2016年中考数学讲、练、考第21讲矩形、菱形与正方形

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2013-2014中考数学专题复习学生版第二十一讲矩形菱形正方形

第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】点评：本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．对应训练A ．12B ．3C ．23D ．2考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题 AC ：BD=1：2，则AO ：BO= ，菱形ABCD 的面积S= ．凉山州点评：本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边对应训练2．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（）A ．14B ．15C ．16D ．17CF的长．对应训练3．（2013•三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．考点四：四边形综合性题目点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2013•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF 改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD 于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．【聚焦山东中考】1．（2013•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF枣庄2．（2013•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A B．C D3．（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．烟台4．（2013•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画»AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2013•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．7．（2013•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F 分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）8．（2013•淄博）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．9．（2013•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25 B．20 C．15 D．10重庆4．（2013•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．D．•巴中6．（2013•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24 B．16 C．D．7．（2013•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（）A．2 B．4 C．2 D．8．（2013•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4茂名9．（2013•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2扬州10．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2013•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm雅安12．（2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13．（2013•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为度时，两条对角线长度相等．无锡∠B=60°，则菱形的面积为．攀枝花3则tanE= ．苏州19．（2013•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．北京21．（2013•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，舟山23．（2013•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．荆州25．（2013•荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得三、解答题26．（2013•南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．27．（2013•广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．求证：∠ABH=∠CDE．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．30．（2013•铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．31．（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．32．（2013•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．35．（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．36．（2013•盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．。

2025年中考数学总复习培优训第21课时矩形、菱形、正方形

线 AC 于点 E.则点 E 的坐标为( B )
A. 1，52
B. (1，2)
C.. [2024 包头]如图，在矩形 ABCD 中，E，F 是边 BC 上两点，
且 BE＝EF＝FC，连接 DE，AF，DE 与 AF 相交于点 G，连接
BG.若 AB＝4，BC＝6，则 sin∠GBF 的值为( A )
课时对应练
又∵∠A＝∠M＝90°，∴△AHE≌△MFG.∴MF＝AH＝2. ∴S△FCG＝12×2CG＝CG. 若△FCG 的面积能等于 1，则 CG＝1，∴DG＝CD－CG＝5. ∵DH＝AD－AH＝4，∴GH＝ DG2＋DH2＝ 41. ∴EH＝GH＝ 41.∴AE＝ EH2－AH2＝ 37. ∵AB＝6＜ 37，∴点 E 不在线段 AB 上， ∴△FCG 的面积不能等于 1.
速度沿 OA，BC 向终点 A，C 移动. 当移动时间为 4 秒时，AC·EF
的值为( D )
A. 10
B. 9 10
C. 15
D. 30
课时对应练
9. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：∠__A__B_C_＝__9_0_°_(_答__案__不__唯__一__) _，使得菱形ABCD为正方形.
课时对应练
12. [2023台州]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD 上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则 BF的长为__2___5___.
课时对应练
13. [2024陕西改编]如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD 的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为____3____.
课时对应练
19. [2024北京]如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE 于点F，CG⊥DE于点G.若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为___28_7____.

初中考数学专题总复习《四边形》矩形、菱形、正方形

∵BE＝DF，
∴OE＝OF.(2分)
在△AOE和△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF；(4分)
第2题图
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，(6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC 2 AB2 ＝6 3 ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6 3 ＝36 3 .(8分)
第5题图
(1)证明：∵对角线AC的中点为O， ∴AO＝CO. ∵AG＝CH， ∴AO－AG＝CO－CH.即GO＝HO. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．
第5题图
∴OE＝OF. ∴GH与EF互相平分， ∴四边形EHFG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
第1题图
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD. ∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
母题变式改变条件、增加设问→在矩形基础上构造菱形，增加设问及解题难度． 2. (2020德阳)如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE.连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
第6题图
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形．
(2)∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE，∴BD＝DE， ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴AD＋BD＝DE＋DF，即AB＝EF， ∴四边形AFBE是矩形．

2016年浙江省嘉兴市中考数学试题及答案

2016年浙江省初中毕业升学考试（嘉兴卷）一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．—2的相反数为( ▲ ）（A ）2（B ）2-（C)21 （D)21-2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ▲ ）（A ）(B ）（C ）(D ）3．计算222a a +，结果正确的是（ ▲ ） (A ）42a（B)22a（C ）43a（D ）23a4．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ▲ ）（A ）42（B ）49（C ）67（D)775．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加1004⨯米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩,要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ▲ ) （A)平均数 (B ）中位数（C ）众数（D ）方差 6．已知一个正多边形的内角是︒140,则这个正多边形的边数是（ ▲ ）（A ）6（B ）7(C ）8（D ）97．一元二次方程01322=+-x x 根的情况是( ▲ ）（A ）有两个不相等的实数根（B)有两个相等的实数根(C ）只有一个实数根(D ）没有实数根8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC 的度数是（ ▲ ）(A ）︒120 （B)︒135 （C ）︒150(D ）︒1659．如图，矩形ABCD 中，2=AD ，3=AB ，CD ，AB 于点E ，F ,则DE 的长是（ ▲ ）（A ）5 （B)613(C ）1(D ）65 ABCDEF（第9题）A C（第8题）B OOOO10．二次函数5)1(2+--=x y ，当n x m ≤≤且0<mn 时,y 的最小值为m 2，最大值为n 2，则m n +的值为（ ▲ ） (A)25 (B ）2 （C ）23 （D ）21 卷Ⅱ（非选择题)二、填空题(本题有6小题，每题5分，共30分） 11．因式分解：=-92a ▲ ．12．二次根式1-x 中，字母x 的取值范围是 ▲ ．13．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球,其标号是偶数的概率为 ▲ ．14．把抛物线2x y =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位,平移后抛物线的表达式是 ▲ ． 15．如图,已知△ABC 和△DEC 的面积相等,点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，12=AB ，9=EF ,则DF 的长是 ▲ ．16．如图，在直角坐标系中,点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点A的坐标为)0,1(-, ︒=∠30ABO ,线段PQ 的端点P从点O 出发，沿△OBA 的边按O →B →A →O 运动一周，同时另一端点Q 随之在x 轴的非负半轴上运动,PQ =3．(1）当点P 从点O 运动到点B 时，点Q 的运动路程为 ▲ ;(2）当点P 按O →B →A →O 运动一周时,点Q 运动的总路程为 ▲ ．三、解答题（本题有8小题,第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．（1）计算:2)13(40--⨯-；（2)解不等式：1)1(23-+>x x ．18．先化简,再求值：2)111(xx ÷-+，其中2016=x ．19．太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合．老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC 如图2所示，10=BC 米，︒=∠=∠36ACB ABC ．改建后顶点D 在BA 的延长线上,且︒=∠90BDC ．求改建后南屋面边沿增加部分AD 的长．(结果精确到1.0米）FE DC B A （第15题）（第16题）（参考数据：31.018sin ≈ ，95.018cos ≈ ，32.018tan ≈ ，59.036sin ≈ ，81.036cos ≈ ,73.036tan ≈ )20．为落实省新课改精神，我市各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程．某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进行统计，绘制了如图所示的统计图(部分信息未给出）．根据图中信息，解答下列问题：（1）求被调查学生的总人数；（2）若该校有200名学生参加了“体艺特长类"中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数；（3）根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．21．如图，已知一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数xy 42=的图象交于点),4(m A -，且与y 轴交于点B ，第一象限内点C 在反比例函数xy 42=的图象上,且以点C 为圆心的圆与x 轴,y 轴分别相切于点D ，B ．（1）求m 的值； (2)求一次函数的表达式；(3）根据图象,当021<<y y 时，写出x 的取值范围．某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况扇形统计图E DC 10%A 30% BB课程（类别）CD128 64 AE 10 12 人数（个）某校部分学生“体艺特长类”课程参与情况条形统计图 A ：球类 B ：动漫类 C ：舞蹈类 D ：器乐类 E ：棋类（第20题） 0ACBD 南屋面（第19题）图2图1y xOC AB D（第21题）22．如图1，已知点E ，F ,G ,H 分别是四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH 是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C 移动至与点E 重合的位置，F ，G ,H 仍是BC ，CD ，DA 的中点,求证：四边形CFGH 是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的55⨯网格中，点A ,C ，B 都在格点上，在格点上找一点D ，使点C 与BC ，CD ，DA 的中点F ，G ,H 组成的四边形CFGH 是正方形．画出点D ，并求正方形CFGH 的边长．23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2）问题探究：如图1，在四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交CD 于点E ，AD ∥BE ，︒=∠80D , ︒=∠40C ,探究四边形ABCD 是否为等邻角四边形，并说明理由；（3）应用拓展:如图2,在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，︒=∠=∠90D C ，3==BD BC ，5=AB ，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(BAC ∠<∠<︒α0)，得到Rt △''D AB (如图3），当凸四边形BC AD '为等邻角四边形时，求出它的面积．图3图1图2 （第22题）图1D（第23题）'D图2 ABDCE24．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班．爸爸行驶到甲处时，看到前面路口是红灯,他立即刹车减速并在乙处停车等待．爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度)s /m (v 与时间)s (t 的关系如图1中的实线所示，行驶路程)m (s 与时间)s (t 的关系如图2所示，在加速过程中，s 与t 满足表达式2at s =．（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a 的值；（2）求图2中A 点的纵坐标h ，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等待了7秒后绿灯亮起继续前行．为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中,速度)s /m (v 与时间)s (t 的关系如图1中的折线O －B －C 所示,加速过程中行驶路程)m (s 与时间)s (t 的关系也满足表达式2at s =．当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．)图2)图1（第24题）2016年浙江省初中毕业升学考试（嘉兴卷）一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）二、填空题（本题有6小题，每题5分，共30分） 11．)3)(3(-+a a ;12．1≥x ；13．52； 14．3)2(2+-=x y ；15．7；16．3；4．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22,23题每小题12分,第24题14分，共80分） 17．（1）原式=4122⨯-=． ………4分（2)去括号，得1223-+>x x ；移项，得1223->-x x ；合并同类项，得1x >． ∴不等式的解为1x >． ………8分 18． 2)111(xx ÷-+=2121x x x x ÷=--; 当2016=x 时，原式=120162-=20152． ………8分19． ∵∠BDC =90°，BC =10,BC CDB =∠sin ，∴B BC CD ∠⋅=sin ≈59.010⨯=9.5， ∵在Rt △BCD 中，︒=︒-︒=∠-︒=∠54369090B BCD ∴ACB BCD ACD ∠-∠=∠︒=︒-︒=183654，∴在Rt △ACD 中，CDADACD =∠tan ， ∴ACD CD AD ∠⋅=tan ≈9.532.0⨯=9.1888.1≈(米)．答：改建后南屋面边沿增加部分AD 的长约为1。

