1.2.3 直线与平面的位置关系(2)

合集下载

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系直线与平面是空间中常见的几何概念，它们之间的位置关系是几何学中的重要内容之一。

本文将探讨直线与平面的不同相交情况，并分析它们之间的关联性。

1. 直线与平面的交点数量当一条直线与一个平面相交时，可能存在以下三种情况：情况一：直线与平面交于一点。

这是最常见的情况，也是我们常见的几何问题。

例如，一根铅笔在桌面上的投影点就是直线与平面相交于一点的实例。

在平面几何中，这种情况下可以用点来表示交点。

情况二：直线与平面平行。

这种情况下，直线与平面没有交点，但它们之间有一定的关联性，我们可以说直线位于该平面上方或下方。

例如，一根水平放置的线段与地面平行，但并不与地面相交。

在平面几何中，我们通常用无交符号∥来表示直线与平面平行的关系。

情况三：直线与平面重合。

这种情况下，直线完全位于平面内部，无论在几何学还是实际生活中都较为罕见。

当直线与平面重合时，它们有无数个交点。

在平面几何中，我们通常用∈来表示直线与平面重合的关系。

2. 直线与平面的夹角除了交点数量外，直线与平面的夹角也是它们位置关系的重要方面。

直线与平面的夹角定义为直线上的一条边与平面的法线之间的夹角。

情况一：直线与平面垂直。

当直线与平面的夹角为90度时，我们称直线与平面垂直。

这种情况下，直线与平面的关系可以用直线的斜率来表达。

在平面几何中，我们通常用⊥来表示直线与平面垂直的关系。

情况二：直线与平面倾斜。

当直线与平面的夹角不为90度时，我们称直线与平面倾斜。

这种情况下，我们可以通过计算直线的斜率和平面法线的关系来描述直线与平面的位置关系。

3. 直线与平面的位置关系是由它们的交点数量和夹角来确定的。

根据之前的分析，我们可以总结出以下几种情况：情况一：直线与平面相交于一点，并且直线与平面垂直。

这种情况下，直线与平面的位置关系是最简单的，可以用一个点来表示交点，并用垂直符号⊥来表示直线与平面垂直。

情况二：直线与平面相交于一点，并且直线与平面倾斜。

1.2.3直线与平面的位置关系(2)(2014年人教A版数学必修二导学案)

直线 a 叫做平面；平面叫做直线 a 的；垂线和平面的交点称为思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？ ②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？ ③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？ 3．从平面外一点引平面的垂线， 4．直线和平面垂直的判定定理语言表示：
，叫做这个点到这个平面的距离．图形表示：
/ /
备课大师：免费备课第一站！
课题： 1.2.3 直线与平面的位置关系（2）检测案
班级：姓名：学号：第
D1 A1 B1
学习小组
C1
【课堂检测】 1．已知直线 l ， m ， n 与平面，指出下列命题是
AC 的位置关系_________． BD1 与 B1C 的位置关系_________．进而可得 BD1 与平面 ACB1
3．如图，已知 PA ⊥ ， PB ⊥ ，垂足分别为 A ， B ，且 ∩ = l ，求证： l ⊥平面 APB ．

B
P

A

l
A
O
B
C
/ /
备课大师：免费备课第一站！
课题：1.2.3 直线与平面的位置关系（2）导学案
班级：【学习目标】姓名：学号：第学习小组
1、理解直线和平面垂直的定义及相关概念； 2、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．【课前预习】 1．观察：①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？ ②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？ ③圆锥的轴与底面垂直吗？ 2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线 a 与一个平面内的直线都，那么直线 a 与平面互相垂直，记作．．
符号表示：
4．直线和平面垂直的性质定理语言表示：

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系直线与平面是几何学中常见的两个基本概念，它们之间存在着一种特殊的位置关系。

