －b )，且m ∥n .【导学号：79140417】(1)求角A 的大小；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m ∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0，由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin C cos A ，因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0，所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立；因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝1.(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →；(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)因为点M 为线段AB 的中点，所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|MA →|＝|MB →|＝|MO →| ＝12|AB →|＝1. 又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.。

高考数学一轮复习试题选编11 平面向量

江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量填空题1 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面四边形ABCD中,点E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,且AB 1=,EF =,CD =. 若15AD BC ⋅=uuu r uu u r ,则AC BD ⋅uu u r uu u r的值为______.【答案】132 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）△ABC 外接圆的半径为1,圆心为O ,且20OA AB AC ++=,||||OA AB =,则CA CB ⋅的值是______.【答案】 3 3 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）如图,已知正方形ABCD 的边长为3,E 为DC 的中点,AE 与BD 交于点F .则FD DE ⋅=uu u r uu u r__________.FE DCB A【答案】32FD DE ⋅=-uu u r uuu r .4 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知向量a ,b 满足2a =,1b =,且对一切实数x ,a xb a b +≥+恒成立,则a 与b 的夹角大小为______. 【答案】34π5 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）已知向量),cos 6,9(),3,5(α--=-= α是第二象限角,)2//(-,则αtan =______ 【答案】34-6 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , =,12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则⋅= .【答案】07 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知OA →=(3,-1),OB→=(0,2).若OC →·AB →=0,AC →=λOB →,则实数λ的值为________. 【答案】28 ．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知向量a 的模为2,向量e 为单位向量,)(-⊥,则向量与的夹角大小为_______. 【答案】3π;9 ．（2012年江苏理）如图,在矩形ABCD 中,2AB BC =，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.【答案】由2AB AF =,得cos ABAF FAB ∠=由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.∵AB =22DF =,∴1DF =.∴1CF .记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =. ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =1221AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-=10．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知向量a ,b ,满足1a =,()(2)0a b a b +-=,则b 的最小值为___________.【答案】1211．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）设向量)3,(k =,)2,0(k -=,,的夹角为︒120,则实数=k ___________.【答案】3 12．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））在边长为3的正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,AE 与BD 相交于点F ,则FD →·DE →的值为_______.【答案】-3213．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在ABC ∆中,已知AB=2,BC=3,60ABC ∠=︒,BD ⊥AC,D 为垂足,则BD BC ⋅的值为____. 【答案】27714．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）已知向量a 与b 的夹角为3π,2||=a ,则a在b 方向上的投影为____________. 【答案】2215．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）△ABC 中,||3AB =,||4AC =,9AB BC ⋅=-,则||BC =____. 【答案】516．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知平面上的向量PA .PB 满足224PA PB +=,2AB =,设向量2PC PA PB =+,则PC的最小值是________________ .【答案】217．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）在ABC ∆中,已知9=⋅AC AB ,C A B sin cos sin ⋅=,6=∆ABC S ,P 为线段AB 上的点,且||||CB y CA x +=则xy 的最大值为____. 【答案】 318．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知向量(3,2),(1,0)=-=-a b ,且向量λ+a b与2-a b 垂直,则实数λ的值为________.【答案】17-19．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|la+b|不超过5,则k 的取值范围是________.【答案】[6,2]-20．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a与b 夹角为120°,则向量b 的模为________. 【答案】1 21．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）ABC ∆内接于以P 为圆心,半径为1的圆,且=++5430,则ABC ∆的面积为________. 【答案】5622．（2011年高考（江苏卷））已知12,e e 是夹角为π32的两个单位向量,122a e e =-,12b ke e =+,若0a b ⋅=,则实数k 的值为______【答案】【命题立意】本题考查平面向量数量积的运算及应用45【解析】22121212111(2)()2(12)2(12)()02a b e e ke e ke e k e e k k ⋅=-⋅+=-+-⋅=-+--=,因此,54k =.23．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知点A(1,1),点B(3,5),则向量AB 的模为_________.【答案】24．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知向量(cos ,sin )a θθ=,向量(3,1)b =,则2a b -的最大值为_______. 【答案】 425．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知向量()()k ,1,1,2-==,若⊥,则k 等于____.【答案】2 26．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系中,已知向量AB uur= (2,1),向量AC uuu r = (3,5),则向量BC uu u r 的坐标为____.【答案】(1,4)27．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知向量a ,b 满足()22,4a b +=-,()38,16a b -=-,则向量a ,b 的夹角的大小为______.【答案】p 28．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在等腰三角形ABC 中,已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点,且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是_____.29．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）过圆x 2+y 2=1上一点P 作圆的切线与x 轴和y轴分别交于A ,B 两点,O 是坐标原点, 则|2|OB OA +的最小值是___________. 【答案】3 30．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在菱形ABCD中,AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF =,则EF AC ⋅=______. 【答案】12-;31．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷）在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ,点AB M 为的中点,点P 在CD BC 与上运动(包括端点),则DM AP ∙的取值范围是__________.【答案】[12-,1] .32．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知向量()()()2,1,3,0a b λλ==>,若()2a b b -⊥,则λ=____________【答案】5 33．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2,点,M N 分别为线段,BC CD 上的两个不同点,且1MN =,则OM ON 的取值范围是________.【答案】[234．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）若点P 是△ABC 的外心,且0PA PB PC λ++=uu r uu r uu u r r,120C ∠=o ,则实数λ=___.【答案】λ=1-.35．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）如图,A ,B 是半径为1的圆O 上两点,且∠AOB =π3.ABMNEF第14题图若点C 是圆O 上任意一点,则→OA ▪→BC 的取值范围为________.【答案】31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦36．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知点(1,5)A --和向量(2,3)a =,若3AB a =,则点B 的坐标为____.【答案】(5,4)37．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）在平面直角坐标系xOy 中,(1,0)A ,函数xy e =的图像与y 轴的交点为B ,P 为函数xy e =图像上的任意一点,则OP AB 的最小值_______.【答案】138．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知向量(12,2)a x =-,()2,1b -=,若a b ⊥,则实数x =______.【答案】0; 39．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆(x -1)2+(y -1)2=4,C 为圆心,点P 为圆上任意一点,则OP CP ⋅的最大值为____. 【答案】4+22;40．（2009高考(江苏)）已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积⋅=a b ___★___.【答案】3；【解析】2332=⋅⋅=a b 。