中考数学与平行四边形、矩形、菱形和正方形的简单证明有关的解答题(第01期)

1．（2017广东广州卷）如图，矩形ABCD 的对角线AC ， BD 相交于点O ， COD ∆关于CD 的对称图形为CED ∆．（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若6cm AB =， 5BC cm =．①求sin EAD ∠的值；②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1/cm s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．2．（2017江苏淮安卷）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．求证：△ADE ≌△CBF .3．（2017贵州贵阳卷）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是边BC ，AB 上的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF=2DF ，连接CE 、AF ．（1）证明：AF=CE ；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．4．（2017湖北鄂州卷）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．5．（2017广西贵港市港南区模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．6．（河北省石家庄市2017届中考数学二模试卷）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．①连结OE,求△OBE的面积．②求弧AE的长．7．（2017年云南省曲靖市中考数学二模试卷）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．（1）求证：AC⊥BD；（2）若AB=14，cos∠CAB=78，求线段OE的长．8．（2017全国百强校模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB 的延长线上取一点F，使BF DE，连接AF、CE．求证：AF CE．9．（2016湖南省怀化市）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．10．（2017湖北省鄂州市模拟）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ，连接EQ ，求证：（1）EA 是∠QED 的平分线；（2）EF 2=BE 2+DF 2．11．（2017四川省自贡）如图，点E F 、分别在菱形ABCD 的边DC DA 、上，且CE AF =.求证： ABF CBE ∠=∠.12．（2017四川自贡卷）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边DC ，DA 上，且CE=AF ．求证：∠ABF=∠CBE ．13．（2017上海卷）已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA=EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE=BC ，且∠CBE ：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD 是正方形．14．（2017江苏无锡卷）（本题8分）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F.求证：AB=BF．15．（2017湖南张家界卷）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．16．（2017贵州安顺卷）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？17．（2017广西四市卷）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．18．（福建省莆田仙游私立一中2016-2017学年八年级下学期期中数学试卷）如图,P为正方形ABCD的边BC 上一动点(P与B. C不重合)，点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M.(1)求证：AP⊥BQ；(2)若AB=3，BP=2PC，求QM的长；(3)当BP=m，PC=n时，求AM的长。

中考数学热身矩形、菱形、正方形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

矩形、菱形、正方形一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为cm．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．矩形、菱形、正方形参考答案与试题解析一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为2cm．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质推出OA=OB，证出等边△OAB，求出BA，根据勾股定理求出BC即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=AC=2（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2cm，∠ABC=90°，在△ABC中，由勾股定理得：BC===2（cm），∴AD=BC=2（cm）．故答案是：2．【点评】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AB的长是解此题的关键．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是8 cm．【考点】勾股定理；菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB=90°，AO=3，在RT△AOB中，BO==4，∴BD=2BO=8．【点评】注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为 2 ．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求得其边长，从而就不难求得其面积．【解答】解：由题意得，正方形的边长为，故面积为2．故答案为2．【点评】主要考查到正方形的性质和面积的求法．要注意：正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24 cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【考点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等．【解答】解：根据题意得：∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°．故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形【考点】剪纸问题．【专题】操作型．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：由于EF的位置是不确定的，只能得到所求的四边形的一组对边平行，所以是梯形．故选A．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线可以求得菱形ABCD的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解答】解：菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，则菱形的面积为×6×8=24，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20，答：菱形的周长为20，面积为24．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF ⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC且GF=EC．又∵H是EC的中点，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）连接GH，EF．∵G，H分别是BE，EC的中点，∴GH∥BC且GH=BC．又∵EF⊥BC且EF=BC，又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，∴GH∥BC，∴EF⊥GH，又∵EF=GH．∴平行四边形EGFH是正方形．【点评】主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】首先连接BD，根据菱形的四条边都相等，可得AB=BC=CD=AD；又由BE⊥AD，AE=ED，可得AB=AD=BD，所以∠A=60°，可得∠ADC=120°，即可得∠EBF的度数．【解答】解：连接BD，∵BE⊥AD，AE=ED，∴AB=BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∴AB=AD=BD，∴∠A=60°，∴∠ADC=120°，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BED=∠BFD=90°，∴∠EBF=60°．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．还考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题要细心．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】由全等三角形的判定定理直接可证△ADE≌△FCD，即证AD=CF．【解答】解：（1）AD=CF．（2分）（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AE，AB=CD，∴∠AED=∠FDC，∵DE=AB，∴DE=AB=CD．又∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠A=90°．（4分）∴△ADE≌△FCD（AAS）．（5分）∴AD=CF．（6分）【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．【专题】几何综合题．【分析】先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，又∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B=∠C．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【考点】矩形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．。