在本文中，我们将探讨直线与平面的相互关系，并分析不同情况下它们之间可能存在的几种位置关系。

一、直线与平面的基本定义在几何学中，直线是由一系列连续的无限延伸的点组成的，它没有宽度和厚度，可以用来表示一个方向。

平面则是由无数个共面的点组成的，它有无限的长度和宽度，但没有厚度。

二、直线在平面上的位置关系2.1 直线在平面内的情况当一条直线完全位于一个平面内部时，我们说直线在平面上。

这意味着直线上的任意一点都可以找到与平面内点之间的最短距离，而且直线与平面的交点个数可以是无限的。

当直线与平面相交时，它们的交点在平面内。

2.2 直线与平面的平行关系如果一条直线与一个平面不相交，且在该平面上不存在与这条直线平行的直线，则称这条直线与这个平面平行。

在这种情况下，直线与平面之间的距离是恒定的，且这个距离是由这条直线所在的平行于该平面的直线到平面的最短距离所确定的。

2.3 直线与平面的垂直关系当一条直线与一个平面相交，并且与平面上的任意一条直线所成的角都是直角时，我们说这条直线与平面垂直。

在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且与平面上的直线所成的角度都是90度。

三、直线与平面的特殊情况3.1 直线在平面上的情况有时候，一条直线可能与一个平面相切，这意味着直线上的一点与平面内的点之间的最短距离为零。

在这种情况下，直线与平面的交点个数为1，且这个交点就是直线上的切点。

3.2 直线与平面的重合关系在某些情况下，一条直线可能与一个平面重合，这意味着除了直线上的所有点之外，平面上的其他点也包含在直线上。

在这种情况下，直线与平面有无限个交点，且它们之间的位置是完全重合的。

四、应用举例直线与平面的位置关系在许多实际问题中都能得到应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要确定一条直线是否与一个平面平行，以便进行正确的定位和测量；在计算机图形学中，直线与平面的位置关系常用于计算模型的投影效果等。

