高职应用数学第六节定积分在几何方面的应用

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第六节定积分在几何上的应用

x (t ) 具有连续导数, y (t ) 连续.
曲边梯形的面积 A y dx ( t ) ( t )dt . t
a
1
b
t2
x2 y2 例3 求椭圆 2 2 1 的面积. a b
解1 由对称性, 总面积等于4倍第一象限部分面积.
x a cos t 曲线的参数方程为 y b sin t
x2 y2 例5 求由椭圆 2 2 1 围成的图形绕 x轴旋 a b
转一周所得旋转体的体积. 解这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆
b 2 y a x 2 与x 围成的图形绕 x轴旋旋转而成. a
所求体积为 V
a
a
b (a 2 x 2 )dx a2
2
4 2b 2 a 2 2 ab2 2 (a x )dx 3 a 0 4 3 当a b时, 可得半径为的球的体积是 a . a 3

1 3 3 a 2 a 2 sin sin 2 4 2 0 2
2
6.1.2 体积问题
1. 旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条
直线旋转一周而成的立体. 这直线称为旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ), 直线 x a , x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋 x转一周而成的立体, 求体积.

定积分的应用

定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。

1. 几何学中的应用

在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。

2. 物理学中的应用

在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。

3. 经济学中的应用

经济学也是定积分的应用领域之一。在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值

相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。这种

方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。

4. 概率统计学中的应用

在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间

的概率。在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内

定积分在几何中的应用

复习
如何用定积分表示下列图形的面积?
例1.计算由曲线:y2=x , y = x2 所围图形的面积S .
小结:求平面图形面积的步骤: ①画草图; ②选择积分变量,被积函数及积分上下限; ③计算定积分,表示出面积
练习1:求下列曲线围成的平面面积.
①y =
2 x
,y =2x+3
②y =ex , y =e ,x = 0 ③y =
3 x
, y = 2x
例2.计算由直线y = x－4, 曲线y = 2x 以及x轴所围图形的面积S.
思考？
思考：本题其它解法如何？并比较这些方法
变式训练：计算由直线 y x 4, 曲线 y 2 2 x 以及 x 轴所围成图形的面积 S .
1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求解步骤: ①画草图; ②选择积分变量,被积函数及积分上下限; ③计算定积分,表示出面积
知识要点1
作变速直线运动的物体在时间区间 a , b 上所经过的路程 S ，等于其速度函数 v v(t )(v(t ) 0) 在时间区 b 间 a , b 上的定积分，即 S v ( t )dt

a
例 1 已知一辆汽车的速度——时间的曲线如图所示 30
求（1）汽车 10 s 行驶的路程；（2）汽车 50 s 行驶的路程；（3）汽车 1 min 行驶的路程.

高数6.1-定积分在几何中的应用

y
A( x)
且垂直于 x 轴的两平面之间, 以 A( x ) 表示为过点
a
x x dx
b
x
x且垂直于x
图 6.13
轴的截面面积(假定 A( x ) 是 x 的连续函数).
高等数学第6章定积分的应用
§6.1
定积分在几何上的应用
所求立体的体积
V

b a
A( x )dx .
y
A( x)
O
a
x x dx
§6.1
定积分在几何上的应用
曲边梯形OABC绕 y 轴旋转所得旋转体的体积，可看成由平面图形
OABD和CBD分别绕 y 轴旋转所得旋转体的体积之差.其中BD垂直 x 轴(图6-12). 已知弧AB的方程为
4
y
D B
x 1 4 y (0 y 4),
弧BC的方程为
.
3
C
y 4 ( x 1) 2
y
x ( y)
x ( y)
d y dy y
0
c o
图6.2
x
从而, 此平面图形的面积为
A [ ( y ) ( y )]dy.
c
d
高等数学第6章定积分的应用
§6.1
定积分在几何上的应用
例6.1.1 解