高三理科数学一轮复习试题选编平面向量含答案

广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编4：平面向量一、选择题1 ．(广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =( ）A ．2B ．2- C．D．-【答案】B 解析:1cos 22232AB BC AB BC ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 ．(广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(3,4)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转23π后得向量OB ,则点B 的坐标是3.(22A -+-3.(22B ---3.(22C -+-.(4,3)D -【答案】B3 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学(理）试题)定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①⊗=⊗a b b a,②()()λλ⊗=⊗a b a b，③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ，④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1221x yx y ⊗=-a b .恒成立的有 ( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 解析: ①恒成立；② ()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ，()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,当0<λ时，()()λλ⊗=⊗a b a b不成立；③当,,a b c 不共面时，()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c 不成立，例如取,,a b c 为两两垂直的单位向量,易得()+⊗=a b c ()()2⊗+⊗=a c b c ;④由sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ，cos ,=⋅<>a b a b a b ,可知2222()()⊗+=⋅a b a b a b,2()⊗=a b 222222222112212121221()()()()()x y x y x x y y x y x y ⋅-=++-+=-a b a b ，故1221x yx y ⊗=-a b 恒成立。

江苏省2013高三数学下学期最新精选试题分类汇编4 平面向量

江苏省2013届高三下学期最新精选试题（27套）分类汇编4：平面向量姓名____________班级___________学号____________分数______________一、填空题1 ．（南京九中2013届高三第二学期二模模拟）如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则CD ED ⋅的取值范围为________________．NM ECBA2 ．（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，则βα-= . zxxk 3 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）在平面直角坐标系中，已知向量AB uur = (2，1)，向量AC uuu r = (3，5)，则向量BC uu u r 的坐标为 ▲ ．4 ．（江苏省郑梁梅中学2013届高三下学期期初检测数学试题）给出下列命题① 向量 a b 、满足a b a b ==-,则与a a b +的夹角为030; ② ∙>0,是 a b 、的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数y =1-x 的图象按向量=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为y =x ; ④ 若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅∙→-→-AC AB ,则ABC ∆为等腰三角形;以上命题正确的是____________ (注:把你认为正确的命题的序号都填上)5 ．（江苏省郑梁梅中学2013届高三下学期期初检测数学试题）下面关于向量的结论中, ;(2)0=+++DA CD BC AB ;(3)若0=⋅b a ,则b a ⊥;(4)若向量AB 平移后,起点和终点的发生变化,所以AB 也发生变化;(5)已知A 、B 、C 、D 四点满足任三点不共线,但四点共面,O 是平面ABCD 外任一点,且.1432,432=++⋅+⋅+⋅=z y x OD z OC y OB x OA 则其中正确的序号为_________6 ．（江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为______.7 ．（江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）若1e ,2e 是两个单位向量,212e e -=,2145e e +=,且a ⊥b ,则1e ,2e 的夹角为________.8 ．（江苏省盱眙中学2013届高三下学期期初检测数学试题）若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为12,则α与β的夹角θ的取值范围是________ 9 ．（江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题）已知)2,1(=→a ,)log ,2(2m b -=→,若→→→→=⋅b a b a ,则正数m 的值等于__________.10．