高中数学1.2.3 直线与平面的位置关系教学设计

1．2．3 线面平行的判定与性质教学目标1．了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；2．掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；3．在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．教学重点与难点重点：直线与平面平行的判定定理及性质定理．难点：直线与平面平行的判定定理及性质定理的应用．教学过程问题情境、学生活动线段1A B 所在直线与长方体1111ABCD A B C D -的六个面所在平面有几种位置关系？数学理论、数学运用直线与平面的位置关系（1）直线在平面内——有无数个公共点．（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点．（3）直线和平面平行——无公共点．直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 a α⊂ a A α= //a αBB1A DC D 1C 1A 1思考：如何判定直线与平面平行？直线和平面平行的判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言： //a α⇒ 图形语言：简记为：线线平行⇒线面平行例1如图，已知E 、F 分别市三棱锥A -BCD 的侧棱AB 、AD 的中点，求证：EF //平面BCD ．解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法？反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；线线平行⇒线面平行反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”反思3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理．3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．符号语言： //l m ⇒ 图形语言：简记为：线面平行⇒线线平行//a b b a αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭aαbA DBCE F//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪=⎭例2有一块木料，棱BC 平行于面A 1C 1 要经过面A 1C 1内一点P 和棱BC 锯开木料，应该怎样画线？这线与平面AC 有怎样的关系？例3已知A B C D 是平行四边形，点P 是平面A B C D 外一点，M 是P C 的中点，在D M 上取一点G ，画出过G 和A P 的平面．回顾反思1．线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行 2．线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行课后作业1．2．3 直线与平面垂直（1）教学目标A 1CH OACBDG PM1．理解直线与平面垂直的定义；2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理并会应用； 3．培养学生的空间想象能力和辨证思维．教学重点与难点重点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的理解及推导．难点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的灵活运用．教学过程一．问题情境二．学生活动观察实际生活中的旗杆、建筑等物，请学生思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？讨论：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？数学理论、数学运用直线与平面垂直的定义如果一条直线 l 和一个平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 垂直于平面a ．记作：l α⊥直线l 叫做平面a 的垂线，平面a 叫做直线l 的垂面．垂线和平面的交点称为垂足．探究拓展：平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．那么，在空间： (1) 过一点有几条直线与已知平面垂直? （有且只有一个） (2) 过一点有几个平面与已知直线垂直? （有且只有一个）学生活动：D 1C 1A 1思考①：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱BB 1与底面ABCD 垂直．观察BB 1与AB 、BC 的位置关系，由此你认为保证BB 1⊥底面ABCD 的条件是什么？思考②：如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？猜想：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：图形语言：简记为：线线垂直⇒线面垂直例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：,//a a b α⊥．求证：b α⊥．例2如图，已知：,l PA αβα=⊥于A ，PB β⊥于B ，AQ l ⊥于Q ，求证：BQ l ⊥．,,,m n m n P l l m l n ααα⊂⊂⋂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭lαmn P回顾反思判断直线与平面垂直的方法有哪些？定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面．判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．课后作业1．2．3 直线与平面垂直（2）教学目标4．理解一组概念：平面的斜线、斜足、斜线段定义；5．了解直线与平面所成的角；6．了解直线到平面的距离；7．进一步掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理；8．培养学生的空间想象能力和辨证思维．教学重点与难点重点：直线与平面所成的角．难点：直线与平面所成的角．教学过程问题情境、学生活动思考：两根旗杆垂直于地面，你可以得到这两根旗杆是什么关系？数学理论、数学运用直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．已知：,,a b αα⊥⊥ 求证：//a b分析：直接证明a ∥b 比较困难，我们考虑采用反证法证明．证：假设b 不平行于α，设b ∩α=O ，b’是经过点O 与直线α平行的直线．因为a ∥b’， a ⊥α ，所以 b’⊥α ．即经过同一点O 的两条直线b ， b’都垂直于平面α，这是不可能的．因此 a ∥b ．例1．如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，H 是△ABC 的垂心，求证：PH ⊥平面ABC ．解题思路：线线垂直⇒线面垂直⇒线线垂直例2已知直线//l 平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等．αabb 'OPA2．直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．3．线面所成角观察如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 （1）直线AA1和平面ABCD 是什么关系?（2）直线A1B 、A1C 、A1D 和平面ABCD 的位置关系? （3）直线A1B 、A1C 、A1D 与点B 、C 、D 它们又如何命名呢？直线与平面所成角：平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角． 1．斜线：和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线2．斜足：斜线和平面相交的交点3．斜线在平面内的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线说明:1．若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°2．若直线和平面平行，或直线在平面内，则直线和平面所成的角为0 ° 直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]例3在正方体ABCD - A’B’C’D’中，求: (1)直线A’B 和平面ABCD 所成的角; (2)直线A’B 和平面A’B’CD 所成的角．A BOAPBA’A例4如图，已知AC 、AB 分别是平面α的垂线和斜线，C 、B 分别是垂足和斜足，a ⊂α，a ⊥BC ，求证：a ⊥AB证明空间两条直线垂直的方法有哪些？（１）定义法：所成的角为90︒（２）根据线面垂直的性质定理（３）“线线垂直＝＞线面垂直＝＞线线垂直” 探究拓展1．平面的斜线和平面所成的角的范围是什么?直线和平面所成的角的范围呢? 斜线和平面成角的范围是00＜θ＜900．直线和平面成角的范围是00≤θ≤900．2．若平面α的斜线l 和平面所成的角为1θ，平面α的斜线l 和平面内任一直线所成的角为2θ，试比较1θ和2θ的大小关系．12θθ≤回顾反思直线与平面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线平行直线与平面所成角（注意角的范围：[0°， 90°]）直线到平面的距离课后作业19．(15湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且P D C D =，过棱PC 的中点E ，作E F P B ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由．【解析】因PD ⊥底面ABCD ，故P D B C⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD C D D =，故BC PCD ⊥平面．而D E P C D ⊂平面，故BC DE ⊥．又P D C D =，点E 是PC 的中点，故DE PC ⊥．而PCBC C =，故DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ⊂平面，故PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DEEF E =，故PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．。

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系是几何学中的重要概念之一，研究它们的相互关系有助于我们深入理解空间几何。

在本文中，我们将探讨直线与平面的几种基本位置关系及其性质。

一、直线与平面的交点直线与平面可以相交于一点，此时它们具有唯一的交点。

假设有直线l和平面P，如果l与P相交于点A，我们可以得出以下结论：1. 点A在直线l上，同时也在平面P上；2. 点A在直线l上，但不在平面P上；3. 点A不在直线l上，但在平面P上。

这些情况中，最常见的是第一种情况，即直线与平面相交于一点，该点同时属于直线和平面。

二、直线与平面的重合直线与平面有可能重合，即它们完全重合于同一几何形状。

在这种情况下，直线与平面的所有点都是重合的，它们具有相同的位置和方向。

三、直线与平面的平行关系直线与平面可能平行，即它们始终保持着固定的距离，永不相交。

对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P平行，则其上的任意点都不在平面P上；2. 若直线l与平面P平行，则直线l上的一切点与平面P上的一切点的距离相等。