中考数学试题-矩形、菱形、正方形试题及答案

中考试题专题之19-矩形、菱形、正方形试题及答案一、选择题1.（湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm2.．（山西省）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（） A ．B ．C ．D ．3.（黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的（） A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．②③④4．(河北)如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于（） A ．20B ．15C ．10D ．55.（兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展m n m n >2m n -m n -2m2nmnnn （2）（1）N M FEBABAC D开后是6.（济南）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.47.（凉山州）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AD BC '=B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AEABE ED∠=8.（济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A .12 B . 14 C . 15D .9.（衡阳市）如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为（）①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个C D C 'A BEA ．B ．C ．D ．10.（衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（） A ．1 B ．34 C ．23D ．211．（广西南宁）如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（） A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm12.（宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形AB CDEA ′G DB CAABCD图2DBCANM O13．（桂林百色）如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（）．A ．2B ．C ．D ．14．（河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（） A ． 23cmB ． 24cmC ．2 D ．215.（杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°16.(义乌)如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为 A ．4x A ．12x A ．8x A ．16x17.（台湾）如图(八)，长方形ABCD 中，E 点在上，且平分∠BAC 。

人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件

BF=3x,由勾股定理得:AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得
x=
10
,所以
5
3 10
,即
5
3x=
BF=
3 10
.
5
18
考点梳理自清
考法1
考法2
考题体验感悟
考法互动研析
考法3
3.(2017·江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,
连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.
一半
5
考点梳理自清
考点一
考点二
考点三
考题体验感悟
考法互动研析
考点四
考点三正方形(高频)
正方形
的定义
正方形
的性质
正方形
的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形
(1)正方形的对边平行
(2)正方形的四条边相等
(3)正方形的四个角都是直角
(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线
( C )
A.2 5
B.3 5
C.5
D.6
10
考点梳理自清
命题点1
命题点2
考题体验感悟
考法互动研析
命题点3
解析如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,
易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得
AC=

4 5
42
+
82 =4

5,OA=2 5,易证△AOE∽△ABC,则
考法3
考法1矩形的相关证明与计算
例1(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向

中考数学复习四边形

性质 3.矩形的对角线互相平分并且__相__等____； 4.在直角三角形中，斜边上的中线等于__斜__边____的一半. 1.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的的等腰三角形； 2.矩形的面积等于两邻边的积． 1.定义法；
判定 2.有三个角是直角的四边形是矩形； 3.对角线__相__等____的平行四边形是矩形.
图 21－2
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第21课时┃ 多边形与平行四边形
探究三平行四边形的判定
命题角度： 1．从对边判定四边形是平行四边形； 2．从对角判定四边形是平行四边形； 3．从对角线判定四边形是平行四边形．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第21课时┃ 多边形与平行四边形
例 3 [2012·泰州] 如图 21－3，四边形 ABCD 中，AD ∥BC，AE⊥AD 交 BD 于点 E，CF⊥BC 交 BD 于点 F，且 AE＝CF.求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
当堂检测
第21课时┃ 多边形与平行四边形
考点聚焦
考点1 多边形
多边形的定义
在同一平面内，不在同一直线上的一些线段 __首__尾____顺次相接组成的图形叫做多边形.
多边形
1.n 边形的内角和为_(_n_－__2_)_·1_8_0_°__. 2.任意多边形的外角和为__3__6_0_°__.
的性质
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第21课时┃ 多边形与平行四边形
两条平在两条平行线中一条直线上任意一点到另一条行线间直线上的距离叫做两条平行线间的距离．的距离夹在两条平行线间的平行线段__相__等____.

2011年中考数学试题分类26 矩形、菱形与正方形

第26章矩形、菱形与正方形一、选择题1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）（A ）48cm （B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm【答案】A2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n + 【答案】C3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为图1 图2 图3……（第10题）FAB CDHEG①②③④⑤A.17B.17C.18D.19 【答案】B4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为 A.2 3 B.332C. 3D.6【答案】A5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD 中，有一个菱形B F D E (点E ，F 分别在线段AB ，CD 上)，记它们的面积分别为ABCD BFDE S S 和．现给出下列命题：（）①若22ABC D BFD ES S +=，则tan 3E DF ∠=．②若2,DE BD EF =∙则2DF AD =．则:A ．①是真命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ，①是假命题，②是假命题【答案】A6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡A F A G 、分别架在墙体的点B 、点C 处，且A B A C =,侧面四边形B D E C 为矩形，若测得100F A G ∠=︒，则FBD ∠=( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70° 【答案】C7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条B ．4条C ．5条D ．6条【答案】D8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）（A ）48cm （B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm【答案】A10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC 的角平分线交AD 于F 点。

中考数学_专项_矩形、菱形、正方形考点及题型

【中考数学】矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总矩形、菱形、正方形是八年级下册特殊平行四边形这一章节的重要组成部分。

他们都是基于平行四边形的性质衍生出来的其基本的性质都和平行四边形是一样的。

所以大家在进行学习和记忆的时候只需要紧抓其特殊部分，就能把他们都区分出来。

熟练掌握矩形，菱形，正方形的性质，定义和判定是这部分学习的重点，同时这部分也是中考数学几何部分的重要考点。

只有把这些性质和判定融会贯通。

那么在遇到综合题或者是类似题型的几何才能应对自如，尽快的形成自己的解题思路。

今天就给大家分享初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型，同学们赶紧来查漏补缺。

一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质: 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED ＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。

分类讨论型问题-中考数学总复习讲义练习

第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )A ．b>2B ．－2<b<2C ．b>2或b<－2D ．b<－2 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t(秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )3．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3 (2017·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k 表示点A 、B 、C 的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8(2) (2016·北流模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝6，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则AP ＝ .(3) (2016·临淄模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4(2017·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C 同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(2016·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为.(2)(2016·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．(3) (2016·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(2016·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(2016·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N 在CE 边上时，由△EFN ∽△EOC 求解；②当1≤t ＜94时和当92＜t ≤5时，分别求出S 的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC 中，P 是AB 上的动点(P 异于A ，B)，过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有________条．参考答案第36讲分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。

【中考数学夺分大模块复习权威课件】-第5模块《多边形与四边形》名师大串讲

第19讲┃ 多边形与平行四边形
[归纳总结] 相等，对角线平行且相等 1．平行四边对边________________ ，对角________ 互相平分． _____________ 中心轴 2．平行四边形是_____________ 对称图形，不一定是_______ 对称图形．
第19讲┃ 多边形与平行四边形
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一多边形与内角和、外角和的计算例1 已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则 6 这个多边形的边数为________ ．
[解析] 本题考查多边形内角和及外角和，由多边形的内角和公式(n－2)× 180° 及多边形的外角和为360° ，可知(n－ 2)× 180° ＝2× 360° ，解得n＝6.故答案为6.
平行四边形的性质和判定的综合应用
例 2 [2013· 广安 ] 如图 19－1，在平行四边形 ABCD 中， AE∥ CF，求证：△ ABE≌△ CDF.
图 19－1
第19讲┃ 多边形与平行四边形
[解析] 首先证明四边形AECF是平行四边形，即可得到AE＝CF，AF＝CF，再根据由三条对应边相等的两个三角形全等即可证明△ABE≌△CDF.
第19讲┃ 多边形与平行四边形
[中考点金 ] (1)应用平行四边形的性质，主要是利用平行四边形的边与边、角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算； (2) 判定平行四边形时，要根据已知条件是边、角还是对角线的关系，再选择合适的方法判定；(3)在平行四边形问题中，一般会涉及全等三角形的相关知识．
第19讲多边形与平行四边形
第20讲矩形、菱形、正方形第21讲梯形
第19讲
多边形与平行四边形
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中考数学总复习：矩形、菱形、正方形ppt专题课件