定积分的应用

定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。本文将从三个方面来论述定积分的应用。

一、定积分在几何中的应用

首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为

S=∫baf(x)dx

这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为

ΔS=f(xi)Δx

因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即

∑ΔS→S

因此，用定积分就可以求出图形的面积。

其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为

V=π∫baf(x)^2dx

这里，π为圆周率。

最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。

二、定积分在物理中的应用

物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为

s(t)=∫v(t)dt

同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt

最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。

三、定积分在工程中的应用

定积分在工程中的应用也非常广泛。比如，在流体力学中，对

于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液

体的流量和压力。而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。

在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。

定积分的几何应用

定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。其中之一就是

在几何学中的应用。本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解

释其背后的原理和意义。

一、平面图形的面积

通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。假设有一个曲

线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。我们可以将A分解

成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。

具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽

度为Δx。然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为

f(xi)。

由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通

过求和的方式逼近。即可以得到如下的定积分表达式：

A = ∫[a,b] f(x) dx

其中[a,b]表示x的取值范围。

通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。

二、曲线的弧长

除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。

假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。我们希望计算出曲线L的弧长。

与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。

具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽

度为Δx。然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。

同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx

定积分在几何中的应用

(1) y x 2 , y 2 x 3 (2) y e x , y e, x 0
1 （3） y 与直线 y x 及 x 2 。 x
y x2 4 及其在点 ( 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2．求抛物线的切线所围成的图形的面积 .
3.求曲线y=sinx(x∈[ ， ])和y=cosx(x ∈[ ， ]) 4 4 4 4 围成的平面图形的面积。
2
成的图形的面积.
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
S2
练习: 1.求抛物线y=x 2 与直线y=2x 所围成平面图形的面积。
y
4
o
2
x
2.求曲线x= y 和直线y=x-2 y 所围成的图形的面积。
2
2
y=x-2
1
s1
o
-1
s2
1 2 4 x
-2
x=1
x=
y
2
1．求由下列各曲线所围成的图形的面积：
a a
b
b
2.微积分基本定理(牛顿－莱布尼茨公式)

b
a
f ( x)dx F ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
' a b a
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．

定积分在几何学上的应用

x b 2c[sh ]b 2csh . 0 c c
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曲线yf(x)(axb)的弧长： s
a
b
1 y2 dx .
•参数方程情形
设曲线弧由参数方程xj(t)、y(t)(t)给出, 其中 j(t)、(t)在[, ]上具有连续导数.
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.
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铃
二、体积
1.旋转体的体积
旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、xb 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. •旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 于是体积元素为 dV[f(x)]2dx. •旋转体的体积
(4)计算积分
S ( x x 2 )dx
0 1
[ 2 3
3 x2
1 x3 ]1 1 . 0 3 3
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铃
S [ f 上 ( x) f 下 ( x)]dx .
a
b
S [j 右 ( y) j 左 ( y)]dy .
c
d
例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在y轴上的投影区间 [2, 4]. (3)确定左右曲线