需要注意的是，直线与平面的平行关系是相对的，当我们谈论直线l与平面P平行时，必须指定相对于哪种参考系来判断。

四、直线与平面的垂直关系直线与平面可能垂直，即直线与平面形成一个直角。

对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P垂直，则直线l上的任意向量与平面P上的任意向量之间的内积为零；2. 若直线l与平面P垂直，则直线l与平面P相交于一点，该点同时属于直线和平面。

需要注意的是，直线与平面的垂直关系也是相对的，需要指定相对于哪种向量或平面来判断。

五、直线与平面的夹角除了垂直关系外，直线与平面之间还可以存在其他夹角。

对于直线l和平面P，我们可以定义它们之间的夹角为直线l上的某条与平面P 垂直的直线与平面P的交线的夹角。

直线与平面的夹角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于直线与平面的位置关系和夹角的大小。

直线与平面的位置关系与判定

直线与平面的位置关系与判定直线与平面的位置关系是空间几何中的基本概念之一。

在解决空间几何问题时，我们经常需要判断一条直线与一个平面的相互位置关系。

本文将介绍直线与平面的定义、位置关系判定方法以及一些相关的实例分析。

一、直线与平面的定义在空间几何中，我们常常遇到两种基本的图形，即直线和平面。

直线是由无数个点连成的路径，而平面则是由无数个点连成的面。

直线上的任意两个点可以确定一条直线，而平面上任意三个不共线的点可以确定一个平面。

二、直线与平面的位置关系根据直线与平面的位置关系，我们可以将其分为以下三种情况：1. 直线在平面上：如果一条直线的所有点都在一个平面上，那么我们称这条直线在该平面上。

换句话说，直线与平面重合。

2. 直线与平面相交于一点：如果一条直线与一个平面有且只有一个交点，那么我们称这条直线与该平面相交于一点。

这时，直线穿过平面。

3. 直线与平面平行：如果一条直线与一个平面不存在交点，那么我们称这条直线与该平面平行。

直线与平面之间保持着恒定的距离，永不交叉。

三、直线与平面位置关系的判定方法为了判断一条直线与一个平面的位置关系，我们可以借助直线上的一点和平面上的一点，或者直线上的两个不同点来进行判断。

下面将介绍两种常用的判定方法：1. 判定方法一：直线上的一点和平面上的一点如果直线上的一点在平面上，那么这条直线与该平面重合；如果直线上的一点不在平面上，我们可以通过计算这个点到平面的距离，若距离为零，则说明直线与平面重合；若距离不为零，则直线与平面平行。

2. 判定方法二：直线上的两个不同点如果直线上的两个不同点都在平面上，那么这条直线与该平面重合；如果直线上的两个点有一个在平面上，另一个不在平面上，我们可以通过计算这两个点到平面的距离，若距离为零，则说明直线与平面重合；若距离不为零，则直线与平面相交于一点；若这两个点到平面的距离都不为零，则直线与平面平行。

四、实例分析以下是几个常见的实例分析，帮助我们更好地理解直线与平面的位置关系：实例一：已知直线l和平面α，判断直线l与平面α的位置关系。

直线与平面的位置关系(2)

思考题用一个与四面体的棱AC、BD都平行的平面去截四面体ABCD，与四面体的棱AB、BC、 CD、DA分别交于E、F、G、H，那么截面 EFGH的形状是什么？如果我们想截得一个 D 菱形（矩形、正方形）的截面，且E、F、G、H是所在棱的中点，那么这个 A C 四面体有什么特征？
B
画图
3。两个全等的正方形。两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同、不在同一平面内,M、是对角线是对角线AC、的中点一平面内、N是对角线、BF的中点求证：求证：MN ∥面BCE
直线与平面的位置关系(2) 直线与平面的位置关系
1.空间直线和平面的位置关系 1.空间直线和平面的位置关系
位置关系直线a在平面直线在平面α 内直线a和平面直线和平面α 相交直线a和平面直线和平面α 平行公共点无数个符号表示图形表示
a
a ⊂α
a ∩α = A
α
a
α
有且只有一个没有
2、下列说法中错误的个数是（Ａ）、下列说法中错误的个数是（两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线平行， ①两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线平行，两条直线没有公共点， ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行两条直线都与第三条直线垂直， ③两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行一条直线与一个平面内的无数条直线没有公共点， ④一条直线与一个平面内的无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。则这条直线和这个平面平行。Ａ、４Ｂ、３Ｃ、２Ｄ、１Ａ、４Ｂ、３Ｃ、２Ｄ、１下列说法中正确的个数是（３、下列说法中正确的个数是（Ｄ）如果一条直线与一个平面平行， ①如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内的任意一条直线平行，一条直线平行，如果一条直线与一个平面相交， ②如果一条直线与一个平面相交，则这条直线与平面内的无数条直线垂直。条直线垂直。 ③过平面外的一点有且只有一条直线与平面平行一条直线上两点到一个平面的距离相等， ④一条直线上两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，则这条直线和这个平面平行。这个平面，则这条直线和这个平面平行。平面α内有无数条直线与平面平行，内有无数条直线与平面β平行 ⑤平面内有无数条直线与平面平行，则α∥β。 ∥ 。Ａ、４Ｂ、３Ｃ、２Ｄ、１Ａ、４Ｂ、３Ｃ、２Ｄ、１