第二十二讲
第二十三讲
【思路点拨】 (1)证明全等时应避免把对应边找错. (2)因 s i n ∠E D F =
EF DE
第二十四讲
, 结合(1)求 E F , D E 的长.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
【自主解答】 ( 1) 证明: 在矩形 A B C D 中, BC = AD , A D ∥B C , ∠B = 90°. ∴∠D A F = ∠A E B . ∵D F ⊥A E , AE= BC , ∴∠A F D = 90°= ∠B . 又∵A E = A D . ∴△A B E ≌△D F A .
第二十四讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
名称
定义与判定 1. 有一个角是直角, 一组邻边相等的 2. 一组邻边相等的 3. 一个角是直角的 4. 对角线相等且形的平行四边
性质
第二十二讲
1. 对角线与边的夹角为度 2. 面积等于边长的 3. 面积等于对角线
第二十三讲
第二十四讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
➡特别提示: 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们都具有平行四边形的性质, 但又有它们独特的性质.
第二十二讲
【答案】2. 直角 3. 相等 1. 直角 4. 中心对称图形 1. 相等 2. 四边形 3. 平行四边形 2. 平分 3. 一半 4. 轴对称 1. 平行四边形 2. 矩形 3. 菱形 4. 垂直 1. 45 2. 平方 3. 平方的一半
复习目标

中考总复习数学（人教版全国通用）基础讲练第19讲矩形、菱形和正方形（含答案点拨）

第19讲矩形、菱形和正方形考纲要求命题趋势1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系．2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.知识梳理一、矩形的性质与判定1．定义有一个角是直角的____________是矩形．2．性质(1)矩形的四个角都是________．(2)矩形的对角线________．(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．3．判定(1)有三个角是________的四边形是矩形．(2)对角线________的平行四边形是矩形．二、菱形的性质与判定1．定义一组邻边相等的__________叫做菱形．2．性质(1)菱形的四条边都________．(2)菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．3．判定(1)对角线互相垂直的________是菱形．(2)四条边都相等的________是菱形．三、正方形的性质与判定1．定义一组邻边相等的________叫做正方形．2．性质(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形．(2)一组邻边相等的________是正方形．(3)对角线互相垂直的________是正方形．(4)有一个角是直角的________是正方形．(5)对角线相等的________是正方形．自主测试1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD 的长是( )A ．52B ．5 3C ．5D ．102．在菱形ABCD 中，AB ＝5 cm ，则此菱形的周长为( ) A ．5 cm B ．15 cm C ．20 cm D ．25 cm3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为( )A ．1B ．C ．32D ．24．下列命题中是真命题的是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形D ．两边相等的平行四边形是菱形5．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF .考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上(端点除外)的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE ，AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．解：当点O 运动到AC 的中点(或OA ＝OC )时，四边形AECF 是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.同理，FO＝CO，∴EO＝FO.又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°.∴四边形AECF是矩形．方法总结矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.触类旁通1 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD 于点F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.考点二、菱形的性质与判定【例2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为83，求AC的长．分析：(1)先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长．解：(1)证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD.∴四边形OCED是菱形．(2)∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°.又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形．过D作DF⊥OC于F，则CF＝12OC，设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x.，在Rt△DFC中，tan 60°＝DFFC∴DF＝FC·tan 60°＝3x.由已知菱形OCED的面积为83得OC·DF＝83，即2x·3x＝8 3.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.方法总结菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．触类旁通2 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．考点三、正方形的性质与判定【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.分析：根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．解：(1)四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EF＝FG＝GH＝HE.∴四边形EFGH是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH是正方形．(2)1方法总结证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线－相等”．1．(四川成都)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是()A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC2．(山东滨州)若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为()A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:13．(江苏泰州)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．(江苏苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是()A．4B．6C．8D．105．(贵州铜仁)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．6．(山东临沂)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角互补2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是()A．BA＝BCB．AC，BD互相平分C．AC＝BDD．AB∥CD3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于()A．4 3 B．3 3C．4 2 D．85．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是()(第5题图)A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．(第6题图)7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的__________．(第7题图)8．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．(第8题图)9．如图(1)所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.(1)求证：MD＝MN.(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案导学必备知识自主测试1．B2．C3．C∵设AG＝A′G＝x，∴x2＋22＝(4－x)2，解得x＝32，故选C.4．C5．证明：如题图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠EAB＋∠AEB＝90°.∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC＋∠AEB＝90°.∴∠EAB＝∠FBC.∴△ABE≌△BCF.∴BE＝CF.探究考点方法触类旁通1．证明：(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴BF＝DF.(2)∵AD＝BC＝BE，BF＝DF，∴AF＝EF，∴∠AEB＝∠EAF.∵∠AFE＝∠BFD，∠1＝∠3，∴∠AEB＝∠3，∴AE∥BD.触类旁通2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．品鉴经典考题1．B因为菱形的对边平行且相等，所以A正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以C，D正确，B错误．2．C根据已知可得到菱形的边长为2 cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5:1.故选C.3．B①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题．故选B.4．C∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝12AC＝2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为4OC＝4×2＝8.故选C. 5．2 如图：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD .∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°，∴∠COA ＝∠DOB .∵在△COA 和△DOB 中，有⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB ，∴OA ＝OB .∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只需OA 取最小值即可．根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，O A 最小．此时OA ＝12CF ＝1，即AB ＝ 2.6．解：(1)证明：∵AF ＝DC ，∴AF ＋FC ＝DC ＋FC ，即AC ＝DF . 又∵∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEF . ∴BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE .∴BC ∥EF .∴四边形BCEF 是平行四边形．(2)若四边形BCEF 是菱形，连接BE ，交CF 于点G ，∴BE ⊥CF ，FG ＝CG .∵∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3， ∴AC ＝AB 2＋BC 2 ＝42＋32＝5.∵∠BGC ＝∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠BCG ， ∴△ABC ∽△BGC .∴BC AC ＝CG BC ，即35＝CG 3.∴CG ＝95.∴FC ＝2CG ＝185. ∴AF ＝AC －FC ＝5－185＝75.因此，当AF ＝75时，四边形BCEF 是菱形．研习预测试题1．A 2．B 3．D4．A ∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝6. 由折叠性质可知，AE ＝AB ＝6，BF ＝EF ，在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2－DE 2＝33，∴BC ＝3 3.设CF ＝x ，BF ＝EF ＝33－x ，在Rt △CEF 中，(33－x )2＝x 2＋32， ∴x ＝ 3.∴BF ＝2 3.在Rt △ABF 中，AF ＝4 3.5．B 6．22.5° 7．148．1 在DC 上找N 点关于AC 的对称点N ′，连接MN ′，则MN ′的长即为MP ＋NP 的最小值，此时MN ′＝AD ＝1.9．分析：(1)证MD ＝MN ，可证它们所在的三角形全等，易知MN 在钝角△MBN 中，而MD 在直角△AMD 中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN 的特征想到可在AD 上取AD 的中点F ，构造△MDF ≌△NMB ；(2)可参照第(1)题的方法．(1)证明：取AD 的中点F ，连接MF . ∵M 是AB 的中点，F 是AD 的中点，∴MB ＝AM ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AD .∵AB ＝AD ，∴AF ＝AM ＝DF ＝MB ，∴∠1＝45°， ∴∠DFM ＝135°.∵BN 平分∠CBE ，∴∠CBN ＝45°. ∴∠MBN ＝135°.∴∠MBN ＝∠DFM . ∵∠DMN ＝90°，∴∠NMB ＋∠DMA ＝90°. ∵∠A ＝90°，∴∠ADM ＋∠DMA ＝90°. ∴∠NMB ＝∠ADM .∴△DFM ≌△MBN .∴MD ＝MN . (2)解：结论MD ＝MN 仍成立．证明：在AD 上取点F ，使AF ＝AM ，连接MF .由(1)中证法可得：DF ＝BM ，∠DFM ＝∠MBN ，∠FDM ＝∠BMN ，∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN.11 / 11。

