高职应用数学第六节 定积分在几何方面的应用

2020/8/3
所以，圆的面积
.
注:用例4.6.3相同的方法可以求得椭圆 的面积,留给读者完成.
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二.利用定积分求立体图形的体积
b
当 A ( x ) 表示面积时，定积分 A ( x ) d x 表示
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a
立体图形的体积.
y
y f (x)
o
x x dx
x
定义4.6.1一个平面图形绕一定直线旋转一周所得到 的立体图形叫作旋转体.
平面图形的面积。
解 如图
4.6.4，由
y
x
y1
x 1
得
y
; 1
1
A(1
0
x)dx(x2 3x3 2)|1 01 3
y
y x
1
x
o
1
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例4.6.3 求证半径为 r 的圆的面积为
.
S R2
证明 圆的方程为
y
它在第一象限的解析式为
o
x
(图4.6.6) 所以在第一象限的面积(如图)是：
dA( xx2)dx；
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（3）把面积表示成定积分.
1
A(
0
xx2)dx (2 3x3 21 3x3)|1 01 3
y
x y2
dA
A (1,1) y x2
o
x x△x
x
思考：如果以y为积分变量，该怎么表示和计算面积.？
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例4.6.2求由曲线 y x， y1和 x0所围成
Vy01[1( y)2]dy
(y(1图y42).61 .10)
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2 02
o
x
x=1
例4.6.5求由椭圆
绕 轴旋转所成椭球的体积.
解 如(图4.6.11)，该椭圆在 轴上方的
半椭圆方程为
所以,该椭圆绕 轴旋转得到
o
椭球体积为
(图4.6.11)
ba22
a2x13x3aa
4ab2
3
特殊的，当
c
b
SS 1S 2af(x)d xcf(x)d x
y f(x)
(图20204/8/3.6.3)
S1
oa .
c
S2
bx
例4.6.1 求两条抛物线 y2x,yx2所围成的图 形的面积.
解 （1）先画出简图，求出曲线交点以确定积
y2 x
分区间，解方程组
y
x2
得交点 (0,0)及(1,1)；
（2）取积分变量，写出面积微元
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绕 x 轴和 y 轴旋转而得的旋转体的体积公式分别是
Vx
b[f(x)]2dx,
a
Vy
d[g(y)]2dy
c
按以上的公式，求旋转体的体积可分三步： (1) 确定平面图形（同时定区间）,作出草图； (2) 写出体积元素
(3) 代入公式,给出旋转体体积的表示式并计算.
注: 与平面图形面积算法类似，应尽可能作出准 确的图形以帮助直观分析.
(d x)2 (d y)21 (y/)2d x
从而得弧长元 ds 1(y/)2dx
将弧长元在区间 [ a , b ]上作定积分，便得到曲线 f ( x )
在区间 [ a , b ] 上的弧长
b
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s 1(y/ )2dx
a
例4.6.6 求曲线 y x 3 , 由 x 0 到 x 3一段的
oa
bx
f (x)
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(3)若曲线 y f (x既) 有 x轴上方部分又有下方部分
时则应分开区别对待.即曲线当 f (x) 时0 ,面积直
接用定积分直接用定积分
b
f ( x)dx 表示；当 f (x) 0
a
时,面积应取定积分的反号
b
a f ( x)dx.
如(图4.6.3)中阴影部分面积
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例4.6.4 求由抛物线 y x 2 ，直线 y 0 和 x 1
围成的平面图形绕 x 轴及 y 轴旋转一周所得旋转体
的体积.
解如图4.6.10绕 x 轴旋转成旋转体的体积
V
x
为: Vx
1(x2)2dx
0
1x5 5
1 0
5
y y x2
绕 y 轴旋转成旋转体的体积 V y 为: 1
第六节.定积分在几何方面的应用
一. 用定积分表示平面图形面积
(1)当 f (x)0时，曲边梯形的面积
b
可直接用定积分表示 A f ( x )dx
a
y
f (x)
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oa
bx
(2)当 f (x)0时，曲边梯形的面积
与定积分反号，面积可用定积分的绝对值表示.
b
A f (x) dx
a
y
时,椭球就变成球,此时球的体积为
思考：该椭圆绕 轴旋转所成椭球的体积
与以上的
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相等？
是否
三. 平面曲线的弧长
曲线 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上任一小区间 [x,xdx] 的一段弧的长度，可以用该曲线在点 (x, f (x)) 处切线 上相应的一小段的长度来近似代替, 而切线上这相应的 小段长度为
弧长.
解 如图4.6.12, y 3 x , 2
3
s
1 (3
x )2dx
0
2
y
dy
o a x x dx b x
1 3 4 9xdx
22(049x)32 3 1(3132 8)
54
27
0
( 图4.6.12)
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