平面与直线的位置关系

平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它描述了平面和直线之间的相对位置。

在几何学中，平面和直线是最基本的几何图形，它们的位置关系对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。

平面与直线的位置关系主要有以下几种情况：1. 直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在这个平面内。

这种情况下，直线和平面之间没有交点，直线和平面的位置关系是平行的。

2. 直线与平面相交当一条直线与一个平面相交时，它们会在某个点上相交。

这个点称为交点。

直线和平面的位置关系是相交的。

在这种情况下，直线和平面的交点是唯一的。

3. 直线与平面平行当一条直线与一个平面没有交点时，我们称这条直线与这个平面平行。

在这种情况下，直线和平面的位置关系是平行的。

平行的直线和平面之间的距离是恒定的。

4. 平面与平面相交当两个平面相交时，它们会在某条直线上相交。

这条直线称为交线。

平面和平面的位置关系是相交的。

在这种情况下，平面和平面的交线是唯一的。

5. 平面与平面平行当两个平面没有交点时，我们称这两个平面平行。

在这种情况下，平面和平面的位置关系是平行的。

平行的平面之间的距离是恒定的。

以上是平面与直线的位置关系的主要情况。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

例如，在计算两个平面的交线时，我们可以使用向量法或者解方程组的方法来求解。

总之，平面与直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。

我们需要掌握各种情况下的计算方法和应用技巧，以便在实际应用中灵活运用。

高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系

第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理2作用：确定一个平面的依据。

<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

6.直线与平面有三种位置关系：<1）直线在平面内——有无数个公共点<2）直线与平面相交——有且只有一个公共点<3）直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

8.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

9.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

10.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

1.2.3 直线与平面的位置关系

直线和平面可能有哪几种位置关系 ? 你能根据公共点的情况进行分类吗?
1. 2 . 3 直线与平面的位置关系
学习目标
1.掌握直线和平面的位置关系; 2.能通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理； 3.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行.
自学指导
1.直线和平面的位置关系有几种?它的分类标准是什么?如何用几何语言和符号语言来描述? 2.平面外的一条直线与这个平面平行的条件是什么? 3.如何用几何语言和符号语言来描述直线与平面平行的判定定理?
如果一条直线a 和一个平没有公共点我们 , 就说直线a 与平面平行; 如果直线a 和平有且只有一个公共点我们 , 就说直线a 与平面相交; 如果直线a 和平有无数个公共点我们就说 , 直线 a 在平面内.
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:
位置关系直线 a在平面内
a b a // b
a

图1 2 24
a // .
b
例: 如图1 2 25,已知 E , F 分别是三棱锥A BCD的侧棱AB, AD的中点, 求证 : EF // 平面BCD .
B
E
A
F
D C
图1 2 23
分层训练
必做题：课本P32练习2、3 选做题：试用反证法证击图标, 打开几何画板在长方体 , 中作关于直线与平面平行实验.
一般地, 我们有 : 直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行.
本章中出现的判定定理的证明不作要求 .
用符号表示为图1 2 24:
作业：P37 3

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系直线与平面是几何学中常见的两类图形，它们之间的位置关系至关重要。