定积分在几何中的应用

2020年第 5 期中

定积分在几何中的应用

杨姜维

一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲

线

（

）与直线

及

轴所围成的平面图形面积为，则面积元素

，面积。

例1：求曲线

与直线

及轴所围成的平面图形的面积。

解：如图1，面积元素，图形面积

2.设曲

线与直

线

及轴所围成的图形

面积为

，则面积元素

，面积

。

3.设

由

，所

围成的平面图形的面积：

函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公

式

，也可以看作是，轴即直线

。

例2：求直线与抛物线

所围成的平面图形的面积。

解：由图2分析可知，交点

面积元素，图形面积

4.任意由

所围

成的平面图形（图3）的面积。

例3：求抛物

线，

与

轴及直线

在第一象限

所围成的平面图形的面积。

解：如图4，由

交点

面积

（二）以为积分变量的情形1.由曲

线、直

线

及轴围成的平面图

形面积：

。

2.由曲线

、直线及轴围成的平面图形面积：

。

3.由曲

线直

线

及

轴围成

的平面图形面积：

若

，

。可看作是函数

由大减小（右减左），积分从下到上。

例4：计算抛物

线

与直线

所围成的图形的面积。

定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积

的几种情形，即分别以

为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕

轴和轴旋转一周所

得的立体体积。

JIAO HAI TAN HANG／

教海探航

解：如图5，

由交

点为方便计算，选取

为积分变量，则有

4.任意由曲线直

线

及轴围成的平面

图形面积：

。

二、旋转体的体积

一个平面图形围绕其所在平面上的一条

直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见

高等数学上6.2定积分在几何学上的应用

a2 2
13
3
2
0
4 3 a2
3
对应从 0 变
2 a
o
x
d
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结束
P277-5
例6. 计算心形线
面积 . 解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2 4 cos4 d
0
2
令t
2
8a2 2 cos4t dt 0
8a2 3 1 3 a2
y
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
AdA
4
(
2
y
4
1 2
y
2
)
dy
o
yx4 x
(2, 2)
18
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结束
P276-3
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
y b
o xxdxa x
x y
a cos t bsin t
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
A M0 o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)

定积分在几何中的应用课件

S=

‫׬‬a
(x)dx +

a g (x)dx

=
[(x) − g(x)]dx.
a
2.求曲边多边形的面积的步骤有哪些?
剖析:(1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的
面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题.
(2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定
积分上、下限.
1 2
2x- x
2
|2-3
−
(−x +
1 3
x -4x
3
|2-3
=
25
−
2
反思求不分割型图形面积的一般步骤如下:
同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积:
定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.
分割型图形面积的求解
【例2】求由曲线y= , 直线 = 2 − , =
.
6
3
3 6
1
反思由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区
间段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的
不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区段,然后根据图象对
各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减
下.
综合应用
【例 3】如图,在曲线 C:y=x2,x∈[0,1]上取点 P(t,t2),过点 P 作 x 轴的

定积分的意义及其在几何中的应用

定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)

题目：定积分的意义及其在几何中的应用

学院兰州大学数学与统计学院

专业数学应用

班级 09数学教育二班

学号 **********

姓名蔡兴盛

指导教师王宾国

兰州大学教务处制

二Ｏ一二年三月

定积分的意义及其在几何中应用

定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们

的生活中也起着很重要的作用！

内容摘要：一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。

关键词：定积分柯西微分方程几何

一、定积分的概念 1.1定积分的定义

一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<

<<<

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a

x n

-∆=

），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,

,i i n ξ=，作和式：1

()()n n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()b

S f x dx =

⎰

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．

论述定积分在几何学的应用

1 定积分的定义及几何意义

设函数f(x)定义在区间[a,b]上,用分点a=x0<x1<x2<……<="" p=""></x1<x2<……

作和,若当λ0时,不管分割如何取法,如何取法,都有共同的极限,即。则称为f(x)从a到b的定积分,记作

。

定积分的几何意义就是由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的几块曲边梯形,在轴上方各图形面积之和减去在x轴下方各图形面积之和。

2 定积分的解题技巧分析

对定积分概念的准确理解,是有效解决定积分问题的前提条件。

(1)定积分是一类特殊的极限,在定积分的定义中,应该注意到积分区间的分法和各小区间上点的选择都是任意的,因此定积分只与被积函数f(x)以及积分区间[a,b]有关,而与区间[a,b]的分法和点的取法以及积分变量用什么字母表示都无关。例如:。

(2)如果对f(x)与x轴、x=a,x=b所围成的图形,规定在x轴上方图形的面积为正,在x轴下方图形的面积为负,则f(x)在[a,b]上的定积分就是这些带正负号面积的代数和。

(3)为了应用方便起见,规定:

当a=b时,=0;

当a>b时,=。

因此不论a,b,c的相对位置如何,总有等式成立。

(4)掌握定积分中值定理也称积分中值公式,在解决极限以及其他几何问题时,合理运用定积分中值定理能够起到事半功倍的作用。其几何意义就是:在区间[a,b]上至少存在一点,使得以区间[a,b]为底边、以曲线y-f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边、而高为f()的一个矩形的面积。