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学））若非零向量、,0)2(=⋅+b b a ,则a 与b 的夹角大小为_________.11．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（三）（数学））在周长为16的PMN ∆中,6MN =,则PM PN ⋅的取值范围是__________.12．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（三）（数学））已知向量b a ,满足2||||,2||,1||=-== 则等于|||a +=___________.13．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（二）（数学））在ABC ∆中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上且满足→→-=PM PA 2,则()PA PB PC ⋅+等于________. 14．（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题）设OM =112⎛⎫ ⎪⎝⎭，,ON =(0,1),O 为坐标原点,动点P (x ,y )满足0≤OP OM ⋅≤1,0≤OP ON ⋅≤1,则z =y -x 的最小值是_________.15．（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题）向量(cos10,sin10),(cos70,sin 70)==a b ,2-a b =_____________.16．（江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷）设k 为实数,已知向量a→=(1,2),→b =(-3,2),且(ka →+→b )⊥(a →-3b →),则k 的值是_____.17．（江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷）已知非零向量a 与b 满足()(2)0a b a b +-=,则b a 的最小值为____.18．（江苏省涟水中学2013届高三下学期期初检测数学试题）已知)4,3(A ,)0,1(-B ,O 为坐标原点,C 点在AOB ∠的角平分线上,则C 点的坐标为_______________________.19．（江苏省涟水中学2013届高三下学期期初检测数学试题）已知123F i j k =++,223F i j k =-+-,3345F i j k =-+,若123,,F F F 共同作用于一物体上,使物体从点M(1,-2,1)移动到N(3,1,2),则合力所作的功是__20．（江苏省涟水县金城外国语学校2013届高三下学期期初检测数学试题）已知向量a ,b 满足a ·b =0,│a │=1,│b │=2,则│2a -b │=_________.21．（江苏省姜堰市蒋垛中学2012-2013学年度第二学期期初测试高三数学试题）已知向量))24sin(,24(cos ),36sin ,36(cos 0000-==b a ,则=⋅b a _________22．（江苏省淮阴中学2013届高三下学期期初检测数学试题）已知向量(2,4)=a ,(1,1)=b ,若向量()⊥+λb a b ,则实数λ的值是_.23．（江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试数学试题）已知,,O A B 是平面上不共线三点,设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点,若||7OA =,||5OB =,则()OP OA OB -的值为__________. 24．（2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷）若向量a 、b 满足||1,||2a b ==,且a 与b 的夹角为3π,则()a a b ⋅+=______________.二、解答题 25．（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）（本题满分12分）已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且(01)AP AB =≤≤λλ.（1）若等边三角形边长为6，且13=λ；（2）若CP AB PA PB ⋅≥⋅，求实数λ的取值范围.26．（江苏省涟水县金城外国语学校2013届高三下学期期初检测数学试题）将函数5322--=x x y 的图象F 按向量→a 平移后所得到的图象的解析式是22x y =,求向量→a .江苏省2013届高三下学期最新精选试题（27套）分类汇编4：平面向量参考答案一、填空题1. )25,a ⎡+∞⎣ 2. 2π 3. 【答案】（1，4）4. ③④5. (1)(2)(5)6. 1x =-7.23π 8. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 9. 161 10. ︒120; 11. [7,16) 12. 6 13. 49- 14. -116. 1917. 119. 14 20.21. 21 22. 3-23. 1224. 2二、解答题25.26.向量)84943(，-=→a设向量)(k h a ，=→,将F 按向量)(k h a ，=→平移所得到的图象F ,的解析式是 5)(3)(22----=-h x h x k y ,化简整理得532)34(222-++++-=k h h h x y ,依题意,这一函数即为22x y =,∴⎩⎨⎧=-+=+；，05320342hk h h 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=；，84943k h 故所求的向量)84943(，-=→a。