本文将探讨直线与平面的位置关系，并通过几几种经典的例子来说明。

一、直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，它们被称为共面关系。

具体来说，如果直线的所有点都位于平面上，那么我们可以说这条直线在平面内。

例如，在平面上绘制一条线段AB，我们可以断定线段AB是共面的。

另一种情况是，直线与平面相交于一点，并且直线上的其他点均位于平面之外。

在这种情况下，我们可以认为直线在平面内。

例如，假设给定一个平面P和一条直线l，当直线l与平面P相交于点A且直线上的其他点均在平面P之外时，我们可以说直线l在平面P内。

二、直线与平面相交直线与平面的相交关系是几何学中最常见的情况之一。

当一条直线与平面相交于一点时，我们可以说这条直线与平面相交。

例如，给定一个平面P和一条直线l，当直线l与平面P相交于点A，我们可以断言直线l与平面P相交。

三、直线与平面平行直线与平面平行是指直线与平面之间没有交点，且直线上的所有点与平面都保持着固定的距离。

当一条直线与平面平行时，我们可以说直线与平面平行。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l与平面P之间没有交点，且直线上的所有点与平面P保持着固定的距离时，我们可以说直线l与平面P平行。

四、直线与平面垂直直线与平面垂直是指直线与平面之间存在一个直角，即直线与平面的夹角为90度。

当一条直线与平面垂直时，我们可以说直线与平面垂直。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l与平面P之间的夹角为90度时，我们可以说直线l与平面P垂直。

五、直线包含于平面直线包含于平面是指直线上的所有点都位于平面上。

当一条直线的所有点都在一个平面上时，我们可以说直线包含于平面。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l上的所有点都在平面P上，我们可以说直线l包含于平面P。

在几何学中，直线与平面的位置关系是一门深入研究的领域。

通过了解直线与平面在空间中的相互作用，我们可以更好地理解几何学的基本原理和定理。

直线和平面的位置关系

直线和平面的位置关系直线和平面是几何学中的重要概念，它们在我们日常生活和数学学习中都有广泛的应用。

了解直线和平面的位置关系对于解决几何问题和理解空间几何概念至关重要。

本文将通过举例、分析和说明，详细介绍直线和平面的位置关系，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、直线和平面的基本概念首先，我们来回顾一下直线和平面的基本概念。

直线是由无数个点连成的，它没有宽度和厚度，可以延伸到无穷远。

而平面是由无数个直线连成的，它有无限大的宽度和长度，但没有厚度。

直线和平面是空间中最基本的几何元素，它们的位置关系对于我们理解空间几何有着重要的影响。

二、1. 直线与平面的相交关系直线和平面可以相交，相交的方式有三种：直线与平面相交于一点、直线与平面相交于一条直线、直线与平面相交于多个点。

例如，一根铅笔刚好垂直于一张纸，那么铅笔尖就与纸面相交于一点；如果我们将一张纸平放在桌子上，铅笔沿着纸面滑动，那么铅笔与纸面相交于一条直线；如果我们将一张纸斜放在桌子上，铅笔沿着纸面滑动，那么铅笔与纸面相交于多个点。

2. 直线在平面上的位置关系直线可以位于平面的内部、边界或外部。

当直线位于平面的内部时，我们称之为直线在平面上。

例如，一根铁丝被弯曲成一个形状，它的每一点都在一个平面内，那么这根铁丝就在这个平面上。

当直线与平面的某一部分重合时，我们称之为直线在平面上的边界。

例如，一根直线恰好与一个平面的一条边相重合，那么这根直线就在这个平面的边界上。

当直线与平面没有任何交点时，我们称之为直线在平面的外部。

例如，一根直线与一个平面没有任何交点，那么这根直线就在这个平面的外部。

3. 平面间的相对位置关系在空间中，两个平面可以平行、相交或重合。

当两个平面的法线向量平行时，我们称之为平面平行。

例如，两个水平的地面就是平行的。

当两个平面有一个公共点，并且这个点在两个平面上都是直线的交点时，我们称之为平面相交。

例如，两面墙壁在一个角落相交。

线面位置关系知识点总结

线面位置关系知识点总结1. 直线与平面的位置关系（1）直线与平面的交点当一条直线和一个平面相交时，它们会有一个交点。

这个交点的位置会根据直线和平面的夹角以及它们在空间中的具体位置而发生变化。

（2）直线与平面的位置关系另外，直线与平面还存在以下几种位置关系：a. 直线在平面上：即直线完全落在平面上，不与平面相交。

b. 直线与平面平行：直线不与平面相交，并且直线上的任意一点到平面的距离相等。

c. 直线与平面垂直：直线和平面的夹角为90度。

（3）直线与平面的关系分类根据直线和平面相交的情况，可以将直线与平面的位置关系进一步分类：a. 直线与平面相交于一点：这种情况下，直线和平面的位置关系主要取决于它们的具体位置和夹角。