专题23菱形、矩形、正方形(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题23 菱形、矩形、正方形（知识点总结+例题讲解）一、菱形：1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是对角线的交点。

3.菱形的判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4.菱形的有关计算：=4a (其中a为边长)；（1）周长C菱形=ah=两条对角线乘积的一半；(其中a为边长，h为此边上的高)。

（2）面积S菱形【例题1】(2020•牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是( )A．(0，2√3) B．(2，﹣4)C．(2√3，0) D．(0，2√3)或(0，﹣2√3)【答案】D【解析】点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=√42−22=2√3=OC，∴点C的坐标为(0，−2√3)，同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为(0，2√3)，∴点C的坐标为(0，2√3)或(0，−2√3)。

【变式练习1】(2020•营口)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA ＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为．【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，×2×4＝4。

中考数学难点突破与经典模型精讲练最值问题中的阿氏圆模型(解析版)

专题21 最值问题中的阿氏圆模型【模型展示】1、一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连，即连接OB 、OP ；2、计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况3、连接AC ，与圆O 的交点即为点P4、将图2中△BPO 单独提取出，如图4，△PCO△△BPO （母子型相似模型）（构造出△PCO△△BPO ，就可以得到OC/OP=OP/OB ，进而推出OP²=OB·OC ，即“半径的平方＝原有线段×构造线段”，确定C 的位置后，连接AC ，求出AC 的长度“阿氏圆”即可破解）“PA+k·PB”型的最值【题型演练】一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作△C ，P半径r（圆心）构造的点（定点）（动点）B O P C为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=P A，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．△PC＝3，CM＝1，CA＝9，△PC2＝CM•CA，△PC CM CA CP=，△△PCM＝△ACP，△△PCM△△ACP，△13 PM PCPA AC==，△PM13=P A，△13AP+BP＝PM+PB，△PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，△△BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，△BM=△13AP +BP△13AP +BP 的最小值为故选：B ．二、填空题2．如图，在ABC 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA +的最小值是___________．【分析】作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH 为△B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC =△BPD △△BCP 得到PD =，所以P A +＝P A +PD ，而P A +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到P A PC 的最小值．【详解】解：作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图， △AC 为切线， △BH 为△B 的半径， △△ABC ＝90°，AB ＝CB ＝2， △AC＝△BH 12=AC = △BP△PB BC =BD BP =，而△PBD＝△CBP，△△BPD△△BCP，△PD PBPC BC==△PD=，△P A+＝P A+PD，而P A+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而AD=△P A+PD即P A PC【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD=．也考查了等腰直角三角形的性质．3．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则12 PD PC-的最大值为_______．【答案】15 2【分析】如图，连接BP，在BC上取一点M，使得BM=32，进而证明BPM BCP△∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，31232BM BP ==，3162BP BC ==BM BPBP BC∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴== 12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，四边形ABCD是正方形90C∴∠=︒在Rt CDM中，152 DM===故答案为：152．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC是解题的关键．4．如图，边长为4的正方形，内切圆记为△O，P是△OA＋PB的最小值为________．【答案】A＋PB P A PB）PB即可解答．【详解】解：设△O半径为r，OP＝r ＝12BC ＝2，OB ＝取OB 的中点I ，连接PI ， △OI＝IB△OP OI ==，OB OP ==， △OP OB OI OP= ，△O 是公共角， △△BOP △△POI ，△PI OI PB OP ==，△PI PB ，△AP PB ＝AP ＋PI ，△当A 、P 、I 在一条直线上时，＋PB 最小，作IE △AB 于E ， △△ABO ＝45°，△IE ＝BE ＝2BI ＝1， △AE ＝AB −BE ＝3， △AI△APPB 最小值＝AI ，A ＋PB P A PB ），A ＋PB ．故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．5．【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PAPB=k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．【答案】16 3【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC△△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=12AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，△△APC=△BPA，AB= 2AC△△APC△△BPA，△12 AP CP AC BP AP AB===△BP=2AP，CP=12AP △BP－CP=BC=4△2AP－12AP=4解得：AP=8 3△BP=163，CP=43，即点P为定点△点A的轨迹为以点P为圆心，83为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大S△A1BC=12BC·A1P=12×4×83=163即△ABC面积的最大值为16 3故答案为：163．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键． 6．如图，在Rt ABC 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的EF 上任意一点，连接BP ，CP ，则12BP +CP 的最小值是_____．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明PAT BAP ∽，推出PTPB＝AP AB＝12，推出PT ＝12PB ，推出2PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．△P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4， △P A 2＝4 AT •AB ， △PA AT ＝ABPA， △△P AT ＝△P AB ， △PAT BAP ∽，△PTPB＝APAB＝12，△PT＝12PB，△12PB+CP＝CP+PT，△PC+PT≥TC，在Rt ACT中，△△CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，△CT△12PB+PC△12PB+PC【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，△B的半径为2，点P是△B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．【答案】5【详解】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，△221PBBG==，422BCPB==，△PB BC BG PB=，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△12 PG BGPC PB==，△PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG5．故答案为5点睛:学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，在△ABC中，△ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.【答案】【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE△△ACD，将23AD转化为DE，从而求得23AD BD+的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．【详解】如下图，在CA 上取一点E ，使得CE=4△AC=9，CD=6，CE=4 △CD AC CE CD= △△ECD=△ACD△△DCE△△ACD △69ED DC AD AC == △ED=23AD 在△EDB 中，ED+DB≥EB△ED+DB 最小为EB ，即ED+DB=EB △23AD DB EB +=在Rt△ECB 中，△23AD DB +=△2AD+3DB=故答案为：【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE△△ACD ．三、解答题9．如图1，在RT △ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：△12AP BP +， △2AP BP +， △13AP BP +， △3AP BP +的最小值．【答案】△；△ 【分析】△在CB 上取点D ，使1CD =，连接CP 、DP 、AD ．根据作图结合题意易证DCP PCB ~，即可得出12PD BP =，从而推出12AP BP AP PD +=+，说明当A 、P 、D 三点共线时，AP PD +最小，最小值即为AD 长．最后在Rt ACD 中，利用勾股定理求出AD 的长即可； △由122()2AP BP AP BP +=+，即可求出结果； △在CA 上取点E ，使23CE =，连接CP 、EP 、BE ．根据作图结合题意易证ECP PCA ~，即可得出13EP AP =，从而推出13AP BP EP BP +=+，说明当B 、P 、E 三点共线时，EP BP +最小，最小值即为BE 长．最后在Rt BCE △中，利用勾股定理求出BE 的长即可；△由133()3AP BP AP BP +=+，即可求出结果．【详解】解：△如图，在CB 上取点D ，使1CD =，连接CP 、DP 、AD ．△1CD =，2CP =，4CB =，△12CD CP CP CB ==．又△DCP PCB ∠=∠，△DCP PCB ~， △12PD BP =，即12PD BP =， △12AP BP AP PD +=+，△当A 、P 、D 三点共线时，AP PD +最小，最小值即为AD 长．△在Rt ACD 中，AD△12AP BP +； △△122()2AP BP AP BP +=+， △2AP BP +的最小值为2=△如图，在CA 上取点E ，使23CE =，连接CP 、EP 、BE ．△23CE =，2CP =，6CA =， △13CE CP CP CA ==．又△ECP PCA ∠=∠，△ECP PCA ~， △13EP AP =，即13EP AP =， △13AP BP EP BP +=+，△当B 、P 、E 三点共线时，EP BP +最小，最小值即为BE 长．△在Rt BCE △中，BE =△13AP BP + △△133()3AP BP AP BP +=+，△3AP BP +的最小值为3= 【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．10．如图，Rt △ABC ，△ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD AF ，BD（1）求证：△BDC △△AFC（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD AD 的最小值．【答案】（1）见解析；（21或；（3【分析】（1）利用SAS ，即可证明△FCA △△DCB ；（2）分两种情况当点D ，E 在AB 边上时和当点E ，F 在边AB 上时，讨论即可求解；（3）取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，可证得△DCM △△ACD ，可得DMAD ，从而得到当B ，D ，M 共线时，BD AD 的值最小，即可求解．【详解】（1）证明： △四边形CDEF 是正方形，△CF ＝CD ，△DCF ＝△ACB ＝90°，△△ACF ＝△DCB ，△AC ＝CB ，△△FCA △△DCB （SAS ）；（2）解：△如图2中，当点D ，E 在AB 边上时，△AC ＝BC ＝2，△ACB ＝90°，△sin 45AC AB ==︒△CD △AB ，△AD ＝BD ＝sin 45AC =⨯︒=△BD AD ＝1==； △如图3中，当点E ，F 在边AB 上时．