定积分的几何应用

b
V 2 a x f (x)dx.
利用上述公式计算例5, 则有
V
2
0
x
sin
xdx

2
[x
cos
x

sin
x]0
2 2.
的面积为
1
A
1
(2
1

x2
y

x2 )dx

2

2x

2 3
x3

0

8. 3
y = 2 - x2
(-1, 1) y = x2
(1, 1)
-1
O x x+dx 1 x
例2 求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 y = x – 4 所围图
形的面积.
解
解方程组

y2

2x,
b
第三步: 求出整体量 Q , 即 Q a Q(x)dx.
由于第二步考证比较复杂, 在以后的讨论中, 一般略去这一步.
二、平面图形的面积
由定积分的几何意义知, 在区间[ a , b ] 上, 当 f ( x )
0时, 由连续曲线 y = f ( x ) , 直线 x = a , x = b 与 x 轴
第六节定积分的几何应用
引从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？

6.2定积分在几何学上的应用

2
3 2
a2
第六章定积分的应用
8
例计算心形线 a 1 cos a 0 与圆 a 所围成的图形的面积。
解：
利用对称性，有
A
1 2
a2
2
2
1 2
a2
1 cos
2 d
1 2
a2
a2
3
2
2
2 cos
1 2
cos
2
d
1 2
a2
a2
3 2
2 sin
1 4
sin
A
2
0
1 2
a
2
d
a 2 3 2
2
3
0
4 3
a
2
3
第六章定积分的应用
7
例 5 计算心形线 a 1 cos a 0 所围成的图形的面积。
解：
利用对称性，有
A
2 0
1 2
a2
1
cos 2 d
a2
0
4 cos4
2
d
8a 2 2 cos4 tdt 0
8a 2
3 4
1 2
度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，即
n
s
lim
0
i 1
M i 1M i
，

4.4-定积分在几何方面的应用

(y
1
1
y2)
2 02
4.4.3 平面曲线的弧长
3. 曲线 f (x) 在区间 [a,b] 上任一小区间[x, x dx] 的一段弧的长度，可以用该曲线在点 (x, f (x)) 处切线上相应的一小段的长度来近似代替, 而切线上这相应的小段长度为
(dx)2 (dy)2 1 ( y/ )2 dx
a o
b x
f (x)
例4.4.1 求两条抛物线 y2 x, y x2所围成的图形的面积.
解（1）先画出简图，求出曲线交点以确定积
y2 x
分区间，解方程组
y
x2
得交点 (0,0)及(1,1)；
（2）取积分变量，写出面积微元
dA ( x x2 )dx；
（3）把面积表示成定积分.
A
4.4定积分在几何方面的应用
4.4.1 用定积分表示平面图形面积
(1)当 f (x) 0 时，曲边梯形的面积
b
可直接用定积分表示 A f (x)dx a y f (x)
oa
bx
(2)当 f (x) 0 时，曲边梯形的面积
与定积分反号，面积可用定积分的绝对值表示.
b
A f (x) dx a y
0
2
20
4 9xdx
2
33
(4 9x) 2
1

高职应用数学第六节 定积分在几何方面的应用

第六节 定积分在几何上的应用

定积分的应用

定积分在几何中的应用

高数6.1-定积分在几何中的应用

定积分的应用

定积分的几何应用

定积分在几何中的应用

定积分在几何学上的应用

定积分在几何中的应用

高等数学上6.2定积分在几何学上的应用

定积分在几何中的应用 课件

定积分的意义及其在几何中的应用

论述定积分在几何学的应用

定积分的几何应用

6.2定积分在几何学上的应用

4.4-定积分在几何方面的应用

高职应用数学第六节定积分在几何方面的应用

第六节定积分在几何上的应用

定积分在几何中的应用课件