2013届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第五章平面向量-推荐下载

二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)

13、（2012 新课标理）已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a 1, 2a b 10 ;则 b _____

14．【2012 黑龙江绥化市一模理】已知向量 a (2, 4) ， b (1,1) ，若向量 b ( a b) ，则实数的值为___.
2

CP=

3
2
,则

=
1 2
B．
2
1 10
C．
2
AD
12 ．（2012 安徽理）在平面直角坐标系中, O(0, 0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转后,得向量 OQ ，则点
Q 的坐标是（）
A． (7 2, 2) B． (7 2, 2) C． (4 6, 2) D． (4 6, 2)

A． a//b B． a b C． a = b

D． 6

D． a+b=a-b
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

安徽财经大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练平面向量Word版含答案

安徽财经大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知c b a ,,均为单位向量，且1||=+b a ，则c b a⋅-)(的取值范围是( )A ．]1,0[B ．]1,1[-C ．]3,3[-D ．]3,0[【答案】C2．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=( )A ． 0B ．BEC ．ADD ．CF【答案】D3．已知向量a=（4，2），向量b=（x ，3），且a ∥b ，则x=( )A ．9B ．6C ．5D ．3【答案】B 4．已知向量()()b a OC b a λ+===,2,0,4,6,若点C 在函数sin12y x π=的图象上，则实数λ的值为( )A.52B.32C.52- D.32-【答案】D5．已知,a b 为两个单位向量,那么( )A ．ab = B ．若b a //,则b a =C ．1=⋅b aD ．22b a=【答案】D6．如图，在平行四边形ABCD 中，设b AD a AB ==,，AP 的中点为S ，SD 的中点为R ，RC 的中点为Q ，QB 的中点为P ，若b n a m AP+=，则=+n m ( )A ．56 B ．78 C ．23 D ． 1【答案】A 7．已知向量()1,n =a，()1,n =-b ，若()2-⊥a b b ，则=a ( )A ．4B ．2C D ．1【答案】B8．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b ( ) A ．(21)--， B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(1,2)-【答案】D9．已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为( )A ．1BC ．5D ．【答案】D10．在ABC ∆中，AB =，2AC =，3BC =，点D 在BC 边上，2BD CD =，则AD BC ⋅=( )A ．6B ． 6-C ． 4D ． 4-【答案】D11．在△ABC 中，若·＝1，·＝－2，则||的值为( )A ．1B ．3C ． 2D ． 3【答案】D12．设c b a ,,是非零向量，下列命题正确的是( )A ．)()(c b a cb a ⋅⋅=⋅⋅B ．222||||||2||||b b a a b a +-=- C ．若b a b a b a 与则|,|||||+==的夹角为60° D ．若b a b a b a 与则|,|||||-==的夹角为60° 【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知圆心角为120° 的扇形AOB 半径为1，C 为AB 中点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝52，则OD ＋OE 的取值范围是．【答案】 14．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -=【答案】715．某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有x 辆国产车和y 辆进口车，国产车的交易价格为每辆m 万元，进口车的交易价格为每辆n 万元．我们把),(y x a=叫交易向量，),(n m b =叫价格向量，则b a ⋅的实际意义是【答案】该批轿车的交易总金额 16．已知12,e e 是夹角为23π的两个单位向量，12122,k =-=+a e e b e e ，若0⋅=a b ，则实数k 的值为___________【答案】54三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(，(Ⅰ）求函数)x (f 的最小正周期和值域； (Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a>，求b a ,的值．【答案】 (1)()2sin(2)1,,[1,3]6f x x T ππ=++=-(2)22,1,2,6C a b a b π=+===18．已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)及参考答案

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)及参考答案(附参考答案)平面向量一、填空题1、（2014年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．2、（2013年江苏高考）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为。

3、（2012年江苏高考）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝▲．5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知△ABC中，∠C=90°，，分别为边上的点，且，，则▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点是线段上靠近的三等分点且则的值为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB 上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为▲．8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O，A，B，C满足，，则=▲．（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△中，已知，，，10、，，则▲．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲12、（2014江苏百校联考一）如图，是半径为1的圆的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则的最大值为13、（2014南通二模）在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为▲．14、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为▲15、（兴化市2014届高三上学期期中）已知在中，，，设是的内心，若，则．二、解答题1、（2013年江苏高考）已知，。

（1）若，求证：；（2）设，若，求的值。