BD＝CF ＝sin 452BC ⨯︒== AD，△BD AD =综上所述，BD 1 （3）如图4中．取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，△CDCM ＝1，CA ＝2，△CD 2＝CM •CA ， △CD CA ＝CM CD， △△DCM ＝△ACD ，△△DCM △△ACD ，△DM AD ＝CD AC△DM ，△BD AD ＝BD +DM ，△当B ，D ，M 共线时，BD AD 的值最小，最小值BM =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．11．如图，点A 、B 在O 上，且OA ＝OB ＝6，且OA △OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD ＝4，动点P 在O 上．求2PC ＋PD 的最小值．【答案】【分析】连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．由题意易证OPC OEP ，即得出2PE PC =，从而得出2PC PD PE PD +=+，由此可知当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长，最后在Rt OED △中利用勾股定理求出DE 的长即可．【详解】如图，连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．△C 是OA 的中点， △1122OC OA OP ==．△在△OPC 和△OEP 中，12COP POE OC OP OP OE ∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩， △OPC OEP ， △1=2PC PE ，即2PE PC =， △2PC PD PE PD +=+，.△当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值即为DE 的长，如图，在Rt OED △中，DE =，△2PC PD +的最小值为【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长是解答本题的关键．12．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD 是“婆氏四边形”，则四边形ABCD 是．（填序号）△矩形；△菱形；△正方形（2）如图1，Rt ABC 中，△BAC =90°，以AB 为弦的△O 交AC 于D ，交BC 于E ，连接DE 、AE 、BD ，AB =6，3sin 5C =，若四边形ABED 是“婆氏四边形”，求DE 的长．（3）如图2，四边形ABCD 为△O 的内接四边形，连接AC ，BD ，OA ，OB ，OC ，OD ，已知△BOC +△AOD =180°．△求证：四边形ABCD 是“婆氏四边形”；△当AD +BC =4时，求△O 半径的最小值．【答案】（1）△；（2）3；（3）△见解析；【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得△ABC =△ADC =90°，从而可证明四边形ABCD 为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断；（2）根据垂径定理和圆周角定理可得AD =DE ，△DEB =△DEC =90°，设AD =DE =m ，则DC =8-m ，EC =10-6=4，在Rt △DEC 中解直角三角形即可；（3）△根据圆周角定理即可得出90DCA BDC ∠+∠=︒，从而可得△CED =90°，继而证明结论；△作OM ，ON 分别垂直与AD ，BC ，证明△OAM △△BON ，设ONAM n ，则2AD n =，42BC n ，2BN n ，在Rt △BON 中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值．【详解】解：（1）如下图，△平行四边形ABCD 为△O 的内接四边形， △△ABC =△ADC ，△ABC +△ADC =180°， △△ABC =△ADC =90°， △平行四边形ABCD 为矩形， △四边形ABCD 是“婆氏四边形”， △AC △BD ，△矩形ABCD 为正方形，故答案为：△；（2）△△BAC =90°，AB =6，3sin 5C =， △10sin ABBC C==，8AC ==,BD 为直径，△△BED =△DEC =90°，△四边形ABED 是“婆氏四边形”， △AE △BD ，△AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则DC =8-m ，EC =10-6=4，在Rt △EDC 中，根据勾股定理,222DE EC DC +=,即2224(8)m m +=-，解得3m =，即DE =3；（3）△设AC ，BD 相交于点E 如图所示△12DCA AOD ∠=∠，12BDC BOC ∠=∠，△BOC +△AOD =180°， △()111809022DCA BDC AOD BOC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， △△CED =90°，即AC △BD ，又△四边形ABCD 是△O 的内接四边形， △四边形ABCD 是“婆氏四边形”；△如下图，作OM ，ON 分别垂直与AD ，BC ， △12AM AD =，12BN BC =，△AMO =△BNO =90°， △△AOM +△OAM =90°， △OA =OB =OC =OD ， △12AOMAOD ,12BON BOC ， △△BOC +△AOD =180°， △+=90AOM BON ， △=OAM BON ，在△OAM 和△BON 中△90=AMO BNO OAM BON OA OB ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩△△OAM △△BON （AAS ）， △12ONAMAD ， △AD +BC =4 设ONAM n ，则2AD n =，42BC n ，2BN n ，在Rt △BON 中，22222(2)2(1)2OBON BN n nn ，当1n=△O【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是90°是解题关键；（2）中能正确表示出Rt △EDC 的三个边是解题关键；（3）中△正确利用圆周角定理是解题关键；△正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．13．阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga ），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点P 与两定点A ，B的距离之比等于定比m n :，则点P 的轨迹是以定比:(:1)m n m n ≠内分和外分线段AB 的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．如图1，点A ，B 为两定点，点P PA mPB n=，点M 在线段AB 上，点N 在AB 的延长线上且1MA NA m m MB NB n n ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，则点P 的运动轨迹是以MN 为直径的圆．下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：过点B 作//BD AP 交PM 的延长线于点D ． △A ABD ∠=∠，APM BDM ∠=∠． △APM BDM △∽△． △PA MA BD MB =．又△MA m PAMB n PB==， △PA PA BD PB=． △BD BP．△BPD BDP ∠=∠． △APD BPD ∠=∠．如图2，在图1（隐去MD ，BD ）的基础上过点B 作//BE PN 交AP 于点E ，可知NA PANB PE=，…… 任务：（1）判断PN 是否平分BPC ∠，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(1,0)B ，2PA PB =，则点P 所在圆的圆心坐标为________．【答案】（1）PN 平分BPC ∠．理由见解析；（2）点P 的运动轨迹是以MN 为直径的圆，见解析；（3）(2,0)【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证；（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点P 的运动轨迹是以MN 为直径的圆；（3）结合题目所给的材料分别求得AB 的内分点和外分点的坐标，进而可求得点P 所在圆的圆心坐标．【详解】解：（1）PN 平分BPC ∠．理由如下： △NA m PA NB n PB ==，NA PA NB PE =， △PA PA PB PE=． △PB PE =． △PEB PBE ∠=∠． △//BE PN ，△PEB CPN ∠=∠，PBE BPN ∠=∠． △BPN CPN ∠=∠，即PN 平分BPC ∠．（2）△12APM BPM APB ∠=∠=∠，12BPN CPN BPC ∠=∠=∠，且180APB BPC ∠+∠=︒， △1902MPN APC ∠=∠=︒． △MN 为直径．△点P 的运动轨迹是以MN 为直径的圆．（3）△(2,0)A -，(1,0)B ， △AB ＝3，且AO ＝2OB ，△2PA PB =，△点O 为AB 的内分点，当点C 为AB 的外分点时，CA ＝2CB ， △CB ＝AB ＝3， △OC ＝OB+BC ＝4， △点C 的坐标为（4，0），△点P 所在圆的圆心坐标为（2，0）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．14．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴是直线32x =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一个动点，是否存在点P 使四边形ABPC 的面积为16，若存在，求出点P 的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B 作BF BC ⊥交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，2为半径作C ，点Q 为C FQ +的最小值．【答案】(1)234y x x =-- (2)()1,6P 或()3,4【分析】（1）根据点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴是直线32x =．待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线BC 解析式，设()2,34P m m m --，则(),4Q m m -，过点P 作PQ 轴交直线BC 于点Q ，根据ABCBCPABPC S S S=+四边形等于16建立方程，解一元二次方程即可求得m 的值，然后求得P 的坐标，（3）在CB上取2CE =，过点E 作EG OC ⊥，构造CQE CBQ ∽，则当,,F Q E 三点共线时，取得最小值，最小值为FE ，勾股定理解直角三形即可．（1）解：△抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴是直线32x =， △()0,4C -， 32240ba ab ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为：234y x x =--，（2）当0y =，即2340x x --=，解得121,4x x =-=，()4,0B ∴， ()0,4C -，设直线BC 解析式为y kx b =+，440bk b -=⎧⎨+=⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 解析式为4y x =-，设()2,34P m m m --，过点P 作PQ 轴交直线BC 于点Q ，则(),4Q m m -，ABCBCPABPC S SS=+四边形()()22114144344281022m m m m m =⨯+⨯+--++⨯=-++，四边形ABPC 的面积为16，∴22810m m -++16=，解得121,3m m ==，()1,6P ∴或()3,4，（3）如图，过点B 作BF BC ⊥交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，2为半径作C ，32x =是抛物线的对称轴，35422F y =-=35,22F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()()4,0,0,4B C ，4,4OB OC ∴==，BC ∴=45OBC ∠=︒，BF BC ⊥， 45FBO ∴∠=︒，在CB 上取CE =过点E 作EG OC ⊥，交y 轴于点G ，交抛物线对称轴于点H ，则CG =1sin 452EG =︒=，31122EH =-= 6FH ∴=，2,CQ CE BC ===22CE CQ CQ BC ∴====，QCE BCQ ∠=∠， CQE CBQ ∴∽，EQ CQ BQ CB ∴==QE ∴=，FQ +FE ≥，当,,F Q E 三点共线时，取得最小值，最小值为FE ，EG FG ⊥EF ∴=FQ + 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．如图1所示，△O 的半径为 r ，点 A 、B 都在△O 外，P 为△O 上的动点，已知 r ＝k ·OB ．连接 P A 、PB ，则当“P A ＋k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？【答案】见解析【详解】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值kOPOB=；4：在OB上截取一点C，使得OC OPOP OB=构建母子型相似：5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为P A＋K*PB的最小值．本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2）在线段OB上截取OC使OC＝k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC．△本题求“P A＋k·PB”的最小值转化为求“P A＋PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图3），时AC线段长即所求最小值．16．问题提出：如图△，在Rt ABC△中，90C=∠，4CB=，6CA=，△C的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP、BP，求12AP BP+的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图△，连接CP，在CB上取一点D，使1CD=，则12CD CPCP CB==．