b. 直线与平面平行：直线和平面不相交，并且直线平行于平面。

c. 直线与平面重合：当直线恰好落在平面上时，我们称直线与平面重合。

2. 平面与平面的位置关系（1）平面与平面的交线当两个平面相交时，它们会有一条交线。

这条交线的位置和方向取决于这两个平面的相对位置关系。

（2）平面与平面的位置关系平面与平面之间也有不同的位置关系：a. 平面相交：即两个平面有交线，它们不平行。

b. 平面平行：这种情况下，两个平面没有交线，并且它们的法向量相互平行。

c. 平面重合：当两个平面完全重合时，我们称它们重合。

3. 其他相关知识（1）直线与直线的位置关系在三维空间中，直线之间也存在不同的位置关系。

例如，直线相交于一点、直线平行等。

（2）平面与平面的交线当两个平面相交时，它们会有一条交线，而这条交线可以用来研究平面之间的位置关系。

总结来说，线面位置关系是空间几何中的一个重要内容，它涉及到直线与平面、平面与平面之间的相互位置关系。

通过对线面位置关系的研究，我们可以更好地理解空间几何性质，同时也可以应用到实际问题中。

因此，对线面位置关系的掌握和理解具有重要的理论和实际意义。

线与平面的关系知识点总结

线与平面的关系知识点总结1. 线与平面的位置关系线与平面的位置关系是指直线和平面之间的相对位置。

根据位置关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在平面内。

这时，直线的任意一点都在平面内，直线与平面重合。

（2）直线与平面相交当一条直线和一个平面相交于一点，但不在平面内时，我们称这条直线与平面相交。

这时，直线穿过平面，但不在平面内部。

（3）直线与平面平行当一条直线与一个平面相交，但与平面的交点无穷多，且直线与平面的方向相同时，我们称这条直线与平面平行。

这时，直线和平面永远不会相交。

（4）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。

这时，直线和平面的交点在平面内，直线和平面互相垂直。

2. 线与平面的相交关系线与平面的相交关系是指直线和平面之间的交点个数和位置关系。

根据相交关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与平面相交于一点。

这时，直线通过平面上的一个点。

（2）直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与平面相交于一条直线。

这时，直线穿过平面，但不在平面内部。

（3）直线与平面相交于多个点当一条直线与一个平面相交于多个点时，我们称这条直线与平面相交于多个点。

这时，直线穿过平面，且在平面上有多个交点。

3. 线与平面的垂直关系线与平面的垂直关系是指直线和平面之间的夹角关系。

当直线和平面互相垂直时，它们之间的夹角为90°，即直线与平面相互垂直。

根据垂直关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。

这时，直线和平面互相垂直。

（2）平面与平面垂直当两个平面的法向量互相垂直时，我们称这两个平面互相垂直。

直线与平面的位置关系与相交性质

直线与平面的位置关系与相交性质直线与平面是几何学中两个基本概念，它们的位置关系以及相交性质对于解决几何问题具有重要意义。

本文将就直线与平面的位置关系以及相交性质进行探讨。

一、直线与平面的位置关系1. 直线在平面内部：当一条直线完全位于一个平面之内时，我们称这条直线在平面内部。

直线的每一个点都在平面上。

2. 直线与平面相交：直线与平面相交表示直线上的至少一个点与平面的任意一点重合。

3. 直线与平面平行：直线与平面平行表示直线上的任意一点到平面的距离为常数。

4. 直线在平面上：当直线上的点都在平面上时，我们称这条直线在平面上。

二、直线与平面的相交性质1. 直线与平面的交点：如果直线与平面相交于一点，则该点称为直线与平面的交点。

2. 直线与平面的交线：当直线与平面相交于一点时，该点也可以看作是直线与平面的交线。

交线是直线在平面上的投影。

3. 直线与平面的相交情况：直线与平面的相交情况可分为三种情况：a) 直线与平面的相交于一点，即直线与平面有且只有一个交点；b) 直线与平面平行，即直线与平面没有交点；c) 直线与平面扩展成其他形状，即直线与平面有无数个交点，如直线与平面相交成一条直线。