又PCD BCP∠=∠，所以PCD△BCP．所以12PD CD BP CP ==．所以12PD PB =，所以12AP BP AP PD +=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP +的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP +的最小值；（3）拓展延伸：如图△，已知在扇形COD 中，90COD ∠=，6OC =，3OA =，5OB =，P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值．【答案】（1（2（3）13．【分析】（1）根据题意可知最小值为AD 长度，利用勾股定理即可求出AD 长度．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，即可证明PCD △ACP △，得到13PD AP =，即13AP BP PD BP +=+，所以13AP BP +的最小值为BD 长度，利用勾股定理即可求出BD 长度．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，即可证明OAP △△OPE ，得到2EP PA =，即2PA PB EP PB +=+，所以2PA PB +的最小值为BE 长度，利用勾股定理即可求出BE 长度．【详解】（1）根据题意可知，当A 、P 、D 三点共线时，12AP BP +最小，最小值AD ==．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，则有13CD CP CP CA ==，△PCD ACP ∠=∠， △PCD △ACP △，得13PD CD AP CP ==， △13PD AP =，故13AP BP PD BP +=+，仅当B 、P 、D 三点共线时，13AP BP +的最小值BD ==（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，则12OA OP OP OE ==，△AOP POE ∠=∠， △OAP △△OPE ，△12OA OP AP OP OE EP ===， △2EP PA =，△2PA PB EP PB +=+，仅当E 、P 、B 三点共线时，13EP PB BE +=，即2PA PB +的最小值为13．【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出PCD △ACP △和OAP △△OPE 是解题的关键．本题较难．17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x+5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线y ＝x 2+bx+c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2，若P 点是半径为2的△B 上一动点，连接PC 、PA ，当点P 运动到某一位置时，PC+12PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣6x+5， B （5，）；（2）当M （3，﹣4）时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18；（3）PC+12PA .【分析】（1）由直线y ＝﹣5x+5求点A 、C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B 坐标．（2）从x 轴把四边形AMBC 分成△ABC 与△ABM ；由点A 、B 、C 坐标求△ABC 面积；设点M 横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线段MH ，则能用m 表示MH 的长，进而求△ABM 的面积，得到△ABM 面积与m 的二次函数关系式，且对应的a 值小于0，配方即求得m 为何值时取得最大值，进而求点M 坐标和四边形AMBC 的面积最大值．（3）作点D 坐标为（4，0），可得BD ＝1，进而有12BD BP BP AB ==，再加上公共角△PBD ＝△ABP ，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD△△ABP ，得PD PA等于相似比12，进而得PD ＝12AP ，所以当C 、P 、D 在同一直线上时，PC+12PA ＝PC+PD ＝CD 最小．用两点间距离公式即求得CD 的长．【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5△C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1△A（1，0）△抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点△10005b cc++=⎧⎨++=⎩解得：65bc=-⎧⎨=⎩△抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5△B（5，0）（2）如图1，过点M作MH△x轴于点H△A（1，0），B（5，0），C（0，5）△AB＝5﹣1＝4，OC＝5△S△ABC＝12AB•OC＝12×4×5＝10△点M为x轴下方抛物线上的点△设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）△MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5△S△ABM＝12AB•MH＝12×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8△S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18△当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD△BD＝5﹣4＝1△AB＝4，BP＝2△12 BD BP BP AB==△△PBD＝△ABP △△PBD△△ABP△12== PD PD AP BP△PD＝12AP△PC+12PA＝PC+PD△当点C、P、D在同一直线上时，PC+12PA＝PC+PD＝CD最小△CD△PC+12PA【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.18．如图，抛物线2y ax bx c=++与x轴交于A0)，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且3OB OA==，OAC∠的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD 的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF x⊥轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH HP=时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作H，点Q为H上的一个动点，求14AQ EQ+的最小值．【答案】（1）y 13=x 2﹣3；（2）（3．【分析】对于（1），结合已知先求出点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt△OAC 中，利用三角函数的知识求出△OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出△OAD 的度数，进而得到点D 的坐标；接下来求出直线AD 的解析式，表示出点P ，H ，F 的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解答；对于（3），首先求出△H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK=14，此时K （15-8）；然后由HQ2=HK·HA ，得到△QHK△△AHQ ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ ，进而可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ+EQ 的值最小，据此解答.【详解】（1）由题意A 0），B （﹣0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x （x ，把C （0，﹣3）代入得到a 13=，△抛物线的解析式为y 13=x 2﹣3．（2）在Rt△AOC 中，tan△OAC OCOA==△△OAC ＝60°． △AD 平分△OAC ，△△OAD ＝30°，△OD ＝OA •tan30°＝1，△D （0，﹣1），△直线AD 的解析式为y =﹣1，由题意P （m ，13m 2m ﹣3），H （m ﹣1），F （m ，0）．△FH ＝PH ，△1=﹣1﹣（13m 2m ﹣3）解得m =，△当FH ＝HP 时，m 的值为（3）如图，△PF 是对称轴，△F （0），H （2）．△AH △AE ，△△EAO ＝60°，△EO ＝3，△E （0，3）．△C （0，﹣3），△HC =2，AH ＝2FH ＝4，△QH 12=CH ＝1，在HA 上取一点K ，使得HK 14=，此时K （158-）． △HQ 2＝1，HK •HA ＝1，△HQ 2＝HK •HA ，△HQ KHAH HQ=． △△QHK ＝△AHQ ，△△QHK △△AHQ ，△14KQ HQ AQ AH ==，△KQ 14=AQ ，△14AQ +QE ＝KQ +EQ ，△当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，最小值．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.19．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点A B 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又,POD MOP POM DOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在RtABC 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.【答案】（1（2. 【分析】 △ 将PC+kPD 转化成PC+MP ，当PC+kPD 最小，即PC+MP 最小，图中可以看出当C 、P 、M 共线最小，利用勾股定理求出即可；△ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C 对应O,D 对应P ，A 对应C ，B 对应M ，当D 在AB 上时23AD BD +为最小值，所以23AD BD + =【详解】解()1:,MP PD k MP kPD =∴=∴，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值，即,,C P M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM =()223AD BD +，提示：4AC m ==，2433CD kr ==，23AD BD ∴+=【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键. 20．数学概念如图△，AE 是△ABC 的角平分线，D 是直线BC 上一点，如果点D 满足DA ＝DE ，那么点D 叫做△ABC 的边BC 上的“阿氏点”．概念理解（1）在图△中，利用直尺和圆规作△ABC 的边BC 上的“阿氏点”，用字母D 表示（不写作法，保留作图痕迹）；性质探究（2）在（1）中，求证：△DAB △△DCA ；知识运用（3）如图△，四边形ABCD 内接于△O ，对角线AC 、BD 相交于点E ，以D 为圆心，DA 为半径的圆恰好经过点C ，且与BD 交于点F ． △求证：点D 是△ABE 的边BE 上的“阿氏点”； △若BE 52=，DE ＝2，AE ＝3，则△D 和△O 的半径长分别为，．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）△见详解；△3．【分析】（1）根据题意，作△BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD，即可得到答案．（2）由DA＝DE，得到△AED=△EAD，然后证明△B=△CAD，即可得到结论成立；（3）△连接AF，由DA=DF=DC，则△AFD=△FAD，△ABD=△CAD，然后得到△BAF=△FAC，即可得到结论成立；△由（2）可知，易证△DAB△△DEA，则DA DBDE DA，即可求出DA的长度；作DG△AC，则点G是AC的中点，连接OG，OA，由垂径定理，得到OG△AC，然后求出AC的长度，然后得到DG的长度，利用勾股定理，即可求出OA的长度．【详解】解：（1）如图：根据题意，作△BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD．（2）如（1）图，△DA＝DE，△△AED=△EAD，△△AED=△B+△BAE，△EAD=△EAC+△CAD，又AE平分△BAC，△△BAE=△EAC，△△B=△CAD，△△ADC=△CDA，△△DAB△△DCA；（3）证明：△连接AF，如图：△DA=DF=DC，△△AFD=△FAD，△ABD=△CAD，△△AFD=△ABD+△BAF，△FAD=△CAD+△FAC，△△BAF=△FAC，△AF平分△BAE，在△ABE中，AF平分△BAE，DF=DA，△点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”；△由（2）可知，△△ABD=△CAD，△ADE=△EDA，△△DAB△△DEA，△DA DBDE DA=，即5222DADA+=，△3DA=（负值已舍去）；如图，作DG△AC，连接OG，OA，△DA=DC，△点G是AC的中点，由垂径定理，则OG△AC，易证△AED△△BEC，△AE DEBE CE=，即3252CE=，△53CE =， △514333AC AE CE =+=+=， △111472233AG AC ==⨯=，在△ADG 中，利用勾股定理，则DG ===，在Rt△AOG 中，设OA=OD=r ，则OG=r 由勾股定理，得222OG AG OA +=，△2227(()3r r +=，解得：r =△△D 和△O 的半径长分别为3故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，以及作图的基本步骤，解题的关键是熟练掌握题意，掌握所学的知识对题目进行分析，正确作出辅助线，从而进行解题．。