三、直线与平面相交性质的应用1. 证明定理：直线与平面垂直的充要条件是直线上的任意一条垂线都在平面上。

证明：设直线L与平面P相交于一点A，过点A做直线与平面P 垂直的垂线AB，若垂线AB不在平面P上，则可得到矛盾。

2. 证明定理：一个直线与一个平面至多只有一个公共点的充要条件是这个直线与这个平面都与同一个过该点的平行线平行。

证明：设直线L与平面P至多只有一个公共点，过该公共点A做平面P的垂线AB，若平行线CD与直线L相交于一点E，若点E不在平面P上，则可得到矛盾。

结论：直线与平面的位置关系与相交性质是几何学中的重要内容。

直线与平面的位置关系包括直线在平面内部、直线与平面相交以及直线与平面平行。

直线与平面的相交性质涉及交点、交线以及相交情况。

直线与平面的位置关系有哪些情况

直线与平面的位置关系有哪些情况直线与平面是几何学中的两个基本概念，它们之间的位置关系有以下几种情况：一、直线与平面相交：当一条直线与一个平面相交时，有如下两种情况：1. 直线与平面相交于一点：这是最简单的情况，直线通过平面上的一点。

2. 直线与平面相交于一条直线：这种情况下，直线与平面有公共的部分，这个公共的部分也是直线。

二、直线与平面平行：直线与平面平行，意味着直线与平面没有任何交点，它们永远保持平行的状态。

这种情况下，直线与平面的位置关系可以通过以下特点来判断：1. 直线与平面的方向向量平行：直线与平面的平行性可以通过直线的方向向量与平面的法向量平行来判断。

如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面平行。

2. 直线与平面的点法向量相等：可以通过直线上的某个点和平面上的某个点分别计算它们的点法向量，如果这两个点法向量相等，则说明直线与平面平行。

三、直线在平面上：直线在平面上的情况可以细分为以下两种：1. 直线全在平面上：这种情况下，直线的所有点都在平面上。

2. 直线部分在平面上：这种情况下，直线与平面相交于一点，然后在该点处与平面垂直。

四、直线垂直于平面：直线垂直于平面意味着直线与平面的夹角为90度。

可以通过以下特点来判断：1. 直线的方向向量与平面的法向量垂直：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线垂直于平面。

2. 直线上的某个向量与平面上的某个向量的点积为零：可以选择直线和平面上的一点，然后计算这两个向量的点积，如果点积为零，则说明直线垂直于平面。

以上就是直线与平面的位置关系的几种情况。

在几何学和物理学中，这些情况是非常重要的，对于解决形状、位置和运动相关的问题有着重要的应用价值。

了解直线与平面的位置关系可以帮助我们更好地理解和应用这些概念。

高中数学直线和平面的位置关系2ppt

a c
b

直线a和平面内的直线位置关系：
那么直线a与平面内的哪些直线平行呢 ?
平行或异面
那么直线a与平面内的哪些直线平行呢 ?
a

b
问：直线a和直线b位置关系如何呢？
由此你能不能得到一般性的结论呢?
直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就和交线平行.
求证：n // l , n // m
n
l

证：l // m l
m
m
}
l //
l
n
}
n // l
同理：n / m
课堂小结:
1.直线和平面有几种位置关系:
直线在平面内, 直线和平面相交, 直线和平面平行 2.直线和平面平行的判定方法:
(1).直线和平面没有公共点 (2).直线和平面平行的判定定理. 3.直线和平面平行的性质: (1).线面平行 (2).线面平行直线和平面没有公共点; 直线和平面内无数条直线平行; 线面平行;
(3).直线和平面平行的性质定理.
线线平行线面平行
谢谢合作！
下课了！
直线和平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
a b α 线线平行
a b a // a // b
线面平行
例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连
连线，平行于经过另外两边的平面. 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 A AB、AD的中点. F 求证：EF//平面BCD.
1.2.3 直线和平面的位置关系
思考: 直线和平面可能有哪几种位置关系? 你能根据公共点的情况进行分类吗?