2014中考复习备战策略_数学PPT第21讲_矩形、菱形、正方形

BD＝CD， BF＝CE，
∴Rt△DFB≌Rt△DEC. ∴DE＝DF.
(2)四边形 AFDE 是正方形．证明： ∵DE⊥ AC， DF⊥ AB， ∴∠ AFD＝ ∠ AED＝ 90° . 又 ∵∠ A＝ 90° . ∴四边形 AFDE 是矩形．又 ∵ DF＝ DE， ∴四边形 AFDE 是正方形．
A．14
B．15
C．16
D．17
解析：∵四边形 ABCD 为菱形， AB＝ 4， ∴ BC＝ AB＝ 4.∵∠ABC＝ 60° ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴ AC＝ AB＝ 4.∴ C 正方形 ACEF＝4×4＝16.故选 C.
5．(2013· 扬州)如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝ 80° ， AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，垂足为 E，连接 DF，则∠CDF 等于( B )
考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
温馨提示 1.矩形、菱形和正方形都具有平行四边形的所有性质 .2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点比较多，要想做到准确而不混淆就要从 “边、角、对角线、对称性 ”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别与联系，把握它们的特征是关键 .
B． 2 5－ 1 D． 1 ＋ 2
解析：由题意可先尝试画出符合条件的图形如图所示，然后根据面积相等，
可得 (x＋ y)y＝ x ，将 y＝ 2 代入，可得 x － 2x－ 4＝ 0，解得 x1＝ 1＋ 5， x2＝ 1－ 5(舍去 )．故选 C.
2
2
8．(2013· 南京)设边长为 3 的正方形的对角线长为 a，下列关于 a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3＜a＜4；④a 是 18 的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是( A．①④ C．①②④ B．②③ D.①③④ C )